Определение перемещений при изгибе по способу верещагина. Определение перемещений с помощью способа верещагина Определение прогиба балки методом верещагина

В общем случае (стержень переменного сечения, сложная система нагрузок) интеграл Мора определяется путем численного интегрирования. Во многих практически важных случаях, когда жесткость сечения постоянна по длине стержня, интеграл Мора может быть вычислен по правилу Верещагина. Рассмотрим определение интеграла Мора на участке от а до 6 (рис. 9.18).

Рис. 9.18. Правило Верещагина для вычисления интеграла Мора

Эпюры момента от единичного силового фактора состоят из отрезков прямых. Не нарушая общности, предположим, что в пределах участка

где А и В - параметры прямой:

Интеграл Мора на рассматриваемом участке постоянного сечения имеет вид

где F - площадь под кривой (площадь эпюры изгибающих моментов от внешних сил на участке z).

где - абсцисса центра тяжести площади .

Равенство (109) справедливо, когда в пределах участка не изменяет знак и может рассматриваться как элемент площади эпюры. Теперь из соотношений (107) -(109) получаем

Момент от единичной нагрузки в сечении

Вспомогательная таблица для использования правила Верещагина дана на рис. 9.19.

Замечания. 1. Если эпюра от действия внешних сил на участке линейна (например, при действии сосредоточенных сил и моментов), то правило можно применять в обращенном виде: площадь эпюры от единичного силового фактора умножить на ординату эпюры соответствующую центру тяжести площади . Это вытекает из приведенного доказательства.

2. Правило Верещагина может быть распространено на интеграл Мора в общем виде (уравнение (103)).

Рис. 9.19. Площади и положение центров тяжести эпюр моментов

Рис. 9.20. Примеры определения прогиба и углов поворота по правилу Верещагина

Основное требование при этом состоит в следующем: в пределах участка внутренние силовые факторы от единичной нагрузки должны быть линейными функциями вдоль оси стержня (линейность эпюр!).

Примеры. 1. Определить прогиб в точке А консольного стержня при действии сосредоточенного момента М (рис. 9.20, а).

Прогиб в точке А определяем по формуле (для краткости индекс опускается)

Знак минус связан с тем, что имеют разные знаки.

2. Определить прогиб в точке А в консольном стержне под действием распределенной нагрузки.

Прогиб определяем по формуле

Эпюры изгибающего момента М и перерезывающей силы Q от внешней нагрузки показаны на рис. 9.20, б, ниже на этом рисунке приведены эпюры при действии единичной силы. Далее находим

3. Определить прогиб в точке А и угол поворота в точке В для двухопорной балки, загруженной сосредоточенным моментом (рис. 9.20.).

Прогиб определяем по формуле (деформацией сдвига пренебрегаем)

Так как эпюра момента от единичной силы не изображается одной линией; то интеграл разбиваем на два участка:

Угол поворота в точке В равен

Замечание. Из приведенных примеров видно, что способ Верещагина в простых случаях позволяет быстро определить прогибы и углы поворота. Важно только применять единое правило знаков для Если условиться при изгибе стержня строить эпюры изгибающих моментов на «растянутом волокне» (см. рис. 9.20), то сразу легко видеть положительные и отрицательные значения моментов.

Особое преимущество правила Верещагина состоит в том, что оно может быть исполъвовано не только для стержней, но и для рам (разд. 17).

Ограничения для применения правила Верещагина.

Эти ограничения вытекают из вывода формулы (110), но обратим на них внимание еще раз.

1. Эпюра изгибающего момента от единичной нагрузки должна быть в виде одной прямой линии. На рис. 9.21, а показан случай, когда это условие не соблюдается. Интеграл Мора необходимо вычислять отдельно для участков I и II.

2. Изгибающий момент от внешней нагрузки в пределах участка должен иметь один знак. На рис. 9.21, б показан случай, когда правило Верещагина следует применять для каждого участка в отдельности. Это ограничение не относится к моменту от единичной нагрузки.

Рис. 9.21. Ограничения при использовании правила Верещагина: а - эпюра шсеет излом; б - эпюра имеет разные знаки; в - стержень имеет разные сечения

3. Жесткость стержня в пределах участка должна быть постоянна, иначе интегрирование следует распространять отдельно на участки с постоянной жесткостью. Ограничения по постоянной жесткости можно избежать, если строить эпюры .

Определение перемещений в системах, состоящих из прямолинейных элементов постоянной жесткости, можно значительно упростить путем применения специального приема вычисления интеграла вида . В связи с тем что в подынтегральное выражение входит произведение усилий являющихся ординатами эпюр, построенных для единичного и действительного состояний, этот прием называют способом перемножения эпюр.

Его можно использовать в случае, когда одна из перемножаемых эпюр, например прямолинейна; в этом случае (рис. Вторая эпюра может иметь любое очертание (прямолинейное, ломаное или криволинейное).

Подставим значение в выражение

где - дифференциал площади эпюры (рис. 17.11).

Интеграл представляет собой статический момент площади эпюры относительно оси (рис. 17.11).

Этот статический момент можно выразить иначе:

где - абсцисса центра тяжести площади эпюры

Но так как (см. рис. 17.11)

(26.11)

Таким образом, результат перемножения двух эпюр равен произведению площади одной из них на ординату другой (прямолинейной) эпюры, взятую под центром тяжести площади первой эпюры.

Способ перемножения эпюр предложен в 1925 г. студентом Московского института инженеров железнодорожного транспорта А. Н. Верещагиным, а потому он называется правилом (или способом ) Верещагина.

Заметим, что левая часть выражения (26.11) отличается от интеграла Мора отсутствием в ней жесткости сечения . Следовательно, результат выполненного по правилу Верещагина перемножения эпюр для определения искомого перемещения надо разделить на величину жесткости.

Очень важно отметить, что ордината должна быть взята обязательно из прямолинейной эпюры. Если обе эпюры прямолинейны, то ординату можно взять из любой эпюры. Так, если требуется перемножить прямолинейные эпюры и (рис. 18.11, а), то не имеет значения, что взять: произведение площади эпюры на ординату под ее центром тяжести из эпюры или произведение Qkyt площади Q эпюры на ординату под (или над) ее центром тяжести из эпюры

Когда перемножаются две эпюры, имеющие вид трапеции, то не надо находить положение центра тяжести площади одной из них. Следует одну из эпюр разбить на два треугольника и умножить площадь каждого из них на ординату под его центром тяжести из другой эпюры. Например, в случае, приведенном на рис. 18.11, б, получим

(27.11)

В круглых скобках этой формулы произведение левых ординат обеих эпюр и произведение правых ординат берутся с коэффициентом, равным двум, а произведения ординат, расположенных с разных сторон, - с коэффициентом, равным единице.

С помощью формулы (27.11) можно перемножать эпюры, имеющие вид «перекрученных» трапеций; при этом произведения ординат, имеющих одинаковые знаки, берутся со знаком плюс, а разные - минус. В случае, например, показанном на рис. 18.11, б, результат перемножения эпюр в виде «перекрученной» и обычной трапеций равен , а в случае, показанном на рис. 18.11, г, равен

Формула (27.11) применима и тогда, когда одна или обе перемножаемые эпюры имеют вид треугольника. В этих случаях треугольник рассматривается как трапеция с одной крайней ординатой, равной нулю. Результат, например, перемножения эпюр, показанных на рис. 18.11, д, равен

Умножение эпюры в виде «перекрученной» трапеции на любую другую эпюру можно производить и расчленяя «перекрученную трапецию на два треугольника, как показано на рис. 18.11, е.

Когда одна из эпюр (рис. 19.11) очерчена по квадратной параболе (от равномерно распределенной нагрузки q), то ее для перемножения с другой эпюрой рассматривают как сумму (в случае, показанном на рис. 19.11, а) или разность (в случае, показанном на рис. 19.11,б) трапецеидальной и параболической эпюр

Результат перемножения эпюр, показанных на рис. 19.11, а, равен после подстановки в него получаем

Результат перемножения эпюр, показанных на рис. 19.11,б, равен после подстановки в него - и получаем

В обоих полученных выражениях в скобках стоят суммы произведений крайних ординат обеих эпюр с учетверенным произведением средних ординат.

Встречаются случаи, когда ни одна из перемножаемых эпюр не является прямолинейной, но одна из них (или обе) ограничена ломаными прямыми линиями. В этих случаях для перемножения эпюр предварительно разбивают их на такие участки, в пределах каждого из которых по крайней мере одна эпюра прямолинейна. Так, например, при перемножении эпюр, показанных на рис. 20.11, а,б, можно разбить их на два участка и представить результат перемножения в виде суммы Можно, перемножая эти же эпюры, разбить их на три участка, как показано на рис. 20.11, в,г; в этом случае результат перемножения эпюр равен

При использовании правила Верещагина приходится вычислять площади различных геометрических фигур и определять положения их центров тяжести. В связи с этим в табл. 1.11 приведены значения площадей и координаты центров тяжести наиболее часто встречающихся геометрических фигур.

В качестве примера рассмотрим применение способа Верещагина для определения прогиба точки С (под силой ) балки, изображенной на рис. 16.11, а; при этом учтем действие изгибающих моментов и поперечных сил.

Единичное состояние балки, а также эпюры внутренних усилий в ней, вызванных нагрузкой и единичной силой показаны на рис. 16.11,б,б,г,д,е.

По формуле (24.11), используя способ Верещагина при перемножении эпюр, находим

Этот результат совпадает с результатом, полученным путем интегрирования.

Определим теперь горизонтальное смещение точки С рамы, изображенной на рис. 21.11, а. Моменты инерции поперечных сечений стоек рамы и ригеля указаны на рисунке; .

Действительное состояние рамы изображено на рис. 21.11, а. Эпюра изгибающих моментов для этого состояния (грузовая эпюра) показана на рис. 21.11, б.

В единичном состоянии к точке С рамы приложена в направлении искомого перемещения (т. е. горизонтального) сила, равная единице.

Таблица 1.11

(см. скан)

Эпюра изгибающих моментов М для этого состояния (единичная эпюра) изображена на рис. 21.11, в.

Знаки изгибающих моментов на эпюрах могут не указываться, так как известно, что ординаты эпюр отложены со стороны сжатых волокон каждого элемента.

Перемножив по способу Верещагина грузовую эпюру с единичной (рис. 21.11,б, в) и учтя при этом различные значения моментов инерции поперечных сечений стоек и ригеля рамы, найдем искомое перемещение точки С:

Знак минус при перемножении эпюр взят потому, что эпюры и М расположены с различных сторон элементов рамы, и, следовательно, изгибающие моменты и М имеют разные знаки.

Отрицательное значение полученного перемещения точки С означает, что эта точка смещается не по направлению единичной силы (рис. 21.11, в), а в противоположную сторону, т. е. вправо.

Приведем теперь некоторые практические указания по применению интеграла Мора к различным случаям вычисления перемещений.

Определение перемещений в балках, жесткость сечений которых постоянна по всей длине или в пределах отдельных участков, целесообразно производить, вычисляя интеграл Мора по правилу Верещагина. То же относится и к рамам из прямолинейных стержней постоянной или ступенчато-переменной жесткости.

При жесткости сечений элемента конструкции, непрерывно изменяющейся по его длине, перемещения должны определяться путем непосредственного (аналитического) вычисления интеграла Мора. Такую конструкцию можно рассчитать приближенно, заменив ее системой с элементами ступенчато-переменной жесткости, после чего для определения перемещений использовать способ Верещагина.

Способ Верещагина может применяться не только при определении перемещений, но и при определении потенциальной энергии.

Определение перемещений в системах, состоящих из прямоли­нейных элементов постоянной жесткости, можно значительно упростить путем применения специального приема вычисления

интеграла вида

В связи с тем что в подын­тегральное выражение входит произведение уси­лий Мт и Мп, являющих­ся ординатами эпюр, пост­роенных для единичного и действительного состояний, этот прием называют спо­собом перемножения эпюр. Его можно использовать в -случае, когда одна из пе­ремножаемых эпюр, нап­ример Мт, прямолинейна; в этом случае (рис. 5.17)

Мm = (х + a) tg а.

Вторая эпюра М п может иметь любое очертание (прямолинейное, ломаное

или криволинейное).

Подставим значение М m в выражение

где М п dx= dΩ n - дифференциал площади Ω n эпюры М n (рис. 5.17),

Интеграл представляет собой статический момент площади Ω n эпюры М п относительно оси 0-0" (рис. 5.17). Этот статический момент можно выразить иначе:

где хс-абсцисса центра тяжести площади эпюры Мn. Тогда

Но так как (см. рис. 5.17)

(5.26)

Таким образом, результат перемножения двух эпюр равен про­изведению площади одной из них на ординату ус другой (прямоли­нейной) эпюры, взятую под центром тяжести площади первой эпюры.

Способ перемножения эпюр предложен в 1925 г. студентом Мос­ковского института инженеров железнодорожного транспорта А. К. Верещагиным, а потому он называется правилом (или спосо­бом) Верещагина,

Заметим, что левая часть выражения (5.26) отличается от ин­теграла Мора отсутствием в ней жесткости сечения EJ. Следова­тельно, результат выполнения по правилу Верещагина перемноже­ния эпюр для определения искомого перемещения надо разделить на жесткость.

Очень важно отметить, что ордината ус должна быть взята обя­зательно из прямолинейной эпюры. Если обе эпюры прямолиней­ны, то ординату можно взять из любой эпюры. Так, если требуется перемножить прямолинейные эпюры Mi а Мк (рис. 518, а), то не имеет значения, что взять: произведение yk площади эпюры Mi на ординату yk под ее центром тяжести из эпюры Мк или про­изведение Ω_k yi площади эпюры М k на ординату уi под (или над) ее центром тяжести из эпюры Мг.

Когда перемножаются две эпюры, имеющие вид трапеции, то не надо находить положение центра тяжести площади одной из них. Следует одну из эпюр разбить на два треугольника и умножить площадь каждого из них на ординату под его центром тяжести из другой эпюры. Например, в случае, приведенном на рис. 518, б, получим

В круглых скобках этой формулы произведение ас левых орди­нат обеих эпюр и произведение bd правых ординат берутся с коэф­фициентом, равным двум» а произведения ad и bc ординат, расположенных с разных сторон,- с коэффициентом, равным единице.

С помощью формулы (5.27) можно перемножать эпюры, имеющие вид «перекрученных» трапеций; при этом произведения ординат, имеющих одинаковые знаки, берутся со знаком плюс, а разные - -минус. В случае, например, показанном на рис. 5.18,в, результат перемножения эпюр в виде «перекрученной» и обычной трапеций равен (l/6) (2ac-2bd+ad-bc), а в случае, показанном на рис. 5.18, г, равен (l/6) (-2ac-2bd+ad+bc).

Формула (5.27) применима и тогда, когда одна или обе перемно­жаемые эпюры имеют вид треугольника. В этих случаях треуголь­ник рассматривается как трапеция с одной крайней ординатой, равной нулю. Результат, например, перемножения эпюр, показан­ных на рис. 5.18, д, равен (l/6) (2ac+ad).

Умножение эпюры в виде «перекрученной» трапеции на любую другую эпюру можно производить и расчленяя «перекрученную» трапецию на два треугольника, как показано на рис. 5.18, е.

Лекция № 6. Расчет статически неопределимых плоских стержневых систем: балок, рам, ферм.

План лекции:

1. Метод сил.

1.1. Основная система. Основные неизвестные.

1.2. Система канонических уравнений метода сил для расчета на действие внешней нагрузки.

1.3. Расчет статически неопределимых систем методом сил.

2. Метод перемещений.

2.1. Выбор неизвестных и определение их числа.

2.2. Определение числа неизвестных

2.3. Основная система

2.4. Канонические уравнения

3. Основы расчета систем методом конечных элементов.

Определение перемещений. Метод О. Мора в сочетании со способом (формулой) Симпсона

Для определения любого перемещения (линейного или углового) в методе Мора балка рассматривается в двух состояниях: действительном и вспомогательном. Вспомогательное состояние получается следующим образом: сначала всю заданную нагрузку нужно удалить, затем приложить «единичный силовой фактор» в том месте, где требуется определить перемещение , и по направлению этого искомого перемещения. Причем, когда определяем линейное перемещение (прогиб балки), то в качестве «единичного силового фактора» принимается сосредоточенная сила , а если требуется найти угол поворота , то приложить следует сосредоточенную пару.

Далее в одном и том же произвольном сечении обоих состояний (то есть и действительного, и вспомогательного) составляются аналитические выражения изгибающего момента, которые подставляются в формулу, называемую «интегралом Мора»:

где: знак Σ распространяется на все участки балки,

а EI – изгибная жесткость на участке.

Во многих случаях интегрирования по Мору можно избежать и применить способ «перемножения» эпюр . Одним из таких способов является способ Симпсона, по которому значение интеграла Мора на участке длиной ℓ вычисляется по следующей формуле:

Здесь обозначено: a , b и с – соответственно крайние и средняя ординаты эпюры изгибающих моментов действительного состояния М ,

– крайние и средняя ординаты эпюры изгибающих моментов, но только вспомогательного состояния.

Правило знаков: если обе «перемножаемые» ординаты в двух эпюрах расположены по одну сторону от оси эпюры (то есть они одного знака ), то перед их произведением мы должны поставить знак «плюс : а если они по разные стороны от оси эпюры, то перед произведением ставим знак «минус».

Следует иметь в виду, что способы «перемножения» эпюр (кроме способа Симпсона известен еще способ Верещагина ) применимы только при наличии двух условий:

1. Изгибная жесткость балки на рассматриваемом участке должна быть постоянной (EI = Const ),
2. Одна из двух эпюр моментов на этом участке должна быть обязательно линейной . При этом обе эпюры не должны в пределах данного участка иметь перелома.

При наличии нескольких участков на балке, удовлетворяющих указанным двум условиям, формула для определения перемещений принимает вид:

Если результат вычисления получается положительным , то, следовательно, направление искомого перемещения совпадает с направлением «единичного силового фактора» (), а если результат отрицательный, значит искомое перемещение происходит в направлении, противоположном этому фактору.

Формула Симпсона, записанная через моменты , выглядит следующим образом: перемещения (прогиб или угол поворота) равны

где li – длина участка ;

EIi – жесткость балки на участке;

M F – значения изгибающих моментов с грузовой эпюры , соответственно участка;

– значения изгибающих моментов с единичной эпюры, соответственно в начале, в середине и в конце участка.

При перемножении эпюр будет полезным для определения ординат эпюр изгибающих моментов:

, где

Задача

Определить угол поворота сечения на левой опоре φ А

1) Находим опорные реакции действительного состояния .

2) Строим эпюру моментов действительного состояния М .

3) Выбираем вспомогательное состояние для определения угла поворота φ А.

4) Находим опорные реакции вспомогательного состояния

«Реагируем» на знак «минус».

5) Строим эпюру моментов вспомогательного состояния :

6) «Перемножаем» эпюры

Поскольку одна из них (а именно) линейна на всем пролете и не имеет перелома, а эпюра М тоже без перелома, то в формуле Симпсона будет всего один участок, и тогда

Знак «плюс» говорит о том, что сечение А поворачивается в сторону «единичного момента»

prosopromat.ru

Формула Симпсона для определения перемещений

Для определения перемещения по формуле Симпсона необходимо:

1. Построить грузовую эпюру моментов (эпюру моментов от действия всех внешних нагрузок).
2. Построить единичную эпюру моментов. Для этого в сечении, где нужно определить линейное перемещение (прогиб) приложить единичную силу, а для определения углового перемещения - единичный момент, и от данного единичного фактора построить эпюру изгибающих моментов.
3. Перемножить эпюры (грузовую и единичную) по формуле, которая называется формулой Симпсона:

где l i – длина участка ;

EI i – жесткость балки на участке ;

грузовой эпюры, соответственно

– значения изгибающих моментов с единичной эпюры, соответственно

Если ординаты эпюр расположены с одной стороны от оси балки, то при перемножении учитывается знак «+», если с разных, то знак «-».

prosopromat.ru

2.8 Основные варианты перемножения эпюр

Очевидно, что разнообразие приложенных
нагрузок и геометрических схем
конструкций приводит к различным, с
точки зрения геометрии, перемножаемым
эпюрам. Для реализации правила Верещагина
нужно знать площади геометрических
фигур и координаты их центров тяжести.
На рис.29 представлены некоторые основные
варианты, возникающие в практических
расчетах.

Для перемножения эпюр сложной формы
их необходимо разбивать на простейшие.
Например, для перемножения двух эпюр,
имеющих вид трапеции, нужно одну из них
разбить на треугольник и прямоугольник,
умножить площадь каждого из них на
ординату второй эпюры, расположенную
под соответствующим центром тяжести,
и результаты сложить. Аналогично
поступают и для умножения криволинейной
трапеции на любую линейную эпюру.

Если указанные выше действия проделать
в общем виде, то получим для таких
сложных случаев формулы, удобные для
использования в практических расчетах
(рис.30). Так, результат перемножения
двух трапеций (рис.30,а):

Рис. 29

По формуле (2.21) можно перемножить и
эпюры, имеющих вид “перекрученных”
трапеций (рис.30,б), но при этом произведение
ординат, расположенных по разные стороны
от осей эпюр, учитывается со знаком
минус.

Если одна из перемножаемых эпюр очерчена
по квадратной параболе (что соответствует
нагружению равномерно распределенной
нагрузкой), то для перемножения со
второй (обязательно линейной) эпюрой
ее рассматривают как сумму (рис.30,в) или
разность (рис.30,г) трапециидальной и
параболической эпюр. Результат
перемножения в обоих случаях определяется
формулой:

но значение f при этом определяется
по-разному (рис. 30, в, г).

Рис. 30

Возможны случаи, когда ни одна из
перемножаемых эпюр не является
прямолинейной, но хотя бы одна из них
ограничена ломаными прямыми линиями.
Для перемножения таких эпюр их
предварительно разбивают на участки,
в пределах каждого из которых по крайней
мере одна эпюра являетя прямолинейной.

Рассмотрим использование правила
Верещагина на конкретных примерах.

Пример 15. Определить прогиб в
середине пролета и угол поворота левого
опорного сечения балки, нагруженной
равномерно распределенной нагрузкой
(рис.31,а), способом Верещагина.

Последовательность расчета способом
Верещагина – такая же, как и в методе
Мора, поэтому рассмотрим три состояния
балки: грузовое – при действии
распределенной нагрузки q; ему
соответствует эпюра M q (рис.31,б),
и два единичных состояния – при действии
силы
приложенной в точке С (эпюра
,
рис.31,в), и момента
,
приложенного в точке В (эпюра
,
рис.31,г).

Прогиб балки в середине пролета:

Аналогичный результат был получен
ранее методом Мора (см. пример 13). Следует
обратить внимание на тот факт, что
перемножение эпюр выполнялось для
половины балки, а затем, в силу симметрии,
результат удваивался. Если же площадь
всей эпюры M q умножить на
расположенную под ее центром тяжести
ординату эпюры
(
на
рис.31,в), то величина перемещения будет
совершенно иной и неправильной так как
эпюра
ограничена ломаной линией. На
недопустимость такого подхода уже
указывалось выше.

А при вычислении угла поворота сечения
в точке В можно площадь эпюры M q умножить на расположенную под ее центром
тяжести ординату эпюры
(
,
рис.31,г), так как эпюра
ограничена прямой линией:

Этот результат также совпадает с
результатом, полученным ранее методом
Мора (см. пример 13).

Рис. 31

Пример 16. Определить горизонтальное
и вертикальное перемещения точки А в
раме (рис.32,а).

Как и в предыдущем примере, для решения
задачи необходимо рассмотреть три
состояния рамы: грузовое и два единичных.
Эпюра моментов M F , соответствующая
первому состоянию, представлена на
рис.32,б. Для вычисления горизонтального
перемещения прикладываем в точке А по
направлению искомого перемещения (т.е.
горизонтально) силу
,
а для вычисления вертикального
перемещения силу
прикладываем вертикально (рис.32,в,д).
Соответствующие эпюры
и
показаны на рис.32,г,е.

Горизонтальное перемещение точки А:

При вычислении

на участке АВ трапеция (эпюра M F)
разбита на треугольник и прямоугольник,
после чего треугольник с эпюры
“умножен”
на каждую из этих фигур. На участке ВС
криволинейная трапеция разделена на
криволинейный треугольник и прямоугольник,
а для перемножения эпюр на участке СД
использована формула (2.21).

Знак ” – “, полученный при вычислении

,
означает, что точка А перемещается по
горизонтали не влево (в этом направлении
приложена сила
),
а вправо.

Здесь знак ” – ” означает, что точка
А перемещается вниз, а не вверх.

Отметим, что единичные эпюры моментов,
построенные от силы

,
имеют размерность длины, а единичные
эпюры моментов построенные от момента
,
являются безразмерными.

Пример 17. Определить вертикальное
перемещение точки А плоско-пространственной
системы (рис.33,а).

Рис.23

Как известно (см. гл.1), в поперечных
сечениях стержней плоско-пространственной
системы возникают три внутренних
силовых фактора: поперечная сила Q y ,
изгибающий момент M x и крутящий
момент M кр. Так как влияние
поперечной силы на величину перемещения
незначительно (см. пример 14,
рис.27), то при вычислении перемещения
методом Мора и Верещагина из шести
слагаемых остаются только два.

Для решения задачи построим эпюры
изгибающих моментов M x,q и крутящих
моментов М кр,q от внешней нагрузки
(рис.33,б), а затем в точке А приложим силу
по направлению искомого перемещения,
т.е. вертикального (рис.33,в), и построим
единичные эпюры изгибающих моментов
и крутящих моментов
(рис.33,г).
Стрелками на эпюрах крутящих моментов
показаны направления закручивания
соответствующих участков
плоско-пространственной системы.

Вертикальное перемещение точки А:

При перемножении эпюр крутящих моментов
произведение берется со знаком “+”,
если стрелки, указывающие направление
кручения, сонаправленны, и со знаком ”
– ” – в противном случае.

studfiles.net

Перемножение эпюр способом Верещагина

Для вы­числения необходимо провести сле­дующие операции:

1. Построить эпюры изгибающих моментов Мр и Мк соответственно от заданного и единичного нагружений балки. При сложном нагружении балки (фиг. 19, а) следует: либо эпюру Мр разбить на простейшие части, для которых величина площади и по­ложение центра тяжести известны (фиг. 19, б), либо (предпочтительно) построить эпюру Мр в расслоенном виде (фиг. 19, в).

Если балка ступенчато переменного сечения, эпюра Мр должна быть, кроме того, разбита на участки, в пре­делах которых жесткость сечения по­стоянна.

2. На каждом участке помножить площадь ω одной из эпюр (например, эпюры Мр) на ординату Мс другой эпюры (например, эпюры Мк) под центром тяжести первой эпюры и по­лученное произведение разделить на коэффициент ступенчатости j.

При этом ордината Мс должна быть взята на эпюре, которая на рассматриваемом участке меняется по линейному закону (без излома). Если же эпюра является лома­ной, ее следует разбить на участки, в пределах которых она окажется линейной.

3. Вычислить сумму слагаемых, ука­занных в п. 2.

Формула для определения переме­щения по рассматриваемому способу

где суммирование производят по всем участкам балки

Площади и координаты центров тя­жести некоторых эпюр даны в табл. 11. Результаты перемножения часто встре­чающихся грузовых и единичных эпюр приведены в табл. 12.

Пример. Определить угол поворота се­ чения В ступенчатой балки (см.фиг. 19, а).

Определив опорные реакций Аи В, построим эпюру Мр на фиг. 19, б и в изо­бражены нерасслоенная и расслоенная эпю­ры Мр. Приложив к точке В освобожденной от нагрузки балки единичный момент, по­строим единичную эпюру М1 (фиг, 19. г).

Используя расслоенную эпюру Мр,по формуле 36 и табл. 12 определяем искомый угол поворота сечения В:

Фиг. 20

Пример. Определить прогиб в точке К балки постоянного поперечного сечения (фиг. 20, а).

Приложив к точке К,освобожденной от заданной нагрузки балки, единичную силу, построим единичную эпюру изгибающих мо­ментов Мк (фиг. 20, б).
Определив опорные реакции от заданной нагрузки

отрежем консоль и заменим ее силой qa и моментом (фиг. 20, в).

Построим, эпюру М расслоенной (от каждого вида нагрузки в отдельности), под­ходя к месту излома единичной эпюры Мк с двух сторон (фиг. 20, i ).

По формуле (36) с использованием табл. 12 определяем искомое перемещение

Заказать решение Способ оплаты

funnystudy.ru

Определение перемещений в балке по формуле Симпсона

Для балки определить линейные и угловые перемещения в точках A, B, C, предварительно подобрав сечение двутавра из условия прочности.

Дано: a =2 м, b =4 м, с=3 м, F =20 кН, М=18 кН м, q =6 кН/м, σ adm =160 МПа, Е=2 10 5 МПа

1) Вычерчиваем схему балки, определяем опорные реакции. В жёсткой заделке возникает 3 реакции - вертикальная и горизонтальная , а так же опорный момент. Поскольку горизонтальных нагрузок нет – соответствующая реакция равна нулю. Для того, чтобы найти реакции в точке E, составим уравнения равновесия.

∑F y = 0 q7-F+R E =0

R E =-q7+F=-67+20=-22кН (знак говорит о том, что

Найдем опорный момент в жесткой заделке , для чего решим уравнение моментов относительно любой выбранной точки.

∑M C: -M E -R E 9-F6-q77/2-M=0

M E =-18-229+649/2=-18-198+147=-69кНм (знак говорит о том, что реакция направлена в обратную сторону, показываем это на схеме)

2) Строим грузовую эпюру M F – эпюру моментов от заданной нагрузки.

Для построения эпюр моментов найдем моменты в характерных точках . В точке В определяем моменты как от правых, так и от левых сил , поскольку в этой точке приложен момент.

Для построения эпюры момента на линии действия распределенной нагрузки (участки АВ и ВС ) нам нужны дополнительные точки для построения кривой. Определим моменты в серединах этих участков. Это моменты в серединах участков АВ и ВС 15,34 кНм и 23,25кНм . Строим грузовую эпюру.

3) Для определения линейных и угловых перемещений в точке необходимо приложить в этой точке, в первом случае, единичную силу (F=1) и построить эпюру моментов, во втором случае, единичный момент (M=1 ) и построить эпюру моментов. Строим эпюры от единичных нагрузок для каждой точки – А, В и С.

4) Для нахождения перемещений мы используем формулу Симпсона.

где l i – длина участка;

EI i – жесткость балки на участке;

M F – значения изгибающих моментов с грузовой эпюры , соответственно в начале, в середине и в конце участка;

– значения изгибающих моментов с единичной эпюры , соответственно в начале, в середине и в конце участка.

Если ординаты эпюр расположены с одной стороны от оси балки, то при перемножении учитывается знак «+», если с разных, то знак «-».

Если результат получился со знаком «-», значит искомое перемещение по направлению не совпадает с направлением соответствующего единичного силового фактора.

Рассмотрим применение формулы Симпсона на примере определения перемещений в точке А.

Определим прогиб, перемножив грузовую эпюру на эпюру от единичной силы.

Прогиб получился со знаком «-», значит искомое перемещение по направлению не совпадает с направлением единичной силы (направлено вверх).

Определим угол поворота , перемножив грузовую эпюру на эпюру от единичного момента.

Угол поворота получился со знаком «-», значит искомое перемещение по направлению не совпадает с направлением соответствующего единичного момента (направлен против часовой стрелки).

5) Для определения конкретных значений перемещений требуется подобрать сечение. Подберем сечение двутавра

где M max – это максимальный момент на грузовой эпюре моментов

Подбираем по сортаменту двутавр №30 с W x =472см 3 и I x = 7080см 4

6) Определяем перемещения в точках, раскрывая жесткость сечения: E – модуль продольной упругости материала или модуль Юнга (2 10 5 МПа), J x – осевой момент инерции сечения

Прогиб в точке А (вверх)

Угол поворота (против часовой стрелки)

Если требуется построить изогнутую ось балки , то балка вычерчивается без нагрузки, и в точках откладываются прогибы в соответствующие стороны - строится плавная кривая – изогнутая ось балки.

prosopromat.ru

Перемножение эпюр по правилу, методу или способу Мора-Верещагина

Привет! В этой статье будем учиться определять перемещения поперечных сечений при изгибе: прогибы и углы поворотов, по методу (способу, правилу) Верещагина. Причем, это правило широко используется не только при определении перемещений, но и при раскрытии статической неопределимости систем по методу сил. Я расскажу, о сути этого метода, как перемножаются эпюры различной сложности и когда выгодно пользоваться этим методом.

Что нужно знать для успешного освоения материалов данного урока?

Обязательно нужно знать, как строится эпюра изгибающих моментов, т.к. в этой статье будем работать с данной эпюрой.

Верещагин и его метод, правило или способ

А.К. Верещагин в 1925г. предложил более простой способ решения (формулы) интеграла Мора. Он предложил вместо интегрирования двух функций перемножать эпюры: умножать площадь одной эпюры на ординату второй эпюры под центром тяжести первой. Этим способом можно пользоваться, когда одна из эпюр прямолинейна, вторая может быть любой. Кроме того, ордината берется прямолинейной эпюры. Когда эпюры обе прямолинейны, то тут совсем не важно, чью брать площадь, а чью ординату. Таким образом, эпюры по Верещагину перемножаются по следующей формуле:​

\({ V={ M }_{ F } }\cdot \overline { M } ={ \omega }_{ C }\cdot { \overline { M } }_{ C } \)​

Проиллюстрировано перемножение эпюр по Верещагину: C - центр тяжести первой эпюры, ωс - площадь первой эпюры, Mc - ордината второй эпюры под центром тяжести первой.

Площадь и центр тяжести эпюр

При использовании метода Верещагина, берется не сразу вся площадь эпюры, а частями, в пределах участков. Эпюра изгибающих моментов расслаивается на простейшие фигуры.

Любую эпюру можно расслоить всего на три фигуры: прямоугольник, прямоугольный треугольник и параболический сегмент.

Перемножение эпюр по Верещагину

В этом блоке статьи покажу частные случаи перемножения эпюр по Верещагину.

Прямоугольник на прямоугольник

​\({ V={ M }_{ F } }\cdot \overline { M } ={ b\cdot h\cdot c } \)​

Прямоугольник на треугольник

​\({ V={ M }_{ F } }\cdot \overline { M } ={ b\cdot h\cdot \frac { 1 }{ 2 } \cdot c } \)​

Треугольник на прямоугольник

​\({ V={ M }_{ F } }\cdot \overline { M } ={ \frac { 1 }{ 2 } \cdot b\cdot h\cdot c } \)​

Сегмент на прямоугольник

​\({ V={ M }_{ F } }\cdot \overline { M } ={ \frac { q\cdot { l }^{ 3 } }{ 12 } \cdot c } \)​

Сегмент на треугольник

​\({ V={ M }_{ F } }\cdot \overline { M } ={ \frac { q\cdot { l }^{ 3 } }{ 12 } \cdot \frac { 1 }{ 2 } \cdot c } \)​

Частные случаи расслоения эпюр на простые фигуры

В этом блоке статьи покажу частные случаи расслоения эпюр на простые фигуры, для возможности их перемножения по Верещагину.

Прямоугольник и треугольник

Два треугольника

Два треугольника и сегмент

Треугольник, прямоугольник и сегмент

Пример определения перемещений: прогибов и углов поворотов по Верещагину

Теперь предлагаю рассмотреть конкретный пример с расчетом перемещений поперечных сечений: их прогибов и углов поворотов. Возьмем стальную балку, которая загружена всевозможными типами нагрузок и определим прогиб сечения C, а также угол поворота сечения A.

Построение эпюры изгибающих моментов

В первую очередь, рассчитываем и строим эпюру изгибающих моментов:

Построение единичных эпюр моментов

Теперь для каждого искомого перемещений необходимо приложить единичную нагрузку (безразмерную величину равную единице) и построить единичные эпюры:

• Для прогибов, прикладываются единичные силы.
• Для углов поворотов, прикладываются единичные моменты.

Причем направление этих нагрузок не важно! Расчет покажет верное направление перемещений.

Например, после расчета величина прогиба получилась положительной, это значит, что направление перемещения сечения совпадает с направлением ранее прикладываемой силы. Тоже самое касается и углов поворотов.

Перемножение участков эпюры по Верещагину

После проведения всех подготовительных работ: построения эпюры изгибающих моментов, расслоения ее на элементарные фигуры и построения единичных эпюр от нагрузок, приложенных в местах и направлении искомых перемещений, можно переходить непосредственно к перемножению соответствующих эпюр.

Как уже было написано выше, линейные эпюры можно перемножать в любом порядке, то есть брать площадь любой эпюры: основной или единичной, и умножать на ординату другой. Но обычно, чтобы не путаться в расчетах, площади берут основной эпюры изгибающих моментов , в этом уроке будем придерживаться этого же правила.

Определение прогиба сечения С

Перемножаем соответствующие эпюры слева направо и вычисляем прогиб сечения C по методу Мора - Верещагина:

\[ { V }_{ C }=\frac { 1 }{ E{ I }_{ x } } (\frac { 1 }{ 2 } \cdot 6\cdot 3\cdot \frac { 2 }{ 3 } \cdot 2+\frac { 1 }{ 2 } \cdot 6\cdot 2\cdot \frac { 2 }{ 3 } \cdot 2)=\frac { 20кН{ м }^{ 3 } }{ E{ I }_{ x } } \]

Представим, что рассчитываемая балки имеет поперечное сечение в виде двутавра №24 по ГОСТ 8239-89, тогда прогиб балки будет равен:

\[ { V }_{ C }=\frac { 20кН{ м }^{ 3 } }{ E{ I }_{ x } } =\frac { 20\cdot { 10 }^{ 9 }Н\cdot { см }^{ 3 } }{ 2\cdot { 10 }^{ 7 }\frac { Н }{ { см }^{ 2 } } \cdot 3460{ см }^{ 4 } } =0.289см \]

Определение угла поворота сечения С

Перемножаем соответствующие эпюры слева направо и вычисляем угол поворота сечения C по правилу Мора - Верещагина:

\[ { \theta }_{ C }=\frac { 1 }{ E{ I }_{ x } } (-\frac { 1 }{ 2 } \cdot 6\cdot 3\cdot \frac { 1 }{ 3 } \cdot 1)=-\frac { 3кН{ м }^{ 2 } }{ E{ I }_{ x } } \]

\[ { { \theta } }_{ C }=-\frac { 3кН{ м }^{ 2 } }{ E{ I }_{ x } } =-\frac { 3\cdot { 10 }^{ 7 }Н\cdot { см }^{ 3 } }{ 2\cdot { 10 }^{ 7 }\frac { Н }{ { см }^{ 2 } } \cdot 3460{ см }^{ 4 } } =-0.0004рад \]

sopromats.ru

Формулы трапеций и Симпсона

Воспользуемся
правилом Верещагина для перемножения
двух прямолинейных эпюр, имеющих вид
трапеций. Разобьем обе трапеции на
треугольники, у которых площади и
положения центров тяжести легко
определяются.

Эпюра
M F

ω 1

C 1 C 2

ω 2

Эпюра

Мы
получили формулу
трапеций,
согласно
которой произведения соответствующих
левых и правых ординат эпюр необходимо
удвоить, а произведения перекрестных
ординат взять одинарными, и полученную
сумму умножить на одну шестую длины
эпюр.

Рассмотрим
случай, когда грузовая эпюра представлена
квадратной параболой, а единичная эпюра
– трапецией.

ω П.С.

Наряду
с крайними ординатами укажем и средние.

Разобьем
криволинейную эпюру на трапецию и
параболический сегмент.

Произведем
перемножение соответствующих фигур.

Выражение
I Т
у нас имеется. Найдем
.

Площадь
параболического сегмента:

Ордината
единичной эпюры под центром тяжести
параболического сегмента:

После
подстановки получаем формулу
Симпсона:

Произведение
двух эпюр равно сумме произведений
крайних ординат и учетверенному
произведению средних ординат, умноженной
на одну шестую длины эпюр.

§7. Силовой расчет статически неопределимых стержневых систем (снс).

Статически
неопределимые системы (СНС) имеют
преимущества и недостатки по сравнению
со статически определимыми системами
(СОС).

Достоинства:

СНС
обладают большей живучестью при
эксплуатации под нагрузкой, чем СОС. В
СОС все элементы практически
равнонапряжены, и поэтому они имеют
резервы прочности только в пределах
коэффициента запаса k
=1,5
– 2. Если хотя бы один элемент перейдет
в предельное состояние, вся конструкция
получит недопустимые с точки зрения
норм расчета деформации или разрушится.
СНС – это неравнонапряженная конструкция
и при переходе наиболее напряженного
элемента в предельное состояние,
происходит перераспределение усилий
от возросшей нагрузки на менее напряженные
элементы.

СНС,
в силу наличия лишних связей и избыточной
жесткости отдельных элементов, менее
деформативны, чем СОС, т.е. в них меньше
линейные угловые перемещения.

Недостатки:

СНС
более сложны в расчете, чем СОС, что
объясняется наличием избыточных
(лишних) связей. Трудоемкость расчета
СНС пропорциональна третьей степени
количества лишних связей, т.е.
.
Например, если для двух системn 1 =1,
n 2 =4 ,
то
t 1 = α ,
t 2 =64α ,
т.е. время расчета возрастает в 64 раза.

В
СНС распределение усилий в элементах
зависит от их геометрических размеров,
определение которых, в свою очередь,
является основной задачей сопротивления
материалов. Таким образом, возникает
необходимость априорного назначения
изгибных жесткостей и поперечных
сечений отдельных стержней: (EY ) k =α k (EY ),
что приводит к неоднозначности
конструктивных решений.

Более
удачные назначения жесткостей, зависящие
от понимания сущности задач сопротивления
материалов, приведет к созданию более
оптимальных конструкций.

В
СНС возможно появление трудно
предсказуемого по величине
напряженно-деформированного состояния,
вызванного температурными изменениями
и независимой осадкой опор. Изменение
температуры одного из элементов вызывает
появление температурных напряжений
во всех стержнях СНС. Равно как неточность
изготовления одного из стержней или
смещение одной связи вызывает появление
монтажных напряжений во всех стержнях.
В СОС таких напряжений не возникает.

Рассмотрим
основные методы расчета СНС при
статическом воздействии нагрузок.