В тази статия ще разгледаме начини за определяне на разстоянието от точка до точка теоретично и с помощта на примера на конкретни проблеми. Като начало нека въведем някои дефиниции.
Определение 1
Разстояние между точкитее дължината на отсечката, която ги свързва, в съществуващия мащаб. Необходимо е да се зададе мащаб, за да има единица дължина за измерване. Следователно основно проблемът за намиране на разстоянието между точките се решава чрез използване на техните координати на координатна линия, в координатна равнина или триизмерно пространство.
Изходни данни: координатна права O x и произволна точка A, лежаща върху нея. Всяка точка от правата има едно нещо реално число: нека за точка А това е определено число x A,това е и координатата на точка А.
Като цяло можем да кажем, че дължината на определен сегмент се оценява в сравнение с сегмент, взет като единица дължина в дадена скала.
Ако точка A съответства на цяло реално число, като отлагаме последователно от точка O до точка по правата O A сегменти - единици за дължина, можем да определим дължината на сегмента O A от общия брой заделени единични сегменти.
Например точка А съответства на числото 3 - за да стигнете до нея от точка О, ще трябва да оставите три единични сегмента. Ако точка А има координата - 4 – единични сегментисе отлагат по подобен начин, но в различна, негативна посока. Така в първия случай разстоянието O A е равно на 3; във втория случай O A = 4.
Ако точка А има за своя координата рационално число, след това от началото (точка O) отделяме цял брой единични отсечки и след това необходимата му част. Но геометрично не винаги е възможно да се направи измерване. Например, изглежда трудно да се начертае фракцията 4 111 върху координатната права.
Използвайки горния метод, е напълно невъзможно да се начертае ирационално число върху права линия. Например, когато координатата на точка А е 11. В този случай е възможно да се обърнем към абстракцията: ако дадената координата на точка А е по-голяма от нула, тогава O A = x A (числото се приема като разстояние); ако координатата е по-малка от нула, тогава O A = - x A . Като цяло тези твърдения са верни за всяко реално число x A.
За да обобщим: разстоянието от началото до точката, която съответства на реално число на координатната права, е равно на:
- 0, ако точката съвпада с началото;
- x A, ако x A > 0;
- - x A, ако x A< 0 .
В този случай е очевидно, че дължината на самия сегмент не може да бъде отрицателна, следователно, използвайки знака за модул, ние записваме разстоянието от точка O до точка A с координатата xA: O A = x A
Следното твърдение ще бъде вярно: разстоянието от една точка до друга ще бъде равно на модула на координатната разлика.Тези. за точки A и B, лежащи на една и съща координатна линия за всяко местоположение и имащи съответни координати xAИ x B: A B = x B - x A.
Изходни данни: точки A и B, лежащи на равнина в правоъгълна координатна система O x y с дадени координати: A (x A, y A) и B (x B, y B).
Нека начертаем перпендикуляри през точки A и B към координатните оси O x и O y и в резултат да получим проекционните точки: A x, A y, B x, B y. Въз основа на местоположението на точки A и B са възможни следните опции:
Ако точките А и В съвпадат, то разстоянието между тях е нула;
Ако точки A и B лежат на права линия, перпендикулярна на оста O x (ос на абсцисата), тогава точките съвпадат и | A B | = | A y B y | . Тъй като разстоянието между точките е равно на модула на разликата на техните координати, тогава A y B y = y B - y A и следователно A B = A y B y = y B - y A.
Ако точки A и B лежат на права линия, перпендикулярна на оста O y (ординатна ос) - по аналогия с предходния параграф: A B = A x B x = x B - x A
Ако точките A и B не лежат на права линия, перпендикулярна на една от координатните оси, ще намерим разстоянието между тях, като изведем формулата за изчисление:
Виждаме, че триъгълник A B C е правоъгълен по конструкция. В този случай A C = A x B x и B C = A y B y. Използвайки Питагоровата теорема, създаваме равенството: A B 2 = A C 2 + B C 2 ⇔ A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 и след това го трансформираме: A B = A x B x 2 + A y B y 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2
Нека направим заключение от получения резултат: разстоянието от точка А до точка В на равнината се определя чрез изчисление по формулата, използвайки координатите на тези точки
A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2
Получената формула също потвърждава предварително формирани твърдения за случаи на съвпадение на точки или ситуации, когато точките лежат на прави линии, перпендикулярни на осите. Така че, ако точки A и B съвпадат, ще бъде вярно следното равенство: A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + 0 2 = 0
За ситуация, в която точки A и B лежат на права линия, перпендикулярна на оста x:
A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + (y B - y A) 2 = y B - y A
За случая, когато точки A и B лежат на права линия, перпендикулярна на ординатната ос:
A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = (x B - x A) 2 + 0 2 = x B - x A
Изходни данни: правоъгълна координатна система O x y z с лежащи върху нея произволни точки с дадени координати A (x A, y A, z A) и B (x B, y B, z B). Необходимо е да се определи разстоянието между тези точки.
Нека разгледаме общия случай, когато точките A и B не лежат в равнина, успоредна на една от координатните равнини. Нека начертаем равнини, перпендикулярни на координатните оси през точки A и B и да получим съответните проекционни точки: A x , A y , A z , B x , B y , B z
Разстоянието между точките A и B е диагоналът на получения паралелепипед. Според конструкцията на измерванията на този паралелепипед: A x B x , A y B y и A z B z
От курса по геометрия знаем, че квадратът на диагонала на паралелепипед е равен на сумата от квадратите на неговите размери. Въз основа на това твърдение получаваме равенството: A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2
Използвайки изводите, получени по-рано, пишем следното:
A x B x = x B - x A, A y B y = y B - y A, A z B z = z B - z A
Нека трансформираме израза:
A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 + z B - z A 2 = = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 + z B - z A 2
Окончателно формула за определяне на разстоянието между точките в пространствотоще изглежда така:
A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2
Получената формула е валидна и за случаите, когато:
Точките съвпадат;
Те лежат на една координатна ос или права линия, успоредна на една от координатните оси.
Примери за решаване на задачи за намиране на разстоянието между точките
Пример 1Изходни данни: дадени са координатна права и лежащи върху нея точки с дадени координати A (1 - 2) и B (11 + 2). Необходимо е да се намери разстоянието от началната точка O до точка A и между точките A и B.
Решение
- Разстоянието от референтната точка до точката е равно на модула на координатата на тази точка, съответно O A = 1 - 2 = 2 - 1
- Определяме разстоянието между точките A и B като модула на разликата между координатите на тези точки: A B = 11 + 2 - (1 - 2) = 10 + 2 2
Отговор: O A = 2 - 1, A B = 10 + 2 2
Пример 2
Изходни данни: дадени са правоъгълна координатна система и две точки, лежащи върху нея A (1, - 1) и B (λ + 1, 3). λ е някакво реално число. Необходимо е да се намерят всички стойности на това число, при които разстоянието A B ще бъде равно на 5.
Решение
За да намерите разстоянието между точките A и B, трябва да използвате формулата A B = (x B - x A) 2 + y B - y A 2
Замествайки реалните стойности на координатите, получаваме: A B = (λ + 1 - 1) 2 + (3 - (- 1)) 2 = λ 2 + 16
Ние също използваме съществуващото условие, че A B = 5 и тогава ще бъде истинско равенство:
λ 2 + 16 = 5 λ 2 + 16 = 25 λ = ± 3
Отговор: A B = 5, ако λ = ± 3.
Пример 3
Изходни данни: зададено е тримерно пространство в правоъгълната координатна система O x y z и лежащите в нея точки A (1, 2, 3) и B - 7, - 2, 4.
Решение
За да разрешим задачата, използваме формулата A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2
Замествайки реалните стойности, получаваме: A B = (- 7 - 1) 2 + (- 2 - 2) 2 + (4 - 3) 2 = 81 = 9
Отговор: | A B | = 9
Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter
С помощта на координати се определя местоположението на обект върху земното кълбо. Координатите са обозначени с географска ширина и дължина. Географските ширини се измерват от линията на екватора от двете страни. В Северното полукълбо географските ширини са положителни, в Южното полукълбо– отрицателен. Географската дължина се измерва от началния меридиан или на изток, или на запад, съответно се получава или източна, или западна дължина.Според общоприетата позиция за начален меридиан се приема този, който минава през старата обсерватория Гринуич в Гринуич. Географските координати на местоположението могат да бъдат получени с помощта на GPS навигатор. Това устройство приема сигнали от системата за сателитно позициониране в единната за целия свят координатна система WGS-84.
Моделите Navigator се различават по производител, функционалност и интерфейс. В момента в някои модели мобилни телефони се предлагат и вградени GPS навигатори. Но всеки модел може да записва и запазва координатите на точка.
Разстояние между GPS координати
За решаване на практически и теоретични проблеми в някои индустрии е необходимо да можете да определяте разстоянията между точките по техните координати. Има няколко начина, по които можете да направите това. Канонична форма на представяне географски координати: градуси, минути, секунди.Например, можете да определите разстоянието между следните координати: точка № 1 - ширина 55°45′07″ с.ш., дължина 37°36′56″ из.д.; точка № 2 - ширина 58°00′02″ с.ш., дължина 102°39′42″ из.д.
Най-лесният начин е да използвате калкулатор, за да изчислите дължината между две точки. В търсачката на браузъра трябва да зададете следните параметриза търсене: онлайн за изчисляване на разстоянието между две координати. В онлайн калкулатора стойностите на географската ширина и дължина се въвеждат в полетата за заявка за първата и втората координата. При изчисляването онлайн калкулаторът даде резултат - 3 800 619 m.
Следващият метод е по-трудоемък, но и по-визуален. Трябва да използвате всяка налична програма за картографиране или навигация. Програмите, в които можете да създавате точки с помощта на координати и да измервате разстояния между тях, включват следните приложения: BaseCamp (модерен аналог на програмата MapSource), Google Earth, SAS.Planet.
Всички горепосочени програми са достъпни за всеки потребител на мрежата. Например, за да изчислите разстоянието между две координати в Google Earth, трябва да създадете два етикета, указващи координатите на първата точка и втората точка. След това, като използвате инструмента „Линийка“, трябва да свържете първата и втората маркировка с линия, програмата автоматично ще покаже резултата от измерването и ще покаже пътя на сателитна снимкаЗемята.
В случая с примера, даден по-горе, програмата Google Earth върна резултата - дължината на разстоянието между точка № 1 и точка № 2 е 3 817 353 m.
Защо има грешка при определяне на разстоянието
Всички изчисления на разстоянието между координатите се основават на изчисляването на дължината на дъгата. Радиусът на Земята участва в изчисляването на дължината на дъгата. Но тъй като формата на Земята е близка до сплескан елипсоид, радиусът на Земята варира в определени точки. За изчисляване на разстоянието между координатите се взема средната стойност на радиуса на Земята, което дава грешка при измерването. Колкото по-голямо е измереното разстояние, толкова по-голяма е грешката.Теорема 1. За всеки две точки и равнина разстоянието между тях се изразява по формулата:
Например, ако са дадени точки и , тогава разстоянието между тях е:
2. Площ на триъгълник.
Теорема 2.
За всякакви точки
не лежи на една и съща права линия, площта на триъгълника се изразява по формулата:
Например, нека намерим площта на триъгълника, образуван от точките и.
Коментирайте.Ако площта на триъгълник е нула, това означава, че точките лежат на една и съща линия.
3. Деление на отсечка в дадено отношение.
Нека произволен сегмент е даден на равнината и нека
– всяка точка от този сегмент, различна от крайните точки. Числото, определено от равенството, се нарича отношение,при която точката разделя отсечката.
Проблемът с разделянето на сегмент в дадена релация е, че за дадена релация и дадени координати на точки
и намерете координатите на точката.
Теорема 3.
Ако точка дели отсечка
относно
,
тогава координатите на тази точка се определят по формулите: 
(1.3), където са координатите на точката, и са координатите на точката.
Последица: Ако е средата на отсечката
, където и, тогава (1.4) (тъй като).
например. Дават се точки и . Намерете координатите на точка, която е два пъти по-близо до, отколкото до
Решение: Търсената точка разделя отсечката
във връзка с тъй като 
, Тогава 
,
, получени
Полярни координати
Най-важна след правоъгълната координатна система е полярната координатна система. Състои се от определена точка т.нар полюс, и лъчът, излъчван от него - полярна ос. Допълнително е зададена скалната единица за измерване на дължините на сегментите. 
Нека е дадена полярна координатна система и нека е произволна точка на равнината. Нека е разстоянието от точката
до точката ; – ъгълът, на който полярната ос трябва да се завърти, за да се изравни с лъча.
Полярни координати на точкасе наричат числа. В този случай номерът се счита за първа координата и се извиква полярен радиус, числото е втората координата и се извиква полярен ъгъл.
Означава се с . Полярният радиус може да има всякаква неотрицателна стойност:. Обикновено се смята, че полярният ъгъл варира в следните граници:. В някои случаи обаче е необходимо да се определят ъгли, измерени от полярната ос по посока на часовниковата стрелка.
Връзката между полярните координати на точка и нейните правоъгълни координати.
Ще приемем, че началото на правоъгълната координатна система е на полюса, а положителната полуос на абсцисата съвпада с полярната ос. 
Нека – в правоъгълна координатна система и – в полярна координатна система. Дефиниран – правоъгълен триъгълник c. Тогава (1.5). Тези формули изразяват правоъгълни координати чрез полярни.
От друга страна, според Питагоровата теорема и
(1.6) – тези формули изразяват полярните координати чрез правоъгълни.
Имайте предвид, че формулата определя две стойности на полярния ъгъл, тъй като. От тези две стойности на ъгъла изберете този, при който равенствата са изпълнени.
Например, нека намерим полярните координати на точката ..или, защото I четвърт.
Пример 1:Намерете точка симетрична точка 
Спрямо ъглополовящата на първия координатен ъгъл.
Решение:
Нека начертаем през точката Адиректен л 1, перпендикулярна на ъглополовящата лпърви координатен ъгъл. Нека . На права линия л 1 оставете сегмента настрана SA 1 , равен на сегмента AC.Прави триъгълници ASOИ А 1 COравни една на друга (от две страни). От това следва, че | ОА| = |О.А. 1 |. Триъгълници ADOИ OEA 1 също са равни помежду си (по хипотенуза и остър ъгъл). Ние заключаваме, че |АД| = |OE| = 4,|OD| = |EA 1 | = 2, т.е. точката има координати x = 4, y = -2,тези. А 1 (4;-2).
Имайте предвид, че има общо твърдение: точка А 1, симетрична на точката спрямо ъглополовящата на първия и третия координатен ъгъл, има координати, т.е .
Пример 2:Намерете точката, в която права, минаваща през точките и , ще пресече оста о
Решение:
Координати на желаната точка СЪСима ( х; 0). И тъй като точките А,INИ СЪСлежат на една и съща права линия, тогава условието трябва да е изпълнено (x 2 -x 1 )(г 3 -y 1 )-(x 3 -x 1 )(г 2 -y 1 ) = 0 (формула (1.2), площ на триъгълника ABCравно на нула!), където са координатите на точката А, – точки IN, – точки СЪС. Получаваме, т.е. , . Следователно точката СЪСима координати ,, т.е.
Пример 3:В полярната координатна система са дадени точки. намирам: а)разстояние между точки и ; б) площта на триъгълника ОМ 1 М 2 (ЗА– стълб).
Решение:
а) Нека използваме формули (1.1) и (1.5):
тоест .
б) използвайки формулата за площта на триъгълник със страни АИ bи ъгъла между тях (), намираме площта на триъгълника ОМ 1 М 2 . .
Разстояние от точка до точкае дължината на отсечката, свързваща тези точки в дадена скала. Следователно, когато става въпрос за измерване на разстояние, трябва да знаете мащаба (единица за дължина), в който ще бъдат направени измерванията. Следователно проблемът за намиране на разстоянието от точка до точка обикновено се разглежда или на координатна линия, или в правоъгълна декартова координатна система на равнина или в триизмерно пространство. С други думи, най-често трябва да изчислявате разстоянието между точките, като използвате техните координати.
В тази статия първо ще си припомним как се определя разстоянието от точка до точка на координатна линия. След това ще получим формули за изчисляване на разстоянието между две точки от равнина или пространство по дадени координати. В заключение ще разгледаме подробно решенията типични примерии задачи.
Навигация в страницата.
Разстоянието между две точки на координатна права.
Нека първо дефинираме нотацията. Ще обозначим разстоянието от точка A до точка B като .
От това можем да заключим, че разстоянието от точка А с координата до точка В с координата е равно на модула на разликата в координатите, тоест 
за всяко местоположение на точки на координатната линия.
Разстояние от точка до точка на равнина, формула.
Получаваме формула за изчисляване на разстоянието между точки и дадени в правоъгълна декартова координатна система на равнина.
В зависимост от разположението на точки А и Б са възможни следните варианти.
Ако точките А и В съвпадат, то разстоянието между тях е нула.
Ако точки A и B лежат на права линия, перпендикулярна на абсцисната ос, тогава точките съвпадат и разстоянието е равно на разстоянието . В предишния параграф открихме, че разстоянието между две точки на координатна линия е равно на модула на разликата между техните координати, следователно, 
. Следователно, .
По същия начин, ако точки A и B лежат на права линия, перпендикулярна на ординатната ос, тогава разстоянието от точка A до точка B се намира като .
В този случай триъгълникът ABC е правоъгълен по конструкция и 
И . от Питагорова теоремаможем да запишем равенството, откъдето .
Нека обобщим всички получени резултати: разстоянието от точка до точка на равнина се намира чрез координатите на точките по формулата 
.
Получената формула за намиране на разстоянието между точките може да се използва, когато точките A и B съвпадат или лежат на права линия, перпендикулярна на една от координатните оси. Наистина, ако A и B съвпадат, тогава . Ако точки A и B лежат на права линия, перпендикулярна на оста Ox, тогава. Ако A и B лежат на права линия, перпендикулярна на оста Oy, тогава .
Разстояние между точките в пространството, формула.
Нека въведем правоъгълна координатна система Oxyz в пространството. Нека получим формула за намиране на разстоянието от точка 
до точката 
.
По принцип точките A и B не лежат в равнина, успоредна на една от координатните равнини. Нека начертаем през точки A и B равнини, перпендикулярни на координатните оси Ox, Oy и Oz. Пресечните точки на тези равнини с координатните оси ще ни дадат проекции на точки A и B върху тези оси. Означаваме проекциите 
.
Необходимото разстояние между точките A и B е диагоналът на правоъгълния паралелепипед, показан на фигурата. По конструкция размерите на този паралелепипед са равни 
И . В курса по геометрия гимназияДоказано е, че квадратът на диагонала на правоъгълен паралелепипед е равен на сумата от квадратите на неговите три измерения, следователно, . Въз основа на информацията в първия раздел на тази статия можем да напишем следните равенства, следователно,
откъде да го вземем формула за намиране на разстоянието между точките в пространството .
Тази формула е валидна и ако точки A и B
- мач;
- принадлежат към една от координатните оси или права, успоредна на една от координатните оси;
- принадлежат на една от координатните равнини или равнина, успоредна на една от координатните равнини.
Намиране на разстоянието от точка до точка, примери и решения.
И така, получихме формули за намиране на разстоянието между две точки на координатна линия, равнина и триизмерно пространство. Време е да разгледаме решенията на типични примери.
Броят на задачите, в които последната стъпка е да се намери разстоянието между две точки според техните координати, е наистина огромен. Пълният преглед на такива примери е извън обхвата на тази статия. Тук ще се ограничим до примери, в които са известни координатите на две точки и е необходимо да се изчисли разстоянието между тях.
Математика
§2. Координати на точка от равнината
3. Разстояние между две точки.
Вие и аз вече можем да говорим за точки на езика на числата. Например, вече няма нужда да обясняваме: вземете точка, която е три единици вдясно от оста и пет единици под оста. Достатъчно е да кажете просто: приемете точката.
Вече казахме, че това създава определени предимства. Така можем да предадем чертеж, съставен от точки, по телеграфа и да го съобщим на компютър, който изобщо не разбира рисунки, но разбира числата добре.
В предишния параграф дефинирахме някои набори от точки в равнината, използвайки връзки между числа. Сега нека се опитаме последователно да преведем други геометрични понятияи факти.
Ще започнем с проста и обичайна задача.
Намерете разстоянието между две точки на равнината.
Решение:
Както винаги, приемаме, че точките са дадени с техните координати, а след това нашата задача е да намерим правило, по което можем да изчислим разстоянието между точките, знаейки техните координати. При извеждането на това правило, разбира се, е позволено да се прибегне до чертеж, но самото правило не трябва да съдържа препратки към чертежа, а трябва само да показва какви действия и в какъв ред трябва да се извършат върху дадените числа - координатите на точките - за да се получи желаното число - разстоянието между точките.
Може би някои читатели ще намерят този подход за решаване на проблема странен и пресилен. Това, което е по-просто, ще кажат те, точките се дават дори по координати. Начертайте тези точки, вземете линийка и измерете разстоянието между тях.
Този метод понякога не е толкова лош. Въпреки това, представете си отново, че имате работа с компютър. Тя няма линийка и не рисува, но може да брои толкова бързо, че това изобщо не е проблем за нея. Имайте предвид, че нашият проблем е формулиран така, че правилото за изчисляване на разстоянието между две точки се състои от команди, които могат да бъдат изпълнени от машина.
По-добре е първо да се реши поставената задача за специалния случай, когато една от тези точки лежи в началото на координатите. Започнете с няколко числени примери: намерете разстоянието от началото на точките; И .
Забележка. Използвайте Питагоровата теорема.
Сега напишете обща формула за изчисляване на разстоянието на точка от началото.
Разстоянието на точка от началото се определя по формулата:
Очевидно правилото, изразено с тази формула, удовлетворява посочените по-горе условия. По-специално, може да се използва при изчисления на машини, които могат да умножават числа, да ги събират и да извличат квадратни корени.
Сега нека решим общия проблем
Дадени са две точки на равнина, намерете разстоянието между тях.
Решение:
Нека означим с , , , проекциите на точки и върху координатните оси.
Нека означим пресечната точка на линиите с буквата . от правоъгълен триъгълникИзползвайки теоремата на Питагор получаваме:
Но дължината на отсечката е равна на дължината на отсечката. Точките и лежат на оста и имат координати и съответно. Съгласно формулата, получена в параграф 3 на параграф 2, разстоянието между тях е равно на .
Като се аргументираме по подобен начин, намираме, че дължината на сегмента е равна на . Замествайки намерените стойности и във формулата, която получаваме.