Кръгът възниква при ежедневиетоне по-рядко от правоъгълник. И за много хора проблемът как да се изчисли обиколката е труден. И всичко това, защото няма ъгли. Ако ги имаше, всичко щеше да стане много по-лесно.
Какво е кръг и къде се появява?
това плоска фигурапредставлява брой точки, които се намират на еднакво разстояние от друга, която е центърът. Това разстояние се нарича радиус.
В ежедневието не е необходимо често да се изчислява обиколката на кръг, освен за хора, които са инженери и дизайнери. Те създават проекти за механизми, които използват например зъбни колела, илюминатори и колела. Архитектите създават къщи с кръгли или сводести прозорци.
Всеки от тези и други случаи изисква своя собствена точност. Освен това се оказва невъзможно да се изчисли обиколката абсолютно точно. Това се дължи на безкрайността на основното число във формулата. "Пи" все още се усъвършенства. И най-често се използва закръглената стойност. Степента на точност се избира така, че да даде най-правилния отговор.
Обозначения на величини и формули
Сега е лесно да се отговори на въпроса как да се изчисли обиколката на кръг по радиус, за това ще ви е необходима следната формула:
Тъй като радиусът и диаметърът са свързани един с друг, има друга формула за изчисления. Тъй като радиусът е два пъти по-малък, изразът ще се промени леко. И формулата за това как да се изчисли обиколката на кръг, знаейки диаметъра, ще бъде както следва:
l = π * d.
Ами ако трябва да изчислите периметъра на кръг?
Само не забравяйте, че окръжността включва всички точки вътре в окръжността. Това означава, че периметърът му съвпада с дължината му. И след като изчислите обиколката, поставете знак за равенство с периметъра на кръга.
Между другото, техните обозначения са еднакви. Това се отнася за радиуса и диаметъра, а периметърът е латинската буква P.
Примерни задачи
Задача първа
Състояние.Намерете дължината на окръжност, чийто радиус е 5 cm.
Решение.Тук не е трудно да разберете как да изчислите обиколката. Просто трябва да използвате първата формула. Тъй като радиусът е известен, всичко, което трябва да направите, е да замените стойностите и да изчислите. 2, умножено по радиус от 5 cm, дава 10. Всичко, което остава, е да го умножим по стойността на π. 3,14 * 10 = 31,4 (cm).
отговор: l = 31,4 см.
Задача втора
Състояние.Има колело, чиято обиколка е известна и равна на 1256 мм. Необходимо е да се изчисли неговият радиус.
Решение.В тази задача ще трябва да използвате същата формула. Но само известната дължина ще трябва да бъде разделена на произведението от 2 и π. Оказва се, че продуктът ще даде резултата: 6,28. След разделянето остава числото: 200. Това е желаната стойност.
отговор: r = 200 mm.
Трета задача
Състояние.Изчислете диаметъра, ако е известна обиколката на окръжността, която е 56,52 cm.
Решение.Подобно на предишния проблем, ще трябва да разделите известната дължина на стойността на π, закръглена до най-близката стотна. В резултат на това действие се получава числото 18.
отговор: d = 18 см.
Проблем четири
Състояние.Стрелките на часовника са с дължина 3 и 5 см. Трябва да изчислите дължините на окръжностите, които описват краищата им.
Решение.Тъй като стрелките съвпадат с радиусите на окръжностите, се изисква първата формула. Трябва да го използвате два пъти.
За първата дължина продуктът ще се състои от фактори: 2; 3.14 и 3. Резултатът ще бъде 18.84 cm.
За втория отговор трябва да умножите 2, π и 5. Продуктът ще даде числото: 31,4 cm.
отговор: l 1 = 18,84 cm, l 2 = 31,4 cm.
Задача пета
Състояние.Катерица бяга в колело с диаметър 2 m. Колко бяга за един пълен оборот на колелото?
Решение.Това разстояние е равно на обиколката. Затова трябва да използвате подходяща формула. А именно, умножете стойността на π и 2 m. Изчисленията дават резултат: 6,28 m.
отговор:Катерицата бяга 6,28м.
Много обекти в света около нас имат кръгла форма. Това са колела, кръгли отвори за прозорци, тръби, различни ястия и много други. Можете да изчислите дължината на кръг, като знаете неговия диаметър или радиус.
Има няколко дефиниции на тази геометрична фигура.
- Това е затворена крива, състояща се от точки, които се намират на еднакво разстояние от дадена точка.
- Това е крива, състояща се от точки A и B, които са краищата на сегмента, и всички точки, от които A и B се виждат под прав ъгъл. В този случай сегментът AB е диаметърът.
- За същия сегмент AB тази крива включва всички точки C, така че отношението AC/BC е постоянно и не е равно на 1.
- Това е крива, състояща се от точки, за които е вярно следното: ако добавите квадратите на разстоянията от една точка до две дадени други точки A и B, получавате постоянно число, по-голямо от 1/2 от сегмента, свързващ A и б. Това определение е извлечено от Питагоровата теорема.
Обърнете внимание!Има и други определения. Кръгът е област в кръг. Периметърът на кръг е неговата дължина. Според различни дефиниции окръжността може или не може да включва самата крива, която е нейната граница.
Определение за кръг
Формули
Как да изчислим обиколката на кръг с помощта на радиуса? Това се прави с помощта на проста формула:
където L е желаната стойност,
π е числото pi, приблизително равно на 3,1413926.
Обикновено, за да намерите необходимата стойност, е достатъчно да използвате π до втората цифра, т.е. 3,14, това ще осигури необходимата точност. На калкулаторите, по-специално на инженерните, може да има бутон, който автоматично въвежда стойността на числото π.
Наименования
За да намерите диаметъра, има следната формула:
Ако L вече е известно, радиусът или диаметърът могат лесно да бъдат открити. За да направите това, L трябва да бъде разделено съответно на 2π или π.
Ако вече е даден кръг, трябва да разберете как да намерите обиколката от тези данни. Площта на кръга е S = πR2. От тук намираме радиуса: R = √(S/π). Тогава
L = 2πR = 2π√(S/π) = 2√(Sπ).
Изчисляването на площта по отношение на L също е лесно: S = πR2 = π(L/(2π))2 = L2/(4π)
За да обобщим, можем да кажем, че има три основни формули:
- през радиуса – L = 2πR;
- проходен диаметър – L = πD;
- през площта на окръжността – L = 2√(Sπ).
Пи
Без числото π няма да е възможно да се реши разглежданата задача. Числото π за първи път е намерено като отношение на обиколката на кръг към неговия диаметър. Това са правили древните вавилонци, египтяни и индийци. Те го установиха доста точно - резултатите им се различаваха от известната в момента стойност на π с не повече от 1%. Константата е апроксимирана с фракции като 25/8, 256/81, 339/108.
Освен това стойността на тази константа беше изчислена не само от гледна точка на геометрията, но и от гледна точка математически анализчрез суми от серии. Обозначението на тази константа гръцка букваπ е използвано за първи път от Уилям Джоунс през 1706 г. и става популярно след работата на Ойлер.
Сега е известно, че тази константа е безкрайна непериодична десетичен знак, то е ирационално, тоест не може да бъде представено като отношение на две цели числа. С помощта на суперкомпютърни изчисления 10-трилионният знак на константата беше открит през 2011 г.
Това е интересно!Измислени са различни мнемонични правила за запомняне на първите няколко цифри от числото π. Някои ви позволяват да съхранявате в паметта голям бройчисла, например, едно френско стихотворение ще ви помогне да запомните пи до 126-та цифра.
Ако имате нужда от обиколката, онлайн калкулатор ще ви помогне с това. Има много такива калкулатори; просто трябва да въведете радиуса или диаметъра. Някои от тях имат и двете опции, други изчисляват резултата само чрез R. Някои калкулатори могат да изчислят желаната стойност с различна точност, трябва да посочите броя на десетичните знаци. Можете също да изчислите площта на кръг с помощта на онлайн калкулатори.
Такива калкулатори се намират лесно с всяка търсачка. Има и мобилни приложения, които ще ви помогнат да решите задачата как да намерите обиколката на кръг.
Полезно видео: обиколка
Практическо приложение
Решаването на такъв проблем най-често е необходимо за инженери и архитекти, но в ежедневието познаването на необходимите формули също може да бъде полезно. Например, трябва да увиете хартиена лента около торта, изпечена във форма с диаметър 20 см. Тогава няма да е трудно да намерите дължината на тази лента.
Очевидно границата на всеки кръг е кръг. Следователно концепцията за периметъра на кръга съвпада с такава концепция като обиколка. Затова първо нека си припомним какво е кръг и какви понятия са свързани с него.
Концепция за кръг
Определение 1
Ще наречем това кръг геометрична фигура, който ще се състои от всички такива точки, които са на едно и също разстояние от всяка дадена точка.
Определение 2
Ще наречем център на окръжността точката, която е посочена в Дефиниция 1.
Определение 3
Радиусът на окръжност ще бъде разстоянието от центъра на тази окръжност до всяка от нейните точки (фиг. 1).
В декартовата координатна система $xOy$ можем също да въведем уравнението на всяка окръжност. Нека означим центъра на окръжността с точка $X$, която ще има координати $(x_0,y_0)$. Нека радиусът на тази окръжност е равен на $τ$. Да вземем произволна точка $Y$, чиито координати ще означим с $(x,y)$ (фиг. 2).
Използвайки формулата за разстоянието между две точки в нашата координатна система, получаваме:
$|XY|=\sqrt((x-x_0)^2+(y-y_0)^2)$
От друга страна, $|XY|$ е разстоянието от всяка точка на окръжността до избрания от нас център. Тоест, по Дефиниция 3, ние получаваме, че $|XY|=τ$, следователно
$\sqrt((x-x_0)^2+(y-y_0)^2)=τ$
$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=τ^2$ (1)
Така получаваме, че уравнение (1) е уравнението на окръжност в декартовата координатна система.
Обиколка (периметър на кръг)
Ще изведем дължината на произволна окръжност $C$, използвайки нейния радиус, равен на $τ$.
Ще разгледаме две произволни окръжности. Нека означим техните дължини с $C$ и $C"$, чиито радиуси са равни на $τ$ и $τ"$. В тези окръжности ще впишем правилни $n$-ъгълници, чиито периметри са равни на $ρ$ и $ρ"$, а дължините на страните са равни съответно на $α$ и $α"$. Както знаем, страната на правилен $n$-ъгълник, вписан в окръжност, е равна на
$α=2τsin\frac(180^0)(n)$
Тогава ще получим това
$ρ=nα=2nτ\frac(sin180^0)(n)$
$ρ"=nα"=2nτ"\frac(sin180^0)(n)$
$\frac(ρ)(ρ")=\frac(2nτsin\frac(180^0)(n))(2nτ"\frac(sin180^0)(n))=\frac(2τ)(2τ") $
Откриваме, че отношението $\frac(ρ)(ρ")=\frac(2τ)(2τ")$ ще бъде вярно независимо от стойността на броя на страните на вписаните правилни многоъгълници. това е
$\lim_(n\to\infty)(\frac(ρ)(ρ"))=\frac(2τ)(2τ")$
От друга страна, ако безкрайно увеличаваме броя на страните на вписани правилни многоъгълници (т.е. $n→∞$), получаваме равенството:
$lim_(n\to\infty)(\frac(ρ)(ρ"))=\frac(C)(C")$
От последните две равенства получаваме това
$\frac(C)(C")=\frac(2τ)(2τ")$
$\frac(C)(2τ)=\frac(C")(2τ")$
Виждаме, че съотношението на обиколката на кръга към неговия двоен радиус винаги е едно и също число, независимо от избора на кръга и неговите параметри, т.е.
$\frac(C)(2τ)=const$
Тази константа се нарича числото "pi" и се обозначава като $π$. Приблизително това число ще бъде равно на $3,14$ (няма точна стойност за това число, тъй като е ирационално число). Така
$\frac(C)(2τ)=π$
Накрая откриваме, че обиколката (периметърът на кръг) се определя по формулата
Примерни задачи
Пример 1
Намерете периметъра на окръжност, вписана в квадрат със страна, равна на $α$.
Нека ни е даден квадрат $ABCD$, в който е вписана окръжност с център $O$. Нека начертаем картина според условията на задачата (фиг. 3).
Очевидно центърът на кръга ще съвпадне с центъра на квадрата, в който е вписан. Тъй като квадратът е описан около кръг, страните му ще са допирателни към него, тоест радиусът, начертан например към страната $AB$, ще бъде перпендикулярен на него. Това означава, че диаметърът на кръга е равен на страната на квадрата. това е
$τ=\frac(α)(2)$
Използвайки формулата за периметъра на кръг, получаваме това
$C=2π\cdot \frac(α)(2)=πα$
Отговор: $πα$.
Пример 2
Намерете периметъра на окръжността, описана от правоъгълен триъгълник с катети, равни на $α$ и $β$.
Нека ни е даден триъгълник $ABC$ с прав ъгъл $C$, който има описана окръжност с център $O$. Както знаем, диаметърът на такава окръжност е хипотенузата на такъв триъгълник. Тоест, $|AO|=|OB|=|OC|=τ$ (фиг. 4).
Според Питагоровата теорема хипотенузата е равна на
$|AB|=\sqrt(α^2+β^2)$
$|AO|=τ=\frac(\sqrt(α^2+β^2))(2)$
Периметърът на кръг, според формулата, е равен на
$C=2π\cdot \frac(\sqrt(α^2+β^2))(2)=π\sqrt(α^2+β^2)$
Отговор: $π\sqrt(α^2+β^2)$.
Една линийка не е достатъчна; трябва да знаете специални формули. Единственото нещо, което трябва да направим, е да определим диаметъра или радиуса на кръга. В някои задачи тези количества са посочени. Но какво ще стане, ако нямаме нищо друго освен рисунка? няма проблеми Диаметърът и радиусът могат да бъдат изчислени с помощта на обикновена линийка. Сега нека да преминем към основите.
Формули, които всеки трябва да знае
Преди почти 4000 години учените откриха удивителна връзка: ако обиколката на кръг се раздели на неговия диаметър, резултатът е същото число, което е приблизително 3,14. Тази стойност е кръстена от тази буква в старогръцкиЗапочнаха думите „периметър“ и „обиколка“. Въз основа на откритието, направено от древни учени, можете да изчислите дължината на всеки кръг:
Където P означава дължината (периметъра) на окръжността,
D - диаметър, P - число "Pi".
Обиколката на кръг може да се изчисли и чрез неговия радиус (r), който е равен на половината от дължината на диаметъра. Ето втората формула, която трябва да запомните:
Как да разберете диаметъра на кръг?
Това е хорда, която минава през центъра на фигурата. В същото време той свързва двете най-отдалечени точки в кръга. Въз основа на това можете самостоятелно да начертаете диаметъра (радиуса) и да измерите дължината му с линийка.
Метод 1: въведете правоъгълен триъгълникв кръг
Изчисляването на обиколката на кръг ще бъде лесно, ако намерим неговия диаметър. Необходимо е да начертаете кръг, където хипотенузата ще бъде равна на диаметъра на кръга. За да направите това, трябва да имате владетел и квадрат под ръка, в противен случай нищо няма да работи.
Метод 2: поставете всеки триъгълник
От страната на кръга маркираме произволни три точки, свързваме ги - получаваме триъгълник. Важно е центърът на кръга да лежи в областта на триъгълника; това може да се направи на око. Начертаваме медиани към всяка страна на триъгълника, точката на тяхното пресичане съвпада с центъра на кръга. И когато знаем центъра, можем лесно да начертаем диаметъра с линийка.
Този метод е много подобен на първия, но може да се използва при липса на квадрат или в случаите, когато не е възможно да се рисува върху фигура, например върху чиния. Трябва да вземете лист хартия с прави ъгли. Прилагаме листа към кръга, така че единият връх на неговия ъгъл да докосва ръба на кръга. След това маркираме с точки местата, където страните на хартията се пресичат с кръговата линия. Свържете тези точки с молив и линийка. Ако нямате нищо под ръка, просто сгънете хартията. Тази линия ще бъде равна на дължината на диаметъра.
Примерна задача
- Търсим диаметъра с помощта на квадрат, владетел и молив по метод № 1. Да приемем, че се оказва 5 см.
- Знаейки диаметъра, можем лесно да го вмъкнем в нашата формула: P = d P = 5 * 3,14 = 15,7 В нашия случай се оказа около 15,7. Сега можете лесно да обясните как да изчислите обиколката на кръг.
Circle calculator е услуга, специално създадена за изчисляване на геометричните размери на фигури онлайн. Благодарение на тази услуга можете лесно да определите всеки параметър на фигура въз основа на кръг. Например: Знаете обема на една топка, но трябва да получите нейната площ. Нищо не може да бъде по-лесно! Изберете подходящата опция, въведете числова стойност и щракнете върху бутона Изчисли. Услугата не само показва резултатите от изчисленията, но и предоставя формулите, по които са направени. Използвайки нашата услуга, можете лесно да изчислите радиуса, диаметъра, обиколката (периметъра на кръга), площта на кръга и топката и обема на топката.
Изчислете радиуса
Проблемът с изчисляването на стойността на радиуса е един от най-често срещаните. Причината за това е доста проста, защото знаейки този параметър, можете лесно да определите стойността на всеки друг параметър на кръг или топка. Нашият сайт е изграден точно по тази схема. Независимо какъв първоначален параметър изберете, първата стъпка е да изчислите стойността на радиуса и всички последващи изчисления се основават на нея. За по-голяма точност на изчисленията сайтът използва Pi, закръглено до 10-ия знак след десетичната запетая.
Изчислете диаметъра
Изчисляването на диаметър е най-простият вид изчисление, което нашият калкулатор може да извърши. Изобщо не е трудно да получите стойността на диаметъра ръчно, за това изобщо не е необходимо да прибягвате до интернет. Диаметър равно на стойносттарадиус, умножен по 2. Диаметърът е най-важният параметър на кръга, който се използва изключително често в ежедневието. Абсолютно всеки трябва да може да го изчисли и използва правилно. Използвайки възможностите на нашия сайт, вие ще изчислите диаметъра с голяма точност за части от секундата.
Разберете обиколката
Дори не можете да си представите колко кръгли предмети има около нас и каква важна роля играят в живота ни. Способността за изчисляване на обиколката е необходима за всеки, от обикновен шофьор до водещ инженер по дизайн. Формулата за изчисляване на обиколката е много проста: D=2Pr. Изчислението може лесно да се направи или на лист хартия, или с помощта на този онлайн асистент. Предимството на последния е, че илюстрира всички изчисления със снимки. И на всичкото отгоре, вторият метод е много по-бърз.
Изчислете площта на кръг
Площта на кръга - както всички параметри, изброени в тази статия - е в основата на съвременната цивилизация. Способността да се изчислява и знае площта на кръг е полезна за всички сегменти от населението без изключение. Трудно е да си представим област на науката и технологиите, в която не би било необходимо да се знае площта на кръг. Формулата за изчисление отново не е трудна: S=PR 2. Тази формула и нашият онлайн калкулатор ще ви помогнат да намерите площта на всеки кръг без допълнителни усилия. Нашият сайт гарантира висока точност на изчисленията и светкавичното им изпълнение.
Изчислете площта на сфера
Формулата за изчисляване на площта на топка не е по-сложна от формулите, описани в предишните параграфи. S=4Pr 2 . Този прост набор от букви и цифри дава на хората способността да изчисляват сравнително точно площта на топка в продължение на много години. Къде може да се приложи това? Да навсякъде! Например знаете, че площта на земното кълбо е 510 100 000 квадратни километра. Безполезно е да изброявам къде може да се приложи познаването на тази формула. Обхватът на формулата за изчисляване на площта на сфера е твърде широк.
Изчислете обема на топката
За да изчислите обема на топката, използвайте формулата V = 4/3 (Pr 3). Използван е за създаването на нашия онлайн услуга. Уебсайтът на сайта дава възможност да се изчисли обемът на топката за няколко секунди, ако знаете такъв следните параметри: радиус, диаметър, обиколка, площ на кръг или област на сфера. Можете също да го използвате за обратно изчисление, например, за да знаете обема на топка и да получите стойността на нейния радиус или диаметър. Благодарим ви, че разгледахте бързо възможностите на нашия кръгов калкулатор. Надяваме се, че сте харесали нашия сайт и вече сте го маркирали.