Правилен тетраедър (пирамида). Обем на тетраедър Чрез смесено произведение на вектори

Забележка. Това е част от урок със задачи по геометрия (раздел стереометрия, задачи за пирамидата). Ако трябва да решите задача по геометрия, която не е тук, пишете за това във форума. В задачите вместо символа "корен квадратен" се използва функцията sqrt(), в която sqrt е символът корен квадратен, а радикалният израз е посочен в скоби.За прости радикални изрази може да се използва знакът "√".. Правилен тетраедър- Това е правилна триъгълна пирамида, в която всички лица са равностранни триъгълници.

В правилен тетраедър всички двустенни ъгли при ръбовете и всички тристенни ъгли при върховете са равни

Тетраедърът има 4 лица, 4 върха и 6 ръба.

Основните формули за правилен тетраедър са дадени в таблицата.

където:
S - Повърхностна площ на правилен тетраедър
V - обем
h - височина, спусната до основата
r - радиус на окръжността, вписана в тетраедъра
R - радиус на обкръжението
a - дължина на ръба

Практически примери

Задача.
Намерете повърхността на триъгълна пирамида с всеки ръб, равен на √3

Решение.
Тъй като всички ръбове на триъгълна пирамида са равни, тя е правилна. Повърхността на правилна триъгълна пирамида е S = a 2 √3.
Тогава
S = 3√3

отговор: 3√3

Задача.
Всички ръбове на правилна триъгълна пирамида са равни на 4 см. Намерете обема на пирамидата

Решение.
Тъй като в правилната триъгълна пирамида височината на пирамидата се проектира към центъра на основата, който е и център на описаната окръжност, тогава

AO = R = √3 / 3 a
AO = 4√3 / 3

Така височината на пирамидата OM може да се намери от правоъгълен триъгълник AOM

AO 2 + OM 2 = AM 2
OM 2 = AM 2 - AO 2
OM 2 = 4 2 - (4√3 / 3) 2
OM 2 = 16 - 16/3
OM = √(32/3)
OM = 4√2 / √3

Намираме обема на пирамидата по формулата V = 1/3 Sh
В този случай намираме площта на основата по формулата S = √3/4 a 2

V = 1/3 (√3 / 4 * 16) (4√2 / √3)
V = 16√2/3

отговор: 16√2 / 3 см

От основната формула за обема на тетраедър

Къде Се областта на всяко лице и з– понижената от него височина, могат да се изведат цяла поредица от формули, които изразяват обема чрез различни елементи на тетраедъра. Нека представим тези формули за тетраедъра ABCD.

(2) ,

където ∠ ( AD,ABC) – ъгъл между ръба ADи равнината на лицето ABC;

(3) ,

където ∠ ( ABC,ABD) – ъгъл между лицата ABCИ ABD;

където | AB,CD| – разстояние между срещуположните ребра ABИ CD, ∠ (AB,CD) е ъгълът между тези ръбове.

Формули (2)–(4) могат да се използват за намиране на ъглите между прави и равнини; формула (4) е особено полезна, с която можете да намерите разстоянието между пресичащите се линии ABИ CD.

Формули (2) и (3) са подобни на формула С = (1/2)абгрях Вза площта на триъгълника. Формула С = rpподобна формула

Къде rе радиусът на вписаната сфера на тетраедъра, Σ е неговата обща повърхност (сумата от площите на всички лица). Има и красива формула, свързваща обема на тетраедър с радиуса Рнеговата описана сфера ( Крелет формула):

където Δ е площта на триъгълник, чиито страни са числено равни на продуктите на противоположните ръбове ( AB× CD, A.C.× BD,AD× пр.н.е.). От формула (2) и косинусовата теорема за тристенни ъгли (вижте Сферична тригонометрия), можем да изведем формула, подобна на формулата на Херон за триъгълници.

Дефиниция на тетраедър

Тетраедър– най-простото многостенно тяло, лицата и основата на което са триъгълници.

Онлайн калкулатор

Тетраедърът има четири лица, всяко от които е образувано от три страни. Тетраедърът има четири върха, с три ръба, излизащи от всеки.

Това тяло е разделено на няколко типа. По-долу е тяхната класификация.

1. Изоедърен тетраедър- всичките му лица са еднакви триъгълници;
2. Ортоцентричен тетраедър- всички височини, изтеглени от всеки връх до противоположното лице, са равни по дължина;
3. Правоъгълен тетраедър- ръбовете, излизащи от един връх, образуват ъгъл от 90 градуса един с друг;
4. Рамка;
5. Пропорционално;
6. Инцентричен.

Формули за обем на тетраедър

Обемът на дадено тяло може да се намери по няколко начина. Нека ги разгледаме по-подробно.

Чрез смесеното произведение на векторите

Ако тетраедърът е изграден от три вектора с координати:

A ⃗ = (a x, a y, a z) \vec(a)=(a_x, a_y, a_z)а= (а х​ , а г​ , а z​ )
b ⃗ = (b x, b y, b z) \vec(b)=(b_x, b_y, b_z)b= (b х​ , b г​ , b z​ )
c ⃗ = (c x, c y, c z) \vec(c)=(c_x, c_y, c_z)c= (c х​ , c г​ , c z​ ) ,

тогава обемът на този тетраедър е смесеното произведение на тези вектори, тоест следната детерминанта:

Обем на тетраедър през детерминанта

V = 1 6 ⋅ ∣ a x a y a z b x b y b z c x c y c z ∣ V=\frac(1)(6)\cdot\begin(vmatrix) a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ \end(vmatrix) )V=6 1 ​ ⋅ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ а х​ b х​ c х​ ​ а г​ b г​ c г​ ​ а z​ b z​ c z​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​

Проблем 1

Координатите на четирите върха на октаедъра са известни. A(1, 4, 9) A(1,4,9) A(1, 4, 9), B (8, 7, 3) B (8,7,3) B(8, 7, 3), C (1, 2, 3) ​​C (1,2,3) C(1, 2, 3), D(7, 12, 1) D(7,12,1) D(7, 1 2, 1). Намерете неговия обем.

Решение

A(1, 4, 9) A(1,4,9) A(1, 4, 9)
B (8, 7, 3) B (8,7,3) B(8, 7, 3)
C (1, 2, 3) ​​C (1,2,3) C(1, 2, 3)
D(7, 12, 1) D(7,12,1) D(7, 1 2, 1)

Първата стъпка е да се определят координатите на векторите, върху които е изградено това тяло.
За да направите това, трябва да намерите всяка векторна координата, като извадите съответните координати на двете точки. Например векторните координати A B → \стрелка надясно(AB) А Б, тоест вектор, насочен от точката А А Адо точката Б Б б, това са разликите между съответните координати на точките Б Б бИ А А А:

A B → = (8 − 1 , 7 − 4 , 3 − 9) = (7 , 3 , − 6) \стрелка надясно(AB)=(8-1, 7-4, 3-9)=(7, 3, -6)А Б= (8 − 1 , 7 − 4 , 3 − 9 ) = (7 , 3 , − 6 )

A C → = (1 − 1 , 2 − 4 , 3 − 9) = (0 , − 2 , − 6) \стрелка надясно(AC)=(1-1, 2-4, 3-9)=(0, - 2, -6)A C= (1 − 1 , 2 − 4 , 3 − 9 ) = (0 , − 2 , − 6 )
A D → = (7 − 1 , 12 − 4 , 1 − 9) = (6 , 8 , − 8) \стрелка надясно(AD)=(7-1, 12-4, 1-9)=(6, 8, -8)A D= (7 − 1 , 1 2 − 4 , 1 − 9 ) = (6 , 8 , − 8 )

Сега нека намерим смесеното произведение на тези вектори; ще съставим детерминанта от трети ред, като приемем това A B → = a ⃗ \overrightarrow(AB)=\vec(a)А Б= а, A C → = b ⃗ \overrightarrow(AC)=\vec(b)A C= b, A D → = c ⃗ \overrightarrow(AD)=\vec(c)A D= c.

∣ a x a y a z b x b y b z c x c y c z ∣ = ∣ 7 3 − 6 0 − 2 − 6 6 8 − 8 ∣ = 7 ⋅ (− 2) ⋅ (− 8) + 3 ⋅ (− 6) ⋅ 6 + (− 6) ⋅ 0 ⋅ 8 − (− 6) ⋅ (− 2) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6) ⋅ 8 − 3 ⋅ 0 ⋅ (− 8) = 112 − 108 − 0 − 72 + 336 + 0 = 268 \begin(vmatrix) a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ \end(vmatrix)= \begin(vmatrix) 7 & 3 & -6 \\ 0 & -2 & -6 \\ 6 & 8 & -8 \\ \end(vmatrix)=7\cdot(-2)\cdot(-8) + 3\cdot(-6)\cdot6 + (-6)\cdot0\cdot8 - (-6)\cdot (-2)\cdot6 - 7\cdot(-6)\cdot8 - 3\cdot0\cdot(-8) = 112 - 108 - 0 - 72 + 336 + 0 = 268∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ а х​ b х​ cх​ ​ аг​ bг​ cг​ ​ аz​ bz​ cz​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ 7 0 6 ​ 3 − 2 8 ​ − 6 − 6 − 8 ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = 7 ⋅ (− 2 ) ⋅ (− 8 ) + 3 ⋅ (− 6 ) ⋅ 6 + (− 6 ) ⋅ 0 ⋅ 8 − (− 6 ) ⋅ (− 2 ) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6 ) ⋅ 8 − 3 ⋅ 0 ⋅ (− 8 ) = 1 1 2 − 1 0 8 − 0 − 7 2 + 3 3 6 + 0 = 2 6 8

Тоест обемът на тетраедъра е равен на:

$V=61\cdot |$

отговор

$44.8\text{cm3 .}$

Формула за обема на равностенен тетраедър по неговата страна

Тази формула е валидна само за изчисляване на обема на изоедърен тетраедър, т.е. тетраедър, в който всички лица са еднакви правилни триъгълници.

Обем на равностен тетраедър

$V=12\sqrt{2\cdot {а}^3}$

а аа- дължина на ръба на тетраедъра.

Проблем 2

Определете обема на тетраедър, ако страната му е равна на $11\text{cm.}$

Решение

$а=11$

Да заместим а аавъв формулата за обема на тетраедър:

$V=12\sqrt{2\cdot {а}^{3=12\sqrt{2\cdot 11^{3\approx 156.8\text{cm3}}}}}$

отговор

$156.8\text{cm3 .}$