СЛУЧАЙНИ ВЕЛИЧИНИ
Пример 2.1.Случайна променлива Xдаден от функцията на разпределение
Намерете вероятността, че в резултат на теста Xще приема стойности, съдържащи се в интервала (2.5; 3.6).
Решение: Xв интервала (2.5; 3.6) може да се определи по два начина:
Пример 2.2.При какви стойности на параметрите Аи INфункция Е(х) = A + Be - xможе да бъде функция на разпределение за неотрицателни стойности на случайна променлива X.
Решение:Тъй като всички възможни стойности на случайната променлива Xпринадлежат на интервала , тогава за да може функцията да бъде функция на разпределение за X, собствеността трябва да бъде удовлетворена:
.
отговор: 
.
Пример 2.3.Случайната променлива X се определя от функцията на разпределение
Намерете вероятността в резултат на четири независими теста стойността Xточно 3 пъти ще приеме стойност, принадлежаща на интервала (0,25;0,75).
Решение:Вероятност за достигане на стойност Xв интервала (0,25;0,75) намираме по формулата:
Пример 2.4.Вероятността топката да удари коша с един удар е 0,3. Съставете закон за разпределение на броя на попаденията с три хвърляния.
Решение:Случайна променлива X– броят на ударите в коша с три удара – може да приема следните стойности: 0, 1, 2, 3. Вероятностите, че X
X:
Пример 2.5.Двама стрелци стрелят по един изстрел в мишена. Вероятността първият стрелец да го уцели е 0,5, вторият - 0,4. Начертайте закон за разпределение на броя на попаденията в мишена.
Решение:Нека намерим закона за разпределение на дискретна случайна променлива X– брой попадения в целта. Нека събитието е първият стрелец, който уцелва целта, и нека вторият стрелец уцелва целта, и съответно техните пропуски.
Нека съставим закона за разпределение на вероятностите на SV X:
Пример 2.6.Тестват се три елемента, работещи независимо един от друг. Продължителността на времето (в часове) на безотказна работа на елементите има функция на плътност на разпределение: за първия: Е 1 (t) =1-д- 0,1 t, за второто: Е 2 (t) = 1-д- 0,2 t, за третото: Е 3 (t) =1-д- 0,3 t. Намерете вероятността, че в интервала от 0 до 5 часа: само един елемент ще се повреди; само два елемента ще се повредят; и трите елемента ще се провалят.
Решение:Нека използваме определението на функцията за генериране на вероятност:
Вероятността, че при независими опити, в първото от които вероятността за настъпване на събитие Аравно на , във второто и т.н. събитие Асе появява точно веднъж, равен на коефициента в разширението на генериращата функция по степени на . Нека намерим вероятностите за отказ и отказ съответно на първия, втория и третия елемент в интервала от 0 до 5 часа:
Нека създадем генерираща функция:
Коефициентът при е равен на вероятността събитието Аще се появи точно три пъти, тоест вероятността от повреда и на трите елемента; коефициентът при е равен на вероятността точно два елемента да се повредят; коефициентът при е равен на вероятността само един елемент да се повреди.
Пример 2.7.Като се има предвид плътността на вероятността f(х) случайна променлива X:
Намерете функцията на разпределение F(x).
Решение:Използваме формулата:
.
Така функцията на разпределение изглежда така:
Пример 2.8.Устройството се състои от три независимо работещи елемента. Вероятността за повреда на всеки елемент в един експеримент е 0,1. Начертайте закон за разпределение на броя на неуспешните елементи в един експеримент.
Решение:Случайна променлива X– броят на неуспешните елементи в един експеримент – може да приема следните стойности: 0, 1, 2, 3. Вероятности, че Xприема тези стойности, намираме с помощта на формулата на Бернули:
Така получаваме следния закон за разпределение на вероятностите на случайна променлива X:
Пример 2.9.В партида от 6 части има 4 стандартни. 3 части бяха избрани на случаен принцип. Съставете закон за разпределение на броя на стандартните части между избраните.
Решение:Случайна променлива X– броя на стандартните части сред избраните – може да приема следните стойности: 1, 2, 3 и има хипергеометрично разпределение. Вероятности, че X
Къде -- брой части в партидата;
-- брой стандартни части в партида;
– брой избрани части;
-- брой стандартни части сред избраните.
.
.
.
Пример 2.10.Случайната променлива има плътност на разпределение
и не са известни, но , a и . Намерете и.
Решение:В този случай случайната променлива Xима триъгълно разпределение (разпределение на Симпсън) на интервала [ а, б]. Числени характеристики X:
следователно 
. Решавайки тази система, получаваме две двойки стойности: . Тъй като, според условията на проблема, накрая имаме: 
.
отговор: .
Пример 2.11.Средно при 10% от договорите застрахователната компания изплаща застрахователни суми във връзка с настъпване на застрахователно събитие. Изчислете математическото очакване и дисперсията на броя на такива договори сред четири произволно избрани.
Решение:Математическото очакване и дисперсията могат да бъдат намерени с помощта на формулите:
.
Възможни стойности на SV (брой договори (от четири) с настъпване на застрахователно събитие): 0, 1, 2, 3, 4.
Използваме формулата на Бернули, за да изчислим вероятностите за различен брой договори (от четири), за които са изплатени застрахователните суми:
.
Серията за разпределение на IC (броят на договорите с настъпване на застрахователно събитие) има формата:
| 0,6561 | 0,2916 | 0,0486 | 0,0036 | 0,0001 |
Отговор: , .
Пример 2.12.От петте рози две са бели. Съставете закон за разпределение на случайна променлива, изразяваща броя на белите рози между две едновременно взети.
Решение:В селекция от две рози може или да няма бяла роза, или да има една или две бели рози. Следователно, случайната променлива Xможе да приема стойности: 0, 1, 2. Вероятности, че Xприема тези стойности, намираме го по формулата:
Къде -- брой рози;
-- брой бели рози;
– брой рози, взети по едно и също време;
-- броя на белите рози сред взетите.
.
.
.
Тогава законът за разпределение на случайната променлива ще бъде както следва:
Пример 2.13.От 15-те сглобени единици 6 изискват допълнително смазване. Начертайте закон за разпределение на броя единици, които се нуждаят от допълнително смазване сред пет случайно избрани от общия брой.
Решение:Случайна променлива X– брой звена, които изискват допълнително смазване сред петте избрани – може да приема следните стойности: 0, 1, 2, 3, 4, 5 и има хипергеометрично разпределение. Вероятности, че Xприема тези стойности, намираме го по формулата:
Къде -- брой сглобени единици;
-- броя на единиците, които изискват допълнително смазване;
– брой избрани единици;
-- броя на единиците, които изискват допълнително смазване сред избраните.
.
.
.
.
.
.
Тогава законът за разпределение на случайната променлива ще бъде както следва:
Пример 2.14.От постъпилите за ремонт 10 часовника 7 изискват генерално почистване на механизма. Часовниците не са сортирани по вид ремонт. Майсторът, който иска да намери часовници, които се нуждаят от почистване, ги преглежда един по един и след като намери такива часовници, спира по-нататъшното гледане. Намерете математическото очакване и дисперсията на броя гледани часове.
Решение:Случайна променлива X– броя на единиците, които се нуждаят от допълнително смазване сред петте избрани – може да приеме следните стойности: 1, 2, 3, 4. Вероятности, че Xприема тези стойности, намираме го по формулата:
.
.
.
.
Тогава законът за разпределение на случайната променлива ще бъде както следва:
Сега нека изчислим числените характеристики на количеството:
Отговор: , .
Пример 2.15.Абонатът е забравил последната цифра от телефонния номер, от който се нуждае, но помни, че е нечетен. Намерете математическото очакване и дисперсията на броя пъти, които той набира телефонен номер, преди да достигне желания номер, ако той набере последната цифра произволно и впоследствие не набере набраната цифра.
Решение:Случайната променлива може да приема следните стойности: . Тъй като абонатът не набира набраната цифра в бъдеще, вероятностите за тези стойности са равни.
Нека съставим серия на разпределение на случайна променлива:
| 0,2 |
Нека изчислим математическото очакване и дисперсията на броя опити за набиране:
Отговор: , .
Пример 2.16.Вероятността от повреда по време на тестовете за надеждност за всяко устройство от серията е равна на стр. Определете математическото очакване на броя устройства, които са се провалили, ако са били тествани Нустройства.
Решение:Дискретната случайна променлива X е броят на повредените устройства Ннезависими тестове, при всеки от които вероятността за провал е еднаква п,разпределени по биномния закон. Математическото очакване на биномно разпределение е равно на произведението от броя опити и вероятността събитие да се случи в едно изпитване:
Пример 2.17.Дискретна случайна променлива Xприема 3 възможни стойности: с вероятност ; с вероятност и с вероятност. Намерете и , знаейки, че M( X) = 8.
Решение:Ние използваме дефинициите на математическото очакване и закона за разпределение на дискретна случайна променлива:
Намираме:.
Пример 2.18.Отделът за технически контрол проверява продуктите за стандартност. Вероятността продуктът да е стандартен е 0,9. Всяка партида съдържа 5 продукта. Намерете математическото очакване на случайна променлива X– броя на партидите, всяка от които съдържа точно 4 стандартни продукта, ако на проверка подлежат 50 партиди.
Решение:В този случай всички проведени експерименти са независими и вероятностите всяка партида да съдържа точно 4 стандартни продукта са еднакви, следователно математическото очакване може да се определи по формулата:
,
къде е броят на партиите;
Вероятността една партида да съдържа точно 4 стандартни продукта.
Намираме вероятността с помощта на формулата на Бернули:
отговор: 
.
Пример 2.19.Намерете дисперсията на случайна променлива X– брой появявания на събитието Ав две независими изпитвания, ако вероятностите за настъпване на събитие в тези изпитвания са еднакви и е известно, че М(X) = 0,9.
Решение:Проблемът може да се реши по два начина.
1) Възможни стойности на SV X: 0, 1, 2. Използвайки формулата на Бернули, ние определяме вероятностите за тези събития:
,
,
.
След това законът за разпределение Xима формата:
От дефиницията на математическото очакване определяме вероятността:
Нека намерим дисперсията на SV X:
.
2) Можете да използвате формулата:
.
отговор: 
.
Пример 2.20.Очакване и стандартно отклонение на нормално разпределена случайна променлива Xсъответно равни на 20 и 5. Намерете вероятността в резултат на теста Xще приеме стойността, съдържаща се в интервала (15; 25).
Решение:Вероятност за попадение на нормална случайна променлива Xна участъка от до се изразява чрез функцията на Лаплас:
Пример 2.21.Дадена функция: 
При каква стойност на параметъра Втази функция е плътността на разпределение на някаква непрекъсната случайна променлива X? Намерете математическото очакване и дисперсията на случайна променлива X.
Решение:За да бъде функцията плътност на разпределение на някаква случайна променлива, тя трябва да е неотрицателна и трябва да отговаря на свойството:
.
Следователно:
Нека изчислим математическото очакване по формулата:
.
Нека изчислим дисперсията по формулата:
Т е равно стр. Необходимо е да се намери математическото очакване и дисперсията на тази случайна променлива.
Решение:Законът за разпределение на дискретна случайна променлива X - броят на случванията на събитие в независими опити, при всяко от които вероятността събитието да се случи е равна на , се нарича бином. Математическото очакване на биномно разпределение е равно на произведението от броя опити и вероятността за възникване на събитие А в едно изпитване:
.
Пример 2.25.Произвеждат се три независими изстрела по целта. Вероятността за уцелване на всеки удар е 0,25. Определете стандартното отклонение на броя на попаденията с три изстрела.
Решение:Тъй като се извършват три независими опита и вероятността за възникване на събитие А (попадение) във всяко изпитание е една и съща, ще приемем, че дискретната случайна променлива X - броят на попаденията в целта - е разпределена според биномен закон.
Дисперсията на биномното разпределение е равна на произведението от броя на опитите и вероятността за настъпване и ненастъпване на събитие в един опит:
Пример 2.26.Средният брой клиенти, посещаващи застрахователна компания за 10 минути, е трима. Намерете вероятността поне един клиент да пристигне през следващите 5 минути.
Среден брой клиенти, пристигащи за 5 минути: 
. .
Пример 2.29.Времето за изчакване на приложение в опашката на процесора се подчинява на експоненциален закон на разпределение със средна стойност 20 секунди. Намерете вероятността следващата (произволна) заявка да изчака на процесора повече от 35 секунди.
Решение:В този пример, математическото очакване 
, а степента на отказ е равна на .
Тогава желаната вероятност:
Пример 2.30.Група от 15 студенти провежда среща в зала с 20 реда по 10 места. Всеки ученик заема място в залата на случаен принцип. Каква е вероятността не повече от трима души да са на седмо място в редицата?
Решение:
Пример 2.31.
Тогава, според класическата дефиниция на вероятността:
Къде -- брой части в партидата;
-- брой нестандартни части в партидата;
– брой избрани части;
-- брой нестандартни части сред избраните.
Тогава законът за разпределение на случайната променлива ще бъде както следва.
Случайна променлива е променлива, която може да приема определени стойности в зависимост от различни обстоятелства и случайната променлива се нарича непрекъсната , ако може да приеме произволна стойност от всеки ограничен или неограничен интервал. За непрекъсната случайна променлива е невъзможно да се посочат всички възможни стойности, така че ние обозначаваме интервали от тези стойности, които са свързани с определени вероятности.
Примери за непрекъснати случайни променливи включват: диаметър на част, която се шлифова до даден размер, височина на човек, обхват на полета на снаряд и др.
Тъй като за непрекъснати случайни променливи функцията Е(х), за разлика от дискретни случайни променливи, няма скокове никъде, тогава вероятността за всяка отделна стойност на непрекъсната случайна променлива е нула.
Това означава, че за непрекъсната случайна променлива няма смисъл да се говори за разпределение на вероятностите между нейните стойности: всяка от тях има нулева вероятност. Въпреки това, в известен смисъл, сред стойностите на непрекъсната случайна променлива има „повече и по-малко вероятни“. Например, едва ли някой би се съмнявал, че стойността на случайна променлива - височината на случайно срещнат човек - 170 см - е по-вероятно от 220 см, въпреки че и двете стойности могат да се появят на практика.
Функция на разпределение на непрекъсната случайна променлива и плътност на вероятността
Като закон за разпределение, който има смисъл само за непрекъснати случайни променливи, се въвежда концепцията за плътност на разпределение или плътност на вероятността. Нека подходим към него, като сравним значението на функцията на разпределение за непрекъсната случайна променлива и за дискретна случайна променлива.
И така, функцията на разпределение на случайна променлива (както дискретна, така и непрекъсната) или интегрална функциясе нарича функция, която определя вероятността стойността на случайна променлива Xпо-малко или равно на граничната стойност X.
За дискретна случайна променлива в точките на нейните стойности х1 , х 2 , ..., хаз,...маси от вероятности са концентрирани стр1 , стр 2 , ..., страз,..., а сумата от всички маси е равна на 1. Нека прехвърлим тази интерпретация към случая на непрекъсната случайна променлива. Да си представим, че маса равна на 1 не е концентрирана в отделни точки, а непрекъснато се „размазва” по абсцисната ос ос известна неравномерна плътност. Вероятност случайна променлива да попадне в произволна област Δ хще се тълкува като маса на секция, а средната плътност на тази секция като съотношение на маса към дължина. Току-що въведохме важна концепция в теорията на вероятностите: плътност на разпределение.
Плътност на вероятността f(х) на непрекъсната случайна променлива е производната на нейната функция на разпределение:
.
Познавайки функцията на плътността, можете да намерите вероятността стойността на непрекъсната случайна променлива да принадлежи към затворения интервал [ а; b]:
вероятността непрекъсната случайна променлива Xще вземе всяка стойност от интервала [ а; b], е равен на определен интеграл от неговата плътност на вероятността, варираща от акъм b:
.
В този случай общата формула на функцията Е(х) вероятностно разпределение на непрекъсната случайна променлива, което може да се използва, ако е известна функцията на плътността f(х) :
.
Графиката на плътността на вероятността на непрекъсната случайна променлива се нарича нейната крива на разпределение (фигурата по-долу).
Площ на фигура (защрихована на фигурата), ограничена от крива, прави линии, начертани от точки аи bперпендикулярна на оста x и оста о, показва графично вероятността стойността на непрекъсната случайна променлива Xе в рамките на акъм b.
Свойства на функцията за плътност на вероятността на непрекъсната случайна променлива
1. Вероятността случайна променлива да приеме произволна стойност от интервала (и областта на фигурата, която е ограничена от графиката на функцията f(х) и ос о) е равно на едно:
2. Функцията за плътност на вероятността не може да приема отрицателни стойности:
и извън съществуването на разпределението стойността му е нула
Плътност на разпространение f(х), както и функцията на разпределение Е(х), е една от формите на закона за разпределение, но за разлика от функцията на разпределение, тя не е универсална: плътността на разпределението съществува само за непрекъснати случайни променливи.
Нека споменем двата най-важни типа разпределение на непрекъсната случайна променлива на практика.
Ако функцията за плътност на разпределение f(х) непрекъсната случайна променлива в някакъв краен интервал [ а; b] приема постоянна стойност В, а извън интервала приема стойност, равна на нула, тогава това разпределението се нарича равномерно .
Ако графиката на функцията за плътност на разпределението е симетрична спрямо центъра, средните стойности се концентрират близо до центъра, а при отдалечаване от центъра се събират тези, които са по-различни от средната (графиката на функцията прилича на разрез на камбана), тогава това разпределението се нарича нормално .
Пример 1.Функцията на разпределение на вероятността на непрекъсната случайна променлива е известна:
Намиране на функция f(х) плътност на вероятността на непрекъсната случайна променлива. Постройте графики на двете функции. Намерете вероятността непрекъсната случайна променлива да приеме произволна стойност в интервала от 4 до 8: .
Решение. Получаваме функцията за плътност на вероятността, като намерим производната на функцията за разпределение на вероятностите:
Графика на функция Е(х) - парабола:
Графика на функция f(х) - прав:
Нека намерим вероятността непрекъсната случайна променлива да приеме произволна стойност в диапазона от 4 до 8:
Пример 2.Функцията на плътност на вероятността на непрекъсната случайна променлива се дава като:
Изчислете коефициента В. Намиране на функция Е(х) вероятностно разпределение на непрекъсната случайна променлива. Постройте графики на двете функции. Намерете вероятността непрекъсната случайна променлива да приеме произволна стойност в диапазона от 0 до 5: .
Решение. Коефициент Внамираме, използвайки свойство 1 на функцията за плътност на вероятността:
По този начин функцията на плътност на вероятността на непрекъсната случайна променлива е:
Чрез интегриране намираме функцията Е(х) вероятностни разпределения. Ако х < 0 , то Е(х) = 0 . Ако 0< х < 10 , то
.
х> 10 тогава Е(х) = 1 .
Така пълният запис на функцията на разпределение на вероятностите е:
Графика на функция f(х) :
Графика на функция Е(х) :
Нека намерим вероятността непрекъсната случайна променлива да приеме произволна стойност в диапазона от 0 до 5:
Пример 3.Плътност на вероятността на непрекъсната случайна променлива Xсе дава от равенството , и . Намерете коефициент А, вероятността непрекъсната случайна променлива Xще вземе произволна стойност от интервала ]0, 5[, функцията на разпределение на непрекъсната случайна променлива X.
Решение. По условие стигаме до равенство
Следователно, , откъде . така че
.
Сега намираме вероятността една непрекъсната случайна променлива Xще вземе всяка стойност от интервала ]0, 5[:
Сега получаваме функцията на разпределение на тази случайна променлива:
Пример 4.Намерете плътността на вероятността на непрекъсната случайна променлива X, която приема само неотрицателни стойности, и нейната функция на разпределение 
.
Функция на разпределение на непрекъсната случайна променлива
Функцията на разпределение на вероятността F(x) на случайна променлива X в точка x е вероятността, че в резултат на експеримент случайната променлива ще приеме стойност, по-малка от x, т.е. F(x)=P(X< х}. Рассмотрим свойства функции F(x).
1. F(-?)=lim(x>-?)F(x)=0.
Наистина, по дефиниция F(-?)=P(X< -?}. Событие (X < -?) является невозможным событием:
F(-?)=P(X< - ?}=p{V}=0.
2. F(?)=lim(x>?)F(x)=1,
тъй като по дефиниция F(?)=P(X< ?}. Событие Х < ? является достоверным событием. Следовательно,
F(?)=P(X< ?}=p{U}=1.
3. Вероятността една случайна променлива да приеме стойност от интервала [B V] е равна на увеличението на функцията на разпределение на вероятностите на този интервал.
P(B?X<В}=F(В)-F(Б).
4. F(x2)? F(x1), ако x2, > x1, т.е. Функцията на вероятностното разпределение е ненамаляваща функция.
5. Функцията на вероятностното разпределение остава непрекъсната.
FS(xo-0)=limFS(x)=FS(xo) за x>xo
Разликите между функциите на вероятностното разпределение на дискретни и непрекъснати случайни променливи могат да бъдат добре илюстрирани с графики. Нека, например, дискретна случайна променлива има n възможни стойности, вероятностите за които са равни
P(X=xk)=pk, k=1,2,..n.
Ако x? x1, тогава F(X)=0, тъй като няма възможни стойности на случайната променлива отляво на x. Ако x1< x ? x2 , то левее х находится всего одно возможное значение, а именно, значение х1.
Това означава F(x)=P(X=x1)=p1. За x2< x ? x3 слева от х находится уже два возможных значения, поэтому F(x)=P{X=x1}+P{X=x2}=p1+p2. Рассуждая аналогично, приходим к выводу, что если хk< x? xk+1, то F(x)=1, так как функция будет равна сумме вероятностей всех возможных значений, которая по условию нормировки равна единице. Таким образом, график функции распределения дискретной случайной величины является ступенчатым. Возможные значения непрерывной величины располагаются плотно на интервале задания этой величины, что обеспечивает плавное возрастания функции распределения F(x), т.е. ее непрерывность.
Нека разгледаме вероятността случайна променлива да попадне в интервала
Dx>0: P(x?X< x+Дx}=F(x+ Дx)-F(x).
Нека преминем към границата при Dx>0:
lim(Dx>0)P(x? X< x+Дx}=lim(Дx>0)F(x+Dx)-F(x).
Границата е равна на вероятността случайната променлива да приеме стойност, равна на x. Ако функцията F(x) е непрекъсната в точката x, тогава
lim(Dx>0)F(x+Dx)=F(x), т.е. P(X=x)=0.
Ако F(x) има прекъсване в точка x, тогава вероятността P(X=x) ще бъде равна на скока на функцията в тази точка. По този начин вероятността всяка възможна стойност да се появи за непрекъсната стойност е нула. Изразът P(X=x)=0 трябва да се разбира като границата на вероятността случайна променлива да попадне в безкрайно малка околност на точка x при
P(B< X? В},P{Б? X< В},P{Б< X< В},P{Б? X? В}
са равни, ако X е непрекъсната случайна променлива.
За дискретни променливи тези вероятности не са еднакви в случай, че границите на интервала B и (или) C съвпадат с възможните стойности на случайната променлива. За дискретна случайна променлива е необходимо стриктно да се вземе предвид вида на неравенството във формулата P(B?X<В}=F(В)-F(Б).
Свойства на функцията на разпределение
Всяка функция на разпределение има следните свойства:
Не намалява: ако, тогава;
Има граници и;
Остава непрекъснат във всяка точка:
Доказателство за собственост (1). За произволни числа събитието води до събитие, т.е. . Но вероятността е монотонна функция на събитията, така че
За да докажем останалите свойства, имаме нужда от свойството за непрекъснатост на вероятностната мярка.
Доказателство за собственост (2). Нека първо отбележим, че съществуването на граници в свойствата (2), (3) следва от монотонността и ограничеността на функцията. Остава само да докажем равенствата
За да направите това, във всеки случай е достатъчно да се намери границата от някаква подпоследователност, тъй като съществуването на граница води до съвпадение на всички частични граници.
Нека докажем това при. Помислете за вложена низходяща последователност от събития:
Пресечната точка на всички тези събития се състои от онези и само онези, за които има по-малко от всяко реално число. Но за всеки елементарен резултат стойността е реална и не може да бъде по-малка от всички реални числа. С други думи, пресечната точка на събитията не съдържа елементарни резултати, т.е. . По свойството непрекъснатост на мярката, когато.
Нека докажем останалите свойства по същия начин.
Нека покажем, че когато, т.е. . Да обозначим със събитие. Събитията са вложени:
и пресечната точка на тези събития отново е празна - това означава, че е по-голяма от всяко реално число. По свойството непрекъснатост на мярката,
Доказателство за собственост (3). Достатъчно е да се докаже това
при. С други думи, докажете сходимостта към нула на следната разлика:
регресионен анализ на вероятностното разпределение
Регресионен анализ
Регресионният анализ е метод за моделиране на измерени данни и изследване на техните свойства. Данните се състоят от двойки стойности на зависимата променлива (променлива на отговора) и независимата променлива (обяснителна променлива). Регресионният модел е функция на независимата променлива и параметри с добавена случайна променлива. Параметрите на модела се настройват така, че моделът да отговаря най-добре на данните. Критерият за качеството на приближението (целевата функция) обикновено е средната квадратична грешка: сумата от квадратите на разликата между стойностите на модела и зависимата променлива за всички стойности на независимата променлива като аргумент. Регресионният анализ е клон на математическата статистика и машинното обучение. Предполага се, че зависимата променлива е сумата от стойностите на някакъв модел и случайна променлива. Правят се предположения относно естеството на разпределението на това количество, наречено хипотеза за генериране на данни. Статистически тестове, наречени остатъчни анализи, се извършват, за да потвърдят или опровергаят тази хипотеза. Предполага се, че независимата променлива не съдържа грешки. Регресионният анализ се използва за прогнозиране, анализ на времеви редове, тестване на хипотези и идентифициране на скрити връзки в данните.
Регресията е зависимостта на математическото очакване (например средната стойност) на случайна променлива от една или повече други случайни променливи (свободни променливи), т.е. Регресионният анализ е търсенето на функция f, която описва тази зависимост. Регресията може да бъде представена като сбор от неслучайни и случайни компоненти.
където f е регресионна функция, а v е адитивна случайна променлива с нулево очакване. Предположението за естеството на разпределението на това количество се нарича хипотеза за генериране на данни. Обикновено се приема, че v има Гаусово разпределение с нулева средна стойност и дисперсия.
Проблемът за намиране на регресионен модел на няколко свободни променливи се поставя по следния начин. Дадена е извадка - набор от стойности на свободни променливи и набор от съответните стойности на зависимата променлива. Тези набори са обозначени като D, оригиналният набор от данни. Даден е регресионен модел - параметрично семейство от функции f(w,x) в зависимост от параметрите и свободните променливи x. Трябва да намерите най-вероятните параметри:
Вероятностната функция p зависи от хипотезата за генериране на данни и се специфицира чрез байесов извод или метода на максималната вероятност.
Линейната регресия предполага, че функцията f зависи линейно от параметрите w. В този случай линейната зависимост от свободната променлива x не е задължителна,
В случая, когато функцията на линейната регресия има формата
тук са компонентите на вектора x.
Стойностите на параметрите в случай на линейна регресия се намират с помощта на метода на най-малките квадрати. Използването на този метод е оправдано от предположението за Гаусово разпределение на случайната променлива.
Разликите между действителните стойности на зависимата променлива и реконструираните се наричат регресионни остатъци. В литературата се използват и синоними: остатъци и грешки. Една от важните оценки на критерия за качество на получената зависимост е сумата от квадратите на остатъците:
Тук SSE е сумата от грешките на квадрат.
Дисперсията на остатъците се изчислява по формулата
Тук MSE е средна квадратна грешка.
Нелинейните регресионни модели са модели от тип, който не може да бъде представен като скаларен продукт
Къде са параметрите на регресионния модел, x е свободна променлива от пространството Rn, y е зависима променлива, v е случайна променлива и е функция от някакво дадено множество.
Задача
На базата на две независими проби с размер n1=30 и n2=15, извлечени от нормални популации, бяха открити средни стойности на извадката =25 и =27. Дисперсиите на генералните съвкупности са известни =1,3 и =1,6. При ниво на значимост =0,1, проверете хипотезата H0: m1= m2 с конкурентната хипотеза H1: m1m2.
Нека намерим отношението на голямата коригирана дисперсия към по-малката Fob = 1,6/1,3 = 1,23.
По условие, конкурентната хипотеза има формата m1m2, така че критичната област е двустранна. В съответствие с правило 2, когато намирате критична точка, трябва да вземете ниво на значимост, което е половината от определеното.
Съгласно таблицата в Приложение 7, според нивото на значимост a/2=0,1/2=0,05 и броя на степените на свобода k1=15-1=14 и k2=30-1=29 намираме критичната точка Fcr(0,05;14;29) =2,38.
Тъй като Fob>Fcr, ние отхвърляме нулевата хипотеза за равенството на общите дисперсии.
Списък на използваната литература
1. Ахтямов А.М. "Теория на вероятностите". - М.: Физматлит, 2009.
2. Булдик Г.М. “Теория на вероятностите и математическа статистика”, Мн., Висш. училище, 1989г.
3. Гнеденко Б.В. „Курс по теория на вероятностите“, URSS. М.: 2001 г.
4. Мацкевич И.П., Свирид Г.П. „Висша математика. Теория на вероятностите и математическа статистика”, Мн.: Виш. училище, 1993г.
5. Севастянов B.A. „Курс по теория на вероятностите и математическа статистика“, - М.: Наука, 1982 г.
Плътност на разпространение вероятности Xизвикайте функцията f(x)– първата производна на функцията на разпределението F(x):
Концепцията за плътност на разпределение на вероятността на случайна променлива Xне е приложимо за дискретни количества.
Плътност на разпределение на вероятностите f(x)– наречена диференциална функция на разпределение:
Имот 1.Плътността на разпределение е неотрицателна величина:
Имот 2.Неправилният интеграл на плътността на разпределението в диапазона от до е равен на единица:
Пример 1.25.Дадена е функцията на разпределение на непрекъсната случайна променлива X:
f(x).
Решение:Плътността на разпределение е равна на първата производна на функцията на разпределение:
1. Дадена е функцията на разпределение на непрекъсната случайна променлива X:
Намерете плътността на разпределение.
2. Дадена е функцията на разпределение на непрекъсната случайна променлива X:
Намерете плътността на разпределение f(x).
1.3. Числени характеристики на непрекъсната случайност
количества
Очакваненепрекъсната случайна променлива X, чиито възможни стойности принадлежат на цялата ос о, се определя от равенството:
Приема се, че интегралът се сближава абсолютно.
а,б), това:
f(x)– плътност на разпределение на случайна величина.
дисперсия непрекъсната случайна променлива X, чиито възможни стойности принадлежат на цялата ос, се определя от равенството:
Специален случай. Ако стойностите на случайна променлива принадлежат на интервала ( а,б), това:
Вероятността, че Xще приема стойности, принадлежащи на интервала ( а,б), се определя от равенството:
.
Пример 1.26.Непрекъсната случайна променлива X
Намерете математическото очакване, дисперсията и вероятността за попадение на случайна променлива Xв интервала (0;0,7).
Решение:Случайната променлива се разпределя в интервала (0,1). Нека определим плътността на разпределение на непрекъсната случайна променлива X:
а) Математическо очакване 
:
б) Дисперсия 
V) 
Задачи за самостоятелна работа:
1. Случайна променлива Xдадено от функцията на разпределение:
M(x);
б) дисперсия D(x);
Xв интервала (2,3).
2. Случайна променлива X
Намерете: а) математическо очакване M(x);
б) дисперсия D(x);
в) определяне на вероятността за попадение на произволна променлива Xв интервала (1;1.5).
3. Случайна променлива Xсе дава от кумулативната функция на разпределение:
Намерете: а) математическо очакване M(x);
б) дисперсия D(x);
в) определяне на вероятността за попадение на произволна променлива Xв интервала
1.4. Закони за разпределение на непрекъсната случайна величина
1.4.1. Равномерно разпределение
Непрекъсната случайна променлива Xима равномерно разпределение на сегмента [ а,б], ако на този сегмент плътността на разпределение на вероятностите на случайната променлива е постоянна, а извън него е равна на нула, т.е.
ориз. 4.
; 
; 
.
Пример 1.27.Автобус по определен маршрут се движи равномерно на интервали от 5 минути. Намерете вероятността една равномерно разпределена случайна променлива X– времето за изчакване на автобуса ще бъде по-малко от 3 минути.
Решение:Случайна променлива X– равномерно разпределени в интервала .
Плътност на вероятността: 
.
За да не надвишава времето за изчакване 3 минути, пътникът трябва да се яви на спирката в рамките на 2 до 5 минути след тръгването на предишния автобус, т.е. случайна променлива Xтрябва да попада в интервала (2;5). това. необходима вероятност:
Задачи за самостоятелна работа:
1. а) намерете математическото очакване на случайна променлива Xразпределени равномерно в интервала (2;8);
б) намерете дисперсията и стандартното отклонение на случайната променлива X,разпределени равномерно в интервала (2;8).
2. Минутната стрелка на електрическия часовник се премества рязко в края на всяка минута. Намерете вероятността в даден момент часовникът да показва време, което се различава от истинското с не повече от 20 секунди.
1.4.2. Експоненциално разпределение
Непрекъсната случайна променлива Xсе разпределя по експоненциалния закон, ако неговата плътност на вероятността има формата:
където е параметърът на експоненциалното разпределение.
Така 
ориз. 5.
Числени характеристики:
Пример 1.28.Случайна променлива X– време на работа на електрическа крушка – има експоненциално разпределение. Определете вероятността времето на работа на електрическата крушка да бъде най-малко 600 часа, ако средното време на работа е 400 часа.
Решение:Според условията на задачата математическото очакване на случайна променлива Xсе равнява на 400 часа, следователно:
; 
Необходимата вероятност, където
Накрая:
Задачи за самостоятелна работа:
1. Напишете функцията на плътност и разпределение на експоненциалния закон, ако параметърът .
2. Случайна променлива X
Намерете математическото очакване и дисперсията на количество X.
3. Случайна променлива Xсе дава от функцията на разпределение на вероятностите:
Намерете математическото очакване и стандартното отклонение на случайна променлива.
1.4.3. Нормално разпределение
нормалносе нарича вероятностно разпределение на непрекъсната случайна променлива X, чиято плътност има формата:
Къде А– математическо очакване, – стандартно отклонение X.
Вероятността, че Xще приеме стойност, принадлежаща на интервала:
, Къде
– Функция на Лаплас.
Разпределение, за което ; , т.е. с плътност на вероятността 
наречен стандартен.
ориз. 6.
Вероятност абсолютната стойност да бъде отхвърлена по-малко от положително число:
.
По-специално, когато а= 0 равенството е вярно:
Пример 1.29.Случайна променлива Xнормално разпределени. Стандартно отклонение. Намерете вероятността отклонението на случайна променлива от нейното математическо очакване по абсолютна стойност да бъде по-малко от 0,3.
Решение: .
Задачи за самостоятелна работа:
1. Напишете плътността на вероятността на нормалното разпределение на случайната променлива X, знаейки това M(x)= 3, D(x)= 16.
2. Очакване и стандартно отклонение на нормално разпределена случайна променлива Xсъответно равни на 20 и 5. Намерете вероятността в резултат на теста Xще приеме стойността, съдържаща се в интервала (15;20).
3. Случайните грешки при измерване са предмет на нормалния закон със стандартно отклонение mm и математическо очакване а= 0. Намерете вероятността от 3 независими измервания грешката на поне едно да не надвишава 4 mm по абсолютна стойност.
4. Определено вещество се претегля без систематични грешки. Случайните грешки при претеглянето се подчиняват на нормалния закон със стандартно отклонение r. Намерете вероятността претеглянето да бъде извършено с грешка, която не надвишава 10 g по абсолютна стойност.
Очакване
дисперсиянепрекъсната случайна променлива X, чиито възможни стойности принадлежат на цялата ос Ox, се определя от равенството: 
Цел на услугата. Онлайн калкулаторът е предназначен за решаване на задачи, в които или плътност на разпространение f(x) или функция на разпределение F(x) (вижте примера). Обикновено в такива задачи трябва да намерите математическо очакване, стандартно отклонение, графики на функции f(x) и F(x).
Инструкции. Изберете типа на изходните данни: плътност на разпределение f(x) или функция на разпределение F(x).
Плътността на разпределение f(x) е дадена: 
Функцията на разпределение F(x) е дадена: 
Непрекъсната случайна променлива се определя от плътност на вероятността 
(Закон за разпределение на Релей - използва се в радиотехниката). Намерете M(x) , D(x) .
Извиква се случайната променлива X непрекъснато
, ако неговата функция на разпределение F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
Функцията на разпределение на непрекъсната случайна променлива се използва за изчисляване на вероятността случайна променлива да попадне в даден интервал:
P(α< X < β)=F(β) - F(α)
Освен това за непрекъсната случайна променлива няма значение дали нейните граници са включени в този интервал или не:
P(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Плътност на разпространение
непрекъсната случайна променлива се нарича функция
f(x)=F’(x) , производна на функцията на разпределение.
Свойства на плътността на разпределение
1. Плътността на разпределение на случайната променлива е неотрицателна (f(x) ≥ 0) за всички стойности на x.2. Условие за нормализиране:
Геометричният смисъл на условието за нормализиране: площта под кривата на плътността на разпределението е равна на единица.
3. Вероятността случайна променлива X да попадне в интервала от α до β може да се изчисли по формулата
Геометрично, вероятността непрекъсната случайна променлива X да попадне в интервала (α, β) е равна на площта на криволинейния трапец под кривата на плътността на разпределението, базирана на този интервал.
4. Функцията на разпределение се изразява по отношение на плътността, както следва:
Стойността на плътността на разпределението в точка x не е равна на вероятността да приемем тази стойност; за непрекъсната случайна променлива можем да говорим само за вероятността да попаднем в даден интервал. нека)