Нека имаме повърхност дадено от уравнениетовид
Нека въведем следното определение.
Определение 1. Права линия се нарича допирателна към повърхността в дадена точка, ако е така
допирателна към всяка крива, лежаща на повърхността и минаваща през точката.
Тъй като безкраен брой различни криви, лежащи на повърхността, преминават през точката P, тогава, най-общо казано, ще има безкраен брой допирателни към повърхността, минаващи през тази точка.
Нека въведем концепцията за сингулярни и обикновени точки на повърхността
Ако в дадена точка и трите производни са равни на нула или поне една от тези производни не съществува, тогава точката M се нарича особена точка на повърхността. Ако в дадена точка и трите производни съществуват и са непрекъснати и поне една от тях е различна от нула, тогава точката М се нарича обикновена точка на повърхността.
Сега можем да формулираме следната теорема.
Теорема. Всички допирателни към дадена повърхност (1) в нейната обикновена точка P лежат в една и съща равнина.
Доказателство. Нека разгледаме определена линия L на повърхността (фиг. 206), минаваща през дадена точка P от повърхността. Нека разглежданата крива е дадена чрез параметрични уравнения
Допирателната към кривата ще бъде допирателната към повърхността. Уравненията на тази допирателна имат формата
Ако изрази (2) се заменят в уравнение (1), тогава това уравнение ще се превърне в идентичност по отношение на t, тъй като крива (2) лежи върху повърхност (1). Разграничавайки го, като получаваме
Проекциите на този вектор зависят от - координатите на точка Р; имайте предвид, че тъй като точка P е обикновена, тези проекции в точка P не изчезват едновременно и следователно
допирателна към крива, минаваща през точка P и лежаща на повърхността. Проекциите на този вектор се изчисляват въз основа на уравнения (2) при стойността на параметъра t, съответстваща на точка P.
Нека изчислим скаларното произведение на векторите N и което е равно на сумата от продуктите на проекциите със същото име:
Въз основа на равенство (3), изразът от дясната страна е равен на нула, следователно,
От последното равенство следва, че векторът LG и допирателният вектор към крива (2) в точка P са перпендикулярни. Горното разсъждение е валидно за всяка крива (2), минаваща през точка P и лежаща на повърхността. Следователно всяка допирателна към повърхността в точка P е перпендикулярна на един и същ вектор N и следователно всички тези допирателни лежат в една и съща равнина, перпендикулярна на вектора LG. Теоремата е доказана.
Определение 2. Равнината, в която са разположени всички допирателни към правите на повърхнината, минаващи през дадената й точка P, се нарича допирателна равнина към повърхнината в точка P (фиг. 207).
Имайте предвид, че в особени точки на повърхността може да няма допирателна равнина. В такива точки допирателните към повърхността може да не лежат в една и съща равнина. Например върхът на конична повърхност е особена точка.
Допирателните към коничната повърхнина в тази точка не лежат в една равнина (самите те образуват конична повърхнина).
Нека напишем уравнението на допирателната равнина към повърхността (1) в обикновена точка. Тъй като тази равнина е перпендикулярна на вектор (4), следователно нейното уравнение има формата
Ако уравнението на повърхността е дадено във формата или уравнението на допирателната равнина в този случай приема формата
Коментирайте. Ако поставим формула (6), тогава тази формула ще приеме формата
дясната му страна е пълен диференциалфункции Следователно, . По този начин общият диференциал на функция на две променливи в точка, съответстваща на нарастванията на независимите променливи x и y, е равен на съответното нарастване на приложението на допирателната равнина към повърхността, която е графиката на тази функция.
Определение 3. Права линия, прекарана през точка на повърхността (1), перпендикулярна на допирателната равнина, се нарича нормала към повърхността (фиг. 207).
Нека напишем нормалните уравнения. Тъй като посоката му съвпада с посоката на вектор N, неговите уравнения ще имат формата
1°1°. Уравнения на допирателната равнина и нормалата за случая на явно дефиниране на повърхнината.
Нека разгледаме едно от геометричните приложения на частни производни на функция на две променливи. Нека функцията z = е (x ;y)диференцируеми в точката (х 0; y 0)някаква област гÎ R 2. Нека изрежем повърхността S,представляващи функцията z,самолети x = x 0И y = y 0(фиг. 11).
Самолет X = х 0пресича повърхността Спо някаква линия z 0 (y),чието уравнение се получава чрез заместване в израза на първоначалната функция z ==е (x ;y)вместо Xчисла x 0 .Точка M 0 (x 0;y 0,е (x 0;y 0))принадлежи на кривата z 0 (y).Поради диференцируемата функция zв точката М 0функция z 0 (y)също е диференцируем в точката y =y 0 .Следователно в тази точка на равнината x = x 0към кривата z 0 (y)може да се начертае допирателна l 1.
Провеждане на подобни разсъждения за раздела при = y 0,нека изградим допирателна l 2към кривата z 0 (x)в точката X = x 0 -Директен 1 1 И 1 2 определят равнина, наречена допирателна равнинана повърхността Св точката М 0.
Нека съставим неговото уравнение. Тъй като равнината минава през точката Мо(x 0;y 0 ;z 0),тогава неговото уравнение може да бъде написано като
A(x - xo) + B(y - yo) + C (z - zo) = 0,
което може да се пренапише така:
z -z 0 = A 1 (x – x 0) + B 1 (y – y 0) (1)
(разделяйки уравнението на -C и обозначавайки 
).
Ще намерим A 1и Б 1.
Допирателни уравнения 1 1 И 1 2 изглеждат като
съответно.
Допирателна l 1лежи в равнина a , следователно координатите на всички точки l 1отговарят на уравнение (1). Този факт може да се запише под формата на система
Разрешавайки тази система по отношение на B 1, получаваме това, извършвайки подобни разсъждения за допирателната l 3, лесно е да се установи, че .
Подмяна на стойностите A 1и B 1 в уравнение (1), получаваме необходимото уравнение на допирателната равнина:
Права, минаваща през точка М 0и перпендикулярна на допирателната равнина, построена в тази точка на повърхността, се нарича нейна нормално.
Използвайки условието за перпендикулярност на правата и равнината, е лесно да се получат каноничните нормални уравнения:
Коментирайте.Формулите за допирателната равнина и нормалата към повърхността са получени за обикновени, т.е. неспециални точки от повърхността. Точка М 0повърхност се нарича специален,ако в този момент всички частни производни са равни на нула или поне една от тях не съществува. Ние не разглеждаме такива точки.
Пример. Напишете уравнения за допирателната равнина и нормалата към повърхността в нейната точка М(2; -1; 1).
Решение. Нека намерим частните производни на тази функция и техните стойности в точка M
От тук, прилагайки формули (2) и (3), ще имаме: z-1=2(x-2)+2(y+1)или 2х+2у-z-1=0- уравнение на допирателната равнина и 
- нормални уравнения.
2°. Уравнения на допирателната равнина и нормалата за случай на неявна дефиниция на повърхнината.
Ако повърхността Сдадено от уравнението F (x ; y;з)= 0, след това уравнения (2) и (3), като се вземе предвид фактът, че частните производни могат да бъдат намерени като производни на неявна функция.
Повърхността се дефинира като набор от точки, чиито координати отговарят на определен тип уравнение:
F (x, y, z) = 0 (1) (\displaystyle F(x,\,y,\,z)=0\qquad (1))Ако функцията F (x, y, z) (\displaystyle F(x,\,y,\,z))е непрекъсната в дадена точка и има непрекъснати частични производни в нея, поне една от които не изчезва, тогава в близост до тази точка повърхността, дадена от уравнение (1), ще бъде дясната повърхност.
В допълнение към горното имплицитен начин за уточняване, повърхността може да бъде дефинирана очевидно, ако една от променливите, например z, може да бъде изразена чрез другите:
z = f (x, y) (1 ′) (\displaystyle z=f(x,y)\qquad (1"))По-стриктно проста повърхност е образ на хомеоморфно картографиране (т.е. едно-към-едно и взаимно непрекъснато картографиране) на вътрешността на единичен квадрат. На това определение може да се даде аналитичен израз.
Нека е даден квадрат на равнина с правоъгълна координатна система u и v, чиито координати на вътрешните точки удовлетворяват неравенствата 0< u < 1, 0 < v < 1. Гомеоморфный образ квадрата в пространстве с прямоугольной системой координат х, у, z задаётся при помощи формул х = x(u, v), у = y(u, v), z = z(u, v) (параметрическое задание поверхности). При этом от функций x(u, v), y(u, v) и z(u, v) требуется, чтобы они были непрерывными и чтобы для различных точек (u, v) и (u", v") были различными соответствующие точки (x, у, z) и (x", у", z").
Пример проста повърхносте полукълбо. Цялата сфера не е проста повърхност. Това налага допълнително обобщаване на понятието повърхност.
Подмножество от пространство, всяка точка от което има квартал, който е проста повърхност, наречена дясната повърхност .
Повърхнина в диференциалната геометрия
Хеликоид
Катеноид
Метриката не определя еднозначно формата на повърхността. Например метриките на хеликоид и катеноид, съответно параметризирани, съвпадат, тоест има съответствие между техните региони, което запазва всички дължини (изометрия). Свойствата, които се запазват при изометрични трансформации, се наричат вътрешна геометрияповърхности. Вътрешната геометрия не зависи от положението на повърхността в пространството и не се променя, когато се огъва без напрежение или компресия (например, когато цилиндърът се огъва в конус).
Метрични коефициенти E , F , G (\displaystyle E,\ F,\ G)определят не само дължините на всички криви, но и като цяло резултатите от всички измервания вътре в повърхността (ъгли, площи, кривина и т.н.). Следователно всичко, което зависи само от метриката, се отнася до вътрешна геометрия.
Нормален и нормален участък
Нормални вектори в точки на повърхността
Една от основните характеристики на повърхността е нейната нормално- единичен вектор, перпендикулярен на допирателната равнина в дадена точка:
m = [r u ′, r v ′] |.[r u ′, r v ′] |
(\displaystyle \mathbf (m) =(\frac ([\mathbf (r"_(u)) ,\mathbf (r"_(v)) ])(|[\mathbf (r"_(u)) ,\mathbf (r"_(v)) ]|))) Знакът на нормалата зависи от избора на координати.повърхности. Основната норма за нормално сечение съвпада с нормалата към повърхността (до знака).
Ако кривата на повърхнината не е нормално сечение, тогава нейната главна нормала образува определен ъгъл с нормалата на повърхнината θ (\displaystyle \theta ). След това кривината k (\displaystyle k)крива, свързана с кривина k n (\displaystyle k_(n))нормално сечение (със същата допирателна) по формулата на Мюние:
k n = ± k cos θ (\displaystyle k_(n)=\pm k\,\cos \,\theta )Координати на нормалния единичен вектор за различни начиниразпределението на повърхността е дадено в таблицата:
| Нормални координати в повърхностна точка | |
|---|---|
| имплицитно присвояване | (∂ F ∂ x ; ∂ F ∂ y ; ∂ F ∂ z) (∂ F ∂ x) 2 + (∂ F ∂ y) 2 + (∂ F ∂ z) 2 (\displaystyle (\frac (\left(( \frac (\partial F)(\partial x));\,(\frac (\partial F)(\partial y));\,(\frac (\partial F)(\partial z))\right) )(\sqrt (\left((\frac (\partial F)(\partial x))\right)^(2)+\left((\frac (\partial F)(\partial y))\right) ^(2)+\left((\frac (\partial F)(\partial z))\right)^(2))))) |
| изрично възлагане | (− ∂ f ∂ x ; − ∂ f ∂ y ; 1) (∂ f ∂ x) 2 + (∂ f ∂ y) 2 + 1 (\displaystyle (\frac (\left(-(\frac (\partial f) )(\partial x));\,-(\frac (\partial f)(\partial y));\,1\right))(\sqrt (\left((\frac (\partial f)(\ partial x))\right)^(2)+\left((\frac (\partial f)(\partial y))\right)^(2)+1)))) |
| параметрична спецификация | (D (y, z) D (u, v) ; D (z, x) D (u, v) ; D (x, y) D (u, v)) (D (y, z) D (u , v)) 2 + (D (z , x) D (u , v)) 2 + (D (x , y) D (u , v)) 2 (\displaystyle (\frac (\left((\frac (D(y,z))(D(u,v)));\,(\frac (D(z,x))(D(u,v)));\,(\frac (D(x) ,y))(D(u,v)))\right))(\sqrt (\left((\frac (D(y,z))(D(u,v)))\right)^(2 )+\left((\frac (D(z,x))(D(u,v)))\right)^(2)+\left((\frac (D(x,y))(D( u,v)))\right)^(2))))) |
тук D (y, z) D (u, v) = |.
y u ′ y v ′ z u ′ z v ′ | , D (z , x) D (u , v) = |.
z u ′ z v ′ x u ′ x v ′ |
За различни посоки в дадена точка на повърхността се получава различна кривина на нормалното сечение, което се нарича нормална кривина; присвоява му се знак плюс, ако главната нормала на кривата върви в същата посока като нормалата към повърхността, или знак минус, ако посоките на нормалите са противоположни.
Най-общо казано, във всяка точка на повърхността има две перпендикулярни посоки e 1 (\displaystyle e_(1))И e 2 (\displaystyle e_(2)), при които нормалната кривина приема минимални и максимални стойности; тези направления се наричат основен. Изключение прави случаят, когато нормалната кривина във всички посоки е една и съща (например близо до сфера или в края на елипсоид на въртене), тогава всички посоки в дадена точка са главни.
Повърхнини с отрицателна (вляво), нулева (в центъра) и положителна (вдясно) кривина.
Нар. нормални кривини в главните посоки основни кривини; да ги обозначим κ 1 (\displaystyle \kappa _(1))И κ 2 (\displaystyle \kappa _(2)). размер:
K = κ 1 κ 2 (\displaystyle K=\kappa _(1)\kappa _(2))Графиката на функция на 2 променливи z = f(x,y) е повърхност, проектирана върху равнината XOY в областта на дефиниране на функцията D.
Помислете за повърхността σ
, дадено от уравнението z = f(x,y), където f(x,y) е диференцируема функция и нека M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) е фиксирана точка на повърхността σ, т.е. z 0 = f(x 0 ,y 0). Цел. Онлайн калкулаторът е предназначен да намира допирателна равнина и нормални уравнения на повърхността. Решението се изготвя във формат Word. Ако трябва да намерите уравнението на допирателна към крива (y = f(x)), тогава трябва да използвате тази услуга.
Правила за въвеждане на функции:
Правила за въвеждане на функции:
- Всички променливи се изразяват чрез x,y,z
Допирателна равнина към повърхността σ
в нейната точка М 0 е равнината, в която лежат допирателните към всички криви, начертани на повърхността σ
през точката М 0 .
Уравнението на допирателната равнина към повърхността, дефинирана от уравнението z = f(x,y) в точка M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) има формата:
z – z 0 = f’ x (x 0 ,y 0)(x – x 0) + f’ y (x 0 ,y 0)(y – y 0)
Векторът се нарича нормален вектор на повърхността σ в точка М 0. Нормалният вектор е перпендикулярен на допирателната равнина.
Нормално към повърхността σ в точката М 0 е права линия, минаваща през тази точка и имаща посоката на вектора N.
Каноничните уравнения на нормалата към повърхността, дефинирана от уравнението z = f(x,y) в точката M 0 (x 0,y 0,z 0), където z 0 = f(x 0,y 0), имат формата:
Пример №1. Повърхността е дадена от уравнението x 3 +5y. Намерете уравнението на допирателната равнина към повърхността в точка M 0 (0;1).
Решение. Нека напишем уравненията на допирателната общ изглед: z - z 0 = f" x (x 0,y 0,z 0)(x - x 0) + f" y (x 0,y 0,z 0)(y - y 0)
Според условията на задачата x 0 = 0, y 0 = 1, тогава z 0 = 5
Нека намерим частните производни на функцията z = x^3+5*y:
f" x (x,y) = (x 3 +5 y)" x = 3 x 2
f" x (x,y) = (x 3 +5 y)" y = 5
В точка M 0 (0,1) стойностите на частичните производни са:
f" x (0;1) = 0
f" y (0;1) = 5
Използвайки формулата, получаваме уравнението на допирателната равнина към повърхността в точка M 0: z - 5 = 0(x - 0) + 5(y - 1) или -5 y+z = 0
Пример №2. Повърхността е дефинирана имплицитно y 2 -1/2*x 3 -8z. Намерете уравнението на допирателната равнина към повърхността в точка M 0 (1;0;1).
Решение. Намиране на частни производни на функция. Тъй като функцията е зададена имплицитно, ние търсим производни, използвайки формулата: 
За нашата функция:
След това: 
В точка M 0 (1,0,1) стойности на частични производни:
f" x (1;0;1) = -3 / 16
f" y (1;0;1) = 0
Използвайки формулата, получаваме уравнението на допирателната равнина към повърхността в точка M 0: z - 1 = -3 / 16 (x - 1) + 0(y - 0) или 3 / 16 x+z- 19 / 16 = 0
Пример. Повърхност σ
дадено от уравнението z= y/x + xy – 5х 3. Намерете уравнението на допирателната равнина и нормалата към повърхността σ
в точката М 0 (х 0 ,г 0 ,z 0), принадлежащ на нея, ако х 0 = –1, г 0 = 2.
Нека намерим частните производни на функцията z= f(х,г) = y/x + xy – 5х 3:
f x ’( х,г) = (y/x + xy – 5х 3)’ x = – y/x 2 + г – 15х 2 ;
чада’ ( х,г) = (y/x + xy – 5х 3)’ y = 1/x + х.
Точка М 0 (х 0 ,г 0 ,z 0) принадлежи на повърхността σ
, за да можем да изчислим z 0 , замествайки даденото х 0 = –1 и г 0 = 2 в уравнението на повърхността:
z= y/x + xy – 5х 3
z 0 = 2/(-1) + (–1) 2 – 5 (–1) 3 = 1.В точката М 0 (–1, 2, 1) стойности на частни производни:
f x ’( М 0) = –1/(-1) 2 + 2 – 15(–1) 2 = –15; е д'( М 0) = 1/(-1) – 1 = –2.
Използвайки формула (5), получаваме уравнението на допирателната равнина към повърхността σ в точката М 0:
z – 1= –15(х + 1) – 2(г – 2) z – 1= –15х – 15 – 2y + 4 15х + 2г + z + 10 = 0.
Използвайки формула (6), получаваме каноничните уравнения на нормалата към повърхността σ в точката М 0:
.
Отговори: уравнение на допирателната равнина: 15 х + 2г + z+ 10 = 0; нормални уравнения:
.
Пример №1. Дадено е функция z=f(x,y) и две точки A(x 0, y 0) и B(x 1, y 1). Изисква се: 1) да се изчисли стойността z 1 на функцията в точка B; 2) изчислете приблизителната стойност z 1 на функцията в точка B въз основа на стойността z 0 на функцията в точка A, като замените нарастването на функцията при преместване от точка A до точка B с диференциал; 3) създайте уравнение за допирателната равнина към повърхността z = f(x,y) в точка C(x 0 ,y 0 ,z 0).
Решение.
Нека напишем уравненията на допирателната в общ вид:
z - z 0 = f" x (x 0,y 0,z 0)(x - x 0) + f" y (x 0,y 0,z 0)(y - y 0)
Според условията на задачата x 0 = 1, y 0 = 2, тогава z 0 = 25
Нека намерим частните производни на функцията z = f(x,y)x^2+3*x*y*+y^2:
f" x (x,y) = (x 2 +3 x y +y 2)" x = 2 x+3 y 3
f" x (x,y) = (x 2 +3 x y +y 2)" y = 9 x y 2
В точка M 0 (1,2) стойностите на частичните производни са:
f" x (1; 2) = 26
f" y (1; 2) = 36
Използвайки формулата, получаваме уравнението на допирателната равнина към повърхността в точка M 0:
z - 25 = 26 (x - 1) + 36 (y - 2)
или
-26 x-36 y+z+73 = 0
Пример №2. Напишете уравненията на допирателната равнина и нормалата към елиптичния параболоид z = 2x 2 + y 2 в точката (1;-1;3).
А именно за това, което виждате в заглавието. По същество това е „пространствен аналог“ проблеми с намирането на допирателнаИ нормалникъм графиката на функция на една променлива и следователно не трябва да възникват трудности.
Нека започнем с основните въпроси: КАКВО Е допирателна равнина и КАКВО Е нормала? Много хора разбират тези понятия на ниво интуиция. Най-простият модел, който идва на ум, е топка, върху която лежи тънко плоско парче картон. Картонът е разположен възможно най-близо до сферата и я докосва в една точка. Освен това в точката на контакт се закрепва с игла, стърчаща право нагоре.
На теория има доста гениално определение за допирателна равнина. Представете си безплатно повърхности точката, която му принадлежи. Очевидно много минава през точката пространствени линии, които принадлежат на тази повърхност. Кой какви асоциации има? =) ...лично аз си представях октопод. Да приемем, че всяка такава линия има пространствена допирателнав точка .
Определение 1: допирателна равнинана повърхността в точка - това е самолет, съдържаща допирателни към всички криви, които принадлежат на дадена повърхност и минават през точката.
Определение 2: нормалнона повърхността в точка - това е прав, минаваща през дадена точка, перпендикулярна на допирателната равнина.
Просто и елегантно. Между другото, за да не умрете от скука от простотата на материала, малко по-късно ще споделя с вас една елегантна тайна, която ви позволява да забравите за тъпченето с различни определения ВЕДНЪЖ ЗАВИНАГИ.
Нека се запознаем с работещите формули и алгоритъма за решение, използвайки конкретен пример. В по-голямата част от проблемите е необходимо да се конструират както уравнението на допирателната равнина, така и нормалното уравнение:
Пример 1
Решение: ако повърхността е дадена от уравнението (т.е. имплицитно), тогава уравнението на допирателната равнина към дадена повърхност в точка може да се намери с помощта на следната формула:
Специално вниманиеОбръщам внимание на необичайни частични производни - техните не трябва да се бъркас частични производни на неявно определена функция (въпреки че повърхността е посочена имплицитно). При намирането на тези производни трябва да се ръководи от правила за диференциране на функция на три променливи, тоест при диференциране по отношение на която и да е променлива, другите две букви се считат за константи:
Без да излизаме от касата, намираме частичната производна в точката:
По същия начин: 
Това беше най-неприятният момент от решението, в който грешка, ако не се допуска, то постоянно се появява. Тук обаче има ефективна техника за проверка, за която говорих в час. Производна по посока и градиент.
Всички „съставки“ са намерени и сега е въпрос на внимателно заместване с допълнителни опростявания: 
– общо уравнениежеланата допирателна равнина.
Силно препоръчвам да проверите и този етап от решението. Първо трябва да се уверите, че координатите на допирателната точка наистина отговарят на намереното уравнение: 
- истинско равенство.
Сега "премахваме" коефициентите общо уравнениеравнини и ги проверете за съвпадение или пропорционалност със съответните стойности. В този случай те са пропорционални. Както си спомняте от курс по аналитична геометрия, - Това нормален вектордопирателна равнина, и той също е водещ векторнормална права линия. Да композираме канонични уравнениянормали по вектор на точка и посока: 
По принцип знаменателите могат да се намалят с две, но няма особена нужда от това
отговор:
Не е забранено уравненията да се обозначават с някакви букви, но пак защо? Тук вече е пределно ясно какво е какво.
Следващите два примера са за независимо решение. Малко „математически език“:
Пример 2
Намерете уравненията на допирателната равнина и нормалата към повърхността в точката.
И една интересна от техническа гледна точка задача:
Пример 3
Напишете уравнения за допирателната равнина и нормалата към повърхността в точка
В точката.
Има всички шансове не само да се объркате, но и да срещнете трудности при записа канонични уравнения на правата. И нормалните уравнения, както вероятно разбирате, обикновено се записват в тази форма. Въпреки че поради забрава или непознаване на някои нюанси, параметричната форма е повече от приемлива.
Примерни пробифинализиране на решенията в края на урока.
Има ли допирателна равнина в някоя точка на повърхността? Като цяло, разбира се, че не. Класическият пример е конична повърхност 
и точка - допирателните в тази точка директно образуват конична повърхност и, разбира се, не лежат в една и съща равнина. Лесно е да се провери, че нещо не е наред аналитично: .
Друг източник на проблеми е фактът несъществуваневсяка частична производна в точка. Това обаче не означава, че в дадена точка няма единична допирателна равнина.
Но това беше по-скоро популярна наука, отколкото практически значима информация, и се връщаме към неотложни въпроси:
Как да напиша уравнения за допирателната равнина и нормалата в точка,
ако повърхността е зададена от изрична функция?
Нека го пренапишем имплицитно:
И използвайки същите принципи намираме частични производни: 
Така формулата за допирателната равнина се трансформира в следното уравнение:
И съответно, каноничните нормални уравнения:
Както можете да предположите, 
- те вече са "истински" частни производни на функция на две променливив точката, която обозначавахме с буквата “z” и бяха открити 100500 пъти.
Моля, имайте предвид, че в тази статия е достатъчно да запомните първата формула, от която, ако е необходимо, е лесно да извлечете всичко останало (разбира се, имайки основно нивоподготовка). Това е точно подходът, който трябва да се използва при изучаването на точните науки, т.е. от минимум информация трябва да се стремим да „извлечем“ максимум изводи и последствия. „Разглеждането“ и съществуващите знания ще помогнат! Този принцип е полезен и защото най-вероятно ще ви спаси в критична ситуация, когато знаете много малко.
Нека разработим „модифицираните“ формули с няколко примера:
Пример 4
Напишете уравнения за допирателната равнина и нормалата към повърхността 
в точка .
Тук има леко наслагване с обозначенията - сега буквата обозначава точка от равнината, но какво да се прави - такава популярна буква...
Решение: нека съставим уравнението на желаната допирателна равнина, използвайки формулата:
Нека изчислим стойността на функцията в точката:
Нека изчислим Частични производни от 1-ви редв този момент: 
Така:
внимателно, не бързайте: 
Нека запишем каноничните уравнения на нормалата в точката: 
отговор:
И последен пример за вашето собствено решение:
Пример 5
Запишете уравнения за допирателната равнина и нормалата към повърхността в точката.
Окончателно - защото съм обяснил практически всички технически моменти и няма какво специално да добавя. Дори самите функции, предложени в тази задача, са скучни и монотонни - на практика почти гарантирано ще попаднете на "полином" и в този смисъл пример № 2 с експонента изглежда като "черна овца". Между другото, много по-вероятно е да срещнете повърхност, определена от уравнение, и това е още една причина функцията да бъде включена в статията като номер две.
И накрая, обещаната тайна: как да избегнем тъпченето с дефиниции? (Разбира се, нямам предвид ситуацията, когато студентът трескаво тъпче нещо преди изпит)
Дефиницията на всяко понятие/явление/обект, на първо място, дава отговор на следния въпрос: КАКВО Е ТОВА? (кои/такива/такива/са). Съзнателноотговаряйки този въпрос, трябва да се опитате да отразите значителнознаци, определеноидентифициране на конкретно понятие/явление/обект. Да, отначало се оказва някак езиковито, неточно и излишно (учителят ще ви коригира =)), но с времето се развива доста прилична научна реч.
Практикувайте върху най-абстрактните обекти, например отговорете на въпроса: кой е Чебурашка? Не е толкова просто ;-) Това е " приказен геройс големи уши, очи и кафява козина"? Далеч и много далеч от определението - никога не знаеш, че има герои с такива характеристики... Но това е много по-близо до определението: „Чебурашка е герой, измислен от писателя Едуард Успенски през 1966 г., който ... (изброяване на основните отличителни черти)“. Забележете колко добре започна