Правоъгълнике четириъгълник, в който всеки ъгъл е прав.
Доказателство
Свойството се обяснява с действието на характеристика 3 на успоредника (т.е. \angle A = \angle C , \angle B = \angle D )
2. Противоположните страни са равни.
AB = CD,\enинтервал BC = AD
3. Противоположните страни са успоредни.
AB \успоредно CD,\enинтервал BC \успоредно AD
4. Съседните страни са перпендикулярни една на друга.
AB \perp BC,\enspace BC \perp CD,\enspace CD \perp AD,\enspace AD \perp AB
5. Диагоналите на правоъгълника са равни.
AC = BD
Доказателство
Според собственост 1правоъгълникът е успоредник, което означава AB = CD.
Следователно \триъгълник ABD = \триъгълник DCA на два катета (AB = CD и AD - става).
Ако и двете фигури ABC и DCA са еднакви, то техните хипотенузи BD и AC също са еднакви.
Така че AC = BD.
От всички фигури (само от успоредници!) само правоъгълникът има равни диагонали.
Нека докажем и това.
ABCD е успоредник \Rightarrow AB = CD, AC = BD по условие. \Дясна стрелка \триъгълник ABD = \триъгълник DCAвече от три страни.
Оказва се, че \ъгъл A = \ъгъл D (като ъглите на успоредник). И \ъгъл A = \ъгъл C , \ъгъл B = \ъгъл D .
Ние заключаваме, че \ъгъл A = \ъгъл B = \ъгъл C = \ъгъл D. Всички те са 90^(\circ) . Общо - 360^(\circ) .
Доказано!
6. Квадратът на диагонал е равен на сбора от квадратите на двете му съседни страни.
Това свойство е вярно поради Питагоровата теорема.
AC^2=AD^2+CD^2
7. Диагоналът разделя правоъгълника на два еднакви правоъгълни триъгълника.
\триъгълник ABC = \триъгълник ACD, \enspace \триъгълник ABD = \триъгълник BCD
8. Пресечната точка на диагоналите ги разделя наполовина.
AO = BO = CO = DO
.png)
9. Пресечната точка на диагоналите е центърът на правоъгълника и описаната окръжност.
10. Сумата от всички ъгли е 360 градуса.
\ъгъл ABC + \ъгъл BCD + \ъгъл CDA + \ъгъл DAB = 360^(\circ)
11. Всички ъгли на правоъгълник са прави.
\ъгъл ABC = \ъгъл BCD = \ъгъл CDA = \ъгъл DAB = 90^(\circ)
12. Диаметърът на окръжност, описана около правоъгълник, е равен на диагонала на правоъгълника.
13. Винаги можете да опишете кръг около правоъгълник.
Това свойство е вярно поради факта, че сумата от срещуположните ъгли на правоъгълник е 180^(\circ)
\angle ABC = \angle CDA = 180^(\circ),\enspace \angle BCD = \angle DAB = 180^(\circ)
14. Правоъгълник може да съдържа вписана окръжност и само една, ако има равни дължини на страните (той е квадрат).
е успоредник, в който всички ъгли са равни на 90°, а срещуположните страни са успоредни и равни по двойки.
Правоъгълникът има няколко неопровержими свойства, които се използват при решаването на много проблеми, във формули за площта на правоъгълник и неговия периметър. Ето ги:
Дължината на неизвестна страна или диагонал на правоъгълник се изчислява с помощта или с помощта на Питагоровата теорема. Площта на правоъгълник може да се намери по два начина - чрез произведението на страните му или по формулата за площта на правоъгълник през диагонала. Първата и най-проста формула изглежда така:
Пример за изчисляване на площта на правоъгълник с помощта на тази формула е много прост. Познавайки две страни, например a = 3 cm, b = 5 cm, можем лесно да изчислим площта на правоъгълника:
Откриваме, че в такъв правоъгълник площта ще бъде равна на 15 квадратни метра. cm.
Площ на правоъгълник през диагонали
Понякога трябва да приложите формулата за площта на правоъгълник през диагоналите. Това изисква не само намиране на дължината на диагоналите, но и ъгъла между тях:
Нека да разгледаме пример за изчисляване на площта на правоъгълник с помощта на диагонали. Нека е даден правоъгълник с диагонал d = 6 cm и ъгъл = 30°. Заменяме данните във вече известната формула:
И така, примерът за изчисляване на площта на правоъгълник през диагонала ни показа, че намирането на площта по този начин, ако е даден ъгъл, е доста просто.
Нека разгледаме още един интересен проблем, който ще ни помогне да разтегнем малко мозъка си.
Задача:Даден е квадрат. Площта му е 36 квадратни метра. см. Намерете периметъра на правоъгълник, чиято дължина на едната страна е 9 см и чиято площ е същата като квадрата, даден по-горе.
Така че имаме няколко условия. За по-голяма яснота нека ги запишем, за да видим всички известни и неизвестни параметри: 
Страните на фигурата са успоредни и равни по двойки. Следователно периметърът на фигурата е равен на удвоената сума от дължините на страните:
От формулата за площта на правоъгълник, която е равна на произведението на двете страни на фигурата, намираме дължината на страната b
От тук:
Заменяме известните данни и намираме дължината на страната b:
Изчислете периметъра на фигурата: 
Ето как, знаейки няколко прости формули, можете да изчислите периметъра на правоъгълник, знаейки неговата площ.
4. Формула за радиуса на окръжност, която е описана около правоъгълник през диагонал на квадрат:
5. Формула за радиуса на окръжност, която се описва около правоъгълник през диаметъра на окръжността (описана):
6. Формула за радиуса на окръжност, която е описана около правоъгълник през синуса на ъгъла, който е съседен на диагонала, и дължината на страната, противоположна на този ъгъл:
7. Формула за радиуса на окръжност, описана около правоъгълник през косинуса на ъгъла, който е съседен на диагонала, и дължината на страната на този ъгъл:
8. Формула за радиуса на окръжност, която е описана около правоъгълник през синуса на острия ъгъл между диагоналите и площта на правоъгълника:
Ъгълът между страната и диагонала на правоъгълник.
Формули за определяне на ъгъла между страната и диагонала на правоъгълник:
1. Формула за определяне на ъгъла между страната и диагонала на правоъгълник през диагонала и страната:
2. Формула за определяне на ъгъла между страната и диагонала на правоъгълник чрез ъгъла между диагоналите:
Ъгълът между диагоналите на правоъгълник.
Формули за определяне на ъгъла между диагоналите на правоъгълник:
1. Формула за определяне на ъгъла между диагоналите на правоъгълник през ъгъла между страната и диагонала:
β = 2α
2. Формула за определяне на ъгъла между диагоналите на правоъгълник през площ и диагонал.
Определение.
Правоъгълнике четириъгълник, в който две срещуположни страни са равни и четирите ъгъла са равни.Правоъгълниците се различават един от друг само в съотношението на дългата към късата страна, но и четирите ъгъла са прави, тоест 90 градуса.
Дългата страна на правоъгълник се нарича дължина на правоъгълник, а късата - ширина на правоъгълник.
Страните на правоъгълника са и неговите височини.
Основни свойства на правоъгълника
Правоъгълникът може да бъде успоредник, квадрат или ромб.
1. Противоположните страни на правоъгълника имат еднаква дължина, тоест те са равни:
AB = CD, BC = AD
2. Срещуположните страни на правоъгълника са успоредни:
3. Съседните страни на правоъгълник винаги са перпендикулярни:
AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB
4. И четирите ъгъла на правоъгълника са прави:
∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°
5. Сумата от ъглите на правоъгълник е 360 градуса:
∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°
6. Диагоналите на правоъгълник имат еднаква дължина:
7. Сумата от квадратите на диагонала на правоъгълник е равна на сумата от квадратите на страните:
2d 2 = 2a 2 + 2b 2
8. Всеки диагонал на правоъгълник разделя правоъгълника на две еднакви фигури, а именно правоъгълни триъгълници.
9. Диагоналите на правоъгълника се пресичат и се разделят наполовина в пресечната точка:
| AO=BO=CO=DO= | d | ||
| 2 |
10. Пресечната точка на диагоналите се нарича център на правоъгълника и също е център на описаната окръжност
11. Диагоналът на правоъгълник е диаметърът на описаната окръжност
12. Винаги можете да опишете кръг около правоъгълник, тъй като сборът от противоположните ъгли е равен на 180 градуса:
∠ABC = ∠CDA = 180° ∠BCD = ∠DAB = 180°
13. Не може да се впише окръжност в правоъгълник, чиято дължина не е равна на ширината му, тъй като сумите на противоположните страни не са равни една на друга (окръжност може да бъде вписана само в специален случайправоъгълник - квадрат).
Страни на правоъгълник
Определение.
Дължина на правоъгълнике дължината на по-дългата двойка страни. Ширина на правоъгълнике дължината на по-късата двойка страни.Формули за определяне дължините на страните на правоъгълник
1. Формула за страна на правоъгълник (дължина и ширина на правоъгълника) през диагонала и другата страна:
а = √ d 2 - b 2
b = √ d 2 - a 2
2. Формула за страна на правоъгълник (дължина и ширина на правоъгълника) през площта и другата страна:
| b = dcos | β |
| 2 |
Диагонал на правоъгълник
Определение.
Диагонален правоъгълникВсеки сегмент, свързващ два върха на противоположни ъгли на правоъгълник, се нарича.Формули за определяне дължината на диагонала на правоъгълник
1. Формула за диагонал на правоъгълник, използвайки две страни на правоъгълника (чрез Питагоровата теорема):
d = √ a 2 + b 2
2. Формула за диагонала на правоъгълник, използвайки площта и всяка страна:
4. Формула за диагонал на правоъгълник по отношение на радиуса на описаната окръжност:
d = 2R
5. Формула за диагонал на правоъгълник по отношение на диаметъра на описаната окръжност:
d = D o
6. Формула за диагонала на правоъгълник, използвайки синуса на ъгъла, съседен на диагонала, и дължината на страната, противоположна на този ъгъл:
8. Формула за диагонала на правоъгълник през синуса на острия ъгъл между диагоналите и площта на правоъгълника
d = √2S: грях β
Периметър на правоъгълник
Определение.
Периметър на правоъгълнике сумата от дължините на всички страни на правоъгълник.Формули за определяне дължината на периметъра на правоъгълник
1. Формула за периметъра на правоъгълник, използвайки две страни на правоъгълника:
P = 2a + 2b
P = 2 (a + b)
2. Формула за периметъра на правоъгълник с площ и всяка страна:
| P= | 2S + 2a 2 | = | 2S + 2b 2 |
| а | b |
3. Формула за периметъра на правоъгълник, използвайки диагонала и всяка страна:
P = 2(a + √ d 2 - a 2) = 2(b + √ d 2 - b 2)
4. Формула за периметъра на правоъгълник, използвайки радиуса на описаната окръжност и всяка страна:
P = 2(a + √4R 2 - а 2) = 2(b + √4R 2 - б 2)
5. Формула за периметъра на правоъгълник, използвайки диаметъра на описаната окръжност и всяка страна:
P = 2(a + √D o 2 - а 2) = 2(b + √D o 2 - б 2)
Площ на правоъгълник
Определение.
Площ на правоъгълникнарича се пространството, ограничено от страните на правоъгълника, тоест в рамките на периметъра на правоъгълника.Формули за определяне на площта на правоъгълник
1. Формула за площта на правоъгълник с две страни:
S = a b
2. Формула за площта на правоъгълник, използвайки периметъра и всяка страна:
5. Формула за площта на правоъгълник, използвайки радиуса на описаната окръжност и всяка страна:
S = a √4R 2 - а 2= b √4R 2 - б 2
6. Формула за площта на правоъгълник, използвайки диаметъра на описания кръг и всяка страна:
S = a √D o 2 - а 2= b √D o 2 - б 2
Окръжност, описана около правоъгълник
Определение.
Окръжност, описана около правоъгълнике окръжност, минаваща през четирите върха на правоъгълник, чийто център лежи в пресечната точка на диагоналите на правоъгълника.Формули за определяне на радиуса на окръжност, описана около правоъгълник
1. Формула за радиуса на окръжност, описана около правоъгълник през две страни:
Проблемът за намиране на диагонала на правоъгълник може да се формулира по три начина: по различни начини. Нека разгледаме по-отблизо всеки от тях. Методите зависят от известни данни, така че как да намерите диагонала на правоъгълник?
Ако са известни две страни
В случай, че са известни две страни на правоъгълника a и b, за намиране на диагонала е необходимо да се използва теоремата на Питагор: a 2 + b 2 =c 2, тук a и b са крака правоъгълен триъгълник, с – хипотенуза на правоъгълен триъгълник. Когато се начертае диагонал в правоъгълник, той се разделя на два правоъгълни триъгълника. Знаем две страни на този правоъгълен триъгълник (a и b). Тоест, за да се намери диагоналът на правоъгълник, е необходима следната формула: c=√(a 2 +b 2), тук c е дължината на диагонала на правоъгълника.
По известни страна и ъгъл, между страна и диагонал
Нека са известни страната на правоъгълника a и ъгълът, който образува с диагонала на правоъгълника α. Първо, нека си спомним формулата за косинуса: cos α = a/c, тук c е диагоналът на правоъгълника. Как да изчислим диагонала на правоъгълник от тази формула: c = a/cos α.
По известна страна, ъгълът между съседната страна на правоъгълника и диагонала.
Тъй като диагоналът на правоъгълника разделя самия правоъгълник на два правоъгълни триъгълника, логично е да се обърнем към дефиницията на синуса. Синус е отношението на катета срещу този ъгъл към хипотенузата sin α = b/c. От тук извеждаме формулата за намиране на диагонала на правоъгълник, който също е хипотенузата на правоъгълен триъгълник: c = b/sin α.
Сега сте разбирач в този въпрос. Можете да зарадвате учителя си по геометрия утре!