Вълнова функция, или пси функция ψ (\displaystyle \psi )- функция с комплексни стойности, използвана в квантовата механика за описание на чистото състояние на система. Е коефициентът на разширение на вектора на състоянието върху база (обикновено координатна):
|
ψ (t) ⟩ = ∫ Ψ (x, t) | x ⟩ d x (\displaystyle \left|\psi (t)\right\rangle =\int \Psi (x,t)\left|x\right\rangle dx)Къде | x⟩ = |
x 1 , x 2 , … , x n ⟩ (\displaystyle \left|x\right\rangle =\left|x_(1),x_(2),\ldots ,x_(n)\right\rangle )
е координатният базисен вектор, и Ψ(x, t) = ⟨x |ψ (t) ⟩ (\displaystyle \Psi (x,t)=\langle x\left|\psi (t)\right\rangle )
- вълнова функция в координатно представяне.Нормализация на вълновата функция
Вълнова функция
Ψ (\displaystyle \Psi ) по смисъл трябва да отговаря на така нареченото условие за нормализиране, например в координатното представяне, имащо формата:∫ V Ψ ∗ Ψ d V = 1 (\displaystyle (\int \limits _(V)(\Psi ^(\ast )\Psi )dV)=1) Това условие изразява факта, че вероятността за намиране на частица с дадена вълнова функция навсякъде в пространството е равна на единица. В общия случай интегрирането трябва да се извърши върху всички променливи, от които зависи вълновата функция в дадено представяне.Принцип на суперпозиция на квантовите състояния
За вълновите функции е валиден принципът на суперпозицията, който се състои в това, че ако една система може да бъде в състояния, описани от вълнови функцииΨ 1 (\displaystyle \Psi _(1)) и∫ V Ψ ∗ Ψ d V = 1 (\displaystyle (\int \limits _(V)(\Psi ^(\ast )\Psi )dV)=1) Ψ 2 (\displaystyle \Psi _(2)).
, тогава може да бъде и в състояние, описано от вълновата функция Ψ Σ = c 1 Ψ 1 + c 2 Ψ 2 (\displaystyle \Psi _(\Sigma )=c_(1)\Psi _(1)+c_(2)\Psi _(2)).
В това състояние квадратът на модула на коеф c n (\displaystyle (c)_(n))определя вероятността, когато се измерва, системата да бъде открита в състояние, описано от вълновата функция Ψ n (\displaystyle (\Psi )_(n)).
Следователно, за нормализирани вълнови функции ∑ n = 1 N |.
c n |
2 = 1 (\displaystyle \sum _(n=1)^(N)\left|c_(n)\right|^(2)=1) Условия за редовност на вълновата функция
Вероятностното значение на вълновата функция налага определени ограничения или условия върху вълновите функции в проблемите на квантовата механика. Тези стандартни условия често се наричатусловия за редовност на вълновата функция. Вълнова функция в различни представяниясъстояния се използват в различни представяния - ще съответстват на израза на един и същ вектор в различни координатни системи. Други операции с вълнови функции също ще имат аналози на езика на векторите. Във вълновата механика се използва представяне, където аргументите на пси функцията са пълната система непрекъснатокомутиращи наблюдаеми, а матричното представяне използва представяне, където аргументите на пси функцията са пълната система
дискретни пътуващи наблюдатели. Следователно функционалните (вълнови) и матричните формулировки са очевидно математически еквивалентни.
ВЪЛНОВА ФУНКЦИЯ, в КВАНТОВАТА МЕХАНИКА, функция, която ви позволява да намерите вероятността една квантова система да е в някакво състояние s в момент t. Обикновено се пише: (s) или (s, t). Вълновата функция се използва в уравнението на Шрьодингер... Научно-технически енциклопедичен речник
ВЪЛНОВА ФУНКЦИЯСъвременна енциклопедия Вълнова функция
ВЪЛНОВА ФУНКЦИЯ, в КВАНТОВАТА МЕХАНИКА, функция, която ви позволява да намерите вероятността една квантова система да е в някакво състояние s в момент t. Обикновено се пише: (s) или (s, t). Вълновата функция се използва в уравнението на Шрьодингер...- ВЪЛНОВА ФУНКЦИЯ, в квантовата механика основното количество (в общия случай комплексно), което описва състоянието на система и позволява да се намерят вероятностите и средните стойности на физическите величини, характеризиращи тази система. Квадрат на вълнов модул... ... Илюстрован енциклопедичен речник
ВЪЛНОВА ФУНКЦИЯ, в КВАНТОВАТА МЕХАНИКА, функция, която ви позволява да намерите вероятността една квантова система да е в някакво състояние s в момент t. Обикновено се пише: (s) или (s, t). Вълновата функция се използва в уравнението на Шрьодингер...- (вектор на състоянието) в квантовата механика е основното количество, което описва състоянието на системата и позволява да се намерят вероятностите и средните стойности на физическите величини, които я характеризират. Квадратният модул на вълновата функция е равен на вероятността за даден... ... Голям енциклопедичен речник
- в квантовата механика (амплитуда на вероятността, вектор на състоянието), количество, което напълно описва състоянието на микрообект (електрон, протон, атом, молекула) и всеки квант като цяло. системи. Описание на състоянието на микрообект с помощта на V. f. има......- - [L.G.Sumenko. Английско-руски речник по информационни технологии. М .: Държавно предприятие ЦНИИС, 2003.] Теми информационни технологии като цяло EN вълнова функция ... Ръководство за технически преводач
- в квантовата механика (амплитуда на вероятността, вектор на състоянието), количество, което напълно описва състоянието на микрообект (електрон, протон, атом, молекула) и всеки квант като цяло. системи. Описание на състоянието на микрообект с помощта на V. f. има......- (амплитуда на вероятността, вектор на състоянието), в квантовата механика основното количество, което описва състоянието на системата и позволява да се намерят вероятностите и средните стойности на физическите величини, които я характеризират. Квадратният модул на вълновата функция е... ... Енциклопедичен речник
- в квантовата механика (амплитуда на вероятността, вектор на състоянието), количество, което напълно описва състоянието на микрообект (електрон, протон, атом, молекула) и всеки квант като цяло. системи. Описание на състоянието на микрообект с помощта на V. f. има......- banginė funkcija statusas T sritis fizika atitikmenys: англ. вълнова функция vok. Wellenfunktion, рус. вълнова функция, f; вълнова функция, f пранц. fonction d’onde, f … Fizikos terminų žodynas
- в квантовата механика (амплитуда на вероятността, вектор на състоянието), количество, което напълно описва състоянието на микрообект (електрон, протон, атом, молекула) и всеки квант като цяло. системи. Описание на състоянието на микрообект с помощта на V. f. има......- banginė funkcija statusas T sritis chemija apibrėžtis Dydis, apibūdinantis mikrodalelių ar jų sistemų fizikinę būseną. атитикменис: англ. вълнова функция рус. вълнова функция... Chemijos terminų aiškinamasis žodynas
ВЪЛНОВА ФУНКЦИЯ, в КВАНТОВАТА МЕХАНИКА, функция, която ви позволява да намерите вероятността една квантова система да е в някакво състояние s в момент t. Обикновено се пише: (s) или (s, t). Вълновата функция се използва в уравнението на Шрьодингер...- сложна функция, която описва състоянието на квантовата механика. система и ви позволява да намерите вероятности и вж. значенията на физическите характеристики, които характеризира. количества Квадратен модул V. f. е равна на вероятността за дадено състояние, следователно V.f. наречен също амплитуда..... Естествознание. Енциклопедичен речник
Книги
- , Б.К.Новосадов. Монографията е посветена на последователно представяне на квантовата теория на молекулярните системи, както и на решението на вълнови уравнения в нерелативистичната и релативистката квантова механика на молекулите.... Купете за 882 UAH (само за Украйна)
- Методи на математическата физика на молекулярните системи, Новосадов Б.К.. Монографията е посветена на последователно представяне на квантовата теория на молекулярните системи, както и на решаването на вълнови уравнения в нерелативистичната и релативистката квантова механика на молекулите.…
Въз основа на идеята, че електронът има вълнови свойства. Шрьодингер през 1925 г. предлага състоянието на електрон, движещ се в атом, да се опише с уравнението на стоящата електромагнитна вълна, известно във физиката. Замествайки неговата стойност от уравнението на де Бройл вместо дължината на вълната в това уравнение, той получава ново уравнение, свързващо енергията на електрона с пространствените координати и така наречената вълнова функция, съответстваща в това уравнение на амплитудата на триизмерния вълнов процес .
Вълновата функция е особено важна за характеризиране на състоянието на електрона. Както амплитудата на всеки вълнов процес, тя може да приема както положителни, така и отрицателни стойности. Стойността обаче винаги е положителна. Освен това той има забележително свойство: колкото по-голяма е стойността в дадена област на пространството, толкова по-голяма е вероятността електронът да прояви действието си тук, тоест неговото съществуване да бъде открито в някакъв физически процес.
Следното твърдение ще бъде по-точно: вероятността за откриване на електрон в определен малък обем се изразява чрез произведението . По този начин самата стойност изразява плътността на вероятността за намиране на електрон в съответния регион на пространството.
ориз. 5. Електронен облак на водородния атом.
За да разберете физическото значение на квадратната вълнова функция, разгледайте Фиг. 5, която изобразява определен обем близо до ядрото на водороден атом. Плътността на точките на фиг. 5 е пропорционална на стойността на съответното място: колкото по-голяма е стойността, толкова по-плътно са разположени точките. Ако един електрон има свойствата на материална точка, тогава Фиг. 5 може да се получи чрез многократно наблюдение на водородния атом и всеки път маркиране на местоположението на електрона: плътността на точките във фигурата ще бъде по-голяма, колкото по-често се открива електрон в съответния регион на пространството или, с други думи, толкова по-голяма е вероятността да бъде открит в този регион.
Знаем обаче, че идеята за електрона като материална точка не отговаря на истинската му физическа природа. Следователно Фиг. По-правилно е да се разглежда 5 като схематично представяне на електрон, „размазан“ в целия обем на атома под формата на така наречения електронен облак: колкото по-плътни са точките на едно или друго място, толкова по-голяма е плътност на електронния облак. С други думи, плътността на електронния облак е пропорционална на квадрата на вълновата функция.
Идеята за състоянието на електрона като определен облак от електрически заряд се оказва много удобна; тя добре предава основните характеристики на поведението на електрона в атомите и молекулите и ще бъде често използвана в следващото изложение. В същото време обаче трябва да се има предвид, че електронният облак няма определени, ясно очертани граници: дори на голямо разстояние от ядрото има известна, макар и много малка, вероятност за откриване на електрон. Следователно под електронен облак условно ще разбираме областта на пространството близо до ядрото на атома, в която е концентрирана преобладаващата част (например ) от заряда и масата на електрона. По-точно определение на тази област от пространството е дадено на страница 75.
корпускулярно - вълнов дуализъм в квантовата физика, състоянието на частица се описва с помощта на вълновата функция ($\psi (\overrightarrow(r),t)$- psi-функция).
Определение 1
ВЪЛНОВА ФУНКЦИЯе функция, която се използва в квантовата механика. Той описва състоянието на система, която има измерения в пространството. Това е вектор на състоянието.
Тази функция е сложна и формално има вълнови свойства. Движението на всяка частица от микросвета се определя от вероятностни закони. Разпределението на вероятностите се разкрива, когато се извършват голям брой наблюдения (измервания) или голям брой частици. Полученото разпределение е подобно на разпределението на интензитета на вълната. Тоест на места с максимална интензивност се отбелязва максимален брой частици.
Наборът от аргументи на вълновата функция определя нейното представяне. По този начин е възможно координатно представяне: $\psi(\overrightarrow(r),t)$, импулсно представяне: $\psi"(\overrightarrow(p),t)$ и т.н.
В квантовата физика целта не е да се предскаже точно събитие, а да се оцени вероятността от конкретно събитие. Познавайки стойността на вероятността, намерете средните стойности на физическите величини. Вълновата функция ви позволява да намерите такива вероятности.
По този начин вероятността за наличие на микрочастица в обем dV в момент t може да се определи като:
където $\psi^*$ е комплексно спрегнатата функция на функцията $\psi.$ Плътността на вероятността (вероятност за единица обем) е равна на:
Вероятността е величина, която може да се наблюдава в експеримент. В същото време вълновата функция не е достъпна за наблюдение, тъй като е сложна (в класическата физика параметрите, които характеризират състоянието на частица, са достъпни за наблюдение).
Условие за нормализиране на $\psi$-функцията
Вълновата функция се определя с точност до произволен постоянен фактор. Този факт не влияе на състоянието на частицата, което $\psi$-функцията описва. Вълновата функция обаче е избрана по такъв начин, че да удовлетворява условието за нормализиране:
където интегралът се взема върху цялото пространство или върху област, в която вълновата функция не е нула. Условието за нормализиране (2) означава, че в цялата област, където $\psi\ne 0$, частицата надеждно присъства. Вълнова функция, която се подчинява на условието за нормализиране, се нарича нормализирана. Ако $(\left|\psi\right|)^2=0$, тогава това условие означава, че със сигурност няма частица в изследваната област.
Нормализацията на формата (2) е възможна с дискретен спектър от собствени стойности.
Условието за нормализиране може да не е осъществимо. И така, ако $\psi$ е равнинна вълна на де Бройл и вероятността за намиране на частица е еднаква за всички точки в пространството. Тези случаи се считат за идеален модел, в който частицата присъства в голяма, но ограничена област от пространството.
Принцип на суперпозиция на вълновата функция
Този принцип е един от основните постулати на квантовата теория. Значението му е следното: ако за дадена система са възможни състояния, които се описват от вълновите функции $\psi_1\ (\rm and)\ $$\psi_2$, то за тази система има състояние:
където $C_(1\ )и\ C_2$ са постоянни коефициенти. Принципът на суперпозицията се потвърждава емпирично.
Можем да говорим за добавяне на произволен брой квантови състояния:
където $(\left|C_n\right|)^2$ е вероятността системата да бъде открита в състояние, което се описва от вълновата функция $\psi_n.$ За вълновите функции, предмет на условието за нормализиране (2), е изпълнено следното условие:
Стационарни състояния
В квантовата теория стационарните състояния (състояния, в които всички наблюдавани физически параметри не се променят с времето) играят специална роля. (Самата вълнова функция е фундаментално ненаблюдаема.) В стационарно състояние $\psi$-функцията има формата:
където $\omega =\frac(E)(\hbar )$, $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$ не зависи от времето, $E$ е енергията на частицата. С формата (3) на вълновата функция, плътността на вероятността ($P$) е времева константа:
от физични свойства стационарни състоянияследвайте математическите изисквания за вълновата функция $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)\to \ (\psi(x,y,z))$.
Математически изисквания към вълновата функция за стационарни състояния
$\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$- функцията трябва да е във всички точки:
- непрекъснато,
- недвусмислен,
- краен.
Ако потенциална енергияима прекъсната повърхност, тогава върху такива повърхности функцията $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$ и нейната първа производна трябва да останат непрекъснати. В областта на пространството, където потенциалната енергия става безкрайна, $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$ трябва да е нула. Непрекъснатостта на функцията $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$ изисква на всяка граница на тази област $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)=0$. Условието за непрекъснатост се налага върху частните производни на вълновата функция ($\frac(\partial \psi)(\partial x),\ \frac(\partial \psi)(\partial y),\frac(\partial \ psi)(\ частично z)$).
Пример 1
Упражнение:За дадена частица е дадена вълнова функция от вида: $\psi=\frac(A)(r)e^(-(r)/(a))$, където $r$ е разстоянието от частицата към центъра на силата (фиг. 1), $a=const$. Приложете условието за нормализиране, намерете коефициента на нормализиране A.
Фигура 1.
Решение:
Нека запишем условието за нормализация за нашия случай във формата:
\[\int((\left|\psi\right|)^2dV=\int(\psi\psi^*dV=1\left(1.1\right),))\]
където $dV=4\pi r^2dr$ (виж Фиг. 1 От условията е ясно, че задачата има сферична симетрия). От условията на проблема имаме:
\[\psi=\frac(A)(r)e^(-(r)/(a))\to \psi^*=\frac(A)(r)e^(-(r)/(a ))\left(1.2\right).\]
Нека заместим $dV$ и вълновите функции (1.2) в условието за нормализиране:
\[\int\limits^(\infty )_0(\frac(A^2)(r^2)e^(-(2r)/(a))4\pi r^2dr=1\left(1.3\ правилно).)\]
Нека извършим интеграцията от лявата страна:
\[\int\limits^(\infty )_0(\frac(A^2)(r^2)e^(-(2r)/(a))4\pi r^2dr=2\pi A^2a =1\ляво(1,4\дясно).)\]
От формула (1.4) изразяваме необходимия коефициент:
отговор:$A=\sqrt(\frac(1)(2\pi a)).$
Пример 2
Упражнение:Какво е най-вероятното разстояние ($r_B$) на електрон от ядрото, ако вълновата функция, която описва основното състояние на електрона във водороден атом, може да се дефинира като: $\psi=Ae^(-(r)/ (a))$, където $ r$ е разстоянието от електрона до ядрото, $a$ е първият радиус на Бор?
Решение:
Използваме формула, която определя вероятността за наличие на микрочастица в обем $dV$ в момент $t$:
където $dV=4\pi r^2dr.\ $Следователно имаме:
В този случай записваме $p=\frac(dP)(dr)$ като:
За да се определи най-вероятното разстояние, производната $\frac(dp)(dr)$ е равна на нула:
\[(\left.\frac(dp)(dr)\right|)_(r=r_B)=8\pi rA^2e^(-(2r)/(a))+4\pi r^2A^ 2e^(-(2r)/(a))\left(-\frac(2)(a)\right)=8\pi rA^2e^(-(2r)/(a))\left(1- \frac(r)(a)\right)=0(2.4)\]
Тъй като решението $8\pi rA^2e^(-(2r_B)/(a))=0\ \ (\rm at)\ \ r_B\to \infty $ не ни подхожда, то изглежда така:
> Вълнова функция
Прочетете за вълнова функцияи вероятностни теории на квантовата механика: същността на уравнението на Шрьодингер, състоянието на квантовата частица, хармоничен осцилатор, диаграма.
Говорим за амплитудата на вероятността в квантовата механика, която описва квантовото състояние на частица и нейното поведение.
Учебна цел
- Комбинирайте вълновата функция и плътността на вероятността за идентифициране на частица.
Основни точки
- |ψ| 2 (x) съответства на плътността на вероятността за идентифициране на частица в определено място и момент.
- Законите на квантовата механика характеризират еволюцията на вълновата функция. Уравнението на Шрьодингер обяснява името му.
- Вълновата функция трябва да отговаря на много математически ограничения за изчисление и физическа интерпретация.
Условия
- Уравнението на Шрьодингер е частичен диференциал, характеризиращ промяна в състоянието на физическа система. Формулирана е през 1925 г. от Ервин Шрьодингер.
- Хармоничният осцилатор е система, която, когато се измести от първоначалното си положение, се влияе от сила F, пропорционална на изместването x.
В рамките на квантовата механика вълновата функция отразява амплитудата на вероятността, която характеризира квантовото състояние на частица и нейното поведение. Обикновено стойността е комплексно число. Най-често срещаните символи за вълновата функция са ψ (x) или Ψ(x). Въпреки че ψ е комплексно число, |ψ| 2 – реална и съответства на плътността на вероятността за намиране на частица в определено място и време.
Тук траекториите на хармоничния осцилатор се показват в класически (A-B) и квантови (C-З) механика. Квантовата топка има вълнова функция, показана с реалната част в синьо и въображаемата част в червено. ТраекторииC-F – примери за стоящи вълни. Всяка такава честота ще бъде пропорционална на възможното енергийно ниво на осцилатора
Законите на квантовата механика се развиват с времето. Вълновата функция прилича на други, като вълни във вода или струна. Факт е, че формулата на Шрьодингер е вид вълново уравнение в математиката. Това води до двойствеността на вълновите частици.
Вълновата функция трябва да отговаря на следните ограничения:
- винаги окончателно.
- винаги непрекъснато и непрекъснато диференцируемо.
- удовлетворява подходящото условие за нормализиране, за да съществува частицата със 100% сигурност.
Ако изискванията не са изпълнени, тогава вълновата функция не може да се интерпретира като амплитуда на вероятността. Ако пренебрегнем тези позиции и използваме вълновата функция, за да определим наблюдения на квантова система, няма да получим крайни и определени стойности.