В предишните уроци разгледахме два начина за разлагане на полином на множители: поставяне на общия множител извън скоби и метода на групиране.
В този урок ще разгледаме друг начин за факторизиране на полином използване на формули за съкратено умножение.
Препоръчваме ви да пишете всяка формула поне 12 пъти. За по-добро запаметяване запишете всички съкратени формули за умножение на малък лист за измама.
Нека си припомним как изглежда формулата за разликата между кубовете.
a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)Формулата за разликата в кубчетата не е много лесна за запомняне, затова препоръчваме да използвате специален метод, за да я запомните.
Важно е да се разбере, че всяка формула за съкратено умножение също работи обратна страна.
(a − b)(a 2 + ab + b 2) = a 3 − b 3Нека разгледаме един пример. Необходимо е да се разложи разликата на кубчетата.
Моля, обърнете внимание, че „27a 3“ е „(3a) 3“, което означава, че за формулата за разликата на кубчетата вместо „a“ използваме „3a“.
Използваме формулата за разликата на кубовете. На мястото на “a 3” имаме “27a 3”, а на мястото на “b 3”, както във формулата, има “b 3”.
Прилагане на разликата от кубчета в обратна посока
Нека да разгледаме друг пример. Трябва да преобразувате произведението на полиномите в разликата на кубовете, като използвате формулата за съкратено умножение.
Моля, обърнете внимание, че произведението на полиномите „(x − 1)(x 2 + x + 1)“ прилича на дясната страна на формулата за разликата на кубовете „“, само че вместо „a“ има „x“, а на място от „b“ има „1“.
За „(x − 1)(x 2 + x + 1)“ използваме формулата за разликата на кубовете в обратна посока.
Нека да разгледаме един по-сложен пример. Необходимо е да се опрости произведението на полиномите.
Ако сравним „(y 2 − 1)(y 4 + y 2 + 1)“ с дясната страна на формулата за разликата на кубовете
« a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)“, тогава можете да разберете, че на мястото на „а” от първата скоба има „y 2”, а на мястото на „b” има „1”.
Формули за съкратено умножение.
Разучаване на формули за съкратено умножение: квадрат на сбора и квадрат на разликата на два израза; разлика на квадратите на два израза; куб на сбора и куб на разликата на два израза; сбор и разлика на кубове на два израза.
Приложение на формули за съкратено умножение при решаване на примери.
За да опростите изрази, разложете полиномите на множители, намалете полиномите до стандартен изгледизползват се формули за съкратено умножение. Формулите за съкратено умножение трябва да знаете наизуст.
Нека a, b R. Тогава:
1. Квадратът на сбора от два израза е равен наквадратът на първия израз плюс два пъти произведението на първия израз и втория плюс квадратът на втория израз.
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
2. Квадратът на разликата на два израза е равен наквадратът на първия израз минус два пъти произведението на първия израз и втория плюс квадратът на втория израз.
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
3. Разлика на квадратитедва израза е равно на произведението от разликата на тези изрази и тяхната сума.
a 2 - b 2 = (a -b) (a+b)
4. Куб сумадва израза е равно на куба на първия израз плюс утроения продукт на квадрата на първия израз и втория плюс утроения продукт на първия израз и квадрата на втория плюс куба на втория израз.
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
5. Куб на разликатадва израза е равно на куба на първия израз минус утроеното произведение на квадрата на първия израз и втория плюс утроеното произведение на първия израз и квадрата на втория минус куба на втория израз.
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
6. Сбор от кубоведва израза е равно на произведението от сбора на първия и втория израз и непълния квадрат на разликата на тези изрази.
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
7. Разлика на кубчетадва израза е равно на произведението на разликата на първия и втория израз по непълния квадрат на сумата от тези изрази.
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Приложение на формули за съкратено умножение при решаване на примери.
Пример 1.
Изчислете
а) Използвайки формулата за квадрат на сумата от два израза, имаме
(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681
б) Използвайки формулата за квадрат на разликата на два израза, получаваме
98 2 = (100 – 2) 2 = 100 2 - 2 100 2 + 2 2 = 10000 – 400 + 4 = 9604
Пример 2.
Изчислете
Използвайки формулата за разликата на квадратите на два израза, получаваме
Пример 3.
Опростете израз
(x - y) 2 + (x + y) 2
Нека използваме формулите за квадрат на сумата и квадрат на разликата на два израза
(x - y) 2 + (x + y) 2 = x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 = 2x 2 + 2y 2
Формули за съкратено умножение в една таблица:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Формулите или правилата за съкратено умножение се използват в аритметиката, по-специално в алгебрата, за да се ускори процеса на изчисляване на големи алгебрични изрази. Самите формули се извличат от съществуващите в алгебрата правила за умножение на няколко полинома.
Използването на тези формули осигурява доста бързо решение на различни математически задачи, а също така помага за опростяване на изрази. Правилата на алгебричните трансформации ви позволяват да извършвате някои манипулации с изрази, след което можете да получите от лявата страна на равенството израза от дясната страна или да трансформирате дясната страна на равенството (за да получите израза от лявата страна след знака за равенство).
Удобно е да знаете формулите, използвани за съкратено умножение от паметта, тъй като те често се използват при решаване на задачи и уравнения. По-долу са основните формули, включени в този списък, и техните имена.
Квадрат на сумата
За да изчислите квадрата на сумата, трябва да намерите сумата, състояща се от квадрата на първия член, два пъти произведението на първия член и втория и квадрата на втория. Под формата на израз това правило се записва по следния начин: (a + c)² = a² + 2ac + c².
Разлика на квадрат
За да изчислите квадрата на разликата, трябва да изчислите сумата, състояща се от квадрата на първото число, два пъти произведението на първото число и второто (взето с противоположния знак) и квадрата на второто число. Под формата на израз това правило изглежда така: (a - c)² = a² - 2ac + c².
Разлика на квадратите
Формулата за разликата на две числа на квадрат е равна на произведението от сбора на тези числа и тяхната разлика. Под формата на израз това правило изглежда така: a² - с² = (a + с)·(a - с).
Куб сума
За да изчислите куба на сумата от два члена, трябва да изчислите сумата, състояща се от куба на първия член, утроете произведението на квадрата на първия член и втория, утройте произведението на първия член и втория на квадрат и кубът на втория член. Под формата на израз това правило изглежда така: (a + c)³ = a³ + 3a²c + 3ac² + c³.
Сбор от кубове
Според формулата тя е равна на произведението от сумата на тези членове и тяхната непълна квадратна разлика. Под формата на израз това правило изглежда така: a³ + c³ = (a + c)·(a² - ac + c²).
Пример.Необходимо е да се изчисли обемът на фигура, образувана чрез събиране на два куба. Известни са само размерите на страните им.
Ако страничните стойности са малки, тогава изчисленията са прости.
Ако дължините на страните са изразени в тромави числа, тогава в този случай е по-лесно да използвате формулата „Сума от кубове“, което значително ще опрости изчисленията.
Куб на разликата
Изразът за кубичната разлика звучи така: като сбор от третата степен на първия член, утроете отрицателния продукт на квадрат на първия член по втория, утройте произведението на първия член на квадрата на втория и отрицателния куб на втория член. Във формата математически изразкубът на разликата изглежда така: (a - c)³ = a³ - 3a²c + 3ac² - c³.
Разлика на кубчета
Формулата за разликата на кубовете се различава от сумата на кубовете само с един знак. По този начин разликата на кубовете е формула, равна на произведението на разликата на тези числа и техния непълен квадрат на сумата. Във формата разликата на кубчетата изглежда така: a 3 - c 3 = (a - c)(a 2 + ac + c 2).
Пример.Необходимо е да се изчисли обемът на фигурата, който ще остане след изваждане от обема на синия куб обемна фигуражълто, което също е куб. Известен е само размерът на страните на малкия и големия куб.
Ако страничните стойности са малки, тогава изчисленията са доста прости. И ако дължините на страните са изразени в значителни числа, тогава си струва да приложите формулата, озаглавена „Разлика на кубовете“ (или „Куб на разликата“), което значително ще опрости изчисленията.
Разлика на квадратите
Нека изведем формулата за разликата на квадратите $a^2-b^2$.
За да направите това, запомнете следното правило:
Ако добавим произволен моном към израза и извадим същия моном, получаваме правилното тъждество.
Нека добавим към нашия израз и извадим от него монома $ab$:
Общо получаваме:
Тоест разликата между квадратите на два монома е равна на произведението на разликата и сбора им.
Пример 1
Представяне като продукт $(4x)^2-y^2$
\[(4x)^2-y^2=((2x))^2-y^2\]
\[((2x))^2-y^2=\наляво(2x-y\надясно)(2x+y)\]
Сбор от кубове
Нека изведем формулата за сбора на кубовете $a^3+b^3$.
Нека извадим общите фактори извън скобите:
Нека извадим $\left(a+b\right)$ извън скобите:
Общо получаваме:
Тоест сборът от кубовете на два монома е равен на произведението от техния сбор и непълния квадрат на тяхната разлика.
Пример 2
Представяне като продукт $(8x)^3+y^3$
Този израз може да бъде пренаписан както следва:
\[(8x)^3+y^3=((2x))^3+y^3\]
Използвайки формулата за разликата на квадратите, получаваме:
\[((2x))^3+y^3=\наляво(2x+y\надясно)(4x^2-2xy+y^2)\]
Разлика на кубчета
Нека изведем формулата за разлика на кубове $a^3-b^3$.
За да направим това, ще използваме същото правило като по-горе.
Нека добавим към нашия израз и извадим от него мономите $a^2b\ и\ (ab)^2$:
Нека извадим общите фактори извън скобите:
Нека извадим $\left(a-b\right)$ извън скобите:
Общо получаваме:
Тоест разликата на кубовете на два монома е равна на произведението на разликата им по непълния квадрат на техния сбор.
Пример 3
Представяне като продукт $(8x)^3-y^3$
Този израз може да бъде пренаписан както следва:
\[(8x)^3-y^3=((2x))^3-y^3\]
Използвайки формулата за разликата на квадратите, получаваме:
\[((2x))^3-y^3=\left(2x-y\right)(4x^2+2xy+y^2)\]
Примерни задачи с използване на формули за разлика на квадрати и сбор и разлика на кубове
Пример 4
Факторизирайте го.
а) $((a+5))^2-9$
в) $-x^3+\frac(1)(27)$
Решение:
а) $((a+5))^2-9$
\[(((a+5))^2-9=(a+5))^2-3^2\]
Прилагайки формулата за разликата на квадратите, получаваме:
\[((a+5))^2-3^2=\left(a+5-3\right)\left(a+5+3\right)=\left(a+2\right)(a +8)\]
Нека запишем този израз във формата:
Нека приложим формулата на кубовете:
в) $-x^3+\frac(1)(27)$
Нека запишем този израз във формата:
\[-x^3+\frac(1)(27)=(\left(\frac(1)(3)\right))^3-x^3\]
Нека приложим формулата на кубовете:
\[(\left(\frac(1)(3)\right))^3-x^3=\left(\frac(1)(3)-x\right)\left(\frac(1)( 9)+\frac(x)(3)+x^2\right)\]