Частични производни на функция, ако съществуват не в една точка, а в определено множество, са функции, дефинирани в това множество. Тези функции могат да бъдат непрекъснати и в някои случаи могат също да имат частични производни в различни точки от тяхната област.
Частните производни на тези функции се наричат частни производни от втори ред или втори частни производни.
Частичните производни от втори ред се разделят на две групи:
· втори частни производни на променлива;
· смесени частни производни на по отношение на променливи и.
С последващо диференциране могат да се определят частни производни от трети ред и т.н. По подобен начин се определят и записват частни производни от по-високи разряди.
Теорема.Ако всички частни производни, включени в изчисленията, разглеждани като функции на техните независими променливи, са непрекъснати, тогава резултатът от частичното диференциране не зависи от последователността на диференцирането.
Често има нужда да се реши обратната задача, която се състои в определяне дали общият диференциал на функция е израз на формата, където са непрекъснати функции с непрекъснати производни от първи ред.
Необходимото условие за пълен диференциал може да се формулира като теорема, която приемаме без доказателство.
Теорема.За да бъде един диференциален израз в дадена област общият диференциал на функция, дефинирана и диференцируема в тази област, е необходимо в тази област условието за всяка двойка независими променливи и да е идентично изпълнено.
Проблемът за изчисляване на общия диференциал от втори ред на функция може да бъде решен по следния начин. Ако изразът на общ диференциал също е диференцируем, тогава вторият общ диференциал (или общ диференциал от втори ред) може да се счита за израза, получен чрез прилагане на операцията за диференциране към първия общ диференциал, т.е. . Аналитичният израз за втория общ диференциал е:
Като се вземе предвид фактът, че смесените производни не зависят от реда на диференциране, формулата може да бъде групирана и представена под формата на квадратна форма:
Матрицата на квадратна форма е:
Нека суперпозиция на функции, дефинирани в и
Определени в. В същото време. Тогава, ако и имат непрекъснати частични производни до втори ред в точките и, тогава има втори пълен диференциал на сложна функция от следната форма:
Както можете да видите, вторият пълен диференциал няма свойството инвариантност на формата. Изразът на втория диференциал на сложна функция включва членове от формата, които липсват във формулата на втория диференциал на проста функция.
Конструирането на частични производни на функция от по-високи порядъци може да бъде продължено чрез извършване на последователно диференциране на тази функция:
Където индексите приемат стойности от до, т.е. производната на реда се разглежда като частична производна от първи ред на производната на реда. По подобен начин можем да въведем концепцията за пълен диференциал от порядъка на функция, като пълен диференциал от първи ред от диференциал от порядък: .
В случай на проста функция на две променливи, формулата за изчисляване на общия диференциал от порядъка на функцията е
Използването на оператора за диференциране ни позволява да получим компактна и лесна за запомняне форма на нотация за изчисляване на общия диференциал от порядъка на функция, подобно на биномната формула на Нютон. В двумерния случай има формата.
Линеаризация на функция. Допирателна равнина и нормала към повърхността.
Производни и диференциали от по-високи разряди.
1. Частични производни на FNP *)
Помислете за функцията И = f(P), РÎDÌR пили, което е същото,
И = f(X 1 , X 2 , ..., x n).
Нека коригираме стойностите на променливите X 2 , ..., x nи променливата X 1 нека дадем увеличение D X 1. След това функцията Ище получи увеличение, определено от равенството
= f (X 1 +D X 1 , X 2 , ..., x n) – f(X 1 , X 2 , ..., x n).
Това увеличение се нарича частно увеличениефункции Ипо променлива X 1 .
Определение 7.1.Функция частна производна И = f(X 1 , X 2 , ..., x n) по променлива X 1 е границата на съотношението на частичното нарастване на функция към нарастването на аргумента D X 1 в Д X 1 ® 0 (ако тази граница съществува).
Частната производна по отношение на X 1 знака
Така по дефиниция
Частичните производни по отношение на други променливи се определят по подобен начин X 2 , ..., x n. От определението става ясно, че частната производна на функция по отношение на променлива x iе обичайната производна на функция на една променлива x i, когато други променливи се считат за константи. Следователно всички изучени преди това правила и формули за диференциране могат да се използват за намиране на производната на функция на няколко променливи.
Например за функцията u = х 3 + 3xy – z 2 имаме
Така, ако функция на няколко променливи е дадена изрично, тогава въпросите за съществуването и намирането на нейните частни производни се свеждат до съответните въпроси относно функцията на една променлива - тази, за която е необходимо да се определи производната.
Нека разгледаме имплицитно дефинирана функция. Нека уравнението F( х, г) = 0 дефинира неявна функция на една променлива X. Справедлива
Теорема 7.1.
Нека F( х 0 , г 0) = 0 и функции F( х, г), F¢ X(х, г), F¢ при(х, г) са непрекъснати в някаква околност на точката ( X 0 , при 0) и F¢ при(х 0 , г 0) ¹ 0. Тогава функцията при, дадено имплицитно от уравнението F( х, г) = 0, има в точката ( х 0 , г 0) производна, която е равна на
.
Ако условията на теоремата са изпълнени във всяка точка от областта DÌ R 2, то във всяка точка от тази област 
.
Например за функцията X 3 –2при 4 + уау+ 1 = 0 намираме
Нека сега уравнението F( х, г, z) = 0 дефинира неявна функция на две променливи. Да намерим и. От изчисляването на производната по отношение на Xпроизведени при фиксирана (постоянна) при, то при тези условия равенството F( х, г=конст, z) = 0 дефинира zкато функция на една променлива Xи съгласно теорема 7.1 получаваме
.
По същия начин 
.
По този начин, за функция на две променливи, дадена неявно от уравнението 
, частичните производни се намират с помощта на формулите: ,
Частична производнафункции z = f(x, y по променлива xПроизводната на тази функция при постоянна стойност на променливата y се нарича, означава се с или z" x.
Частична производнафункции z = f(x, y) по променлива yсе нарича производна по y при постоянна стойност на променливата y; той е обозначен или z" y.
Частната производна на функция на няколко променливи по отношение на една променлива се определя като производната на тази функция по отношение на съответната променлива, при условие че останалите променливи се поддържат постоянни.
Пълен диференциалфункция z = f(x, y) в някаква точка M(X, y) се нарича израз
,
Където и се изчисляват в точката M(x, y) и dx =, dy = y.
Пример 1
Изчислете общия диференциал на функцията.
z = x 3 – 2x 2 y 2 + y 3 в точка M(1; 2)
Решение:
1) Намерете частични производни:
2) Изчислете стойността на частичните производни в точка M(1; 2)
() M = 3 1 2 – 4 1 2 2 = -13
() M = - 4 1 2 2 + 3 2 2 = 4
3) dz = - 13dx + 4 dy
Въпроси за самоконтрол:
1. Какво се нарича антидериват? Избройте свойствата на антипроизводното.
2. Какво се нарича неопределен интеграл?
3. Избройте свойствата на неопределения интеграл.
4. Избройте основните формули за интегриране.
5. Какви методи за интегриране познавате?
6. Каква е същността на формулата на Нютон–Лайбниц?
7. Дайте дефиницията на определен интеграл.
8. Каква е същността на изчисляването на определен интеграл чрез метода на заместване?
9. Каква е същността на метода за изчисляване на определен интеграл по части?
10. Коя функция се нарича функция на две променливи? Как се обозначава?
11. Коя функция се нарича функция на три променливи?
12. Какво множество се нарича област на дефиниране на функция?
13. Използвайки какви неравенства можете да определите затворена област D в равнина?
14. Каква е частната производна на функцията z = f(x, y) по отношение на променливата x? Как се обозначава?
15. Каква е частната производна на функцията z = f(x, y) по отношение на променливата y? Как се обозначава?
16. Какъв израз се нарича общ диференциал на функция
Тема 1.2 Обикновени диференциални уравнения.
Проблеми, водещи до диференциални уравнения. Диференциални уравнения с разделими променливи. Общи и конкретни решения. Хомогенни диференциални уравнения от първи ред. Линейни еднородни уравнения от втори ред с постоянни коефициенти.
Практически урок № 7 „Намиране на общи и частни решения на диференциални уравнения с разделими променливи”*
Практическо занятие № 8 „Линейни и хомогенни диференциални уравнения”
Практическо занятие № 9 „Решаване на диференциални уравнения от 2-ри ред с постоянни коефициенти”*
L4, глава 15, стр. 243 – 256
Насоки
Нека разгледаме промяната на функция, когато зададете увеличение само на един от нейните аргументи - x i, и нека го наречем .
Определение 1.7.Частична производнафункции по аргумент x iнаречена .
Обозначения: .
По този начин частната производна на функция на няколко променливи всъщност се дефинира като производна на функцията една променлива – x i. Следователно всички свойства на производните, доказани за функция на една променлива, са валидни за нея.
Коментирайте. При практическото изчисляване на частични производни ние използваме обичайните правила за диференциране на функция на една променлива, като приемаме, че аргументът, чрез който се извършва диференцирането, е променлив, а останалите аргументи са постоянни.
1. z = 2х² + 3 xy –12г² + 5 х – 4г +2,
2. z = xy,
Геометрична интерпретация на частни производни на функция на две променливи.
Разгледайте уравнението на повърхността z = f(x,y)и начертайте равнина x =конст. Нека изберем точка от пресечната линия на равнината и повърхността M(x,y). Ако дадете аргумента приувеличение Δ прии разгледайте точка T на кривата с координати ( x, y+Δ y, z+Δy z), тогава тангенса на ъгъла, образуван от секанса MT с положителната посока на оста O при, ще бъде равно на . Преминавайки към границата при , намираме, че частичната производна е равна на тангенса на ъгъла, образуван от допирателната към получената крива в точката Мс положителна посока на оста О u.Съответно, частната производна е равна на тангенса на ъгъла с оста O Xдопирателна към кривата, получена в резултат на разрязване на повърхността z = f(x,y)самолет y =конст.
Определение 2.1. Пълното нарастване на функция u = f(x, y, z) се нарича
Определение 2.2. Ако нарастването на функцията u = f (x, y, z) в точката (x 0 , y 0 , z 0) може да бъде представено във формата (2.3), (2.4), тогава функцията се нарича диференцируема при тази точка и изразът се нарича главна линейна част от нарастването или общия диференциал на въпросната функция.
Обозначения: du, df (x 0, y 0, z 0).
Точно както в случая на функция на една променлива, диференциалите на независимите променливи се считат за техните произволни увеличения, следователно
Забележка 1. Така че твърдението „функцията е диференцируема“ не е еквивалентно на твърдението „функцията има частични производни“ - за диференцируемостта се изисква също така непрекъснатостта на тези производни във въпросната точка.
4. Допирателна равнина и нормала към повърхността. Геометрично значение на диференциала.
Нека функцията z = f (x, y)е диференцируема в околност на точката M (x 0, y 0). Тогава неговите частични производни са ъгловите коефициенти на допирателните към линиите на пресичане на повърхността z = f (x, y)със самолети y = y 0И x = x 0, която ще бъде допирателна към самата повърхност z = f (x, y).Нека съставим уравнение за равнината, минаваща през тези прави. Векторите на допирателната посока имат формата (1; 0; ) и (0; 1; ), така че нормалата към равнината може да бъде представена като тяхното векторно произведение: п = (- ,- , 1). Следователно уравнението на равнината може да бъде написано, както следва:
Къде z 0 = .
Определение 4.1.Равнината, определена от уравнение (4.1), се нарича допирателна равнинакъм графиката на функцията z = f (x, y)в точка с координати (x 0, y 0, z 0).
От формула (2.3) за случая на две променливи следва, че нарастването на функцията fв близост до точка Мможе да се представи като:
Следователно разликата между приложенията на графиката на функция и допирателната равнина е безкрайно малка от по-висок порядък от ρ, при ρ→ 0.
В този случай функцията диференц fима формата:
което съответства на нарастването на допирателната равнина се прилага към графиката на функция. Това е геометричното значение на диференциала.
Определение 4.2.Ненулев вектор, перпендикулярен на допирателната равнина в точка M (x 0, y 0)повърхности z = f (x, y), наречена нормалнона повърхността в тази точка.
Удобно е да вземете вектора -- п = { , ,-1}.
Понятие за функция на две променливи
величина zнаречен функция на две независими променливи xИ г, ако всяка двойка допустими стойности на тези количества, съгласно определен закон, съответства на една напълно определена стойност на количеството z.Независими променливи хИ гнаречен аргументифункции.
Тази функционална зависимост е аналитично обозначена
Z = f(x,y),(1)
Стойностите на аргументите x и y, които съответстват на действителните стойности на функцията z,се считат приемливо, и се нарича множеството от всички допустими двойки стойности x и y област на дефиницияфункции на две променливи.
За функция на няколко променливи, за разлика от функция на една променлива, концепциите за нея частни увеличенияза всеки от аргументите и концепцията пълно увеличение.
Частично увеличение Δ x z на функцията z=f (x,y) по аргумент x е увеличението, което тази функция получава, ако нейният аргумент x се увеличи Δxс постоянна г:
Δ x z = f (x + Δx, y) -f (x, y), (2)
Частичното увеличение Δ y z на функция z= f (x, y) над аргумента y е увеличението, което тази функция получава, ако нейният аргумент y получи увеличение Δy с непроменен x:
Δ y z= f (x, y + Δy) – f (x, y) , (3)
Пълно увеличение Δzфункции z=f(x,y)по аргумент хИ ге нарастването, което функцията получава, ако и двата й аргумента получават увеличения:
Δz= f (x+Δx, y+Δy) – f (x, y) , (4)
За достатъчно малки стъпки ΔxИ Δyаргументи на функцията
има приблизително равенство:
Δz Δ x z + Δ y z , (5)
и колкото по-малка е, толкова по-точна е ΔxИ Δy.
Частни производни на функция на две променливи
Частична производна на функцията z=f (x, y) по отношение на аргумента x в точката (x, y)наречена граница на коефициента на частично увеличение Δ x zтази функция към съответното увеличение Δxаргумент x при стремеж Δxдо 0 и при условие, че това ограничение съществува:
, (6)
Производната на функцията се определя по подобен начин z=f(x,y)по аргумент y:
В допълнение към посоченото обозначение, функциите с частни производни също се означават с z΄ x , f΄ x (x, y); , z΄ y , f΄ y (x, y).
Основното значение на частичната производна е следното: частната производна на функция на няколко променливи по отношение на всеки от нейните аргументи характеризира скоростта на промяна на тази функция, когато този аргумент се промени.
Когато се изчислява частичната производна на функция от няколко променливи по отношение на който и да е аргумент, всички останали аргументи на тази функция се считат за постоянни.
Пример 1.Намерете частични производни на функция
f (x, y)= x 2 + y 3
Решение. Когато намираме частичната производна на тази функция по отношение на аргумента x, ние считаме аргумента y за постоянна стойност:
;
Когато намираме частичната производна по отношение на аргумента y, ние считаме аргумента x за постоянна стойност:
.
Частични и пълни диференциали на функции на няколко променливи
Частичен диференциал на функция на няколко променливи, по отношение на която-или от неговите аргументиПроизведението на частната производна на тази функция по отношение на даден аргумент и диференциала на този аргумент се нарича:
d x z= ,(7)
d y z= (8)
тук d x zИ d y z-частични диференциали на функция z=f(x,y)по аргумент хИ г.В същото време
dx=Δx; dy=Δy, (9)
Пълен диференциалфункция на няколко променливи се нарича сбор от нейните частични диференциали:
dz= d x z + d y z, (10)
Пример 2.Нека намерим частичните и пълните диференциали на функцията f (x, y)= x 2 + y 3 .
Тъй като частните производни на тази функция бяха намерени в пример 1, получаваме
d x z= 2xdx; d y z= 3y 2 dy;
dz= 2xdx + 3y 2 dy
Частичният диференциал на функция от няколко променливи по отношение на всеки от нейните аргументи е основната част от съответното частично нарастване на функцията.
В резултат на това можем да напишем:
Δ x z d x z, Δ y z d y z, (11)
Аналитичното значение на общия диференциал е, че общият диференциал на функция от няколко променливи представлява основната част от общото увеличение на тази функция.
По този начин има приблизително равенство
Δz dz, (12)
Използването на общия диференциал в приблизителните изчисления се основава на използването на формула (12).
Нека си представим увеличението Δzвъв формата
f (x + Δx; y + Δy) – f (x, y)
и общият диференциал е във формата
Тогава получаваме:
f (x + Δx, y + Δy) – f (x, y) 
,
, (13)
3. Целта на дейностите на учениците в клас:
Ученикът трябва да знае:
1. Дефиниция на функция на две променливи.
2. Концепцията за частично и пълно нарастване на функция на две променливи.
3. Определяне на частна производна на функция на няколко променливи.
4. Физическото значение на частната производна на функция на няколко променливи по отношение на всеки от нейните аргументи.
5. Определяне на частичния диференциал на функция на няколко променливи.
6. Определяне на общия диференциал на функция на няколко променливи.
7. Аналитично значение на общия диференциал.
Студентът трябва да може да:
1. Намерете частичното и пълното нарастване на функция на две променливи.
2. Изчисляване на частни производни на функции на няколко променливи.
3. Намерете частични и пълни диференциали на функция на няколко променливи.
4. Използвайте общия диференциал на функция от няколко променливи в приблизителни изчисления.
Теоретична част:
1. Понятието функция на няколко променливи.
2. Функция на две променливи. Частично и пълно нарастване на функция на две променливи.
3. Частна производна на функция на няколко променливи.
4. Частични диференциали на функции на няколко променливи.
5. Пълен диференциал на функция на няколко променливи.
6. Приложение на общия диференциал на функция на няколко променливи при приближени изчисления.
Практическа част:
1. Намерете частните производни на функциите:
1) 
; 4) 
;
2) z= e xy+2 x; 5) z= 2tg xe y;
3) z= x 2 sin 2 y; 6) 
.
4. Дефиниране на частната производна на функция по даден аргумент.
5. Какво се нарича частичен и пълен диференциал на функция на две променливи? Как са свързани?
6. Списък с въпроси за проверка на крайното ниво на знания:
1. В общия случай общото нарастване на произволна функция от няколко променливи равно ли е на сумата от всички частични увеличения?
2. Какво е основното значение на частната производна на функция на няколко променливи по отношение на някой от нейните аргументи?
3. Какво е аналитичното значение на общия диференциал?
7. Хронограф на тренировката:
1. Организационен момент – 5 мин.
2. Анализ на темата – 20 мин.
3. Решаване на примери и задачи – 40 мин.
4. Текущ контрол на знанията -30мин.
5. Обобщаване на урока – 5 мин.
8. Списък на учебната литература за урока:
1. Морозов Ю.В. Основи на висшата математика и статистика. М., „Медицина“, 2004, §§ 4.1–4.5.
2. Павлушков И.В. и др.. Основи на висшата математика и математическа статистика. М., "GEOTAR-Media", 2006, § 3.3.