Център на тежестта на кръгова дъга
Дъгата има ос на симетрия. Центърът на тежестта лежи на тази ос, т.е. г В = 0 .
дл– дъгов елемент, дл = Rdφ, Р– радиус на окръжността, x = Rcosφ, L= 2αR,
Следователно:
х В = R(sinα/α).
Център на тежестта на кръгъл сектор
Радиус сектор Рс централен ъгъл 2 α има ос на симетрия вол, където се намира центърът на тежестта.
Разделяме сектора на елементарни сектори, които могат да се считат за триъгълници. Центровете на тежестта на елементарните сектори са разположени върху кръгова дъга с радиус (2/3) Р.
Центърът на тежестта на сектора съвпада с центъра на тежестта на дъгата AB:
Полукръг:
37. Кинематика. Кинематика на точка. Методи за уточняване на движението на точка.
Кинематика– дял от механиката, в който движението на материалните тела се изучава от геометрична гледна точка, без да се отчитат масата и силите, действащи върху тях. Начини за определяне на движението на точка: 1) естествено, 2) координатно, 3) векторно.
Кинематика на точка- клон на кинематиката, който изучава математическото описание на движението на материални точки. Основната задача на кинематиката е да опише движението с помощта на математически апарат, без да идентифицира причините, причиняващи това движение.
Естествен sp. посочена е траекторията на точката, законът на движението й по тази траектория, началото и посоката на координатната дъга: s=f(t) – законът на движение на точката. За линейно движение: x=f(t).
Координатно сп. положението на точка в пространството се определя от три координати, промените в които определят закона за движение на точката: x=f 1 (t), y=f 2 (t), z=f 3 (t).
Ако движението е в равнина, тогава има две уравнения на движение. Уравненията на движението описват уравнението на траекторията в параметрична форма. Като изключим параметъра t от уравненията, получаваме уравнението на траекторията в обичайната форма: f(x,y)=0 (за равнина).
Vector sp. позицията на точка се определя от нейния радиус вектор, изтеглен от някакъв център. Крива, която е начертана от края на вектор, се нарича. ходографтози вектор. Тези. траектория – радиус векторен ходограф.
38. Връзка между координата и вектор, координатни и естествени методи за определяне на движението на точка.
ВРЪЗКА НА ВЕКТОРНИЯ МЕТОД С КООРДИНАТНИЯ И НАТУРАЛНИЯ МЕТОДизразено чрез съотношенията:
където е единичната единица на допирателната към траекторията в дадена точка, насочена към еталонното разстояние, и е единичната единица на нормалата към траекторията в дадена точка, насочена към центъра на кривината (виж Фиг. 3) .
ВРЪЗКА НА КООРДИНАТНИЯ МЕТОД С ПРИРОДНИЯ. Уравнение на траекторията f(x, y)=z; f 1 (x, z)=y се получава от уравненията на движението в координатна форма чрез елиминиране на времето t. Допълнителен анализ на стойностите, които могат да приемат координатите на дадена точка, определя този участък от кривата, който е траектория. Например, ако движението на точка е дадено от уравненията: x=sin t; y=sin 2 t=x 2 , тогава траекторията на точката е този участък от параболата y=x 2, за който -1≤x≤+1, 0≤x≤1. Началото и посоката на отчитане на разстоянието се избират произволно, това допълнително определя знака на скоростта и големината и знака на началното разстояние s 0 .
Законът за движение се определя от зависимостта:
знакът + или - се определя в зависимост от приетата посока на измерване на разстоянието.
Точкова скоросте кинематична мярка на неговото движение, равна на производната по време на радиус вектора на тази точка в разглежданата отправна система. Векторът на скоростта е насочен допирателно към траекторията на точката в посоката на движение
Вектор на скоростта (v)е разстоянието, което едно тяло изминава в определена посока за единица време. Моля, имайте предвид, че определението вектор на скоросттае много подобно на определението за скорост, с изключение на една важна разлика: скоростта на тялото не показва посоката на движение, но векторът на скоростта на тялото показва както скоростта, така и посоката на движение. Следователно са необходими две променливи, които описват вектора на скоростта на тялото: скорост и посока. Физическите величини, които имат стойност и посока, се наричат векторни величини.
Вектор на скоросттатялото може да се променя от време на време. Ако неговата скорост или посока се променят, скоростта на тялото също се променя. Векторът на постоянна скорост предполага постоянна скорост и постоянна посока, докато терминът постоянна скорост предполага само постоянна стойност, без да се взема предвид посоката. Терминът "вектор на скоростта" често се използва взаимозаменяемо с термина "скорост". И двете изразяват разстоянието, което тялото изминава за единица време
Точково ускорениее мярка за промяната в нейната скорост, равна на производната по време на скоростта на тази точка или на втората производна на радиус вектора на точката по отношение на времето. Ускорението характеризира промяната на вектора на скоростта по големина и посока и е насочена към вдлъбнатината на траекторията.
Вектор на ускорението
Това е отношението на промяната в скоростта към периода от време, през който е настъпила тази промяна. Средното ускорение може да се определи по формулата:
къде - вектор на ускорение.
Посоката на вектора на ускорението съвпада с посоката на промяна на скоростта Δ = - 0 (тук 0 е началната скорост, т.е. скоростта, с която тялото започва да се ускорява).
В момент t1 (виж фиг. 1.8) тялото има скорост 0. В момент t2 тялото има скорост. Според правилото за векторно изваждане намираме вектора на промяна на скоростта Δ = - 0. Тогава можете да определите ускорението по следния начин:
Център на тежестта на триъгълника.Нека използваме метода на разделяне и разделим триъгълника ABCв елементарни ленти чрез начертаване на линии, успоредни на страната ACтриъгълник. Всяка такава лента може да се приеме като правоъгълник; центровете на тежестта на тези правоъгълници са в средата им, т.е. при медианата BDтриъгълник. Следователно центърът на тежестта на триъгълника трябва да лежи на същата медиана BD.
Сега разделяме триъгълника на елементарни ленти с линии, успоредни на страната AB, заключаваме, че центърът на тежестта на триъгълника трябва да е разположен върху медианата ЕС.
следователно центърът на тежестта на триъгълника е в точката на пресичане на неговите медиани
. Тази точка, както е известно, разделя всяка от медианите на сегменти в съотношението, т.е. 
.
Център на тежестта на трапеца.Подобно на предишния, нека разделим трапеца ABCDна елементарни ленти, успоредни на основите слънцеИ AD. Центровете на тежестта на лентите ще бъдат разположени на права линия KLсвързващи средните точки на основите на трапеца. Следователно центърът на тежестта на трапеца лежи на тази линия. За да намерим разстоянието му от долната основа, разделяме трапеца на триъгълници ABCИ ACD. За тези триъгълници имаме, съответно, , , , .
Използвайки формула (8.20), получаваме
.
Център на тежестта на кръгова дъга.Помислете за дъгата ADVкръгове с радиус с централен ъгъл. Поставете началото на координатите в центъра на кръга и насочете оста перпендикулярно на хордата AB.
Тъй като поради симетрията на фигурата спрямо оста, центърът на тежестта ще лежи на тази ос, т.е. , тогава остава само да се намери абсцисата на центъра на тежестта; за това използваме формула (8.18).
Според фиг. имаме , , и следователно
, (8.22) където е половината от централния ъгъл в радиани.
По-специално, за дъга от полукръг ще имаме
Център на тежестта на кръгъл сектор.За да определим позицията на центъра на тежестта на кръгъл сектор, ние го разделяме на елементарни сектори, както е показано на фиг. Всеки елементарен сектор може да се приеме като равнобедрен триъгълник с височина равна на . Но надморската височина в равнобедрен триъгълник също е неговата медиана; следователно центърът на тежестта на всеки елементарен триъгълник лежи на разстояние от началото ЗА. Съответно, геометричното място на центровете на тежестта на всички елементарни триъгълници е дъга от окръжност с радиус .
Това означава, че центърът на тежестта на площта на кръгъл сектор може да се търси като център на тежестта на материалната линия, по която теглото на този сектор е разпределено непрекъснато и равномерно. Прилагайки формула (8.22), получаваме координатата на центъра на тежестта на сектора
, (8.23) където е половината от централния ъгъл в радиани. По-специално, за сектор под формата на полукръг получаваме
Задача 8.3.Плочата се получава от квадрат, чиято страна е равна на , след като от него се изреже част, съставляваща една четвърт от окръжност с радиус с център във върха Аквадрат. Определете центъра на тежестта на плочата.
или, замествайки подходящите стойности,
.
Нека представим без извод формулите, които определят положенията на центровете на тежестта на някои от най-простите еднородни тела.
Въз основа на общите формули, получени по-горе, е възможно да се посочат специфични методи за определяне на координатите на центровете на тежестта на телата.
1. Симетрия.Ако хомогенното тяло има равнина, ос или център на симетрия (фиг. 7), тогава неговият център на тежестта лежи съответно в равнината на симетрия, оста на симетрия или в центъра на симетрия.
Фиг.7
2. Разделяне.Тялото е разделено на краен брой части (фиг. 8), за всяка от които е известно положението на центъра на тежестта и площта.
Фиг.8
3.Метод на отрицателната площ.Специален случай на метода на разделяне (фиг. 9). Прилага се за тела, които имат изрези, ако са известни центровете на тежестта на тялото без изреза и на изреза. Тяло под формата на плоча с изрез е представено от комбинация от твърда плоча (без изрез) с площ S 1 и площ на изрязаната част S 2 .
Фиг.9
4.Метод на групиране.Той е добро допълнение към последните два метода. След разделянето на фигура на нейните съставни елементи е удобно някои от тях да се комбинират отново, за да се опрости решението, като се вземе предвид симетрията на тази група.
Центрове на тежестта на някои еднородни тела.
1) Център на тежестта на кръгова дъга.Помислете за дъгата ABрадиус Рс централен ъгъл. Поради симетрията центърът на тежестта на тази дъга лежи върху оста вол(фиг. 10).
Фиг.10
Нека намерим координатата с помощта на формулата. За да направите това, изберете върху дъгата ABелемент ММ'дължина, чието положение се определя от ъгъла. Координат Xелемент ММ'ще . Замествайки тези стойности Xи d ли имайки предвид, че интегралът трябва да бъде разширен по цялата дължина на дъгата, получаваме:
Къде Л- дължина на дъгата AB, равно на .
От тук най-накрая откриваме, че центърът на тежестта на кръгова дъга лежи върху нейната ос на симетрия на разстояние от центъра ЗА, равен
където ъгълът се измерва в радиани.
2) Център на тежестта на площта на триъгълника.Помислете за триъгълник, разположен в равнината Окси, координатите на върховете на които са известни: A i(x i,y i), (аз= 1,2,3). Разбийте триъгълника на тесни ивици, успоредни на страната А 1 А 2, стигаме до извода, че центърът на тежестта на триъгълника трябва да принадлежи на медианата А 3 М 3 (фиг. 11).
Фиг.11
Разбиване на триъгълник на ленти, успоредни на страната А 2 А 3, можем да проверим, че трябва да лежи върху медианата А 1 М 1. по този начин центърът на тежестта на триъгълника лежи в точката на пресичане на неговите медиани, която, както е известно, отделя трета част от всяка медиана, считано от съответната страна.
По-специално за медианата А 1 М 1 получаваме, като вземем предвид, че координатите на точката М 1 е средноаритметичното на координатите на върховете А 2 и А 3:
x c = х 1 + (2/3)∙(х М 1 - х 1) = х 1 + (2/3)∙[(х 2 + х 3)/2-х 1 ] = (х 1 +х 2 +х 3)/3.
По този начин координатите на центъра на тежестта на триъгълника са средноаритметичните координати на неговите върхове:
х c =(1/3)Σ x i ; г c =(1/3)Σ y i.
3) Център на тежестта на площта на кръгъл сектор.Помислете за сектор от окръжност с радиус Рс централен ъгъл 2α, разположен симетрично спрямо оста вол(фиг. 12) .
Очевидно е, че г c = 0, а разстоянието от центъра на окръжността, от която се изрязва този сектор, до неговия център на тежестта може да се определи по формулата:
Фиг.12
Най-лесният начин за изчисляване на този интеграл е чрез разделяне на интеграционната област на елементарни сектори с ъгъл dφ. С точност до безкрайно малки от първи ред, такъв сектор може да бъде заменен с триъгълник с основа, равна на Р× dφ и височина Р. Площта на такъв триъгълник dF=(1/2)Р 2 ∙dφ, а центърът на тежестта му е на разстояние 2/3 Рот върха, следователно в (5) поставяме х = (2/3)Р∙cosφ. Заместване в (5) Е= α Р 2, получаваме:
Използвайки последната формула, изчисляваме по-специално разстоянието до центъра на тежестта полукръг.
Замествайки α = π/2 в (2), получаваме: х c = (4Р)/(3π) ≅ 0,4 Р .
Пример 1.Нека определим центъра на тежестта на еднородното тяло, показано на фиг. 13.
Фиг.13
Тялото е хомогенно, състои се от две части със симетрична форма. Координати на техните центрове на тежестта:
Техните обеми:
Следователно координатите на центъра на тежестта на тялото
Пример 2.Нека намерим центъра на тежестта на плоча, огъната под прав ъгъл. Размерите са на чертежа (фиг. 14).
Фиг.14
Координати на центровете на тежестта:
области:
|
Фиг.15
В този проблем е по-удобно да разделите тялото на две части: голям квадрат и квадратна дупка. Само площта на дупката трябва да се счита за отрицателна. След това координатите на центъра на тежестта на листа с дупката:
координата, тъй като тялото има ос на симетрия (диагонал).
Пример 4.Телената скоба (фиг. 16) се състои от три секции с еднаква дължина л.
Фиг.16
Координати на центровете на тежестта на секциите:
Следователно координатите на центъра на тежестта на цялата скоба са:
Пример 5.Определете позицията на центъра на тежестта на фермата, всички пръти на която имат еднаква линейна плътност (фиг. 17).
Нека припомним, че във физиката плътността на тялото ρ и неговото специфично тегло g са свързани със съотношението: γ= ρ ж, Къде ж- ускорение на свободно падане. За да намерите масата на такова хомогенно тяло, трябва да умножите плътността по неговия обем.
Фиг.17
Терминът „линейна“ или „линейна“ плътност означава, че за да се определи масата на прът за ферма, линейната плътност трябва да се умножи по дължината на този прът.
За да разрешите проблема, можете да използвате метода на разделяне. Представяйки дадена ферма като сбор от 6 отделни пръта, получаваме:
Къде L iдължина азта ферма, и x i, y i- координати на неговия център на тежестта.
Решението на този проблем може да бъде опростено чрез групиране на последните 5 бара на фермата. Лесно се вижда, че те образуват фигура с център на симетрия, разположен в средата на четвъртия прът, където се намира центърът на тежестта на тази група пръти.
По този начин дадена ферма може да бъде представена чрез комбинация само от две групи пръти.
Първата група се състои от първия прът, за него Л 1 = 4 м, х 1 = 0 м, г 1 = 2 m се състои от пет пръта, за него Л 2 = 20 м, х 2 = 3 м, г 2 = 2 м.
Координатите на центъра на тежестта на фермата се намират по формулата:
х c = (Л 1 ∙х 1 +Л 2 ∙х 2)/(Л 1 + Л 2) = (4∙0 + 20∙3)/24 = 5/2 m;
г c = (Л 1 ∙г 1 +Л 2 ∙г 2)/(Л 1 + Л 2) = (4∙2 + 20∙2)/24 = 2 m.
Имайте предвид, че центърът СЪСлежи на правата, свързваща СЪС 1 и СЪС 2 и разделя сегмента СЪС 1 СЪС 2 относно: СЪС 1 СЪС/СС 2 = (х c - х 1)/(х 2 - х c ) = Л 2 /Л 1 = 2,5/0,5.
Въпроси за самопроверка
Как се нарича центърът на паралелните сили?
Как се определят координатите на центъра на успоредните сили?
Как да определим центъра на успоредни сили, чийто резултат е нула?
Какви свойства има центърът на успоредните сили?
Какви формули се използват за изчисляване на координатите на центъра на успоредните сили?
Какъв е центърът на тежестта на тялото?
Защо гравитационните сили на Земята, действащи върху точка от тяло, могат да се приемат като система от успоредни сили?
Запишете формулата за определяне на положението на центъра на тежестта на нехомогенни и еднородни тела, формулата за определяне на положението на центъра на тежестта на плоски секции?
Запишете формулата за определяне на позицията на центъра на тежестта на прости геометрични фигури: правоъгълник, триъгълник, трапец и полукръг?
Какъв е статичният момент на площта?
Дайте пример за тяло, чийто център на тежестта е разположен извън тялото.
Как се използват свойствата на симетрията при определяне на центровете на тежестта на телата?
Каква е същността на метода на отрицателните тегла?
Къде е центърът на тежестта на кръгова дъга?
Каква графична конструкция може да се използва за намиране на центъра на тежестта на триъгълник?
Запишете формулата, която определя центъра на тежестта на кръгъл сектор.
Използвайки формули, които определят центровете на тежестта на триъгълник и кръгъл сектор, изведете подобна формула за кръгъл сегмент.
Какви формули се използват за изчисляване на координатите на центровете на тежестта на еднородни тела, плоски фигури и прави?
Какво се нарича статичен момент на площта на равнинна фигура спрямо оста, как се изчислява и какво измерение има?
Как да се определи положението на центъра на тежестта на една област, ако е известно положението на центровете на тежестта на отделните й части?
Какви спомагателни теореми се използват за определяне на позицията на центъра на тежестта?
Резултатът от изчисленията зависи не само от площта на напречното сечение, следователно при решаване на задачи за якост на материалите не може да се направи без определяне геометрични характеристики на фигурите: статични, аксиални, полярни и центробежни моменти на инерция. Задължително е да можете да определите положението на центъра на тежестта на сечението (изброените геометрични характеристики зависят от положението на центъра на тежестта). В допълнение към геометрични характеристики на прости фигури: правоъгълник, квадрат, равнобедрен и правоъгълен триъгълник, кръг, полукръг. Посочват се центърът на тежестта и положението на главните централни оси и се определят спрямо тях геометричните характеристики при условие, че материалът на гредата е хомогенен.
Геометрични характеристики на правоъгълник и квадрат
Аксиални моменти на инерция на правоъгълник (квадрат)
Геометрични характеристики на правоъгълен триъгълник
Аксиални инерционни моменти на правоъгълен триъгълник
Геометрични характеристики на равнобедрен триъгълник
Аксиални инерционни моменти на равнобедрен триъгълник
Математическата техника за изчисляване на центъра на масата принадлежи към областта на курсовете по математика; там подобни проблеми служат като добри примери в интегралното смятане. Но дори и да знаете как да интегрирате, е полезно да знаете някои трикове за изчисляване на позицията на центъра на масата. Един такъв трик се основава на използването на така наречената теорема на Pappus, която работи по следния начин. Ако вземем някаква затворена фигура и образуваме твърдо тяло, завъртайки тази фигура в пространството, така че всяка точка да се движи перпендикулярно на равнината на фигурата, тогава обемът на полученото тяло е равен на произведението на площта на фигурата и разстоянието, изминато от неговия център на тежестта! Разбира се, тази теорема е вярна и в случая, когато плоска фигура се движи по права линия, перпендикулярна на нейната площ, но ако я преместим по окръжност или др.
крива, тогава това води до много по-интересно тяло. Когато се движите по крива пътека, вътрешната част на фигурата се движи по-малко от външната част и тези ефекти се компенсират взаимно. Така че, ако искаме да дефинираме; центъра на масата на плоска фигура с равномерна плътност, тогава трябва да запомните, че обемът, образуван от нейното въртене около оста, е равен на разстоянието, изминато от центъра на масата, умножено по площта на фигурата.
Например, ако трябва да намерим центъра на масата на правоъгълен триъгълник с основа D и височина H (фиг. 19.2), тогава това се прави по следния начин. Представете си ос по H и завъртете триъгълника на 360° около тази ос. Това ни дава конус. Разстоянието, изминато от x-координатата на центъра на масата, е 2πx, а площта на областта, която се е преместила, т.е. площта на триъгълника, е l/2 HD. Продуктът на разстоянието, изминато от центъра на масата и площта на триъгълника, е равен на обема на конуса, т.е. 1/3 πD 2 H. Така (2πх) (1/2HD) = 1/3D 2 H, или x = D/З. Съвсем аналогично, чрез въртене около втория крак или просто от съображения за симетрия, намираме, че y = H/3. По принцип центърът на масата на всеки еднороден триъгълник се намира в пресечната точка на трите му медиани (линии, свързващи върха на триъгълника със средата на противоположната страна), която се намира на разстояние от основата, равно на 1 /3 от дължината на всяка медиана.
Как да го видя? Нарежете триъгълника с линии, успоредни на основата, на много ленти. Забележете сега, че медианата разделя всяка лента наполовина, следователно центърът на масата трябва да лежи върху медианата.
Нека сега вземем по-сложна фигура. Да предположим, че трябва да намерим позицията на центъра на масата на хомогенен полукръг, тоест кръг, разрязан наполовина. Къде ще бъде центърът на масата в този случай? За пълен кръг центърът на масата се намира в геометричния център, но за полукръг е по-трудно да се намери позицията му. Нека r е радиусът на окръжността, а x разстоянието на центъра на масата от правата граница на полукръга. Като го въртим около този ръб като около ос, получаваме топка. В този случай центърът на масата изминава разстояние от 2πx, а площта на полукръга е равна на 1/2πr 2 (половината от площта на кръга). Тъй като обемът на топката е, разбира се, 4πg 3 /3, тогава от тук намираме
или
Има още една теорема на Папус, която всъщност е частен случай на формулираната по-горе теорема и следователно също е валидна. Да предположим, че вместо плътен полукръг вземем полукръг, например парче тел във формата на полукръг с еднаква плътност, и искаме да намерим неговия център на масата. Оказва се, че площта, която е „изметена“ от плоска крива по време на нейното движение, подобно на описаното по-горе, е равна на разстоянието, изминато от центъра на масата, умножено по дължината на тази крива. (Кривата може да се разглежда като много тясна ивица и предишната теорема да се приложи към нея.)