Резюме открит урокучител на GBPOU " Учителски колеж№ 4 Санкт Петербург"
Мартусевич Татяна Олеговна
Дата: 29.12.2014 г.
Тема: Геометричен смисъл на производните.
Тип урок: изучаване на нов материал.
Методи на обучение: визуално, частично търсене.
Цел на урока.
Въведете понятието допирателна към графиката на функция в точка, разберете какво е геометричното значение на производната, изведете уравнението на допирателната и научете как да го намерите.
Образователни цели:
Постигане на разбиране на геометричния смисъл на производната; извеждане на уравнението на допирателната; научете се да решавате основни проблеми;
осигурете повторение на материала по темата „Дефиниция на производна“;
създават условия за контрол (самоконтрол) на знанията и уменията.
Задачи за развитие:
насърчаване на формирането на умения за прилагане на техники за сравнение, обобщение и подчертаване на основното;
продължи развитието на математическите хоризонти, мисленето и речта, вниманието и паметта.
Образователни задачи:
насърчаване на интерес към математиката;
образование на активност, мобилност, комуникативни умения.
Тип урок – комбиниран урок с използване на ИКТ.
Оборудване – мултимедийна инсталация, презентацияMicrosoftМощностточка.
Етап на урока
време
Дейности на учителя
Студентска дейност
1. Организационен момент.
Посочете темата и целта на урока.
Тема: Геометричен смисъл на производните.
Цел на урока.
Въведете понятието допирателна към графиката на функция в точка, разберете какво е геометричното значение на производната, изведете уравнението на допирателната и научете как да го намерите.
Подготовка на учениците за работа в клас.
Подготовка за работа в клас.
Разбиране на темата и целта на урока.
Водене на бележки.
2. Подготовка за усвояване на нов материал чрез повторение и актуализиране основни познания.
Организация на повторение и актуализиране на основни знания: дефиниране на производна и формулиране на нейния физически смисъл.
Формулиране на определението за производна и формулиране на физичния й смисъл. Повторение, актуализиране и затвърдяване на основни знания.
Организация на повторението и развитие на умението за намиране на производна степенна функцияи елементарни функции.
Намиране на производната на тези функции с помощта на формули.
Повторение на свойствата линейна функция.
Повторение, възприемане на рисунки и изявления на учителя
3. Работа с нов материал: обяснение.
Обяснение на значението на връзката между увеличението на функцията и увеличението на аргумента
Обяснение на геометричния смисъл на производната.
Въвеждане на нов материал чрез устни обяснения с помощта на изображения и визуални средства: мултимедийна презентация с анимация.
Възприемане на обяснение, разбиране, отговори на въпроси на учителя.
Формулиране на въпрос към учителя в случай на затруднение.
Възприемане на нова информация, нейното първично разбиране и разбиране.
Формулиране на въпроси към учителя в случай на затруднение.
Създаване на бележка.
Формулиране на геометричния смисъл на производната.
Разглеждане на три случая.
Водене на бележки, правене на чертежи.
4. Работа с нов материал.
Първично разбиране и прилагане на изучения материал, неговото затвърждаване.
В кои точки производната е положителна?
Отрицателна?
Равно на нула?
Обучение за намиране на алгоритъм за отговаряне на въпроси по график.
Разбиране, осмисляне и прилагане на нова информация за решаване на проблем.
5. Първично разбиране и прилагане на изучения материал, неговото затвърдяване.
Съобщение на условията на задачата.
Записване на условията на задачата.
Формулиране на въпрос към учителя в случай на затруднение
6. Приложение на знанията: самостоятелна учебна работа.
Решете проблема сами:
Приложение на придобитите знания.
Самостоятелна работавърху решаването на задачата за намиране на производната по чертеж. Обсъждане и проверка на отговорите по двойки, формулиране на въпрос към учителя при затруднение.
7. Работа с нов материал: обяснение.
Извеждане на уравнението на допирателна към графиката на функция в точка.
Подробно обяснение на извеждането на уравнението на допирателна към графиката на функция в точка, с помощта на мултимедийна презентация за нагледност и отговори на въпроси на учениците.
Извеждане на уравнението на допирателната съвместно с учителя. Отговори на въпросите на учителя.
Водене на бележки, създаване на рисунка.
8. Работа с нов материал: обяснение.
В диалог с учениците извеждане на алгоритъм за намиране на уравнението на допирателна към графиката на дадена функция в дадена точка.
В диалог с учителя изведете алгоритъм за намиране на уравнението на допирателната към графиката на дадена функция в дадена точка.
Водене на бележки.
Съобщение на условията на задачата.
Обучение в прилагане на придобитите знания.
Организиране на търсенето на начини за решаване на проблем и тяхното прилагане. подробен анализрешения с обяснение.
Записване на условията на задачата.
Правене на предположения за възможни начини за решаване на проблема при изпълнението на всеки елемент от плана за действие. Решаване на проблема заедно с учителя.
Записване на решението на задачата и отговора.
9. Приложение на знанията: самостоятелна работа с учебен характер.
Индивидуален контрол. Консултации и съдействие на учениците при необходимост.
Проверете и обяснете решението с помощта на презентация.
Приложение на придобитите знания.
Самостоятелна работа върху решаване на задача за намиране на производната по чертеж. Обсъждане и проверка на отговорите по двойки, формулиране на въпрос към учителя при затруднение
10. Домашна работа.
§48, задачи 1 и 3, разберете решението и го запишете в тетрадка, с рисунки.
№ 860 (2,4,6,8),
Съобщение домашна работас коментари.
Записване на домашни.
11. Обобщаване.
Повторихме дефиницията на производната; физически смисълпроизводно; свойства на линейна функция.
Научихме какво е геометричното значение на производната.
Научихме как да изведем уравнението на допирателна към графиката на дадена функция в дадена точка.
Корекция и изясняване на резултатите от урока.
Изброяване на резултатите от урока.
12. Рефлексия.
1. Намерихте урока: а) лесен; б) обикновено; в) трудно.
а) усвоил съм го напълно, мога да го прилагам;
б) научили са го, но трудно го прилагат;
в) не разбрах.
3. Мултимедийна презентация в клас:
а) помогна за овладяване на материала; б) не помогна за усвояването на материала;
в) пречи на усвояването на материала.
Провеждане на рефлексия.
Започваме тази статия с преглед на необходимите определения и понятия.
След това нека преминем към записването на уравнението на допирателната и даде подробни решениянай-много типични примерии задачи.
В заключение ще се съсредоточим върху намирането на уравнението на допирателната към криви от втори ред, тоест към окръжност, елипса, хипербола и парабола.
Навигация в страницата.
Дефиниции и понятия.
Определение.
Ъгъл на права линия y=kx+b е ъгълът, измерен от положителната посока на оста x до правата линия y=kx+b в положителната посока (т.е. обратно на часовниковата стрелка).
На фигурата положителната посока на оста x е показана с хоризонтална зелена стрелка, положителната посока на ъгъла е показана със зелена дъга, правата линия е показана със синя линия, а ъгълът на наклон на правата линията е показана с червена дъга.
Определение.
Наклон на права линия y=kx+b се нарича числов коефициент k.
Наклонът на права линия е равен на тангенса на ъгъла на наклона на правата линия, тоест .
Определение.
Директен AB, прекаран през две точки от графиката на функцията y=f(x), се нарича секуща. С други думи, секущае права линия, минаваща през две точки от графиката на функция.
На фигурата секущата AB е показана като синя линия, графиката на функцията y=f(x) е показана като черна крива, а ъгълът на наклона на секущата е показан като червена дъга.
Ако вземем предвид, че ъгловият коефициент на правата линия е равен на тангенса на ъгъла на наклон (това беше обсъдено по-горе), а тангенса на ъгъла в правоъгълен триъгълник ABC е съотношението на противоположната страна към съседната страна (това е дефиницията на тангенса на ъгъл), тогава поредица от равенства ще бъде вярна за нашия секанс 
, където са абсцисите на точки A и B, 
- съответните стойности на функцията.
т.е. секущ ъгълсе определя от равенството 
или 
, А секущо уравнениенаписана във формуляра 
или 
(ако е необходимо, вижте раздела).
Секущата разделя графиката на функция на три части: вляво от точка A, от A до B и вдясно от точка B, въпреки че може да има повече от две общи точки с графиката на функцията.
Фигурата по-долу показва три действително различни секанса (точки A и B са различни), но те съвпадат и са дадени от едно уравнение.
Никога не сме срещали разговори за секуща за права линия. Но все пак, ако започнем от определението, тогава правата линия и нейната секуща съвпадат.
В някои случаи секансът може да има безкраен брой пресечни точки с графиката на функция. Например секансът, определен от уравнението y=0, има безкраен брой общи точки със синусоидата.
Определение.
Допирателна към графиката на функцията y=f(x) в точкатанаречена права линия, минаваща през точка, с сегмент от която графиката на функция практически се слива за стойности на x произволно близки до .
Нека обясним това определение с пример. Нека покажем, че правата y = x+1 е допирателна към графиката на функцията в точката (1; 2). За да направим това, ще покажем графики на тези функции, докато се приближаваме до точката на допиране (1; 2). Графиката на функцията е показана в черно, допирателната е показана като синя линия, а точката на допирателна е показана като червена точка.
Всеки следващ чертеж е уголемена област на предишния (тези области са подчертани с червени квадратчета).
Ясно се вижда, че близо до точката на допиране графиката на функцията практически се слива с допирателната y=x+1.
Сега нека преминем към по-смисленото определение на допирателната.
За да направим това, ще покажем какво ще се случи със секущата AB, ако точка B е безкрайно по-близо до точка A.
Фигурата по-долу илюстрира този процес.
Секансът AB (показан като синя пунктирана линия) ще се стреми да заеме позицията на допирателната към правата линия (показан като синя плътна линия), ъгълът на наклона на секанса (показан като червена пунктирана дъга) ще се стреми да ъгълът на наклон на тангентата (показан като плътна червена дъга).
Определение.
по този начин допирателна към графиката на функцията y=f(x) в точка Aе граничната позиция на секанса AB при .
Сега можем да преминем към описание на геометричния смисъл на производната на функция в точка.
Геометричен смисъл на производната на функция в точка.
Нека разгледаме секанса AB на графиката на функцията y=f(x), така че точките A и B имат координати и съответно 
, където е нарастването на аргумента. Нека означим с нарастването на функцията. Нека маркираме всичко на чертежа:
От правоъгълен триъгълник ABC имаме . Тъй като по дефиниция допирателната е граничната позиция на секанса, тогава 
.
Нека си припомним дефиницията на производната на функция в точка: производната на функция y=f(x) в точка е границата на съотношението на нарастването на функцията към нарастването на аргумента в , означено 
.
следователно 
, където е наклонът на тангентата.
По този начин съществуването на производна на функцията y=f(x) в точка е еквивалентно на съществуването на допирателна към графиката на функцията y=f(x) в точката на допиране и наклонът на тангентата е равен на стойността на производната в точката, тоест .
Заключаваме: геометричен смисъл на производната на функция в точкасе състои в съществуването на допирателна към графиката на функцията в тази точка.
Уравнение на допирателна.
За да напишете уравнението на която и да е права линия в равнина, е достатъчно да знаете нейния ъглов коефициент и точката, през която минава. Допирателната минава през точката на допиране и нейният ъглов коефициент за диференцируемата функция е равен на стойността на производната в точката. Тоест, от точката можем да вземем всички данни, за да напишем уравнението на допирателната.
Уравнение на допирателната към графиката на функцията y = f(x) в точкаприлича на .
Предполагаме, че има крайна стойност на производната, в противен случай допирателната е права или вертикална (ако 
и 
), или не съществува (ако 
).
В зависимост от ъгловия коефициент допирателната може да бъде успоредна на абсцисната ос (), успоредна на ординатната ос (в този случай уравнението на допирателната ще има формата), увеличаване () или намаляване ().
Време е да дадем няколко примера за пояснение.
Пример.
Напишете уравнение за допирателната към графиката на функцията 
в точка (-1;-3) и определяне на ъгъла на наклон.
Решение.
Функция, дефинирана за всеки реални числа(ако е необходимо, вижте статията). Тъй като (-1;-3) е точка на допиране, тогава 
.
Намираме производната (за това материалът в статията, диференцираща функция, намирането на производната може да бъде полезен) и изчисляваме нейната стойност в точката: 
Тъй като стойността на производната в точката на допирателна е наклонът на допирателната и е равна на тангенса на ъгъла на наклон, тогава 
.
Следователно ъгълът на наклона на допирателната е равен на 
, а уравнението на допирателната има формата 
Графична илюстрация.
Графиката на оригиналната функция е показана в черно, допирателната линия е показана като синя линия, а точката на допирателна е показана като червена точка. Картината вдясно е увеличен изглед на зоната, обозначена с червения пунктиран квадрат на снимката вляво.
Пример.
Разберете дали има допирателна към графиката на функция 
в точка (1; 1), ако да, тогава съставете уравнението му и определете ъгъла му на наклон.
Решение.
Домейнът на функция е цялото множество от реални числа.
Намиране на производната: 
Когато производната не е дефинирана, но 
и 
следователно в точка (1;1) има вертикална допирателна, нейното уравнение е x = 1, а ъгълът на наклон е равен на .
Графична илюстрация.
Пример.
Намерете всички точки на графиката на функцията, при които:
а) допирателната не съществува; б) допирателната е успоредна на оста х; в) допирателната е успоредна на правата.
Решение.
Както винаги, започваме с областта на дефиниране на функцията. В нашия пример функцията е дефинирана върху целия набор от реални числа. Нека разширим знака на модула, разгледаме два интервала и : 
Нека разграничим функцията: 
При x=-2 производна не съществува, тъй като едностранните граници в тази точка не са равни: 
Така, след като сме изчислили стойността на функцията при x=-2, можем да дадем отговора на точка а): допирателната към графиката на функцията не съществува в точката (-2;-2).
б) Допирателната е успоредна на оста x, ако нейният наклон е наклонен равно на нула(тангенсът на ъгъла на наклон е нула). защото 
, тогава трябва да намерим всички стойности на x, при които производната на функцията изчезва. Тези стойности ще бъдат абсцисата на допирателните точки, в които допирателната е успоредна на оста Ox.
Когато решим уравнението 
, и кога е уравнението 
:
Остава да се изчислят съответните стойности на функцията: 
Ето защо, 
- необходимите точки от графиката на функцията.
Графична илюстрация.
Графиката на оригиналната функция е изобразена с черна линия, с червени точки са отбелязани намерените точки, в които допирателните са успоредни на абсцисната ос.
в) Ако две прави в една равнина са успоредни, то ъгловите им коефициенти са равни (това е написано в статията). Въз основа на това твърдение трябва да намерим всички точки на графиката на функцията, при които наклонът на тангентата е равен на осем пети. Тоест трябва да решим уравнението. Така, когато решим уравнението 
, и кога е уравнението 
.
Дискриминантът на първото уравнение е отрицателен, следователно няма реални корени: 
Второто уравнение има два реални корена: 
Намерете съответните стойности на функцията: 
По точки 
допирателните към графиката на функция са успоредни на правата.
Графична илюстрация.
Графиката на функцията е показана с черна линия, червената линия показва графиката на правата линия, сините линии показват допирателните към графиката на функцията в точки .
За тригонометрични функциипоради тяхната периодичност може да има безкраен брой допирателни, които имат еднакъв наклон (еднакъв наклон).
Пример.
Напишете уравнения на всички допирателни към графиката на функцията 
които са перпендикулярни на правата.
Решение.
За да създадем уравнение за допирателна към графиката на функция, трябва само да знаем нейния наклон и координатите на точката на допирателна.
Намираме ъгловия коефициент на допирателните от: произведението на ъгловите коефициенти на перпендикулярни прави линии е равно на минус едно, т.е. Тъй като по условие ъгловият коефициент на перпендикулярна права линия е равен на , тогава 
.
Нека започнем да намираме координатите на допирателните точки. Първо, нека намерим абсцисите, след което изчислим съответните стойности на функцията - това ще бъдат ординатите на допирателните точки.
Когато описваме геометричния смисъл на производната на функция в точка, отбелязахме това. От това равенство намираме абсцисата на допирателните точки. 
Стигнахме до тригонометрично уравнение. Моля, обърнете внимание на него, тъй като по-късно ще го използваме при изчисляване на ординатите на допирателните точки. Ние го решаваме (ако имате затруднения, моля, вижте раздела решаване на тригонометрични уравнения):
Абсцисите на допирателните точки са намерени, нека изчислим съответните ординати (тук използваме равенството, на което ви помолихме да обърнете внимание точно по-горе): 
Така всички допирни точки. Следователно търсените допирателни уравнения имат формата: 
Графична илюстрация.
Фигурата на черната крива показва графиката на оригиналната функция върху сегмента [-10;10], сините линии изобразяват допирателните. Ясно се вижда, че са перпендикулярни на червената линия. Допирните точки са маркирани с червени точки.
Допирателна към окръжност, елипса, хипербола, парабола.
До този момент бяхме заети с намирането на уравнения за допирателни към графики на еднозначни функции от вида y = f(x) в различни точки. Канонични уравнениякривите от втори ред не са еднозначни функции. Но ние можем да представим окръжност, елипса, хипербола и парабола чрез комбинация от две еднозначни функции и след това да съставим уравнения за допирателна според добре позната схема.
Допирателна към окръжност.
Окръжност с център в точка 
и радиусът R е даден от .
Нека запишем това равенство като обединение на две функции: 
Тук първата функция съответства на горния полукръг, втората - на долния.
По този начин, за да построим уравнението на допирателната към окръжността в точка, принадлежаща на горния (или долния) полукръг, намираме уравнението на допирателната към графиката на функцията (или) в посочената точка.
Лесно е да се покаже, че в точки от окръжност с координати 
и 
допирателните са успоредни на оста x и се дават от уравненията и съответно (на фигурата по-долу те са показани като сини точки и сини прави линии), а в точките 
и 
- са успоредни на ординатната ос и имат уравнения и съответно (на фигурата по-долу те са отбелязани с червени точки и червени прави линии).
Допирателна към елипса.
Елипса с център в точка с полуоси a и b се дава от уравнението 
.
Елипса, подобно на кръг, може да се дефинира чрез комбиниране на две функции - горната и долната полуелипса: 
Допирателните при върховете на елипсата са успоредни или на абсцисната ос (показана със сини прави линии на фигурата по-долу), или на ординатната ос (показана с червени прави линии на фигурата по-долу).
Тоест горната полуелипса е дадена от функцията 
, а долната - 
.
Сега можем да използваме стандартния алгоритъм, за да съставим уравнение за допирателна към графиката на функция в точка.
Първа допирателна в точка: 
Втора допирателна в точка 
:
Графична илюстрация.
Допирателна към хипербола.
Хипербола с център в точка и върхове 
и 
се дава от равенството 
(снимка долу вляво), и с върхове 
и 
- равенство 
(снимката долу вдясно).
Като комбинация от две функции хиперболата може да бъде представена като
или 
.
В върховете на хиперболата допирателните са успоредни на оста Oy за първия случай и успоредни на оста Ox за втория.
По този начин, за да намерим уравнението на допирателната към хиперболата, откриваме на коя функция принадлежи точката на допирателна и продължаваме по обичайния начин.
Възниква логичен въпрос: как да определим на коя функция принадлежи дадена точка. За да отговорим на него, заместваме координатите във всяко уравнение и виждаме кое от равенствата се превръща в идентичност. Нека да разгледаме това с пример.
Пример.
Напишете уравнение за допирателната към хиперболата 
в точка .
Решение.
Нека напишем хиперболата под формата на две функции: 
Нека разберем на коя функция принадлежи допирателната точка.
Следователно за първата функция точката не принадлежи на графиката на тази функция.
Следователно за втората функция точката принадлежи на графиката на тази функция.
Намерете ъгловия коефициент на тангентата: 
По този начин уравнението на допирателната има формата .
Графична илюстрация.
Тангента на парабола.
За да създадете уравнение за допирателна към парабола от формата 
в точка използваме стандартната схема и записваме уравнението на допирателната като . Допирателната към графиката на такава парабола при върха е успоредна на оста Ox.
Парабола 
Първо го дефинираме чрез комбиниране на две функции. За да направите това, нека решим това уравнение за y: 
Сега откриваме на коя функция принадлежи допирателната точка и продължаваме по стандартната схема.
Допирателната към графиката на такава парабола във върха е успоредна на оста Oy.
За втората функция: 
Получаване на допирната точка 
.
По този начин уравнението на желаната допирателна има формата 
.
Преди да прочетете информацията на текущата страница, препоръчваме да гледате видеоклип за производната и нейното геометрично значение
Вижте също пример за изчисляване на производната в точка
Допирателната към правата l в точка M0 е правата линия M0T - граничната позиция на секущата M0M, когато точката M клони към M0 по тази права (т.е. ъгълът клони към нула) по произволен начин.
Производна на функцията y = f(x)в точка х0 нареченграницата на съотношението на нарастването на тази функция към нарастването на аргумента, когато последният клони към нула. Производната на функцията y = f(x) в точката x0 и в учебниците се означава със символа f"(x0). Следователно по дефиниция
Терминът "дериват"(също "втора производна") въведен от Ж. Лагранж(1797), освен това той дава обозначенията y’, f’(x), f”(x) (1770,1779). Означението dy/dx се появява за първи път в Лайбниц (1675).
Производната на функцията y = f(x) при x = xo е равна на наклона на допирателната към графиката на тази функция в точката Mo(xo, f(xo)), т.е.
където - допирателен ъгъл
към оста Ox на правоъгълната декартова координатна система.
Уравнение на тангенс
към правата y = f(x) в точката Mo(xo, yo) приема формата
Нормалната към крива в дадена точка е перпендикулярът на допирателната в същата точка. Ако f(x0) не е равно на 0, тогава нормално уравнение на линията y = f(x) в точката Mo(ho, yo) ще бъде записано, както следва:
Физическо значение на производната
Ако x = f(t) - закон праволинейно движениеточки, тогава x’ = f’(t) е скоростта на това движение в момент t. Скорост на потокафизични, химични и други процесите се изразяват с помощта на производната.
Ако съотношението dy/dx за x->x0 има граница отдясно (или отляво), тогава то се нарича производна отдясно (съответно производна отляво). Такива ограничения се наричат едностранни производни.
Очевидно функция f(x), дефинирана в определена околност на точката x0, има производна f’(x) тогава и само ако едностранните производни съществуват и са равни една на друга.
Геометрична интерпретация на производнататъй като ъгловият коефициент на допирателната към графиката също се отнася за този случай: допирателната в този случай е успоредна на оста Oy.
За функция, която има производна в дадена точка, се казва, че е диференцируема в тази точка. Функция, която има производна във всяка точка от даден интервал, се нарича диференцируема в този интервал. Ако интервалът е затворен, тогава в краищата му има едностранни производни.
Операцията за намиране на производната се нарича.
Производна(функции в точка) - основно понятие диференциално смятане, характеризираща скоростта на изменение на функцията (в дадена точка). Определя се като лимитвръзката между нарастването на функция и нейното нарастване аргументкогато нарастването на аргумента клони към нула, ако съществува такова ограничение. Функция, която има крайна производна (в дадена точка), се нарича диференцируема (в тази точка).
Процесът на изчисляване на производната се нарича диференциация. Обратен процес – намиране антипроизводно - интеграция.
Ако функцията е дадена с графика, нейната производна във всяка точка е равна на тангенса на допирателната към графиката на функцията. И ако функцията е дадена с формула, таблицата с производните и правилата за диференциране ще ви помогнат, тоест правилата за намиране на производната.
4. Производна на комплексна и обратна функция.
Нека сега се даде сложна функция , т.е. променливата е функция на променлива, а променливата от своя страна е функция на независима променлива.
Теорема . Ако и диференцируеми функции на своите аргументи, след това сложна функция е диференцируема функция и нейната производна е равна на произведението на производната на тази функция по отношение на междинния аргумент и производната на междинния аргумент по отношение на независимата променлива:
.
Твърдението се получава лесно от очевидното равенство 
(валидно за и ) чрез преминаване до границата при (което, поради непрекъснатостта на диференцируемата функция, предполага ).
Нека преминем към разглеждане на производната обратна функция.
Нека диференцируемата функция на набор има набор от стойности и на набора съществува обратна функция .
Теорема
. Ако в точката
производна
, тогава производната на обратната функция
в точката
съществува и е равна на реципрочната на производната на тази функция: 
, или
Тази формула се получава лесно от геометрични съображения.
Т 
Точно както има тангенс на ъгъла на наклона на допирателната към оста, тоест тангенс на ъгъла на наклон на същата допирателна (същата линия) в същата точка спрямо оста.
Ако са остри, тогава, и ако са тъпи, тогава 
.
И в двата случая 
. Това равенство е еквивалентно на равенството
5. Геометричен и физически смисъл на производната.
1) Физическо значение на производната.
Ако функцията y = f(x) и нейният аргумент x са физически величини, тогава производната е скоростта на промяна на променливата y спрямо променливата x в точка. Например, ако S = S(t) е разстоянието, изминато от точка от времето t, тогава неговата производна е скоростта в момента на време. Ако q = q(t) е количеството електричество, протичащо през напречното сечение на проводника в момент t, тогава е скоростта на промяна в количеството електричество в даден момент, т.е. сила на тока в даден момент.
2) Геометричен смисъл на производната.
Нека е някаква крива, да е точка от кривата.
Всяка права, която пресича поне две точки, се нарича секанс.
Допирателна към крива в точка е граничната позиция на секанса, ако точката се стреми към нея, докато се движи по кривата.
От дефиницията е очевидно, че ако съществува допирателна към крива в точка, то тя е единствената
Разгледайте кривата y = f(x) (т.е. графиката на функцията y = f(x)). Нека в точката 
има невертикална допирателна. Неговото уравнение: (уравнение на права, минаваща през точка 
и с наклон k).
По дефиниция на ъгловия коефициент, където е ъгълът на наклона на правата спрямо оста.
Нека е ъгълът на наклона на секанса спрямо оста, където. Тъй като е допирателна, тогава кога
следователно
Така открихме, че е ъгловият коефициент на допирателната към графиката на функцията y = f(x) в точката 
(геометричен смисъл на производната на функция в точка). Следователно уравнението на допирателната към кривата y = f(x) в точката 
може да се запише във формата
Производната на функция е една от трудните теми в училищна програма. Не всеки завършил ще отговори на въпроса какво е производно.
Тази статия обяснява по прост и ясен начин какво е дериват и защо е необходим.. Сега няма да се стремим към математическа строгост в презентацията. Най-важното е да разберете смисъла.
Нека си припомним определението:
Производната е скоростта на промяна на функция.
Фигурата показва графики на три функции. Според вас кой расте по-бързо?
Отговорът е очевиден - третото. Той има най-високата скорост на промяна, тоест най-голямата производна.
Ето още един пример.
Костя, Гриша и Матвей получиха работа едновременно. Нека видим как са се променили доходите им през годината:
Графиката показва всичко наведнъж, нали? Доходите на Костя се удвоиха за шест месеца. И доходите на Гриша също се увеличиха, но съвсем малко. И доходите на Матвей намаляха до нула. Началните условия са същите, но скоростта на промяна на функцията, т.е производна, - различни. Що се отнася до Матвей, неговата производна на доходите като цяло е отрицателна.
Интуитивно, ние лесно оценяваме скоростта на промяна на функция. Но как да направим това?
Това, което наистина гледаме, е колко стръмно се издига (или надолу) графиката на дадена функция. С други думи, колко бързо се променя y при промяна на x? Очевидно една и съща функция в различни точки може да има различни производни стойности - тоест може да се променя по-бързо или по-бавно.
Производната на функция се обозначава.
Ще ви покажем как да го намерите с помощта на графика.
Начертана е графика на някаква функция. Нека вземем точка с абциса върху нея. Нека начертаем допирателна към графиката на функцията в тази точка. Искаме да преценим колко стръмно се изкачва графиката на дадена функция. Удобна стойност за това е тангенс на допирателния ъгъл.
Производната на функция в точка е равна на тангенса на допирателния ъгъл, начертан към графиката на функцията в тази точка.
Моля, обърнете внимание, че като ъгъл на наклон на допирателната приемаме ъгъла между допирателната и положителната посока на оста.
Понякога учениците питат какво е допирателна към графиката на функция. Това е права линия, която има само една обща точкас графика и както е показано на нашата фигура. Изглежда като допирателна към окръжност.
Нека го намерим. Помним, че тангенсът на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник е равен на съотношението на срещуположната страна към съседната страна. От триъгълника:
Намерихме производната с помощта на графика, без дори да знаем формулата на функцията. Такива проблеми често се срещат в Единния държавен изпит по математика под номера.
Има и друга важна връзка. Спомнете си, че правата линия е дадена от уравнението
Величината в това уравнение се нарича наклон на права линия. Тя е равна на тангенса на ъгъла на наклона на правата спрямо оста.
.
Разбираме това
Нека запомним тази формула. Той изразява геометричния смисъл на производната.
Производната на функция в точка е равна на наклона на допирателната, начертана към графиката на функцията в тази точка.
С други думи, производната е равна на тангенса на допирателния ъгъл.
Вече казахме, че една и съща функция може да има различни производни в различни точки. Нека видим как производната е свързана с поведението на функцията.
Нека начертаем графика на някаква функция. Нека тази функция нараства в някои области и намалява в други, и то с различна скорост. И нека тази функция има максимални и минимални точки.
В даден момент функцията се увеличава. Допирателната към графиката, начертана в точка, образува остър ъгъл с положителната посока на оста. Това означава, че производната в точката е положителна.
В момента нашата функция намалява. Допирателната в тази точка образува тъп ъгъл с положителната посока на оста. Тъй като тангенсът на тъп ъгъл е отрицателен, производната в точката е отрицателна.
Ето какво се случва:
Ако една функция нараства, нейната производна е положителна.
Ако намалява, производната му е отрицателна.
Какво ще се случи при максималните и минималните точки? Виждаме, че в точките (максимална точка) и (минимална точка) допирателната е хоризонтална. Следователно тангенсът на допирателната в тези точки е нула и производната също е нула.
Точка - максимална точка. В този момент нарастването на функцията се заменя с намаление. Следователно знакът на производната се променя в точката от „плюс“ на „минус“.
В точката - минималната точка - производната също е нула, но нейният знак се променя от "минус" на "плюс".
Извод: използвайки производната, можем да разберем всичко, което ни интересува за поведението на дадена функция.
Ако производната е положителна, тогава функцията нараства.
Ако производната е отрицателна, тогава функцията намалява.
В максималната точка производната е нула и променя знака от "плюс" на "минус".
В минималната точка производната също е нула и променя знака от минус на плюс.
Нека напишем тези изводи под формата на таблица:
| увеличава | максимална точка | намалява | минимална точка | увеличава | |
| + | 0 | - | 0 | + |
Нека направим две малки уточнения. Един от тях ще ви трябва, когато решавате Проблеми на единния държавен изпит. Друг – през първата година, с по-сериозно изучаване на функции и производни.
Възможно е производната на функция в дадена точка да е равна на нула, но функцията да няма нито максимум, нито минимум в тази точка. Това е т.нар :
В дадена точка допирателната към графиката е хоризонтална и производната е нула. Въпреки това, преди точката функцията нараства - и след точката тя продължава да нараства. Знакът на производната не се променя - тя остава положителна, както е била.
Също така се случва в точката на максимум или минимум производната да не съществува. На графиката това съответства на рязко прекъсване, когато е невъзможно да се начертае допирателна в дадена точка.
Как да намерим производната, ако функцията е дадена не с графика, а с формула? В този случай се прилага