Нека сега докажем някои специални свойства на затворени и отворени множества.
Теорема 1. Сумата от краен или изброим брой отворени множества е отворено множество. Продуктът на краен брой отворени множества е отворен набор,
Помислете за сумата от краен или изброим брой отворени множества:
Ако , тогава P принадлежи на поне едно от Нека тъй като е отворено множество, тогава някаква -околност на P също принадлежи на сумата g, от което следва, че g е отворено множество. Нека сега разгледаме крайния продукт
и нека P принадлежи на g. Нека докажем, както по-горе, че някаква околност на P също принадлежи на g. Тъй като P принадлежи на g, тогава P принадлежи на всички. Тъй като - са отворени множества, тогава за всяко има някои -околност на точката, принадлежаща на . Ако числото се приеме, че е равно на най-малкото, от което числото е крайно, тогава -околността на точката P ще принадлежи на всички и, следователно, на g. Обърнете внимание, че не можем да кажем, че произведението на изброим брой отворени множества е отворено множество.
Теорема 2. Множеството CF е отворено, а множеството CO е затворено.
Нека докажем първото твърдение. Нека P принадлежи на CF. Необходимо е да се докаже, че някаква околност P принадлежи на CF. Това следва от факта, че ако имаше точки F в която и да е околност на P, точката P, която не принадлежи по условие, би била гранична точка за F и поради своята затвореност би трябвало да принадлежи, което води до противоречие.
Теорема 3. Произведение на крайно или изброимо число затворени множествае затворено множество. Сумата от краен брой затворени множества е затворено множество.
Нека докажем, например, че множеството
затворен. Преминавайки към допълнителни набори, можем да пишем
По теорема множествата са отворени, а по теорема 1 множеството също е отворено и по този начин допълнителното множество g е затворено. Обърнете внимание, че сумата от изброим брой затворени множества също може да се окаже отворено множество.
Теорема 4. Едно множество е отворено множество и затворено множество.
Лесно се проверяват следните равенства:
От тях, по силата на предишните теореми, следва теорема 4.
Ще кажем, че множество g се покрива от система M от определени множества, ако всяка точка g е включена в поне едно от множествата на системата M.
Теорема 5 (Борел). Ако затворено ограничено множество F е покрито от безкрайна система a от отворени множества O, тогава от тази безкрайна система е възможно да се извлече краен брой отворени множества, които също покриват F.
Доказваме тази теорема чрез обратното. Да приемем, че нито един краен брой отворени множества от системата a не покрива и довеждаме това до противоречие. Тъй като F е ограничено множество, тогава всички точки от F принадлежат на някакъв краен двумерен интервал. Нека разделим този затворен интервал на четири равни части, разделяйки интервалите наполовина. Ще вземем всеки от получените четири интервала за затворен. Тези точки от F, които попадат в един от тези четири затворени интервала, ще представляват, по силата на теорема 2, затворено множество и поне едно от тези затворени множества не може да бъде покрито от краен брой отворени множества от системата a. Взимаме един от четирите посочени по-горе затворени интервала, където се случва това обстоятелство. Отново разделяме този интервал на четири равни части и разсъждаваме по същия начин, както по-горе. Така получаваме система от вложени интервали, от които всеки следващ представлява четвърта част от предходния, и е валидно следното обстоятелство: множеството от точки F, принадлежащи на което и да е k, не може да бъде покрито от краен брой отворени множества от системата а. При безкрайно увеличаване на k, интервалите ще се свиват безкрайно до определена точка P, която принадлежи на всички интервали. Тъй като за всяко k те съдържат безкраен брой точки, точката P е гранична точка за и следователно принадлежи на F, тъй като F е затворено множество. Така точката P се покрива от някакво отворено множество, принадлежащо на системата a. Някаква околност на точката P също ще принадлежи на отвореното множество O. За достатъчно големи стойности на k, интервалите D ще попаднат в горната околност на точката P. По този начин те ще бъдат изцяло покрити само от една отворено множество O на системата a и това противоречи на факта, че точките, принадлежащи на за всяко k, не могат да бъдат покрити от краен брой отворени множества, принадлежащи на a. Така теоремата е доказана.
Теорема 6. Едно отворено множество може да бъде представено като сбор от изброим брой полуотворени интервали по двойки без общи точки.
Спомнете си, че полуотворен интервал в равнина наричаме краен интервал, определен от неравенства от вида .
Нека начертаем върху равнината мрежа от квадрати със страни успоредни на оситеи с дължина на страната, равно на едно. Множеството от тези квадрати е изброимо множество. От тези квадрати нека изберем онези квадрати, чиито точки принадлежат на дадено отворено множество O. Броят на тези квадрати може да бъде краен или изброим, или може би изобщо няма да има такива квадрати. Разделяме всеки от останалите квадрати на решетката на четири еднакви квадрата и от новополучените квадрати отново избираме тези, чиито всички точки принадлежат на O. Отново разделяме всеки от останалите квадрати на четири равни части и избираме онези квадрати, чиито всички точки принадлежат на O и т.н. Нека покажем, че всяка точка P от множеството O ще попадне в един от избраните квадрати, всички точки от които принадлежат на O. Наистина, нека d е положителното разстояние от P до границата на O. Когато стигнем до квадрати, чийто диагонал е по-малък от , тогава можем, очевидно, да твърдим, че точка P вече е попаднала в квадрат, всички обеми на който принадлежат на O. Ако избраните квадрати се считат за полуотворени, тогава те ще нямат общи точки по двойки и теоремата е доказана. Броят на избраните квадрати задължително ще бъде изброим, тъй като крайната сума от полуотворени интервали очевидно не е отворено множество. Означавайки с DL тези полуотворени квадрати, които получихме в резултат на горната конструкция, можем да напишем
Видове множества на реалната права
Позиция на точка спрямо множество А
Еднопосочни квартали
Топология на реалната линия
Набори от числа
Основните набори от числа са сегментИ интервал(а; б).
Извиква се наборът от числа A ограничен отгоре, ако има число M такова, че a £ M за всяко a О A. Числото M в този случай се нарича горния ръбили мажорантмножества.
Върховенмножество A, sup A се нарича...
... най-малкият от неговите мажори;
… число M такова, че a £ M за всяко a О A и във всяка околност на M е елемент от множеството A;
Концепциите „ ограничен отдолу», « малолетен ученик" (долен ръб) и " infimum"(точно долен ръб).
Пълнота на реалната линия (еквивалентни формулировки)
1. Свойство на вложените сегменти. Нека са дадени сегментите É É … É É … Те имат поне един обща точка. Ако дължините на сегментите могат да бъдат избрани толкова малки, колкото желаете, тогава такава точка е уникална.
Следствие: методът на дихотомията за теореми за съществуване. Нека е даден сегмент. Разделяме го на две и избираме една от половинките (така че да има желания имот). Нека означим тази половина с . Ние продължаваме този процес за неопределено време. Получаваме система от вложени отсечки, чиито дължини клонят към 0. Това означава, че те имат точно една обща точка. Остава да докажем, че ще бъде желаната.
2. За всяко непразно ограничено отгоре множество има супремум.
3. За всеки две непразни множества, едното от които лежи вляво от другото, има точка, която ги разделя (съществуване на секции).
Квартал:
U(x) = (a, b), a< x < b; Ue(x) = (x – e; x + e), e > 0;
U(¥) = (–¥; a) U (b; ¥), Ue(¥) = (–¥; –e) U (e; +¥), e > 0;
U(+¥) = (e; +¥); U(–¥) = (–¥; –e).
Пробити квартали:
Ǔ(x) = (a, x) U (x, b) = U(x) \ (x); Ǔe(x) = (x – e; x) U (x; x + e) = Ue(x) \ (x)
Ue–(x) = (x – e; x], e > 0; Ue+(x) = )