Площите на геометричните фигури са числени стойности, характеризиращи техния размер в двумерно пространство. Тази стойност може да бъде измерена в системни и несистемни единици. Така, например, несистемна единица площ е стотна, хектар. Такъв е случаят, ако повърхността, която се измерва, е парче земя. Системната единица за площ е квадратът на дължината. В системата SI единицата за плоска повърхност е квадратен метър. В GHS единицата за площ се изразява като квадратен сантиметър.
Формулите за геометрия и площ са неразривно свързани. Тази връзка се състои в това, че изчисляването на площите на равнинните фигури се основава именно на тяхното приложение. За много фигури се извличат няколко опции, от които се изчисляват техните квадратни размери. Въз основа на данните от условията на проблема можем да определим най-простото възможно решение. Това ще улесни изчислението и ще намали до минимум вероятността от грешки в изчисленията. За да направите това, помислете за основните области на фигурите в геометрията.
Формулите за намиране на площта на всеки триъгълник са представени в няколко варианта:
1) Площта на триъгълник се изчислява от основата a и височината h. За основа се счита страната на фигурата, върху която се спуска височината. Тогава площта на триъгълника е:
2) Площта на правоъгълен триъгълник се изчислява по същия начин, ако хипотенузата се счита за основа. Ако вземем крака като основа, тогава площта на правоъгълния триъгълник ще бъде равна на произведението на краката наполовина.
Формулите за изчисляване на площта на всеки триъгълник не свършват дотук. Друг израз съдържа страните a,b и синусоидалната функция на ъгъла γ между a и b. Стойността на синуса се намира в таблиците. Можете също да го намерите с помощта на калкулатор. Тогава площта на триъгълника е:
Използвайки това равенство, можете също да проверите, че площта на правоъгълен триъгълник се определя чрез дължините на краката. защото ъгъл γ е прав ъгъл, така че площта на правоъгълен триъгълник се изчислява без умножаване по функцията синус.
3) Да разгледаме частен случай - правилен триъгълник, чиято страна a е известна по условие или дължината му може да бъде намерена при решаване. Нищо повече не се знае за фигурата в геометричната задача. Тогава как да намерим площта при това условие? В този случай се прилага формулата за площта на правилен триъгълник:
Правоъгълник
Как да намерим площта на правоъгълник и да използваме размерите на страните, които имат общ връх? Изразът за изчисление е:
Ако трябва да използвате дължините на диагоналите, за да изчислите площта на правоъгълник, тогава ще ви трябва функция на синуса на ъгъла, образуван при пресичането им. Тази формула за площта на правоъгълник е:
Квадрат
Площта на квадрат се определя като втора степен на дължината на страната:
Доказателството следва от определението, че квадратът е правоъгълник. Всички страни, които образуват квадрат, имат еднакви размери. Следователно изчисляването на площта на такъв правоъгълник се свежда до умножаване един по друг, т.е. до втората степен на страната. И формулата за изчисляване на площта на квадрат ще приеме желаната форма.
Площта на квадрат може да се намери по друг начин, например, ако използвате диагонала:
Как да изчислим площта на фигура, която е образувана от част от равнина, ограничена от кръг? За да изчислите площта, формулите са:
Успоредник
За успоредник формулата съдържа линейните размери на страната, височината и математическата операция - умножение. Ако височината е неизвестна, тогава как да намерите площта на паралелограма? Има и друг начин за изчисляване. Ще бъде необходима определена стойност, която ще бъде взета от тригонометричната функция на ъгъла, образуван от съседните страни, както и тяхната дължина.
Формулите за площта на успоредник са:
Ромб
Как да намерим площта на четириъгълник, наречен ромб? Площта на ромба се определя с помощта на проста математика с диагонали. Доказателството се основава на факта, че диагоналните отсечки в d1 и d2 се пресичат под прав ъгъл. Таблицата на синусите показва, че за прав ъгъл тази функция е равна на единица. Следователно площта на ромба се изчислява, както следва:
Площта на ромба може да се намери и по друг начин. Това също не е трудно за доказване, като се има предвид, че страните му са еднакви по дължина. След това заменете техния продукт в подобен израз за успоредник. В края на краищата, специален случай на тази конкретна фигура е ромб. Тук γ е вътрешният ъгъл на ромба. Площта на ромба се определя, както следва:
Трапец
Как да намерим площта на трапец през основите (a и b), ако задачата показва техните дължини? Тук, без известна стойност на дължината на височината h, няма да е възможно да се изчисли площта на такъв трапец. защото тази стойност съдържа израза за изчисление:
Квадратният размер на правоъгълен трапец също може да се изчисли по същия начин. Взема се предвид, че в правоъгълен трапец се комбинират понятията височина и страна. Следователно, за правоъгълен трапец, трябва да посочите дължината на страничната страна вместо височината.
Цилиндър и паралелепипед
Нека разгледаме какво е необходимо за изчисляване на повърхността на целия цилиндър. Площта на тази фигура е двойка кръгове, наречени основи и странична повърхност. Окръжностите, образуващи окръжности, имат дължини на радиуса, равни на r. За площта на цилиндър се извършва следното изчисление:
Как да намерим площта на паралелепипед, който се състои от три чифта лица? Размерите му отговарят на конкретния чифт. Противоположните лица имат еднакви параметри. Първо, намерете S(1), S(2), S(3) - квадратните размери на неравните лица. Тогава повърхността на паралелепипеда е:
Пръстен
Две окръжности с общ център образуват пръстен. Те също така ограничават площта на пръстена. В този случай и двете формули за изчисление вземат предвид размерите на всеки кръг. Първият от тях, изчисляващ площта на пръстена, съдържа по-големия R и по-малкия r радиус. По-често те се наричат външни и вътрешни. Във втория израз площта на пръстена се изчислява чрез по-големия D и по-малкия d диаметър. По този начин площта на пръстена въз основа на известни радиуси се изчислява, както следва:
Площта на пръстена, използвайки дължините на диаметрите, се определя, както следва:
Многоъгълник
Как да намерим площта на многоъгълник, чиято форма не е правилна? Няма обща формула за площта на такива фигури. Но ако е изобразен на координатна равнина, например може да е карирана хартия, тогава как да намерим повърхността в този случай? Тук те използват метод, който не изисква приблизително измерване на фигурата. Те правят това: ако намерят точки, които попадат в ъгъла на клетката или имат цели координати, тогава само те се вземат предвид. За да разберете каква е площта, използвайте формулата, доказана от Peake. Необходимо е да добавите броя на точките, разположени вътре в прекъснатата линия с половината точки, лежащи върху нея, и да извадите една, т.е. изчислява се по следния начин:
където B, G - броят на точките, разположени съответно вътре и на цялата прекъсната линия.
Ако планирате сами да извършите ремонта, тогава ще трябва да направите оценка за строителни и довършителни материали. За да направите това, ще трябва да изчислите площта на стаята, в която планирате да извършите ремонтни работи. Основният помощник в това е специално разработената формула. Площта на стаята, а именно нейното изчисление, ще ви позволи да спестите много пари за строителни материали и да насочите освободените финансови ресурси в по-подходяща посока.
Геометрична форма на стаята
Формулата за изчисляване на площта на стаята директно зависи от нейната форма. Най-типичните за жилищните сгради са правоъгълните и квадратните помещения. Въпреки това, по време на преустройството стандартната форма може да бъде изкривена. Стаите са:
- Правоъгълна.
- Квадрат.
- Сложна конфигурация (например кръгла).
- С ниши и издатини.
Всеки от тях има свои собствени характеристики на изчисление, но като правило се използва една и съща формула. Площта на стая с всякаква форма и размер, по един или друг начин, може да бъде изчислена.
Правоъгълна или квадратна стая
За да изчислите площта на правоъгълна или квадратна стая, просто си спомнете уроците по геометрия в училище. Следователно не трябва да ви е трудно да определите площта на стаята. Формулата за изчисление изглежда така:
S стаи=A*B, където
А е дължината на стаята.
B е ширината на стаята.
За да измерите тези стойности, ще ви трябва обикновена рулетка. За да получите най-точните изчисления, струва си да измерите стената от двете страни. Ако стойностите не съвпадат, вземете средната стойност на получените данни като основа. Но не забравяйте, че всички изчисления имат свои собствени грешки, така че материалът трябва да бъде закупен с резерв.
Помещение със сложна конфигурация
Ако вашата стая не отговаря на определението „типична“, т.е. има формата на кръг, триъгълник, многоъгълник, тогава може да се нуждаете от различна формула за изчисления. Можете да опитате грубо да разделите площта на стая с тази характеристика на правоъгълни елементи и да направите изчисления по стандартен начин. Ако нямате тази възможност, използвайте следните методи:
- Формула за намиране на площта на кръг:
S стая=π*R 2, където
R е радиусът на помещението.
- Формула за намиране на площта на триъгълник:
S стая = √ (P(P - A) x (P - B) x (P - C)), където
P е полупериметърът на триъгълника.
A, B, C са дължините на страните му.
Следователно P=A+B+C/2
Ако имате някакви затруднения по време на процеса на изчисление, тогава е по-добре да не се измъчвате и да се обърнете към професионалисти.
Площ на стаята с издатини и ниши
Често стените са украсени с декоративни елементи под формата на различни ниши или издатини. Освен това тяхното присъствие може да се дължи на необходимостта да скриете някои неестетични елементи от стаята си. Наличието на первази или ниши на вашата стена означава, че изчислението трябва да се извършва на етапи. Тези. Първо се намира площта на плоска част от стената и след това към нея се добавя площта на нишата или издатината.
Площта на стената се намира по формулата:
S стени = P x C, където
P - периметър
C - височина
Също така трябва да вземете предвид наличието на прозорци и врати. Тяхната площ трябва да се извади от получената стойност.
Стая с таван на няколко нива
Многостепенният таван не усложнява изчисленията толкова, колкото изглежда на пръв поглед. Ако има прост дизайн, тогава изчисленията могат да се правят въз основа на принципа на намиране на площта на стените, усложнена от ниши и издатини.
Въпреки това, ако вашият дизайн на тавана има дъгообразни и вълнообразни елементи, тогава е по-подходящо да определите площта му с помощта на площта на пода. За да направите това ви трябва:
- Намерете размерите на всички прави участъци от стени.
- Намерете площта на пода.
- Умножете дължината и височината на вертикалните секции.
- Сумирайте получената стойност с площта на пода.
Инструкции стъпка по стъпка за определяне на общ
площ на помещението
- Освободете стаята от ненужни неща. По време на процеса на измерване ще ви е необходим свободен достъп до всички части на стаята ви, така че трябва да се отървете от всичко, което може да попречи на това.
- Визуално разделете стаята на зони с правилна и неправилна форма. Ако стаята ви има строго квадратна или правоъгълна форма, тогава можете да пропуснете тази стъпка.
- Направете произволно оформление на стаята. Този чертеж е необходим, така че всички данни да са винаги под ръка. Освен това няма да ви даде възможност да се объркате в многобройни измервания.
- Измерванията трябва да се правят няколко пъти. Това е важно правило за избягване на грешки в изчисленията. Освен това, ако го използвате, уверете се, че лъчът лежи равномерно върху повърхността на стената.
- Намерете общата площ на стаята. Формулата за общата площ на стаята е да се намери сумата от всички площи на отделните секции на стаята. Тези. S общо = S стени+S под+S таван
Площ на геометрична фигура- числена характеристика на геометрична фигура, показваща размера на тази фигура (част от повърхността, ограничена от затворения контур на тази фигура). Размерът на площта се изразява чрез броя на квадратните единици, съдържащи се в нея.
Формули за площ на триъгълник
- Формула за площта на триъгълник по страна и височина
Площ на триъгълникравно на половината от произведението на дължината на страна на триъгълник и дължината на надморската височина, начертана към тази страна - Формула за площта на триъгълник, базирана на три страни и радиуса на описаната окръжност
- Формула за площта на триъгълник, базирана на трите страни и радиуса на вписаната окръжност
Площ на триъгълнике равно на произведението от полупериметъра на триъгълника и радиуса на вписаната окръжност. където S е площта на триъгълника,
- дължини на страните на триъгълника,
- височина на триъгълника,
- ъгълът между страните и,
- радиус на вписаната окръжност,
R - радиус на описаната окръжност,
Формули за квадратна площ
- Формула за площта на квадрат по дължината на страната
Квадратна площравен на квадрата на дължината на неговата страна. - Формула за площта на квадрат по дължината на диагонала
Квадратна площравен на половината от квадрата на дължината на неговия диагонал.S= 1 2 2 където S е площта на квадрата,
- дължина на страната на квадрата,
- дължина на диагонала на квадрата.
Формула за площ на правоъгълник
- Площ на правоъгълникравно на произведението на дължините на двете му съседни страни
където S е площта на правоъгълника,
- дължини на страните на правоъгълника.
Формули за площ на успоредник
- Формула за площта на успоредник въз основа на дължината на страната и височината
Площ на успоредник - Формула за площта на успоредник, базирана на две страни и ъгъл между тях
Площ на успореднике равно на произведението от дължините на страните му, умножени по синуса на ъгъла между тях.a b sin α
където S е площта на успоредника,
- дължини на страните на успоредника,
- дължина на височината на паралелограма,
- ъгълът между страните на успоредника.
Формули за площта на ромба
- Формула за площта на ромб въз основа на дължината и височината на страната
Площ на ромбе равно на произведението на дължината на неговата страна и дължината на височината, спусната до тази страна. - Формула за площта на ромб въз основа на дължината на страната и ъгъла
Площ на ромбе равно на произведението на квадрата на дължината на неговата страна и синуса на ъгъла между страните на ромба. - Формула за площта на ромб въз основа на дължините на неговите диагонали
Площ на ромбравен на половината от произведението на дължините на неговите диагонали. където S е площта на ромба,
- дължина на страната на ромба,
- дължина на височината на ромба,
- ъгълът между страните на ромба,
1, 2 - дължини на диагонали.
Формули за площ на трапец
- Формула на Херон за трапец
Където S е площта на трапеца,
- дължини на основите на трапеца,
- дължини на страните на трапеца,
За да решавате геометрични задачи, трябва да знаете формули - като площта на триъгълник или площта на успоредник - както и прости техники, които ще разгледаме.
Първо, нека научим формулите за площите на фигурите. Специално сме ги събрали в удобна таблица. Отпечатайте, научете и прилагайте!
Разбира се, не всички геометрични формули са в нашата таблица. Например, за решаване на задачи по геометрия и стереометрия във втората част на профилния Единен държавен изпит по математика се използват други формули за площта на триъгълник. Определено ще ви разкажем за тях.
Но какво ще стане, ако трябва да намерите не площта на трапец или триъгълник, а площта на някаква сложна фигура? Има универсални начини! Ще ги покажем с помощта на примери от банката задачи на FIPI.
1. Как да намерите площта на нестандартна фигура? Например произволен четириъгълник? Проста техника - нека разделим тази фигура на тези, за които знаем всичко, и да намерим нейната площ - като сумата от площите на тези фигури.
Разделете този четириъгълник с хоризонтална линия на два триъгълника с обща основа, равна на . Височините на тези триъгълници са равни 
И . Тогава площта на четириъгълника е равна на сумата от площите на двата триъгълника: .
Отговор: .
2. В някои случаи площта на фигура може да бъде представена като разлика на някои области.
Не е толкова лесно да се изчисли на какво са равни основата и височината на този триъгълник! Но можем да кажем, че неговата площ е равна на разликата между площите на квадрат със страна и три правоъгълни триъгълника. Виждате ли ги на снимката? Получаваме: .
Отговор: .
3. Понякога в задача трябва да намерите площта не на цялата фигура, а на част от нея. Обикновено говорим за площта на сектор - част от кръг. Намерете площта на сектор от кръг с радиус, чиято дъга е равна .
На тази снимка виждаме част от кръг. Площта на целия кръг е равна на. Остава да разберете коя част от кръга е изобразена. Тъй като дължината на цялата окръжност е равна (тъй като ), и дължината на дъгата на този сектор е равна , следователно дължината на дъгата е няколко пъти по-малка от дължината на цялата окръжност. Ъгълът, под който се намира тази дъга, също е коефициент по-малък от пълен кръг (т.е. градуси). Това означава, че площта на сектора ще бъде няколко пъти по-малка от площта на целия кръг.