2.7.3.1. Точни методи за изследване на нелинейни системи

1. Директен метод на Ляпунов. Основава се на теоремата на Ляпунов за устойчивостта на нелинейните системи. Като изследователски апарат се използва функцията на Ляпунов, която е знакоопределена функция на координатите на системата, която също има знакоопределена производна по време. Приложението на метода е ограничено от неговата сложност.

2. Методът на Попов (румънски учен) е по-прост, но е подходящ само за някои специални случаи.

3. Метод, основан на частично-линейна апроксимация. Характеристиките на отделните нелинейни връзки са разделени на редица линейни участъци, в рамките на които проблемът се оказва линеен и може да бъде решен съвсем просто.

Методът може да се използва, ако броят на секциите, на които е разделена нелинейната характеристика, е малък (релейни характеристики). С голям брой области е трудно. Решението е възможно само с помощта на компютър.

4. Метод на фазовото пространство. Позволява ви да изучавате системи с нелинейности от произволен тип, както и с няколко нелинейности. В същото време във фазовото пространство се създава така нареченият фазов портрет на процесите, протичащи в линейна система. По външния вид на фазовия портрет може да се съди за стабилността, възможността за автоколебания и точността в стационарно състояние. Размерът на фазовото пространство обаче е равен на реда на диференциалното уравнение на нелинейната система. Приложението за системи от по-висок от втори ред е практически невъзможно.

5. Можете да използвате за анализиране на случайни процеси математически апараттеория на марковските случайни процеси. Въпреки това, сложността на метода и възможността за решаване на уравнението на Фокер-Планк, което се изисква при анализа само за уравнения от първи и в някои случаи от втори ред, ограничава използването му.

По този начин, въпреки че точните методи за анализ на нелинейни системи позволяват да се получат точни, правилни резултати, те са много сложни, което ги ограничава практическо приложение. Тези методи са важни от чисто научна, познавателна, изследователска гледна точка и поради това те могат да бъдат класифицирани като чисто академични методи, чието практическо приложение към реални сложни системиняма смисъл.

2.7.3.2. Приближени методи за изследване на нелинейни системи

Сложността и ограниченията на практическото приложение на точните методи за анализ на нелинейни системи доведоха до необходимостта от разработване на приблизителни, по-прости методи за изследване на тези системи. Приблизителните методи позволяват в много практически случаи съвсем просто да се получат прозрачни и лесно видими резултати от анализа на нелинейни системи. Приблизителните методи включват:

1. Методът на хармоничната линеаризация, основан на замяната на нелинеен елемент с неговия линеен еквивалент и еквивалентност се постига за някакво движение на системата, което е близко до хармоничното. Това дава възможност съвсем просто да се изследва възможността за възникване на собствени трептения в системата за управление. Въпреки това, методът може да се прилага и за изследване на преходни процеси на нелинейни системи.

2. Методът на статистическата линеаризация също се основава на замяна на нелинеен елемент с негов линеен еквивалент, но когато системата се движи под въздействието на случайни смущения. Методът позволява сравнително просто да се изследва поведението на нелинейна система при случайни влияния и да се намерят някои от нейните статистически характеристики.

Метод на хармонична линеаризация

Нека приложим към нелинейни системи, описани от диференциално уравнение от произволен ред. Нека го разгледаме само във връзка с изчисляването на собствените трептения в автоматична система за управление. Нека разделим системата за управление със затворен контур на линейни и нелинейни части (фиг. 7.2) с предавателни функции и, съответно.

За линейна връзка:

Нелинейна връзка може да има нелинейни зависимости от формата:

и т.н. Нека се ограничим до зависимостите на формата:

ориз. 7.2. Към метода на хармоничната линеаризация

Нека поставим проблема за изследване на собствените колебания в тази нелинейна система. Строго погледнато, собствените трептения ще бъдат несинусоидални, но ще приемем, че за променливата хте са близки до хармоничната функция. Това е оправдано от факта, че линейната част (7.1) като правило е нискочестотен филтър (LPF). Следователно линейната част ще забави по-високите хармоници, съдържащи се в променливата г. Това предположение се нарича филтърна хипотеза. В противен случай, ако линейната част е филтър високи честоти(HPF), тогава методът на хармонична линеаризация може да даде грешни резултати.

Нека Замествайки в (7.2), разширяваме (7.2) в ред на Фурие:

Да приемем, че в желаните трептения няма постоянен компонент, т.е.

Това условие винаги е изпълнено, когато нелинейната характеристика е симетрична по отношение на началото на координатите и няма външно влияние, приложено към нелинейната връзка.

Тогава го приехме.

В писменото разширение ще направим замяна и ще отхвърлим всички висши хармоници от серията, като се има предвид, че те са филтрирани. Тогава за нелинейната връзка получаваме приблизителната формула

където и са коефициентите на хармонична линеаризация, определени от формулите за разширение на реда на Фурие:

Така нелинейното уравнение (7.2) се заменя с приблизително уравнение за първия хармоник (7.3), подобно на линейното уравнение. Неговата особеност е, че коефициентите на уравнението зависят от желаната амплитуда на собствените трептения. В общия случай, при по-сложна зависимост (7.2), тези коефициенти ще зависят както от амплитудата, така и от честотата.

Извършената операция по замяна на нелинейно уравнение с приблизително линейно се нарича хармонична линеаризация, а коефициентите (7.4), (7.5) се наричат ​​хармонични коефициенти на предаване на нелинейната връзка.

От (7.3) следва, че за разглежданата система предавателната функция на нелинейната връзка е:

Като вземем предвид (7.1) и (7.3), получаваме трансферната функция на системата с отворена верига:

и характеристично уравнение затворена система:

Замествайки в (7.6), намираме честотната трансферна функция на системата с отворена верига:

Не зависи от [вж (7.8)].

Модулът на еквивалентната трансферна функция на нелинейна връзка се определя по формулата:

и е равно на съотношението на амплитудата на първия хармоник на изхода му към амплитудата на входната стойност. Аргументът на честотната трансферна функция на нелинейната връзка е равен на:

Може да се покаже, че за нелинейни връзки с недвусмислени и симетрични спрямо произхода на координатите характеристики, които нямат хистерезисни вериги, следователно - чисто реални, и

Често се използва обратната на еквивалентната трансферна функция на нелинейна връзка:

наречен еквивалентен импеданс на нелинейната връзка. Използването му е удобно при изчисляване на собствените колебания с помощта на критерия на Найкуист. Като пример за използване на метода на хармонична линеаризация, разгледайте релейната характеристика на трипозиционно реле без хистерезис (фиг. 7.3). Както се вижда от фиг. 7.3, статичната характеристика е симетрична относно произхода, следователно, . Следователно е необходимо само да се намери коефициентът по формула (7.4). За да направим това, ние прилагаме синусоидална функция към входа на връзката и конструираме y(t) (фиг. 7.4).

ориз. 7.3. Статична характеристика на три позиции

реле без хистерезис

Както се вижда от фиг. 7.4, с

Фазовият ъгъл, съответстващ на x 1 = b, е равен на arcsin (b/a) (фиг. 7.4).

Като вземем предвид симетрията на интегранта и в съответствие с (7.4), имаме:

защото , тогава най-накрая имаме:

По подобен начин е възможно да се извърши хармонична линеаризация на други нелинейни връзки. Резултатите от линеаризацията са дадени в , .

Както беше отбелязано по-горе, методът на хармоничната линеаризация е удобен за анализ на възможността за поява на режим на собствено колебание в нелинейна система и определяне на нейните параметри. За изчисляване на собствените колебания се използват различни критерии за стабилност. Най-простият и очевиден начин е да се използва критерият на Найкуист. Особено удобно е да се използва критерият на Найкуист в случай, когато има нелинейна зависимост на формата и еквивалентната трансферна функция на нелинейната връзка зависи само от амплитудата на входния сигнал.

ориз. 7.4. Пример за линеаризация на релейна характеристика

Условия за възникване на автоколебания: появата на двойка в разтвор (7.7) е чисто въображаеми корени, а всички останали корени лежат в лявата полуравнина (връзка с точка –1,j0).

Нека приравним (7.7) на минус едно:

За да решим (7.12), задаваме различни стойности на и конструираме AFC. При някои a = A AFC ще премине през точката (-1,j0), което съответства на липсата на резерви за стабилност.

Честотата и съответстват на честотата и амплитудата на желаното хармонично трептене: (фиг. 7.5).

По подобен начин е възможно да се намери периодично решение за нелинейни зависимости от всякакъв вид, което води по-специално до факта, че еквивалентната трансферна функция на нелинеен елемент зависи не само от амплитудата, но и от честотата. Ако се ограничим до разглеждане на нелинейна зависимост на формата , тогава процесът на намиране на периодичния режим може да бъде опростен.

ориз. 7.5. Условие за възникване на собствени трептения

Нека напишем уравнение (7.12) във формата:

Вижте (7.11). (7.13)

Уравнение (7.13) може лесно да се реши графично. За целта е необходимо поотделно да се построят AFC и обратната AFC, взети с обратен знак. Пресечната точка на две AFC определя решението (7.13). Намираме честотата на периодичния режим по честотните знаци на графиката, а амплитудата по амплитудните знаци на графиката (фиг. 7.6).

Намереният периодичен режим обаче съответства на автоколебанията само когато е стабилен в смисъл, че този режим може да съществува в системата за неопределено дълго време. Стабилността на периодичния режим може да се определи по следния начин.

Да приемем, че линейната част на системата в отворено състояние е стабилна или неутрална. Нека дадем на амплитудата А някакво положително увеличение А. Тогава тя ще се увеличи, следователно ще намалее. В резултат на това тя намалява и следователно се отдалечава още повече от точката (-1,j0). А намалява и ще клони към 0. По същия начин, ако А получи отрицателно увеличение - А. Тогава то ще намалее, следователно ще се увеличи, ще се увеличи и следователно амплитудата ще се увеличи, защото AFC ще се доближи до точката (-1,j0) (намаляване на границите на стабилност).

ориз. 7.6. Условието за възникване на собствени трептения при нелинейни

зависимости от типа

Следователно всяко произволно отклонение на A променя системата по такъв начин, че амплитудата възстановява своята стойност. Това съответства на стабилността на периодичния режим, който съответства на собствените трептения.

Критерият за устойчивост на периодичния режим тук се свежда до това, че частта от кривата, отговаряща на по-малки амплитуди, се покрива от AFC на линейната част на системата, което съответства на наличието на една точка на пресичане на характеристиката с отрицателната част на оста на реалните стойности (виж фиг. 7.6).

Когато AFC на система с отворен цикъл пресече отрицателната част на оста на реалните стойности два пъти, възможно е AFC да премине през точката (-1,j0) за две стойности на и (фиг. 7.7).

Двете пресечни точки съответстват на две възможни периодични решения с параметри и . Подобно на това, което беше направено по-горе, можете да се уверите, че първата точка съответства на нестабилен режим на периодични трептения, а втората - на стабилен, т.е. собствени трептения (фиг. 7.8).

В по-сложни случаи, когато, да речем, той е нестабилен, е възможно да се определи стабилността на получения периодичен режим, като се вземе предвид местоположението на AFC на системата с отворена верига. Общото тук остава, че за да се получи устойчивост на периодичния режим е необходимо положителното увеличение на амплитудата да води до конвергентни процеси в системата, а отрицателното - до дивергентни.

При липсата на възможни периодични режими, близки до хармоничните в системата, което се разкрива от горното изчисление, има много различни варианти за поведение на системата. Въпреки това, в системи, чиято линейна част има свойството да потиска висшите хармоници, особено в такива системи, където за някои параметри има периодично решение, но за други не, има причина да се смята, че при липса на периодично решение системата ще да бъде стабилен спрямо равновесното състояние. В този случай стабилността на равновесното състояние може да се оцени чрез изискването, че когато линейната част е стабилна или неутрална в отворено състояние, нейната AFC не покрива ходографа

Метод за статистическа линеаризация на нелинейни характеристики

За да оцените статистическите характеристики на нелинейните системи, можете да използвате метода на статистическата линеаризация, основан на замяната на нелинейната характеристика с линейна, която в известен смисъл на статистика е еквивалентна на оригиналната нелинейна характеристика.

Замяната на нелинейна трансформация с линейна е приблизителна и може да бъде справедлива само в някои отношения. Следователно концепцията за статистическа еквивалентност, въз основа на която се прави такава замяна, не е еднозначна и е възможно да се формулират различни критерии за статистическа еквивалентност на нелинейните и заместващите ги линейни трансформации.

В случай, че нелинейна безинерционна зависимост на формата (7.2) е подложена на линеаризация, обикновено се прилагат следните статистически критерии за еквивалентност:

Първото изисква равенство на математическите очаквания и вариациите на процесите и , където е изходната стойност на еквивалентната линеаризирана връзка, и е изходната стойност на нелинейната връзка;

Второто изисква минимизиране на средния квадрат на разликата между процесите на изхода на нелинейния и линеаризирания елемент.

Нека разгледаме линеаризацията за случая на прилагане на първия критерий. Нека заменим нелинейната зависимост (7.2) с линейна характеристика (7.14), която има същите математически очаквания и дисперсия като наличните на изхода на нелинейната връзка с характеристика (7.2). За целта представяме (7.14) във вида: , където е центрирана произволна функция.

Според избрания критерий коефициентите и трябва да удовлетворяват следните зависимости:

От (7.15) следва, че статистическата еквивалентност възниква, ако

Освен това знакът трябва да съвпада със знака на производната на нелинейната характеристика F( х).

Величините се наричат ​​статистически коефициенти на линеаризация. За да ги изчислите, трябва да знаете сигнала на изхода на нелинейната връзка:

където е вероятностната плътност на разпределението на случаен сигнал на входа на нелинейната връзка.

За втория критерий статистическите коефициенти на линеаризация са избрани така, че да осигурят минимална средна квадратична разлика между процесите на изхода на нелинейната и линеаризираната връзка, т.е. осигурете равенство

Коефициентите на статистическа линеаризация, както следва от (7.16), (7.17) и (7.18), зависят не само от характеристиките на нелинейната връзка, но и от закона за разпределение на сигнала на неговия вход. В много практически случаи законът за разпределение на това случайна променливаможе да се приеме, че е Гаус (нормален), описан с израза

Това се обяснява с факта, че нелинейните връзки в системите за управление са свързани последователно с линейни инерционни елементи, законите на разпределение на изходните сигнали на които са близки до гаусовите за всички закони на разпределение на техните входни сигнали. Колкото по-инерционна е системата, толкова по-близък е законът на разпределение на изходния сигнал до Гаус, т.е. инерционните устройства на системата водят до възстановяване на разпределението на Гаус, нарушено от нелинейни връзки. В допълнение, промяна в закона за разпределение в широк малък диапазон влияе върху статистическите коефициенти на линеаризация. Следователно се смята, че сигналите на входа на нелинейните елементи се разпределят по закона на Гаус.

В този случай коефициентите и зависят само от сигнала на входа на нелинейната връзка, следователно за типичните нелинейни характеристики коефициентите и могат да бъдат изчислени предварително, което значително опростява изчисленията на системите, използващи метода на статистическата линеаризация. За нормален законразпределения и типични нелинейни връзки, когато изчислявате нелинейни системи, можете да използвате данните, дадени в.

Приложение на метода на статистическа линеаризация за анализ

стационарни режими и отказ на проследяване

Възможност за замяна на характеристиките на нелинейни връзки линейни зависимостиви позволява да използвате методи, разработени за линейни системи, когато анализирате нелинейни системи. Нека приложим метода на статистическата линеаризация, за да анализираме стационарни режими в системата, показана на фиг. 7.9,

където F(e) е статичната характеристика на нелинейния елемент (дискриминатор);

W(p) – предавателна функция на линейната част на системата.

Задачата на анализа е да се оцени влиянието на характеристиките на дискриминатора върху точността на системата и да се определят условията, при които нормалната работа на системата се нарушава и проследяването се проваля.

При анализиране на точността на работа по отношение на неслучайния компонент на сигнала g(t), нелинейният елемент F(e) в съответствие с метода на статистическата линеаризация се заменя с линейна връзка с коефициент на предаване . Динамичната грешка, както беше показано по-рано, се намира по формулата:

Пример за намиране и , както и определяне на условието за неуспех на проследяването, е даден в.

Въпроси за самопроверка

1. Назовете приблизителни методи за анализ на нелинейни системи.

2. Каква е същността на метода на хармоничната линеаризация?

3. Каква е същността на метода на статистическата линеаризация?

4. За кои нелинейни връзки q¢ (a) = 0?

5. Какви критерии за статистическа еквивалентност познавате?

Наличието на нелинейности в системите за управление води до описанието на такава система като нелинейна диференциални уравнения, често доста високи поръчки. Както е известно, повечето групи не го правят линейни уравненияне е решен в общ изглед, и можем да говорим само за специални случаи на решението, следователно при изследването на нелинейни системи различни приблизителни методи играят важна роля.

Използвайки приблизителни методи за изследване на нелинейни системи, обикновено е невъзможно да се получи достатъчно пълно разбиране на всички динамични свойства на системата. Въпреки това, с тяхна помощ е възможно да се отговори на редица индивидуални съществени въпроси, като например въпроса за стабилността, наличието на автоколебания, естеството на определени режими и др.

В момента съществува голям бройразлични аналитични и графично-аналитични методи за изследване на нелинейни системи, сред които можем да подчертаем методите на фазовата равнина, напасване, точкови трансформации, хармонична линеаризация, директен метод на Ляпунов, честотни методи за изследване на абсолютната стабилност на Попов, методи за изследване на нелинейни системи с помощта на електронни модели и компютри.

Кратко описаниенякои от изброените методи.

Методът на фазовата равнина е точен, но има ограничено приложение, тъй като е практически неприложим за системи за управление, чието описание не може да се сведе до управление от втори ред.

Методът на хармонична линеаризация е приблизителен метод; той няма ограничения за реда на диференциалните уравнения. При прилагането на този метод се приема, че на изхода на системата има хармонични трептения, а линейната част на системата за управление е високочестотен филтър. В случай на слабо филтриране на сигнали от линейната част на системата, когато се използва методът на хармонична линеаризация, е необходимо да се вземат предвид по-високите хармоници. В същото време анализът на стабилността и качеството на процесите на управление на нелинейни системи става по-сложен.

Вторият метод на Ляпунов позволява да се получат само достатъчни условия за стабилност. И ако въз основа на него се определи нестабилността на системата за управление, тогава в редица случаи, за да се провери правилността на получения резултат, е необходимо функцията на Ляпунов да бъде заменена с друга и да се извърши отново анализ на стабилността. Освен това няма общи методидефиниция на функцията на Ляпунов, което усложнява практическото приложение на този метод.

Критерият за абсолютна стабилност ви позволява да анализирате стабилността на нелинейни системи, използвайки честотни характеристики, което е голямо предимство този метод, тъй като съчетава математическия апарат на линейни и нелинейни системи в едно цяло. Недостатъците на този метод включват сложността на изчисленията при анализиране на стабилността на системи с нестабилна линейна част. Следователно, за да се получи правилният резултат за стабилността на нелинейните системи, трябва да се използва различни методи. И само съвпадението на различни резултати ще ни позволи да избегнем погрешни преценки за стабилността или нестабилността на проектираната система за автоматично управление.

Характеристиката, показана на фигура 1.5 b, е трипозиционно реле, в което допълнителна позиция се дължи на нечувствителност. Уравнението на такава характеристика

x навън						x в			< a ,
x навън	B siqn(xin)					x в			>а.

Характеристиката, показана на фигура 1.5c, е двупозиционно реле с хистерезис. Нарича се още „реле с памет“. Той „помни“ предишното си състояние и в рамките на x вход< a сохраняет это своё значение. Уравне-

определение на такава характеристика

xout = b siqn(x − a)		xin > 0,
xout = b siqn(x + a)
		x в< 0 ,
x навън = + b		xin > − a ;	x&in< 0,
x изход = − b		xin< a;	xin > 0,

Характеристиката, показана на фигура 1.5 d, е трипозиционно реле с хистерезис, в което допълнителна позиция се дължи на мъртвата зона. Уравнението на такава характеристика

x извън =			[ siqn(x − a2	) + siqn(x + a1 )]		xin > 0,
x извън =			[ siqn(x + a2	) + siqn(x − а1 )]		x в< 0 .

От горните уравнения става ясно, че при липса на хистерезис, изходното действие на релето зависи само от стойността на xin или xout = f (xin).

При наличие на хистерезисна верига стойността на x out също зависи от производната по отношение на x in или x out = f (x in, x & in), където x & in характеризира наличието на „памет“ в реле.

1.4 Анализ на методите за изследване на нелинейни системи

За да се решат проблемите на анализа и синтеза на нелинейна система, на първо място е необходимо да се изгради нейният математически модел, който характеризира връзката между изходните сигнали на системата и сигналите, отразяващи въздействията, приложени към системата. В резултат на това получаваме нелинейно диференциално уравнение висок ред, понякога с редица логически връзки. Модерен компютърни технологииви позволява да решавате всякакви нелинейни уравнения и ще трябва да бъдат решени невероятно голям бройтези нелинейни диференциални уравнения. След това изберете най-добрия. Но в същото време човек не може да бъде сигурен, че избраното решение е наистина оптимално и не се знае как да се подобри избраното решение. Следователно един от проблемите на теорията на управлението е следният.

Създаване на методи за проектиране на система за управление, които ви позволяват да определите най-добрата структура и оптимални съотношения на параметрите на системата.

За да изпълните тази задача, имате нужда от следното методи за изчисление, които

позволи достатъчно в проста формаопределяне на математически връзки между параметрите на нелинейна система и динамичните показатели на процеса на управление

ления. И то без намиране на решение на нелинейно диференциално уравнение. За да се реши задачата, нелинейните характеристики на реалните елементи на системата се заменят с някои идеализирани приблизителни характеристики. Изчисляването на нелинейни системи с такива характеристики дава приблизителни резултати, но основното е, че получените зависимости позволяват да се свържат структурата и параметрите на системата с нейните динамични свойства.

В най-простите случаи и главно за нелинейна система от втори ред се използва метод на фазовия път, което ви позволява ясно да покажете динамиката на движение на нелинейна система при различни видовенелинейна връзка, като се вземат предвид началните условия. Трудно е обаче да се вземат предвид различни външни влияния с помощта на този метод.

За система от висок ред се използва метод на хармонична линеаризация. При конвенционалната линеаризация нелинейната характеристика се третира като линейна и губи някои свойства. При хармонична линеаризация се запазват специфичните свойства на нелинейната връзка. Но този метод е приблизителен. Използва се, когато са изпълнени редица условия, които ще бъдат показани при изчисляване на нелинейна система с помощта на този метод. Важен имотТози метод се състои в това, че директно свързва параметрите на системата с динамичните показатели на процеса на регулиране.

За да определите статистическата грешка на регулиране при случайни влияния, използвайте метод на статистическа линеаризация. Същността на този метод е, че нелинейният елемент се заменя с еквивалентен линеен елемент, който трансформира първите два статистически момента по същия начин като нелинейния елемент произволна функция: очакване (средно) и дисперсия (или стандартно отклонение). Има и други методи за анализ на нелинейни системи. например, метод с малък параметър под формата на B.V. Булгаков. Асимптотичен метод Н.М. Крилов и Н.Н. Боголюбоваза анализиране на процес във времето близо до периодично решение. ГрафоаналитиченМетодът позволява нелинеен проблем да бъде сведен до линеен. Метод на хармоничния баланс, който е ползван от Л.С. Goldfarb за анализиране на стабилността на нелинейни системи с помощта на критерия на Найкуист. Графично-аналитични методи, сред които най-широко използваният метод е D.A. Башкирова. От разнообразието от изследователски методи в това учебникще бъдат разгледани: методът на фазовите траектории, методът на точковите трансформации, методът на хармоничната линеаризация E.P. Попов, графично-аналитичен метод L.S. Goldfarb, критерий за абсолютна стабилност от V.M. Попов, метод на статистическа линеаризация.

"Теория на автоматичното управление"

"Методи за изследване на нелинейни системи"

1. Метод на диференциалните уравнения

Диференциалното уравнение на затворена нелинейна система от n-ти ред (фиг. 1) може да се трансформира в системата n-диференциални уравненияпърва поръчка във формата:

където: – променливи, характеризиращи поведението на системата (една от тях може да бъде контролирана променлива); – нелинейни функции; u – влияние на настройката.

Обикновено тези уравнения се записват в крайни разлики:

къде са началните условия.

Ако отклоненията не са големи, тогава тази система може да се реши като система от алгебрични уравнения. Решението може да бъде представено графично.

2. Метод на фазовото пространство

Нека разгледаме случая, когато външното влияние е нула (U = 0).

Движението на системата се определя от промяна на нейните координати – като функция на времето. Стойностите по всяко време характеризират състоянието (фазата) на системата и определят координатите на системата, имаща n-оси и могат да бъдат представени като координати на някаква (представляваща) точка М (фиг. 2).

Фазовото пространство е координатното пространство на системата.

С промяната на времето t точка M се движи по траектория, наречена фазова траектория. Ако променим началните условия, получаваме семейство фазови траектории, наречено фазов портрет. Фазовият портрет определя характера на преходния процес в нелинейна система. Фазовият портрет има специални точки, към които се стремят или отдалечават фазовите траектории на системата (може да има няколко от тях).

Фазовият портрет може да съдържа затворени фазови траектории, които се наричат ​​гранични цикли. Граничните цикли характеризират собствените трептения в системата. Фазовите траектории не се пресичат никъде, освен в специални точки, които характеризират равновесните състояния на системата. Граничните цикли и равновесните състояния могат да бъдат стабилни или нестабилни.

Фазовият портрет напълно характеризира нелинейната система. Характерна особеностНелинейните системи са наличието на различни видове движения, няколко равновесни състояния и наличието на гранични цикли.

Методът на фазовото пространство е основен метод за изследване на нелинейни системи. Много по-лесно и по-удобно е да се изучават нелинейни системи във фазовата равнина, отколкото чрез чертане на преходни процеси във времевата област.

Геометричните конструкции в пространството са по-малко визуални от конструкциите в равнина, когато системата е от втори ред и се използва методът на фазовата равнина.

Приложение на метода на фазовата равнина за линейни системи

Нека анализираме връзката между характера на преходния процес и кривите на фазовите траектории. Фазовите траектории могат да бъдат получени или чрез интегриране на уравнението на фазовата траектория, или чрез решаване на оригиналното диференциално уравнение от 2-ри ред.

Нека системата е дадена (фиг. 3).

Нека разгледаме свободното движение на системата. В този случай: U(t)=0, e(t)=– x(t)

Най-общо диференциалното уравнение има формата

Къде (1)

Това е хомогенно диференциално уравнение от 2-ри ред, неговото характеристично уравнение е равно на

. (2)

Корените на характеристичното уравнение се определят от отношенията

(3)

Нека представим диференциално уравнение от 2-ри ред под формата на система

Уравнения от 1-ви ред:

(4)

където е скоростта на промяна на контролираната променлива.

В разглежданата линейна система променливите x и y представляват фазовите координати. Построяваме фазовия портрет в пространството на координатите x и y, т.е. на фазовата равнина.

Ако изключим времето от уравнение (1), получаваме уравнението на интегралните криви или фазовите траектории.

. (5)

Това е разделимо уравнение

Нека разгледаме няколко случая

Файловете GB_prog.m и GB_mod.mdl, а анализът на спектралния състав на периодичния режим на изхода на линейната част - чрез файловете GB_prog.m и R_Fourie.mdl. Съдържание на файла GB_prog.m: % Изследване на нелинейни системи по метода на хармоничния баланс % Използвани файлове: GB_prog.m, GB_mod.mdl и R_Fourie.mdl. % Използвани означения: NE - нелинеен елемент, LP - линейна част. %Изчистване на всички...

Безинерционен в допустимия (ограничен отгоре) честотен диапазон, извън който става инерционен. В зависимост от вида на характеристиките се разграничават нелинейни елементи със симетрични и асиметрични характеристики. Характеристика, която не зависи от посоката на величините, които я определят, се нарича симетрична, т.е. имайки симетрия спрямо произхода на системата...

Има точни и приближени методи за изследване на нелинейни системи; точните методи включват методите на фазовите траектории, метода на честотата на Попов, метода на участъците от пространството на параметрите, метода на приближените включват метода на хармоничната линеаризация.

Основи на метода на фазовата траектория

Методът на фазовите траектории е, че поведението на изследваната нелинейна система се разглежда и описва не във времевата област (под формата на уравнения на процесите в системата), а във фазовото пространство на системата (под формата на фазови траектории).

Състоянието на нелинейна система за автоматично управление се характеризира с помощта на фазовите координати на системата

определяне на вектора на състоянието на системата във фазовото пространство на системата

Y (y1, y2, y3,...yn).

При въвеждането на фазови координати под внимание, нелинейно диференциално уравнение от ред n за свободен процес в нелинейна система

се трансформира в система от n диференциални уравнения от първи ред

По време на процеса в системата фазовите координати yi се променят и векторът на състоянието на системата Y описва ходографа в n-мерното фазово пространство на системата (фиг. 56). Ходографът на вектора на състоянието (траекторията на движение на изобразяващата точка М, съответстваща на края на вектора) е фазовата траектория на системата. Видът на фазовата траектория е уникално свързан с характера на процеса в системата. Следователно свойствата на една нелинейна система могат да се съдят по нейните фазови траектории.

Уравнението на фазовата траектория може да се получи от горната система от уравнения от първи ред, свързващи фазовите координати и отчитащи свойствата на системата чрез елиминиране на времето. Фазовата траектория не отразява времето на процесите в системата.

Връзката между фазовата траектория y(x) и процеса x(t) е илюстрирана на фиг. 57. Фазовата траектория се конструира във фазови координати 0XY, където x е изходната стойност на системата, y е скоростта на изменение на изходната стойност (първата производна на x’). Преходният процес x(t) се изобразява в координати x–t (изходна стойност – време).

Метод на точкови трансформации на повърхнини ви позволява да определите всички видове движение ( свободни вибрации) нелинейни динамични системислед всякакви първоначални отклонения. Методът е разработен за анализ и синтез на движения на системи, описани с диференциални уравнения от нисък ред (втори, трети), както и за система с релейно управление, като се отчита закъснението.

Подмяната се извършва на участъци, за всеки от които нелинейната част на характеристиката е представена от линеен сегмент. Това прави възможно получаването на интегрируемо линейно диференциално уравнение, което приблизително отразява процеса в даден участък. За система, описана от диференциално уравнение от втори ред, напредъкът на изчислението може да бъде показан на фазовата равнина, по чиито оси са нанесени изследваната променлива l и нейната производна по време y. Решаването на динамичния проблем се свежда до изследване на точковата трансформация на координатната полуос в себе си.

Фиг. 10.7. Метод на точкова трансформация

Честотен метод Румънският учен V.M. Попов, предложен през 1960 г., решава проблема за абсолютната устойчивост на система с една еднозначна нелинейност, определена от граничната стойност на коефициента на пренос k на нелинейния елемент. Ако системата за управление има само една недвусмислена нелинейност z=f(x), тогава чрез комбиниране на всички останали връзки на системата в линейната част може да се получи нейната предавателна функция Wlch(p), т.е. вземете проектната диаграма Фиг. 7.1.
Няма ограничения за реда на линейната част, т.е. линейната част може да бъде всичко. Контурът на нелинейността може да е неизвестен, но трябва да е недвусмислен. Необходимо е само да се знае в рамките на какъв ъгъл arctg k (фиг. 7.2) се намира, където k е максималният (максимален) коефициент на предаване на нелинейния елемент.

Фиг.7.2. Характеристики на нелинеен елемент

Графичната интерпретация на критерия на В.М.Попов е свързана с изграждането на а.ф.х. модифицирана честотна характеристика на линейната част на системата W*(jω), която се определя, както следва:
W*(jω) = Re WLC(jω) + Im WLC(jω),
където Re WLC(jω) и Im WLC(jω) са съответно реалната и въображаемата част на линейната система.
Критерият на В. М. Попов може да бъде представен в алгебрична или честотна форма, както и за случаите на устойчиви и нестабилни линейни части. Най-често се използва честотната форма.
Формулировка на критерия на В. М. Попов в случай на стабилна линейна част: за да се установи абсолютната устойчивост на нелинейна система, е достатъчно да се избере права линия в комплексната равнина W * (jω), минаваща през точката (, j0), така че че цялата крива W*(jω) лежи вдясно от тази права. Условията за изпълнение на теоремата са показани на фиг. 7.3.

ориз. 7.3. Графична интерпретация на критерия от V.M. Попов за абсолютно устойчива нелинейна система

На фиг. 7.3 показва случая на абсолютна устойчивост на нелинейна система за всяка форма на недвусмислена нелинейност. По този начин, за да се определи абсолютната стабилност на нелинейна система, използвайки метода на V.M. Попов, е необходимо да се изгради модифицирана честотна характеристика на линейната част на системата W * (jω), да се определи граничната стойност на коефициента на предаване k на нелинейния елемент от условието и да се начертае права линия през точката (- ) върху реалната ос на комплексната равнина, така че характеристиката W*(jω) да лежи вдясно от тази права линия. Ако такава права линия не може да бъде начертана, това означава, че абсолютната стабилност за дадена система е невъзможна. Контурът на нелинейността може да е неизвестен. Препоръчително е да се използва критерият в случаите, когато нелинейността може да се промени по време на работа на ACS или нейното математическо описание е неизвестно.

Метод на монтаж намери своето приложение при конструирането на фазови портрети на нелинейни системи, които могат да бъдат представени под формата на линейни и нелинейни части (фиг. 11.10), като линейната част е система от втори ред, а нелинейната част се характеризира с частична линейна статична характеристика.

линейна част

нелинейна част

ориз. 11.10 Блокова схема на нелинейна система

Съгласно този метод фазовата траектория се изгражда на части, всяка от които съответства на линеен участък от статичната характеристика. В такъв разглеждан участък системата е линейна и нейното решение може да бъде намерено чрез директно интегриране на уравнението за фазовата траектория на този участък. Интегрирането на уравнението при конструиране на фазова траектория се извършва, докато последната достигне границата на следващия участък. Стойностите на фазовите координати в края на всеки участък от фазовата траектория са началните условия за решаване на уравнението в следващия раздел. В този случай те казват, че първоначалните условия са коригирани, т.е. краят на предишния участък от фазовата траектория е началото на следващия. Границата между секциите се нарича превключвателна линия.

По този начин изграждането на фазов портрет с помощта на метода на монтиране се извършва в следната последователност:

началните условия са избрани или посочени;

интегрирана е система от линейни уравнения за линейния участък, където началните условия попадат до момента на достигане на границата на следващия участък;

началните условия се коригират.

Метод на хармонична линеаризация

Няма общи универсални методи за изследване на нелинейни системи - разнообразието от нелинейности е твърде голямо. Въпреки това, за отделни видоверазработени нелинейни системи ефективни методианализ и синтез.

• Методът на хармонична линеаризация е предназначен да представи нелинейната част на системата с някаква еквивалентна трансферна функция, ако сигналите в системата могат да се считат за хармонични.

• Този метод може ефективно да се използва за изследване на периодични колебания в автоматични системи, включително условията на отсъствие на тези колебания като вредни.

Характерно за метода на хармоничната линеаризация е разглеждането един и единствен нелинеен елемент. NEможе да се раздели към статичноИ динамичен. Динамичен NEсе описват с нелинейни диференциални уравнения и са много по-сложни. Статичен NEсе описват от функцията F(x).