Навън е знойно време, хвърчат тополови пухчета и това време предразполага към почивка. За учебна годинаВсички са уморени, но очакването на лятната ваканция трябва да ви вдъхнови за успешно полагане на изпити и тестове. Между другото и учителите са скучни през сезона, така че скоро и аз ще отделя време за разтоварване на мозъка. И сега има кафе, ритмичното бръмчене на системния блок, няколко мъртви комара на перваза на прозореца и напълно работещо състояние... ...о, по дяволите... шибаният поет.

Към точката. На кого му пука, но днес е 1 юни за мен и ще разгледаме друг типична задача цялостен анализ – намиране на конкретно решение на системата диференциални уравненияметод на оперативно смятане. Какво трябва да знаете и да можете, за да се научите да го решавате? на първо място, силно препоръчвамобърнете се към урока. Моля, прочетете уводната част, разберете общото изложение на темата, терминологията, обозначенията и поне два-три примера. Факт е, че с дифузьорните системи всичко ще бъде почти същото и дори по-просто!

Разбира се, трябва да разберете какво е това система от диференциални уравнениякакво значи да намериш общо решениесистеми и конкретно решение на системата.

Позволете ми да ви напомня, че системата от диференциални уравнения може да бъде решена по „традиционния“ начин: чрез елиминиранеили използвайки характеристичното уравнение. Методът на оперативното смятане, който ще бъде разгледан, е приложим към системата за дистанционно управление, когато задачата е формулирана по следния начин:

Намерете конкретно решение на хомогенна система от диференциални уравнения , съответстваща на началните условия .

Като алтернатива системата може да бъде разнородна - с „добавени тежести“ под формата на функции и от дясната страна:

Но и в двата случая трябва да обърнете внимание на две основни точки на условието:

1) Става въпрос за само за частно решение.
2) В скоби на началните условия са строго нули, и нищо друго.

Общият курс и алгоритъмът ще бъдат много подобни на решаване на диференциално уравнение по операционния метод. От референтните материали ще ви трябва същото таблица с оригинали и изображения.

Пример 1

, ,

Решение:Началото е тривиално: използване Таблици за трансформация на ЛапласНека да преминем от оригиналите към съответните изображения. При проблем със системи за дистанционно управление този преход обикновено е прост:

Използвайки таблични формули № 1, 2, като вземем предвид първоначалното състояние, получаваме:

Какво да правим с "игрите"? Променете мислено „X“ в таблицата на „I“. Използвайки същите трансформации № 1, 2, като вземем предвид първоначалното условие, намираме:

Нека заместим намерените изображения в оригиналното уравнение :

Сега в левите частитрябва да се съберат уравнения Всичкитермини, в които или присъства. Към правилните частиуравненията трябва да бъдат „формализирани“ всички останалиусловия:

След това от лявата страна на всяко уравнение поставяме скоби:

В този случай на първите позиции трябва да се постави следното, а на вторите:

Получената система от уравнения с две неизвестни обикновено се решава според формулите на Крамер. Нека изчислим основната детерминанта на системата:

В резултат на изчисляване на детерминантата се получава полином.

Важна техника!Този полином е по-добър веднагаопитайте се да го факторизирате. За тези цели трябва да се опитате да решите квадратното уравнение , но много читатели с втора година тренирано око ще забележат това .

По този начин нашата основна детерминанта на системата е:

По-нататъшното разглобяване на системата, благодаря на Kramer, е стандартно:

В резултат на това получаваме операторско решение на системата:

Предимството на въпросната задача е, че дробите обикновено се оказват прости и справянето с тях е много по-лесно, отколкото с дроби в задачи намиране на конкретно решение на DE с помощта на оперативния метод. Предчувствието не те измами - доброто старо метод на несигурни коефициенти, с помощта на които разлагаме всяка дроб на елементарни дроби:

1) Нека се заемем с първата дроб:

Така:

2) Разбиваме втората фракция по подобна схема, но е по-правилно да използваме други константи (недефинирани коефициенти):

Така:

Съветвам манекените да запишат разложеното операторно решение в следната форма:
- това ще направи последния етап по-ясен - обратното преобразуване на Лаплас.

Използвайки дясната колона на таблицата, нека преминем от изображенията към съответните оригинали:

Според правилата на добрите математически маниери ще спретнем малко резултата:

отговор:

Отговорът се проверява по стандартна схема, която е разгледана подробно в урока. Как се решава система от диференциални уравнения?Винаги се опитвайте да го изпълните, за да добавите голям плюс към задачата.

Пример 2

Използвайки операционно смятане, намерете конкретно решение на система от диференциални уравнения, което съответства на дадените начални условия.
, ,

Това е пример за независимо решение. Приблизителна пробафинализиране на проблема и отговора в края на урока.

Решаването на нехомогенна система от диференциални уравнения не е по-различно алгоритмично, освен че технически ще бъде малко по-сложно:

Пример 3

Използвайки операционно смятане, намерете конкретно решение на система от диференциални уравнения, което съответства на дадените начални условия.
, ,

Решение:Използване на таблицата за трансформация на Лаплас, като се вземат предвид началните условия , нека преминем от оригиналите към съответните изображения:

Но това не е всичко, има самотни константи от дясната страна на уравненията. Какво да правим в случаите, когато константата е напълно сама? Това вече беше обсъдено в клас. Как да решим DE с помощта на оперативния метод. Нека повторим: единичните константи трябва да се умножат мислено по едно и следното преобразуване на Лаплас трябва да се приложи към единиците:

Нека заместим намерените изображения в оригиналната система:

Нека преместим условията, съдържащи , наляво и поставим останалите условия от дясната страна:

В левите части ще извършим скоби, освен това ще намалим до общ знаменателдясната страна на второто уравнение:

Нека изчислим основния детерминант на системата, като не забравяме, че е препоръчително незабавно да се опитаме да факторизираме резултата:
, което означава, че системата има уникално решение.

Да продължим:



Така операторското решение на системата е:

Понякога една или дори и двете фракции могат да бъдат намалени, а понякога толкова успешно, че дори не е необходимо да разширявате нищо! И в някои случаи веднага получавате безплатно, между другото, следният пример на урока ще бъде показателен пример.

Използвайки метода на неопределените коефициенти, получаваме сумите на елементарните дроби.

Нека разделим първата фракция:

И постигаме второто:

В резултат операторното решение приема формата, от която се нуждаем:

Използване на дясната колона таблици с оригинали и изображенияИзвършваме обратното преобразуване на Лаплас:

Нека заместим получените изображения в операторното решение на системата:

отговор:лично решение:

Както можете да видите, в хетерогенна система е необходимо да се извършват по-трудоемки изчисления в сравнение с хомогенна система. Нека да разгледаме още няколко примера със синуси и косинуси и това е достатъчно, тъй като ще бъдат разгледани почти всички видове задачи и повечето от нюансите на решението.

Пример 4

Използвайки метода на оперативното смятане, намерете конкретно решение на система от диференциални уравнения с дадени начални условия,

Решение:Аз също ще анализирам този пример, но коментарите ще се отнасят само до специални моменти. Предполагам, че вече сте добре запознати с алгоритъма за решение.

Нека да преминем от оригиналите към съответните изображения:

Нека заменим намерените изображения в оригиналната система за дистанционно управление:

Нека решим системата с помощта на формулите на Cramer:
, което означава, че системата има уникално решение.

Полученият полином не може да бъде факторизиран. Какво да правим в такива случаи? Абсолютно нищо. Този също ще свърши работа.

В резултат операторското решение на системата е:

Ето го билетчето на късмета! Изобщо не е необходимо да използвате метода на неопределените коефициенти! Единственото нещо е, че за да приложим трансформации на таблици, пренаписваме решението в следната форма:

Нека да преминем от изображенията към съответните оригинали:

Нека заместим получените изображения в операторното решение на системата:

Как се решава система от диференциални уравнения?

Предполага се, че читателят вече е доста добър в решаването на диференциални уравнения, по-специално хомогенни уравнения от втори редИ нехомогенни уравнения от втори редс постоянни коефициенти. Няма нищо сложно в системите от диференциални уравнения и ако се чувствате комфортно с горните видове уравнения, тогава овладяването на системите няма да е трудно.

Има два основни типа системи диференциални уравнения:

– Линейни хомогенни системи диференциални уравнения
– Линейни нехомогенни системи диференциални уравнения

И два основни начина за решаване на система от диференциални уравнения:

– Метод на елиминиране. Същността на метода е, че по време на решението системата от диференциални уравнения се свежда до едно диференциално уравнение.

– Използване на характеристичното уравнение(т.нар. метод на Ойлер).

В по-голямата част от случаите системата от диференциални уравнения трябва да бъде решена с помощта на първия метод. Вторият метод е много по-рядко срещан в проблемни ситуации; в цялата си практика съм решавал най-много 10-20 системи с него. Но ние също ще разгледаме накратко това в последния параграф на тази статия.

Веднага се извинявам за теоретичната непълнота на материала, но включих в урока само онези задачи, които действително могат да се срещнат на практика. Тук едва ли ще намерите нещо, което пада в метеоритен дъжд веднъж на всеки пет години и с такива изненади трябва да се обърнете към специализирани дифузьорни тухли.

Линейни хомогенни системи диференциални уравнения

Най-простата хомогенна система от диференциални уравнения има следния вид:

Всъщност почти всичко практически примерите са ограничени до такава система =)

какво има там

– това са числа (числови коефициенти). Най-често срещаните числа. По-специално, един, няколко или дори всички коефициенти могат да бъдат нула. Но такива подаръци рядко се дават, така че числата най-често не са равни на нула.

И това са неизвестни функции. Променливата, която действа като независима променлива, е „като X в обикновено диференциално уравнение“.

И са първите производни на неизвестните функции и, съответно.

Какво означава да се реши система от диференциални уравнения?

Това означава намиране такивафункции и които задоволяват както първото, така и второтоуравнение на системата. Както можете да видите, принципът е много подобен на конвенционалния системи от линейни уравнения. Само че там корените са числа, а тук са функции.

Намереният отговор се записва във формата общо решение на система от диференциални уравнения:

Във къдрави скоби!Тези функции са „в един комплект“.

За система за дистанционно управление можете да решите проблема на Коши, тоест да намерите специално решение на системата, удовлетворяващи дадените начални условия. Конкретно решение на системата също се изписва с фигурни скоби.

Системата може да бъде пренаписана по-компактно, както следва:

Но традиционно решението с производни, записани в диференциали, е по-често срещано, така че, моля, веднага свикнете със следната нотация:
и – производни от първи ред;
и са производни от втори ред.

Пример 1

Решете задачата на Коши за система от диференциални уравнения с начални условия, .

Решение:При задачи системата най-често среща начални условия, така че почти всички примери в този урок ще бъдат със задачата на Коши. Но това не е важно, тъй като все още ще трябва да се намери общо решение по пътя.

Нека решим системата чрез елиминиране. Нека ви напомня, че същността на метода е да сведе системата до едно диференциално уравнение. И се надявам да решиш добре диференциалните уравнения.

Алгоритъмът за решение е стандартен:

1) Вземете второто уравнение на систематаи изразяваме от него:

Това уравнение ще ни трябва към края на решението и ще го маркирам със звездичка. В учебниците се случва да се натъкнат на 500 нотации и след това се позовават на: „според формула (253) ...“ и търсят тази формула някъде 50 страници назад. Ще се огранича с една единствена оценка (*).

2) Диференцирайте от двете страни на полученото уравнение:

С "удари" процесът изглежда така:

Важно е тази проста точка да е ясна; няма да се спирам повече на нея.

3) Нека заместим и в първото уравнение на системата:

И нека направим максимални опростявания:

Резултатът е най-обикновено нещо хомогенно уравнение от втори редс постоянни коефициенти. С "удари" се пише така: .

– получават се различни реални корени, следователно:
.

Една от функциите е намерена, наполовина назад.

Да, моля, обърнете внимание, че получихме характеристично уравнение с „добър“ дискриминант, което означава, че не сме объркали нищо при заместването и опростяванията.

4) Да преминем към функцията. За да направим това, вземаме вече намерената функция и намерете нейната производна. Ние правим разлика по:

Да заместим и в уравнение (*):

Или накратко:

5) И двете функции са намерени, нека запишем общото решение на системата:

отговор:лично решение:

Полученият отговор се проверява доста лесно; проверката се извършва в три стъпки:

1) Проверете дали първоначалните условия действително са изпълнени:

И двете начални условия са изпълнени.

2) Да проверим дали намереният отговор удовлетворява първото уравнение на системата.

Взимаме функцията от отговора и намерете неговата производна:

Да заместим , И в първото уравнение на системата:

получено истинско равенство, което означава, че намереният отговор удовлетворява първото уравнение на системата.

3) Да проверим дали отговорът удовлетворява второто уравнение на системата

Взимаме функцията от отговора и намираме нейната производна:

Да заместим , И във второто уравнение на системата:

Получава се правилното равенство, което означава, че намереният отговор удовлетворява второто уравнение на системата.

Проверката е завършена. Какво е проверено? Изпълнението на първоначалните условия е проверено. И най-важното е фактът, че е намерено конкретно решение удовлетворява на всичкиуравнение на първоначалната система .

По същия начин можете да проверите общото решение , проверката ще бъде още по-кратка, тъй като няма нужда да се проверява дали са изпълнени първоначалните условия.

Сега да се върнем към решената система и да зададем няколко въпроса. Решението започна така: взехме второто уравнение на системата и изразихме от него . Възможно ли е да се изрази не „х“, а „у“? Ако изразим , тогава това няма да ни даде нищо - в този израз отдясно има и "y", и "x", така че няма да можем да се отървем от променливата и да намалим решението на системата към решението на едно диференциално уравнение.

Въпрос втори. Възможно ли е да се започне решаването не от второто, а от първото уравнение на системата? може. Нека разгледаме първото уравнение на системата: . В него имаме две „X“ и едно „Y“, така че е необходимо стриктно да изразим „Y“ през „X“: . Следва първата производна: . Тогава трябва да замените И във второто уравнение на системата. Решението ще бъде напълно еквивалентно, с тази разлика, че първо ще намерим функцията и след това .

И само за втория метод ще има пример за независимо решение:

Пример 2

Намерете конкретно решение на системата от диференциални уравнения, което отговаря на дадените начални условия.

В примерното решение, което е дадено в края на урока, от първото уравнение е изразено и целият танц започва от този израз. Опитайте се сами да направите огледално решение, точка по точка, без да гледате пробата.

Можете също така да тръгнете по пътя на пример № 1 - от второто уравнение, експрес (обърнете внимание, че трябва да се изрази „x“). Но този метод е по-малко рационален, поради причината, че завършихме с дроб, което не е съвсем удобно.

Линейни нехомогенни системи диференциални уравнения

Почти същото, само решението ще бъде малко по-дълго.

Нехомогенната система от диференциални уравнения, която в повечето случаи можете да срещнете в задачи, има следния вид:

В сравнение с хомогенна система, към всяко уравнение се добавя допълнително определена функция, зависеща от „te“. Функциите могат да бъдат константи (като поне една от тях не е равна на нула), експоненциали, синуси, косинуси и др.

Пример 3

Намерете конкретно решение на системата от линейни диференциални уравнения, съответстващо на дадените начални условия

Решение:Дадена е линейна нехомогенна система от диференциални уравнения; константите действат като „добавки“. Ние използваме метод на елиминиране, като самият алгоритъм на решението е напълно запазен. За промяна ще започна с първото уравнение.

1) От първото уравнение на системата изразяваме:

Това е важно нещо, така че ще го отбележа отново. По-добре е да не отваряте скобите; защо има излишни дроби?

И забележете отново, че именно „y“ е изразено от първото уравнение – чрез две „X“ и константа.

2) Разграничете от двете страни:

Константата (три) е изчезнала, поради факта, че производната на константата е равна на нула.

3) Да заместим И във второто уравнение на системата :

Веднага след заместването е препоръчително да се отървем от дробите, за да направим това, умножаваме всяка част от уравнението по 5:

Сега правим опростявания:

Резултатът беше линейно нехомогенно уравнение от втори редс постоянни коефициенти. Това по същество е цялата разлика от решението на хомогенна система от уравнения, разгледано в предишния параграф.

Забележка: Въпреки това, в нехомогенна система понякога може да се получи хомогенно уравнение.

Нека намерим общо решение на съответното хомогенно уравнение:

Нека съставим и решим характеристичното уравнение:

– получават се спрегнати комплексни корени, следователно:
.

Корените на характеристичното уравнение отново се оказаха „добри“, което означава, че сме на прав път.

Търсим конкретно решение на нехомогенното уравнение във формата .
Нека намерим първата и втората производни:

Нека заместим в лявата част на нехомогенното уравнение:

Така:

Трябва да се отбележи, че определено решение се избира лесно устно и е напълно приемливо, вместо дълги изчисления, да се напише: „Очевидно е, че конкретно решение на нехомогенното уравнение: .

В резултат на това:

4) Търсим функция. Първо намираме производната на вече намерената функция:

Не е особено приятно, но такива производни често се срещат в дифузьорите.

Бурята е в разгара си, а сега ще има и девета вълна. Завържете се с въже за палубата.

Да заместим
и в уравнение (*):

5) Общо решение на системата:

6) Намерете конкретно решение, съответстващо на началните условия :

И накрая, частно решение:

Виждате ли, каква история с щастлив край, сега можете безстрашно да плавате на лодки по спокойното море под нежното слънце.

отговор:лично решение:

Между другото, ако започнете да решавате тази система от второто уравнение, изчисленията ще бъдат много по-прости (можете да опитате), но много посетители на сайта поискаха да анализират по-трудни неща. Как можеш да откажеш? =) Нека има и по-сериозни примери.

Пример, по-лесен за самостоятелно решаване:

Пример 4

Намерете частно решение на линейна нехомогенна система от диференциални уравнения, съответстваща на дадените начални условия

Тази задачарешен от мен по примера на Пример № 1, тоест „х” се изразява от второто уравнение. Решението и отговорът са в края на урока.

В разгледаните примери не случайно използвах различни означения и приложих различни решения. Така например производните в една и съща задача бяха написани по три начина: . IN висша математикаНяма нужда да се страхувате от някакви завъртания, основното е да разберете алгоритъма за решение.

Метод на характеристично уравнение(метод на Ойлер)

Както беше отбелязано в началото на статията, при използване на характеристично уравнение рядко се изисква решаване на система от диференциални уравнения, така че в последния параграф ще разгледам само един пример.

Пример 5

Дадена е линейна хомогенна система от диференциални уравнения

Намерете общо решение на система от уравнения, като използвате характеристичното уравнение

Решение:Разглеждаме системата от уравнения и съставяме детерминанта от втори ред:

Мисля, че всеки може да види на какъв принцип е съставен определителят.

Нека създадем характеристично уравнение за това от всяко число, което се намира на главен диагонал, извадете някакъв параметър:

На крайния екземпляр, разбира се, веднага трябва да запишете характеристичното уравнение, обяснявам подробно, стъпка по стъпка, за да е ясно какво идва откъде.

Разширяваме детерминантата:

И намираме корените квадратно уравнение:

Ако характеристичното уравнение има два различни реални корена, тогава общото решение на системата от диференциални уравнения има формата:

Вече знаем коефициентите в степените, остава само да намерим коефициентите

1) Помислете за корена и го заменете в характеристичното уравнение:

(също така не е нужно да записвате тези две детерминанти на празния лист, но веднага създайте устно системата по-долу)

От числата на определителя образуваме система от две линейни уравненияс две неизвестни:

От двете уравнения следва същото равенство:

Сега трябва да изберете най-малкостойност, така че стойността да е цяло число. Очевидно трябва да зададете . И ако, тогава

Решихме да посветим този раздел на решаването на системи от диференциални уравнения от най-простата форма d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2, в която a 1, b 1, c 1, a 2, b 2 , c 2 - някои реални числа. Най-ефективният метод за решаване на такива системи от уравнения е методът на интегриране. Ще разгледаме и решението на пример по темата.

Решението на система от диференциални уравнения ще бъде двойка функции x (t) и y (t), които могат да превърнат и двете уравнения на системата в идентичности.

Нека разгледаме метода за интегриране на системата DE d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2. Нека изразим x от второто уравнение на системата, за да елиминираме неизвестната функция x (t) от първото уравнение:

d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2 ⇒ x = 1 a 2 d y d t - b 2 y - c 2

Нека диференцираме второто уравнение по отношение на tи реши уравнението му за d x d t:

d 2 y d t 2 = a 2 d x d t + b 2 d y d t ⇒ d x d t = 1 a 2 d 2 y d t 2 - b 2 d y d t

Сега нека заместим резултата от предишните изчисления в първото уравнение на системата:

d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 ⇒ 1 a 2 d 2 y d t 2 - b 2 d y d t = a 1 a 2 d y d t - b 2 y - c 2 + b 1 y + c 1 ⇔ d 2 y d t 2 - (a 1 + b 2) d y d t + (a 1 b 2 - a 2 b 1) y = a 2 c 1 - a 1 c 2

Така че елиминирахме неизвестната функция x (t) и получихме линейно нехомогенно диференциално уравнение от 2-ри ред с постоянни коефициенти. Нека намерим решението на това уравнение y (t) и го заместим във второто уравнение на системата. Ще намерим x(t). Ще приемем, че това завършва решението на системата от уравнения.

Пример 1

Намерете решението на системата от диференциални уравнения d x d t = x - 1 d y d t = x + 2 y - 3

Решение

Нека започнем с първото уравнение на системата. Нека го разрешим спрямо x:

x = d y d t - 2 y + 3

Сега нека диференцираме второто уравнение на системата, след което го решаваме по отношение на d x d t: d 2 y d t 2 = d x d t + 2 d y d t ⇒ d x d t = d 2 y d t 2 - 2 d y d t

Можем да заместим резултата, получен по време на изчисленията, в 1-вото уравнение на системата за дистанционно управление:

d x d t = x - 1 d 2 y d t 2 - 2 d y d t = d y d t - 2 y + 3 - 1 d 2 y d t 2 - 3 d y d t + 2 y = 2

В резултат на трансформациите получихме линейно нехомогенно диференциално уравнение от 2-ри ред с постоянни коефициенти d 2 y d t 2 - 3 d y d t + 2 y = 2. Ако намерим общото му решение, получаваме функцията y(t).

Можем да намерим общото решение на съответния LOD y 0 чрез изчисляване на корените на характеристичното уравнение k 2 - 3 k + 2 = 0:

D = 3 2 - 4 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1 k 2 = 3 + 1 2 = 2

Корените, които получихме, са реални и различни. В тази връзка общото решение на LODE ще има формата y 0 = C 1 · e t + C 2 · e 2 t .

Сега нека намерим конкретно решение на линейното нехомогенно диференциално уравнение y ~:

d 2 y d t 2 - 3 d y d t + 2 y = 2

Дясната страна на уравнението е полином от нулева степен. Това означава, че ще търсим конкретно решение във формата y ~ = A, където A е неопределен коефициент.

Можем да определим неопределения коефициент от равенството d 2 y ~ d t 2 - 3 d y ~ d t + 2 y ~ = 2:
d 2 (A) d t 2 - 3 d (A) d t + 2 A = 2 ⇒ 2 A = 2 ⇒ A = 1

Така y ~ = 1 и y (t) = y 0 + y ~ = C 1 · e t + C 2 · e 2 t + 1 . Открихме една неизвестна функция.

Сега нека заместим намерената функция във второто уравнение на DE системата и да решим новото уравнение за x(t):
d (C 1 e t + C 2 e 2 t + 1) d t = x + 2 (C 1 e t + C 2 e 2 t + 1) - 3 C 1 e t + 2 C 2 e 2 t = x + 2 C 1 · e t + 2 C 2 · e 2 t - 1 x = - C 1 · e t + 1

Така че изчислихме втората неизвестна функция x (t) = - C 1 · e t + 1.

Отговор: x (t) = - C 1 e t + 1 y (t) = C 1 e t + C 2 e 2 t + 1

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Уравнения.

Въведение.

В много задачи по математика, физика и техника е необходимо да се определят няколко функции, свързани една с друга чрез няколко диференциални уравнения.

За да направите това, е необходимо да имате, най-общо казано, същия брой уравнения. Ако всяко от тези уравнения е диференциално, тоест има формата на връзка, свързваща неизвестни функции и техните производни, тогава те казват за система от диференциални уравнения.

1. Нормална система от диференциални уравнения от първи ред. Проблем с Коши.

Определение.Система от диференциални уравнения е набор от уравнения, съдържащ няколко неизвестни функции и техните производни, като всяко уравнение включва поне една производна.

Система от диференциални уравнения се нарича линейна, ако неизвестните функции и техните производни се появяват във всяко уравнение само на първа степен.

Линейната система се нарича нормално, ако е разрешено по отношение на всички производни

В нормална система десните части на уравненията не съдържат производни на търсените функции.

С решениесистеми от диференциални уравнения се нарича набор от функции https://pandia.ru/text/78/145/images/image003_45.gif" width="261" height="24 src="> се наричат начални условия на система от диференциални уравнения.

Често началните условия са записани във формуляра

Общото решение (интегрално ) система от диференциални уравнения се нарича набор « п» функции на независимата променлива хИ « п» произволни константи В1 , В2 , …, Cn:

..……………………..

които удовлетворяват всички уравнения на тази система.

За да се получи конкретно решение на системата, което удовлетворява дадените начални условия https://pandia.ru/text/78/145/images/image008_18.gif" width="44" height="24"> ще вземе дадените стойности .

Проблемът на Коши за нормална система от диференциални уравнения се записва по следния начин:

Теорема за съществуване и единственост на решение на проблема на Коши.

За нормална система от диференциални уравнения (1) теоремата на Коши за съществуването и уникалността на решение се формулира, както следва:

Теорема.Нека десните части на уравненията на системата (1), т.е. функциите , (аз=1,2,…, п) непрекъснато във всички променливи в дадена област ги има в себе си непрекъснати частични производни https://pandia.ru/text/78/145/images/image003_45.gif" width="261 height=24" height="24">, принадлежащи на региона г, има уникално решение за системата (1) https://pandia.ru/text/78/145/images/image013_11.gif" width="284" height="24 src=">.

2. Решаване на нормална система чрез елиминиране.

За решаване на нормална система от диференциални уравнения се използва методът на елиминиране на неизвестните или методът на Коши.

Нека се даде нормална система

Разграничете по Xпървото уравнение на системата

https://pandia.ru/text/78/145/images/image015_5.gif" width="123" height="43 src="> техните изрази от системата от уравнения (1), ще имаме

Диференцираме полученото уравнение и, действайки подобно на предишното, намираме

И така, имаме системата

(2)

От първия n-1дефинираме уравнения г2 , г3 , … , ун , изразявайки ги чрез

И

(3)

Замествайки тези изрази в последното от уравненията (2), получаваме уравненията n-тоза да се определи г1 :

https://pandia.ru/text/78/145/images/image005_27.gif" width="167" height="24"> (5)

Разграничаване на последния израз n-1веднъж, нека намерим производните

като функции на . Замествайки тези функции в уравнения (4), ние определяме г2 , г3 , … , ун .

И така, получихме общо решение на система (1)

(6)

За да се намери конкретно решение на система (1), удовлетворяващо началните условия при

е необходимо да се намерят от уравнение (6) съответните стойности на произволни константи C1, C2, …, Cп .

Пример.

Намерете общото решение на системата от уравнения:

https://pandia.ru/text/78/145/images/image029_2.gif" width="96" height="21">

за нови непознати функции.

Заключение.

Системи от диференциални уравнения се срещат при изучаване на процеси, за чието описание една функция не е достатъчна. Например, намирането на линии на векторно поле изисква решаване на система от диференциални уравнения. Решаването на задачи за динамиката на криволинейното движение води до система от три диференциални уравнения, в които неизвестните функции са проекциите на движеща се точка върху координатните оси, а независимата променлива е времето. По-късно ще научите, че решаването на задачи по електротехника за двама електрически вериги, разположен в електромагнитната комуникация, ще изисква решаване на система от две диференциални уравнения. Броят на такива примери лесно може да се увеличи.

Основни понятия и определения Вече води до система от диференциални уравнения най-простата задачадинамика на точка: силите, действащи върху материална точка ; намерете закона за движение, т.е. намерете функциите x = x(t), y = y(t), z = z(t), изразяващи зависимостта на координатите на движеща се точка от времето. Получената система най-общо има формата Тук x, y, z са координатите на движещата се точка, t е времето, f, g, h са известни функции на техните аргументи. Система от тип (1) се нарича канонична. Обръщайки се към общия случай на система от m диференциални уравнения с m неизвестни функции на аргумента t, ние наричаме система от формата, разрешена по отношение на по-високи производни, канонична. Система от уравнения от първи ред, разрешени по отношение на производните на желаните функции, се нарича нормална. Ако вземем нови спомагателни функции, тогава общата канонична система (2) може да бъде заменена с еквивалентна нормална система, състояща се от уравнения. Следователно е достатъчно да се вземат предвид само нормалните системи. Например едно уравнение е специален случай на каноничната система. Поставяйки ^ = y, по силата на първоначалното уравнение ще имаме В резултат на това получаваме нормална система от уравнения СИСТЕМИ ОТ ДИФЕРЕНЦИАЛНИ УРАВНЕНИЯ Методи на интегриране Метод на елиминиране Метод на интегрируеми комбинации Системи от линейни диференциални уравнения Фундаментална матрица Метод на вариация на константи Системи от линейни диференциални уравнения с постоянни коефициенти Матричен метод, еквивалентен на оригиналното уравнение. Определение 1. Решение на нормалната система (3) на интервала (a, b) на промяна на аргумента t е всяка система от n функции, диференцируеми на интервала, която превръща уравненията на система (3) в идентичности по отношение на t на интервала (a, b) се формулира по следния начин: намира се решение (4) на системата, което удовлетворява при t = на началните условия на теорема 1 (съществуване и единственност на решението). чрез задачите на Which). Нека имаме нормална система от диференциални уравнения и нека функциите са дефинирани в някаква (n + 1) -мерна област на промените в променливите t, X\, x2, ..., xn. Ако има околност ft, в която функциите ft са непрекъснати в множеството от аргументи и имат ограничени частични производни по отношение на променливите X\, x2, ..., xn, тогава има интервал до - A0 от промяна t, на която има единствено решение на нормалната система (3), което отговаря на началните условия Определение 2. Система от n функции, зависеща от tun произволни константи, се нарича общо решение на нормалната система (3) в някои област Π на съществуване и уникалност на решението на задачата на Коши, ако 1) за всякакви допустими стойности системата от функции (6) превръща уравнения (3) в идентичности, 2) в областта Π функции (6) решават всяка задача на Коши. Решенията, получени от общото при конкретни стойности на константите, се наричат ​​частни решения. За по-голяма яснота, нека се обърнем към нормалната система от две уравнения. Ще разгледаме системата от стойности t> X\, x2 като правоъгълни декартови координати на точка в триизмерното пространство, отнесена към координатната система Otx\x2. Решението на системата (7), което приема стойности при t - до, определя в пространството определена линия, минаваща през точката) - Тази линия се нарича интегрална крива на нормалната система (7). Проблемът на Коши за система (7) получава следната геометрична формулировка: в пространството на променливите t> X\, x2 да се намери интегралната крива, минаваща през дадена точка Mo(to, x1, x2) (фиг. 1). Теорема 1 установява съществуването и уникалността на такава крива. На нормалната система (7) и нейното решение може да се даде и следната интерпретация: ще разглеждаме независимата променлива t като параметър, а решението на системата като параметрични уравнения на крива в равнината x\Ox2. Тази равнина на променливите X\X2 се нарича фазова равнина. Във фазовата равнина решението (0 на системата (7), приемащо при t = t0 начални стойности x°(, x2, се изобразява от кривата AB, преминаваща през точката). Тази крива се нарича траектория на система (фазова траектория) е проекционната интегрална крива върху фазовата крива, фазовата траектория се определя еднозначно, но не и обратното 2.1 Метод на елиминиране Един от методите на интегриране е методът на елиминиране по отношение на най-високата производна. към нормалната система (1) Може да се каже и обратното, че най-общо казано, нормална система от n уравнения от първи ред е еквивалентна на едно уравнение от ред на диференциални уравнения. Прави се така. Нека имаме нормална система от диференциални уравнения. Нека диференцираме първото от уравненията (2) по отношение на t. Имаме Заместване на продукта от дясната страна или, накратко, Уравнение (3) отново е диференцирано по отношение на t. Като вземем предвид система (2), получаваме или Продължавайки този процес, намираме Да приемем, че детерминантата (Якобиан на системата от функции е различна от нула за разглежданите стойности. Тогава системата от уравнения, съставена от първото уравнение на системата ( 2) и уравненията ще бъдат разрешими по отношение на неизвестните ще бъдат изразени чрез Въвеждайки намерените изрази в уравнението получаваме едно уравнение от n-ти ред От самия метод на неговото построяване следва, че ако) има решения на системата (2), тогава функцията X\(t) ще бъде решение на уравнение (5). Обратно, нека е решението на уравнение (5). Диференцирайки това решение по отношение на t, ние изчисляваме и заместваме намерените стойности като известни функции. По предположение тази система може да бъде разрешена по отношение на xn като функция на t. Може да се покаже, че системата от функции, конструирана по този начин, представлява решение на системата от диференциални уравнения (2). Пример. Необходимо е да интегрираме системата, като диференцираме първото уравнение на системата, откъдето, използвайки второто уравнение, получаваме линейно диференциално уравнение от втори ред с постоянни коефициенти с една неизвестна функция. Общото му решение има формата. По силата на първото уравнение на системата намираме функцията. Намерените функции x(t), y(t), както могат лесно да се проверят, за всякакви стойности на C| и C2 отговарят на дадената система. Функциите могат да бъдат представени във вида, от който се вижда, че интегралните криви на системата (6) са спирални линии със стъпка с обща ос x = y = 0, която също е интегрална крива (фиг. 3). ). Елиминирайки параметъра във формули (7), получаваме уравнението, така че фазовите траектории на дадена система са окръжности с център в началото на координатите - проекции на спирални линии върху равнина. Когато A = 0, фазовата траектория се състои от една точка, наречена точка на покой на системата. " Може да се окаже, че функциите не могат да бъдат изразени чрез Тогава няма да получим уравнение от n-ти ред, еквивалентно на оригиналната система. Ето един прост пример. Системата от уравнения не може да бъде заменена с еквивалентно уравнение от втори ред за x\ или x2. Тази система е съставена от двойка уравнения от първи ред, всяко от които е интегрирано независимо, което дава метода на интегрируемите комбинации. Интегрирането на нормални системи от диференциални уравнения dXi понякога се извършва чрез метода на интегрируемите комбинации. Интегрируема комбинация е диференциално уравнение, което е следствие от уравнения (8), но вече е лесно интегрируемо. Пример. Интегрирайте система СИСТЕМИ ОТ ДИФЕРЕНЦИАЛНИ УРАВНЕНИЯ Методи на интегриране Метод на елиминиране Метод на интегрируеми комбинации Системи от линейни диференциални уравнения Фундаментална матрица Метод на вариация на константи Системи от линейни диференциални уравнения с постоянни коефициенти Матричен метод 4 Чрез добавяне на дадените уравнения член по член, ние намираме една интегрируема комбинация: Изваждайки член по член от първото уравнение на системата, второто, получаваме втора интегрируема комбинация: откъдето намерихме две крайни уравнения, от които лесно се определя общото решение на системата: Една интегрируема комбинация прави възможно за да се получи едно уравнение, свързващо независимата променлива t и неизвестните функции. Такова крайно уравнение се нарича първи интеграл на системата (8). В противен случай: първият интеграл на система от диференциални уравнения (8) е диференцируема функция, която не е идентично постоянна, но поддържа постоянна стойност на всяка интегрална крива на тази система. Ако са намерени n първи интеграла на система (8) и всички те са независими, т.е. якобианът на системата от функции е различен от нула: Система от диференциални уравнения се нарича линейна, ако е линейна по отношение на неизвестни функции и техните производни включени в уравнението. Система от n линейни уравнения от първи ред, записана в нормална форма, има формата или, в матрична форма, теорема 2. Ако всички функции са непрекъснати на интервал, тогава в достатъчно малка околност на всяка точка., xn) , където), са изпълнени условията на теоремата за съществуване и уникалността на решението на проблема на Каушиа, следователно през всяка такава точка преминава уникална интегрална крива на системата (1). Определение. Нека имаме линейна хомогенна система, където е матрица с елементи. Система от n решения на линейна хомогенна система (6), линейно независима от интервала, се нарича фундаментална. Теорема 6. Детерминантата на Вронски W(t) на система от фундаментални решения на интервал на линейна хомогенна система (6) с коефициенти a-ij(t), непрекъснати на интервала a b, е различна от нула във всички точки на интервала (a , 6). Теорема 7 (за структурата на общото решение на линейна хомогенна система). Общото решение в полето на линейна хомогенна система с коефициенти, непрекъснати на интервал, е линейна комбинация от n решения на система (6), линейно независими на интервала a: произволни постоянни числа). алгебрична системаспрямо 4(0 >, чиято детерминанта е детерминантата на Вронски W(t) на фундаменталната система от решения. Тази детерминанта е различна от нула навсякъде в интервала, така че системата) има уникално решение, където MO са известни непрекъснати функции. Интегрирайки последните отношения, намираме замествайки тези стойности, намираме конкретно решение на система (2): (тук символът се разбира като една от първоизводните за функцията §4. Системи от линейни диференциални уравнения с постоянни коефициенти Разгледайте. линейна системадиференциални уравнения, в които всички коефициенти са постоянни. Най-често такава система се интегрира, като се сведе до едно уравнение от по-висок порядък и това уравнение също ще бъде линейно с постоянни коефициенти. друг ефективен методинтегриране на системи с постоянни коефициенти – методът на трансформацията на Лаплас. Ще разгледаме и метода на Ойлер за интегриране на линейни хомогенни системи от диференциални уравнения с постоянни коефициенти. Това е следното. Метод на Ойлер Ще търсим решение на системата, където са константи. Замествайки x* във форма (2) в система (1), намалявайки с e* и прехвърляйки всички членове към една част от равенството, получаваме системата За да може тази система (3) от линейни хомогеннис n неизвестни an има нетривиално решение, е необходимо и достатъчно неговата детерминанта да е равна на нула: Уравнение (4) се нарича характеристично. От лявата му страна има полином по отношение на A от степен n. От това уравнение определяме тези стойности на A, за които системата (3) има нетривиални решения a\ Ако всички корени на характеристичното уравнение (4) са различни, след това като ги заместим на свой ред в системата ( 3), намираме съответните нетривиални решения на тази система и следователно намираме n решения на оригиналната система от диференциални уравнения (1) във формата, където вторият индекс показва номера на решението, а първият номер на неизвестната функция. Построените по този начин n частични решения на линейната хомогенна система (1) образуват, както може да се провери, фундаментална система от решения на тази система. Следователно общото решение на хомогенната система от диференциални уравнения (1) има формата - произволни константи. Няма да разглеждаме случая, когато характеристичното уравнение има множество корени. М Търсим решение под формата на характеристично уравнение Система (3) за определяне на 01.02 изглежда така: Замествайки получаваме от къде Следователно, приемайки, че намираме общото решение на тази система: СИСТЕМИ ОТ ДИФЕРЕНЦИАЛНИ УРАВНЕНИЯ Методи на интегриране Метод на елиминиране Метод на интегрируеми комбинации Системи от линейни диференциални уравнения Фундаментална матрица Метод на вариационни константи Системи от линейни диференциални уравнения с постоянни коефициенти Матричен метод Нека обясним допълнително матричен метод интегриране на хомогенна система (1). Нека запишем системата (1) като матрица с постоянни реални елементи a,j. Нека си припомним някои понятия от линейната алгебра. Вектор g FO се нарича собствен вектор на матрица A, ако числото A се нарича собствена стойност на матрица A, съответстваща на собствения вектор g, и е корен на характеристичното уравнение, където I е матрицата на идентичност. Ще приемем, че всички собствени стойности A„ на матрица A са различни. В този случай собствените вектори са линейно независими и съществува n x n матрица T, която редуцира матрицата A до диагонална форма, т.е., така че колоните на матрицата T са координатите на собствените вектори. Нека въведем следните понятия. Нека B(ξ) е n × n-матрица, елементи 6,;(0 от които са функции на аргумента t, дефиниран в множеството. Матрицата B(f) се нарича непрекъсната на Π, ако всички нейни елементи 6,j (f) са непрекъснати върху Q. Матрица B(*) се казва, че е диференцируема върху Π, ако всички елементи на тази матрица са диференцируеми върху Q. В този случай производната на ^p-матрица B(*) е матрица, чиито елементи са производни на матрицата B(*). Като се вземат предвид правилата на матричната алгебра, ние се убеждаваме в валидността на формулата постоянна матрица, тогава тъй като ^ е нулева матрица. Теорема 9. Ако собствените стойности на матрицата A са различни, тогава общото решение на системата (7) има формата където - собствените вектори-колони на матрицата са произволни константи. Нека въведем нов неизвестен вектор-колона съгласно формулата, където T е матрица, която редуцира матрицата A до диагонална форма, получаваме системата Умножавайки двете страни на последното отношение отляво по T 1 като се има предвид, че T 1 AT = А, стигаме до системата. Получихме система от n независими уравнения, които лесно могат да бъдат интегрирани: (12) Ето произволни постоянни числа. Чрез въвеждане на единични n-мерни колонни вектори, решението може да бъде представено във формата Тъй като колоните на матрицата T са собствените вектори на матрицата, собственият вектор на матрицата A. Следователно, замествайки (13) в (11), ние получете формула (10): Така, ако матрицата A система от диференциални уравнения (7) има различни собствени стойности, за да получите общо решение на тази система: 1) намерете собствените стойности „ на матрицата като корени на алгебричното уравнение 2) намерете всички собствени вектори 3) напишете общото решение на системата от диференциални уравнения (7), като използвате формулата (10). Пример 2. Решаване на системата Матричен метод 4 Матрица А на системата има вида 1) Съставете характеристичното уравнение Корените на характеристичното уравнение. 2) Намерете собствените вектори За A = 4 получаваме система, от която = 0|2, така че по подобен начин за A = 1 намираме I 3) Използвайки формула (10), получаваме общо решение на системата от диференциални уравнения. Корените на характеристичното уравнение могат да бъдат реални и комплексни. Тъй като по предположение коефициентите ay на системата (7) са реални, характеристичното уравнение ще има реални коефициенти. Следователно, заедно с сложен коренИ също така ще има корен \*, комплексно спрегнат на A. Лесно е да се покаже, че ако g е собствен вектор, съответстващ на собствена стойност на A, тогава A* също е собствена стойност, съответстваща на собствен вектор g*, комплексно спрегнат на ж.