Начало  /  Биология на развитието  /  Решаване на задачи в 8. Решаване на задачи B8 въз основа на материали от отворената банка на проблемите на Единния държавен изпит по математика. I. Организационен момент

Решаване на задачи в 8. Решаване на задачи B8 въз основа на материали от отворената банка на проблемите на Единния държавен изпит по математика. I. Организационен момент

Биология на развитието
21.12.2023

Решение на задачи B8 въз основа на материалите на отворената банка от задачи за Единен държавен изпит по математика 2012. Правата y = 4x + 11 е успоредна на допирателната към графиката на функцията y = x2 + 8x + 6. Намерете абсцисата на точката на допиране № 1 Решение: Ако правата е успоредна на допирателната към графиката на функцията в някаква точка (да я наречем xo), тогава нейният наклон (в нашия случай k = 4 от уравнението y = 4x +11) е равна на стойността на производната на функцията в точката xo: k = f ′(xo) = 4Производна на функцията f′(x) = ( x2+8x + 6)′= 2x +8 . Това означава, че за намиране на желаната допирателна точка е необходимо 2xo + 8 = 4, от което xo = – 2. Отговор: – 2. Правата y = 3x + 11 е допирателна към графиката

  • функции y = x3−3x2− 6x + 6.
  • Намерете абсцисата на допирателната точка.
    • № 2 Решение: Обърнете внимание, че ако правата е допирателна към графиката, тогава нейният наклон (k = 3) трябва да бъде равен на производната на функцията в точката на допиране, от което имаме Zx2 − 6x − 6 = 3 , тоест Zx2 − 6x − 9 = 0 или x2 − 2x − 3 = 0. Това квадратно уравнение има два корена: −1 и 3. Следователно има две точки, в които допирателната към графиката на функцията y = x3 − 3x2 − 6x + 6 има наклон, равен на 3. За да определим коя от тези две точки правата y = 3x + 11 докосва графиката на функцията, изчисляваме стойностите на функцията при тези точки и проверете дали те удовлетворяват уравнението на допирателната. Стойността на функцията в точка −1 е y(−1) = −1 − 3 + 6 + 6 = 8, а стойността в точка 3 е y(3) = 27 − 27 − 18 + 6 = −12. Обърнете внимание, че точката с координати (−1; 8) удовлетворява уравнението на допирателната, тъй като 8 = −3 + 11. Но точката (3; −12) не удовлетворява уравнението на допирателната, тъй като −12 ≠ 9 + 11. Това означава, че изискваната Абсцисата на допирателната точка е −1. Отговор: −1 Фигурата показва графика на y = f ′(x) – производната на функцията f(x), дефинирана на интервала (–10; 8). В коя точка на отсечката [–8; –4] функция f(x) приема най-малката стойност № 3 Решение: Обърнете внимание, че на сегмента [–8; –4] производната на функцията е отрицателна, което означава, че самата функция е намаляваща, което означава, че тя приема най-малката стойност на този сегмент в десния край на сегмента, тоест в точката –4.у = f ′(x) f(x) –Отговор: –4 . Фигурата показва графика на y = f ′(x) – производната на функцията f(x), дефинирана на интервала (–8; 8). Намерете броя на точките на екстремума на функцията f(x), принадлежащи на отсечката [– 6; 6].No 4Решение: В точката на екстремума производната на функцията е равна на 0 или не съществува. Вижда се, че има такива точки, принадлежащи на отсечката [–6; 6] три. В този случай във всяка точка производната променя знака или от “+” на “–”, или от “–” на “+”. у = f ′(x) ++––Отговор: 3. Фигурата показва графика на у = f ′(x) – производна на функцията f(x), дефинирана на интервала (–8; 10). Намерете точката на екстремума на функцията f(x) на интервала (– 4; 8). Решение: Забележете, че на интервала (–4; 8) производната в точката xo = 4 се превръща в 0 и. при преминаване през тази точка знакът на производната се променя от „–” на „+”, точка 4 е желаната екстремна точка на функцията на даден интервал. y = f ′(x) +–Отговор: 4. На фигурата е показана графика на y = f ′(x) – производната на функцията f(x), дефинирана на интервала (–8; 8). Намерете броя на точките, в които допирателната към графиката на функцията f(x) е успоредна на правата y = –2x + 2 или съвпада с нея No 6 Решение: Ако допирателната към графиката на функцията f (x) е успоредна на правата y = –2x+ 2 или съвпада с нея, тогава нейният наклон k = –2, което означава, че трябва да намерим броя на точките, в които производната на функцията f ′(x) = – 2. За да направите това, начертайте права линия y = –2 върху производната графика и пребройте броя на точките върху производната графика, лежащи на тази линия. Такива точки са 4. y = f ′(x) y = –2. Определете броя на целите числа, в които производната на функцията е отрицателна № 7y Решение: Забележете, че производната на функцията е отрицателна, ако самата функция f(x) намалява, което означава, че е необходимо да се намери числото. на цели точки, включени в интервалите на намаляваща функция. Има 6 такива точки: x = −4, x = −3, x = −2, x = −1, x = 0, x = 3.y = f(x). ) x–6–45–1–20–33 Отговор: 6. На фигурата е показана графика на функцията y = f(x), определена на интервала (–6; 6). на графиката на функцията е успоредна на правата y = –5. № 8y Решение: Правата y = −5 е хоризонтална, което означава, че ако допирателната към графиката на функция е успоредна на нея, тогава тя също е хоризонтална. Следователно ъгловият коефициент в необходимите точки k = f′(x)= 0. В нашия случай това са точки на екстремум. Има 6 такива точки на абсцисата xo. Намерете стойността на производната на функцията f(x) в точката xo. № 9 Решение: Стойността на производната на функцията f′(хo) = tanα = k към равноъгълния коефициент на допирателната, прекарана към графиката на тази функция в дадена точка. В нашия случай k > 0, тъй като α е остър ъгъл (tgα > 0), за да намерим ъгловия коефициент, избираме две точки A и B, лежащи на допирателната, чиито абсциси и ординати са цели числа. Сега нека определим модула на ъгловия коефициент. За да направим това, ще построим триъгълник ABC. tgα =ВС: AC = 5: 4 = 1,25 у = f(x) Вα5хоαС4АОтговор: 1,25. то в точка с абциса xo Намерете стойността на производната на функцията f(x) в точка xo. № 10 Решение: Стойността на производната на функцията f′(хo) = tanα = k спрямо равноъгълния коефициент на допирателната, прекарана към графиката на тази функция в дадена точка. В нашия случай k< 0, так как α– тупой угол (tgα < 0).Чтобы найти угловой коэффициент, выберем две точки А и В, лежащие на касательной, абсциссы и ординаты которых − целые числа. Теперь определим модуль углового коэффициента. Для этого построим треугольник ABC. tg(180°−α) = ВС: АС = 6: 8 = 0,75 tgα = − tg (180°−α) = −0,75Ву = f(x) α6хо180°− αСА8Ответ: −0,75.На рисунке изображен график производной у = f ′(x) –функции f(x), определенной на интервале (–11; 11). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [−10; 10]. №11.Решение: В точке экстремума производная функции равна 0 либо не существует. Видно, что таких точек принадлежащих отрезку [−10; 10] пять. В точках х2и х4 производная меняет знак с «+» на «−» – это точки максимума.уу = f ′(x) +++–100–––х10f(x) х3х5х2х4х1maxmaxОтвет: 2.Прямая у = 4х – 4является касательной к графику функции ах2+ 34х + 11. Найдите а.№12Решение:Производная функции в точке касания должна совпадать с угловым коэффициентом прямой. Откуда, если за хo принять абсциссу точки касания, имеем: 2ахo+ 34 = 4. То есть ахo =–15. Найдем значение исходной функции в точке касания:ахo2 + 34хo + 11 = –15xo+ 34хo + 11 = 19хo + 11.Так как прямая у = 4х – 4– касательная, имеем: 19хo + 11 =4хo–4, откуда хo = –1. А значитa = 15. Ответ: 15.Прямая у = –4х – 5 является касательной к графику функции 9х2+bх + 20. Найдите b,учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.№13Решение. Если хо– абсцисса точки касания, то 18xo+ b = –4, откуда b = –4 –18хо. Аналогично задаче№12 найдем хо:9xo2+ (–4 –18хо)xo+20 = – 4хo – 5, 9xo2–4xo –18хо2+20 + 4хo + 5 = 0,–9xo2+25 = 0,хо2 = 25/9. Откуда xo = 5/3или xo = –5/3. Условию задачи соответствует только положительный корень, значит xo = 5/3, следовательно b = –4 –18∙ 5/3, имеем b = –34. Ответ: –34.Прямая у = 2х – 6является касательной к графику функции х2+ 12х + с. Найдите с.№14Решение. Аналогично предыдущим задачам обозначим абсциссу точки касания хо и приравняем значение производной функции в точке хо угловому коэффициенту касательной. 2хо + 12 = 2, откуда xo= –5. Значение исходной функции в точке –5 равно: 25 – 60 + с = с – 35, значит с – 35 = 2∙(–5) – 6, откуда с = 19. Ответ: 19.Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 0,5t2 – 2t – 6, где x – расстояние от точки отсчета в метрах, t– время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 6с.№15Решение. Так как мгновенная скорость точки в момент времени to, прямолинейного движения, совершаемого по закону х = х(t),равна значению производной функции хnput = to, искомая скорость будет равнаx ′(t) = 0,5 ∙ 2t – 2 = t – 2,x ′(6) = 6 – 2 = 4м/с.Ответ: 4.Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 0,5t2 – 2t – 22, где x – расстояние от точки отсчета в метрах, t– время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 4 м/с?№16Решение. Так как мгновенная скорость точки в момент времени to, прямолинейного движения, совершаемого по закону х = х(t),равна значению производной функции хnput = to, искомая скорость будет равнаx ′(to) = 0,5 ∙ 2to – 2 = to – 2,Т.к. по условию, x ′(to) = 4, то to – 2 = 4, откуда to = 4 + 2 = 6м/с.Ответ: 6.На рисунке изображен график функции у = f(x), определенной на интервале (–8; 6).Найдите сумму точек экстремума функции f(x).№17Решение: Точки экстремума – это точки минимума и максимума. Видно, что таких точек принадлежащих промежутку (–8; 6) пять. Найдем сумму их абсцисс: -6 + (-4) + (-2) + 2 + 4 = 6.у = f ′(x) Ответ: 6.На рисунке изображен график производной у = f ′(x) – функции f(x), определенной на интервале (–10; 8). Найдите промежутки возрастания функцииf(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки. Решение: Заметим, что функция f(x)возрастает, если производная функции положительна; а значит, необходимо найти сумму целых точек, входящих в промежутки возрастания функции.Таких точек 7:х = −3, х = −2, х = 3, х = 4, х = 5, х = 6, х = 7.Их сумма: −3+(−2)+3+4+5+6+7 = 20у = f ′(x) ++3-357Ответ: 20.Используемые материалы
  • Единен държавен изпит 2012. Математика. Задача B8. Геометрично значение на производната. Работна тетрадка / Изд. А.Л. Семенов и И.В. Ященко. 3-то изд. стереотип. − М.: МЦНМО, 2012. − 88 с.
  • http://mathege.ru/or/ege/Main− Материали на отворената банка от задачи по математика 2012 г.

    • Индивидуални уроци по SKYPE за ефективно онлайн обучениеза Единния държавен изпит по математика.

    Задачи от тип B8 са задачи за прилагане на производни функции. Цели в задачите:

    • намерете производната в определена точка
    • определят екстремумите на функцията, максималните и минималните точки
    • интервали на нарастване и намаляване

    Нека да разгледаме няколко примера. Задача v8.1: фигурата показва графиката на функцията y=f (x) и допирателната към нея в точката с абсцисата x0. Намерете стойността на производната на функцията y=f (x) в точката x0.

    Малко теория. Ако тангенсът нараства, тогава производната ще бъде положителна, а ако тангенсът намалява, тогава производната ще бъде отрицателна. Производна на функцията y’= tgА, където A е ъгълът на наклон на допирателната към оста X

    Решение: в нашия пример тангенсът нараства, което означава, че производната ще бъде положителна. Разгледайте правоъгълния триъгълник ABC и намерете от него tan A = BC/AB, където BC е разстоянието между характерните точки по оста y, AB е разстоянието между точките по оста x. Характерните точки на графиката са подчертани с удебелени точки и обозначени с буквите A и C. Характерните точки трябва да бъдат ясни и пълни. От графиката става ясно, че AB = 5+3 = 8 и слънце = 3-1 = 2,

    tgα= BC/AB=2/8=1/4=0,25, следователно производната y’=0,25

    отговор: 0,25

    Задача B8.2 Фигурата показва графика на функцията y=f(x), дефинирана на интервала (-9;4). Намерете сумата от абсцисите на екстремалните точки на функциите f(x)

    Решение: Първо, нека дефинираме какво представляват екстремалните точки? Това са точките, в които производната променя знака си на противоположния, с други думи, всички „хълмове“ и „долини“. В нашия пример имаме 4 „хълма“ и 4 „долини“. Нека преместим всички „пейзажни“ точки върху оста X и да намерим стойността на абсцисата, сега съберете цялата стойност на тези точки по оста X.

    получаваме -8-7-5-3-2+0+1+3=-21

    отговор: -21

    гледайте видео урок как да решите тази задача

    „B8 на Единния държавен изпит по математика“ - Минимални точки. Производната на функцията е отрицателна. Намерете стойността на производната на функцията. Намерете абсцисата на допирателната точка. Скорост. Стойността на производната на функцията. Производна. време. Графика на производната на функция. Намерете производната на функцията. Интервали на нарастваща функция. Решаване на задачи от Единния държавен изпит B8 по математика.

    „B3 по математика“ - Бележка към ученика. CT умения. Прототип на задачата. Съдържание на задача B3. Прототип на задача B3. Прототип на задача B3. Уравнение. Основни свойства на корените. Намерете корена на уравнението. Логаритми. Логаритми с еднакви основи. Степен. Подготовка за Единния държавен изпит по математика. Задачи за самостоятелно решаване.

    “Решаване на задачи B11” - Задачи. Началото на математическия анализ. Намерете най-голямата стойност на функцията върху отсечката. Формули. Намерете най-голямата стойност на функцията. CT умения. Задачи за самостоятелно решаване. Намерете най-малката стойност на функцията върху отсечката. Намерете най-малката стойност на функцията. преглед. Решение. Бележка за ученика.

    „B1 в Единния държавен изпит по математика“ - Най-малкото число. кок. Билет. американска кола. Електрическа кана. Промоция. ден. Платежен терминал. Лекарство. Задачи B1. Клиент. Моторен кораб. Обща тетрадка. Разходомер за топла вода. Билет за влак. Пенсионери.

    „Задачи за единен държавен изпит по математика“ - Задача B 13. Трябва да решим още няколко примера. Задача B 6. Намерете скоростта на мотоциклетиста. Задача B 1. Колко трябва да се повиши нивото на водата след дъжд? Намерете района. След дъжд нивото на водата в кладенеца може да се повиши. Задача B 5. Задача B 12. Самостоятелна работа. Подготовка за Единния държавен изпит. Задача Б 3.

    “B1 по математика” - Мармалад. Промоция. Отстъпка в деня на разпродажба. Ампула. Пералня. автобус. Подоходен данък. Бутилка шампоан. Бележник. Най-малкото число. Мобилен телефон. Междуградски автобусен билет. Таксиметров шофьор. Магазин. Билет. Пръчка масло. Роза. Задачи Б1 Единен държавен изпит по математика. Решение.

    Има общо 33 презентации

    CT умения Определяне на стойността на функция по стойността на аргумента, когато
    различни начини за определяне на функция; описват по график
    поведение и свойства на функциите, намиране на функции от графики
    най-високи и най-ниски стойности; изграждайте графики
    изучавани функции
    Изчисляване на производни и антипроизводни на елементарни
    функции
    Изследвайте функциите за монотонност в най-простите случаи,
    намерете най-големите и най-малките стойности на функциите
    Съдържание на задание B8 по IES
    Функционално изследване
    4.2.1 Приложение на производната за изследване на функции и
    чертеж
    4.2.2 Примери за използване на производната за намиране
    най-доброто решение на приложни, включително социално-икономически проблеми

    Бележка за ученика

    Задача B8 за изчисляване на производната. За
    ученикът трябва да може да реши задача
    изчисляване на стойността на функция от известна
    аргумент за различни начини на уточняване
    функции и намиране на производни и
    първоизводни на елементарни функции.

    Таблица
    производни
    f' (x)
    формули
    С"
    0
    (x)"
    1
    (xa)"
    грях"x
    брадва а 1
    когато a≠1
    cos x
    сos"x
    грях х
    tg"x
    1
    cos 2 x
    1
    грях 2 х
    ctg"x
    (бивш)"
    пр
    (брадва)"
    a x ln a
    ln"x
    1
    х
    лога"x
    1
    x ln a
    (f+g)"
    е "ж"
    (f∙g)"
    f "g fg"
    (cf)"
    cf"
    f`
    ж
    (f "g fg")
    g2
    (f(kx+b)) "
    kf " (kx b)
    (f(g(x))) "
    f " (g(x)) g" (x)

    Прототип на задача B8 (№ 27485)

    Правата y=7x-5 е успоредна на допирателната към графиката на функцията y=x2+6x-8
    . Намерете абсцисата на допирателната точка.
    k=7, тогава f "(x0)=7
    намерете производната на функцията y=x2+6x-8,
    получаваме:
    f "(x)=2x+6; f "(x0)= 2x0+6
    f "(x0)=7
    2x0+6=7
    2x0=1
    х0=0,5
    Решение
    Отговор: x0=0,5

    Задача B8 (№ 6009)
    Правата y=6x+8 е успоредна на допирателната към графиката на функцията y=x2-3x+5. Намерете абсцисата на точката
    докосване.
    Задача B8 (№ 6011)
    Правата y=7x+11 е успоредна на допирателната към графиката на функцията y=x2+8x+6. Намерете абсцисата на точката
    докосване.
    Задача B8 (№ 6013)
    Правата y=4x+8 е успоредна на допирателната към графиката на функцията y=x2-5x+7. Намерете абсцисата на допирателната точка.
    Задача B8 (№ 6015)
    Правата y=3x+6 е успоредна на допирателната към графиката на функцията y=x2-5x+8. Намерете абсцисата на точката
    докосване.
    Задача B8 (№ 6017)
    Правата y=8x+11 е успоредна на допирателната към графиката на функцията y=x2+5x+7. Намерете абсцисата на точката
    докосване.
    Задача B8 (№ 6019)
    Правата y=-5x+4 е успоредна на допирателната към графиката на функцията y=x2+3x+6. Намерете абсцисата на точката
    докосване.
    преглед
    ОТГОВОРИ: № 6009: 4.5
    № 6011: -0,5
    № 6013: 4,5
    № 6015: 4
    № 6017: 1,5
    № 6019: -4

    Прототип на задача B8 (№ 27487)

    На фигурата е показана графика на функцията y=f(x), дефинирана на интервала (-6;8). Дефинирайте
    функцията е положителна.
    f(x) се увеличава с [-3;0] и с .
    Това означава, че производната на функцията е положителна върху
    тези сегменти, броят на целите точки е 4
    Отговор: 4
    Решение

    Задачи за самостоятелно решаване

    Задача B8 (№ 6399)

    определен на интервала (-9;8). Дефинирайте
    брой цели точки, при които производната
    функцията f(x) е положителна.
    Задача B8 (№ 6869)
    Фигурата показва графика на функцията y=f(x),
    определени на интервала (-5;6). Дефинирайте
    брой цели точки, при които производната
    функцията е положителна.
    ОТГОВОРИ: № 6399: 7
    № 6869: 5
    преглед

    Прототип на задача B8 (№ 27488)
    Фигурата показва графика на функцията y=f(x), дефинирана на интервала (-5;5) Определете числото
    цели числа, в които производната на функцията f(x) е отрицателна.
    f(x) намалява с [-4;1] и с .
    Това означава, че производната на функцията е отрицателна
    на тези сегменти. Брой цели точки 4
    Решение
    ОТГОВОР:4

    Задачи за самостоятелно решаване

    Задача B8 (№ 6871)
    Фигурата показва графика на функцията y=f(x),
    определен на интервала (-1;12). Дефинирайте
    брой цели точки, при които производната
    функцията е отрицателна.
    Задача B8 (№ 6873)
    Фигурата показва графика на функцията y=f(x),
    определен на интервала (-7;7). Дефинирайте
    брой цели точки, при които производната
    функцията е отрицателна.
    ОТГОВОРИ: № 6771: 3
    № 6873: 3
    преглед

    Прототип на задача B8 (№ 27489)

    На фигурата е показана графика на функцията y=f(x), дефинирана на интервала (-5;5). Намерете броя на точките
    в който допирателната към графиката на функцията е успоредна на правата y=6 или съвпада с нея.
    К=0
    Отговор: 4 точки
    Решение

    Задачи за самостоятелно решаване

    Задача B8 (№ 6401)
    Фигурата показва графика на функцията y=f(x),
    определен на интервала (-9;8). Намерете
    брой точки, в които допирателната към графиката
    функция, успоредна на правата y=10
    Задача B8 (№ 6421)
    Фигурата показва графика на функцията y=f(x),
    дефиниран на интервала (-5;5) Нам
    брой точки, в които допирателната към
    графиката на функцията е успоредна на правата y=6
    ОТГОВОРИ: № 6401: 6
    № 6421: 4
    преглед

    Прототип на задача B8 (№ 27490)

    На фигурата е показана графика на функцията y=f(x), дефинирана на интервала (-2;12).
    Намерете сумата от точките на екстремум на функцията f(x).
    Функцията има 7 точки на екстремум; 1, 2, 4, 7, 9, 10,
    11.
    Нека намерим техния сбор 1+2+4+7+9+10+11=44
    Решение
    ОТГОВОР:44

    Задачи за самостоятелно решаване

    Задача B8 (№ 7329)


    точки на екстремум на функцията f(x).
    преглед
    Задача B8 (№ 7331)
    Фигурата показва графиката на функцията y=f(x),
    определени на интервала (-7;5). Намерете сумата
    точки на екстремум на функцията f(x).
    ОТГОВОРИ: № 7329: 0
    № 7331: -10

    Прототип на задача B8 (№ 27491)

    На фигурата е показана графика на производната на функцията f(x), дефинирана на интервала (-8;3). В кой момент
    сегмент [-3;2] f(x) приема най-голямата стойност.
    На сегмента [-3;2] f(x) взема най-голямото
    стойност, равна на 0 при x= -3.
    ОТГОВОР: -3
    Решение

    Задачи за самостоятелно решаване

    Задача B8 (№ 6413)

    функция f(x), дефинирана на интервала (-6;6). IN
    каква точка [-5;-1] от отсечката f(x) заема
    най-голяма стойност.
    Задача B8 (№ 6415)
    Фигурата показва графика на производната
    функция f(x), дефинирана на интервала (-6:6). IN
    коя точка от отсечката f(x) заема
    най-голяма стойност.
    ОТГОВОРИ: #6413: -5
    №6415: 3
    преглед

    Прототип на задача B8 (№ 27492)

    На фигурата е показана графика на производната на функцията f(x), дефинирана на интервала (-8;4). В кой момент
    сегмент [-7;-3] f(x) приема най-малката стойност.
    На сегмента [-7;-3] f(x) взема
    най-малката стойност е 0 при x= -7.
    ОТГОВОР: -7
    Решение

    Задачи за самостоятелно решаване

    Задача B8 (№ 6403)

    f(x), дефиниран на интервала (-9;8) . Което
    точка от сегмента [-8;-4] f(x) заема най-малкото
    значение.
    Задача B8 (№ 6405)
    Фигурата показва графика на производната
    функция f(x), дефинирана на интервала (-9;8). IN
    коя точка от отсечката f(x) заема
    най-ниска стойност.
    ОТГОВОРИ: No 6403: -4
    №6405: 3
    преглед

    Прототип на задача B8 (№ 27503)

    Фигурата показва графика на функцията y=f(x) и допирателна към нея в точката с абсцисата x0. Намерете

    α
    f(x0)= k= tgA
    Да разгледаме правоъгълен триъгълник. IN
    Немски tgα= 2/1 = 2
    f(x0)=2
    Решение
    ОТГОВОР:2

    Задачи за самостоятелно решаване

    Задача B8 (№ 9051)
    На фигурата е показана графика на функцията y=f(x) и
    допирателна към нея в точката с абсцисата x0. Намерете
    стойността на производната на функцията f(x) в точката x0.
    Задача B8 (№ 9055)
    Фигурата показва графиката на функцията и
    допирателна към нея в абсцисната точка. Намерете
    стойността на производната на функция в точка.
    ОТГОВОРИ: #9051: -0,25
    №9055: 0,5
    преглед

    Прототип на задача B8 (№ 27494)

    На фигурата е показана графика на производната на функцията f(x), дефинирана на интервала (-7;14). Намерете
    брой максимални точки на функцията f(x) на отсечката [-6;9]
    На отсечката [-6;9] функцията f(x) се променя 5 пъти
    характер на монотонност, от нарастване до
    намаляваща, което означава, че има 5 максимални точки.
    Решение
    ОТГОВОР:4

    Задачи за самостоятелно решаване

    Задача B8 (№ 7807)
    Фигурата показва графика на производната на функцията
    f(x), дефинирана на интервала (-4;16). Намерете
    брой максимални точки на функцията f(x) на
    сегмент.
    Задача B8 (№ 7817)
    Фигурата показва графика на производната
    функция f(x), дефинирана на интервала (13;8). Намерете максималния брой точки
    функция f(x) на интервала [-8;6].
    ОТГОВОРИ: № 6413: 4
    №6415: 4
    преглед

    Списък на препоръчителната литература
    Най-пълното издание на стандартни версии на реални задачи за единен държавен изпит: 2010: Математика / авторска компилация. И. Р. Висоцки, Д. Д. Гущин, П. И. Захаров; редактиран от А. Л. Семенова, И. В. Ященко. –
    М.: АСТ: Астрел, 2010. – 93, (3) с. – (Федерален институт за педагогически измервания)
    Математика: тематично планиране на уроци за подготовка за изпита / Beloshistaya.V.
    А. – М: Издателство „Изпит”, 2007. – 478 (2) с. (Поредица „Единен държавен изпит 2007 г. Урок
    планиране")
    Математика: самостоятелна подготовка за Единния държавен изпит / L.D. Lappo, M.A. Попов. – 3-то изд.,
    преработен И допълнителни - М .: Издателство "Изпит", 2009. - 381, (3) с. (Поредица „Единен държавен изпит.
    интензивен")
    Математика. Решаване на задачи от група Б / Ю.А.Глазков, И.А.Варшавски, М.Я. Гаяшвили.
    – М.: Издателство „Изпит”, 2009. – 382 (2) с. (Поредица „Единен държавен изпит. 100 точки“)
    Математика: тренировъчни тематични задачи с повишена трудност с отговори
    за подготовка за Единен държавен изпит и други форми на финални и приемни изпити /съст.
    Г.И. Ковалева, Т.И.Бузулина, О.Л.Безрукова, Ю.А. Роза. _ Волгоград: Учител, 20089, 494 с.
    Шабунин M.I. и др.Алгебра и началото на анализа: Дидактически материали за 10-11 клас. –
    3-то изд. – М.: Мнемозина, 2000. – 251 с.: ил.

    Интернет адреси на сайтове
    www.fipi.ru – Федерален институт за педагогически измервания (FIPI). Обърнете специално внимание
    внимание на раздела „Отворен сегмент на FBTZ“ - това е система за подготовка за Единния държавен изпит - онлайн. Можете да отговаряте на въпроси от банката със задачи за единен държавен изпит по различни предмети, както и
    избрана тема.
    http://mathege.ru - Отворена банка със задачи за единен държавен изпит по математика. Основната задача на отворена банка
    Задачи за единен държавен изпит по математика - дайте представа какви задачи ще бъдат включени в опциите
    Единен държавен изпит по математика през 2010 г. и помощ на завършилите
    за да ви помогне да се подготвите за изпита. Тук можете да намерите всички тестови изпити за Единния държавен изпит
    математика, които вече са завършени.
    http://egetrener.ru/ - математика: видео уроци, решаване на задачи от Единния държавен изпит.
    http://ege-trener.ru/ - много вълнуваща и ефективна подготовка за Единния държавен изпит по математика.
    Регистрирайте се и се опитайте да влезете в топ 30!
    uztest.ru - безплатни материали за подготовка за Единния държавен изпит (и не само за Единния държавен изпит) по математика:
    интерактивни тематични симулатори, възможност за записване в безплатни онлайн курсове по
    подготовка за единен държавен изпит.
    www.ege.edu.ru е официалният информационен портал на единния държавен изпит.
    Онлайн видео лекции "Консултации по Единния държавен изпит" по всички предмети.
    Видеоклипове от категорията Единен държавен изпит. Лекции по математика
    http://www.alexlarin.narod.ru/ege.html - материали за подготовка за Единния държавен изпит по математика (уебсайт
    Ларин Александър Александрович).
    http://www.diary.ru/~eek/ - общност, която предоставя помощ при решаване на задачи по математика,
    Тук можете да изтеглите много полезни книги по математика, включително тези за подготовка за Единния държавен изпит.
    http://4ege.ru/ - Портал за единен държавен изпит, всичко най-ново за единния държавен изпит. Цялата информация за изпита. Единен държавен изпит 2010 г.

    Решение. Максималните точки съответстват на точките, в които знакът на производната се променя от плюс на минус. На отсечката функцията има две максимални точки x = 4 и x = 4. Отговор: 2. На фигурата е показана графика на производната на функцията f(x), дефинирана на интервала (10; 8). Намерете броя на максималните точки на функцията f(x) върху отсечката.


    Решение. На фигурата е показана графика на функцията y=f(x), дефинирана на интервала (1; 12). Определете броя на целите числа, при които производната на функцията е отрицателна. Производната на функцията е отрицателна на тези интервали, на които функцията намалява, т.е. на интервалите (0,5; 3), (6; 10) и (11; 12). Те съдържат цели точки 1, 2, 7, 8 и 9. Има общо 5 точки. Отговор: 5.


    На фигурата е показана графика на производната на функцията f(x), дефинирана на интервала (10; 4). Намерете интервалите на спадане на функцията f(x). В отговора си посочете дължината на най-големия от тях. Решение. Намаляващите интервали на функцията f(x) съответстват на интервалите, на които производната на функцията е отрицателна, т.е. интервалът (9; 6) с дължина 3 и интервалът (2; 3) с дължина 5. дължината на най-голямата от тях е 5. Отговор: 5.


    На фигурата е показана графика на производната на функцията f(x), дефинирана на интервала (7; 14). Намерете броя на максималните точки на функцията f(x) върху отсечката. Решение. Максималните точки съответстват на точките, в които знакът на производната се променя от положителен на отрицателен. На отсечката функцията има една максимална точка x = 7. Отговор: 1.


    На фигурата е показана графика на производната на функцията f(x), дефинирана на интервала (8; 6). Намерете интервалите на нарастване на функцията f(x). В отговора си посочете дължината на най-големия от тях. Решение. Интервалите на нарастване на функцията f(x) съответстват на интервалите, на които производната на функцията е положителна, т.е. интервалите (7; 5), (2; 5). Най-големият от тях е интервалът (2; 5), чиято дължина е 3.


    На фигурата е показана графика на производната на функцията f(x), дефинирана на интервала (7; 10). Намерете броя на минималните точки на функцията f(x) върху отсечката. Решение. Минималните точки съответстват на точките, в които знакът на производната се променя от минус на плюс. На отсечката функцията има една минимална точка x = 4. Отговор: 1.



    На фигурата е показана графика на производната на функцията f(x), дефинирана на интервала (16; 4). Намерете броя на точките на екстремума на функцията f(x) върху отсечката. Решение. Точките на екстремума съответстват на точките, в които се променя знакът на производната и нулите на производната, показани на графиката. Производната се нулира в точки 13, 11, 9, 7. Функцията има 4 точки на екстремум на отсечката. Отговор: 4.


    На фигурата е показана графика на функцията y=f(x), дефинирана на интервала (2; 12). Намерете сумата от точките на екстремум на функцията f(x). Решение. Дадената функция има максимуми в точки 1, 4, 9, 11 и минимуми в точки 2, 7, 10. Следователно сумата от точките на екстремум е = 44. Отговор: 44.



    На фигурата е показана графика на функцията y=f(x) и допирателна към нея в точката с абсцисата x 0. Намерете стойността на производната на функцията f(x) в точката x 0. Решение. Стойността на производната в точката на допирателна е равна на наклона на тангентата, която от своя страна е равна на тангенса на ъгъла на наклона на тази допирателна спрямо абсцисната ос. Нека построим триъгълник с върхове в точки A (2; 2), B (2; 0), C (6; 0). Ъгълът на наклона на допирателната към оста x ще бъде равен на ъгъла, съседен на ъгъл ACB


    Фигурата показва графика на функцията y = f(x) и допирателна към тази графика в точката на абсцисата, равна на 3. Намерете стойността на производната на тази функция в точката x = 3. За да решим, използваме геометричен смисъл на производната: стойността на производната на функцията в точката е равна на наклона на допирателната към графиката на тази функция, начертана в тази точка. Ъгълът на допирателната е равен на тангенса на ъгъла между допирателната и положителната посока на оста x (tg α). Ъгъл α = β, като напречни ъгли с успоредни прави y=0, y=1 и секуща-тангенса. За триъгълник ABC


    На фигурата е показана графиката на функцията y=f(x) и допирателната към нея в точката с абсцисата x 0. Намерете стойността на производната на функцията f(x) в точката x 0. Въз основа на свойства на допирателната, формулата за допирателната към функцията f(x) в точката x 0 е равна на y=f (x 0) x+b, b=const Фигурата показва, че допирателната към функцията f( x) в точката x 0 минава през точките (-3;2), (5,4). Следователно можем да създадем система от уравнения


    Източници