Нека се даде системата линейни уравненияс 
неизвестен:
Ще приемем, че основната матрица 
неизродени. Тогава, съгласно теорема 3.1, съществува обратна матрица 
Умножение на матричното уравнение 
към матрицата 
отляво, използвайки Определение 3.2, както и твърдение 8) от Теорема 1.1, получаваме формулата, на която се основава матричният метод за решаване на системи от линейни уравнения:
Коментирайте. Имайте предвид, че матричният метод за решаване на системи от линейни уравнения, за разлика от метода на Гаус, има ограничено приложение: този метод може да решава само системи от линейни уравнения, за които, първо, броят на неизвестните е равен на броя на уравненията и второ, основната матрица е неединствена.
Пример. Решете система от линейни уравнения с помощта на матричния метод.
Дадена е система от три линейни уравнения с три неизвестни 
Къде
Основната матрица на системата от уравнения е неособена, тъй като нейният детерминант е различен от нула:
Обратна матрица 
Нека съставим, като използваме един от методите, описани в параграф 3.
Използвайки формулата на матричния метод за решаване на системи от линейни уравнения, получаваме
5.3. Метод на Крамер
Този метод, подобно на матричния, е приложим само за системи от линейни уравнения, в които броят на неизвестните съвпада с броя на уравненията. Методът на Cramer се основава на едноименната теорема:
Теорема 5.2.
система 
линейни уравнения с 
неизвестен
чиято основна матрица е неособена, има уникално решение, което може да се получи с помощта на формулите
Къде 
детерминанта на матрица, получена от основната матрица 
система от уравнения, като я замени 
та колона с колона от безплатни членове.
Пример.
Нека намерим решението на системата от линейни уравнения, разгледана в предишния пример, като използваме метода на Крамър. Основната матрица на системата от уравнения е неизродена, тъй като 
Нека изчислим детерминантите 
Използвайки формулите, представени в теорема 5.2, изчисляваме стойностите на неизвестните:
6. Изучаване на системи от линейни уравнения.
Основно решение
Да се изследва система от линейни уравнения означава да се определи дали тази система е съвместима или несъвместима и ако е съвместима, да се установи дали тази система е определена или неопределена.
Условието за съвместимост за система от линейни уравнения е дадено от следната теорема
Теорема 6.1 (Кронекер–Капели).
Система от линейни уравнения е последователна тогава и само ако рангът на основната матрица на системата е равен на ранга на нейната разширена матрица:
За едновременна система от линейни уравнения въпросът за нейната определеност или несигурност се решава с помощта на следните теореми.
Теорема 6.2. Ако рангът на основната матрица на съвместна система е равен на броя на неизвестните, тогава системата е определена
Теорема 6.3. Ако рангът на основната матрица на съвместна система е по-малък от броя на неизвестните, тогава системата е несигурна.
Така от формулираните теореми следва метод за изследване на линейни системи алгебрични уравнения. Нека п– брой неизвестни, 
След това:
Определение 6.1. Основното решение на неопределена система от линейни уравнения е решение, в което всички свободни неизвестни са равни на нула.
Пример. Изследвайте система от линейни уравнения. Ако системата е несигурна, намерете нейното основно решение.
Нека изчислим ранговете на основните 
и разширени матрици 
на тази система от уравнения, за която привеждаме разширената (и в същото време основната) матрица на системата до поетапна форма:
Добавете втория ред на матрицата към нейния първи ред, умножено по 
трети ред - с първия ред, умножен по 
и четвъртия ред - с първия, умножен по 
получаваме матрица
Към третия ред на тази матрица добавяме втория ред, умножен по 
и на четвъртия ред – първият, умножен по 
В резултат на това получаваме матрицата
премахване на третия и четвъртия ред, от които получаваме стъпкова матрица
по този начин 
Следователно тази система от линейни уравнения е последователна и тъй като стойността на ранга е по-малка от броя на неизвестните, системата е несигурна, получената в резултат на елементарни трансформации матрица съответства на системата от уравнения
неизвестен 
И 
са основните и неизвестните 
И 
безплатно. Като присвоим нулеви стойности на свободните неизвестни, получаваме основно решение на тази система от линейни уравнения.
- изчислява се детерминантата на матрицата А;
- чрез алгебрични добавкинамира се обратната матрица A -1;
- създава се шаблон за решение в Excel;
Инструкции. За да получите решение, използвайки метода на обратната матрица, трябва да посочите размерността на матрицата. След това в нов диалогов прозорец попълнете матрицата A и вектора на резултатите B.
Спомнете си, че решение на система от линейни уравнения е всеки набор от числа (x 1, x 2, ..., x n), чието заместване в тази система вместо съответните неизвестни превръща всяко уравнение на системата в идентичност .
Система от линейни алгебрични уравнения обикновено се записва като (за 3 променливи): Вижте също Решаване на матрични уравнения.
Алгоритъм за решение
- Изчислява се детерминантата на матрицата А. Ако детерминантата равно на нула, след това краят на решението. Системата има безкраен брой решения.
- Когато детерминантата е различна от нула, обратната матрица A -1 се намира чрез алгебрични събирания.
- Векторът на решение X =(x 1, x 2, ..., x n) се получава чрез умножаване на обратната матрица по вектора на резултата B.
Пример №1. Намерете решение на системата с помощта на матричния метод. Нека напишем матрицата във формата:
Алгебрични допълнения.
| A 1,1 = (-1) 1+1 |
| ∆ 1,1 = (1 (-2)-0 2) = -2 |
| A 1,2 = (-1) 1+2 |
| ∆ 1,2 = -(3 (-2)-1 2) = 8 |
| A 1,3 = (-1) 1+3 |
| ∆ 1,3 = (3 0-1 1) = -1 |
| A 2,1 = (-1) 2+1 |
| ∆ 2,1 = -(-2 (-2)-0 1) = -4 |
| A 2,2 = (-1) 2+2 |
| ∆ 2,2 = (2 (-2)-1 1) = -5 |
| A 2,3 = (-1) 2+3 |
| ∆ 2,3 = -(2 0-1 (-2)) = -2 |
| A 3,1 = (-1) 3+1 |
| ∆ 3,1 = (-2 2-1 1) = -5 |
| A 3,2 = (-1) 3+2 |
| ∆ 3,2 = -(2 2-3 1) = -1 |
| 3 |
| -2 |
| -1 |
X T = (1,0,1)
x 1 = -21 / -21 = 1
x 2 = 0 / -21 = 0
x 3 = -21 / -21 = 1
преглед:
2 1+3 0+1 1 = 3
-2 1+1 0+0 1 = -2
1 1+2 0+-2 1 = -1
Пример №2. Решете SLAE, като използвате метода на обратната матрица.
2 x 1 + 3 x 2 + 3 x 3 + x 4 = 1
3 x 1 + 5 x 2 + 3 x 3 + 2 x 4 = 2
5 x 1 + 7 x 2 + 6 x 3 + 2 x 4 = 3
4 x 1 + 4 x 2 + 3 x 3 + x 4 = 4
Нека напишем матрицата във формата:
Вектор B:
B T = (1,2,3,4)
Основна детерминанта
Малък за (1,1):
= 5 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 2)+4 (3 2-6 2) = -3
Малък за (2,1):
= 3 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 1)+4 (3 2-6 1) = 0
Малък за (3,1):
= 3 (3 1-3 2)-5 (3 1-3 1)+4 (3 2-3 1) = 3
Малък за (4,1):
= 3 (3 2-6 2)-5 (3 2-6 1)+7 (3 2-3 1) = 3
Детерминант на минор
∆ = 2 (-3)-3 0+5 3-4 3 = -3
Пример №4. Напишете системата от уравнения в матрична форма и решете с помощта на обратната матрица.
Решение: xls
Пример №5. Дадена е система от три линейни уравнения с три неизвестни. Необходимо е: 1) да се намери решението му с помощта на формулите на Крамер; 2) напишете системата в матрична форма и я решете с помощта на матрично смятане.
Методически препоръки. След решаване по метода на Cramer намерете бутона „Решаване чрез метод на обратна матрица за изходни данни“. Ще получите подходящото решение. Така няма да се налага да попълвате данните отново.
Решение. Нека означим с A матрицата на коефициентите за неизвестни; X - колонна матрица на неизвестните; B - матрица-колона на безплатните членове:
|
B T =(4,-3,-3)
Като се вземат предвид тези обозначения, тази система от уравнения приема следната матрична форма: A*X = B.
Ако матрицата A е неизродена (нейният детерминант е различен от нула, тогава тя има обратна матрица A -1. Умножавайки двете страни на уравнението по A -1, получаваме: A -1 *A*X = A - 1 *B, A -1 * A=E.
Това равенство се нарича матрична нотация на решението на система от линейни уравнения. За да се намери решение на системата от уравнения, е необходимо да се изчисли обратната матрица A -1.
Системата ще има решение, ако детерминантата на матрицата A е различна от нула.
Нека намерим основната детерминанта.
∆=-1 (-2 (-1)-1 1)-3 (3 (-1)-1 0)+2 (3 1-(-2 0))=14
И така, детерминантата е 14 ≠ 0, така че продължаваме решението. За да направим това, намираме обратната матрица чрез алгебрични добавки.
Нека имаме неособена матрица A:
| A 1,1 =(-1) 1+1 |
|
| A 1,2 =(-1) 1+2 |
|
| A 1,3 =(-1) 1+3 |
|
| A 2,1 =(-1) 2+1 |
|
| A 2,2 =(-1) 2+2 |
|
| A 2,3 =(-1) 2+3 |
|
| A 3.1 =(-1) 3+1 |
|
| 4 |
| -3 |
| -3 |
| X=1/14 |
|
∆=4 (0 1-3 (-2))-2 (1 1-3 (-1))+0 (1 (-2)-0 (-1))=16
Транспонирана матрица
| A 1,2 =(-1) 1+2 |
|
| A 1,3 =(-1) 1+3 |
|
| A 2,1 =(-1) 2+1 |
|
| A 2,2 =(-1) 2+2 |
|
| A 2,3 =(-1) 2+3 |
|
| A 3.1 =(-1) 3+1 |
|
| A 3,2 = (-1) 3+2 |
|
| A 3,3 = (-1) 3+3 | 1/16 |
|
| (4 6)+(1 (-2))+(-1 6) | (4 (-4))+(1 4)+(-1 (-12)) | (4 (-2))+(1 6)+(-1 (-2)) |
| (2 6)+(0 (-2))+(-2 6) | (2 (-4))+(0 4)+(-2 (-12)) | (2 (-2))+(0 6)+(-2 (-2)) |
| (0 6)+(3 (-2))+(1 6) | (0 (-4))+(3 4)+(1 (-12)) | (0 (-2))+(3 6)+(1 (-2)) |
| =1/16 |
|
| A*A -1 = |
|
Пример № 7. Решаване на матрични уравнения.
Да обозначим:
| А= |
|
| A 1,1 = (-1) 1+1 |
|
| A 1,2 = (-1) 1+2 |
|
| A 1,3 = (-1) 1+3 |
|
| A 2,1 = (-1) 2+1 |
|
| A 2,2 = (-1) 2+2 |
|
| A 2,3 = (-1) 2+3 |
|
| A 3,1 = (-1) 3+1 |
|
| -12 | 15 | -5 |
| -4 | 5 | -2 |
| 7 | -9 | 3 |
B T =(31,13,10)
X T =(4.05,6.13,7.54)
x 1 = 158 / 39 = 4,05
x 2 = 239 / 39 = 6,13
x 3 = 294 / 39 =7,54
преглед.
-2 4.05+-1 6.13+6 7.54=31
1 4.05+-1 6.13+2 7.54=13
2 4.05+4 6.13+-3 7.54=10
Пример №9. Нека означим с A матрицата на коефициентите за неизвестни; X - колонна матрица на неизвестните; B - матрица-колона на безплатните членове:
|
B T =(31,13,10)
X T =(5.21,4.51,6.15)
x 1 = 276 / 53 =5,21
x 2 = 239 / 53 = 4,51
x 3 = 326 / 53 = 6,15
преглед.
-2 5.21+1 4.51+6 6.15=31
1 5.21+-1 4.51+2 6.15=13
2 5.21+4 4.51+-3 6.15=10
Пример №10. Решаване на матрични уравнения.
Да обозначим:
A 11 = (-1) 1+1 ·-3 = -3; A 12 = (-1) 1+2 ·3 = -3; A 21 = (-1) 2+1 ·1 = -1; A 22 = (-1) 2+2 ·2 = 2;
Обратна матрица A -1 .
| -3 | -3 |
| -1 | 2 |
| 1 | -2 |
| 1 | 1 |
| X = |
|
Матричен метод за решаване на системи от линейни уравнения
Разгледайте система от линейни уравнения със следната форма:
$\left\(\begin(array)(c) (a_(11) x_(1) +a_(12) x_(2) +...+a_(1n) x_(n) =b_(1) ) \\ (a_(21) x_(1) +a_(22) x_(2) +...+a_(2n) x_(n) =b_(2) ) \\ (...) \\ (a_ (n1) x_(1) +a_(n2) x_(2) +...+a_(nn) x_(n) =b_(n) ) \end(array)\right .$.
Числата $a_(ij) (i=1..n,j=1..n)$ са системни коефициенти, числата $b_(i) (i=1..n)$ са свободни членове.
Определение 1
В случай, че всички свободни членове са равни на нула, системата се нарича хомогенна, в противен случай се нарича нехомогенна.
Всеки SLAE може да бъде свързан с няколко матрици и системата може да бъде написана в така наречената матрична форма.
Определение 2
Матрицата на системните коефициенти се нарича системна матрица и обикновено се обозначава с буквата $A$.
Колона от свободни членове образува колонен вектор, който обикновено се означава с буквата $B$ и се нарича матрица от свободни членове.
Неизвестните променливи образуват вектор колона, която обикновено се обозначава с буквата $X$ и се нарича матрица на неизвестните.
Матриците, описани по-горе, имат формата:
$A=\left(\begin(array)(cccc) (a_(11) ) & (a_(12) ) & (...) & (a_(1n) ) \\ (a_(21) ) & ( a_(22) ) & (...) & (a_(2n) ) \\ (...) & (...) & (...) & (...) \\ (a_(n1) ) & (a_(n2) ) & (...) & (a_(nn) ) \end(array)\right),B=\left(\begin(array)(c) (b_(1) ) \ \ (b_(2) ) \\ (...) \\ (b_(n) ) \end(array)\right),X=\left(\begin(array)(c) (x_(1) ) \\ (x_(2) ) \\ (...) \\ (x_(n) ) \end(array)\right).$
Използвайки матрици, SLAE може да бъде пренаписан като $A\cdot X=B$. Тази нотация често се нарича матрично уравнение.
Най-общо казано, всеки SLAE може да бъде написан в матрична форма.
Примери за решаване на система с помощта на обратна матрица
Пример 1
Дадено е SLAE: $\left\(\begin(array)(c) (3x_(1) -2x_(2) +x_(3) -x_(4) =3) \\ (x_(1) -12x_(2) ) -x_(3) -x_(4) =7) \\ (2x_(1) -3x_(2) +x_(3) -3x_(4) =5) \end(array)\right система $ матрична форма.
Решение:
$A=\left(\begin(array)(cccc) (3) & (-2) & (1) & (-1) \\ (1) & (-12) & (-1) & (-1 ) \\ (2) & (-3) & (1) & (-3) \end(масив)\right),B=\left(\begin(array)(c) (3) \\ (7) \\ (5) \end(array)\right),X=\left(\begin(array)(c) (x_(1) ) \\ (x_(2) ) \\ (x_(3) ) \ край (масив)\вдясно).$
$\left(\begin(array)(cccc) (3) & (-2) & (1) & (-1) \\ (1) & (-12) & (-1) & (-1) \ \ (2) & (-3) & (1) & (-3) \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array)(c) (x_(1) ) \\ (x_( 2) ) \\ (x_(3) ) \end(array)\right)=\left(\begin(array)(c) (3) \\ (7) \\ (5) \end(array)\ надясно)$
В случай, че матрицата на системата е квадратна, SLAE може да се реши с помощта на матричния метод.
Имайки матрично уравнение $A\cdot X=B$, можем да изразим $X$ от него по следния начин:
$A^(-1) \cdot A\cdot X=A^(-1) \cdot B$
$A^(-1) \cdot A=E$ (свойство на матричен продукт)
$E\cdot X=A^(-1) \cdot B$
$E\cdot X=X$ (свойство на матричен продукт)
$X=A^(-1) \cdot B$
Алгоритъм за решаване на система от алгебрични уравнения с помощта на обратна матрица:
- запишете системата в матрична форма;
- изчислява детерминантата на матрицата на системата;
- ако детерминантата на системната матрица е различна от нула, тогава намираме обратната матрица;
- Изчисляваме решението на системата по формулата $X=A^(-1) \cdot B$.
Ако системната матрица има детерминанта, не равно на нула, тогава тази система има уникално решение, което може да бъде намерено с помощта на матричния метод.
Ако матрицата на системата има детерминанта, равна на нула, тогава тази системане може да се реши с помощта на матричния метод.
Пример 2
Дадено е SLAE: $\left\(\begin(array)(c) (x_(1) +3x_(3) =26) \\ (-x_(1) +2x_(2) +x_(3) =52) \\ (3x_(1) +2x_(2) =52) \end(array)\right $ Решете SLAE, като използвате метода на обратната матрица, ако е възможно.
Решение:
$A=\left(\begin(array)(ccc) (1) & (0) & (3) \\ (-1) & (2) & (1) \\ (3) & (2) & ( 0) \end(array)\right),B=\left(\begin(array)(c) (26) \\ (52) \\ (52) \end(array)\right),X=\left (\begin(array)(c) (x_(1) ) \\ (x_(2) ) \\ (x_(3) ) \end(array)\right). $
Намиране на детерминантата на системната матрица:
$\begin(array)(l) (\det A=\left|\begin(array)(ccc) (1) & (0) & (3) \\ (-1) & (2) & (1) \\ (3) & (2) & (0) \end(array)\right|=1\cdot 2\cdot 0+0\cdot 1\cdot 3+2\cdot (-1)\cdot 3-3 \cdot 2\cdot 3-2\cdot 1\cdot 1-0\cdot (-1)\cdot 0=0+0-6-18-2-0=-26\ne 0) \end(масив)$ Тъй като детерминантата не е равна на нула, матрицата на системата има обратна матрица и следователно системата от уравнения може да бъде решена чрез метода на обратната матрица. Полученото решение ще бъде уникално.
Нека решим системата от уравнения, като използваме обратната матрица:
$A_(11) =(-1)^(1+1) \cdot \left|\begin(array)(cc) (2) & (1) \\ (2) & (0) \end(array) \right|=0-2=-2; A_(12) =(-1)^(1+2) \cdot \left|\begin(array)(cc) (-1) & (1) \\ (3) & (0) \end(array) \right|=-(0-3)=3;$
$A_(13) =(-1)^(1+3) \cdot \left|\begin(array)(cc) (-1) & (2) \\ (3) & (2) \end(array )\right|=-2-6=-8; A_(21) =(-1)^(2+1) \cdot \left|\begin(array)(cc) (0) & (3) \\ (2) & (0) \end(array)\ дясно|=-(0-6)=6; $
$A_(22) =(-1)^(2+2) \cdot \left|\begin(array)(cc) (1) & (3) \\ (3) & (0) \end(array) \right|=0-9=-9; A_(23) =(-1)^(2+3) \cdot \left|\begin(array)(cc) (1) & (0) \\ (3) & (2) \end(array)\ надясно|=-(2-0)=-2;$
$A_(31) =(-1)^(3+1) \cdot \left|\begin(array)(cc) (0) & (3) \\ (2) & (1) \end(array) \right|=0-6=-6; A_(32) =(-1)^(3+2) \cdot \left|\begin(array)(cc) (1) & (3) \\ (-1) & (1) \end(array) \right|=-(1+3)=-4;$
$A_(33) =(-1)^(3+3) \cdot \left|\begin(array)(cc) (1) & (0) \\ (-1) & (2) \end(array )\right|=2-0=2$
Необходимата обратна матрица:
$A^(-1) =\frac(1)(-26) \cdot \left(\begin(array)(ccc) (-2) & (6) & (-6) \\ (3) & ( -9) & (-4) \\ (-8) & (-2) & (2) \end(array)\right)=\frac(1)(26) \cdot \left(\begin(array) (ccc) (2) & (-6) & (6) \\ (-3) & (9) & (4) \\ (8) & (2) & (-2) \end(array)\right )=\left(\begin(array)(ccc) (\frac(2)(26) ) & (\frac(-6)(26) ) & (\frac(6)(26) ) \\ (\ frac(-3)(26) ) & (\frac(9)(26) ) & (\frac(4)(26) ) \\ (\frac(8)(26) ) & (\frac(2) (26) ) & (\frac(-2)(26) ) \end(array)\right)=\left(\begin(array)(ccc) (\frac(1)(13) ) & (-\ frac(3)(13) ) & (\frac(3)(13) ) \\ (-\frac(3)(26) ) & (\frac(9)(26) ) & (\frac(2) (13) ) \\ (\frac(4)(13) ) & (\frac(1)(13) ) & (-\frac(1)(13) ) \end(array)\right).$
Нека намерим решение на системата:
$X=\left(\begin(array)(ccc) (\frac(1)(13) ) & (-\frac(3)(13) ) & (\frac(3)(13) ) \\ ( -\frac(3)(26) ) & (\frac(9)(26) ) & (\frac(2)(13) ) \\ (\frac(4)(13) ) & (\frac(1 )(13) ) & (-\frac(1)(13) ) \end(масив)\right)\cdot \left(\begin(array)(c) (26) \\ (52) \\ (52 ) \end(array)\right)=\left(\begin(array)(c) (\frac(1)(13) \cdot 26-\frac(3)(13) \cdot 52+\frac(3 )(13) \cdot 52) \\ (-\frac(3)(26) \cdot 26+\frac(9)(26) \cdot 52+\frac(2)(13) \cdot 52) \\ (\frac(4)(13) \cdot 26+\frac(1)(13) \cdot 52-\frac(1)(13) \cdot 52) \end(array)\right )=\left(\ begin(array)(c) (2-12+12) \\ (-3+18+8) \\ (8+4-4) \end(array)\right)=\left (\begin(array) (c) (2) \\ (23) \\ (8) \end(array)\right)$
$X=\left(\begin(array)(c) (2) \\ (23) \\ (8) \end(array)\right)$ е желаното решение на системата от уравнения.
дадени онлайн калкулаторрешава система от линейни уравнения с помощта на матричния метод. Дава се много подробно решение. За да решите система от линейни уравнения, изберете броя на променливите. Изберете метод за изчисляване на обратната матрица. След това въведете данните в клетките и кликнете върху бутона "Изчисли".
×
Предупреждение
Изчистване на всички клетки?
Затвори Изчисти
Инструкции за въвеждане на данни.Числата се въвеждат като цели числа (примери: 487, 5, -7623 и т.н.), десетични знаци (напр. 67., 102,54 и т.н.) или дроби. Дробта трябва да бъде въведена във формата a/b, където a и b са цели числа или десетични числа. Примери 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.н.
Матричен метод за решаване на системи от линейни уравнения
Разгледайте следната система от линейни уравнения:
Като се има предвид определението за обратна матрица, имаме А −1 А=д, Къде д- идентична матрица. Следователно (4) може да се запише по следния начин:
По този начин, за да се реши системата от линейни уравнения (1) (или (2)), е достатъчно да се умножи обратното на Аматрица за вектор на ограничаване b.
Примери за решаване на система от линейни уравнения с помощта на матричния метод
Пример 1. Решете следната система от линейни уравнения, като използвате матричния метод:
Нека намерим обратното на матрица A, използвайки метода на Йордан-Гаус. От дясната страна на матрицата АНека напишем матрицата на идентичността:
Нека изключим елементите от 1-вата колона на матрицата под главния диагонал. За да направите това, добавете редове 2,3 с ред 1, умножени съответно по -1/3, -1/3:
Нека изключим елементите от 2-ра колона на матрицата под главния диагонал. За да направите това, добавете ред 3 с ред 2, умножен по -24/51:
Нека изключим елементите от 2-ра колона на матрицата над главния диагонал. За да направите това, добавете ред 1 с ред 2, умножен по -3/17:
Отделете дясната страна на матрицата. Получената матрица е обратната матрица на А :
Матрична форма на запис на система от линейни уравнения: Ax=b, Къде
Нека изчислим всички алгебрични допълнения на матрицата А:
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 .
|
Обратната матрица се изчислява от следния израз.
(понякога този метод се нарича още матричен метод или метод на обратната матрица) изисква предварително запознаване с такава концепция като матричната форма на нотация на SLAE. Методът на обратната матрица е предназначен за решаване на онези системи от линейни алгебрични уравнения, в които детерминантата на системната матрица е различна от нула. Естествено, това предполага, че матрицата на системата е квадратна (концепцията за детерминанта съществува само за квадратни матрици). Същността на метода на обратната матрица може да се изрази в три точки:
- Запишете три матрици: системната матрица $A$, матрицата на неизвестните $X$, матрицата на свободните членове $B$.
- Намерете обратната матрица $A^(-1)$.
- Използвайки равенството $X=A^(-1)\cdot B$, получете решение на дадения SLAE.
Всяка SLAE може да бъде записана в матрична форма като $A\cdot X=B$, където $A$ е матрицата на системата, $B$ е матрицата на свободните членове, $X$ е матрицата на неизвестните. Нека матрицата $A^(-1)$ съществува. Нека умножим двете страни на равенството $A\cdot X=B$ по матрицата $A^(-1)$ отляво:
$$A^(-1)\cdot A\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$
Тъй като $A^(-1)\cdot A=E$ ($E$ е матрицата за идентичност), равенството, написано по-горе, става:
$$E\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$
Тъй като $E\cdot X=X$, тогава:
$$X=A^(-1)\cdot B.$$
Пример №1
Решете SLAE $ \left \( \begin(aligned) & -5x_1+7x_2=29;\\ & 9x_1+8x_2=-11. \end(aligned) \right.$ с помощта на обратната матрица.
$$ A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right);\; B=\left(\begin(array) (c) 29\\ -11 \end(array)\right);\; X=\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right). $$
Нека намерим обратната матрица към системната матрица, т.е. Нека изчислим $A^(-1)$. В пример №2
$$ A^(-1)=-\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(array)\right) . $$
Сега нека заместим и трите матрици ($X$, $A^(-1)$, $B$) в равенството $X=A^(-1)\cdot B$. След това извършваме матрично умножение
$$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)= -\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(array)\right)\cdot \left(\begin(array) (c) 29\\ -11 \end(array)\right)=\\ =-\frac (1)(103)\cdot \left(\begin(array) (c) 8\cdot 29+(-7)\cdot (-11)\\ -9\cdot 29+(-5)\cdot (- 11) \end(array)\right)= -\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (c) 309\\ -206 \end(array)\right)=\left( \begin(масив) (c) -3\\ 2\end(масив)\right). $$
И така, получихме равенството $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) -3\\ 2\end( масив )\right)$. От това равенство имаме: $x_1=-3$, $x_2=2$.
отговор: $x_1=-3$, $x_2=2$.
Пример №2
Решаване на SLAE $ \left\(\begin(aligned) & x_1+7x_2+3x_3=-1;\\ & -4x_1+9x_2+4x_3=0;\\ & 3x_2+2x_3=6. \end(aligned)\right .$ с помощта на метода на обратната матрица.
Нека запишем матрицата на системата $A$, матрицата на свободните членове $B$ и матрицата на неизвестните $X$.
$$ A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3\\ -4 & 9 & 4 \\0 & 3 & 2\end(array)\right);\; B=\left(\begin(array) (c) -1\\0\\6\end(array)\right);\; X=\left(\begin(array) (c) x_1\\x_2 \\ x_3 \end(array)\right). $$
Сега е ред да намерим обратната матрица на системната матрица, т.е. намерете $A^(-1)$. В пример № 3 на страницата, посветена на намирането на обратни матрици, обратната матрица вече е намерена. Нека използваме крайния резултат и напишем $A^(-1)$:
$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(масив) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\край (масив)\вдясно). $$
Сега нека заместим и трите матрици ($X$, $A^(-1)$, $B$) в равенството $X=A^(-1)\cdot B$ и след това да извършим умножение на матрици от дясната страна на това равенство.
$$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)= \frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(масив) \right)\cdot \left(\begin(array) (c) -1\\0\ \6\end(array)\right)=\\ =\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (c) 6\cdot(-1)+(-5)\cdot 0 +1\cdot 6 \\ 8\cdot (-1)+2\cdot 0+(-16)\cdot 6 \\ -12\cdot (-1)+(-3)\cdot 0+37\cdot 6 \end(array)\right)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (c) 0\\-104\\234\end(array)\right)=\left( \begin(array) (c) 0\\-4\\9\end(array)\right) $$
И така, получихме равенството $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) 0\\-4 \ \9\край (масив)\десен)$. От това равенство имаме: $x_1=0$, $x_2=-4$, $x_3=9$.