ОБРАБОТКА НА РЕЗУЛТАТИТЕ ОТ ИЗМЕРВАНИЯТА
В ПРАКТИКУМ ПО ФИЗИКА
Измервания и грешки при измерване
Физиката е експериментална наука, което означава, че физическите закони се установяват и проверяват чрез натрупване и сравняване на експериментални данни. Целта на семинара по физика е учениците да изучават основни физични явления чрез опит, да се научат да измерват правилно числените стойности на физичните величини и да ги сравняват с теоретични формули.
Всички измервания могат да бъдат разделени на два вида - правИ индиректен.
При директенПри измерванията стойността на желаното количество се получава директно от показанията на измервателния уред. Така например дължината се измерва с линийка, времето се измерва с часовник и т.н.
Ако желаното физическо количество не може да бъде измерено директно от устройството, а се изразява чрез измерените количества с помощта на формула, тогава такива измервания се наричат индиректен.
Измерването на каквото и да е количество не дава абсолютно точна стойност за това количество. Всяко измерване винаги съдържа някаква грешка (грешка). Грешката е разликата между измерената и истинската стойност.
Грешките обикновено се разделят на систематиченИ случаен.
Систематиченнаречена грешка, която остава постоянна през цялата поредица от измервания. Такива грешки са причинени от несъвършенството на измервателния уред (например нулево отместване на устройството) или метода на измерване и по принцип могат да бъдат изключени от крайния резултат чрез въвеждане на подходяща корекция.
Систематичните грешки включват и грешката на измервателните уреди. Точността на всяко устройство е ограничена и се характеризира с неговия клас на точност, който обикновено се посочва на измервателната скала.
Случаенсе нарича грешка, която варира в различните експерименти и може да бъде както положителна, така и отрицателна. Случайните грешки се причиняват от причини, които зависят както от измервателния уред (триене, празнини и др.), така и от външни условия (вибрации, колебания на напрежението в мрежата и др.).
Случайните грешки не могат да бъдат изключени емпирично, но тяхното влияние върху резултата може да бъде намалено чрез многократни измервания.
ИЗЧИСЛЯВАНЕ НА ГРЕШКАТА ПРИ ДИРЕКТНИ ИЗМЕРВАНИЯ
СРЕДНА СТОЙНОСТ И СРЕДНА АБСОЛЮТНА ГРЕШКА.
Да предположим, че извършваме серия от измервания на стойността X. Поради наличието на случайни грешки получаваме празлични значения:
X 1, X 2, X 3… X n
Като резултат от измерването обикновено се приема средната стойност
Разлика между средно и резултат аз –на тото измерване ще наричаме абсолютна грешка на това измерване
Като мярка за грешката на средната стойност можем да вземем средната стойност на абсолютната грешка на отделно измерване
(2)
величина 
наречена средна аритметична (или средна абсолютна) грешка.
След това резултатът от измерването трябва да бъде записан във формуляра
(3)
За характеризиране на точността на измерванията се използва относителната грешка, която обикновено се изразява като процент
(4)
СРЕДНА КВАДРАТИЧНА ГРЕШКА.
За критични измервания, когато е необходимо да се знае надеждността на получените резултати, се използва средната квадратична грешка (или стандартно отклонение), която се определя по формулата
(5)
Стойността характеризира отклонението на единична единица измерване от истинската стойност.
Ако изчислим по псредна стойност на измерванията 
съгласно формула (2), тогава тази стойност ще бъде по-точна, тоест ще се различава по-малко от истинската от всяко отделно измерване. Средна квадратична грешка на средната стойност 
равно на
(6)
където е средната квадратична грешка на всяко отделно измерване, п– брой измервания.
По този начин, чрез увеличаване на броя на експериментите, е възможно да се намали случайната грешка в средната стойност.
Понастоящем резултатите от научни и технически измервания обикновено се представят във формуляра
(7)
Както показва теорията, с такъв запис ние знаем надеждността на получения резултат, а именно, че истинската стойност Xс вероятност от 68% различна от 
не повече от 
.
При използване на средната аритметична (абсолютна) грешка (формула 2) не може да се каже нищо за надеждността на резултата. Относителната грешка (формула 4) дава известна представа за точността на измерванията, направени в този случай.
При извършване на лабораторна работа студентите могат да използват както средната абсолютна грешка, така и средния квадрат. Кой да се използва се посочва директно във всяка конкретна работа (или се посочва от учителя).
Обикновено, ако броят на измерванията не надвишава 3–5, тогава може да се използва средната абсолютна грешка. Ако броят на измерванията е около 10 или повече, тогава трябва да се използва по-правилна оценка, като се използва средната квадратна грешка на средната стойност (формули 5 и 6).
ОТЧИТАНЕ НА СИСТЕМАТИЧНИТЕ ГРЕШКИ.
Чрез увеличаване на броя на измерванията могат да се намалят само случайните експериментални грешки, но не и систематичните.
Максималната стойност на системната грешка обикновено е посочена на устройството или в неговия лист с данни. За измервания с помощта на обикновена метална линийка системната грешка е най-малко 0,5 mm; за измервания с шублер –
0,1 – 0,05 mm; микрометър – 0,01 мм.
Често половината от стойността на разделението на инструмента се приема като систематична грешка.
Класът на точност е посочен на скалите на електрическите измервателни уреди. Познавайки класа на точност K, можете да изчислите системната грешка на устройството ∆X по формулата
където K е класът на точност на устройството, X pr е граничната стойност на количеството, което може да бъде измерено на скалата на устройството.
Така амперметър от клас 0,5 със скала до 5А измерва тока с грешка не повече от
Грешката на цифрово устройство е равна на една единица от най-малката показана цифра.
Средната стойност на общата грешка е сумата от случаенИ систематиченгрешки.
Отговорът, като се вземат предвид систематичните и случайните грешки, се записва във формуляра
ГРЕШКИ НА КОСВЕНИ ИЗМЕРВАНИЯ
При физическите експерименти често се случва самата желана физическа величина да не може да бъде измерена експериментално, а е функция на други величини, които се измерват директно. Например, за да определите обема на цилиндър, трябва да измерите диаметъра D и височината чи след това изчислете обема, като използвате формулата
Количества гИ чще бъде измерена с известна грешка Следователно изчислената стойност VСъщо така ще се окаже с известна грешка. Човек трябва да може да изрази грешката на изчислената стойност чрез грешката на измерената стойност.
Както при директните измервания, можете да изчислите средната абсолютна (средноаритметична) грешка или средната квадратична грешка.
Общите правила за изчисляване на грешките и за двата случая се извеждат с помощта на диференциално смятане.
Нека желаната стойност φ е функция на няколко променливи X, U,З…
φ( X, U,З…).
Чрез директни измервания можем да намерим количествата 
, а също и оценка на техните средни абсолютни грешки 
... или средни квадратични грешки X, Y, Z ...
Тогава средната аритметична грешка се изчислява по формулата
Къде 
- частни производни на φ по отношение на X, U,З.
Изчислени са за средни стойности 
…
Средната квадратична грешка се изчислява по формулата
Пример.Нека изведем формули за грешка за изчисляване на обема на цилиндър.
а) Средна аритметична грешка.
Количества гИ чсе измерват съответно с грешка ги ч.
б) Средна квадратична грешка.
Количества гИ чсе измерват съответно с грешка D , h .
Грешката в стойността на обема ще бъде равна на
Ако формулата представлява израз, удобен за логаритмиране (т.е. продукт, дроб, степен), тогава е по-удобно първо да се изчисли относителната грешка. За да направите това (в случай на средна аритметична грешка), трябва да направите следното.
1. Вземете логаритъм на израза.
2. Разграничете го.
3. Комбинирайте всички членове с един и същ диференциал и го извадете от скоби.
4. Вземете израза пред различни модулни диференциали.
5. Сменете значките на диференциала dкъм символите за абсолютна грешка .
Резултатът е формула за относителната грешка
Тогава, знаейки , можете да изчислите абсолютната грешка
=
Пример.
По подобен начин можем да запишем относителната средна квадратична грешка
Правилата за представяне на резултатите от измерването са следните:
Грешката трябва да бъде закръглена до една значима цифра:
правилно = 0,04,
неправилно - = 0,0382;
Последната значима цифра на резултата трябва да бъде от същия порядък като грешката:
правилно = 9,830,03,
неправилно - = 9,8260,03;
ако резултатът има много голяма или много малка стойност, е необходимо да се използва експоненциална форма на запис - еднаква за резултата и неговата грешка, като десетичната запетая трябва да следва първата значима цифра на резултата:
правилно - = (5,270,03)10 -5,
неправилно - = 0,00005270,0000003,
= 5,2710 -5 0,0000003,
= = 0,0000527310 -7 ,
= (5273)10 -7 ,
= (0,5270,003) 10 -4.
Ако резултатът има измерение, то трябва да бъде посочено:
правилно – g=(9.820.02) m/s 2,
неправилно – g=(9,820,02).
Правила за построяване на графики
1. Графиките се чертаят на милиметрова хартия.
2. Преди да се изгради графика, е необходимо ясно да се определи коя променлива е аргумент и коя е функция. Стойностите на аргументите се нанасят върху абсцисната ос (ос X), стойностите на функцията - на ординатната ос (ос при).
3. От експериментални данни определете границите на промяна в аргумента и функцията.
4. Посочете физическите величини, нанесени върху координатните оси, и посочете единиците за величини.
5. Начертайте експерименталните точки върху графиката, като ги маркирате (с кръст, кръг, удебелена точка).
6. Начертайте гладка крива (права) през експерименталните точки, така че тези точки да са разположени в приблизително равен брой от двете страни на кривата.
Абсолютна и относителна грешка на числата.
Като характеристики на точността на приблизителни количества от всякакъв произход се въвеждат понятията за абсолютни и относителни грешки на тези количества.
Нека означим с a приближението до точното число A.
Дефинирайте. Количеството се нарича грешка на приблизителното число a.
Определение.
Абсолютна грешка 
приблизителното число а се нарича количество 
.
Практически точното число А обикновено е неизвестно, но винаги можем да посочим границите, в които варира абсолютната грешка.
Определение.
Максимална абсолютна грешка 
приблизително число а се нарича най-малката от горните граници на количеството 
, които могат да бъдат намерени с помощта на този метод за получаване на numbera.
На практика, като 
изберете една от горните граници за 
, доста близо до най-малката.
Тъй като 
, Това 
. Понякога пишат: 
.
Абсолютна грешкае разликата между резултата от измерването
и истинска (реална) стойност измерено количество.
Абсолютната грешка и максималната абсолютна грешка не са достатъчни, за да характеризират точността на измерването или изчислението. В качествено отношение големината на относителната грешка е по-значима.
Определение.
Относителна грешка 
Наричаме приблизителното число a количеството:
Определение.
Максимална относителна грешка 
приблизително число а нека наречем количеството
защото 
.
По този начин относителната грешка всъщност определя големината на абсолютната грешка за единица измерено или изчислено приблизително число a.
Пример.Закръглете точните числа А до три значещи цифри, определете
абсолютна D и относителна δ грешки на полученото приближение
дадени:
намирам:
∆-абсолютна грешка
δ – относителна грешка
Решение:
=|-13.327-(-13.3)|=0.027
,а 
0
*100%=0.203%
отговор:=0,027; δ=0,203%
2. Десетичен запис на приблизително число. Значима фигура. Правилни цифри на числа (дефиниция на правилни и значими цифри, примери; теория за връзката между относителната грешка и броя на правилните цифри).
Правилни знаци за числа.
Определение. Значимата цифра на приблизително число a е всяка цифра, различна от нула, и нула, ако се намира между значещи цифри или е представител на съхранен десетичен знак.
Например в числото 0,00507 = 
имаме 3 значещи цифри, а в числото 0,005070= 
значими цифри, т.е. нулата отдясно, запазвайки десетичния знак, е значима.
Отсега нататък нека се съгласим да пишем нули отдясно, ако само те са значими. Тогава, с други думи,
Всички цифри на a са значими, с изключение на нулите отляво.
В десетичната бройна система всяко число a може да бъде представено като крайна или безкрайна сума (десетична дроб):
Къде 
,
- първата значима цифра, m - цяло число, наречено най-значимият десетичен знак на числото a.
Например 518,3 =, m=2.
Използвайки нотацията, въвеждаме концепцията за правилни десетични знаци (в значещи цифри) приблизително -
на 1-вия ден.
Определение.
Казва се, че в едно приблизително число a от формата n са първите значими цифри 
,
където i= m, m-1,..., m-n+1 са правилни, ако абсолютната грешка на това число не надвишава половин единица цифра, изразена чрез n-тата значима цифра:
В противен случай последната цифра 
наречено съмнително.
При изписване на приблизително число без посочване на грешката му се изисква всички написани числа
бяха верни. Това изискване е изпълнено във всички математически таблици.
Терминът „n правилни цифри“ характеризира само степента на точност на приблизителното число и не трябва да се разбира в смисъл, че първите n значими цифри на приблизителното число a съвпадат със съответните цифри на точното число A. Например, за числата A = 10, a = 9.997, всички значими цифри са различни, но числото a има 3 валидни значими цифри. Наистина тук m=0 и n=3 (намираме го чрез селекция).
Резултатът от измерването на физическо количество винаги се различава от истинската стойност с определена сума, която се нарича грешка
КЛАСИФИКАЦИЯ:
1. По начин на изразяване: абсолютни, намалени и относителни
2. По източник на произход: методически и инструментални.
3. Според условията и причините за възникване: основни и допълнителни
4. По характер на промените: систематични и случайни.
5. В зависимост от входната измерена стойност: адитивна и мултипликативна
6. В зависимост от инерцията: статични и динамични.
13. Абсолютни, относителни и редуцирани грешки.
Абсолютна грешкае разликата между измерените и действителните стойности на измереното количество:
където A е измерено, A е измерената и действителната стойност; ΔA - абсолютна грешка.
Абсолютната грешка се изразява в единици от измерената стойност. Абсолютната грешка, взета с обратен знак, се нарича корекция.
Относителногрешка p е равно на отношението на абсолютната грешка ΔA към действителната стойност на измерената стойност и се изразява като процент:
даденигрешкана средство за измерване е съотношението на абсолютната грешка към номиналната стойност. Номиналната стойност за устройство с едностранна скала е равна на горната граница на измерване, за устройство с двустранна скала (с нула в средата) - аритметичната сума на горните граници на измерване:
бр.
14. Методически, инструментални, систематични и случайни грешки.
Грешка в методасе дължи на несъвършенството на използвания метод за измерване, неточността на формулите и математическите зависимости, които описват този метод на измерване, както и влиянието на измервателния уред върху обекта, чиито свойства се променят.
Инструментална грешка(грешка на уреда) се дължи на конструктивни особености на измервателния уред, неточност на калибрирането и скалата, както и неправилен монтаж на измервателния уред.
Инструменталната грешка, като правило, е посочена в паспорта на измервателния уред и може да бъде оценена в цифрово изражение.
Систематична грешка- постоянна или естествено променяща се грешка по време на повтарящи се измервания на едно и също количество при едни и същи условия на измерване. Например, грешката, която възниква при измерване на съпротивлението с ампер-волтметър, е причинена от изтощена батерия.
Случайна грешка- грешка при измерване, чийто характер се променя при многократни измервания на едно и също количество при едни и същи условия, е случаен. Например грешката при броенето при няколко повторни измервания.
Причината за случайната грешка е едновременното действие на много случайни фактори, всеки от които има малък ефект поотделно.
Случайната грешка може да бъде оценена и частично намалена чрез правилна обработка чрез методите на математическата статистика, както и вероятностните методи.
15. Основни и допълнителни, статични и динамични грешки.
Основна грешка- грешка, възникваща при нормални условия на използване на средство за измерване (температура, влажност, захранващо напрежение и др.), които са стандартизирани и посочени в стандарти или технически спецификации.
Допълнителна грешкасе причинява от отклонение на една или повече влияещи величини от нормалната стойност. Например промени в температурата на околната среда, промени във влажността, колебания в захранващото напрежение. Стойността на допълнителната грешка е стандартизирана и посочена в техническата документация на средствата за измерване.
Статична грешка- грешка при измерване на постоянна във времето стойност. Например, грешката на измерване на постоянно напрежение на тока по време на измерване.
Динамична грешка- грешка при измерване на променяща се във времето величина. Например грешката при измерване на комутираното постоянно напрежение, причинена от преходни процеси по време на комутация, както и ограничената скорост на измервателния уред.
Често в живота се налага да се справяме с различни приблизителни количества. Приблизителните изчисления винаги са изчисления с известна грешка.
Концепцията за абсолютна грешка
Абсолютната грешка на приблизителна стойност е величината на разликата между точната стойност и приблизителната стойност.
Тоест, трябва да извадите приблизителната стойност от точната стойност и да вземете полученото число по модул. Следователно абсолютната грешка винаги е положителна.
Как да изчислим абсолютната грешка
Нека покажем как може да изглежда това на практика. Например, имаме графика с определена стойност, нека тя е парабола: y=x^2.
От графиката можем да определим приблизителната стойност в някои точки. Например при x=1,5 стойността на y е приблизително равна на 2,2 (y≈2,2).
С помощта на формулата y=x^2 можем да намерим точната стойност в точката x=1,5 y= 2,25.
Сега нека изчислим абсолютната грешка на нашите измервания. |2,25-2,2|=|0,05| = 0,05.
Абсолютната грешка е 0,05. В такива случаи те също казват, че стойността се изчислява с точност до 0,05.
Често се случва точната стойност да не може винаги да бъде намерена и следователно не винаги може да се намери абсолютната грешка.
Например, ако изчислим разстоянието между две точки с помощта на линийка или стойността на ъгъла между две прави линии с помощта на транспортир, тогава ще получим приблизителни стойности. Но е невъзможно да се изчисли точната стойност. В този случай можем да посочим число, така че стойността на абсолютната грешка да не може да бъде по-голяма.
В примера с линийка това ще бъде 0,1 см, тъй като стойността на делението на линийката е 1 милиметър. В примера за транспортира, 1 градус, защото скалата на транспортира е градуирана на всеки градус. Така стойностите на абсолютната грешка в първия случай са 0,1, а във втория случай 1.
Нуждаете се от помощ с обучението си?
Предишна тема:
Поради грешките, присъщи на измервателния уред, избрания метод и процедура на измерване, разликите във външните условия, при които се извършва измерването, от установените и други причини резултатът от почти всяко измерване е натоварен с грешки. Тази грешка се изчислява или оценява и се приписва на получения резултат.
Грешка в резултата от измерването(накратко - грешка при измерване) - отклонението на резултата от измерването от истинската стойност на измерената стойност.
Истинската стойност на количеството остава неизвестна поради наличието на грешки. Използва се при решаване на теоретични проблеми на метрологията. На практика се използва действителната стойност на количеството, което замества истинската стойност.
Грешката на измерване (Δx) се намира по формулата:
x = x измер. - x валиден (1.3)
където x измерва. - стойността на количеството, получена въз основа на измервания; x валиден — стойността на количеството, взето за реално.
За единични измервания действителната стойност често се приема като стойност, получена с помощта на стандартен измервателен уред; за множество измервания, средната аритметична стойност на отделните измервания, включени в дадена серия.
Грешките в измерването могат да бъдат класифицирани според следните критерии:
По характер на проявите - системни и случайни;
Според начина на изразяване - абсолютни и относителни;
Според условията на изменение на измерваната величина - статични и динамични;
Според метода на обработка редица измервания - средни аритметични и средни квадрати;
Според пълнотата на покриване на задачата за измерване - частични и пълни;
По отношение на единица физическа величина - грешки при възпроизвеждане на единицата, запаметяване на единицата и предаване на размера на единицата.
Систематична грешка при измерване(накратко - систематична грешка) - компонент на грешката на резултат от измерване, който остава постоянен за дадена поредица от измервания или се променя естествено при многократни измервания на същата физическа величина.
Според характера на проявата си систематичните грешки се разделят на постоянни, прогресиращи и периодични. Постоянни системни грешки(накратко - постоянни грешки) - грешки, които запазват стойността си за дълго време (например по време на цялата поредица от измервания). Това е най-често срещаният тип грешка.
Прогресивни систематични грешки(накратко - прогресивни грешки) - непрекъснато нарастващи или намаляващи грешки (например грешки от износване на измервателни накрайници, които влизат в контакт с детайла по време на процеса на смилане, когато го наблюдават с активно контролно устройство).
Периодична систематична грешка(накратко - периодична грешка) - грешка, чиято стойност е функция на времето или функция на движението на стрелката на измервателното устройство (например наличието на ексцентричност в гониометърни устройства с кръгла скала причинява системно грешка, която варира според периодичен закон).
Въз основа на причините за появата на систематични грешки се прави разлика между инструментални грешки, методични грешки, субективни грешки и грешки, дължащи се на отклонения на външните условия на измерване от тези, установени от методите.
Инструментална грешка при измерване(накратко - инструментална грешка) е следствие от редица причини: износване на частите на устройството, прекомерно триене в механизма на устройството, неточно маркиране на ударите върху скалата, несъответствие между действителните и номиналните стойности на мярката и др. .
Грешка в метода на измерване(накратко - грешка на метода) може да възникне поради несъвършенството на метода за измерване или неговите опростявания, установени от методологията за измерване. Например, такава грешка може да се дължи на недостатъчна производителност на измервателните уреди, използвани при измерване на параметрите на бързи процеси или неотчетени примеси при определяне на плътността на вещество въз основа на резултатите от измерването на неговата маса и обем.
Субективна грешка при измерване(накратко - субективна грешка) се дължи на индивидуалните грешки на оператора. Тази грешка понякога се нарича лична разлика. Причинява се например от забавяне или напредък в приемането на сигнал от оператора.
Грешка поради отклонение(в една посока) външните условия на измерване от тези, установени от измервателната техника, води до появата на систематичен компонент на грешката на измерване.
Систематичните грешки изкривяват резултата от измерването, така че те трябва да бъдат елиминирани, доколкото е възможно, чрез въвеждане на корекции или регулиране на устройството, за да се сведат систематичните грешки до приемлив минимум.
Неизключена систематична грешка(накратко - неизключена грешка) е грешката на резултата от измерването, дължаща се на грешка в изчислението и въвеждане на корекция за действието на систематична грешка или малка систематична грешка, корекцията за която не е въведена поради към своята дребнота.
Понякога този тип грешка се нарича неизключени остатъци от систематична грешка(накратко - неизключени остатъци). Например, при измерване на дължината на линейния метър в дължини на вълните на еталонното лъчение бяха идентифицирани няколко неизключени систематични грешки (i): поради неточно измерване на температурата - 1; поради неточно определяне на коефициента на пречупване на въздуха - 2, поради неточна дължина на вълната - 3.
Обикновено се взема предвид сумата от неизключените систематични грешки (задават се границите им). Когато броят на членовете е N ≤ 3, границите на неизключените систематични грешки се изчисляват по формулата
Когато броят на членовете е N ≥ 4, формулата се използва за изчисления
(1.5)
където k е коефициентът на зависимост на неизключените систематични грешки от избраната доверителна вероятност P, когато те са равномерно разпределени. При P = 0,99, k = 1,4, при P = 0,95, k = 1,1.
Случайна грешка при измерване(накратко - случайна грешка) - компонент на грешката на резултат от измерване, който се променя произволно (по знак и стойност) в поредица от измервания на еднакъв размер на физическа величина. Причини за случайни грешки: грешки при закръгляване при отчитане, вариации в показанията, промени в условията на случайно измерване и др.
Случайните грешки причиняват разсейване на резултатите от измерването в серия.
Теорията на грешките се основава на два принципа, потвърдени от практиката:
1. При голям брой измервания еднакво често възникват случайни грешки с една и съща числена стойност, но с различни знаци;
2. Големите (по абсолютна стойност) грешки са по-рядко срещани от малките.
От първата позиция следва важен за практиката извод: с увеличаване на броя на измерванията случайната грешка на резултата, получен от поредица от измервания, намалява, тъй като сумата от грешките на отделните измервания на дадена поредица клони към нула, т.е.
(1.6)
Например, в резултат на измерванията бяха получени редица стойности на електрическо съпротивление (коригирани за ефектите от системни грешки): R 1 = 15,5 Ohm, R 2 = 15,6 Ohm, R 3 = 15,4 Ohm, R 4 = 15, 6 ома и R 5 = 15,4 ома. Следователно R = 15,5 Ohm. Отклоненията от R (R 1 = 0,0; R 2 = +0,1 Ohm, R 3 = -0,1 Ohm, R 4 = +0,1 Ohm и R 5 = -0,1 Ohm) са случайни грешки на отделните измервания в тази серия. Лесно се проверява, че сумата R i = 0,0. Това показва, че грешките в отделните измервания от тази серия са изчислени правилно.
Въпреки факта, че с увеличаване на броя на измерванията сумата от случайните грешки клони към нула (в този пример случайно се оказа нула), трябва да се оцени случайната грешка на резултата от измерването. В теорията на случайните променливи дисперсията o2 служи като характеристика на дисперсията на стойностите на случайна променлива. "|/o2 = a се нарича средно квадратно отклонение на съвкупността или стандартно отклонение.
Тя е по-удобна от дисперсията, тъй като размерът й съвпада с размерността на измерваната величина (например стойността на величината се получава във волтове, стандартното отклонение също ще бъде във волтове). Тъй като в практиката на измерване имаме работа с термина „грешка“, производният термин „средна квадратична грешка“ трябва да се използва за характеризиране на редица измервания. Характеристика на серия от измервания може да бъде средната аритметична грешка или обхватът на резултатите от измерването.
Диапазонът на резултатите от измерването (накратко span) е алгебричната разлика между най-големия и най-малкия резултат от отделните измервания, образуващи серия (или извадка) от n измервания:
R n = X max - X min (1,7)
където Rn е обхватът; X max и X min са най-голямата и най-малката стойност на дадено количество в дадена поредица от измервания.
Например, от пет измервания на диаметъра на отвора d, стойностите R 5 = 25,56 mm и R 1 = 25,51 mm се оказаха неговите максимални и минимални стойности. В този случай R n = d 5 - d 1 = 25,56 mm - 25,51 mm = 0,05 mm. Това означава, че останалите грешки в тази серия са по-малки от 0,05 mm.
Средна аритметична грешка на отделно измерване в серия(накратко - средноаритметична грешка) - обобщена характеристика на разсейването (поради случайни причини) на отделни резултати от измерване (на едно и също количество), включени в серия от n независими измервания с еднаква точност, изчислена по формулата
(1.8)
където X i е резултатът от i-тото измерване, включено в серията; x е средноаритметичното на n стойности: |Х і - X| — абсолютна стойност на грешката на i-то измерване; r е средната аритметична грешка.
Истинската стойност на средната аритметична грешка p се определя от връзката
p = лим r, (1.9)
С броя на измерванията n > 30 между средноаритметичната (r) и средната квадратична стойност (и)има корелации между грешките
s = 1,25 r; r и = 0,80 s. (1.10)
Предимството на средноаритметичната грешка е простотата на нейното изчисляване. Но все пак средната квадратична грешка се определя по-често.
Средна квадратична грешкаиндивидуално измерване в серия (накратко - средна квадратична грешка) - обобщена характеристика на разсейването (поради случайни причини) на отделни резултати от измерване (с еднаква стойност), включени в серия от пнезависими измервания с еднаква точност, изчислени по формулата
(1.11)
Средната квадратична грешка за общата извадка o, която е статистическата граница S, може да се изчисли при /i-mx > по формулата:
Σ = Лим С (1.12)
В действителност броят на измерванията винаги е ограничен, така че не е σ , и неговата приблизителна стойност (или оценка), която е s. Колкото повече п,колкото по-близо е s до границата си σ .
При нормален закон на разпределение вероятността грешката на отделно измерване в серия да не надвишава изчислената средна квадратична грешка е малка: 0,68. Следователно в 32 случая от 100 или 3 от 10 случая действителната грешка може да бъде по-голяма от изчислената.
 |
Фигура 1.2 Намаляване на стойността на случайната грешка на резултата от множество измервания с увеличаване на броя на измерванията в серия
В серия от измервания има връзка между средната квадратна грешка на отделно измерване s и средната квадратна грешка на средната аритметична S x:
което често се нарича „Правило на U n“. От това правило следва, че грешката на измерване, дължаща се на случайни причини, може да бъде намалена с n пъти, ако се извършат n измервания с еднакъв размер на произволно количество и средноаритметичното се приема като краен резултат (фиг. 1.2).
Извършването на най-малко 5 измервания в серия прави възможно намаляването на влиянието на случайните грешки повече от 2 пъти. При 10 измервания влиянието на случайната грешка се намалява 3 пъти. По-нататъшното увеличаване на броя на измерванията не винаги е икономически осъществимо и по правило се извършва само за критични измервания, които изискват висока точност.
Средната квадратична грешка на едно измерване от редица хомогенни двойни измервания S α се изчислява по формулата
(1.14)
където x" i и x"" i са i-тите резултати от измервания на величина със същия размер в права и обратна посока с един измервателен уред.
В случай на неравномерни измервания, средната квадратична грешка на средното аритметично в серията се определя по формулата
(1.15)
където p i е теглото на i-тото измерване в серия от неравни измервания.
Средната квадратична грешка на резултата от непреките измервания на стойността Y, която е функция на Y = F (X 1, X 2, X n), се изчислява по формулата
(1.16)
където S 1, S 2, S n са средните квадратични грешки на резултатите от измерването на величините X 1, X 2, X n.
Ако за по-голяма надеждност при получаване на задоволителен резултат се извършат няколко серии от измервания, средната квадратична грешка на отделно измерване от m серия (S m) се намира по формулата
(1.17)
Където n е броят на измерванията в серията; N е общият брой измервания във всички серии; m е броят на сериите.
При ограничен брой измервания често е необходимо да се знае средната квадратична грешка. За да определите грешката S, изчислена по формула (2.7), и грешката S m, изчислена по формула (2.12), можете да използвате следните изрази
(1.18)
(1.19)
където S и S m са средните квадратични грешки на S и S m, съответно.
Например, при обработката на резултатите от редица измервания на дължина x, получихме
= 86 mm 2 при n = 10,
= 3,1 мм
= 0,7 mm или S = ±0,7 mm
Стойността S = ±0,7 mm означава, че поради грешка в изчислението s е в диапазона от 2,4 до 3,8 mm, следователно десети от милиметъра тук са ненадеждни. В разглеждания случай трябва да запишем: S = ±3 mm.
За да имате по-голяма увереност при оценката на грешката на резултат от измерване, изчислете доверителната грешка или доверителните граници на грешката. При нормалния закон на разпределение доверителните граници на грешката се изчисляват като ±t-s или ±t-s x, където s и s x са средните квадратични грешки, съответно, на отделно измерване в серията и средноаритметичната стойност; t е число, което зависи от доверителната вероятност P и броя на измерванията n.
Важна концепция е надеждността на резултата от измерването (α), т.е. вероятността желаната стойност на измереното количество да попадне в даден доверителен интервал.
Например при обработка на детайли на металорежещи машини в стабилен технологичен режим разпределението на грешките се подчинява на нормалния закон. Да приемем, че толерансът на дължината на частта е зададен на 2a. В този случай доверителният интервал, в който се намира желаната стойност на дължината на детайла a, ще бъде (a - a, a + a).
Ако 2a = ±3s, тогава надеждността на резултата е a = 0,68, т.е. в 32 случая от 100 трябва да се очаква размерът на детайла да надхвърли толеранс 2a. При оценка на качеството на част според допустимото отклонение от 2a = ±3s, надеждността на резултата ще бъде 0,997. В този случай можем да очакваме само три части от 1000 да надхвърлят установения толеранс. Въпреки това, увеличаването на надеждността е възможно само чрез намаляване на грешката в дължината на частта. По този начин, за да се увеличи надеждността от a = 0,68 до a = 0,997, грешката в дължината на частта трябва да бъде намалена три пъти.
Напоследък терминът „надеждност на измерването“ стана широко разпространен. В някои случаи неразумно се използва вместо термина „точност на измерване“. Например в някои източници можете да намерите израза „установяване на единството и надеждността на измерванията в страната“. Докато по-правилно би било да се каже „установяване на единството и необходимата точност на измерванията“. Ние разглеждаме надеждността като качествена характеристика, която отразява близостта до нула на случайни грешки. Може да се определи количествено чрез ненадеждността на измерванията.
Ненадеждност на измерванията(накратко - ненадеждност) - оценка на несъответствието между резултатите в поредица от измервания поради влиянието на общото влияние на случайни грешки (определени чрез статистически и нестатистически методи), характеризиращо се с обхвата на стойностите в който се намира истинската стойност на измерената стойност.
В съответствие с препоръките на Международното бюро за мерки и теглилки, ненадеждността се изразява под формата на обща средна квадратна грешка при измерване - Su, включително средната квадратна грешка S (определена чрез статистически методи) и средната квадратна грешка u (определена чрез нестатистически методи), т.е.
(1.20)
Максимална грешка при измерване(накратко - максимална грешка) - максималната грешка на измерване (плюс, минус), чиято вероятност не надвишава стойността P, докато разликата 1 - P е незначителна.
Например при нормален закон на разпределение вероятността за случайна грешка, равна на ±3 s, е 0,997, а разликата 1-P = 0,003 е незначителна. Следователно в много случаи грешката на достоверността от ±3s се приема като максимална, т.е. pr = ±3s. Ако е необходимо, pr може да има други връзки с s при достатъчно голямо P (2s, 2.5s, 4s и т.н.).
Поради факта, че в стандартите GSI, вместо термина „средна квадратична грешка“, се използва терминът „средно квадратично отклонение“, в по-нататъшните дискусии ще се придържаме към този термин.
Абсолютна грешка при измерване(накратко - абсолютна грешка) - грешка при измерване, изразена в единици от измерената стойност. Следователно грешката X при измерване на дължината на част X, изразена в микрометри, представлява абсолютна грешка.
Не трябва да се бъркат термините „абсолютна грешка“ и „абсолютна стойност на грешката“, което се разбира като стойност на грешката, без да се взема предвид знакът. Така че, ако абсолютната грешка при измерване е ±2 μV, тогава абсолютната стойност на грешката ще бъде 0,2 μV.
Относителна грешка при измерване(накратко - относителна грешка) - грешка при измерване, изразена в части от стойността на измерената величина или като процент. Относителната грешка δ се намира от отношенията:
(1.21)
Например има реална стойност на дължината на детайла x = 10,00 mm и абсолютна стойност на грешката x = 0,01 mm. Относителната грешка ще бъде
Статична грешка— грешка на резултата от измерването поради условията на статично измерване.
Динамична грешка— грешка на резултата от измерването поради условията на динамично измерване.
Грешка при възпроизвеждане на единица— грешка в резултата от измерванията, извършени при възпроизвеждане на единица физическа величина. По този начин грешката при възпроизвеждане на единица с помощта на държавен стандарт е посочена под формата на нейните компоненти: неизключената систематична грешка, характеризираща се с нейната граница; случайна грешка, характеризираща се със стандартно отклонение s и нестабилност през годината ν.
Грешка при предаване на размера на единицата— грешка в резултата от измерванията, извършени при предаване на размера на единица. Грешката при предаване на размера на единицата включва неизключени систематични грешки и случайни грешки в метода и средствата за предаване на размера на единицата (например компаратор).