Поздрави, котки! Последния път обсъдихме подробно какво представляват корените (ако не си спомняте, препоръчвам да го прочетете). Основният извод от този урок: има само една универсална дефиниция на корените, която трябва да знаете. Другото са глупости и загуба на време.
Днес отиваме по-далеч. Ще се научим да умножаваме корени, ще изучаваме някои задачи, свързани с умножението (ако тези задачи не бъдат решени, тогава те могат да станат фатални на изпита) и ще се упражняваме правилно. Така че запасете се с пуканки, настанете се удобно и да започваме :)
И ти още не си го пушил, нали?
Урокът се оказа доста дълъг, затова го разделих на две части:
- Първо ще разгледаме правилата за умножение. Капачката изглежда намеква: това е, когато има два корена, между тях има знак „умножение“ - и ние искаме да направим нещо с него.
- Тогава нека разгледаме обратната ситуация: има един голям корен, но ние бяхме нетърпеливи да го представим като продукт на два по-прости корена. Защо е необходимо това е отделен въпрос. Ще анализираме само алгоритъма.
За тези, които нямат търпение веднага да преминат към втората част, заповядайте. Да започнем с останалите по ред.
Основно правило за умножение
Нека започнем с най-простото - класически квадратни корени. Същите, които са означени с $\sqrt(a)$ и $\sqrt(b)$. Всичко им е очевидно:
Правило за умножение. За да умножите един квадратен корен по друг, просто умножете техните радикални изрази и запишете резултата под общия радикал:
\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]
Не се налагат допълнителни ограничения върху числата отдясно или отляво: ако съществуват коренните фактори, значи продуктът също съществува.
Примери. Нека да разгледаме четири примера с числа наведнъж:
\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27 ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \край (подравняване)\]
Както можете да видите, основното значение на това правило е да опрости ирационални изрази. И ако в първия пример щяхме сами да извлечем корените на 25 и 4 без нови правила, тогава нещата стават трудни: $\sqrt(32)$ и $\sqrt(2)$ не се разглеждат сами по себе си, а тяхното произведение се оказва перфектен квадрат, така че неговият корен е равен на рационално число.
Бих искал специално да подчертая последния ред. Там и двата радикални израза са дроби. Благодарение на продукта много фактори се отменят и целият израз се превръща в адекватно число.
Разбира се, нещата не винаги ще бъдат толкова красиви. Понякога под корените ще има пълни глупости - не е ясно какво да правите с него и как да го трансформирате след умножение. Малко по-късно, когато започнете да изучавате ирационални уравнения и неравенства, ще има всякакви променливи и функции. И много често авторите на проблеми разчитат на факта, че ще откриете някои анулиращи условия или фактори, след което проблемът ще бъде многократно опростен.
Освен това изобщо не е необходимо да се умножават точно два корена. Можете да умножите три, четири или дори десет наведнъж! Това няма да промени правилото. Разгледайте:
\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0,001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0,001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \край (подравняване)\]
И отново малка забележка към втория пример. Както можете да видите, в третия фактор под корена има десетична дроб - в процеса на изчисления го заместваме с обикновен, след което всичко лесно се намалява. И така: силно препоръчвам да се отървете от десетичните дроби във всички ирационални изрази (т.е. съдържащи поне един радикален символ). Това ще ви спести много време и нерви в бъдеще.
Но това беше лирично отклонение. Сега нека разгледаме един по-общ случай - когато коренният показател съдържа произволно число $n$, а не само "класическите" две.
Случаят на произволен индикатор
И така, подредихме квадратните корени. Какво да правим с кубиците? Или дори с корени от произволна степен $n$? Да, всичко е същото. Правилото остава същото:
За да умножите два корена от степен $n$, е достатъчно да умножите техните коренни изрази и след това да запишете резултата под един радикал.
Като цяло, нищо сложно. Освен че количеството изчисления може да бъде по-голямо. Нека да разгледаме няколко примера:
Примери. Изчислете продуктите:
\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0,16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\ frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))(((25)^(3 )) ))=\sqrt(((\left(\frac(4)(25) \right))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \край (подравняване)\]
И отново внимание към втория израз. Умножаваме кубичните корени, премахваме десетичната дроб и в крайна сметка знаменателят е произведението на числата 625 и 25. Това е доста голямо число - лично аз лично не мога да разбера на какво се равнява отгоре от главата ми.
Затова просто изолирахме точния куб в числителя и знаменателя и след това използвахме едно от ключовите свойства (или, ако предпочитате, дефиниция) на $n$-тия корен:
\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\left| a\надясно|. \\ \край (подравняване)\]
Такива „машинации“ могат да ви спестят много време на изпит или тест, така че помнете:
Не бързайте да умножавате числа с радикални изрази. Първо проверете: какво ще стане, ако точната степен на който и да е израз е „криптирана“ там?
Въпреки очевидността на тази забележка, трябва да призная, че повечето неподготвени студенти не виждат точните степени от упор. Вместо това те умножават всичко направо и след това се чудят: защо са получили толкова брутални числа? :)
Всичко това обаче са бебешки приказки в сравнение с това, което ще изучаваме сега.
Умножение на корени с различни степени
Добре, сега можем да умножим корени със същите показатели. Ами ако показателите са различни? Да речем, как да умножа обикновен $\sqrt(2)$ по някакви глупости като $\sqrt(23)$? Възможно ли е изобщо да се направи това?
Да, разбира се, че можете. Всичко се прави по тази формула:
Правило за умножение на корени. За да умножите $\sqrt[n](a)$ по $\sqrt[p](b)$, е достатъчно да извършите следната трансформация:
\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]
Тази формула обаче работи само ако радикалните изрази са неотрицателни. Това е много важен момент, към който ще се върнем малко по-късно.
Засега нека да разгледаме няколко примера:
\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 \cdot 8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \край (подравняване)\]
Както можете да видите, нищо сложно. Сега нека разберем откъде идва изискването за неотрицателност и какво ще се случи, ако го нарушим :)
Умножаването на корените е лесно Защо радикалните изрази трябва да са неотрицателни?
Разбира се, можете да бъдете като училищни учители и да цитирате учебника с умен поглед:
Изискването за неотрицателност е свързано с различни дефиниции на корени от четни и нечетни степени (съответно техните области на дефиниране също са различни).
Е, стана ли по-ясно? Лично аз, когато прочетох тази глупост в 8-ми клас, разбрах нещо от рода на следното: „Изискването за неотрицателност е свързано с *#&^@(*#@^#)~%“ - накратко, аз По онова време не разбирам нищо.
Така че сега ще обясня всичко по нормален начин.
Първо, нека разберем откъде идва горната формула за умножение. За да направите това, нека ви напомня едно важно свойство на корена:
\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]
С други думи, можем безопасно да повдигнем радикалния израз на всяка естествена степен $k$ - в този случай показателят на степента на корена ще трябва да бъде умножен по същата степен. Следователно можем лесно да редуцираме всякакви корени до общ показател и след това да ги умножим. Ето откъде идва формулата за умножение:
\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]
Но има един проблем, който рязко ограничава използването на всички тези формули. Помислете за това число:
Според току-що дадената формула можем да добавим произволна степен. Нека опитаме да добавим $k=2$:
\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\left(-5 \right))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]
Премахнахме минуса точно защото квадратът изгаря минуса (като всяка друга четна степен). Сега нека извършим обратната трансформация: „намалете“ двете в степента и степента. В крайна сметка всяко равенство може да се чете както отляво надясно, така и отдясно наляво:
\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Rightarrow \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](а); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Rightarrow \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \край (подравняване)\]
Но тогава се оказва някаква глупост:
\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]
Това не може да се случи, защото $\sqrt(-5) \lt 0$ и $\sqrt(5) \gt 0$. Това означава, че за четни степени и отрицателни числа нашата формула вече не работи. След което имаме две възможности:
- Да се удари в стената и да заяви, че математиката е глупава наука, в която „има някакви правила, но тези са неточни“;
- Въведете допълнителни ограничения, при които формулата ще стане 100% работеща.
В първия вариант ще трябва постоянно да хващаме „неработещи“ случаи - това е трудно, отнема много време и като цяло уф. Затова математиците предпочетоха втория вариант :)
Но не се тревожете! На практика това ограничение не засяга изчисленията по никакъв начин, тъй като всички описани проблеми се отнасят само до корени от нечетна степен и от тях могат да се вземат минуси.
Затова нека формулираме още едно правило, което общо взето важи за всички действия с корени:
Преди да умножите корени, уверете се, че радикалните изрази са неотрицателни.
Пример. В числото $\sqrt(-5)$ можете да премахнете минуса под знака на корена - тогава всичко ще бъде нормално:
\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Rightarrow \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt((((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(align)\]
Усещате ли разликата? Ако оставите минус под корена, тогава, когато радикалният израз е на квадрат, той ще изчезне и ще започнат глупости. И ако първо извадите минуса, тогава можете да построите / премахнете квадрата, докато не посинявате - числото ще остане отрицателно.
По този начин най-правилният и най-надежден начин за умножаване на корените е следният:
- Премахнете всички негативи от радикалите. Минусите съществуват само в корени с нечетна множественост - те могат да бъдат поставени пред корена и, ако е необходимо, намалени (например, ако има два от тези минуси).
- Извършете умножение според правилата, разгледани по-горе в днешния урок. Ако показателите на корените са еднакви, ние просто умножаваме радикалните изрази. И ако са различни, използваме злата формула \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) ))\].
- 3.Насладете се на резултата и добрите оценки.:)
добре? Да тренираме ли?
Пример 1: Опростете израза:
\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3 ) )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=- \ sqrt(64)=-4; \край (подравняване)\]
Това е най-простият вариант: корените са еднакви и нечетни, единственият проблем е, че вторият фактор е отрицателен. Изваждаме този минус от снимката, след което всичко се изчислява лесно.
Пример 2: Опростете израза:
\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\left(((2)^(5)) \right))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)) \right))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( подравняване)\]
Тук мнозина биха се объркали от факта, че изходът се оказа ирационално число. Да, случва се: не можахме напълно да се отървем от корена, но поне значително опростихме израза.
Пример 3: Опростете израза:
\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((( a)^(4)) \right))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(align)\]
Искам да обърна внимание на тази задача. Тук има две точки:
- Коренът не е конкретно число или степен, а променливата $a$. На пръв поглед това е малко необичайно, но в действителност, когато решавате математически задачи, най-често трябва да се справяте с променливи.
- В крайна сметка успяхме да „намалим” радикалния показател и степента на радикална изява. Това се случва доста често. И това означава, че е възможно значително да се опростят изчисленията, ако не използвате основната формула.
Например можете да направите това:
\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a)^( 4)) \right))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \\край (подравняване)\]
Всъщност всички трансформации са извършени само с втория радикал. И ако не опишете подробно всички междинни стъпки, тогава в крайна сметка количеството на изчисленията ще бъде значително намалено.
Всъщност вече се сблъскахме с подобна задача по-горе, когато решихме примера $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$. Сега може да се напише много по-просто:
\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\left(((5)^(2))\cdot 3 \right))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \right))^(2))) =\sqrt(75). \край (подравняване)\]
Е, подредихме умножението на корените. Сега нека разгледаме обратната операция: какво да правим, когато има продукт под корена?
Корен квадратен от число е число, чийто квадрат е равен на a. Например, числата -5 и 5 са корени квадратни от числото 25. Тоест корените на уравнението x^2=25 са корени квадратни от числото 25. Сега трябва да се научите как да работите с квадрата коренова операция: проучете основните му свойства.
Корен квадратен от произведението
√(a*b) =√a*√b
Коренът квадратен от произведението на две неотрицателни числа е равен на произведението от корените квадратни на тези числа. Например, √(9*25) = √9*√25 =3*5 =15;
Важно е да се разбере, че това свойство се отнася и за случая, когато радикалният израз е произведение на три, четири и т.н. неотрицателни фактори.
Понякога има друга формулировка на това свойство. Ако a и b са неотрицателни числа, тогава е вярно следното равенство: √(a*b) =√a*√b. Няма абсолютно никаква разлика между тях; можете да използвате едната или другата формула (която ви е по-удобно да запомните).
Корен квадратен от дроб
Ако a>=0 и b>0, тогава е вярно следното равенство:
√(a/b) =√a/√b.
Например, √(9/25) = √9/√25 =3/5;
Това свойство има и различна формулировка, която според мен е по-удобна за запаметяване.
Корен квадратен от частното е равен на частното от корените.
Струва си да се отбележи, че тези формули работят както отляво надясно, така и отдясно наляво. Тоест, ако е необходимо, можем да представим произведението на корените като корен на произведение. Същото важи и за втория имот.
Както може би сте забелязали, тези свойства са много удобни и бих искал да имам същите свойства за събиране и изваждане:
√(a+b) =√a+√b;
√(a-b) =√a-√b;
Но за съжаление такива имоти са квадратни нямат корени, и затова е така не може да се направи в изчисленията.
СТЕПЕН С РАЦИОНАЛЕН ПОКАЗАТЕЛ,
СИЛОВА ФУНКЦИЯ IV
§ 79. Изваждане на корени от произведение и частно
Теорема 1.корен п степента th на произведението на положителните числа е равна на произведението на корените п степен на факторите, т.е А > 0, b > 0 и естествено п
п √аб = п √а п √b . (1)
Доказателство.Припомнете си, че коренът п -та степен на положително число аб има положително число п -та степен на което е равно на аб . Следователно доказването на равенство (1) е същото като доказването на равенство
(п √а п √b ) п = аб .
По свойството степен на продукта
(п √а п √b ) п = (п √а ) п (п √b ) п =.
Но по дефиниция на корен п та степен ( п √а ) п = А , (п √b ) п = b .
Ето защо ( п √а п √b ) п = аб . Теоремата е доказана.
Изискване А > 0, b > 0 е значимо само за четно п , тъй като за отрицателни А И b и дори п корени п √а И п √b не е дефиниран. Ако п е нечетно, то формула (1) е валидна за всяко А И b (както положителни, така и отрицателни).
Примери: √16 121 = √16 √121 = 4 11 = 44.
3 √-125 27 = 3 √-125 3 √27 = -5 3 = - 15
Формула (1) е полезна за използване при изчисляване на корени, когато радикалният израз е представен като произведение на точни квадрати. например,
√153 2 -72 2 = √ (153+ 72) (153-72) = √225 81 = 15 9 = 135.
Доказахме теорема 1 за случая, когато радикалният знак от лявата страна на формула (1) е произведение на две положителни числа. Всъщност тази теорема е вярна за произволен брой положителни фактори, тоест за всеки естествен к > 2:
Последица.Четейки тази идентичност отдясно наляво, получаваме следното правило за умножаване на корени с еднакви показатели;
За да умножите корени с едни и същи индикатори, достатъчно е да умножите радикалните изрази, оставяйки коренния индикатор същият.
Например √3 √8 √6 = √3 8 6 = √144 = 12.
Теорема 2. корен пСтепента th на дроб, чийто числител и знаменател са положителни числа, е равна на частното от корена на същата степен на числителя, делено на корена на същата степен на знаменателя, тоест кога А > 0 и b > 0
(2)
Да се докаже равенство (2) означава да се покаже това
Според правилото за повдигане на дроб на степен и определяне на корена п -та степен имаме:
Така теоремата е доказана.
Изискване А > 0 и b > 0 е значимо само за четно п . Ако п е странно, то формула (2) е вярна и за отрицателни стойности А И b .
Последица.Четяща идентичност от дясно на ляво, получаваме следното правило за разделяне на корени с еднакви показатели:
За да се разделят корени с еднакви индикатори, достатъчно е да се разделят радикалните изрази, оставяйки коренния индикатор същият.
например,
Упражнения
554. В кой момент от доказателството на теорема 1 използвахме факта, че А И b положителни ли са?
Защо странно п формула (1) е вярна и за отрицателни числа А И b ?
На какви стойности X Данните за равенство са верни (№ 555-560):
555. √x 2 - 9 = √x -3 √x + 3 .
556. 4 √ (х - 2) (8 - х ) = 4 √x - 2 4 √ 8 - х
557. 3 √ (X + 1) (X - 5) = 3 √x +1 3 √x - 5 .
558. √ X (X + 1) (X + 2) = √ X √ (X + 1) √ (X + 2)
559. √ (х - а ) 3 = (√ х - а ) 3 .
560. 3 √ (X - 5) 2 = (3 √ X - 5 ) 2 .
561. Изчислете:
а) √ 173 2 - 52 2; V) √ 200 2 - 56 2 ;
б) √ 373 2 - 252 2; G) √ 242,5 2 - 46,5 2 .
562. В правоъгълен триъгълник хипотенузата е 205 см, а единият катет е 84 см. Намерете другия катет.
563. Колко пъти:
555. X > 3. 556. 2 < X < 8. 557. X - всякакъв брой. 558. X > 0. 559. X > А . 560. X - всякакъв брой. 563. а) Три пъти.
Слайд 2
Цели на урока:
Прегледайте определението за аритметичен квадратен корен. Въведете и докажете теоремата за корен квадратен от произведение. Научете се да намирате. Проверете знанията и уменията си чрез самостоятелна работа.
Слайд 3
Корен квадратен от произведението
План на урока: Актуализиране на знанията. Учене на нов материал. Фиксиране на формулата с примери. Самостоятелна работа. Обобщавайки. Задаване на домашна работа.
Слайд 4
Здравейте момчета!
Да повторим: 2. Какво се нарича аритметичен корен квадратен от числото 3. При каква стойност изразът има смисъл? 1. Как се казва изразът
Слайд 5
намирам:
1) 2) 3) 7 или или 7
Слайд 6
Днес ще се запознаем с едно от свойствата на аритметичния корен квадратен. Нека въведем и докажем теоремата за квадратния корен от продукт и да разгледаме примери за нейното приложение. След това ще ви бъдат предложени задачи за самопроверка. Успех ти пожелавам!
Слайд 7
Нека се опитаме да решим
Разгледайте аритметичния корен. Намерете стойността на израза: So, So, коренът на произведението на две числа е равен на произведението на корените на тези числа.
Слайд 8
Коренът на произведението на неотрицателните множители е равен на произведението на корените на тези множители.
Ако тогава Теорема
Корен квадратен от произведението
Слайд 9
Слайд 10
Разгледахме доказателството на теоремата за изваждане на корен квадратен от произведение. Да преминем към практическата работа. Сега ще ви покажа как тази формула се използва за решаване на примери. Решете с мен.
Слайд 11
Изчислете стойността на квадратния корен, като използвате теоремата за корена на произведението: Примери за решаване:
Слайд 12
Да решим примери:
2. Намерете значението на израза:
Слайд 13
Бързо броене
И разбрах как да използвам тази формула за бързи изчисления. Гледайте и се учете.
Слайд 14
Вариант 1 Вариант 2 Предлагам ви примери за вашето собствено решение.
Учениците винаги питат: „Защо не мога да използвам калкулатор на изпита по математика? Как да извадя корен квадратен от число без калкулатор? Нека се опитаме да отговорим на този въпрос.
Как да извадя корен квадратен от число без помощта на калкулатор?
Действие корен квадратенобратно на действието на повдигане на квадрат.
√81= 9 9 2 =81
Ако вземете корен квадратен от положително число и повдигнете резултата на квадрат, ще получите същото число.
От малки числа, които са точни квадрати на естествени числа, например 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100, могат да се извадят корени квадратни устно. Обикновено в училище учат таблица с квадрати на естествени числа до двадесет. Познавайки тази таблица, е лесно да извлечете квадратни корени от числата 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. От числа, по-големи от 400, можете да ги извлечете, като използвате метода за избор, като използвате някои съвети. Нека се опитаме да разгледаме този метод с пример.
Пример: Извадете корена на числото 676.
Забелязваме, че 20 2 = 400 и 30 2 = 900, което означава 20< √676 < 900.
Точните квадрати на естествените числа завършват на 0; 1; 4; 5; 6; 9.
Числото 6 е дадено от 4 2 и 6 2.
Това означава, че ако коренът е взет от 676, тогава той е или 24, или 26.
Остава да проверим: 24 2 = 576, 26 2 = 676.
отговор: √676 = 26 .
повече пример: √6889 .
Тъй като 80 2 = 6400 и 90 2 = 8100, тогава 80< √6889 < 90.
Числото 9 е дадено от 3 2 и 7 2, тогава √6889 е равно на 83 или 87.
Нека проверим: 83 2 = 6889.
отговор: √6889 = 83 .
Ако ви е трудно да решите с помощта на метода за подбор, можете да факторизирате радикалния израз.
например, намерете √893025.
Нека да разложим на множители числото 893025, не забравяйте, че го направихте в шести клас.
Получаваме: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.
повече пример: √20736. Нека разложим числото 20736 на множители:
Получаваме √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.
Разбира се, факторизирането изисква познаване на знаците за делимост и умения за факторизиране.
И накрая, има правило за извличане на квадратни корени. Нека се запознаем с това правило с примери.
Изчислете √279841.
За да извлечем корена на многоцифрено цяло число, ние го разделяме отдясно наляво на лица, съдържащи 2 цифри (най-левият край може да съдържа една цифра). Записваме го така: 27’98’41
За да получим първата цифра на корена (5), изваждаме корен квадратен от най-големия перфектен квадрат, който се съдържа в първото лице вляво (27).
След това квадратът на първата цифра на корена (25) се изважда от първото лице и следващото лице (98) се добавя към разликата (изважда се).
Отляво на полученото число 298 напишете двойната цифра на корена (10), разделете на него броя на всички десетки от предварително полученото число (29/2 ≈ 2), проверете частното (102 ∙ 2 = 204 трябва да бъде не повече от 298) и напишете (2) след първата цифра на корена.
След това полученото частно 204 се изважда от 298 и следващото ребро (41) се добавя към разликата (94).
Отляво на полученото число 9441 напишете двойното произведение на цифрите на корена (52 ∙2 = 104), разделете броя на всички десетки на числото 9441 (944/104 ≈ 9) на този продукт, проверете частното (1049 ∙9 = 9441) трябва да бъде 9441 и го запишете (9) след втората цифра на корена.
Получихме отговора √279841 = 529.
Извлечете по подобен начин корени от десетични дроби. Само коренното число трябва да бъде разделено на лица, така че запетаята да е между лицата.
Пример. Намерете стойността √0,00956484.
Само не забравяйте, че ако една десетична дроб има нечетен брой десетични знаци, квадратният корен не може да бъде извлечен от нея.
Така че сега видяхте три начина за извличане на корена. Изберете този, който ви подхожда най-добре и практикувайте. За да се научите да решавате проблеми, трябва да ги разрешите. И ако имате въпроси, запишете се за моите уроци.
уебсайт, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към източника.