Теория
Ако едно тяло е хвърлено под ъгъл спрямо хоризонта, то по време на полет върху него действат силата на гравитацията и силата на съпротивлението на въздуха. Ако съпротивителната сила се пренебрегне, тогава единствената останала сила е гравитацията. Следователно, поради 2-ри закон на Нютон, тялото се движи с ускорение, равно на ускорението на гравитацията; проекциите на ускорението върху координатните оси са равни a x = 0, и y= -g.
Всяко сложно движение на материална точка може да бъде представено като суперпозиция на независими движения по координатните оси, като в посоката на различните оси типът на движение може да се различава. В нашия случай движението на летящо тяло може да се представи като суперпозиция на две независими движения: равномерно движение по хоризонталната ос (ос X) и равномерно ускорено движение по вертикалната ос (ос Y) (фиг. 1) .
Следователно проекциите на скоростта на тялото се променят с времето, както следва:
,
където е началната скорост, α е ъгълът на хвърляне.
Следователно координатите на тялото се променят по следния начин:
С нашия избор на началото на координатите, началните координати (фиг. 1) Тогава
Втората времева стойност, при която височината е нула, е нула, което съответства на момента на хвърляне, т.е. тази стойност има и физическо значение.
Получаваме обхвата на полета от първата формула (1). Обхватът на полета е стойността на координатата Xв края на полета, т.е. в момент, равен на t 0. Замествайки стойност (2) в първата формула (1), получаваме:
| . | (3) |
От тази формула се вижда, че най-голяма далечина на полета се постига при ъгъл на хвърляне 45 градуса.
Максималната височина на повдигане на хвърленото тяло може да се получи от втората формула (1). За да направите това, трябва да замените в тази формула времева стойност, равна на половината от времето на полета (2), защото Максималната височина на полета е в средата на траекторията. Извършвайки изчисления, получаваме
При изучаване на механичното движение във физиката, след като се запознаят с равномерното и равномерно ускорено движение на обектите, те преминават към разглеждане на движението на тялото под ъгъл спрямо хоризонта. В тази статия ще проучим този въпрос по-подробно.
Какво представлява движението на тяло под ъгъл спрямо хоризонталата?
Този тип движение на обект се случва, когато човек хвърли камък във въздуха, оръдие изстреля гюле или вратар рита футболна топка встрани от вратата. Всички подобни случаи се разглеждат от науката балистика.
Отбелязаният тип движение на обекти във въздуха се извършва по параболична траектория. Като цяло извършването на съответните изчисления не е лесен въпрос, тъй като е необходимо да се вземе предвид съпротивлението на въздуха, въртенето на тялото по време на полет, въртенето на Земята около оста й и някои други фактори.
В тази статия няма да вземем предвид всички тези фактори, а ще разгледаме въпроса от чисто теоретична гледна точка. Независимо от това, получените формули описват доста добре траекториите на телата, движещи се на къси разстояния.
Получаване на формули за разглеждания тип движение
Нека приведем телата към хоризонта под ъгъл. В този случай ще вземем предвид само една единствена сила, действаща върху летящ обект - гравитацията. Тъй като действа вертикално надолу (успоредно на оста y и срещу нея), тогава, като се имат предвид хоризонталните и вертикалните компоненти на движението, можем да кажем, че първият ще има характер на равномерно праволинейно движение. А второто е равномерно бавно (равноускорено) линейно движение с ускорение g. Тоест компонентите на скоростта чрез стойността v 0 (начална скорост) и θ (ъгъл на посоката на движение на тялото) ще бъдат записани, както следва:
v x = v 0 *cos(θ)
v y = v 0 *sin(θ)-g*t
Първата формула (за v x) винаги е валидна. Що се отнася до втория, тук трябва да се отбележи един нюанс: знакът минус се поставя пред продукта g*t само ако вертикалният компонент v 0 *sin(θ) е насочен нагоре. В повечето случаи това се случва, но ако хвърлите тяло от високо, насочвайки го надолу, тогава в израза за v y трябва да поставите знака "+" пред g*t.
Интегрирайки формулите за компонентите на скоростта във времето и като вземем предвид началната височина h на полета на тялото, получаваме уравнения за координатите:
x = v 0 *cos(θ)*t
y = h+v 0 *sin(θ)*t-g*t 2 /2
Изчисляване на обхвата на полета
Когато се разглежда във физиката движението на тяло към хоризонта под ъгъл, полезен за практическо приложение, това се оказва изчисляването на обхвата на полета. Нека го дефинираме.
Тъй като това движение е равномерно движение без ускорение, достатъчно е да замените времето на полета в него и да получите желания резултат. Обхватът на полета се определя единствено от движението по оста x (успоредно на хоризонта).
Времето, през което едно тяло остава във въздуха, може да се изчисли чрез задаване на координатата y на нула. Ние имаме:
0 = h+v 0 *sin(θ)*t-g*t 2 /2
Решаваме това квадратно уравнение чрез дискриминанта, получаваме:
D = b 2 - 4*a*c = v 0 2 *sin 2 (θ) - 4*(-g/2)*h = v 0 2 *sin 2 (θ) + 2*g*h,
t = (-b±√D)/(2*a) = (-v 0 *sin(θ)±√(v 0 2 *sin 2 (θ) + 2*g*h))/(-2* g/2) =
= (v 0 *sin(θ)+√(v 0 2 *sin 2 (θ) + 2*g*h))/g.
В последния израз един корен със знак минус се изхвърля поради незначителното му физическо значение. Замествайки времето за полет t в израза за x, получаваме обхвата на полета l:
l = x = v 0 *cos(θ)*(v 0 *sin(θ)+√(v 0 2 *sin 2 (θ) + 2*g*h))/g.
Най-лесният начин да анализираме този израз е, ако първоначалната височина е нула (h=0), тогава получаваме проста формула:
l = v 0 2 *sin(2*θ)/g
Този израз показва, че максималният обхват на полета може да се получи, ако тялото се хвърли под ъгъл от 45 o (sin(2*45 o) = m1).
Максимална височина на повдигане
В допълнение към разстоянието на полета, също е полезно да се намери височината над земята, до която тялото може да се издигне. Тъй като този тип движение се описва с парабола, чиито клонове са насочени надолу, максималната височина на повдигане е нейният екстремум. Последното се изчислява чрез решаване на уравнението за t производната на y:
dy/dt = d(h+v 0 *sin(θ)*t-g*t 2 /2)/dt = v 0 *sin(θ)-gt=0 =>
=> t = v 0 *sin(θ)/g.
Замествайки това време в уравнението за y, получаваме:
y = h+v 0 *sin(θ)*v 0 *sin(θ)/g-g*(v 0 *sin(θ)/g) 2 /2 = h + v 0 2 *sin 2 (θ)/( 2*g).
Този израз показва, че тялото ще се издигне до максималната си височина, ако бъде хвърлено вертикално нагоре (sin 2 (90 o) = 1).
В тази статия ще разгледаме анализа на ситуация, при която тяло е хвърлено под ъгъл спрямо хоризонталата. Това може да бъде хвърляне на камък с ръка, изстрелване на снаряд от оръдие, изстрелване на стрела от лък и т.н. Всички тези ситуации са описани по един и същи начин от математическа гледна точка.
Характеристика на движение под ъгъл спрямо хоризонталата
Какви са приликите между горните примери от гледна точка на физиката? Тя се крие в природата на силите, действащи върху тялото. По време на свободния полет на тялото върху него действат само две сили:
- Гравитация.
- Windage.
Ако масата на тялото е достатъчно голяма и формата му е заострена (снаряд, стрела), тогава съпротивлението на въздуха може да се пренебрегне.
По този начин движението на тяло, хвърлено под ъгъл спрямо хоризонта, е проблем, в който се появява само гравитацията. Именно това определя формата на траекторията, която се описва с добра точност от параболична функция.
Уравнения на движение по параболична траектория. Скорост
Тялото беше хвърлено под ъгъл спрямо хоризонта. Как можете да опишете движението му? Тъй като единствената сила, действаща по време на полета на тялото, е насочена надолу, нейната хоризонтална компонента е нула. Този факт означава, че хоризонталното движение на обекта се определя еднозначно от началните условия (ъгъл на хвърляне или изстрел θ и скорост v). Вертикалното движение на тялото е ярък пример за равномерно ускорено движение, където ролята на ускорение играе константата g (9,81 m/s2).
Като вземем предвид горното, можем да запишем два компонента за скоростта на летящо тяло в момент t:
v x = v * cos(θ);
v y = v * sin(θ) - g * t
Както се вижда компонентата v x не зависи от времето и остава постоянна по време на цялата траектория на полета (последствие от липсата на външни сили по посока на оста x). Компонентата v y има максимум в началния момент от време. И след това започва да намалява, докато стане нула в максималната точка на излитане на тялото. След това той сменя знака и в момента на спадане се оказва равен на модула на началната компонента v y, тоест v*sin(θ).
Написаните уравнения ни позволяват да определим скоростта на тяло, хвърлено под ъгъл спрямо хоризонталата във всеки момент t. Неговият модул ще бъде равен на:
v = √ (v x 2 + v y 2) = √ (v 2 * cos 2 (θ) + v 2 * sin 2 (θ) - 2 * v* sin(θ) * g * t + g 2 * t 2) =
= √ (v 2 - 2 * v * sin(θ) * g * t + g 2 * t 2)
Уравнения на движение по параболична траектория. Обхват на полета
Тялото беше хвърлено под ъгъл спрямо хоризонта. Колко далеч ще лети? Проблемът с обхвата се отнася до промяната в координатата x. Тази стойност може да се намери чрез интегриране на двата компонента на скоростта във времето. В резултат на интегрирането получаваме формулите:
x = v * cos(θ) * t + x 0;
y = v * sin(θ) * t - g * t 2 /2 + y 0
Разликата между координатите x и x 0 е обхватът на полета. Ако приемем, че x 0 = 0, тогава обхватът ще бъде равен на x, за да намерите което трябва да знаете колко дълго t тялото ще бъде във въздуха.
Второто уравнение ви позволява да изчислите това време, при условие че е известна стойността y 0 (височината h, от която е хвърлено тялото). Когато обектът завърши своето движение (падне на земята), неговата y координата ще стане нула. Нека изчислим времето, когато това ще се случи. Ние имаме:
v * sin(θ) * t - g * t 2 /2 + h = 0
Пред нас е пълно квадратно равенство. Решаваме го чрез дискриминанта:
D = v 2 * sin 2 (θ) - 4 * (-g/2) * h = v 2 * sin 2 (θ) + 2 * g * h;
t = (-v * sin(θ) ± √D)/(2 * (-g/2))
Изхвърляме отрицателния корен. Получаваме следното време на полета:
t = (v * sin(θ) + √ (v 2 * sin 2 (θ) + 2 * g * h))/g
Сега заместваме тази стойност в уравнението за обхват на полета. Получаваме:
x = v * cos(θ) * (v * sin(θ)+√ (v 2 * sin 2 (θ) + 2 * g * h))/g
Ако тялото е хвърлено от земята, тоест h = 0, тогава тази формула ще бъде значително опростена. И ще изглежда така:
x = 2 * v 2 * cos(θ) * sin(θ)/g = v 2 * sin(2 * θ)/g
Последният израз е получен чрез връзката между тригонометричните функции на синус и косинус (формула за редукция).
Тъй като синусът има максимална стойност за прав ъгъл, тогава максималният обхват на полета се постига, когато тялото е изхвърлено (изстреляно) от повърхността на земята под ъгъл 45 ° и този обхват е равен на:
Височина на тялото, хвърлено под ъгъл спрямо хоризонталата
Сега нека определим друг важен параметър - височината, до която може да се издигне хвърлен предмет. Очевидно за това е достатъчно да се вземе предвид само промяната на y координатата.
И така, едно тяло е хвърлено под ъгъл спрямо хоризонта, до каква височина ще излети? Тази височина ще съответства на компонента на скоростта v y, който е нула. Имаме уравнението:
v y = v * sin(θ) - g * t = 0
Да решим уравнението. Получаваме:
Сега трябва да замените това време в израза за y координатата. Получаваме:
y = v * sin(θ) * t - g * t 2 /2 + h = v 2 * sin 2 (θ)/g - g/2* v 2 * sin 2 (θ)/g 2 + h =
V 2 * sin 2 (θ)/(2 * g) + h
Тази формула показва, че максималната височина, за разлика от обхвата на полета, се получава, ако тялото е хвърлено строго вертикално (θ = 90). В този случай стигаме до формулата:
Интересно е да се отбележи, че във всички формули, дадени в тази статия, телесното тегло не се появява. Характеристиките на параболичната траектория не зависят от него, а само при липса на въздушно съпротивление.
Максималният обхват на полет на камък, изстрелян от неподвижен катапулт, е S = 22,5 m. Намерете максималния възможен обсег на камък, изстрелян от същия катапулт, монтиран върху платформа, движеща се хоризонтално с постоянна скорост v = 15,0 m/s. Игнорирайте съпротивлението на въздуха, изчислете ускорението поради гравитацията g = 10,0 m/s 2.
Решение: Добре известно е, че максималната далечина на полета на тяло, хвърлено под ъгъл спрямо хоризонталата, се постига при ъгъл на излитане, равен на 45°и се определя по формулата:
Нека сега разгледаме полета на камък, пуснат от движещ се катапулт. Нека въведем координатна система, чиито оси са: X- насочен хоризонтално, и Y— вертикално. Началото на координатите е съвместимо с позицията на катапулта в момента, в който камъкът е пуснат.
За да се изчисли векторът на скоростта на камъка, е необходимо да се вземе предвид хоризонталната скорост на катапулта v = v o. Да кажем, че катапулт хвърля камък под ъгъл α към хоризонта. Тогава компонентите на началната скорост на камъка в нашата координатна система могат да бъдат записани като:
Замествайки този израз в първото уравнение на системата (3), получаваме обхвата на полета на камъка:Второ, от (5) изобщо не следва, че S 1ще бъде максимално при α = 45°(това е вярно за (6), когато v=0).
Предлагайки тази задача за Републиканската олимпиада, авторите бяха убедени, че девет десети от участниците ще получат формула (5) и след това ще заменят стойността в нея α = 45°. Но за наше съжаление сбъркахме: нито един олимпиец не се усъмни, че максималният обхват на полета винаги (!) се постига при ъгъл на излитане, равен на 45°. Този добре известен факт има ограничена приложимост: той е верен само ако:
а) не отчита съпротивлението на въздуха;
б) точката на излитане и точката на падане са на едно ниво;
в) снарядът е неподвижен.
Да се върнем към решаването на проблема. Така че трябва да намерим стойността на ъгъла α , при което S 1определена по формула (5), е максимална. Можете, разбира се, да намерите екстремума на функцията, като използвате апарата за диференциално смятане: намерете производната, задайте я равна на нула и след като решите полученото уравнение, намерете желаната стойност α . Въпреки това, като се има предвид, че задачата е предложена на ученици от 9 клас, ще дадем нейното геометрично решение. Нека се възползваме от факта, че v = v o = 15 m/s.
Нека подредим векторите vИ v oкакто е показано на фиг. Тъй като дължините им са равни, около тях може да се опише окръжност с център в точка O. Тогава дължината на отсечката A.C.равно на v o + v o cos α(така е vxo), и дължината на сегмента пр.н.е.равно на v o sin α(Това вио). Техният продукт е равен на удвоената площ на триъгълника ABC, или площта на триъгълника ABB 1.
Моля, обърнете внимание, че продуктът е включен в израза за обхват на полета (5). С други думи, обхватът на полета е равен на произведението на площта ΔАВВ 1с постоянен фактор 2/g.
Сега нека се запитаме: кой от триъгълниците, вписани в даден кръг, има максимална площ? Естествено правилно! Следователно желаната стойност на ъгъла α = 60°.
вектор ABима вектор на общата начална скорост на камъка, той е насочен под ъгъл 30°до хоризонта (отново, изобщо не 45°).
Така окончателното решение на задачата следва от формула (5), в която трябва да заместим α = 60°.
Ако едно тяло е хвърлено под ъгъл спрямо хоризонта, то по време на полет върху него действат силата на гравитацията и силата на въздушното съпротивление. Ако съпротивителната сила се пренебрегне, тогава единствената останала сила е гравитацията. Следователно, поради 2-ри закон на Нютон, тялото се движи с ускорение, равно на ускорението на гравитацията; проекции на ускорението върху координатните оси ax = 0, ay = - g.
Фигура 1. Кинематични характеристики на тяло, хвърлено под ъгъл спрямо хоризонталата
Всяко сложно движение на материална точка може да бъде представено като суперпозиция на независими движения по координатните оси, като в посоката на различните оси типът на движение може да се различава. В нашия случай движението на летящо тяло може да се представи като суперпозиция на две независими движения: равномерно движение по хоризонталната ос (ос X) и равномерно ускорено движение по вертикалната ос (ос Y) (фиг. 1) .
Следователно проекциите на скоростта на тялото се променят с времето, както следва:
където $v_0$ е началната скорост, $(\mathbf \alpha )$ е ъгълът на хвърляне.
С нашия избор на произход, началните координати (фиг. 1) са $x_0=y_0=0$. Тогава получаваме:
(1)
Нека анализираме формули (1). Нека определим времето на движение на хвърленото тяло. За да направим това, нека зададем координатата y равна на нула, защото в момента на кацане височината на тялото е нула. От тук получаваме за времето на полета:
Втората времева стойност, при която височината е нула, е нула, което съответства на момента на хвърляне, т.е. тази стойност има и физическо значение.
Получаваме обхвата на полета от първата формула (1). Обхватът на полета е стойността на координатата x в края на полета, т.е. във време равно на $t_0$. Замествайки стойност (2) в първата формула (1), получаваме:
От тази формула се вижда, че най-голяма далечина на полета се постига при ъгъл на хвърляне 45 градуса.
Максималната височина на повдигане на хвърленото тяло може да се получи от втората формула (1). За да направите това, трябва да замените в тази формула времева стойност, равна на половината от времето на полета (2), защото Максималната височина на полета е в средата на траекторията. Извършвайки изчисления, получаваме
От уравнения (1) може да се получи уравнението на траекторията на тялото, т.е. уравнение, свързващо координатите x и y на тялото по време на движение. За да направите това, трябва да изразите времето от първото уравнение (1):
и го заместете във второто уравнение. Тогава получаваме:
Това уравнение е уравнението на траекторията на движение. Може да се види, че това е уравнението на парабола с нейните клонове надолу, както е посочено със знака „-“ пред квадратичния член. Трябва да се има предвид, че ъгълът на хвърляне $\alpha $ и неговите функции тук са просто константи, т.е. постоянни числа.
Тяло се хвърля със скорост v0 под ъгъл $(\mathbf \alpha )$ спрямо хоризонта. Време на полет $t = 2 s$. До каква височина Hmax ще се издигне тялото?
$$t_B = 2 s$$ $$H_max - ?$$
Законът за движение на тялото има формата:
$$\left\( \begin(array)(c) x=v_(0x)t \\ y=v_(0y)t-\frac(gt^2)(2) \end(array) \right.$ $
Векторът на началната скорост образува ъгъл $(\mathbf \alpha )$ с оста OX. следователно
\ \ \
Камък се хвърля от върха на планина под ъгъл = 30$()^\circ$ спрямо хоризонта с начална скорост $v_0 = 6 m/s$. Ъгъл на наклонената равнина = 30$()^\circ$. На какво разстояние от точката на хвърляне ще падне камъкът?
$$ \alpha =30()^\circ$$ $$v_0=6\ m/s$$ $$S - ?$$
Нека поставим началото на координатите в точката на хвърляне, OX - по наклонената равнина надолу, OY - перпендикулярно на наклонената равнина нагоре. Кинематични характеристики на движението:
Закон за движение:
$$\left\( \begin(array)(c) x=v_0t(cos 2\alpha +g\frac(t^2)(2)(sin \alpha \ )\ ) \\ y=v_0t(sin 2 \alpha \ )-\frac(gt^2)(2)(cos \alpha \ ) \end(масив) \right.$$ \
Замествайки получената стойност $t_В$, намираме $S$: