1. Неправилни интеграли с безкрайни граници
Нека си припомним дефиницията на интеграл като граница на интегралните суми: 
Дефиницията предполага, че интервалът на интегриране е краен и функцията f(x) е непрекъсната в него. Нарушаването на тези предположения води до неправилни интеграли.
Определение.Ако интегралът клони към крайна граница, тъй като нараства неограничено "б", тогава тази граница се нарича неправилен интеграл с безкрайна горна граница на функцията f (x) и се означава със символа 
В този случай се казва, че неправилният интеграл съществува или се сближава.
Ако определената граница не съществува или съществува, но е безкрайна, тогава се казва, че интегралът не съществува или се разминава.
Неподходящ интеграл с безкрайна долна граница се дефинира по подобен начин:
Неправилен интеграл с две безкрайни граници се дава от:
където c е всяка фиксирана точка на оста Ox.
И така, неправилните интеграли могат да имат безкрайна долна граница, безкрайна горна граница, а също и две безкрайни граници.
Признаци на конвергенция. Абсолютна и условна конвергенция
Интеграл съществува само ако всеки от интегралите съществува: и .
Пример.Изследвайте сходимостта на интеграла
Ако приемем c = 0, получаваме:
тези. интегралът се събира.
Понякога не е необходимо да се изчислява неправилен интеграл, а е достатъчно просто да се знае дали той се сближава или се разминава, като се сравни с друг интеграл.
Сравнителна теорема за неправилни интеграли.
Нека функцията f (x) в интервала има няколко (краен брой) точки на прекъсване от първи вид, това „препятствие“ може лесно да бъде елиминирано чрез разделяне на сегмента на няколко сегмента с точки на прекъсване, изчисляване на определени интеграли на всеки отделен участък и сумиране на резултатите.
Нека помислим определен интегралот функция, която е неограничена при приближаване до един от краищата на сегмента, например, 
.
(В такива случаи те обикновено казват: „Функцията има безкраен прекъсване в десния край на интервала на интегриране.“).
Ясно е, че обичайната дефиниция на интеграл тук губи значението си.
Определение. Неправилен интеграл на функцията f(x), непрекъснат за a £ x< b и неограниченной при x ® b - 0, называется предел:
Неправилният интеграл на функция, която има безкрайно прекъсване в левия край на сегмента, се дефинира по подобен начин:
Следователно в участъка [-1, 0] интегралът се разминава.
Това означава, че интегралът също се разминава в сечението.
По този начин този интеграл се разминава в целия интервал [-1, 1]. Имайте предвид, че ако започнем да изчисляваме този интеграл, без да обръщаме внимание на прекъсването на интегралната функция в точката x = 0, ще получим неправилен резултат. наистина
, което е невъзможно.
Така че, за да изследваме неправилния интеграл на прекъсната функция, е необходимо да го „разделим“ на няколко интеграла и да ги изследваме.
Примери за изследване на неправилни интеграли за сходимост
Пример 1
.
По този начин този интеграл се събира за a>1 и се разминава за a £1.
Пример 2
Проверете за конвергенция. Нека изчислим интеграла по дефиниция: 
.
По този начин този интеграл се събира в a<1 и расходится при a³1.
Пример 3
Проверете за конвергенция 
.
<0) при x стремящемся к 0, поэтому разобьем исходный интеграл на два
.
Изследваме сходимостта на първия интеграл I1, като използваме еквивалентната функция: (тъй като n>0) и интегралът се сближава за m>-1 (пример 2). По същия начин за интеграла I2:
И интегралът се събира при m+n<-1 (пример2). Следовательно, исходный интеграл сходится при выполнении одновременно двух условий m>-1 и m+n<-1, и будет расходится при нарушении хотя бы одного из них.
Пример 4 Проверете за конвергенция.
Интегрантът може да бъде безкрайно голям (ако m<0) при x стремящемся к 0, поэтому разобьем исходный интеграл на два:
Тъй като arctgx »x при x®0, интегралът I1 е еквивалентен на интеграла, който се събира за m+1>-1, т.е. за m>-2 (пример 1).
За подинтегралната функция в неправилния интеграл от първи вид I2 избираме еквивалентен:
тъй като arctgx » p/2 при x® ¥. Следователно, по втория критерий за сравнение, интегралът I2 ще се сближи за m+n<-1, и расходится в противном случае.
Комбинирайки условията за сходимост на интегралите I1 и I2, получаваме условията за сходимост на първоначалния интеграл: m>-2 и m+n<-1 одновременно.
Коментирайте.В примери 2-4 е използван 2-ри критерий за сравнение, който осигурява необходимите и достатъчни условия за сходимост, което позволява, след установяване на сходимост при някакво условие на стойностите на параметъра, да не се доказва разминаването на интеграла, ако получените условия за сходимост са нарушени.
Пример 5 Проверете за конвергенция.
Този интеграл съдържа особена точка 0, в която подинтегралната функция може да отиде до безкрайност като p<0, поэтому снова разобьем исходный интеграл на два:
.
Интегралът I1 е неправилен интеграл от втори вид, а интеграндът е еквивалентен при x®0 на функцията xp (e-x ®1 при x®0), т.е. I1 се сближава при p>-1 (пример 1).
Интегралът I2 е неправилен интеграл от първи род. Не е възможно да се избере функция, еквивалентна на интегранта, така че да не съдържа експоненциална функция. Следователно е невъзможно да се използва атрибут за сравнение 2, както в предишните примери. Нека приложим първия критерий за сравнение, за който използваме следния добре известен факт:
За a>0 и всяко p. От това и от факта, че функцията xpe-ax е непрекъсната, следва, че тази функция е ограничена, т.е. има константа M>0, такава че xpe-ax< M. Возьмем, например, a=1/2, и оценим интеграл I2 сверху:
Тоест, интегралът I2 се събира за всяко p.
Така първоначалният интеграл се сближава при p>-1.
Пример 6 Проверете за конвергенция.
Нека променим променливата: t = lnx и получаваме
Разделянето на интеграла на две се извършва подобно на пример 5. Интегралът I1 е напълно еквивалентен на интеграла I1 от пример 5 и следователно се сближава при q<1.
Нека разгледаме интеграла I2. При спазване на 1-р<0 этот интеграл полностью эквивалентен интегралу I2 в примере 5 (доказательство сходимости аналогично, а условие 1-p<0 нужно для выполнения 
и a=(1-p)/2.).
И така, I2 се сближава за p>1. Изследването на сходимостта на този интеграл обаче не е завършено тук, тъй като използваният критерий за сходимост осигурява само достатъчни условия за сходимост. Следователно трябва да изследваме конвергенцията за 1-p £ 0.
Нека разгледаме случая p=1. Тогава интегралът I2 е еквивалентен на , който се сближава за q>1 (обърнете внимание, че в този случай интегралът I1 се разминава) и се разминава в противен случай.
На стр<1 оценим интеграл I2 и покажем его расходимость. Для этого вспомним, что 
За 1-p>0 и следователно, започвайки от някои A>1, Т-
Qд(1-
П)
Т³ M=const>0. Тогава интегралът I2 удовлетворява оценката
,
Където интегралът от дясната страна се разминава, което доказва разминаването на интеграла I2.
Обобщавайки получените резултати, откриваме, че първоначалният интеграл се сближава при q<1 и p>1, в противен случай интегралът се разминава.
Пример 6 Изследване за абсолютна и условна конвергенция.
Нека разделим оригиналния интеграл на две:
.
Конвергенция.Интегралът I1 е еквивалентен 
, т.е. се събира в p<2 (пример 1) , причем абсолютно, так как подынтегральная функция положительна на отрезке интегрирования.
Интегралът I2 се сближава според теста на Дирихле-Абел за p>0, тъй като първоизводната sin(x) е ограничена и функцията 1/xp монотонно клони към нула, когато x клони към безкрайност.
Нека покажем, че при p £ 0 интегралът се разминава. Нека използваме за това критерия на Коши или по-скоро неговото отрицание
.
Нека вземем следните стойности като R1 и R2: R1=2pk и R2=2pk+p/2, тогава
, за p>0.
Така интегралът се събира при 0 Абсолютна конвергенцияАбсолютната конвергенция на интеграла I1 вече е установена; нека разгледаме абсолютната конвергенция на I2. Нека оценим интеграла отгоре: За да докажем дивергенцията за p £ 1, оценяваме интеграла отдолу Нека разделим последния интеграл на разликата на функциите на разликата на интегралите Ако и двата интеграла се сближават, тогава интегралът на разликата се сближава; ако единият интеграл се разминава, а другият се сближава, тогава интегралът на разликата се разминава. В случай на разминаване на двата интеграла, сходимостта на интеграла на разликата подлежи на допълнително изследване. Нас ни интересува вторият от описаните случаи. Разминава се (пример 1) на стр<1. сходится по признаку Дирихле-Абеля при 1>p>0 (виж Конвергенция), следователно интегралът се оценява отдолу чрез дивергентен интеграл, т.е. той се разминава. Случаят p³1 не ни интересува, тъй като за тези стойности на параметъра интегралът се разминава. По този начин първоначалният интеграл се събира абсолютно при 0 Ако подинтегралната функция има прекъсване от втори род на (крайния) интервал на интегриране, говорим за неправилен интеграл от втори род. Нека означим интервала на интегриране с $\left[ a, \, b \right ]$; и двете числа се приемат за крайни по-долу. Ако има само 1 прекъсване, то може да се намира или в точка $a$, или в точка $b$, или вътре в интервала $(a,\,b)$. Нека първо разгледаме случая, когато в точка $a$ има прекъсване от втори род, а в други точки функцията под интегранд е непрекъсната. Така че обсъждаме интеграла \begin(equation) I=\int _a^b f(x)\,dx, (22) \label(intr2) \end(equation) и $f(x) \rightarrow \infty $, когато $x \rightarrow a+0$. Както и преди, първото нещо, което трябва да направите, е да придадете значение на този израз. За да направите това, помислете за интеграла \[ I(\epsilon)=\int _(a+\epsilon)^b f(x)\,dx. \] Определение. Нека има крайна граница \[ A=\lim _(\epsilon \rightarrow +0)I(\epsilon)=\lim _(\epsilon \rightarrow +0)\int _(a+\epsilon)^b f(x)\,dx. \] Тогава се казва, че несобственият интеграл от втория вид (22) се сближава и стойността $A$ му се приписва, че самата функция $f(x)$ е интегрируема в интервала $\left[ a, \; , b\вдясно]$. Разгледайте интеграла \[ I=\int ^1_0\frac(dx)(\sqrt(x)). \] Функцията интегранд $1/\sqrt(x)$ при $x \rightarrow +0$ има безкраен лимит, така че в точката $x=0$ тя има прекъсване от втори вид. Да сложим \[ I(\epsilon)=\int ^1_(\epsilon )\frac(dx)(\sqrt(x))\,. \] В този случай антипроизводното е известно, \[ I(\epsilon)=\int ^1_(\epsilon )\frac(dx)(\sqrt(x))=2\sqrt(x)|^1_(\epsilon )=2(1-\sqrt( \epsilon ))\rightarrow 2\] при $\epsilon \rightarrow +0$. Така първоначалният интеграл е сходящ неправилен интеграл от втори род и е равен на 2. Нека разгледаме варианта, когато на горната граница на интервала на интегриране има прекъсване от втори род във функцията на интегранта. Този случай може да бъде сведен до предишния чрез промяна на променлива $x=-t$ и след това пренареждане на границите на интегриране. Нека разгледаме варианта, когато функцията под интегранд има прекъсване от втори род вътре в интервала на интегриране, в точка $c \in (a,\,b)$. В този случай първоначалният интеграл \begin(equation) I=\int _a^bf(x)\,dx (23) \label(intr3) \end(equation) представени като сума \[ I=I_1+I_2, \quad I_1=\int _a^cf(x)\,dx +\int _c^df(x)\,dx. \] Определение. Ако и двата интеграла $I_1, \, I_2$ се събират, тогава неправилният интеграл (23) се нарича конвергентен и му се приписва стойност, равна на сумата от интегралите $I_1, \, I_2$, функцията $f(x)$ се нарича интегрируем в интервала $\left [a, \, b\right]$. Ако поне един от интегралите $I_1,\, I_2$ е дивергентен, несобственият интеграл (23) се нарича дивергентен. Сходящите несобствени интеграли от 2-ри род имат всички стандартни свойства на обикновените определени интеграли. 1. Ако $f(x)$, $g(x)$ са интегрируеми на интервала $\left[ a, \,b \right ]$, тогава тяхната сума $f(x)+g(x)$ е също интегрируем в този интервал, и \[ \int _a^(b)\left(f(x)+g(x)\right)dx=\int _a^(b)f(x)dx+\int _a^( b)g (x)dx. \] 2. Ако $f(x)$ е интегрируем в интервала $\left[ a, \, b \right ]$, тогава за всяка константа $C$ функцията $C\cdot f(x)$ също е интегрируем на този интервал и \[ \int _a^(b)C\cdot f(x)dx=C \cdot \int _a^(b)f(x)dx. \] 3. Ако $f(x)$ е интегрируем в интервала $\left[ a, \, b \right ]$ и в този интервал $f(x)>0$, тогава \[ \int _a^ (b) f(x)dx\,>\,0. \] 4. Ако $f(x)$ е интегрируемо в интервала $\left[ a, \, b \right ]$, тогава за всяко $c\in (a, \,b)$ интегралите \[ \ int _a^ (c) f(x)dx, \quad \int _c^(b) f(x)dx \] също се събират и \[ \int _a^(b)f(x)dx=\int _a ^(c ) f(x)dx+\int _c^(b) f(x)dx \] (адитивност на интеграла върху интервала).
Разгледайте интеграла \begin(equation) I=\int _0^(1)\frac(1)(x^k)\,dx. (24) \label(mod2) \end(уравнение) Ако $k>0$, интегралът клони към $\infty$ като $x \rightarrow +0$, така че интегралът е неправилен от втори вид. Нека представим функцията \[ I(\epsilon)=\int _(\epsilon)^(1)\frac(1)(x^k)\,dx. \] В този случай антипроизводното е известно, т.н \[ I(\epsilon)=\int _(\epsilon)^(1)\frac(1)(x^k)\,dx\,=\frac(x^(1-k))(1-k )|_(\epsilon)^1= \frac(1)(1-k)-\frac(\epsilon ^(1-k))(1-k). \] за $k \neq 1$, \[ I(\epsilon)=\int _(\epsilon)^(1)\frac(1)(x)\,dx\,=lnx|_(\epsilon)^1= -ln \epsilon. \] за $k = 1$. Като се има предвид поведението при $\epsilon \rightarrow +0$, стигаме до заключението, че интеграл (20) се събира при $k Теорема (първият знак за сравнение). Нека $f(x)$, $g(x)$ са непрекъснати за $x\in (a,\,b)$ и $0 1. Ако интегралът \[ \int _a^(b)g(x) dx \] се сближава, тогава интегралът \[ \int _a^(b)f(x)dx се сближава. \] 2. Ако интегралът \[ \int _a^(b)f(x)dx \] се разминава, тогава интегралът \[ \int _a^(b)g(x)dx се разминава. \] Теорема (втори критерий за сравнение). Нека $f(x)$, $g(x)$ са непрекъснати и положителни за $x\in (a,\,b)$ и нека има крайна граница \[ \theta = \lim_(x \rightarrow a+0) \frac(f(x))(g(x)), \quad \theta \neq 0, \, +\infty. \] След това интегралите \[ \int _a^(b)f(x)dx, \quad \int _a^(b)g(x)dx \] се сближават или разминават едновременно. Разгледайте интеграла \[ I=\int _0^(1)\frac(1)(x+\sin x)\,dx. \] Интегрантът е положителна функция в интервала на интегриране, интеграндът клони към $\infty$ като $x \rightarrow +0$, така че нашият интеграл е неправилен интеграл от втори род. Освен това, за $x \rightarrow +0$ имаме: ако $g(x)=1/x$, тогава \[ \lim _(x \дясна стрелка +0)\frac(f(x))(g(x))=\lim _(x \дясна стрелка +0)\frac(x)(x+\sin x)=\ frac(1)(2) \neq 0,\, \infty \, . \] Прилагайки втория критерий за сравнение, стигаме до извода, че нашият интеграл се сближава или разминава едновременно с интеграла \[ \int _0^(+1)\frac(1)(x)\,dx . \] Както беше показано в предишния пример, този интеграл се разминава ($k=1$). Следователно първоначалният интеграл също се разминава. Изчислете неправилния интеграл или установете неговата конвергенция (дивергенция). 1. \[ \int _(0)^(1)\frac(dx)(x^3-5x^2)\,. \] 2. \[ \int _(3)^(7)\frac(x\,dx)((x-5)^2)\,. \] 3. \[ \int _(0)^(1)\frac(x\,dx)(\sqrt(1-x^2))\,. \] 4. \[ \int _(0)^(1)\frac(x^3\,dx)(1-x^5)\,. \] 5. \[ \int _(-3)^(2)\frac(dx)((x+3)^2)\,. \] 6. \[ \int _(1)^(2)\frac(x^2\,dx)((x-1)\sqrt(x-1))\,. \] 7. \[ \int _(0)^(1)\frac(dx)(\sqrt(x+x^2))\,. \] 8. \[ \int _(0)^(1/4)\frac(dx)(\sqrt(x-x^2))\,. \] 9. \[ \int _(1)^(2)\frac(dx)(xlnx)\,. \] 10. \[ \int _(1)^(2)\frac(x^3\,dx)(\sqrt(4-x^2))\,. \] 11. \[ \int _(0)^(\pi /4)\frac(dx)(\sin ^4x)\,. \] Както знаете, намирането на интеграла може да бъде доста трудна задача. Би било голямо разочарование да започнете да изчислявате неправилен интеграл и да откриете в края на пътя, че той се разминава. Следователно интерес представляват методи, които позволяват, без сериозни изчисления, базирани на един тип функция, да се направи заключение за конвергенцията или дивергенцията на неправилен интеграл. Първата и втората теорема за сравнение, които ще бъдат обсъдени по-долу, значително помагат при изучаването на неправилни интеграли за конвергенция. Нека f(x)?0. След това функциите се увеличават монотонно в променливите t или -g (тъй като приемаме g>0, -g клони към нула отляво). Ако с нарастването на аргументите функциите F 1 (t) и F 2 (-d) остават ограничени отгоре, това означава, че съответните неправилни интеграли се събират. Това е основата на първата теорема за сравнение за интеграли на неотрицателни функции. Нека функциите f(x) и g(x) при x?a удовлетворяват следните условия: Тогава от сходимостта на интеграла следва сходимостта на интеграла, а от дивергенцията на интеграла следва дивергенцията Тъй като 0?f(x)?g(x) и функциите са непрекъснати, тогава По условие интегралът се събира, т.е. има крайна стойност. Следователно интегралът също се събира. Сега нека интегралът се разминава. Нека приемем, че интегралът се събира, но тогава интегралът трябва да се сближава, което противоречи на условието. Предположението ни е неправилно, интегралът се разминава. Сравнителна теорема за несобствени интеграли от 2-ри род. Нека за функциите f(x) и g(x) на интервала нарастват неограничено за x>+0. За x>+0 е валидно следното неравенство:<. Несобственный интеграл есть эталонный интеграл 2-го рода, который при p=<1 сходится; следовательно, по 1-й теореме сравнения для несобственных интегралов 2-го рода интеграл сходится также. Сравнителна теорема за несобствени интеграли от 1-ви род. Нека за функцията f(x) и g(x) на интервала )
, т.е. интегралът се събира за p>1.
.
.10.2.1 Определение и основни свойства
10.2.2 Тестове за сходимост на несобствени интеграли от 2-ри род
