§ 1 кръг. Основни понятия
В математиката има изречения, които обясняват значението на определено име или израз. Такива изречения се наричат определения.
Нека дефинираме понятието кръг. Кръгът е геометрична фигура, състояща се от всички точки на равнина, разположени на дадено разстояние от дадена точка.
Тази точка, нека я наречем точка О, се нарича център на окръжността.
Отсечката, свързваща центъра с която и да е точка от окръжността, се нарича радиус на окръжността. Има много такива сегменти, които могат да бъдат начертани, например OA, OB, OS. Всички те ще бъдат с еднаква дължина.
Отсечка, свързваща две точки от окръжност, се нарича хорда. MN е хордата на окръжността.
Хордата, минаваща през центъра на окръжността, се нарича диаметър. AB е диаметърът на окръжността. Диаметърът се състои от два радиуса, което означава, че дължината на диаметъра е два пъти радиуса. Центърът на кръг е средата на произволен диаметър.
Всякакви две точки от окръжност я разделят на две части. Тези части се наричат дъги на окръжност.
ANB и AMB са дъги от окръжност.
Частта от равнината, която е ограничена от окръжност, се нарича окръжност.
За изобразяване на кръг в чертеж се използва компас. Кръгът може да бъде начертан и на земята. За да направите това, просто използвайте въже. Прикрепете единия край на въжето към колче, забито в земята, и нарисувайте кръг с другия край.
§ 2 Конструкции с пергел и линийка
В геометрията много конструкции могат да се извършат само с пергел и линийка без мащабни деления.
С помощта само на линийка можете да начертаете произволна права линия, както и произволна права, минаваща през дадена точка, или права, минаваща през две дадени точки.
Компасът ви позволява да начертаете кръг с произволен радиус, както и кръг с център в дадена точка и радиус, равен на даден сегмент.
Отделно всеки от тези инструменти дава възможност да се правят най-простите конструкции, но с помощта на тези два инструмента вече можете да извършвате по-сложни операции, напр.
решаване на строителни проблеми като напр
Да се построи ъгъл, равен на дадения
Постройте триъгълник с дадените страни,
Разделете сегмента наполовина
През дадена точка начертайте права, перпендикулярна на дадената права и т.н.
Нека разгледаме проблема.
Задача: На даден лъч от началото му да се начертае отсечка, равна на дадената.
Дадени са лъч OS и отсечка AB. Необходимо е да се построи отсечка OD, равна на отсечката AB.
С помощта на компас конструираме кръг с радиус, равна на дължинатаотсечка AB с център в точка O. Тази окръжност ще пресече дадения лъч OS в точка D. Отсечката OD е търсената отсечка.
Списък на използваната литература:
- Геометрия. 7-9 клас: учебник. за общо образование организации / L.S. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.: Образование, 2013. - 383 с.: ил.
- Гаврилова Н.Ф. Разработки на уроци по геометрия 7 клас. - М.: “ВАКО”, 2004. - 288 с. - (В помощ на училищния учител).
- Белицкая О.В. Геометрия. 7 клас. част 1. Тестове. – Саратов: Лицей, 2014. – 64 с.
Окръжността е затворена крива линия, всяка точка от която е разположена на еднакво разстояние от една точка O, наречена център.
Наричат се прави линии, свързващи всяка точка от окръжност с нейния център радиусиР.
Правата AB, свързваща две точки от окръжност и минаваща през нейния център O, се нарича диаметърг.
Частите на окръжностите се наричат дъги.
Правата CD, свързваща две точки от окръжност, се нарича акорд.
Директен MN, който има само един обща точкас кръг се нарича допирателна.
Частта от окръжността, ограничена от хордата CD и дъгата, се нарича сегмент.
Частта от окръжност, ограничена от два радиуса и дъга, се нарича сектор.
Две взаимно перпендикулярни хоризонтална и вертикална права, пресичащи се в центъра на окръжност, се наричат оси на кръга.
Ъгълът, образуван от два радиуса KOA, се нарича централен ъгъл.
две взаимно перпендикулярен радиуснаправете ъгъл от 90 0 и ограничете 1/4 от кръга.
Начертаваме кръг с хоризонтална и вертикална ос, които го разделят на 4 равни части. Чертайки с пергел или квадрат на 45 0, две взаимно перпендикулярни линии разделят кръга на 8 равни части.
Разделяне на кръг на 3 и 6 равни части (кратни на 3 към три)
За да разделите кръг на 3, 6 и кратни на тях, начертайте кръг с даден радиус и съответните оси. Разделянето може да започне от точката на пресичане на хоризонталната или вертикалната ос с кръга. Даденият радиус на окръжността се нанася последователно 6 пъти. Тогава получените точки на окръжността се свързват последователно с прави линии и образуват правилен вписан шестоъгълник. Свързването на точки през една дава равностранен триъгълник и разделянето на кръга на три равни части.
Изграждането на правилен петоъгълник се извършва по следния начин. Начертаваме две взаимно перпендикулярни кръгови оси, равни на диаметъра на кръга. Ние разделяме дясна половинахоризонтален диаметър наполовина с помощта на дъга R1. От получената точка "а" в средата на този сегмент с радиус R2 начертайте кръгова дъга, докато се пресече с хоризонталния диаметър в точка "b". С радиус R3, от точка “1”, начертайте кръгова дъга, докато се пресече с дадена окръжност (точка 5) и се получи страната на правилен петоъгълник. Разстоянието "b-O" дава страната на правилен десетоъгълник.
Разделяне на кръг на N брой еднакви части (построяване на правилен многоъгълник с N страни)
Това става по следния начин. Начертаваме хоризонтална и вертикална взаимно перпендикулярна ос на кръга. От горната точка "1" на кръга начертайте права линия под произволен ъгъл спрямо вертикалната ос. Върху него разпределяме равни сегменти с произволна дължина, чийто брой е равен на броя на частите, на които разделяме дадения кръг, например 9. Свързваме края на последния сегмент с долната точка на вертикалния диаметър . Начертаваме линии, успоредни на получената, от краищата на отделените сегменти, докато се пресекат с вертикалния диаметър, като по този начин разделяме вертикалния диаметър на даден кръг на определен брой части. С радиус, равен на диаметъра на кръга, начертайте дъга MN от долната точка на вертикалната ос до пресичането й с продължението на хоризонталната ос на кръга. От точки M и N изчертаваме лъчи през четни (или нечетни) точки на разделяне на вертикалния диаметър, докато се пресекат с окръжността. Получените сегменти от кръга ще бъдат необходимите, защото точки 1, 2, ... 9 разделете кръга на 9 (N) равни части.
При строителни проблеми компасът и линийката се считат за идеални инструменти, по-специално, линийката няма деления и има само една страна с безкрайна дължина, а пергелът може да има произволно голям или произволно малък отвор.
Приемливи конструкции.В строителните задачи са разрешени следните операции:
1. Маркирайте точка:
- произволна точка на равнината;
- произволна точка на дадена права;
- произволна точка от дадена окръжност;
- пресечната точка на две дадени прави;
- точки на пресичане/допиране на дадена права и дадена окръжност;
- точки на пресичане/допиране на две дадени окръжности.
2. С помощта на линийка можете да начертаете права линия:
- произволна права линия на равнина;
- произволна права, минаваща през дадена точка;
- права, минаваща през две дадени точки.
3. С помощта на компас можете да построите кръг:
- произволен кръг на равнина;
- произволна окръжност с център в дадена точка;
- произволна окръжност с радиус, равен на разстоянието между две дадени точки;
- окръжност с център в дадена точка и радиус, равен на разстоянието между две дадени точки.
Решаване на строителни проблеми.Решението на строителния проблем се състои от три основни части:
- Описание на метода за конструиране на търсения обект.
- Доказателство, че изграденият по описания начин обект наистина е желаният.
- Анализ на описания метод на конструиране за неговата приложимост към различни варианти на началните условия, както и за уникалността или неуникалността на решението, получено по описания метод.
Построяване на отсечка, равна на дадената.Нека са дадени лъч с начало в точка $O$ и отсечка $AB$. За да построите отсечка $OP = AB$ върху лъч, трябва да построите окръжност с център в точка $O$ с радиус $AB$. Пресечната точка на лъча с окръжността ще бъде търсената точка $P$.
Построяване на ъгъл, равен на даден.Нека е даден лъч с начало в точка $O$ и ъгъл $ABC$. С център в точка $B$ построяваме окръжност с произволен радиус $r$. Нека означим пресечните точки на окръжността с лъчите $BA$ и $BC$ съответно с $A"$ и $C"$.
Нека построим окръжност с център в точка $O$ с радиус $r$. Нека означим пресечната точка на окръжността с лъча като $P$. Нека построим окръжност с център в точка $P$ с радиус $A"B"$. Означаваме пресечната точка на окръжностите като $Q$. Нека начертаем лъча $OQ$.
Получаваме ъгъла $POQ$, равен на ъгъл$ABC$, тъй като триъгълниците $POQ$ и $ABC$ са равни по три страни.
Построяване на ъглополовяща на отсечка.Нека построим две пресичащи се окръжности с произволен радиус с центрове в краищата на сегмента. Свързвайки две точки от тяхното пресичане, получаваме перпендикулярна ъглополовяща.
Построяване на ъглополовяща на ъгъл.Нека начертаем окръжност с произволен радиус с център във върха на ъгъла. Нека построим две пресичащи се окръжности с произволен радиус с центрове в точките на пресичане на първата окръжност със страните на ъгъла. Като свържем върха на ъгъл с която и да е от пресечните точки на тези две окръжности, получаваме ъглополовящата на ъгъла.
Построяване на сбора от две отсечки.За да построите върху даден лъч отсечка, равна на сумата от две дадени отсечки, трябва да приложите два пъти метода за построяване на отсечка, равна на дадена.
Построяване на сбора от два ъгъла.За да начертаете ъгъл от даден лъч, равен на сумата от два дадени ъгъла, трябва да приложите два пъти метода за построяване на ъгъл, равен на дадения.
Намиране на средата на отсечка.За да отбележите средата на дадена отсечка, трябва да построите ъглополовяща на отсечката и да отбележите пресечната точка на перпендикуляра със самата отсечка.
Построяване на перпендикуляр през дадена точка.Нека се изисква да се построи права, перпендикулярна на дадена точка и минаваща през дадена точка. Начертаваме окръжност с произволен радиус с център в дадена точка (независимо дали лежи на права или не), пресичаща правата в две точки. Построяваме перпендикулярна ъглополовяща към сегмент с краища в точките на пресичане на окръжността и правата. Това ще бъде желаната перпендикулярна линия.
Построяване на успоредна права през дадена точка.Нека се изисква да се построи права, успоредна на дадена точка и минаваща през дадена точка извън правата. Построяваме права, минаваща през дадена точка и перпендикулярна на дадена права. След това построяваме права линия, минаваща през тази точка, перпендикулярна на построения перпендикуляр. Получената права линия ще бъде необходимата.
Цели:
консолидират понятията „кръг“ и „кръг“ сред учениците; изведе понятието „радиус на окръжност“; научават се да конструират окръжности с даден радиус; развиват способността за разсъждение и анализ.
Личен UUD:
форма положително отношениена уроци по математика;
интерес към предметни изследователски дейности;
Метапредметни задачи
Регулаторен UUD:
приемане и запазване на учебната задача;
в сътрудничество с учителя и класа намерете няколко решения;
Когнитивно UUD:
формулиране и решаване на проблеми:
самостоятелно идентифициране и формулиране на проблема;
общо образование:
намерете необходимата информация в учебника;
построява окръжност с даден радиус с пергел;
логично:
формират понятието „радиус“;
извършва класификация, сравнение;
самостоятелно формулиране на заключения;
Комуникативен UUD:
участват активно в екипна работа, използвайки словесни средства;
аргументирайте своята гледна точка;
Предметни умения:
идентифицират основните характеристики на понятията „радиус на окръжност“;
изграждат кръгове с различни радиуси;
разпознават радиуси в чертеж.
Напредък на урока
Мотивация за учебна дейност
- Да проверим дали всички са готови за урока?
„Емоционално влизане в урока“:
Усмихвай се като слънце.
Мръщи се като облаци
Плачи като дъжд
Бъдете изненадани, сякаш сте видели дъга
Сега повтаряй след мен
Игра "Приятелско ехо"
2.Актуализиране на знанията
Устно броене
а) 60-40 36+12 10+20 58-12 90-50 31+13
Разплетете шаблона. Продължете реда.
Отговор: 20, 48,30,46,40,44 50,42
б) Решете проблема:
1. През първия ден магазинът е продал 42 кг плодове, а през втория ден с 2 кг повече. Колко килограма са продадени през втория ден?
Какво трябва да се промени, за да може проблемът да се реши в 2 стъпки.
Топки - 16 бр.
Въжета за скачане – 28 бр.
Намерете решение на този проблем.
28-16 28+16
Променете въпроса така, че задачата да се решава чрез изваждане.
3. Постановка учебна задача
1. Име геометрични форми
Кръг обиколка овална топка
Коя фигура е нечетната?
Какво е общото между фигурите? (Кръг, кръг, топка имат еднаква форма)
С какво се различават?
2. Б
Кои точки принадлежат на окръжността? Кои точки са извън кръга?
Какво означава точка О? (център на кръг)
Какво е името на отсечката OB?
Колко радиуса могат да бъдат начертани в кръг?
Коя отсечка не е радиус? защо
Какво може да се заключи?
Заключение: всички радиуси имат еднаква дължина .
3. Колко кръга има на снимката?
Как се различават кръговете? (размер)
Какво определя размера на кръга?
Какво може да се заключи?
Извод: колкото по-голям е кръгът, толкова по-голям е неговият радиус.
Определете темата на урока.
Тема: Построяване на окръжност с даден радиус с помощта на пергел.
Какви задачи можем да си поставим за този урок?
4. Работа по темата
а) Построяване на кръг.
Какво трябва да знаете, за да начертаете кръг с даден размер?
Начертайте кръг с радиус 3 см.
б) Подготовка за дейности по проекта
1) Погледнете чертежа 
От какви форми се състои пеперудата? Кръгове с еднакъв радиус?
2) Работа по двойки.
Възстановете реда на етапите на проекта.
Представяне или демонстрация на проекта
Концепция (направете скица)
Изградете фигури за изпълнение на плана
Помислете какъв радиус трябва да имат формите
в) Работа по проекта.
Работете по групи по съставения алгоритъм