Решаване на уравнения от по-високи степени. Решаване на уравнения от по-високи степени. Формула за корените на уравнения от 5-та степен

Съдейки по началото на публикацията, което ще пропуснем тук, текстът е написан от Юрий Игнатиевич. И добре е написано, и темите са актуални, но просто така наричайте Русия, както прави Мухин...

Както и да се отнася някой към антинародната власт, Русия е над нея и не заслужава обиди. Дори и от талантливия разобличител на лъжи на американската агенция НАСА.

Обръщение към другар Мухина Ю.И.

Уважаеми Юрий Игнатиевич!Знам, че посещавате тези страници. Затова се обръщам директно към вас.

Ние всички оценяваме безкористната ви работа в областта на разобличаването на лъжите на Запада, лъжите на Америка, лъжите на псевдоучените, лъжите на либералите. С удоволствие и полза за себе си и обществото разсъждаваме върху сериозните теми, които ни подхвърляте от време на време, било то меритокрация или метафизика, любов към националната история или възстановяване на справедливостта.

Вашите определения за общата ни Родина обаче са озадачаващи и много разстройващи.

Но преценете сами: как бихте характеризирали човек, който започна да обижда майка си, който беше болен и в резултат на това временно спря да работи?

Но Русия, както и да се нарича и колко добро или отвратително е правителството, Русия е нашата Родина. Родина.За нея нашите деди са проливали кръв и са полагали живота си.

Следователно поставянето му наравно с властта означава принизяване на духовното възвишено до нивото на материалното и дори до ниското. Тези. вие сравнявате напълно различни категории. Нещо недопустимо за всеки здравомислещ човек.

Питам те, скъпи другарю. Мухин, помисли сериозно за това.

...А с уравненията (това не го знаех) положението е следното. Как да намерите корените на квадратно уравнение е измислено в древен Египет.

Как да се намерят корените на кубично уравнение и уравнение от четвърта степен е открито през шестнадесети век, но не са могли да намерят корените на уравнение от пета степен до 2016 г. И не само обикновените хора се опитаха.

През шестнадесети век основателят на символната алгебра, Франсоа Виет, се опитва да намери корените на уравнения от пета степен, през деветнадесети век, основателят на съвременната висша алгебра, френският математик Еварист Галоа, се опитва да намери корените на уравнения от пета степен; уравнения от пета степен; след него норвежкият математик Нилс Хенрик Абел се опитва да намери корените на уравнения от пета степен, който в крайна сметка се отказва и доказва невъзможността за решаване на уравнение от пета степен в общ вид.

Четем в Wikipedia за заслугите на Абел: „Абел завърши брилянтно изследване на древен проблем:доказа невъзможността да се реши в общ вид (в радикали) уравнение от 5-та степен...

В алгебрата Абел намира необходимо условие коренът на уравнението да бъде изразен „в радикали“ чрез коефициентите на това уравнение. Достатъчното условие скоро беше открито от Галоа, чиито постижения се основаваха на работата на Абел.

Абел даде конкретни примери за уравнения от 5-та степен, чиито корени не могат да бъдат изразени в радикали, и по този начин до голяма степен затвори древния проблем.

Както можете да видите, ако през цялото време се опитваха да докажат теоремата на Поанкаре и Перелман се оказа по-успешен от другите математици, то след Абел математиците не се заеха с уравнения от пета степен.

И през 2014г математик от Томск Сергей Зайков, за когото от снимката може да се съди, че е вече на години, а от данните от статията за него, че е възпитаник на Факултета по приложна математика и кибернетика на Томския държавен университет, в хода на работата си той получени уравнения от пета степен. задънена улица? Да, това е задънена улица! Но Сергей Зайков се зае да го разбие.

А през 2016 г. той намери начини да решава уравнения от пета степен в общ вид! Той направи това, което математиците Галоа и Абел оказаха невъзможно.

Опитах се да намеря информация за Сергей Зайков в Уикипедия, но по дяволите! За математика Сергей Зайков и как той намери решения на уравнения от пета степен няма информация!

Това, което прави въпроса още по-пикантен, е фактът, че за математиците има аналог на Нобеловата награда - Абелова награда(Нобел забрани да дава награди на математици, а сега ги дават за математически изпражнения, наричайки ги „физика“).

Тази математическа награда е в чест на същия Авел, който доказа невъзможността на стореното от Зайков. Самономинирането за тази награда обаче не е разрешено. Но Зайков е самотен математик и няма организации, които да го номинират за тази награда.

Вярно, имаме Академия на науките, но академиците седят там не за да развиват математиката, а за да „правят пари“. Кому трябва тоя Зайков там?

Е, за информационните агенции Зайков не е Перелман! Следователно откритието на Зайков за медиите не е сензация.

Да, Порошенко обърка вратата! Това е истинска сензация!

Томски математик реши проблем, който не можеше да бъде решен двеста години

С появата на алгебрата нейната основна задача се счита за решаването на алгебрични уравнения. Решението на уравнение от втора степен е известно още във Вавилон и Древен Египет. Преминаваме през уравнения като това в училище. Помните ли уравнението x2 + ax + b = 0 и дискриминанта?

Сергей Зайков с книга

Решението на алгебричните уравнения от трета и четвърта степен е намерено през шестнадесети век. Но не беше възможно да се реши уравнението от пета степен. Лагранж намери причината. Той показа, че решаването на уравнения от трета и четвърта степен става възможно, защото те могат да бъдат сведени до уравнения, които вече са решени. Уравнение от трета степен може да се сведе до уравнение от втора степен, а уравнение от четвърта степен може да се сведе до уравнение от трета. Но уравнение от пета степен се свежда до уравнение от шеста степен, т.е. по-сложно, така че традиционните методи за решаване не са приложими.

Въпросът за решаването на уравнение от пета степен се придвижи напред само преди двеста години, когато Абел доказа, че не всички уравнения от пета степен могат да бъдат решени в радикали, тоест в квадратни, кубични и други корени, познати ни от училище . И Галоа скоро, т.е. преди двеста години, намери критерий, който позволява да се определи кои уравнения от пета степен могат да бъдат решени в радикали и кои не. Той се крие във факта, че групата на Галоа, разрешима в радикали на уравнение от пета степен, трябва да бъде или циклична, или метациклична. Но Галоа не намери начин да реши в радикали онези уравнения от пета степен, които са разрешими в радикали. Теорията на Галоа е много известна, много книги са написани за нея.

Досега са намерени само частични решения за уравнения от пета степен, разрешими с радикали. И едва тази година математикът от Томск Сергей Зайков реши проблем, който не можеше да бъде решен двеста години. Той публикува книгата „Как се решават алгебрични уравнения от пета степен в радикали“, в която той посочи метод за решаване на всякакви уравнения от пета степен, които са разрешими в радикали. Зайков е възпитаник на Факултета по приложна математика и кибернетика на Томския държавен университет. Успяхме да го интервюираме.

— Сергей, защо започнахте да решавате този проблем?

— Имах нужда от решение на уравнение от пета степен, за да реша задача от друг клон на математиката. Започнах да измислям как да го намеря и научих, че не всички от тях са разрешени в радикали. Тогава се опитах да намеря в научната литература начин за решаване на онези уравнения, които са разрешими в радикали, но намерих само критерий, по който може да се определи кои са разрешими и кои не. Не съм алгебрист, но, разбира се, като завършил ФПМК, мога да прилагам и алгебрични методи. Затова през 2014 г. сериозно започнах да търся решение и го намерих сам.

Открих метода преди две години, подготвих книга, в която беше описан не само той, но и методи за решаване на някои уравнения на степени по-големи от пет. Но нямах пари да го публикувам. Тази година реших, че ще бъде по-лесно да публикувам само част от тази работа и взех само половината от нея, посветена на метод за решаване на уравнение от пета степен в радикали.

Целта ми е да издам нещо като ръководство за решаване на тази задача, разбираемо за математиците, които трябва да решат конкретно уравнение. Затова я опростих, като премахнах много дълги формули и значителна част от теорията, съкратих я повече от половината, оставяйки само необходимото. Затова измислих нещо като книга „за манекени“, от която математиците, които не са запознати с теорията на Галоа, могат да решат нужното им уравнение.

— За това много благодаря на Владислав Береснев, с когото се познаваме от много години. Спонсорира издаването на книгата.

— Възможно ли е да получите някаква награда по математика за решаването на тази задача? Например, ти спомена Абел. Но има Абелова награда по математика, която се смята за аналог на Нобеловата?

„Тази възможност не може да бъде напълно изключена.“ Но и вие не трябва да се надявате на това.

Например кандидатурите за наградата Абел за 2019 г. се подават до 15 септември. Освен това не се допуска самономиниране. И аз съм самотен математик. Няма организации или известни математици, които да предложат моята кандидатура. Поради това няма да се разглежда независимо дали моята работа заслужава тази награда и дали е в духа на тази награда да се присъжда на тези, които продължават делото на Абел. Но дори и да се представи, всичко зависи и от нивото на работа на другите кандидати.

Книгата е предназначена за тези, които не са запознати с теорията на Галоа. Основите на теорията на Галоа са дадени само в частта, в която са необходими за решаване на уравнението, методът на решение е описан подробно и са показани техники, които опростяват решението. Значителна част от книгата е посветена на пример за решаване на конкретно уравнение. Рецензенти на книгата са д-р на техническите науки Генадий Петрович Агибалов и д-р по физика. мат. наук, професор Пьотр Андреевич Крилов.

ПОДГОТОВЕН АНАСТАСИЯ СКИРНЕВСКАЯ

През 16 век математиците почти случайно се натъкват на комплексни числа (виж глава 11). До 18-ти век комплексните числа се считат за разширение на полето на реалните числа, но работата с тях все още води до грешки в паритета, тъй като голямата работа на Леонард Е. по теория на числата, Аритметични изследвания (1801), избягва използването на така наречените "въображаеми числа". Струва ми се, че най-важната част от тази работа е първото доказателство на основната теорема на алгебрата. Гаус осъзна колко важна е тази теорема, извеждайки няколко допълнителни доказателства през следващите години. През 1849 г. той преработва първата версия, като този път използва комплексни числа. В съвременни термини можем да кажем, че за всяко крайно полиномно уравнение с реални или комплексни коефициенти, всичките му корени ще бъдат реални или комплексни числа. По този начин получаваме отрицателен отговор на дългогодишния въпрос дали решаването на полиномни уравнения от висок порядък изисква генериране на числа от по-висок порядък от комплексните.

Един от най-трудните проблеми в алгебрата от онова време беше въпросът дали полиномът от пети ред, квинтиката, може да бъде решен чрез алгебрични методи, тоест чрез използване на краен брой алгебрични стъпки. Днес в училище се преподава формулата за решаване на квадратни уравнения, а от 16 век са известни подобни методи за решаване на уравнения от трета и четвърта степен (глава 11). Но не е намерен нито един метод за quintics. Фундаменталната теорема на алгебрата може да изглежда, че има перспектива за положителен отговор, но всъщност тя просто гарантира, че решенията съществуват, тя не казва нищо за съществуването на формули, които дават точни решения (дотогава вече са съществували приблизителни числени и графични методи ). И тогава се появиха двама математически гении с трагична съдба.

Нилс Хенрик Абел (1802–1829) е роден в голямо, бедно семейство, живеещо в малко селце в Норвегия, страна, опустошена от дългите години на война с Англия и Швеция. Учителят, който бил мил с момчето, му давал частни уроци, но след смъртта на баща му, на осемнадесет години, въпреки младата си възраст и крехкото си здраве, Авел бил принуден да издържа семейството си. През 1824 г. той публикува научна статия, в която заявява, че квинтиката не е разрешима с алгебрични средства, както всъщност е всеки полином от по-висок порядък. Абел вярва, че тази статия ще му послужи като билет за научния свят, и я изпраща на Гаус в университета в Гьотинген. За съжаление Гаус така и не успя да реже страниците с нож (в онези дни всеки читател трябваше да го прави) и не прочете статията. През 1826 г. норвежкото правителство най-накрая осигурява средства за пътуването на Абел из Европа. Страхувайки се, че личната комуникация с Гаус няма да му донесе много радост, математикът решава да не посещава Гьотинген и вместо това отива в Берлин. Там той се сприятелява с Август Леополд Креле (1780–1855), математик, архитект и инженер, който съветва пруското министерство на образованието по въпроси на математиката. Крел възнамеряваше да основе Journal of Pure and Applied Mathematics. Така Абел получава възможността да разпространи работата си и публикува много, особено в ранните броеве на списанието, което веднага започва да се счита за много престижно и авторитетно научно издание. Норвежецът публикува там разширена версия на своето доказателство, че квинтиката е неразрешима с алгебрични методи. И след това замина за Париж. Това пътуване силно разстрои Абел, защото той практически не получи необходимата подкрепа от френските математици. Той се сближава с Огюстен Луи Коши (1789–1857), който е водещо светило на математическия анализ по това време, но има много сложен характер. Както самият Абел казва: "Коши е луд и нищо не може да се направи по въпроса, въпреки че в момента той е единственият, който е способен на нещо в математиката." Ако се опитаме да оправдаем проявите на неуважение и пренебрежение, произтичащи от Гаус и Коши, можем да кажем, че квинтикът е постигнал известна известност и е привлякъл вниманието както на уважавани математици, така и на оригиналисти. Абел се завръща в Норвегия, където страда все повече от туберкулоза. Той продължава да изпраща работата си на Крел, но умира през 1829 г., без да подозира колко е утвърдена репутацията му в научния свят. Два дни след смъртта си Абел получава предложение да заеме научна позиция в Берлин.

Абел показа, че всеки полином над четвъртия ред не може да бъде решен с помощта на радикали като квадратни корени, кубични корени или такива от по-висок ред. Въпреки това, изричните условия, при които тези полиноми могат да бъдат решени в специални случаи, и методът за решаването им, са формулирани от Галоа. Еварист Галоа (1811–1832) живее кратък и изпълнен със събития живот. Той беше невероятно надарен математик. Галоа беше непримирим към онези, които смяташе за по-малко талантливи от себе си, и в същото време мразеше социалната несправедливост. Той не проявява никакви способности към математиката, докато не прочита Елементи на геометрията на Лежандър (публикувана през 1794 г., тази книга е основният учебник за следващите сто години). Тогава той буквално поглъща останалите произведения на Лежандър и по-късно на Абел. Неговият ентусиазъм, самочувствие и нетърпимост доведоха до наистина ужасни последици в отношенията му с учители и изпитващи. Галоа участва в конкурс за влизане в École Polytechnique, люлката на френската математика, но се проваля на изпита поради липса на подготовка. Известно време след срещата с нов учител, който разпозна таланта му, той успя да запази нрава си под контрол. През март 1829 г. Галоа публикува първата си статия за непрекъснатите дроби, която смята за най-значимата си работа. Той изпрати съобщение за своите открития до Академията на науките и Коши обеща да ги представи, но забрави. Освен това той просто загуби ръкописа.

Вторият провал на Галоа да влезе в École Polytechnique се превърна в част от математическия фолклор. Толкова беше свикнал постоянно да държи в главата си сложни математически идеи, че се вбесяваше от дребнавите заяждания на изпитващите. Тъй като проверяващите трудно разбираха обясненията му, той хвърли гума за бяла дъска в лицето на един от тях. Скоро след това баща му умира, като се самоубива в резултат на църковни интриги. На погребението му на практика избухва бунт. През февруари 1830 г. Галоа написва следните три доклада, изпращайки ги на Академията на науките за Голямата награда по математика. Жозеф Фурие, тогавашен секретар на академията, умира без да ги прочете и след смъртта му статиите не са открити сред документите му. Такъв порой от разочарование би завладял всеки. Галоа се бунтува срещу властимащите, защото смята, че те не признават заслугите му и унищожават баща му. Той се хвърли стремглаво в политиката, превръщайки се в пламенен републиканец - не най-мъдрото решение във Франция през 1830 г. В последен опит той изпраща научна статия на известния френски физик и математик Симеон Дени Поасон (1781–1840), който отговаря, като изисква допълнителни доказателства.

Това беше последната капка. През 1831 г. Галоа е арестуван два пъти - първо за това, че е призовавал за убийството на крал Луи Филип, а след това, за да го защитят - властите се страхуват от републикански бунт! Този път той беше осъден на шест месеца затвор по скалъпено обвинение за незаконно носене на униформата на разформирования артилерийски батальон, към който се присъедини. Освободен условно, той се зае с работа, която го отвращаваше толкова, колкото всичко останало в живота. В писмата му до неговия предан приятел Шевалие се усеща неговото разочарование. На 29 май 1832 г. той приема предизвикателство за дуел, причините за което не са напълно изяснени. „Станах жертва на нечестна кокетка. Животът ми е угаснал в окаяна кавга“, пише той в „Писмо до всички републиканци“. Най-известната творба на Галоа е скицирана в нощта преди фаталния дуел. В полетата са разпръснати оплаквания: „Вече нямам време, вече нямам време.“ Той беше принуден да остави на другите подробното представяне на междинни стъпки, които не бяха съществени за разбирането на основната идея. Той трябваше да постави на хартия основата на своите открития - произхода на това, което днес се нарича теорема на Галоа. Той завършва завещанието си, като моли Шевалие да „апелира към Якоби и Гаус да дадат своето обществено мнение не по отношение на правилността, а по отношение на важността на тези теореми“. Рано сутринта Галоа отиде да посрещне съперника си. Те трябваше да стрелят от разстояние 25 крачки. Галоа е ранен и умира в болница на следващата сутрин. Беше само на двадесет години.

Галоа се основава на работата на Лагранж и Коши, но развива по-общ метод. Това беше изключително важно постижение в областта на решаването на квинтики. Ученият обръща по-малко внимание на оригиналните уравнения или графична интерпретация и мисли повече за природата на самите корени. За да опрости, Галоа разглежда само така наречените нередуцируеми квинтики, тоест тези, които не могат да бъдат факторизирани под формата на полиноми от по-нисък порядък (както казахме, за всички полиномиални уравнения до четвърти порядък има формули за намиране на техните корени). Като цяло, нередуцируем полином с рационални коефициенти е полином, който не може да бъде разложен на по-прости полиноми с рационални коефициенти. Например, (x 5 - 1) може да се факторизира (x-1)(x 4 + x 3 + x 2 + x + 1),докато (х 5 - 2)Нередуцируем. Целта на Галоа беше да определи условията, при които всички решения на общо нередуцируемо полиномно уравнение могат да бъдат намерени по отношение на радикали.

Ключът към решението е, че корените на всяко нередуцируемо алгебрично уравнение не са независими, те могат да бъдат изразени един през друг. Тези отношения бяха формализирани в група от всички възможни пермутации, така наречената група на коренна симетрия - за квинтика тази група съдържа 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 елемента. Математическите алгоритми на теорията на Галоа са много сложни и най-вероятно, отчасти в резултат на това, първоначално са били трудни за разбиране. Но след като нивото на абстракция му позволи да премине от алгебрични решения на уравнения към алгебричната структура на свързаните с тях групи, Галоа успя да предскаже разрешимостта на уравнение въз основа на свойствата на такива групи. Нещо повече, неговата теория предоставя и метод, чрез който самите тези корени могат да бъдат открити. Що се отнася до квинтиките, математикът Джоузеф Лиувил (1809–1882), който през 1846 г. публикува повечето от работата на Галоа в своя Journal of Pure and Applied Mathematics, отбелязва, че младият учен е доказал „красива теорема“ и за да „до Ако едно нередуцируемо уравнение от първоначалната степен е разрешимо по отношение на радикали, е необходимо и достатъчно всичките му корени да бъдат рационални функции на всеки два от тях. Тъй като това е невъзможно за квинтика, то не може да бъде решено с помощта на радикали.

За три години математическият свят загуби две от най-ярките си нови звезди. Следват взаимни обвинения и саморазправа и Абел и Галоа постигат заслужено признание, но посмъртно. През 1829 г. Карл Якоби чрез Лежандр научава за „изгубения“ ръкопис на Абел, а през 1830 г. избухва дипломатически скандал, когато норвежкият консул в Париж настоява статията на неговия сънародник да бъде открита. В крайна сметка Коши намира статията, но отново я губи от редакторите на академията! Същата година Абел получава Голямата награда по математика (споделена с Якоби), но вече е мъртъв. През 1841 г. е публикувана неговата биография. През 1846 г. Лиувил редактира някои от ръкописите на Галоа за публикуване и във въведението изразява съжаление, че академията първоначално е отхвърлила работата на Галоа поради нейната сложност - „яснотата на представянето е наистина необходима, когато авторът отвежда читателя извън утъпкания път в неизследвана дива природа територии." Той продължава: „Галоа вече го няма! Нека не изпадаме в безполезни критики. Да оставим настрана недостатъците и да разгледаме предимствата! Плодовете на краткия живот на Галоа се побират само в шестдесет страници. Редакторът на математическо списание за кандидати в École Normale и École Polytechnique коментира случая Galois по следния начин: „Кандидат с висок интелект беше елиминиран от изпитващ с по-ниско ниво на мислене. Barbarus hic ego sum, quia non intelligor ilis."

На първо място, втората страница на това произведение не е обременена с имена, фамилии, описания на социален статус, титли и елегии в чест на някой скъперник принц, чийто портфейл ще бъде отворен с помощта на тези благовония - със заплахата от затваряне когато похвалата свърши. Тук няма да видите благоговейни хвалебствия, написани с букви, три пъти по-големи от самия текст, адресирани до високопоставени в науката, до някой мъдър меценат – нещо задължително (бих казал неизбежно) за някой на двайсет години, който иска да напиша нещо. Не казвам на никого тук, че дължа техния съвет и подкрепа за всичко добро, което произлиза от работата ми. Не го казвам, защото би било лъжа. Ако трябваше да спомена някой от великите в обществото или в науката (разликата между тези две класи хора е почти незабележима в днешно време), кълна се, че това няма да е знак на благодарност. На тях дължа, че публикувах първата от тези две статии толкова късно и че написах всичко това в затвора - място, което едва ли може да се счита за подходящо за научна рефлексия, и често се изумявам от моята сдържаност и способност да държа затвори ми устата по отношение на глупавите и зли золи. Мисля, че мога да използвам думата "zoiles", без да се страхувам да бъда обвинен в некоректност, тъй като така наричам опонентите си. Няма да пиша тук как и защо бях изпратен в затвора, но трябва да кажа, че моите ръкописи по-често просто се губеха в досиетата на господа членове на академията, въпреки че, всъщност, не мога да си представя такова недискретност от страна на хората, които са отговорни за смъртта на Авел. Според мен всеки би искал да бъде сравняван с този брилянтен математик. Достатъчно е да кажа, че моята статия за теорията на уравненията беше изпратена на Академията на науките през февруари 1830 г., че откъси от нея бяха изпратени през февруари 1829 г., но нищо от това не беше отпечатано и дори ръкописът се оказа невъзможен за връщане.

Галоа, непубликуван предговор, 1832 г

клас: 9

Основни цели:

Затвърдете концепцията за цяло рационално уравнение от та степен.
Формулирайте основните методи за решаване на уравнения от по-високи степени (n > 3).
Научете основни методи за решаване на уравнения от по-висок ред.
Научете се да използвате типа уравнение, за да определите най-ефективния начин за решаването му.

Форми, методи и педагогически техники, използвани от учителя в класната стая:

Лекционно-семинарна система на обучение (лекции - обяснение на нов материал, семинарни упражнения - решаване на задачи).
Информационни и комуникационни технологии (фронтално проучване, устна работа с класа).
Диференцирано обучение, групова и индивидуална форми.
Използване на изследователски метод в обучението, насочен към развиване на математическия апарат и мисловните способности на всеки отделен ученик.
Печатни материали – индивидуално кратко резюме на урока (основни понятия, формули, твърдения, лекционен материал, съкратен под формата на диаграми или таблици).

План на урока:

Организационен момент.
Целта на етапа: да се включат учениците в образователни дейности, да се определи съдържанието на урока.
Актуализиране на знанията на учениците.
Целта на етапа: актуализиране на знанията на учениците по предварително изучени свързани теми
Изучаване на нова тема (лекция). Цел на етапа: формулиране на основните методи за решаване на уравнения от по-високи степени (н > 3)
Обобщавайки.
Целта на етапа: още веднъж да се подчертаят ключовите моменти в материала, изучаван в урока.
домашна работа.
Целта на етапа: формулиране на домашна работа за учениците.

Обобщение на урока

1. Организационен момент.

Формулиране на темата на урока: „Уравнения на висши степени. Методи за разрешаването им.”

2. Актуализиране на знанията на учениците.

Теоретичен преглед – разговор. Повторение на вече изучени сведения от теорията. Учениците формулират основни определения и формулират необходимите теореми. Дайте примери, за да демонстрирате нивото на придобитите преди това знания.

Концепцията за уравнение с една променлива.
Концепцията за корен на уравнение, решение на уравнение.
Концепцията за линейно уравнение с една променлива, концепцията за квадратно уравнение с една променлива.
Концепцията за еквивалентност на уравнения, уравнения-следствия (концепцията за външни корени), преход не по следствие (случаят на загуба на корени).
Концепцията за цял рационален израз с една променлива.
Концепцията за цяло рационално уравнение пта степен. Стандартна форма на цяло рационално уравнение. Редуцирано цяло рационално уравнение.
Преход към набор от уравнения от по-ниски степени чрез разлагане на оригиналното уравнение.
Концепцията за полином пта степен от х. Теорема на Безу. Следствия от теоремата на Безу. Коренни теореми (З -корени и Q
-корени) на цяло рационално уравнение с цели коефициенти (съответно редуцирани и нередуцирани).

Схема на Хорнер.

3. Изучаване на нова тема. пЩе разгледаме цялото рационално уравнение -та степен на стандартна форма с една неизвестна променлива x:Pn(x) P n (x) = a n x n + a n-1 x n-1 + a 1 x + a 0– полином пта степен от х, а n ≠ 0. Ако а n = 1, тогава такова уравнение се нарича редуцирано цяло рационално уравнение пта степен. Нека разгледаме такива уравнения за различни стойности пи избройте основните методи за тяхното решаване.

п= 1 – линейно уравнение.

п= 2 – квадратно уравнение.Дискриминантна формула. Формула за изчисляване на корени. Теорема на Виета. Избор на пълен квадрат.

п= 3 – кубично уравнение.

Метод на групиране.

Пример: x 3 – 4x 2 – x+ 4 = 0 (x – 4)(x 2– 1) = 0 х 1 = 4 , х 2 = 1,х 3 = -1.

Реципрочно кубично уравнение на формата брадва 3 + bx 2 + bx + а= 0. Решаваме, като комбинираме членове с еднакви коефициенти.

Пример: х 3 – 5х 2 – 5х + 1 = 0 (х + 1)(х 2 – 6х + 1) = 0 х 1 = -1, х 2 = 3 + 2, х 3 = 3 – 2.

Избор на Z-корени въз основа на теоремата. Схема на Хорнер. При прилагането на този метод е необходимо да се подчертае, че търсенето в този случай е ограничено и ние избираме корените с помощта на определен алгоритъм в съответствие с теоремата за Следствия от теоремата на Безу. Коренни теореми (-корени на дадено цяло рационално уравнение с цели коефициенти.

Пример: х 3 – 9х 2 + 23х– 15 = 0. Уравнението е дадено. Нека запишем делителите на свободния член ( + 1; + 3; + 5; + 15). Нека приложим схемата на Хорнер:

	х 3	х 2	х 1	х 0	заключение
	1	-9	23	-15
1	1	1 x 1 – 9 = -8	1 x (-8) + 23 = 15	1 x 15 – 15 = 0	1 – корен
	х 2	х 1	х 0

Получаваме ( х – 1)(х 2 – 8х + 15) = 0 х 1 = 1, х 2 = 3, х 3 = 5.

Уравнение с цели коефициенти. Избор на Q-корени въз основа на теоремата. Схема на Хорнер. При прилагането на този метод е необходимо да се подчертае, че търсенето в този случай е ограничено и избираме корените с помощта на определен алгоритъм в съответствие с теоремата за -корени и-корени на нередуцирано цяло рационално уравнение с цели коефициенти.

Пример: 9 х 3 + 27х 2 – х– 3 = 0. Уравнението е нередуцирано. Нека запишем делителите на свободния член ( + 1; + 3). Нека запишем делителите на коефициента на най-високата степен на неизвестното. ( + 1; + 3; + 9) Следователно ще търсим корени сред стойностите ( + 1; + ; + ; + 3). Нека приложим схемата на Хорнер:

	х 3	х 2	х 1	х 0	заключение
	9	27	-1	-3
1	9	1 x 9 + 27 = 36	1 x 36 – 1 = 35	1 x 35 – 3 = 32 ≠ 0	1 – не е корен
-1	9	-1 x 9 + 27 = 18	-1 x 18 – 1 = -19	-1 x (-19) – 3 = 16 ≠ 0	-1 – не е корен
	9	х 9 + 27 = 30	х 30 – 1 = 9	x 9 – 3 = 0	корен
	х 2	х 1	х 0

Получаваме ( х – )(9х 2 + 30х + 9) = 0 х 1 = , х 2 = - , х 3 = -3.

За по-лесно изчисление при избор на Q -корениМоже да е удобно да направите промяна на променлива, отидете на даденото уравнение и изберете Z -корени.

Ако фиктивният член е 1

.

Ако можете да използвате замяна на формата y = kx

.

Кардано формула. Има универсален метод за решаване на кубични уравнения - това е формулата на Кардано. Тази формула се свързва с имената на италианските математици Джероламо Кардано (1501–1576), Николо Тарталия (1500–1557) и Сципионе дел Феро (1465–1526). Тази формула е извън обхвата на нашия курс.

п= 4 – уравнение от четвърта степен.

Метод на групиране.

Пример: х 4 + 2х 3 + 5х 2 + 4х – 12 = 0 (х 4 + 2х 3) + (5х 2 + 10х) – (6х + 12) = 0 (х + 2)(х 3 + 5х – 6) = 0 (х + 2)(х– 1)(х 2 + х + 6) = 0 х 1 = -2, х 2 = 1.

Метод на променлива замяна.

Биквадратно уравнение на формата брадва 4 + bx 2 + s = 0 .

Пример: х 4 + 5х 2 – 36 = 0. Замяна г = х 2. Оттук г 1 = 4, г 2 = -9. Ето защо х 1,2 = + 2 .

Реципрочно уравнение от четвърта степен на формата брадва 4 + bx 3+в х 2 + bx + а = 0.

Решаваме, като комбинираме членове с еднакви коефициенти, като заместваме формата

брадва 4 + bx 3 + cx 2 – bx + а = 0.

Обобщено рекурентно уравнение от четвърта степен на формата брадва 4 + bx 3 + cx 2 + kbx + к 2а = 0.

Обща подмяна. Някои стандартни заместители.

Пример 3 . Подмяна на общ изглед(следва от вида на конкретното уравнение).

п = 3.

Уравнение с цели коефициенти. Избор на Q-корени п = 3.

Обща формула. Има универсален метод за решаване на уравнения от четвърта степен. Тази формула се свързва с името на Лудовико Ферари (1522–1565). Тази формула е извън обхвата на нашия курс.

п > 5 – уравнения от пета и по-горни степени.

Уравнение с цели коефициенти. Избор на Z-корени въз основа на теоремата. Схема на Хорнер. Алгоритъмът е подобен на този, обсъден по-горе за п = 3.

Уравнение с цели коефициенти. Избор на Q-коренивъз основа на теоремата. Схема на Хорнер. Алгоритъмът е подобен на този, обсъден по-горе за п = 3.

Симетрични уравнения. Всяко реципрочно уравнение с нечетна степен има корен х= -1 и след като го разложим на фактори, откриваме, че един фактор има формата ( х+ 1), а вторият фактор е реципрочно уравнение с четна степен (степента му е с единица по-малка от степента на първоначалното уравнение). Всяко реципрочно уравнение от четна степен заедно с корен от формата x = φсъдържа и корена на вида. Използвайки тези твърдения, ние решаваме проблема, като понижаваме степента на изследваното уравнение.

Метод на променлива замяна. Използване на хомогенност.

Няма обща формула за решаване на цели уравнения от пета степен (това е показано от италианския математик Паоло Руфини (1765–1822) и норвежкия математик Нилс Хенрик Абел (1802–1829)) и по-високи степени (това е показано от Френският математик Еварист Галоа (1811–1832) )).

Нека припомним още веднъж, че на практика е възможно да се използва комбинацииизброените по-горе методи. Удобно е да се премине към набор от уравнения от по-ниски степени чрез факторизиране на оригиналното уравнение.
Извън обхвата на нашата дискусия днес са тези, които се използват широко в практиката. графични методирешаване на уравнения и методи за приближено решениеуравнения от по-високи степени.

Има ситуации, когато уравнението няма R-корени.

Използване на свойството монотонност на функциите

4. Обобщаване.

Резюме: Вече усвоихме основните методи за решаване на различни уравнения от по-високи степени (за n > 3). Нашата задача е да се научим как да използваме ефективно изброените по-горе алгоритми. В зависимост от вида на уравнението ще трябва да се научим да определяме кой метод за решение в даден случай е най-ефективен, както и да прилагаме правилно избрания метод.

5. Домашна работа.

: параграф 7, стр. 164–174, № 33–36, 39–44, 46.47.

: №№ 9.1–9.4, 9.6–9.8, 9.12, 9.14–9.16, 9.24–9.27.

Възможни теми за доклади или резюмета по тази тема:

Кардано формула
Графичен метод за решаване на уравнения. Примери за решения.
Методи за приближено решаване на уравнения.

Анализ на обучението и интереса на учениците към темата:

Опитът показва, че интересът на учениците се предизвиква преди всичко от възможността за избор Следствия от теоремата на Безу. Коренни теореми (-корени и -корени и-корени на уравнения с помощта на доста прост алгоритъм, използващ схемата на Horner. Студентите също се интересуват от различни стандартни видове заместване на променливи, които могат значително да опростят вида на проблема. Методите за графично решение обикновено са от особен интерес. В този случай можете допълнително да анализирате проблеми с помощта на графичен метод за решаване на уравнения; обсъждат общия вид на графиката за полином от степен 3, 4, 5; анализирайте как броят на корените на уравнения от 3, 4, 5 степени е свързан с външния вид на съответната графика. По-долу е даден списък с книги, в които можете да намерите допълнителна информация по тази тема.

препратки:

Виленкин Н.Я.и други „Алгебра. Учебник за ученици от 9. клас със задълбочено изучаване на математика” - М., Просвещение, 2007 г. - 367 с.
Виленкин Н.Я., Шибасов Л.П., Шибасова З.Ф.„Зад страниците на учебник по математика. Аритметика. Алгебра. 10-11 клас” – М., Образование, 2008 г. – 192 с.
Вигодски М.Я.“Наръчник по математика” – М., AST, 2010 – 1055 с.
Галицки М.Л.„Сборник задачи по алгебра. Учебник за 8-9 клас със задълбочено изучаване на математика” - М., Просвещение, 2008 г. - 301 с.
Звавич Л.И.и др. „Алгебра и началото на анализа. 8–11 клас Ръководство за училища и паралелки с разширено изучаване на математика” - М., Bustard, 1999 - 352 с.
Звавич Л.И., Аверянов Д.И., Пигарев Б.П., Трушанина Т.Н.“Задачи по математика за подготовка за писмен изпит в 9. клас” - М., Просвещение, 2007 г. - 112 с.
Иванов А.А., Иванов А.П.„Тематични тестове за систематизиране на знанията по математика” част 1 – М., Физматкнига, 2006 – 176 с.
Иванов А.А., Иванов А.П.„Тематични тестове за систематизиране на знанията по математика” част 2 – М., Физматкнига, 2006 – 176 с.
Иванов А.П.“Тестове и тестове по математика. Ръководство за обучение. – М., Физматкнига, 2008 – 304 с.
Лейбсън К.Л.“Сборник практически задачи по математика. Част 2–9 клас” – М., МЦНМО, 2009 – 184 с.
Макаричев Ю.Н., Миндюк Н.Г.„Алгебра. Допълнителни глави към учебника за 9. клас. Учебник за учениците в училищата и паралелките със задълбочено изучаване на математика.” – М., Образование, 2006 – 224 с.
Мордкович А.Г.„Алгебра. Задълбочено проучване. 8 клас. Учебник” – М., Мнемозина, 2006 – 296 с.
Савин А.П.“Енциклопедичен речник на млад математик” - М., Педагогика, 1985 г. - 352 с.
Survillo G.S., Симонов A.S.„Дидактически материали по алгебра за 9 клас със задълбочено изучаване на математика“ - М., Просвещение, 2006 г. - 95 с.
Чулков П.В.„Уравнения и неравенства в училищния курс по математика.
Чулков П.В.Лекции 1–4” – М., 1 септември 2006 г. – 88 с.

„Уравнения и неравенства в училищния курс по математика.

Лекции 5–8” – М., 1 септември 2009 г. – 84 с.

По принцип уравнение със степен по-голяма от 4 не може да бъде решено в радикали. Но понякога все още можем да намерим корените на полином отляво в уравнение от най-висока степен, ако го представим като произведение на полиноми до степен не повече от 4. Решаването на такива уравнения се основава на факторизиране на полином, така че ви съветваме да прегледате тази тема, преди да изучавате тази статия.

Най-често трябва да работите с уравнения от по-високи степени с цели коефициенти. В тези случаи можем да се опитаме да намерим рационални корени и след това да факторизираме полинома, така че след това да можем да го преобразуваме в уравнение с по-ниска степен, което е лесно за решаване. В този материал ще разгледаме точно такива примери.

Уравнения от по-висока степен с цели коефициенти

Получените коефициенти също ще бъдат цели числа. По този начин ще трябва да решим редуцираното уравнение от n-та степен с цели коефициенти, имащи формата x n + a n x n - 1 + ... + a 1 x + a 0 = 0.

Изчисляваме целите корени на уравнението. Ако уравнението има цели числа, трябва да ги търсите сред делителите на свободния член a 0 . Нека ги запишем и ги заместим едно по едно в първоначалното равенство, като проверим резултата. След като сме получили идентичността и сме намерили един от корените на уравнението, можем да го запишем във формата x - x 1 · P n - 1 (x) = 0. Тук x 1 е коренът на уравнението, а P n - 1 (x) е частното от x n + a n x n - 1 + ... + a 1 x + a 0, делено на x - x 1 .

Заменяме останалите делители, изписани в P n - 1 (x) = 0, започвайки с x 1, тъй като корените могат да се повтарят. След получаване на идентичността, коренът x 2 се счита за намерен и уравнението може да бъде написано във формата (x - x 1) (x - x 2) · P n - 2 (x) = 0. Тук P n - 2 (x) ще бъде частното от деленето на P n - 1 (x) на x - x 2.

Продължаваме да сортираме делителите. Нека намерим всички цели корени и означим техния брой като m. След това оригиналното уравнение може да бъде представено като x - x 1 x - x 2 · … · x - x m · P n - m (x) = 0. Тук P n - m (x) е полином от n - m степен. За изчисление е удобно да се използва схемата на Хорнер.

Ако първоначалното ни уравнение има цели коефициенти, в крайна сметка не можем да получим дробни корени.

В крайна сметка получихме уравнението P n - m (x) = 0, чиито корени могат да бъдат намерени по всеки удобен начин. Те могат да бъдат ирационални или сложни.

Нека покажем с конкретен пример как се използва тази схема на решение.

Пример 1

Състояние:намерете решението на уравнението x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = 0.

Решение

Нека започнем с намирането на цели корени.

Имаме свободен член, равен на минус три. Има делители, равни на 1, - 1, 3 и - 3. Нека ги заместим в първоначалното уравнение и да видим кои от тях дават получените идентичности.

При x равно на едно, получаваме 1 4 + 1 3 + 2 · 1 2 - 1 - 3 = 0, което означава, че едно ще бъде коренът на това уравнение.

Сега нека разделим полинома x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 на (x - 1) в колона:

Така че x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = x - 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3.

1 3 + 2 1 2 + 4 1 + 3 = 10 ≠ 0 (- 1) 3 + 2 (- 1) 2 + 4 - 1 + 3 = 0

Получихме идентичност, което означава, че намерихме друг корен на уравнението, равен на -1.

Разделете многочлена x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 на (x + 1) в колона:

Разбираме това

x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = (x - 1) (x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3) = = (x - 1) (x + 1) (x 2 + x + 3)

Заместваме следващия делител в равенството x 2 + x + 3 = 0, започвайки от - 1:

1 2 + (- 1) + 3 = 3 ≠ 0 3 2 + 3 + 3 = 15 ≠ 0 (- 3) 2 + (- 3) + 3 = 9 ≠ 0

Получените равенства ще бъдат неправилни, което означава, че уравнението вече няма цели корени.

Останалите корени ще бъдат корените на израза x 2 + x + 3.

D = 1 2 - 4 1 3 = - 11< 0

От това следва, че този квадратен трином няма реални корени, но има комплексно спрегнати: x = - 1 2 ± i 11 2.

Нека уточним, че вместо разделяне на колона може да се използва схемата на Хорнер. Това става така: след като сме определили първия корен на уравнението, попълваме таблицата.

В таблицата с коефициенти можем веднага да видим коефициентите на частното от делението на полиномите, което означава x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = x - 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 .

След като намерим следващия корен, който е - 1, получаваме следното:

отговор: x = - 1, x = 1, x = - 1 2 ± i 11 2.

Пример 2

Състояние:решете уравнението x 4 - x 3 - 5 x 2 + 12 = 0.

Решение

Свободният член има делители 1, - 1, 2, - 2, 3, - 3, 4, - 4, 6, - 6, 12, - 12.

Нека ги проверим по ред:

1 4 - 1 3 - 5 1 2 + 12 = 7 ≠ 0 (- 1) 4 - (- 1) 3 - 5 (- 1) 2 + 12 = 9 ≠ 0 2 4 2 3 - 5 2 2 + 12 = 0

Това означава, че x = 2 ще бъде коренът на уравнението. Разделете x 4 - x 3 - 5 x 2 + 12 на x - 2, като използвате схемата на Horner:

В резултат на това получаваме x - 2 (x 3 + x 2 - 3 x - 6) = 0.

2 3 + 2 2 - 3 2 - 6 = 0

Това означава, че 2 отново ще бъде коренът. Разделете x 3 + x 2 - 3 x - 6 = 0 на x - 2:

В резултат на това получаваме (x - 2) 2 · (x 2 + 3 x + 3) = 0.

Проверката на останалите делители няма смисъл, тъй като равенството x 2 + 3 x + 3 = 0 е по-бързо и по-удобно за решаване с помощта на дискриминанта.

Нека решим квадратното уравнение:

x 2 + 3 x + 3 = 0 D = 3 2 - 4 1 3 = - 3< 0

Получаваме комплексно спрегната двойка корени: x = - 3 2 ± i 3 2 .

отговор: x = - 3 2 ± i 3 2 .

Пример 3

Състояние:Намерете реалните корени на уравнението x 4 + 1 2 x 3 - 5 2 x - 3 = 0.

Решение

x 4 + 1 2 x 3 - 5 2 x - 3 = 0 2 x 4 + x 3 - 5 x - 6 = 0

Умножаваме 2 по 3 от двете страни на уравнението:

2 x 4 + x 3 - 5 x - 6 = 0 2 4 x 4 + 2 3 x 3 - 20 2 x - 48 = 0

Заменете променливите y = 2 x:

2 4 x 4 + 2 3 x 3 - 20 2 x - 48 = 0 y 4 + y 3 - 20 y - 48 = 0

В резултат на това получихме стандартно уравнение от 4-та степен, което може да бъде решено по стандартната схема. Нека проверим делителите, разделим и в крайна сметка получаваме, че има 2 реални корена y = - 2, y = 3 и два комплексни. Тук няма да представяме цялото решение. Поради заместването, реалните корени на това уравнение ще бъдат x = y 2 = - 2 2 = - 1 и x = y 2 = 3 2.

отговор: x 1 = - 1, x 2 = 3 2

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Нека помислим решаване на уравнения с една променлива със степен по-висока от втората.

Степента на уравнението P(x) = 0 е степента на полинома P(x), т.е. най-голямата от степените на неговите членове с коефициент, не равен на нула.

Така например уравнението (x 3 – 1) 2 + x 5 = x 6 – 2 има пета степен, т.к. след операциите по отваряне на скобите и привеждане на подобни, получаваме еквивалентното уравнение x 5 – 2x 3 + 3 = 0 от пета степен.

Нека си припомним правилата, които ще са необходими за решаване на уравнения със степен по-висока от две.

Изявления за корените на полином и неговите делители:

1. Полином от n-та степен има брой корени, които не превишават n, а корени с кратност m се срещат точно m пъти.

2. Полином с нечетна степен има поне един реален корен.

3. Ако α е коренът на P(x), тогава P n (x) = (x – α) · Q n – 1 (x), където Q n – 1 (x) е полином от степен (n – 1) .

5. Редуцираният полином с цели коефициенти не може да има дробни рационални корени.

6. За полином от трета степен

P 3 (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d е възможно едно от двете неща: или се разлага на произведение от три бинома

Р 3 (x) = а(х – α)(х – β)(х – γ), или се разлага в произведението на бином и квадратен тричлен Р 3 (x) = а(х – α)(х 2 + βх + γ ).

7. Всеки полином от четвърта степен може да бъде разширен в произведението на два квадратни тринома.

8. Полином f(x) се дели на полином g(x) без остатък, ако има полином q(x), такъв че f(x) = g(x) · q(x). За разделяне на полиноми се използва правилото за „деление на ъгъла“.

9. За да може полиномът P(x) да се дели на бином (x – c), е необходимо и достатъчно числото c да бъде корен на P(x) (следствие от теоремата на Безу).

10. Теорема на Виета: Ако x 1, x 2, ..., x n са реални корени на полинома

P(x) = a 0 x n + a 1 x n - 1 + ... + a n, тогава са валидни следните равенства:

x 1 + x 2 + … + x n = -a 1 /a 0,

x 1 x 2 + x 1 x 3 + … + x n – 1 x n = a 2 /a 0,

x 1 x 2 x 3 + … + x n – 2 x n – 1 x n = -a 3 / a 0,

x 1 · x 2 · x 3 · x n = (-1) n a n / a 0 .

Решаване на примери

Пример 1.

Намерете остатъка от деленето P(x) = x 3 + 2/3 x 2 – 1/9 по (x – 1/3).

Решение.

Като следствие от теоремата на Безу: „Остатъкът от полином, разделен на бином (x – c) е равен на стойността на полинома от c.“ Нека намерим P(1/3) = 0. Следователно остатъкът е 0 и числото 1/3 е коренът на полинома.

Отговор: R = 0.

Пример 2.

Разделете с „ъгъл“ 2x 3 + 3x 2 – 2x + 3 на (x + 2). Намерете остатъка и непълното частно.

Решение:

2x 3 + 3x 2 – 2x + 3| х + 2

2x 3 + 4 x 2 2x 2 – x

X 2 – 2 x

Отговор: R = 3; частно: 2x 2 – x.

Основни методи за решаване на уравнения от по-висока степен

1. Въвеждане на нова променлива

Методът за въвеждане на нова променлива вече е познат от примера на биквадратни уравнения. Състои се във факта, че за решаване на уравнението f(x) = 0 се въвежда нова променлива (заместване) t = x n или t = g(x) и f(x) се изразява чрез t, като се получава ново уравнение r (t). След това, решавайки уравнението r(t), се намират корените:

(t 1, t 2, …, t n). След това се получава набор от n уравнения q(x) = t 1 , q(x) = t 2 , ... , q(x) = t n, от които се намират корените на първоначалното уравнение.

Пример 1.

(x 2 + x + 1) 2 – 3x 2 – 3x – 1 = 0.

Решение:

(x 2 + x + 1) 2 – 3(x 2 + x) – 1 = 0.

(x 2 + x + 1) 2 – 3 (x 2 + x + 1) + 3 – 1 = 0.

Заместване (x 2 + x + 1) = t.

t 2 – 3t + 2 = 0.

t 1 = 2, t 2 = 1. Обратно заместване:

x 2 + x + 1 = 2 или x 2 + x + 1 = 1;

x 2 + x - 1 = 0 или x 2 + x = 0;

Отговор: От първото уравнение: x 1, 2 = (-1 ± √5)/2, от второто: 0 и -1.

2. Разлагане на множители чрез групиране и формули за съкратено умножение

Основата на този метод също не е нова и се състои в групиране на термини по такъв начин, че всяка група да съдържа общ фактор. За да направите това, понякога е необходимо да използвате някои изкуствени техники.

Пример 1.

x 4 – 3x 2 + 4x – 3 = 0.

Решение.

Нека си представим - 3x 2 = -2x 2 – x 2 и групирайте:

(x 4 – 2x 2) – (x 2 – 4x + 3) = 0.

(x 4 – 2x 2 +1 – 1) – (x 2 – 4x + 3 + 1 – 1) = 0.

(x 2 – 1) 2 – 1 – (x – 2) 2 + 1 = 0.

(x 2 – 1) 2 – (x – 2) 2 = 0.

(x 2 – 1 – x + 2)(x 2 – 1 + x - 2) = 0.

(x 2 – x + 1)(x 2 + x – 3) = 0.

x 2 – x + 1 = 0 или x 2 + x – 3 = 0.

Отговор: В първото уравнение няма корени, от второто: x 1, 2 = (-1 ± √13)/2.

3. Факторизация по метода на неопределените коефициенти

Същността на метода е, че оригиналният полином се факторизира с неизвестни коефициенти. Използвайки свойството, че полиномите са равни, ако техните коефициенти са равни при еднакви степени, се намират неизвестните коефициенти на разширение.

Пример 1.

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = 0.

Решение.

Полином от степен 3 може да бъде разширен в произведение на линейни и квадратни множители.

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = (x – a)(x 2 + bx + c),

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 +bx 2 + cx – ax 2 – abx – ac,

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 + (b – a)x 2 + (cx – ab)x – ac.

След като реши системата:

(b – a = 4,
(c – ab = 5,
(-ac = 2,

(a = -1,
(b = 3,
(c = 2, т.е.

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = (x + 1)(x 2 + 3x + 2).

Корените на уравнението (x + 1)(x 2 + 3x + 2) = 0 се намират лесно.

Отговор: -1; -2.

4. Метод за избор на корен с помощта на най-високия и свободен коефициент

Методът се основава на прилагането на теореми:

1) Всеки корен от многочлен с цели коефициенти е делител на свободния член.

2) За да може несъкратимата дроб p/q (p е цяло число, q е естествено число) да бъде корен на уравнение с цели коефициенти, е необходимо числото p да бъде цяло число делител на свободния член a 0, и q е естествен делител на водещия коефициент.

Пример 1.

6x 3 + 7x 2 – 9x + 2 = 0.

Решение:

6: q = 1, 2, 3, 6.

Следователно p/q = ±1, ±2, ±1/2, ±1/3, ±2/3, ±1/6.

След като намерим един корен, например - 2, ще намерим други корени, използвайки ъглово деление, метода на неопределените коефициенти или схемата на Хорнер.

Отговор: -2; 1/2; 1/3.

Все още имате въпроси? Не знаете как да решавате уравнения?
За да получите помощ от преподавател, регистрирайте се.
Първият урок е безплатен!

уебсайт, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към източника.