В теорията на вероятностите и в много от нейните приложения различните числени характеристики на случайни променливи са от голямо значение. Основните са математическото очакване и дисперсията.
1. Математическо очакване на случайна величина и нейните свойства.
Нека първо разгледаме следния пример. Нека растението получи партида, състояща се от Нлагери. В този случай:
m 1 х 1,
м 2- брой лагери с външен диаметър х 2,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
m n- брой лагери с външен диаметър x n,
тук m 1 +m 2 +...+m n =N. Нека намерим средното аритметично x срвъншен диаметър на лагера. очевидно,
Външният диаметър на произволно изваден лагер може да се разглежда като произволна променлива, приемаща стойности х 1, х 2, ..., x n, със съответните вероятности p 1 =m 1 /N, p 2 = m 2 /N, ..., p n = m n /N, тъй като вероятността p iвъншен вид на лагер с външен диаметър x iравно на m i /N. По този начин, средната аритметична x срВъншният диаметър на лагера може да се определи с помощта на съотношението 
Нека е дискретна случайна променлива с даден закон за разпределение на вероятностите
Ценности
х 1
х 2
. . .
x n
Вероятности
стр. 1
p2
. . .
p n
Математическо очакване дискретна случайна променливае сумата от сдвоените продукти на всички възможни стойности на случайна променлива по съответните им вероятности, т.е. *
В този случай се приема, че неправилният интеграл от дясната страна на равенството (40) съществува.
Нека разгледаме свойствата на математическото очакване. В този случай ще се ограничим до доказването само на първите две свойства, които ще извършим за дискретни случайни променливи.
1°. Математическото очакване на константата C е равно на тази константа.
Доказателство.Константа Вможе да се разглежда като случайна променлива, която може да приеме само една стойност Вс вероятност равна на единица. Ето защо 
2°. Константният фактор може да бъде взет отвъд знака на математическото очакване, т.е. 
Доказателство.Използвайки отношение (39), имаме 
3°. Математическото очакване на сумата от няколко случайни променливи е равно на сумата от математическите очаквания на тези променливи:
Законът за разпределение напълно характеризира случайната променлива. Въпреки това, често законът за разпределение е неизвестен и човек трябва да се ограничи до по-малко информация. Понякога е дори по-изгодно да се използват числа, които описват произволна променлива като цяло; числови характеристикислучайна променлива. Една от важните числени характеристики е математическото очакване.
Математическото очакване, както ще бъде показано по-долу, е приблизително равно на средната стойност на случайната променлива. За решаването на много задачи е достатъчно да знаете математическото очакване. Например, ако е известно, че математическото очакване на броя точки, отбелязани от първия стрелец, е по-голямо от това на втория, тогава първият стрелец средно отбелязва повече точки от втория и следователно стреля по-добре отколкото второто.
Определение 4.1: Математическо очакванеДискретна случайна променлива е сумата от продуктите на всички възможни стойности и техните вероятности.
Нека случайната променлива Xможе да приема само стойности x 1, x 2, … x n, чиито вероятности са съответно равни p 1, p 2, … p n.След това математическото очакване M(X) случайна променлива Xсе определя от равенството
M (X) = x 1 p 1 + x 2 p 2 + …+ x n p n.
Ако дискретна случайна променлива Xтогава приема изброим набор от възможни стойности
,
Освен това, математическото очакване съществува, ако редовете от дясната страна на равенството се сближават абсолютно.
Пример.Намерете математическото очакване на броя на случванията на дадено събитие Ав един опит, ако вероятността от събитието Аравно на стр.
Решение:Случайна променлива X– брой появявания на събитието Аима разпределение на Бернули, така че
по този начин математическото очакване за броя на случванията на дадено събитие в един опит е равно на вероятността за това събитие.
Вероятностно значение на математическото очакване
Нека се произвежда птестове, при които случайната променлива Xприет m 1пъти стойност х 1, м 2пъти стойност х 2 ,…, m kпъти стойност x k, и m 1 + m 2 + …+ m k = n. След това сумата от всички взети стойности X, е равно x 1 m 1 + x 2 m 2 + …+ x k m k .
Средната аритметична стойност на всички стойности, взети от случайната променлива, ще бъде
Отношение m i/n- относителна честота W iценности x iприблизително равна на вероятността събитието да се случи p i, Къде , Ето защо
Вероятностното значение на получения резултат е следното: математическото очакване е приблизително равно(колкото по-точно, толкова по-голям е броят на тестовете) средно аритметично от наблюдаваните стойности на случайна променлива.
Свойства на математическото очакване
Свойство1:Математическото очакване на постоянна стойност е равно на самата константа
Имот 2:Константният фактор може да бъде взет отвъд знака на математическото очакване
Определение 4.2: Две случайни променливисе наричат независима, ако законът за разпределение на едно от тях не зависи от това какви възможни стойности е приела другата величина. В противен случай случайните променливи са зависими.
Определение 4.3: Няколко случайни променливинаречен взаимно независими, ако законите на разпределение на произволен брой от тях не зависят от това какви възможни стойности са взели другите количества.
Имот 3:Математическото очакване на произведението на две независими случайни променливи е равно на произведението на техните математически очаквания.
Последица:Математическото очакване на произведението на няколко взаимно независими случайни променливи е равно на произведението на техните математически очаквания.
Свойство4:Математическото очакване на сумата от две случайни променливи е равно на сумата от техните математически очаквания.
Последица:Математическото очакване на сумата от няколко случайни променливи е равно на сумата от техните математически очаквания.
Пример.Нека изчислим математическото очакване на биномна случайна променлива X –дата на възникване на събитието А V пексперименти.
Решение:Общ брой Xсъбития на събитието Ав тези опити е сумата от броя на появяванията на събитието в отделните опити. Нека въведем случайни променливи X i– брой появявания на събитието в аз th тест, които са случайни променливи на Бернули с математическо очакване, където . По свойството на математическото очакване имаме
по този начин математическото очакване на биномиално разпределение с параметри n и p е равно на произведението np.
Пример.Вероятност за попадение в целта при стрелба с пистолет р = 0,6.Намерете математическото очакване на общия брой попадения, ако са произведени 10 изстрела.
Решение:Попадението за всеки изстрел не зависи от резултатите от други изстрели, следователно разглежданите събития са независими и, следователно, желаното математическо очакване
Всяка отделна стойност се определя изцяло от нейната функция на разпределение. Също така, за решаване на практически проблеми е достатъчно да знаете няколко числени характеристики, благодарение на които става възможно да се представят основните характеристики на случайна променлива в кратка форма.
Тези количества включват предимно математическо очакванеИ дисперсия .
Очакване— средната стойност на случайна променлива в теорията на вероятностите. Означава се като.
Най-просто, математическото очакване на случайна променлива X(w), намерете как интегралнаЛебегпо отношение на вероятностната мярка Р оригинален вероятностно пространство
Можете също да намерите математическото очакване на стойност като Интеграл на Лебегот Xчрез разпределение на вероятностите R Xколичества X:
където е множеството от всички възможни стойности X.
Математическо очакване на функции от случайна величина Xнамерени чрез разпространение R X. например, Ако X- случайна променлива със стойности в и f(x)- недвусмислено на Борелфункция X , това:
Ако F(x)- разпределителна функция X, тогава математическото очакване е представимо интегралнаLebeggue - Stieltjes (или Риман - Stieltjes):
в този случай интегрируемост XПо отношение на ( * ) съответства на крайността на интеграла
В конкретни случаи, ако Xима дискретно разпределение с вероятни стойности x k, k=1, 2, . , и вероятности, тогава
Ако Xима абсолютно непрекъснато разпределение с плътност на вероятността p(x), Това
в този случай съществуването на математическо очакване е еквивалентно на абсолютната конвергенция на съответния ред или интеграл.
Свойства на математическото очакване на случайна величина.
- Математическото очакване на постоянна стойност е равно на тази стойност:
В- постоянен;
- M=C.M[X]
- Математическото очакване на сумата от произволно взетите стойности е равно на сумата от техните математически очаквания:
- Математическото очакване на произведението на независими произволно взети променливи = произведението на техните математически очаквания:
M=M[X]+M[Y]
Ако XИ Yнезависима.
ако серията се събира:
Алгоритъм за изчисляване на математическото очакване.
Свойства на дискретни случайни променливи: всичките им стойности могат да бъдат преномерирани с естествени числа; присвоете на всяка стойност ненулева вероятност.
1. Умножете двойките една по една: x iна p i.
2. Добавете продукта на всяка двойка x i p i.
например, За п = 4 :
Функция на разпределение на дискретна случайна променливастъпаловидно, тя нараства рязко в онези точки, чиито вероятности имат положителен знак.
Пример:Намерете математическото очакване по формулата.
Както вече е известно, законът за разпределение напълно характеризира случайна променлива. Въпреки това, често законът за разпределение е неизвестен и човек трябва да се ограничи до по-малко информация. Понякога дори е по-изгодно да се използват числа, които описват сумарно случайната променлива; такива номера се наричат числени характеристики на случайна променлива.Една от важните числени характеристики е математическото очакване.
Математическото очакване, както ще бъде показано по-долу, е приблизително равно на средната стойност на случайната променлива. За решаването на много задачи е достатъчно да знаете математическото очакване. Например, ако е известно, че математическото очакване на броя точки, отбелязани от първия стрелец, е по-голямо от това на втория, тогава първият стрелец средно отбелязва повече точки от втория и следователно стреля по-добре отколкото второто. Въпреки че математическото очакване предоставя много по-малко информация за случайна променлива, отколкото законът за нейното разпределение, познаването на математическото очакване е достатъчно за решаване на проблеми като горния и много други.
§ 2. Математическо очакване на дискретна случайна величина
Математическо очакванеДискретна случайна променлива е сумата от продуктите на всички възможни стойности и техните вероятности.
Нека случайната променлива X може да приема само стойности X 1 , X 2 , ..., X п , чиито вероятности са съответно равни r 1 , r 2 , . . ., r п . След това математическото очакване М(X) случайна променлива X се определя от равенството
М(X) = X 1 r 1 + X 2 r 2 + … + х п стр п .
Ако дискретна случайна променлива X тогава приема изброим набор от възможни стойности
М(X)=
Освен това, математическото очакване съществува, ако редовете от дясната страна на равенството се сближават абсолютно.
Коментирайте. От дефиницията следва, че математическото очакване на дискретна случайна променлива е неслучайна (постоянна) величина. Препоръчваме ви да запомните това твърдение, тъй като ще бъде използвано много пъти по-късно. По-късно ще бъде показано, че математическото очакване на непрекъсната случайна променлива също е постоянна стойност.
Пример 1.Намерете математическото очакване на случайна променлива X, знаейки закона за неговото разпределение:
Решение. Изискваното математическо очакване е равно на сумата от продуктите на всички възможни стойности на случайната променлива и техните вероятности:
М(X)= 3* 0, 1+ 5* 0, 6+ 2* 0, 3= 3, 9.
Пример 2.Намерете математическото очакване на броя на случванията на дадено събитие Ав един опит, ако вероятността от събитието Аравно на r.
Решение. Случайна променлива X - брой появявания на събитието Ав един тест - може да приеме само две стойности: X 1 = 1 (събитие Асе случи) с вероятност rИ X 2 = 0 (събитие Ане се случи) с вероятност р= 1 -r.Необходимото математическо очакване
М(X)= 1* стр+ 0* р= стр
така че математическото очакване за броя на случванията на дадено събитие в един опит е равно на вероятността за това събитие.Този резултат ще бъде използван по-долу.
§ 3. Вероятностен смисъл на математическото очакване
Нека се произвежда птестове, при които случайната променлива X приет Т 1 пъти стойност X 1 , Т 2 пъти стойност X 2 ,...,м к пъти стойност х к , и Т 1 + Т 2 + …+т до = p.След това сумата от всички взети стойности X, равно на
X 1 Т 1 + X 2 Т 2 + ... + X до Т до .
Нека намерим средното аритметично 
всички стойности, приети от случайна променлива, за която разделяме намерената сума на общия брой тестове:
=
(X 1 Т 1
+
X 2 Т 2 +
... +
X до Т до)/p,
=
X 1
(м 1 /
п)
+
X 2
(м 2 /
п)
+ ... +
X до
(Т до /стр).
(*)
Забелязвайки, че отношението м 1 / п- относителна честота У 1 ценности X 1 , м 2 / п - относителна честота У 2 ценности X 2 и т.н., ние записваме връзката (*) така:
=X 1
У 1
+
х 2 У 2
+ ..
. + X до У к .
(**)
Да приемем, че броят на тестовете е доста голям. Тогава относителната честота е приблизително равна на вероятността за възникване на събитието (това ще бъде доказано в глава IX, § 6):
У 1
стр 1 ,
У 2
стр 2 ,
…,
У к
стр к .
Заменяйки относителните честоти във връзка (**) със съответните вероятности, получаваме
х 1 стр 1
+
X 2 r 2
+ … +
X до r до .
Дясната страна на това приблизително равенство е М(X). така че
М(X).
Вероятностното значение на получения резултат е следното: математическото очакване е приблизително равно(колкото по-точно, толкова по-голям е броят на тестовете) средноаритметичната стойност на наблюдаваните стойности на случайна променлива.
Забележка 1. Лесно е да се разбере, че математическото очакване е по-голямо от най-малката и по-малко от най-голямата възможна стойност. С други думи, на числовата линия възможните стойности са разположени отляво и отдясно на математическото очакване. В този смисъл математическото очакване характеризира местоположението на разпределението и затова често се нарича разпределителен център.
Този термин е заимстван от механиката: ако масите r 1 , стр 2 , ..., r празположени в точките на абсцисата х 1 ,
X 2 ,
...,
X п, и 
след това абсцисата на центъра на тежестта
х c =
.
Като се има предвид това
=
М
(X)
И 
получаваме М(X)= х с .
И така, математическото очакване е абсцисата на центъра на тежестта на система от материални точки, чиито абциси са равни на възможните стойности на случайната променлива, а масите са равни на техните вероятности.
Забележка 2. Произходът на термина "математическо очакване" се свързва с началния период на възникване на теорията на вероятностите (XVI - XVII век), когато обхватът на нейното приложение е ограничен до хазарта. Играчът се интересуваше от средната стойност на очакваната печалба или, с други думи, математическото очакване за печалба.
Математическото очакване е определението
Чакането на мат еедно от най-важните понятия в математическата статистика и теорията на вероятностите, характеризиращо разпределението на стойностите или вероятностислучайна променлива. Обикновено се изразява като среднопретеглена стойност на всички възможни параметри на случайна променлива. Широко използван в техническия анализ, изследването на числови серии и изследването на непрекъснати и дългосрочни процеси. Той е важен при оценката на рисковете, прогнозирането на ценовите индикатори при търговия на финансовите пазари и се използва при разработването на стратегии и методи на игрални тактики в теории за хазарта.
Чакане на мат- Товасредна стойност на случайна величина, разпределение вероятностислучайната променлива се разглежда в теорията на вероятностите.
Чакането на мат емярка за средната стойност на случайна променлива в теорията на вероятностите. Матирайте очакването на случайна променлива хобозначен с M(x).
Математическо очакване (средно население) е
Чакането на мат е
Чакането на мат ев теорията на вероятностите, претеглена средна стойност на всички възможни стойности, които една случайна променлива може да приеме.
Чакането на мат есумата от продуктите на всички възможни стойности на случайна променлива и вероятностите на тези стойности.
Математическо очакване (средно население) е
Чакането на мат есредната полза от конкретно решение, при условие че такова решение може да се разглежда в рамките на теорията за големите числа и дългите разстояния.
Чакането на мат ев теорията на хазарта, размерът на печалбите, които спекулантът може да спечели или загуби средно за всеки залог. На езика на хазарта спекулантитова понякога се нарича "предимство" спекулант" (ако е положителен за спекуланта) или "предимство на къщата" (ако е отрицателен за спекуланта).
Математическо очакване (средно население) е
Чакането на мат епечалба на победа, умножена по средната печалба, минус загубата, умножена по средната загуба.
Математическо очакване на случайна променлива в математическата теория
Една от важните числени характеристики на случайна променлива е очакваната стойност. Нека въведем концепцията за система от случайни променливи. Нека разгледаме набор от случайни променливи, които са резултатите от същия случаен експеримент. Ако е една от възможните стойности на системата, тогава събитието съответства на определена вероятност, която удовлетворява аксиомите на Колмогоров. Функция, дефинирана за всякакви възможни стойности на случайни променливи, се нарича общ закон за разпределение. Тази функция ви позволява да изчислявате вероятностите за всякакви събития от. По-специално съвместно законразпределения на случайни променливи и, които приемат стойности от множеството и, се дават чрез вероятности.
Терминът „мат. очакване" е въведено от Пиер Симон Маркиз дьо Лаплас (1795) и произлиза от концепцията за "очакваната стойност на печалбите", която се появява за първи път през 17 век в теорията на хазарта в трудовете на Блез Паскал и Кристиан Хюйгенс. Въпреки това, първото цялостно теоретично разбиране и оценка на това понятие е дадено от Пафнутий Лвович Чебишев (средата на 19 век).
законразпределения на случайни числови променливи (функция на разпределение и ред на разпределение или плътност на вероятността) напълно описват поведението на случайна променлива. Но в редица задачи е достатъчно да знаете някои числени характеристики на изследваната величина (например нейната средна стойност и възможно отклонение от нея), за да отговорите на поставения въпрос. Основните числени характеристики на случайните променливи са очакване, дисперсия, мода и медиана.
Очакването на дискретна случайна променлива е сумата от продуктите на нейните възможни стойности и съответните им вероятности. Понякога псувни. очакването се нарича среднопретеглена, тъй като е приблизително равно на средната аритметична стойност на наблюдаваните стойности на случайна променлива за голям брой експерименти. От дефиницията на очакваната стойност следва, че нейната стойност не е по-малка от най-малката възможна стойност на случайната променлива и не по-голяма от най-голямата. Очакваната стойност на случайна променлива е неслучайна (постоянна) променлива.
Математическото очакване има просто физическо значение: ако поставите единица маса на права линия, поставяйки определена маса в някои точки (за дискретно разпределение) или я „размазвате“ с определена плътност (за абсолютно непрекъснато разпределение), , тогава точката, съответстваща на математическото очакване, ще бъде координатната "център на тежестта" е права.
Средната стойност на случайна променлива е определено число, което е неин „представител“ и го замества в грубо приблизителни изчисления. Когато казваме: „средното време на работа на лампата е 100 часа“ или „средната точка на удар е изместена спрямо целта с 2 м надясно“, ние посочваме определена числена характеристика на случайна променлива, която описва нейното местоположение на числовата ос, т.е. "позиционни характеристики".
Сред характеристиките на позицията в теорията на вероятностите най-важна роля играе очакваната стойност на случайна променлива, която понякога се нарича просто средна стойност на случайна променлива.
Помислете за случайната променлива X, имащи възможни стойности x1, x2, …, xnс вероятности p1, p2, …, pn. Трябва да характеризираме с някакво число позицията на стойностите на случайната променлива по абсцисната ос с като се вземе предвидче тези стойности имат различни вероятности. За целта е естествено да се използва т. нар. „среднопретеглена” стойност xi, и всяка стойност xi по време на осредняването трябва да се вземе предвид с „тегло“, пропорционално на вероятността за тази стойност. Така ще изчислим средната стойност на случайната променлива X, което обозначаваме M |X|:
Тази среднопретеглена стойност се нарича очаквана стойност на случайната променлива. Така ние въведохме в разглеждането едно от най-важните понятия на теорията на вероятностите - понятието за математика. очаквания. Мат. Очакването на случайна променлива е сумата от продуктите на всички възможни стойности на случайна променлива и вероятностите на тези стойности.
Мат. в очакване на случайна променлива Xе свързано със специфична зависимост със средната аритметична стойност на наблюдаваните стойности на случайната променлива за голям брой експерименти. Тази зависимост е от същия тип като зависимостта между честотата и вероятността, а именно: при голям брой експерименти средноаритметичната стойност на наблюдаваните стойности на случайна променлива се доближава (сближава във вероятност) до нейната математика. чакане. От наличието на връзка между честотата и вероятността може да се изведе като следствие наличието на подобна връзка между средното аритметично и математическото очакване. Наистина, помислете за случайната променлива X, характеризиращ се със серия на разпространение:
Нека се произвежда Ннезависими експерименти, във всеки от които стойността Xприема определена стойност. Да приемем, че стойността x1се появи m1пъти, стойност x2се появи м2пъти, общо значение xiсе появява ми пъти. Нека изчислим средноаритметичната стойност на наблюдаваните стойности на стойността X, която за разлика от очакваната стойност M|X|обозначаваме M*|X|:
С увеличаване на броя на експериментите Нчестоти пище се доближи (сближи по вероятност) съответните вероятности. Следователно, средната аритметична стойност на наблюдаваните стойности на случайната променлива M|X|с увеличаване на броя на експериментите ще се доближи (сближи по вероятност) до очакваната си стойност. Формулираната по-горе връзка между средно аритметично и мат. очакването е съдържанието на една от формите на закона за големите числа.
Вече знаем, че всички форми на закона за големите числа посочват факта, че някои средни стойности са стабилни за голям брой експерименти. Тук говорим за устойчивост на средноаритметичното от поредица от наблюдения на една и съща величина. При малък брой експерименти средноаритметичната стойност на техните резултати е случайна; с достатъчно увеличаване на броя на експериментите, той става „почти неслучаен“ и, стабилизирайки се, се доближава до постоянна стойност - мат. чакане.
Стабилността на средните стойности за голям брой експерименти може лесно да се провери експериментално. Например, когато претегляме тяло в лаборатория на прецизни везни, в резултат на претеглянето всеки път получаваме нова стойност; За да намалим грешката на наблюдение, претегляме тялото няколко пъти и използваме средноаритметичната стойност на получените стойности. Лесно е да се види, че с по-нататъшно увеличаване на броя на експериментите (претегляния), средноаритметичната стойност реагира на това увеличение все по-малко и при достатъчно голям брой експерименти практически престава да се променя.
Трябва да се отбележи, че най-важната характеристика на позицията на случайна променлива е мат. очакване – не съществува за всички случайни величини. Възможно е да се създадат примери за такива случайни променливи, за които мат. няма очакване, защото съответната сума или интеграл се разминават. Такива случаи обаче не представляват съществен интерес за практиката. Обикновено случайните променливи, с които работим, имат ограничен диапазон от възможни стойности и, разбира се, имат математическо очакване.
В допълнение към най-важните характеристики на позицията на случайна променлива - очакваната стойност - на практика понякога се използват и други характеристики на позицията, по-специално модата и медианата на случайната променлива.
Режимът на случайна променлива е нейната най-вероятна стойност. Терминът "най-вероятна стойност" строго погледнато се прилага само за прекъснати количества; за непрекъснато количество режимът е стойността, при която плътността на вероятността е максимална. Фигурите показват режима съответно за прекъснати и непрекъснати случайни променливи.
Ако полигонът на разпределение (кривата на разпределение) има повече от един максимум, разпределението се нарича "мултимодално".
Понякога има разпределения, които имат минимум в средата, а не максимум. Такива разпределения се наричат „антимодални“.
В общия случай модата и очакваната стойност на случайна величина не съвпадат. В специалния случай, когато разпределението е симетрично и модално (т.е. има режим) и има мат. очакване, то съвпада с модата и центъра на симетрия на разпределението.
Често се използва и друга характеристика на позицията - така наречената медиана на случайна величина. Тази характеристика обикновено се използва само за непрекъснати случайни променливи, въпреки че може да бъде формално дефинирана за прекъсната променлива. Геометрично медианата е абсцисата на точката, в която площта, оградена от кривата на разпределение, е разделена наполовина.
В случай на симетрично модално разпределение медианата съвпада с мат. очакване и мода.
Очакваната стойност е средната стойност на случайна променлива - числена характеристика на вероятностното разпределение на случайна променлива. Най-общо казано, матирайте очакването на случайна променлива X(w)се определя като интеграл на Лебег по отношение на вероятностната мярка Рв първоначалното вероятностно пространство:
Мат. очакването може също да се изчисли като интеграл на Лебег от Xчрез разпределение на вероятностите pxколичества X:
Естествено е да се дефинира понятието случайна променлива с безкрайно очакване. Типичен пример са времената за репатриране при някои случайни разходки.
С помощта на мат. очакванията определят много числени и функционални характеристики на разпределението (като математическото очакване на съответните функции от случайна променлива), например генерираща функция, характеристична функция, моменти от всякакъв ред, по-специално дисперсия, ковариация.
Математическо очакване (средно население) е
Математическото очакване е характеристика на местоположението на стойностите на случайна променлива (средната стойност на нейното разпределение). В това си качество математическото очакване служи като някакъв "типичен" параметър на разпределението и неговата роля е подобна на ролята на статичния момент - координатата на центъра на тежестта на разпределението на масата - в механиката. Очакването се различава от другите характеристики на местоположението, с помощта на които разпределението се описва в общи термини - медиани, моди, матове - с по-голямата стойност, която то и съответната характеристика на разсейване - дисперсия - имат в граничните теореми на теорията на вероятностите. Най-пълно значението на очакването се разкрива от закона за големите числа (неравенството на Чебишев) и засиления закон за големите числа.
Математическо очакване (средно население) е
Очакване на дискретна случайна променлива
Нека има някаква случайна променлива, която може да приеме една от няколко числови стойности (например броят на точките при хвърляне на зарове може да бъде 1, 2, 3, 4, 5 или 6). Често на практика за такава стойност възниква въпросът: каква стойност приема „средно“ при голям брой тестове? Какъв ще бъде средният ни доход (или загуба) от всяка от рисковите сделки?
Да кажем, че има някаква лотария. Искаме да разберем дали е изгодно или не да участваме в него (или дори да участваме многократно, редовно). Да кажем, че всеки четвърти билет е печеливш, наградата ще бъде 300 рубли, а всеки билет ще бъде 100 рубли. При безкрайно голям брой участия това се случва. В три четвърти от случаите ще загубим, всеки три загуби ще струват 300 рубли. Във всеки четвърти случай ще спечелим 200 рубли. (награда минус цена), тоест за четири участия губим средно 100 рубли, за едно - средно 25 рубли. Общо средната цена на нашата разруха ще бъде 25 рубли на билет.
Хвърляме заровете. Ако не е измама (без изместване на центъра на тежестта и т.н.), тогава колко точки ще имаме средно наведнъж? Тъй като всяка опция е еднакво вероятна, ние просто вземаме средната аритметична стойност и получаваме 3,5. Тъй като това е СРЕДНО, няма защо да се възмущавате, че нито едно конкретно хвърляне няма да даде 3,5 точки - е, това кубче няма лице с такова число!
Сега нека обобщим нашите примери:
Нека разгледаме току-що дадената снимка. Вляво има таблица на разпределението на случайна променлива. Стойността X може да приеме една от n възможни стойности (посочени в горния ред). Не може да има други значения. Под всяка възможна стойност нейната вероятност е записана по-долу. Вдясно е формулата, където M(X) се нарича мат. чакане. Значението на тази стойност е, че при голям брой тестове (с голяма извадка) средната стойност ще клони към същото очакване.
Нека се върнем отново към същия игрален куб. Мат. очакваният брой точки при хвърляне е 3,5 (изчислете го сами, като използвате формулата, ако не ми вярвате). Да приемем, че сте го хвърлили няколко пъти. Резултатите са 4 и 6. Средната е 5, което е далеч от 3,5. Хвърлиха го още веднъж, получиха 3, тоест средно (4 + 6 + 3)/3 = 4,3333... Някак далече от тепиха. очаквания. Сега направете луд експеримент - хвърлете кубчето 1000 пъти! И дори средната стойност да не е точно 3,5, тя ще бъде близо до това.
Нека изчислим мат. в очакване на гореописаната лотария. Плочата ще изглежда така:
Тогава очакването за мат ще бъде както установихме по-горе:
Друго нещо е, че би било трудно да се направи „на пръсти“ без формула, ако имаше повече опции. Е, да кажем, че ще има 75% губещи билети, 20% печеливши билети и 5% особено печеливши.
Сега някои имоти оправдават очакванията.
Мат. очакването е линейно.Лесно се доказва:
Постоянният множител може да бъде изваден отвъд знака за мат. очаквания, тоест:
Това е специален случай на свойството за линейност на очакваното партньорство.
Друго следствие от линейността на мат. очаквания:
тоест мат. очакването на сумата от случайни променливи е равно на сумата от математическите очаквания на случайните променливи.
Нека X, Y са независими случайни променливи, тогава:
Това също е лесно за доказване) Работа XYсама по себе си е случайна променлива и ако първоначалните стойности могат да приемат пИ мстойности съответно, тогава XYможе да приема nm стойности. всяка стойност се изчислява въз основа на факта, че вероятностите за независими събития се умножават. В резултат на това получаваме това:
Очакване на непрекъсната случайна променлива
Непрекъснатите случайни променливи имат такава характеристика като плътност на разпределение (плътност на вероятността). По същество характеризира ситуацията, че случайна променлива приема някои стойности от набора от реални числа по-често, а някои по-рядко. Например, разгледайте тази графика:
тук X- действителна случайна променлива, f(x)- плътност на разпространение. Съдейки по тази графика, по време на експериментите стойността Xчесто ще бъде число, близко до нула. Шансовете са превишени 3 или да е по-малък -3 по-скоро чисто теоретично.
Ако плътността на разпределение е известна, тогава очакваната стойност се намира, както следва:
Нека, например, има равномерно разпределение:
Да намерим мат. очакване:
Това е доста съвместимо с интуитивното разбиране. Да речем, ако получим много произволни реални числа с равномерно разпределение, всеки от сегмента |0; 1| , тогава средноаритметичната стойност трябва да бъде около 0,5.
Свойствата на математическите очаквания - линейност и др., приложими за дискретни случайни величини, са приложими и тук.
Връзка между математическото очакване и други статистически показатели
IN статистическианализ, заедно с математическото очакване, има система от взаимозависими показатели, които отразяват хомогенността на явленията и стабилността процеси. Индикаторите за вариация често нямат самостоятелно значение и се използват за допълнителен анализ на данни. Изключение прави коефициентът на вариация, който характеризира хомогенността данникакво е ценно статистическихарактеристика.
Степен на променливост или стабилност процесив статистическата наука може да се измери с помощта на няколко показателя.
Най-важният показател, характеризиращ променливостслучайната променлива е дисперсия, което е най-тясно и пряко свързано с мат. чакане. Този параметър се използва активно в други видове статистически анализи (проверка на хипотези, анализ на причинно-следствените връзки и др.). Подобно на средното линейно отклонение, дисперсията също отразява мярката за разпространение данниоколо средната стойност.
Полезно е езикът на знаците да се преведе на езика на думите. Оказва се, че дисперсията е средният квадрат на отклоненията. Тоест първо се изчислява средната стойност, след което се взема разликата между всяка първоначална и средна стойност, повдига се на квадрат, добавя се и след това се разделя на броя на стойностите в популацията. Разликамежду индивидуална стойност и средната отразява мярката на отклонение. Той се повдига на квадрат, така че всички отклонения да станат изключително положителни числа и да се избегне взаимното унищожаване на положителните и отрицателните отклонения при сумирането им. След това, като имаме квадратни отклонения, ние просто изчисляваме средната аритметична стойност. Средни квадратични отклонения. Отклоненията се повдигат на квадрат и се изчислява средната стойност. Отговорът на вълшебната дума „разпръскване“ се крие само в три думи.
Въпреки това, в чиста форма, като средно аритметично или дисперсия, не се използва. Това е по-скоро спомагателен и междинен показател, който се използва за други видове статистически анализи. Дори няма нормална мерна единица. Съдейки по формулата, това е квадратът на мерната единица на оригиналните данни.
Математическо очакване (средно население) е
Нека измерим случайна променлива Нпъти, например, измерваме скоростта на вятъра десет пъти и искаме да намерим средната стойност. Как средната стойност е свързана с функцията на разпределение?
Или ще хвърлим заровете голям брой пъти. Броят на точките, които ще се появят на зара с всяко хвърляне, е произволна променлива и може да приеме произволна естествена стойност от 1 до 6. Средната аритметична стойност на изпуснатите точки, изчислена за всички хвърляния на зара, също е случайна променлива, но за големи Нклони към много конкретно число - мат. чакане Mx. В този случай Mx = 3,5.
Как получихте тази стойност? Нека влезе Нтестове n1след като получите 1 точка, n2веднъж - 2 точки и т.н. Тогава броят на резултатите, при които е паднала една точка:
По същия начин за резултатите, когато се хвърлят 2, 3, 4, 5 и 6 точки.
Нека сега приемем, че знаем разпределенията на случайната променлива x, т.е. знаем, че случайната променлива x може да приема стойности x1, x2,..., xk с вероятности p1, p2,..., pk .
Математическо очакване Mx на случайната променлива x е равно на:
Математическото очакване не винаги е разумна оценка на някаква случайна променлива. Така че, за да се оцени средната заплата, е по-разумно да се използва концепцията за медиана, тоест такава стойност, че броят на хората, които печелят по-малко от медианата заплатаи големи, съвпадат.
Вероятността p1 случайната променлива x да бъде по-малка от x1/2 и вероятността p2 случайната променлива x да бъде по-голяма от x1/2 са еднакви и равни на 1/2. Медианата не се определя еднозначно за всички разпределения.
Стандартно или стандартно отклонениев статистиката се нарича степента на отклонение на данните от наблюденията или наборите от СРЕДНАТА стойност. Означава се с буквите s или s. Малко стандартно отклонение показва, че данните се групират около средната стойност, докато голямото стандартно отклонение показва, че първоначалните данни са разположени далеч от нея. Стандартното отклонение е равно на корен квадратен от величина, наречена дисперсия. Това е средната стойност на сумата от квадратите на разликите на първоначалните данни, които се отклоняват от средната стойност. Стандартното отклонение на случайна променлива е корен квадратен от дисперсията:
Пример. При условия на изпитване при стрелба по мишена, изчислете дисперсията и стандартното отклонение на случайната променлива:
Вариация- колебание, променливост на стойността на дадена характеристика сред единиците от съвкупността. Индивидуалните числени стойности на характеристика, намерени в изследваната популация, се наричат вариантни стойности. Недостатъчността на средната стойност за пълно характеризиране на популацията ни принуждава да допълним средните стойности с показатели, които ни позволяват да оценим типичността на тези средни стойности чрез измерване на променливостта (вариацията) на изследваната характеристика. Коефициентът на вариация се изчислява по формулата:
Диапазон на вариация(R) представлява разликата между максималните и минималните стойности на атрибута в изследваната популация. Този показател дава най-обща представа за променливостта на изследваната характеристика, както показва разликасамо между екстремните стойности на опциите. Зависимостта от екстремните стойности на дадена характеристика придава на обхвата на вариацията нестабилен, случаен характер.
Средно линейно отклонениепредставлява средноаритметичното на абсолютните (по модул) отклонения на всички стойности на анализираната популация от тяхната средна стойност:
Математическо очакване в теорията на хазарта
Чакането на мат есредната сума пари, която хазартен спекулант може да спечели или загуби от даден залог. Това е много важна концепция за спекуланта, защото е фундаментална за оценката на повечето хазартни ситуации. Очакваният мат също е оптималният инструмент за анализиране на основни оформления на карти и игрови ситуации.
Да приемем, че играете игра с монети с приятел, като правите равен залог от $1 всеки път, независимо какво се случва. Опашки означава, че печелите, глави губите. Шансовете са едно към едно, че ще се стигне до глави, така че залагате $1 към $1. По този начин вашето очакване за мат е равно на нула, защото От математическа гледна точка не можете да знаете дали ще водите или ще загубите след две хвърляния или след 200.
Вашата почасова печалба е нула. Печалбите на час са сумата пари, която очаквате да спечелите за един час. Можете да хвърлите монета 500 пъти за един час, но няма да спечелите или загубите, защото... шансовете ви не са нито положителни, нито отрицателни. От гледна точка на сериозен спекулант тази система за залагане не е лоша. Но това е просто загуба на време.
Но да кажем, че някой иска да заложи $2 срещу вашия $1 на същата игра. След това веднага имате положително очакване от 50 цента от всеки залог. Защо 50 цента? Средно печелите един залог и губите втория. Заложете първо и ще загубите $1, заложете второ и ще спечелите $2. Залагате $1 два пъти и водите с $1. Така че всеки от вашите залози от един долар ви даде 50 цента.
Ако една монета се появи 500 пъти за един час, вашата почасова печалба вече ще бъде $250, защото... средно сте загубили един долар 250 пъти и спечели два долар 250 пъти. $500 минус $250 се равнява на $250, което е общата печалба. Моля, обърнете внимание, че очакваната стойност, която е средната сума, която печелите на залог, е 50 цента. Спечелихте $250, като заложихте долар 500 пъти, което се равнява на 50 цента на залог.
Математическо очакване (средно население) е
Мат. чакането няма нищо общо с краткосрочните резултати. Вашият опонент, който е решил да заложи $2 срещу вас, може да ви победи при първите десет хвърляния подред, но вие, като имате предимство при залагане 2 към 1, при равни други условия, ще спечелите 50 цента за всеки $1 залог във всеки обстоятелства. Няма значение дали печелите или губите един залог или няколко залога, стига да разполагате с достатъчно пари, за да покриете удобно разходите. Ако продължите да залагате по същия начин, тогава за дълъг период от време вашите печалби ще се доближат до сбора на очакванията в отделните хвърляния.
Всеки път, когато направите най-добър залог (залог, който може да се окаже печеливш в дългосрочен план), когато шансовете са във ваша полза, вие сте длъжни да спечелите нещо от него, без значение дали го губите или не в подадена ръка. Обратно, ако направите аутсайдер залог (залог, който е нерентабилен в дългосрочен план), когато шансовете са срещу вас, вие губите нещо, независимо дали печелите или губите ръката.
Математическо очакване (средно население) е
Вие правите залог с най-добър резултат, ако очакванията ви са положителни и е положителен, ако шансовете са на ваша страна. Когато направите залог с най-лош изход, вие имате отрицателно очакване, което се случва, когато шансовете са срещу вас. Сериозните спекуланти залагат само на най-добрия изход; ако се случи най-лошото, те фолдват. Какво означава коефициентът във ваша полза? В крайна сметка може да спечелите повече от реалните коефициенти. Реалните шансове за приземяване на главите са 1 към 1, но вие получавате 2 към 1 поради съотношението на шансовете. В този случай шансовете са във ваша полза. Определено получавате най-добрия резултат с положително очакване от 50 цента на залог.
Ето един по-сложен пример за мат. очаквания. Един приятел записва числа от едно до пет и залага $5 срещу вашия $1, че няма да познаете числото. Трябва ли да се съгласите на такъв залог? Какво е очакването тук?
Средно ще сгрешите четири пъти. Въз основа на това шансовете да познаете числото са 4 към 1. Шансовете да загубите долар при един опит. Вие обаче печелите 5 към 1, с възможност да загубите 4 към 1. Така че шансовете са във ваша полза, можете да приемете залога и да се надявате на най-добрия изход. Ако направите този залог пет пъти, средно ще загубите $1 четири пъти и ще спечелите $5 веднъж. Въз основа на това, за всичките пет опита ще спечелите $1 с положително математическо очакване от 20 цента на залог.
Спекулант, който очаква да спечели повече, отколкото залага, както в примера по-горе, рискува. Напротив, той проваля шансовете си, когато очаква да спечели по-малко, отколкото залага. Спекулант, който прави залог, може да има положително или отрицателно очакване, което зависи от това дали печели или разваля шансовете.
Ако заложите $50, за да спечелите $10 с шанс 4 към 1 за печалба, ще получите отрицателно очакване от $2, защото Средно ще спечелите $10 четири пъти и ще загубите $50 веднъж, което показва, че загубата на залог ще бъде $10. Но ако заложите $30, за да спечелите $10, със същите шансове за победа 4 към 1, тогава в този случай имате положително очакване от $2, т.к. отново печелите четири пъти по $10 и губите веднъж $30, което е печалбана $10. Тези примери показват, че първият залог е лош, а вторият е добър.
Мат. очакването е центърът на всяка игрова ситуация. Когато букмейкър насърчава футболните фенове да залагат $11, за да спечелят $10, той има положително очакване от 50 цента на всеки $10. Ако казиното плаща дори пари от пас линията в зарове, тогава положителното очакване на казиното ще бъде приблизително $1,40 за всеки $100, т.к. Тази игра е структурирана така, че всеки, който залага на тази линия, губи средно 50,7% и печели 49,3% от общото време. Несъмнено именно това привидно минимално положително очакване носи колосални печалби на собствениците на казина по света. Както отбеляза собственикът на казино Vegas World Боб Ступак, „една хилядна процентаотрицателна вероятност на достатъчно голямо разстояние ще съсипе най-богатия човек в света.
Очаквания при игра на покер
Играта на покер е най-показателният и илюстративен пример от гледна точка на използването на теорията и свойствата на очаквания партньор.
Мат. Очакваната стойност в покера е средната полза от конкретно решение, при условие че такова решение може да се разглежда в рамките на теорията за големите числа и дългите разстояния. Успешната игра на покер означава винаги да се приемат ходове с положителна очаквана стойност.
Математическо очакване (средно население) е
Математическо значение на математиката. Очакванията при игра на покер са, че често се сблъскваме със случайни променливи, когато вземаме решения (не знаем точно какви карти има опонентът в ръцете си, какви карти ще дойдат в следващите кръгове търговия). Трябва да разгледаме всяко от решенията от гледна точка на теорията на големите числа, която гласи, че при достатъчно голяма извадка средната стойност на случайна променлива ще клони към очакваната си стойност.
Сред конкретните формули за изчисляване на очакванията за партньор, следната е най-приложима в покера:
Когато играете покер мат. очакванията могат да бъдат изчислени както за залози, така и за обаждания. В първия случай трябва да се вземе предвид собственият капитал на фолд, а във втория - собствените шансове на банката. При оценка на мат. очаквания за конкретен ход, трябва да се помни, че фолдът винаги има нулево очакване. По този начин изхвърлянето на карти винаги ще бъде по-изгодно решение от всяко отрицателно движение.
Математическо очакване (средно население) е
Очакванията ви казват какво можете да очаквате (или загуба) за всеки риск, който поемате. Казината правят пари пари, тъй като матът е очакване от всички игри, които се практикуват в тях, в полза на казиното. С достатъчно дълга поредица от игри можете да очаквате клиентът да загуби своите пари, тъй като „коефициентите“ са в полза на казиното. Професионалните казино спекуланти обаче ограничават игрите си до кратки периоди от време, като по този начин увеличават коефициентите в своя полза. Същото важи и за инвестирането. Ако очакванията ви са положителни, можете да спечелите повече пари, като направите много сделки за кратко време периодвреме. Очакването е вашият процент печалба на печалба, умножен по средната ви печалба, минус вероятността от загуба, умножена по средната ви загуба.
Покерът може да се разглежда и от гледна точка на очакванията за мат. Може да приемете, че определен ход е печеливш, но в някои случаи може да не е най-добрият, защото друг ход е по-печеливш. Да приемем, че сте ударили фул хаус в покер с пет карти. Опонентът ви прави залог. Знаеш, че ако вдигнеш залога, той ще отговори. Следователно рейзът изглежда най-добрата тактика. Но ако повишите залога, останалите двама спекуланти със сигурност ще фолднат. Но ако колнете, вие сте напълно уверени, че другите двама спекуланти след вас ще направят същото. Когато увеличите залога си, получавате една единица, а когато просто платите, получавате две. По този начин колването ви дава по-висока положителна очаквана стойност и ще бъде най-добрата тактика.
Мат. Очакването също може да даде представа кои покер тактики са по-малко печеливши и кои са по-печеливши. Например, ако играете определена ръка и смятате, че загубата ви ще бъде средно 75 цента, включително анте, тогава трябва да играете тази ръка, защото това е по-добре от фолдване, когато антето е $1.
Друга важна причина за разбирането на същността на мате. очакванията са, че ви дава усещане за спокойствие, независимо дали печелите залога или не: ако сте направили добър залог или сте фолднали в правилния момент, ще знаете, че сте спечелили или спестили определена сума пари, която по-слаб спекулант не би могъл спаси. Много по-трудно е да фолднете, ако сте разстроени, защото опонентът ви е изтеглил по-силна ръка. С всичко това, това, което сте спестили, като не играете, вместо да залагате, се добавя към вашите печалби на вечер или на месец.
Само не забравяйте, че ако смените ръцете си, опонентът ви щеше да ви плати и както ще видите в статията за фундаменталната теорема на покера, това е само едно от вашите предимства. Трябва да си щастлив, когато това се случи. Може дори да се научите да се наслаждавате на загубата на ръка, защото знаете, че други спекуланти на ваша позиция биха загубили много повече.
Както бе споменато в примера с играта с монети в началото, съотношението на почасовата печалба е взаимосвързано с очакваната материя и тази концепция е особено важна за професионалните спекуланти. Когато отидете да играете покер, трябва да прецените наум колко можете да спечелите за един час игра. В повечето случаи ще трябва да разчитате на интуицията и опита си, но можете да използвате и малко математика. Например, вие играете дроу лоубол и виждате трима играчи да залагат $10 и след това да разменят две карти, което е много лоша тактика, можете да разберете, че всеки път, когато залагат $10, губят около $2. Всеки от тях прави това осем пъти на час, което означава, че и тримата губят приблизително $48 на час. Вие сте един от останалите четирима спекуланти, които са приблизително равни, така че тези четирима спекуланти (и вие сред тях) трябва да разделят $48, като всеки реализира печалба от $12 на час. Вашите почасови шансове в този случай са просто равни на вашия дял от сумата пари, загубена от трима лоши спекуланти за един час.
Математическо очакване (средно население) е
За дълъг период от време общата печалба на спекуланта е сумата от неговите математически очаквания в отделни ръце. Колкото повече ръце играете с положително очакване, толкова повече печелите и обратното, колкото повече ръце играете с отрицателно очакване, толкова повече губите. В резултат на това трябва да изберете игра, която може да максимизира положителното ви очакване или да отхвърли отрицателното ви очакване, така че да можете да максимизирате почасовите си печалби.
Положително математическо очакване в стратегията за игри
Ако знаете как да броите карти, можете да имате предимство пред казиното, стига да не ви забележат и да ви изхвърлят. Казината обичат пияните спекуланти и не понасят броенето на карти. Едно предимство ще ви позволи да печелите повече пъти, отколкото губите с течение на времето. Доброто управление на парите при използване на изчисления на очакванията може да ви помогне да извлечете повече печалба от вашето предимство и да намалите загубите си. Без предимство е по-добре да дадете парите за благотворителност. В играта на фондовата борса предимство дава системата на игра, която създава по-големи печалби от загуби, разликата цении комисионни. Няма управление на паритеняма да спаси лоша система за игри.
Положителното очакване се определя като стойност, по-голяма от нула. Колкото по-голямо е това число, толкова по-силно е статистическото очакване. Ако стойността е по-малка от нула, тогава мат. очакването също ще бъде отрицателно. Колкото по-голям е модулът на отрицателната стойност, толкова по-лоша е ситуацията. Ако резултатът е нула, тогава чакането е равностойно. Можете да спечелите само когато имате положително математическо очакване и разумна система на игра. Играта с интуицията води до катастрофа.
Математическо очакване и
Очакването на мат е доста широко търсен и популярен статистически индикатор при извършване на борсова търговия на финансови пазари. На първо място, този параметър се използва за анализ на успеха на търговия. Не е трудно да се досетите, че колкото по-висока е тази стойност, толкова повече са причините да считаме изучаваната търговия за успешна. Разбира се, анализ работатърговецът не може да бъде направен само с помощта на този параметър. Въпреки това, изчислената стойност в комбинация с други методи за оценка на качеството работа, може значително да подобри точността на анализа.
Очакваният мат често се изчислява в услугите за наблюдение на сметки за търговия, което ви позволява бързо да оцените извършената работа по депозита. Изключенията включват стратегии, които използват нерентабилни сделки за „отсядане“. Търговецкъсметът може да го съпътства известно време и следователно може изобщо да няма загуби в работата му. В този случай няма да е възможно да се ръководи само от математическото очакване, тъй като рисковете, използвани в работата, няма да бъдат взети предвид.
При търговия на пазарматът най-често се използва при прогнозиране на доходността на всяка търговска стратегия или при прогнозиране на приходи търговецвъз основа на статистически данни от предишния му наддаване.
Математическо очакване (средно население) е
По отношение на управлението на парите е много важно да се разбере, че няма модел при извършване на сделки с отрицателни очаквания управлениепари, което определено може да донесе високи печалби. Ако продължите да играете фондова борсапри тези условия, тогава независимо от метода управлениепари, ще загубите цялата си сметка, независимо колко голяма е била в началото.
Тази аксиома е вярна не само за игри или сделки с отрицателни очаквания, но и за игри с равни шансове. Следователно, единственият път, когато имате шанс да спечелите в дългосрочен план, е чрез сключване на сделки с положителна очаквана стойност.
Разликата между негативните очаквания и позитивните очаквания е разликата между живота и смъртта. Няма значение колко положително или колко отрицателно е очакването; Всичко, което има значение, е дали е положително или отрицателно. Ето защо, преди да разгледате проблемите на управлението капиталтрябва да намерите игра с положително очакване.
Ако нямате тази игра, тогава цялото управление на парите на света няма да ви спаси. От друга страна, ако имате положително очакване, можете чрез правилно управление на парите да го превърнете във функция на експоненциален растеж. Няма значение колко малко е положителното очакване! С други думи, няма значение колко печеливша е системата за търговия, базирана на един договор. Ако имате система, която печели $10 на договор на сделка (след комисионни и пропускане), можете да използвате техники за управление капиталпо начин, който я прави по-печеливша от система, която показва средна печалба от $1000 на сделка (след комисионни и пропускане).
Това, което има значение, не е колко печеливша е била системата, а колко сигурно може да се каже, че системата показва поне минимална печалба в бъдеще. Следователно най-важната подготовка, която може да се направи, е да се гарантира, че системата ще покаже положителна очаквана стойност в бъдеще.
За да имате положителна очаквана стойност в бъдеще, е много важно да не ограничавате степените на свобода на вашата система. Това се постига не само чрез елиминиране или намаляване на броя на параметрите, които трябва да се оптимизират, но и чрез намаляване на възможно най-много системни правила. Всеки параметър, който добавяте, всяко правило, което правите, всяка малка промяна, която правите в системата, намалява броя на степените на свобода. В идеалния случай трябва да изградите доста примитивна и проста система, която постоянно ще генерира малки печалби на почти всеки пазар. Отново, важно е да разберете, че няма значение колко печеливша е системата, стига да е печеливша. Парите, които печелите в търговията, ще бъдат спечелени чрез ефективно управление на парите.
Математическо очакване (средно население) е
Системата за търговия е просто инструмент, който ви дава положителна очаквана стойност, така че да можете да използвате управлението на парите. Системи, които работят (показват поне минимални печалби) само на един или няколко пазара, или имат различни правила или параметри за различните пазари, най-вероятно няма да работят в реално време за дълго. Проблемът с повечето технически ориентирани търговци е, че те отделят твърде много време и усилия за оптимизиране на различните правила и стойности на параметрите на системата за търговия. Това дава напълно противоположни резултати. Вместо да губите енергия и компютърно време за увеличаване на печалбите на системата за търговия, насочете енергията си към повишаване на нивото на надеждност за получаване на минимална печалба.
Знаейки това управление на паритее просто игра с числа, която изисква използването на положителни очаквания, търговецът може да спре да търси „свещения граал“ на борсовата търговия. Вместо това той може да започне да тества метода си на търговия, да разбере колко логичен е този метод и дали дава положителни очаквания. Правилните методи за управление на парите, приложени към всякакви, дори много посредствени методи за търговия, сами ще свършат останалата работа.
За да успее всеки търговец в работата си, той трябва да реши три най-важни задачи:. Да се гарантира, че броят на успешните транзакции надвишава неизбежните грешки и грешни изчисления; Настройте вашата система за търговия, така че да имате възможност да печелите пари възможно най-често; Постигнете стабилни положителни резултати от дейността си.
И тук, за нас, работещите търговци, mate може да бъде добра помощ. очакване. Този термин е един от ключовите в теорията на вероятностите. С негова помощ можете да дадете средна оценка на някаква произволна стойност. Очакването на случайна променлива е подобно на центъра на тежестта, ако си представите всички възможни вероятности като точки с различни маси.
Във връзка със стратегията за търговия най-често се използва очакването за печалба (или загуба) за оценка на нейната ефективност. Този параметър се определя като сумата от продуктите на дадените нива на печалба и загуба и вероятността за тяхното възникване. Например, разработената стратегия за търговия предполага, че 37% от всички транзакции ще донесат печалба, а останалата част - 63% - ще бъдат нерентабилни. В същото време средната доходиот успешна търговия ще бъде 7 долара, а средната загуба ще бъде 1,4 долара. Нека изчислим математиката. очакване за търговия с помощта на тази система:
Какво означава това число? Той казва, че следвайки правилата на тази система, средно ще получим $1708 от всяка затворена транзакция. Тъй като резултатната оценка на ефективността е по-голяма от нула, такава система може да се използва за реална работа. Ако в резултат на изчисляване на мат очакването се окаже отрицателно, тогава това вече означава средна загуба и това ще доведе до разруха.
Размерът на печалбата на транзакция може да бъде изразен и като относителна стойност под формата на %. Например:
Процентът на дохода от 1 сделка е 5%;
Процентът на успешните търговски операции е 62%;
Процент на загуба на 1 сделка - 3%;
Процентът на неуспешните транзакции е 38%;
В този случай мат. очакването ще бъде:
Тоест средната търговия ще донесе 1,96%.
Възможно е да се разработи система, която въпреки преобладаването на нерентабилни сделки ще даде положителен резултат, тъй като нейният MO>0.
Самото чакане обаче не е достатъчно. Трудно е да се правят пари, ако системата дава много малко сигнали за търговия. В този случай тя ще бъде съпоставима с банковата лихва. Нека всяка операция произвежда средно само 0,5 долара, но какво ще стане, ако системата включва 1000 операции годишно? Това ще бъде много значителна сума за сравнително кратко време. От това логично следва, че друга отличителна черта на добрата система за търговия може да се счита за кратък период на задържане на позиции.
Източници и връзки
dic.academic.ru - академичен онлайн речник
mathematics.ru - образователен сайт по математика
nsu.ru - образователен уебсайт на Новосибирския държавен университет
webmath.ru е образователен портал за студенти, кандидати и ученици.
exponenta.ru образователен математически уебсайт
ru.tradimo.com - безплатно училище за онлайн търговия
crypto.hut2.ru - мултидисциплинарен информационен ресурс
poker-wiki.ru - безплатна енциклопедия на покера
sernam.ru - Научна библиотека с избрани природонаучни издания
reshim.su - уебсайт НИЕ ЩЕ РАЗРЕШАВАМЕ проблеми с курсова работа
unfx.ru - Forex на UNFX: обучение, сигнали за търговия, доверително управление
- — математическо очакване Една от числените характеристики на случайна променлива, често наричана нейна теоретична средна стойност. За дискретна случайна променлива X математически... ... Ръководство за технически преводачМАТЕМАТИЧЕСКО ОЧАКВАНЕ- (очаквана стойност) Средната стойност на разпределението на икономическа променлива, която може да приеме. Ако рt е цената на даден продукт в момент t, неговото математическо очакване се означава с Ept. За да посочите момента във времето, до който ... ... Икономически речник
Очакване- средната стойност на случайната променлива. Математическото очакване е детерминирана величина. Средно аритметичното на реализациите на случайна променлива е оценка на математическото очакване. Средно аритметично ... ... Официална терминология - (средна стойност) на случайна величина - числена характеристика на случайна величина. Ако случайна променлива, дефинирана на вероятностно пространство (виж Теория на вероятностите), тогава нейната M. o. MX (или EX) се определя като интеграл на Лебег: където... Физическа енциклопедия
МАТЕМАТИЧЕСКО ОЧАКВАНЕ- случайна величина е нейната числена характеристика. Ако една случайна променлива X има функция на разпределение F(x), тогава нейната M. o. ще: . Ако разпределението X е дискретно, тогава M.o.: , където x1, x2, ... възможни стойности на дискретната случайна променлива X; p1... Геоложка енциклопедия
МАТЕМАТИЧЕСКО ОЧАКВАНЕ- английски очаквана стойност немски Erwartung mathematische. Стохастична средна стойност или център на дисперсия на случайна променлива. Антинази. Енциклопедия по социология, 2009 ... Енциклопедия по социология
Очакване- Вижте също: Условно математическо очакване Математическото очакване е средната стойност на случайна променлива, вероятностното разпределение на случайна променлива, се разглежда в теорията на вероятностите. В англоезичната литература и в математическата... ... Wikipedia
Очакване- 1.14 Математическо очакване E (X) където xi е стойността на дискретна случайна променлива; p = P (X = xi); f(x) плътност на непрекъсната случайна променлива * Ако този израз съществува в смисъл на абсолютна конвергенция Източник ... Речник-справочник на термините на нормативната и техническата документация
Книги
Ние използваме бисквитки за най-доброто представяне на нашия сайт. Продължавайки да използвате този сайт, вие се съгласявате с това. добре