Класс: 11

Презентация к уроку

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цель урока:

способствовать развитию навыков деления многочлена на многочлен и использованию схемы Горнера;
закрепить навыки работы в электронных таблицах OpenOffice.org Calc;
организовать деятельность учащихся по восприятию, осмысливанию и первичному запоминанию новых знаний;
разобрать и доказать теорему Безу при решении проблемной ситуации: можно ли разложить многочлен третьей степени на множители;
рассмотреть использование теорему Безу для решения уравнений высших степеней;
содействовать развитию логического мышления, внимания, речи и умения работать самостоятельно.

Тип урока: урок ознакомления с новым материалом.

Оборудование: мультимедиа проектор, презентация к уроку, компьютерный класс.

«Для того, чтобы совершенствовать ум, надо больше рассуждать, чем заучивать».
Декарт (1596 -1650). Французский математик, физик, филолог, философ.

Ход урока

I . Организационный момент

Наша задача сегодня в совместной деятельности подтвердить слова Декарта (слайд 1). Тема нашего урока (слайд 2) «Теорема Безу» настолько значима, что даже используется в заданиях ЕГЭ и различных олимпиадах. Теорема Безу облегчает решение многих заданий, содержащих уравнения высших степеней. К сожалению, она изучается только на профильном уровне.

II . Возникновение проблемной ситуации

На этом уроке мы научимся решать уравнения высших степеней, а алгоритм решения выведем сами.

Решить уравнение: x 3 - 2x 2 - 6x + 4=0 (Слайд 3). Возникает проблема: Мы понимаем, что было бы удобно представить левую часть уравнения в виде произведения, и так как произведение равно нулю, то приравнять к нулю каждый множитель. Для этого надо разложить многочлен 3-ей степени на множители. Но как? Можно ли сгруппировать или вынести общий множитель за скобку в нашем случае? (Нет).

III . Актуализация опорных знаний

Вспомним, как разложить на множители многочлен х 2 - 5х - 6? (Слайд 4).

(По формуле разложения на множители квадратного трехчлена:

ах 2 + bх + с = a(x – x 1)(x-x 2), где х 1 и х 2 корни трехчлена).

Найдите корни трехчлена двумя способами. Какими?

(по формуле корней квадратного уравнения и по теореме Виета).

Решают на доске от каждой группы по одному ученику. Остальные учащиеся в тетрадях. Получили: х 2 - 5х - 6 = (х - 6) (х + 1).

Это значит, что трехчлен делится на каждый из двучленов: х – 6 и х + 1.

Обратите внимание на свободный член нашего трехчлена и найдите его делители (±1, ±2, ±3, ±6).

Какие из делителей являются корнями трехчлена? (-1 и 6)

Какой вывод можно сделать? (Корни трехчлена являются делителями свободного члена).

IV . Выдвижение гипотезы

Так какой же одночлен поможет подобрать корни многочлена?

Р(х) = x 3 - 2x 2 - 6x + 4=0 ?

(Свободный член).

Выпишите его делители: ±1; ±2; ±4.

Найдите значения многочлена для каждого делителя. С помощью электронных таблиц и непосредственно:

1 группа вычисляет в тетради, вторая за компьютерами в OpenOffice.org Calc.

Р(1)= -3
Р(-1)=7
Р(2)=-8
Р(-2)=0
Р(4)=12
Р(-4)=-68

(При вычислении в электронных таблицах в ячейку В2 ученики вводят формулу: =А1^3-2*A1^2-6*A1+4. С помощью маркера автозаполнения получают значения многочлена во всем столбце).

Какой из делителей является корнем многочлена? (-2)

Таким образом, один из множителей в разложении будет х-(-2) = x + 2.

Как найти другие множители?

(Разделить «в столбик» на двучлен х + 2 )

А как еще можно? (по схеме Горнера). (Слайд 5)

Что такое схема Горнера? (Схема Горнера – это алгоритм деления многочленов, записанный для частного случая, когда делитель равен двучлену x–a ).

Выполняем деление: первая группа «в столбик», вторая – по схеме Горнера.

Разделили без остатка.

Вернемся к уравнению: x 3 - 2x 2 - 6x + 4= (x 2 -4x+2)(x+ 2)=0

x 2 -2x+2=0 - квадратное уравнение. Решите его:

D 1 = 4 – 2 = 2;

Ответ: -2, .

А мог получиться остаток при делении? Ответим на этот вопрос позднее. А сейчас назовите значение многочлена при х = - 2. (Значение равно нулю).

Прошу обратить ваше внимание, что x = - 2 является корнем многочлена и остаток от деления многочлена на х-(-2) равен 0.

Рассмотримх=1 - не является корнем уравнения.

Попробуем разделить многочлен на х-1 . Вторая группа выполняет деление «в столбик». Первая – по схеме Горнера дополняет таблицу ещё одной строкой.

Итак, x 3 - 2x 2 - 6x + 4 = (х – 1)∙(x 2 - х – 7) – 3.

Отметим, что x=1 не является корнем многочлена и остаток от деления многочлена на (х-1) равен значению многочлена при х=1.

Вот и ответ на вопрос об остатке. Да, остаток получился, при таком значении х, которое не является корнем многочлена.

Давайте продолжим схему Горнера для остальных делителей свободного члена. Теперь пусть первая группа вычисляет за компьютером, а вторая в тетрадях.

V . Доказательство гипотезы

(Слайд 6) Вы заметили закономерность об остатке. Какую? (остаток получился, при таком значении х, которое не является корнем многочлена).

А давайте запишем эту закономерность в общем виде.

Пусть Р(х) - многочлен, а - некоторое число.

Докажем утверждение: Остаток от деления Р(х) на (x - а) равен Р(а).

Доказательство. Разделим Р(х) c остатком на (x - а).

Получим Р(х)= (x - а)Q(х) + R; по определению остатка, многочлен r либо равен 0, либо имеет степень, меньшую степени (x - a), т.е. меньшую 1. Но степень многочлена меньше 1 только в случае, когда она равна 0, и поэтому в обоих случаях R на самом деле является числом – нулем или отличным от нуля.

Подставив теперь в равенство Р(х)= (x - а)Q(х) + R значение x = a, мы получим Р(a)= (a - а)Q(х) + R, P(a) = R, так что действительно R = P(a).

Эту закономерность отметил и математик Безу.

Сообщение ученицы

(Слайд 7) Этьенн Безу - французский математик, член Парижской Академии Наук (с 1758 года), родился в Немуре 31 марта 1730 года и умер 27 сентября 1783 года. С 1763 года Безу преподавал математику в училище гардемаринов, а с 1768 года и в королевском артиллерийском корпусе.

Основные работы Этьенна Безу относятся к высшей алгебре, они посвящены созданию теории решения алгебраических уравнений.

В теории решения систем линейных уравнений он содействовал возникновению теории определителей, развивал теорию исключения неизвестных из систем уравнений высших степеней, доказал теорему (впервые сформулированную Маклореном) о том, что две кривые порядка m и n пересекаются не более чем в mn точках.

Во Франции и за её границей вплоть до 1848 года был очень популярен его шеститомный "Курс математики", написанный им в 1764-69 годах.

Безу развил метод неопределённых множителей. В элементарной алгебре его именем назван способ решения систем уравнений, основанный на этом методе.

Часть трудов Безу посвящена внешней баллистике.

Именем ученого названа одна из основных теорем алгебры.

Следствие

Какой должен быть остаток, чтобы многочлен Р(х) делился нацело на двучлен (х – а)? (равен 0).

Получаем следствие из теоремы Безу: Для того, чтобы многочлен Р(х) делился нацело на двучлен (х – а), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство Р(а) = 0.

VI . Усвоение изученного

(Слайд 8) Решить уравнение: х 4 - x 3 - 6x 2 - x + 3 = 0 .

Целые корни многочлена Р(х) = х 4 - x 3 - 6x 2 - x + 3 должны быть делителями свободного члена, так что это могут быть числа -1, 1, 3, -3.

Подберем корень по схеме Горнера:

VII . Итог:

Итак, что дает нам Теорема Безу? (Слайд 9)

Теорема Безу дает возможность, найдя один корень многочлена, искать далее корни многочлена, степень которого на 1 меньше: если Р(а) = 0, то Р(х)= (x - а)Q(x), и остается решить уравнение Q(x) = 0. Иногда этим приемом - он называется понижением степени - можно найти все корни многочлена.

Доказательство теоремы Безу

Пусть f(x) обозначает собой произвольный многочлен n-й степени относительно переменной x и пусть при его делении на двучлен (x-a) получилось в частном q(x), а в остатке R. Очевидно, что q(x) будет некоторый многочлен (n-1)-й степени относительно x, а остаток R будет величиной постоянной, т.е. не зависящей от x.

Если бы остаток R был многочленом хотя бы первой степени относительно x, то это означало бы, что деление не выполнено. Итак, R от x не зависит.

По определению деления (делимое равно произведению делителя на частное плюс остаток) получаю тождество

f(x) =(x-a)q(x)+R.

Это равенство справедливо при всяком значении x, значит, оно справедливо и при x=a.

Подставляя в левую и правую части равенство вместо переменной x число a, получаю:

f(a)=(a-a)q(a)+R. (1)

Здесь символ f(a) обозначает собой уже не f(x), т.е. не многочлен относительно x, а значение этого многочлена при x=a. q(a) обозначает значение q(x) при x=a.

Остаток R остался таким, каким он был раньше, так как R от x не зависит.

Произведение (a-a)q(a) равно нулю, так как множитель (a-a) равен нулю, а множитель q(a) есть определенное число. (Многочлен q(x) ни при каком определенном значении x не теряет смысла.)

Поэтому из равенства (1) получим:

что и требовалось доказать.

Следствия из теоремы

Следствие 1.

Остаток от деления полинома f(x) на двучлен (ax+b) равен значению

этого полинома при x=-b/a, т.е. R=f(-b/a).

Доказательство:

Согласно правилу деления многочленов:

f(x)= (ax+b)*q(x)+R.

f(-b/a)=(a(-b/a)+b)q(-b/a)+R=R. Значит, R=f(-b/a),

что и требовалось доказать.

Следствие 2:

Если число a является корнем многочлена f(x), то этот многочлен делится на (x-a) без остатка.

Доказательство:

По теореме Безу остаток от деления многочлена f(x) на (x-a) равен f(a), а по условию a является корнем f(x), а это значит, что f(a)=0, что и требовалось доказать.

Из данного следствия теоремы Безу видно, что задача решения уравнения f(x)=0 равносильна задаче выделения делителей многочлена f, имеющих первую степень (линейных делителей).

Следствие 3:

Если многочлен f(x) имеет попарно различные корни a 1 , a 2 ,… ,a n ,то он делится на произведение (x-a 1)…(x-a n) без остатка.

Доказательство:

Проведём доказательство с помощью математической индукции по числу корней. При n=1 утверждение доказано в следствии 2. Пусть оно уже доказано для случая, когда число корней равно k, это значит, что f(x) делится без остатка на

(x-a 1)(x-a 2)…(x-a k), где a 1 , a 2 ,…, a k - его корни.

Пусть f(x) имеет (k+1) попарно различных корней. По предположению индукции a 1 , a 2 , a k ,…, (a k+1) являются корнями многочлена, а, значит, многочлен делится на произведение (x-a 1)…(x-a k), откуда выходит, что

f(x)=(x-a 1)…(x-a k)q(x).

При этом (a k+1) - корень многочлена f(x), т.е.

Значит, подставляя вместо x (a k+1), получаем верное равенство:

f(a k+1)=(a k+1 -a 1)…(a k+1 -a k)q(a k+1)=0.

Но (a k+1) отлично от чисел a 1 ,…, a k , и потому ни одно из чисел (a k+1 -a 1),…, (a k+1 -a k) не равно 0. Следовательно, нулю равно q(a k+1), т.е. (a k+1) - корень многочлена q(x). А из следствия 2 выходит, что q(x) делится на (x-a k+1) без остатка.

q(x)=(x-a k+1)q 1 (x), и потому

f(x)=(x-a 1)…(x-a k)q(x)=(x-a 1)…(x-a k)(x-a k+1)q 1 (x).

Это и означает, что f(x) делится на (x-a 1)…(x-a k+1) без остатка.

Итак, доказано, что теорема верна при k=1, а из её справедливости при n=k вытекает, что она верна и при n=k+1. Таким образом, теорема верна при любом числе корней, что и требовалось доказать.

Следствие 4:

Многочлен степени n имеет не более n различных корней.

Доказательство:

Воспользуемся методом от противного: если бы многочлен f(x) степени n имел бы более n корней - n+k (a 1 , a 2 ,..., a n+k - его корни), тогда бы по ранее доказанному следствию 3 он бы делился на произведение (x-a 1)...(x-a n+k), имеющее степень (n+k), что невозможно.

Мы пришли к противоречию, значит наше предположение неверно, и многочлен степени n не может иметь более, чем n корней, что и требовалось доказать.

Следствие 5:

Для любого многочлена f(x) и числа a разность (f(x)-f(a)) делится без остатка на двучлен (x-a).

Доказательство:

Пусть f(x) - данный многочлен степени n, a - любое число.

Многочлен f(x) можно представить в виде: f(x)=(x-a)q(x)+R, где q(x) - многочлен, частное при делении f(x) на (x-a), R - остаток от деления f(x) на (x-a).

Причём по теореме Безу:

f(x)=(x-a)q(x)+f(a).

f(x)-f(a)=(x-a)q(x),

а это и означает делимость без остатка (f(x)-f(a))

на (x-a), что и требовалось доказать.

Следствие 6:

Число a является корнем многочлена f(x) степени не ниже первой только тогда, когда f(x) делится на (x-a) без остатка.

Доказательство:

Чтобы доказать данную теорему требуется рассмотреть необходимость и достаточность сформулированного условия.

1. Необходимость.

Пусть a - корень многочлена f(x), тогда по следствию 2 f(x) делится на (x-a) без остатка.

Таким образом делимость f(x) на (x-a) является необходимым условием для того, чтобы a являлось корнем f(x), т.к. является следствием из этого.

2. Достаточность.

Пусть многочлен f(x) делится без остатка на (x-a),

тогда R=0, где R - остаток от деления f(x) на (x-a), но по теореме Безу R=f(a), откуда выходит, что f(a)=0, а это означает, что a является корнем f(x).

Таким образом, делимость f(x) на (x-a) является и достаточным условием для того, чтобы a являлось корнем f(x).

Делимость f(x) на (x-a) является необходимым и достаточным условием для того, чтобы a являлось корнем f(x), что и требовалось доказать.

Следствие 7:

Многочлен, не имеющий действительных корней, в разложении на множители линейных множителей не содержит.

Доказательство:

Воспользуемся методом от противного: предположим, что не имеющий корней многочлен f(x) при разложении на множители содержит линейный множитель

тогда бы он делился на (x-a), но по следствию 6 a являлось бы корнем f(x), а по условию он действительных корней не содержит. Мы пришли к противоречию, значит наше предположение неверно и многочлен, не имеющий действительных корней, в разложении на множители линейных множителей не содержит, что и требовалось доказать.

Теорема Безу , невзирая на кажущуюся простоту и очевидность, является одной из базовых теорем теории многочленов . В данной теореме алгебраические характеристики многочленов (они позволяют работать с многочленами как с целыми числами) связываются с их функциональными характеристиками (которые позволяют рассматривать многочлены как функции).

Теорема Безу утверждает, что остаток от деления многочлена на многочлен - это .

Коэффициенты многочлена лежат в неком коммутативном кольце с единицей (к примеру, в поле вещественных либо комплексных чисел).

Теорема Безу - доказательство.

Делим с остатком многочлен P(x) на многочлен (x-a) :

Исходя из того, что deg R(x) < deg (x-a) = 1 - многочлен степени не выше нуля. Подставляем , так как , получаем .

Но наиболее важна не именно теорема, а следствие теоремы Безу:

1. Число - корень многочлена P(x) тогда и только тогда, когда P(x) делится без остатка на двучлен x-a .

Исходя из этого - множество корней многочлена P(x) тождественно множеству корней соответствующего уравнения x-a .

2. Свободный член многочлена делится на любой целый корень многочлена с целыми коэффициентами (когда старший коэффициент равен единице - все рациональные корни целые).

3. Предположим, что - целый корень приведенного многочлена P(x) с целыми коэффициентами. Значит, для любого целого число делится на .

Теорема Безу дает возможность, найдя один корень многочлена, искать дальше корни многочлена, степень которого уже на 1 меньше: если , то данный многочлен P(x) будет выглядеть так:

Теорема Безу примеры:

Найти остаток от деления многочлена на двучлен .

Теорема Безу примеры решения:

Исходя из теоремы Безу, искомый остаток соответствует значению многочлена в точке . Тогда найдем , для этого значение подставляем в выражение для многочлена вместо . Получаем:

Ответ : Остаток = 5.

Схема Горнера.

Схема Горнера - это алгоритм деления (деление схемой Горнера) многочленов, записываемый для частного случая, если частное равно двучлену .

Построим этот алгоритм:

Предположим, что - делимое

Частное (его степень, вероятно, будет на удиницу меньше), r - остаток (т.к. деление осуществляется на многочлен 1-ой степени, то степень остатка будет на единицу меньше, т.е. нулевая, таким образом, остаток это константа).

По определению деления с остатком P(x) = Q(x) (x-a) + r . После подстановки выражений многочленов получаем:

Раскрываем скобки и приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях, после чего выражаем коэффициенты частного через коэффициенты делимого и делителя:

Удобно вычисления сводить в такую таблицу:

В ней выделены те клетки, содержимое которых участвует в вычислениях на очередном шаге.

Схема Горнера примеры:

Пусть надо поделить многочлен на двучлен x-2 .

Составляем таблицу с двумя строками. В 1 строку выписываем коэффициенты нашего многочлена. Во второй строке будем получать коэффициенты неполного частного по следующей схеме: в первую очередь переписываем старший коэффициент данного многочлена, далее, дабы получить очередной коэффициент, умножаем последний найденный на а=2 и складываем с соответствующим коэффициентом многочлена F(x) . Самый последний коэффициент будет остатком, а все предыдущие - коэффициентами неполного частного.

Этьен Безу –

французский математик, член Парижской Академии Наук(с 1758 года), родился в Немуре 31 марта 1730 года и умер 27 сентября 1783 года.

С 1763 года Безу преподавал математику в училище гардемаринов, а с 1768 года и в королевском артиллерийском корпусе.

Основные работы Этьена Безу относятся к высшей алгебре, они посвящены созданию теории решения алгебраических уравнений. В теории решения систем линейных уравнений он содействовал возникновению теории определителей, развивал теорию исключения неизвестных из систем уравнений высших степеней, доказал теорему (впервые сформулированную К. Маклореном) о том, что две кривые порядка m и n пересекаются не более чем в mn точках. Во Франции и за её границей вплоть до 1848 года был очень популярен его шеститомный“Курс математики “, написанный им в 1764-69 годах. Безу развил метод неопределённых множителей, в элементарной алгебре его именем назван способ решения систем уравнений, основанный на этом методе. Часть трудов Безу посвящена внешней баллистике. Именем учёного названа одна из основных теорем алгебры.

Теорема Безу.

Остаток от деления полинома P n ( x )

на двучлен ( x - a ) равен значению

этого полинома при x = a .

P n (x ) – данный многочлен степени n ,

двучлен (x - a ) - его делитель,

Q n -1 (x ) – частное от деления P n (x ) на x - a (многочлен степени n-1) ,

R – остаток от деления (R не содержит переменной x как делитель первой степени относительно x ).

Доказательство:

Согласно правилу деления многочленов с остатком можно записать:

P n (x) = (x-a)Q n-1 (x) + R .

Отсюда при x = a :

P n (a) = (a-a)Q n-1 (a) + R =0*Q n-1 (a)+R=

=0+ R = R .

Значит, R = P n (a ) , т.е. остаток от деления полинома на (x - a ) равен значению этого

полинома при x = a , что и требовалось доказать.

Следствия из теоремы .

Следствие 1 :

Остаток от деления полинома P n ( x )

на двучлен ax + b равен значению

этого полинома при x = - b / a ,

т . е . R=P n (-b/a) .

Доказательство:

Согласно правилу деления многочленов:

P n (x)= (ax + b) * Q n-1 (x) + R .

Pn (-b/a) = (a(-b/a) + b)Qn-1(-b/a) + R = R. Значит, R = Pn (-b/a) , что и требовалось доказать.

Следствие 2 :

Если число a является корнем

многочлена P ( x ) , то этот

многочлен делится на ( x - a ) без

остатка.

Доказательство:

По теореме Безу остаток от деления многочлена P (x ) на x - a равен P (a ) , а по условию a является корнем P (x ) , а это значит, что P (a ) = 0 , что и требовалось доказать .

Из данного следствия теоремы Безу видно, что задача решения уравнения P (x ) = 0 равносильна задаче выделения делителей многочлена P , имеющих первую степень (линейных делителей) .

Следствие 3 :

Если многочлен P ( x ) имеет

попарно различные корни

a 1 , a 2 , … , a n , то он делится на

произведение ( x - a 1 ) … ( x - a n )

без остатка .

Доказательство:

Проведём доказательство с помощью математической индукции по числу корней. При n =1 утверждение доказано в следствии 2 . Пусть оно уже доказано для случая, когда число корней равно k , это значит, что P(x) делится без остатка на (x - a 1 )(x - a 2 ) … (x - a k ) , где

a 1 , a 2 , … , a k - егокорни.

Пусть P (x ) имеет k +1 попарно различных корней.По предположению индукции a 1 , a 2 , a k , … , a k +1 являются корнями многочлена, а, значит, многочлен делится на произедение (x - a 1 ) … (x - a k ) , откуда выходит, что

P(x) = (x-a 1 ) … (x-a k )Q(x).

При этом a k +1 – корень многочлена P (x ) , т. е. P (a k +1 ) = 0 .

Значит, подставляя вместо x a k +1 , получаем верное равенство:

P(a k+1 ) = (a k+1 -a 1 ) … (a k+1 -a k )Q(a k+1 ) =

Но a k +1 отлично от чисел a 1 , … , a k , и потому ни одно из чисел a k +1 - a 1 , … , a k +1 - a k не равно 0 . Следовательно, нулю равно Q (a k +1 ) , т. е. a k +1 – корень многочлена Q (x ) . А из следствия 2 выходит, что Q (x ) делится на x - a k + 1 без остатка.

Q (x ) = (x - a k +1 ) Q 1 (x ) , и потому

P(x) = (x-a1) … (x-ak)Q(x) =

=(x - a 1 ) … (x - a k )(x - a k +1 ) Q 1 (x ) .

Это и означает, что P (x ) делится на (x - a 1 ) … (x - a k +1 ) без остатка.

Итак, доказано, что теорема верна при k =1 , а из её справедливости при n = k вытекает, что она верна и при n = k +1 . Таким образом, теорема верна при любом числе корней, что и требовалось доказать .

Следствие 4 :

Многочлен степени n имеет не более

n различных корней.

Доказательство:

Воспользуемся методом от противного: если бы многочлен P n (x ) степени n имел бы более n корней - n + k (a 1 , a 2 , … , a n + k - его корни) , тогда бы по ранее доказанному следствию 3 он

бы делился на произведение (x - a 1 ) … (x - a n + k ) , имеющее степень n + k , что невозможно.

Мы пришли к противоречию, значит наше предположение неверно и многочлен степени n не может иметь более, чем n корней, что и требовалось доказать.

Следствие 5 :

Для любого многочлена P ( x )

и числа a разность

( P ( x )- P ( a )) делится без

остатка на двучлен ( x - a ) .

Доказательство:

Пусть P (x ) – данный многочлен степени n , a - любое число.

Многочлен P n (x ) можно представить в виде: P n (x )=(x - a ) Q n -1 (x )+ R ,

где Q n -1 (x ) – многочлен, частное при делении P n (x ) на (x - a ) ,

R – остаток от деления P n (x ) на (x - a ) .

Причём по теореме Безу:

R = P n (a) , т.е.

P n (x)=(x-a)Q n-1 (x)+P n (a) .

Pn(x) - Pn(a) = (x-a)Qn-1(x) ,

а это и означает делимость без остатка (P n (x ) – P n (a ))

на (x - a ) , что и требовалось доказать .

Следствие 6 :

Число a является корнем

многочлена P ( x ) степени

не ниже первой тогда и

только тогда, когда

P ( x ) делится на ( x - a )

без остатка .

Доказательство:

1. Необходимость .

Пусть a – корень многочлена P (x ) , тогда по следствию 2 P (x ) делится на (x - a ) без остатка.

Таким образом делимость P (x ) на (x - a ) является необходимым условием для того, чтобы a являлось корнем P (x ) , т.к. является следствием из этого.

2. Достаточность .

Пусть многочлен P (x ) делится без остатка на (x - a ) ,

тогда R = 0 , где R – остаток от деления P (x ) на (x - a ) , но по теореме Безу R = P (a ) , откуда выходит, что P (a ) = 0 , а это означает, что a является корнем P (x ) .

Таким образом делимость P (x ) на (x - a ) является и достаточным условием для того, чтобы a являлось корнем P (x ) .

Делимость P (x ) на (x - a ) является необходимым и достаточным условием для того, чтобы a являлось корнем P (x ) , что и требовалось доказать.

Многочлен, не имеющийй действи-

тельных корней, в разложении

на множители линейных множителей

не содержит.

Доказательство:

Воспользуемся методом от противного: предполо-жим, что не имеющий корней многочлен P (x ) при разложении на множители содержит линейный множитель (x – a ) :

P(x) = (x – a)Q(x) ,

тогда бы он делился на (x – a ) , но по следствию 6 a являлось бы корнем P (x ) , а по условию он корней не содержит. Мы пришли к противоречию, значит наше предположение неверно и многочлен,

Найдем остаток от деления многочлена P (x ) на линейный двучлен вида (x ‑ a ), где a – некоторое число. Поскольку многочлен‑делитель имеет первую степень, остаток должен иметь нулевую степень, то есть представлять собою некоторое число r . Тогда если Q (x ) – многочлен-частное, то имеет место равенство: P (x ) = Q (x )·(x ‑ a ) + r . Подставив в полученное равенство вместо x число a , получим: P (a ) = Q (a )·(a ‑ a ) + r = Q (a )·0 + r = r . Таким образом, оказывается, что остаток от деления многочлена P (x ) на двучлен (x ‑ a ) можно найти, не выполняя деления, подставив в многочлен-делимое a вместо x . Доказанное утверждение, успешно применяемое при решении многих нестандартных задач, составляет суть теоремы Безу (Этье́нн Безу́, 1730 - 1783, французский математик, член Парижской академии наук).

Теорема Безу: Остаток r от деления многочлена P (x ) на двучлен (x ‑ a ) равен значению этого многочлена в точке a , т.е. r = P (a ).

Замечание 1: Многочлен называется приведенным , если его старший коэффициент (т.е. коэффициент при слагаемом наибольшей степени) равен 1. Например, многочлены , - приведенные, а , - нет.

Замечание 2: При делении многочлена с целыми коэффициентами на приведенный многочлен с целыми коэффициентами все коэффициенты многочлена-частного и многочлена-остатка оказываются также целыми (это легко понять, вспомнив, как выполняется деление многочлена на многочлен «уголком»). В частности, при делении многочлена с целыми коэффициентами на двучлен (x ‑ a ), где a – целое число, все коэффициенты многочлена-частного оказываются целыми.

Число a называется корнем многочлена P (x ), если P (a ) = 0 (другими словами, если число a – корень уравнения P (x ) = 0). Например, числа 1 и -1 являются корнями многочлена , числа -2 и 5 – корнями многочлена , а многочлен не имеет корней, поскольку невозможно выполнение равенства . Из теоремы Безу следует, что если число a является корнем многочлена P (x ), то остаток от деления многочлена P (x ) на двучлен (x ‑ a ) равен P (a ) = 0, то есть многочлен P (x ) делится на (x ‑ a ) без остатка. Другими словами, если a – корень многочлена P (x ), то P (x ) представим в виде: P (x ) = (x ‑ a )·Q (x ). Это утверждение составляет суть следствия из теоремы Безу.

Следствие из теоремы Безу: Число a является корнем многочлена P (x ) тогда и только тогда, когда P (x ) делится на (x ‑ a ) без остатка.

Задачи:

1. Найдите остаток от деления многочлена на .

2. Найдите многочлен третьей степени, который при делении на x дает остаток 1, на x ‑ 2 – остаток 3, а на делится без остатка.

3. Докажите, что многочлен делится на .

4. При каких значениях a и b многочлен делится без остатка на следующие многочлены:

5. При делении многочлена на x ‑ 1 в остатке получается 2, а при делении на x ‑ 2 - 1. Каков остаток от деления этого многочлена на ?

6. Найдите остаток от деления многочлена на .

7. Известно, что остаток от деления многочлена на равен 2x + 1. Найдите остаток от деления этого многочлена на:

а) x – 1;

б) 3x + 2;

8. Найдите приведенный многочлен четвертой степени, если известно, что он делится без остатка на , а при делении на дает в остатке .

9. Какими могут быть остатки от деления многочлена P (x ) на x – 1, а многочлена Q (x ) – на x + 1, если при делении на x 2 – 1 многочлена в остатке получается -6?

10. Докажите, что число делится на 7.

11. Докажите, что остатки от деления на 11 чисел 100.000 и 1.000.000.000 равны.

12. Найдите остаток от деления числа на 26.

13. Один из корней уравнения равен 3. Найдите значение параметра a и решите уравнение.

Гал.: стр. 111, №9.10 (б).

Домашнее задание:

14. Не выполняя деления, найдите остаток от деления многочлена на x + 2.