Континенти

Нека функциите имат производни на границата (n-1). (1)

Помислете за детерминантата:

W(x) се нарича детерминанта на Wronski за функции.Теорема 1.

Ако функциите са линейно зависими в интервала (a, b), тогава техният Wronskian W(x) е идентично равен на нула в този интервал.Доказателство.

Съгласно условията на теоремата връзката е изпълнена

, (2) където не всички са равни на нула. Нека . Тогава

(3). Разграничаваме тази идентичност n-1 пъти и,

Замествайки вместо това получените им стойности в детерминанта на Wronsky,

(4).

получаваме:

В детерминантата на Wronski последната колона е линейна комбинация от предходните n-1 колони и следователно е равна на нула във всички точки от интервала (a, b).Теорема 2.

Ако функциите са линейно зависими в интервала (a, b), тогава техният Wronskian W(x) е идентично равен на нула в този интервал.Ако функциите y1,…, yn са линейно независими решения на уравнението L[y] = 0, чиито всички коефициенти са непрекъснати в интервала (a, b), тогава Wronskian на тези решения е различен от нула във всяка точка от интервал (a, b).

(5).

Да приемем обратното. Има X0, където W(X0)=0. Нека създадем система от n уравнения

Очевидно системата (5) има ненулево решение. Нека (6).

Нека направим линейна комбинация от решения y1,…, yn.

Y(x) е решение на уравнението L[y] = 0. В допълнение, . По силата на теоремата за уникалността решението на уравнението L[y] = 0 с нулеви начални условия може да бъде само нула, т.е.

Получаваме идентичността, при която не всички са равни на нула, което означава, че y1,..., yn са линейно зависими, което противоречи на условията на теоремата. Следователно, няма точка, където W(X0)=0.

Въз основа на теорема 1 и теорема 2 може да се формулира следното твърдение. За да бъдат n решения на уравнението L[y] = 0 линейно независими в интервала (a, b), е необходимо и достатъчно техният Wronskian да не изчезва в нито една точка от този интервал.

1. Следните очевидни свойства на Wronskian също следват от доказаните теореми.
2. Ако Вронскианът на n решения на уравнението L[y] = 0 е равен на нула в една точка x = x0 от интервала (a, b), в който всички коефициенти pi(x) са непрекъснати, тогава той е равен на нула във всички точки от този интервал.

Така за линейността на n независими решения на уравнението L[y] = 0 в интервала (a, b), в който коефициентите на уравнението рi(x) са непрекъснати, е необходимо и достатъчно техният Wronskian да бъде ненулева поне в една точка от този интервал.

Определение 18.2 Функционална системаf, ..., f pнареченлi- neip oч и в и с и m около th на интервала(А, (3), ако някои нетривиални 5 линейна комбинация от тези функции е равна на нула на този интервал по идентичен начин:

Определение 18.3 Векторна система f 1, ..., x n се казва, че е линеен в a b i c i m, ако някаква нетривиална, линейна комбинация от тези вектори е равна на bullet вектора:

ЛЗа да избегнем объркване, по-нататък ще обозначаваме номера на векторната компонента (векторната функция) с долен индекс, а номера на самия вектор (ако има няколко такива вектора) с горния индекс.

„Напомняме ви, че линейната комбинация се нарича нетривиална, ако не всички коефициенти в нея са нула.

Определение 18.4 Системата от векторни функции x 1 ^),..., x n (t) се нарича линейнач и в и с и в интервала,(А, /3), ако някаква нетривиална линейна комбинация от тези векторни функции е идентично равна на нулевия вектор в този интервал:

Важно е да се разбере връзката между тези три понятия (линейна зависимост на функции, вектори и векторни функции) помежду си.

На първо място, ако представим формула (18.6) в разширена форма (като помним, че всяка от x g (1)е вектор)

тогава тя се оказва еквивалентна на системата от равенства

което означава линейната зависимост на i-тите компоненти по смисъла на първата дефиниция (като функции). Те казват, че линейната зависимост на векторните функции води до тях компонент по компонентлинейна зависимост.

Обратното, най-общо казано, не е вярно: достатъчно е да разгледаме примера на двойка векторни функции

Първите компоненти на тези векторни функции просто съвпадат, което означава, че са линейно зависими. Вторите компоненти са пропорционални, т.е. също са линейно зависими. Ако обаче се опитаме да построим тяхната линейна комбинация, която е идентично равна на нула, тогава от връзката

получаваме системата веднага

който има уникално решение S - S-2 - 0. Така нашите векторни функции са линейно независими.

Каква е причината за това странно свойство? Какъв е трикът, който ви позволява да конструирате линейно независими векторни функции от очевидно зависими функции?

Оказва се, че целият смисъл не е толкова в линейната зависимост на компонентите, а в съотношението на коефициентите, което е необходимо, за да се получи нула. В случай на линейна зависимост на векторните функции един и същ набор от коефициенти обслужва всички компоненти, независимо от броя им. Но в примера, който дадохме, един компонент изисква една пропорция на коефициентите, а друг изисква друга. Така че трикът всъщност е прост: за да се получи цялата линейна зависимост на векторните функции от линейна зависимост „по компоненти“, е необходимо всички компоненти да бъдат линейно зависими „в същата пропорция“.

Нека сега да преминем към изучаване на връзката между линейната зависимост на векторните функции и векторите. Тук е почти очевидно, че от линейната зависимост на векторните функции следва, че за всяка фикс т*вектор

ще бъде линейно зависим.

Обратното, най-общо казано, не важи: от линейната зависимост на векторите за всеки tЛинейната зависимост на векторните функции не следва. Това е лесно да се види на примера на две векторни функции

При t=1, t=2 и t=3получаваме двойки вектори

съответно. Всяка двойка вектори е пропорционална (съответно с коефициенти 1,2 и 3). Лесно е да се разбере, че за всяка фикс т*нашата двойка вектори ще бъде пропорционална на коефициента t*.

Ако се опитаме да конструираме линейна комбинация от векторни функции, която е идентично равна на нула, тогава вече първите компоненти ни дават връзката

което е възможно само ако СЪС = СЪС2 = 0. Така нашите векторни функции се оказаха линейно независими. Отново, обяснението за този ефект е, че в случай на линейна зависимост на векторни функции, един и същ набор от константи Cj обслужва всички стойности t,и в нашия пример за всяка стойност tизискваше се точно съотношение между коефициентите.

По-долу са дадени няколко критерия за линейна зависимост и, съответно, линейна независимост на векторните системи.

Теорема. (Необходимо и достатъчно условие за линейна зависимост на векторите.)

Една система от вектори е зависима тогава и само тогава, когато един от векторите на системата е линейно изразен чрез останалите на тази система.

Доказателство. Необходимост. Нека системата е линейно зависима. Тогава, по дефиниция, той представя нулевия вектор нетривиално, т.е. има нетривиална комбинация от тази система от вектори, равна на нулевия вектор:

където поне един от коефициентите на тази линейна комбинация не е равен на нула. Нека , .

Нека разделим двете страни на предишното равенство на този ненулев коефициент (т.е. умножете по:

Нека означим: , където .

тези. един от векторите на системата се изразява линейно през останалите на тази система и т.н.

Адекватност. Нека един от векторите на системата е линейно изразен чрез други вектори на тази система:

Нека преместим вектора вдясно от това равенство:

Тъй като коефициентът на вектора е равен на , тогава имаме нетривиално представяне на нула чрез система от вектори, което означава, че тази система от вектори е линейно зависима и т.н.

Теоремата е доказана.

Последица.

1. Система от вектори във векторно пространство е линейно независима тогава и само ако нито един от векторите на системата не е линейно изразен чрез други вектори на тази система.

2. Система от вектори, съдържаща нулев вектор или два равни вектора, е линейно зависима.

Доказателство.

1) Необходимост. Нека системата е линейно независима. Нека приемем обратното и има вектор на системата, който е линейно изразен чрез други вектори на тази система. Тогава според теоремата системата е линейно зависима и стигаме до противоречие.

Адекватност. Нека никой от векторите на системата не е изразен чрез останалите. Да приемем обратното. Нека системата е линейно зависима, но тогава от теоремата следва, че има вектор на системата, който се изразява линейно чрез други вектори на тази система и отново стигаме до противоречие.

2a) Нека системата съдържа нулев вектор. Да приемем със сигурност, че векторът :. Тогава равенството е очевидно

тези. един от векторите на системата се изразява линейно чрез другите вектори на тази система. От теоремата следва, че такава система от вектори е линейно зависима и т.н.

Имайте предвид, че този факт може да бъде доказан директно от линейно зависима система от вектори.

Тъй като , следното равенство е очевидно

Това е нетривиално представяне на нулевия вектор, което означава, че системата е линейно зависима.

2b) Нека системата има два равни вектора. Нека за. Тогава равенството е очевидно

Тези. първият вектор се изразява линейно чрез останалите вектори на същата система. От теоремата следва, че тази система е линейно зависима и т.н.

Подобно на предишното, това твърдение може да се докаже директно чрез дефиницията на линейно зависима система. Тогава тази система представя нулевия вектор нетривиално

откъдето следва линейната зависимост на системата.

Теоремата е доказана.

Последица. Система, състояща се от един вектор, е линейно независима тогава и само ако този вектор е различен от нула.

Векторно пространство. Примери и най-прости свойства на векторни пространства. Линейна зависимост и независимост на система от вектори.

Линейно или векторно пространство L(P) над поле P е непразно множество L, върху което се въвеждат следните операции:

1. добавяне, т.е. всяка двойка елементи от набор е свързана с елемент от същото множество, означено с x + yϵL

2. умножение по скалар (т.е. елемент от полето P), тоест всеки елемент λ ϵ P и всеки елемент x ϵ L е свързан с един елемент от L(P), означен като λx ϵ L(P ).

В този случай на операциите се налагат следните условия:

1. х+ г= y+ x, за всяко x,y ϵ L. (комутативност на свиването)

2.х+ (y+ z) = (x+ y) + z, x,y,z ϵ L. (асоциативност на свиването)

3.има такова нещо θ ϵ L, което х+ θ =x За anyx ϵ L (съществуване на неутрален елемент по отношение на добавянето), по-специално, не е празно;

4.за всяко x ϵ L има елемент -x ϵ L такъв, че х+(-x)= θ (наличие на противоположен елемент спрямо събирането).

5.(αβ)х=α(βх), (асоциативност на умножението със скалар)

6.1*x=x (унитарност: умножение с неутрален (чрез умножение) елемент на полето P запазва вектора).

7.(α+ β)* x= α* x+ β*x, (разпределимост на умножението с вектор спрямо събирането на скалари);

8. α * (x+y) = α *x+ α *y, (разпределимост на умножението по скалар спрямо събиране на вектори).

Елементите на множеството L се наричат ​​вектори, а елементите на полето P - скалари. Свойства 1-4 съвпадат с аксиомите на абелевата група.

Най-простите светци:

1. Векторното пространство е абелева група при добавяне.

2. За всеки x ϵ L противоположният елемент -x ϵ L е уникален

3. 0*X=θ, за всеки x ϵ L

4. 1*(-x)=-x за всеки x ϵ L

5.α * θ = θ ,за всяко αϵ L

Пример за VPса m\in матрици с реални компоненти от същия ред с естествена дефиниция на операциите събиране и умножение. Матрици за броя на веществата

Линейна зависимост\(не) система от вектори (дефиниция, свойства)

Теорема. (Необходимо и достатъчно условие за линейна зависимост на система от вектори.)

Система от вектори във векторно пространство е линейно зависима тогава и само ако един от векторите на системата е линейно изразен чрез други вектори на тази система.

Доказателство. Необходимост. Нека системата e 1 ..e n е линейно зависима. Тогава, по дефиниция, той представя нулевия вектор нетривиално, т.е. има нетривиална линейна комбинация от тази система от вектори, равна на нулевия вектор:

α 1 e 1 +..+ α n e n =0, където поне един от коефициентите на тази линейна комбинация не е равен на нула. Нека α k ≠0 ,kϵ 1.2…n Разделете двете страни на предишното равенство на този ненулев коефициент (т.е. умножете по α k -1 *(α 1 e 1 +..+ αa n e n) =0

Нека означим: α k -1 α m =β m където mϵ 1,2…,k-1,k+1,..,n Тогава β 1 e 1+ … +β 1 e n =0, т.е. един от векторите на системата се изразява линейно чрез други вектори на тази система и т.н.

Адекватност. Нека един от векторите на системата е линейно изразен чрез други вектори на тази система: e k =γ 1 e 1+..+ γ n e n , Нека преместим вектора e k в дясната страна на това равенство: 0=γ 1 e 1+..+ γ n e n

Тъй като коефициентът на вектора e k е равен на -1≠0, тогава имаме нетривиално представяне на нула чрез система от вектори e 1 ..e n, което означава, че тази система от вектори е линейно зависима и т.н.

Теоремата е доказана.

Последица.

1. Система от вектори във векторно пространство е линейно независима тогава и само ако нито един от векторите на системата не е линейно изразен чрез други вектори на тази система.

2. Система от вектори, съдържаща нулев вектор или два равни вектора, е линейно зависима.

Последица.

Система, състояща се от един вектор, е линейно независима тогава и само ако този вектор е различен от нула.

Базисът е набор от вектори във векторно пространство, така че всеки вектор в това пространство може да бъде уникално представен като линейна комбинация от вектори от този набор - базисни вектори.

Броят на векторите, включени във всяка максимална линейно независима подсистема на дадена система от вектори, се нарича рангсистеми.

Теорема.Нека са дадени две системи п-размерни вектори:

а 1 ,а 2 ¼, а r (9)

b 1 ,b 2 ¼, bs, (10)

не непременно линейно независими и рангът на системата (9) е равен на числото к, системен ранг (10) – брой л. Ако първата система е линейно изразена през втората, тогава k £ l. Ако тези системите са еквивалентни, Това k = l.

Броят на елементите (кардиналност) на максимално линейно независимо подмножество на пространство не зависи от избора на това подмножество и се нарича ранг или измерение на пространството, а самото това подмножество се нарича основа

Линейна зависимост и линейна независимост на векторите.
Основа на векторите. Афинна координатна система

В аулата има количка с шоколадови бонбони, а всеки посетител днес ще получи сладка двойка - аналитична геометрия с линейна алгебра. Тази статия ще засегне едновременно два раздела от висшата математика и ще видим как те съществуват съвместно в една обвивка. Направете си почивка, изяжте Twix! ...по дяволите, какви глупости. Въпреки че, добре, няма да вкарам, в крайна сметка трябва да имате положително отношение към ученето.

Линейна зависимост на векторите, линейна векторна независимост, векторна основаи други термини имат не само геометрично тълкуване, но преди всичко алгебрично значение. Самото понятие „вектор“ от гледна точка на линейната алгебра не винаги е „обикновеният“ вектор, който можем да изобразим на равнина или в пространството. Не е нужно да търсите далеч за доказателство, опитайте се да начертаете вектор от петизмерно пространство . Или векторът на времето, за който току-що отидох в Gismeteo: съответно температура и атмосферно налягане. Примерът, разбира се, е неправилен от гледна точка на свойствата на векторното пространство, но въпреки това никой не забранява формализиране на тези параметри като вектор. Полъх на есен...

Не, няма да ви отегчавам с теория, линейни векторни пространства, задачата е да разбирамопределения и теореми. Новите термини (линейна зависимост, независимост, линейна комбинация, базис и т.н.) се отнасят за всички вектори от алгебрична гледна точка, но ще бъдат дадени геометрични примери. Така всичко е просто, достъпно и ясно. В допълнение към задачите от аналитичната геометрия ще разгледаме и някои типични задачи от алгебрата. За да овладеете материала, препоръчително е да се запознаете с уроците Вектори за манекениИ Как да изчислим детерминантата?

Линейна зависимост и независимост на равнинните вектори.
Равнинна основа и афинна координатна система

Нека разгледаме равнината на вашето компютърно бюро (само маса, нощно шкафче, под, таван, каквото искате). Задачата ще се състои от следните действия:

1) Изберете равнинна основа. Грубо казано, плотът има дължина и ширина, така че е интуитивно, че ще са необходими два вектора за изграждане на основата. Един вектор явно не е достатъчен, три вектора са твърде много.

2) Въз основа на избраната основа зададена координатна система(координатна мрежа), за да зададете координати на всички обекти на масата.

Не се учудвайте, в началото обясненията ще са на пръсти. Освен това на вашия. Моля поставете левия показалецна ръба на плота, така че да гледа към монитора. Това ще бъде вектор. Сега място десен малък пръстна ръба на масата по същия начин - така че да е насочен към екрана на монитора. Това ще бъде вектор. Усмихни се, изглеждаш страхотно! Какво можем да кажем за векторите? Вектори на данни колинеарен, което означава линеенизразени един чрез друг:
, добре, или обратното: , където е някакво число, различно от нула.

Можете да видите снимка на това действие в клас. Вектори за манекени, където обясних правилото за умножение на вектор по число.

Пръстите ви ще поставят ли основата върху равнината на компютърното бюро? Очевидно не. Колинеарните вектори пътуват напред и назад напречно сампосока, а равнината има дължина и ширина.

Такива вектори се наричат линейно зависими.

Справка: Думите "линеен", "линеен" означават факта, че в математическите уравнения и изрази няма квадрати, кубове, други степени, логаритми, синуси и др. Има само линейни (1-ва степен) изрази и зависимости.

Два равнинни вектора линейно зависимиако и само ако са колинеарни.

Скръстете пръсти на масата, така че да има ъгъл между тях, различен от 0 или 180 градуса. Два равнинни векторалинеен независими тогава и само ако не са колинеарни. И така, основата е получена. Няма нужда да се притеснявате, че основата се оказа „изкривена“ с неперпендикулярни вектори с различна дължина. Съвсем скоро ще видим, че не само ъгъл от 90 градуса е подходящ за построяването му, а не само единични вектори с еднаква дължина

Всякаквиравнинен вектор единственият начинсе разширява според основата:
, където са реални числа. Извикват се номерата векторни координатив тази основа.

Също така се казва, че векторпредставен като линейна комбинациябазисни вектори. Тоест изразът се нарича векторно разлаганепо основаили линейна комбинациябазисни вектори.

Например, можем да кажем, че векторът е разложен по ортонормална основа на равнината, или можем да кажем, че е представен като линейна комбинация от вектори.

Да формулираме определение за основаформално: Основата на самолетасе нарича двойка линейно независими (неколинеарни) вектори, , докато всякаквиплоският вектор е линейна комбинация от базисни вектори.

Съществен момент от дефиницията е фактът, че векторите са взети в определен ред. Бази – това са две напълно различни бази! Както се казва, не можете да замените малкия пръст на лявата си ръка вместо малкия пръст на дясната си ръка.

Разбрахме основата, но не е достатъчно да зададем координатна мрежа и да зададем координати на всеки елемент на компютърното бюро. Защо не е достатъчно? Векторите са свободни и се скитат из цялата равнина. И така, как да зададете координати на онези малки мръсни петна по масата, останали от един див уикенд? Необходима е отправна точка. И такава забележителност е точка, позната на всички - произходът на координатите. Нека разберем координатната система:

Ще започна с „училищната“ система. Още във встъпителния урок Вектори за манекениПодчертах някои разлики между правоъгълната координатна система и ортонормалната основа. Ето стандартната снимка:

Когато говорят за правоъгълна координатна система, тогава най-често те означават началото, координатните оси и мащаба по осите. Опитайте да напишете „правоъгълна координатна система“ в търсачката и ще видите, че много източници ще ви разкажат за познатите от 5-6 клас координатни оси и как да начертаете точки върху равнина.

От друга страна, изглежда, че една правоъгълна координатна система може да бъде дефинирана от гледна точка на ортонормална основа. И това е почти вярно. Формулировката е следната:

произход, И ортонормалнаосновата е поставена Декартова правоъгълна равнинна координатна система . Тоест правоъгълната координатна система определеносе определя от една точка и два единични ортогонални вектора. Ето защо виждате чертежа, който дадох по-горе - в геометричните задачи често (но не винаги) се чертаят както вектори, така и координатни оси.

Мисля, че всеки разбира това с помощта на точка (начало) и ортонормална основа ВСЯКА ТОЧКА от равнината и ВСЕКИ ВЕКТОР от равнинатамогат да се задават координати. Образно казано, „всичко в самолета може да бъде номерирано“.

Изисква ли се координатните вектори да бъдат единици? Не, те могат да имат произволна ненулева дължина. Да разгледаме точка и два ортогонални вектора с произволна ненулева дължина:

Такава основа се нарича ортогонален. Началото на координатите с вектори се определя от координатна мрежа и всяка точка от равнината, всеки вектор има своите координати в дадена основа. Например, или. Очевидното неудобство е, че координатните вектори в общ случайимат различни дължини, различни от единица. Ако дължините са равни на единица, тогава се получава обичайната ортонормална основа.

! Забележка : в ортогоналната основа, както и по-долу в афинните основи на равнината и пространството, се разглеждат единици по осите УСЛОВНО. Например, една единица по оста x съдържа 4 см, една единица по ординатната ос съдържа 2 см. Тази информация е достатъчна, за да преобразувате „нестандартните“ координати в „нашите обичайни сантиметри“.

И вторият въпрос, на който всъщност вече беше отговорено, е дали ъгълът между базисните вектори трябва да е равен на 90 градуса? не! Както гласи дефиницията, базисните вектори трябва да бъдат само неколинеарни. Съответно ъгълът може да бъде всичко освен 0 и 180 градуса.

Точка на равнината, наречена произход, И неколинеарнивектори, , комплект афинна равнинна координатна система :

Понякога се нарича такава координатна система кососистема. Като примери чертежът показва точки и вектори:

Както разбирате, афинната координатна система е още по-малко удобна; формулите за дължините на векторите и сегментите, които обсъдихме във втората част на урока, не работят в нея Вектори за манекени, много вкусни формули, свързани с скаларно произведение на вектори. Но правилата за добавяне на вектори и умножаване на вектор по число, формулите за разделяне на отсечка в това отношение, както и някои други видове задачи, които скоро ще разгледаме, са валидни.

И изводът е, че най-удобният частен случай на афинна координатна система е декартовата правоъгълна система. Ето защо най-често трябва да я виждаш, скъпа моя. ...Всичко в този живот обаче е относително - има много ситуации, в които косият ъгъл (или някой друг напр. полярен) координатна система. И хуманоидите може да харесат такива системи =)

Да преминем към практическата част. Всички задачи в този урок са валидни както за правоъгълната координатна система, така и за общия афинен случай. Тук няма нищо сложно, целият материал е достъпен дори за ученик.

Как да определим колинеарност на равнинни вектори?

Типично нещо. За два равнинни вектора са били колинеарни, е необходимо и достатъчно съответните им координати да са пропорционалниПо същество това е детайлизиране на очевидната връзка координата по координата.

Пример 1

а) Проверете дали векторите са колинеарни .
б) Векторите образуват ли база? ?

Решение:
а) Нека разберем дали има за вектори коефициент на пропорционалност, така че да са изпълнени равенствата:

Определено ще ви разкажа за „шампанския“ вариант на прилагане на това правило, който работи доста добре на практика. Идеята е веднага да съставите пропорцията и да видите дали е правилна:

Нека направим пропорция от съотношенията на съответните координати на векторите:

Нека съкратим:
, следователно съответните координати са пропорционални, следователно,

Връзката може да бъде направена обратното, това е еквивалентен вариант:

За самопроверка можете да използвате факта, че колинеарните вектори са линейно изразени един през друг. В този случай равенствата са налице . Тяхната валидност може лесно да се провери чрез елементарни операции с вектори:

б) Два равнинни вектора образуват базис, ако не са колинеарни (линейно независими). Изследваме векторите за колинеарност . Нека създадем система:

От първото уравнение следва, че , от второто уравнение следва, че , Което означава системата е непоследователна(няма решения). Следователно съответните координати на векторите не са пропорционални.

Заключение: векторите са линейно независими и образуват базис.

Опростена версия на решението изглежда така:

Нека направим пропорция от съответните координати на векторите :
, което означава, че тези вектори са линейно независими и образуват базис.

Обикновено тази опция не се отхвърля от проверяващите, но възниква проблем в случаите, когато някои координати са равни на нула. като това: . Или така: . Или така: . Как да работим с пропорцията тук? (наистина не можете да разделите на нула). Поради тази причина нарекох опростеното решение „шампанско“.

отговор:а), б) форма.

Малък творчески пример за вашето собствено решение:

Пример 2

При каква стойност на параметъра са векторите колинеарни ли ще са?

В примерния разтвор параметърът се намира чрез пропорцията.

Има елегантен алгебричен начин за проверка на векторите за колинеарност. Нека систематизираме знанията си и ги добавим като пета точка:

За два равнинни вектора следните твърдения са еквивалентни:

2) векторите образуват базис;
3) векторите не са колинеарни;

+ 5) детерминантата, съставена от координатите на тези вектори, е различна от нула.

съответно следните противоположни твърдения са еквивалентни:
1) векторите са линейно зависими;
2) векторите не образуват базис;
3) векторите са колинеарни;
4) векторите могат да бъдат линейно изразени един през друг;
+ 5) детерминантата, съставена от координатите на тези вектори, е равна на нула.

Наистина, наистина се надявам, че вече сте разбрали всички термини и твърдения, които сте срещали.

Нека разгледаме по-отблизо новата, пета точка: два равнинни вектора са колинеарни тогава и само тогава, когато детерминантата, съставена от координатите на дадените вектори, е равна на нула:. За да приложите тази функция, разбира се, трябва да можете намерете детерминанти.

Нека решимПример 1 по втория начин:

а) Нека изчислим детерминантата, съставена от координатите на векторите :
, което означава, че тези вектори са колинеарни.

б) Два равнинни вектора образуват базис, ако не са колинеарни (линейно независими). Нека изчислим детерминантата, съставена от векторни координати :
, което означава, че векторите са линейно независими и образуват базис.

отговор:а), б) форма.

Изглежда много по-компактно и по-красиво от решение с пропорции.

С помощта на разглеждания материал е възможно да се установи не само колинеарността на векторите, но и да се докаже паралелността на сегменти и прави линии. Нека разгледаме няколко задачи с конкретни геометрични фигури.

Пример 3

Дадени са върховете на четириъгълник. Докажете, че четириъгълникът е успоредник.

Доказателство: Няма нужда да се изгражда чертеж в задачата, тъй като решението ще бъде чисто аналитично. Нека си припомним дефиницията на успоредник:
Успоредник Нарича се четириъгълник, чиито срещуположни страни са успоредни по две.

Следователно е необходимо да се докаже:
1) успоредност на противоположните страни и;
2) паралелизъм на противоположните страни и.

Доказваме:

1) Намерете векторите:

2) Намерете векторите:

Резултатът е един и същ вектор („според училището” – равни вектори). Колинеарността е доста очевидна, но е по-добре решението да се формализира ясно, с подреждане. Нека изчислим детерминантата, съставена от векторни координати:
, което означава, че тези вектори са колинеарни и .

Заключение: Противоположните страни на четириъгълник са успоредни по двойки, което означава, че той е успоредник по дефиниция. Q.E.D.

Още добри и различни фигури:

Пример 4

Дадени са върховете на четириъгълник. Докажете, че четириъгълникът е трапец.

За по-строга формулировка на доказателството е по-добре, разбира се, да получите дефиницията на трапец, но е достатъчно просто да си спомните как изглежда.

Това е задача, която трябва да решите сами. Пълно решение в края на урока.

И сега е време бавно да се преместим от самолета в космоса:

Как да определим колинеарността на космическите вектори?

Правилото е много подобно. За да бъдат колинеарни два пространствени вектора, е необходимо и достатъчно съответните им координати да са пропорционални.

Пример 5

Разберете дали следните пространствени вектори са колинеарни:

А) ;
б)
V)

Решение:
а) Да проверим дали има коефициент на пропорционалност за съответните координати на векторите:

Системата няма решение, което означава, че векторите не са колинеарни.

„Опростено“ се формализира чрез проверка на пропорцията. В този случай:
– съответните координати не са пропорционални, което означава, че векторите не са колинеарни.

отговор:векторите не са колинеарни.

b-c) Това са точки за независимо решение. Опитайте го по два начина.

Съществува метод за проверка на пространствени вектори за колинеарност чрез детерминанта от трети ред; този метод е разгледан в статията Векторно произведение на вектори.

Подобно на равнинния случай, разглежданите инструменти могат да се използват за изследване на паралелността на пространствени сегменти и прави линии.

Добре дошли във втория раздел:

Линейна зависимост и независимост на векторите в тримерното пространство.
Пространствен базис и афинна координатна система

Много от моделите, които изследвахме в самолета, ще бъдат валидни и за космоса. Опитах се да минимизирам теоретичните бележки, тъй като лъвският дял от информацията вече е сдъвкан. Все пак препоръчвам да прочетете внимателно уводната част, тъй като ще се появят нови термини и понятия.

Сега, вместо равнината на компютърното бюро, ние изследваме триизмерното пространство. Първо, нека създадем неговата основа. Някой сега е на закрито, някой е на открито, но във всеки случай не можем да избягаме от три измерения: ширина, дължина и височина. Следователно, за да се изгради основа, ще са необходими три пространствени вектора. Един или два вектора не са достатъчни, четвъртият е излишен.

И отново загряваме на пръстите си. Моля, вдигнете ръката си нагоре и я разтворете в различни посоки палец, показалец и среден пръст. Това ще бъдат вектори, те гледат в различни посоки, имат различни дължини и имат различни ъгли помежду си. Поздравления, основата на триизмерното пространство е готова! Между другото, няма нужда да демонстрирате това на учителите, колкото и да въртите пръстите си, но няма бягство от определения =)

След това нека си зададем един важен въпрос: три вектора формират ли основата на триизмерното пространство? Моля, натиснете здраво с три пръста горната част на компютърното бюро. какво стана Три вектора са разположени в една равнина и, грубо казано, сме загубили едно от измеренията - височината. Такива вектори са компланарени съвсем очевидно е, че основата на триизмерното пространство не е създадена.

Трябва да се отбележи, че копланарните вектори не трябва да лежат в една и съща равнина, те могат да бъдат в успоредни равнини (просто не правете това с пръсти, само Салвадор Дали е правил това =)).

Определение: вектори се наричат компланарен, ако има равнина, на която са успоредни. Тук е логично да добавим, че ако такава равнина не съществува, то векторите няма да са копланарни.

Три копланарни вектора винаги са линейно зависими, тоест те са линейно изразени един през друг. За простота, нека отново си представим, че те лежат в една и съща равнина. Първо, векторите не само са копланарни, те могат да бъдат и колинеарни, тогава всеки вектор може да бъде изразен чрез всеки вектор. Във втория случай, ако например векторите не са колинеарни, тогава третият вектор се изразява чрез тях по уникален начин: (а защо е лесно да се досетите от материалите в предишния раздел).

Обратното също е вярно: три некомпланарни вектора винаги са линейно независими, тоест те по никакъв начин не се изразяват един през друг. И очевидно само такива вектори могат да формират основата на триизмерното пространство.

Определение: Основата на триизмерното пространствосе нарича тройка от линейно независими (некомпланарни) вектори, взети в определен реди всеки вектор на пространството единственият начинсе разлага върху даден базис, където са координатите на вектора в този базис

Нека ви напомня, че можем също да кажем, че векторът е представен във формата линейна комбинациябазисни вектори.

Концепцията за координатна система се въвежда по абсолютно същия начин, както за равнинния случай и са достатъчни всякакви три линейно независими вектора:

произход, И некомпланарнивектори, взети в определен ред, комплект афинна координатна система на тримерното пространство :

Разбира се, координатната мрежа е „наклонена“ и неудобна, но въпреки това изградената координатна система ни позволява определеноопределяне на координатите на всеки вектор и координатите на всяка точка в пространството. Подобно на равнината, някои формули, които вече споменах, няма да работят в афинната координатна система на пространството.

Най-познатият и удобен специален случай на афинна координатна система, както всички предполагат, е правоъгълна пространствена координатна система:

Точка в пространството, наречена произход, И ортонормалнаосновата е поставена Декартова правоъгълна пространствена координатна система . Позната снимка:

Преди да преминем към практически задачи, нека отново систематизираме информацията:

За три пространствени вектора следните твърдения са еквивалентни:
1) векторите са линейно независими;
2) векторите образуват базис;
3) векторите не са компланарни;
4) векторите не могат да бъдат линейно изразени един през друг;
5) детерминантата, съставена от координатите на тези вектори, е различна от нула.

Мисля, че противоположните твърдения са разбираеми.

Линейната зависимост/независимост на пространствените вектори традиционно се проверява с помощта на детерминанта (точка 5). Останалите практически задачи ще бъдат с подчертано алгебричен характер. Време е да окачите геометричната пръчка и да размахате бейзболната бухалка на линейната алгебра:

Три вектора на пространствотоса компланарни тогава и само ако детерминантата, съставена от координатите на дадените вектори, е равна на нула: .

Бих искал да насоча вниманието ви към малък технически нюанс: координатите на векторите могат да бъдат записани не само в колони, но и в редове (стойността на детерминантата няма да се промени поради това - вижте свойствата на детерминантите). Но е много по-добре в колони, тъй като е по-полезно за решаване на някои практически проблеми.

За онези читатели, които малко са забравили методите за изчисляване на детерминантите или може би изобщо не ги разбират, препоръчвам един от най-старите ми уроци: Как да изчислим детерминантата?

Пример 6

Проверете дали следните вектори формират основата на триизмерното пространство:

Решение: Всъщност цялото решение се свежда до изчисляване на детерминантата.

а) Нека изчислим детерминантата, съставена от координатите на векторите (детерминантата се разкрива в първия ред):

, което означава, че векторите са линейно независими (не копланарни) и формират основата на триизмерното пространство.

отговор: тези вектори формират основа

б) Това е точка за независимо решение. Пълно решение и отговор в края на урока.

Има и творчески задачи:

Пример 7

При каква стойност на параметъра векторите ще бъдат копланарни?

Решение: Векторите са копланарни тогава и само ако детерминантата, съставена от координатите на тези вектори е равна на нула:

По същество трябва да решите уравнение с детерминанта. Ние се спускаме върху нули като хвърчила върху тушканчета - най-добре е да отворите детерминанта във втория ред и веднага да се отървете от минусите:

Извършваме допълнителни опростявания и свеждаме въпроса до най-простото линейно уравнение:

отговор: при

Тук е лесно да проверите; трябва да замените получената стойност в оригиналната детерминанта и да се уверите, че , отваряйки го отново.

В заключение, нека разгледаме друг типичен проблем, който е по-алгебричен по природа и традиционно се включва в курса по линейна алгебра. Толкова често срещано, че заслужава отделна тема:

Докажете, че 3 вектора формират основата на триизмерното пространство
и намерете координатите на 4-ия вектор в тази основа

Пример 8

Дадени са вектори. Покажете, че векторите образуват базис в тримерното пространство и намерете координатите на вектора в този базис.

Решение: Първо, нека се справим с условието. По условие са дадени четири вектора и, както виждате, те вече имат координати в някакъв базис. Каква е тази база, не ни интересува. Интересно е следното: три вектора може да образуват нова основа. И първият етап напълно съвпада с решението на пример 6, необходимо е да се провери дали векторите са наистина линейно независими;

Нека изчислим детерминантата, съставена от векторни координати:

, което означава, че векторите са линейно независими и формират основата на триизмерното пространство.

! важно : векторни координати Задължителнозапишете в колонидетерминанта, а не в низове. В противен случай ще има объркване в по-нататъшния алгоритъм за решение.