Система от уравнения, която има безкрайно много решения, се нарича. Системи линейни уравнения: основни понятия. Решаване на системи от линейни алгебрични уравнения от общ вид

Решаването на системи от линейни алгебрични уравнения (SLAE) несъмнено е най-важната тема в курса по линейна алгебра. Огромен брой проблеми от всички клонове на математиката се свеждат до решаване на системи линейни уравнения. Тези фактори обясняват причината за тази статия. Материалът на статията е подбран и структуриран така, че с негова помощ можете

изберете оптималния метод за решаване на вашата система от линейни алгебрични уравнения,
изучаване на теорията на избрания метод,
решите вашата система от линейни уравнения, като прегледате подробни решения типични примерии задачи.

Кратко описание на материала на статията.

Първо даваме всички необходими определения, понятия и въвеждаме обозначения.

След това ще разгледаме методи за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения, в които броят на уравненията е равен на броя на неизвестните променливи и които имат уникално решение. Първо, ще се съсредоточим върху метода на Крамър, второ, ще покажем матричния метод за решаване на такива системи от уравнения и трето, ще анализираме метода на Гаус (методът за последователно елиминиране на неизвестни променливи). За да консолидираме теорията, определено ще решим няколко SLAE по различни начини.

След това ще преминем към решаване на системи от линейни алгебрични уравнения общ изглед, в които броят на уравненията не съвпада с броя на неизвестните променливи или основната матрица на системата е единична. Нека формулираме теоремата на Кронекер-Капели, която ни позволява да установим съвместимостта на SLAE. Нека анализираме решението на системите (ако са съвместими), използвайки концепцията за базисен минор на матрица. Ще разгледаме и метода на Гаус и ще опишем подробно решенията на примерите.

Определено ще се спрем на структурата на общото решение на хомогенни и нехомогенни системи от линейни алгебрични уравнения. Нека дадем концепцията за фундаментална система от решения и да покажем как общото решение на SLAE се записва с помощта на векторите на фундаменталната система от решения. За по-добро разбиране нека разгледаме няколко примера.

В заключение ще разгледаме системи от уравнения, които могат да бъдат сведени до линейни, както и различни проблеми, при чието решаване възникват SLAE.

Навигация в страницата.

Дефиниции, понятия, обозначения.

Ще разгледаме системи от p линейни алгебрични уравнения с n неизвестни променливи (p може да бъде равно на n) от вида

Неизвестни променливи, - коефициенти (някои реални или комплексни числа), - свободни членове (също реални или комплексни числа).

Тази форма на запис SLAE се нарича координирам.

IN матрична формаТази система от уравнения има формата,
Къде - основната матрица на системата, - колонна матрица от неизвестни променливи, - колонна матрица от свободни членове.

Ако добавим матрица-колона от свободни членове към матрица А като (n+1)-та колона, получаваме т.нар. разширена матрицасистеми от линейни уравнения. Обикновено разширената матрица се обозначава с буквата T, а колоната от свободни условия е разделена с вертикална линия от останалите колони, т.е.

Решаване на система от линейни алгебрични уравнениянаречен набор от стойности на неизвестни променливи, който превръща всички уравнения на системата в идентичности. Матрично уравнениеза дадени стойности на неизвестните променливи също става идентичност.

Ако система от уравнения има поне едно решение, тогава тя се нарича съвместно.

Ако система от уравнения няма решения, тогава тя се нарича неставни.

Ако SLAE има уникално решение, то се извиква определени; ако има повече от едно решение, тогава – несигурен.

Ако свободните членове на всички уравнения на системата са равни на нула , тогава системата се извиква хомогенен, иначе – разнородни.

Решаване на елементарни системи линейни алгебрични уравнения.

Ако броят на уравненията на системата е равен на броя на неизвестните променливи и детерминантата на нейната основна матрица не е равно на нула, тогава ще наричаме такива SLAE елементарен. Такива системи от уравнения имат уникално решение и в случай на хомогенна система всички неизвестни променливи са равни на нула.

Започнахме да изучаваме такива SLAE в гимназия. Когато ги решавахме, взехме едно уравнение, изразихме една неизвестна променлива чрез други и я заместихме в останалите уравнения, след това взехме следващото уравнение, изразихме следващата неизвестна променлива и я заместихме в други уравнения и т.н. Или са използвали метода на добавяне, тоест добавят две или повече уравнения, за да елиминират някои неизвестни променливи. Няма да се спираме подробно на тези методи, тъй като по същество те са модификации на метода на Гаус.

Основните методи за решаване на елементарни системи от линейни уравнения са методът на Крамер, матричният метод и методът на Гаус. Нека ги подредим.

Решаване на системи от линейни уравнения по метода на Крамер.

Да предположим, че трябва да решим система от линейни алгебрични уравнения

в която броят на уравненията е равен на броя на неизвестните променливи и детерминантата на основната матрица на системата е различна от нула, т.е.

Нека е детерминантата на основната матрица на системата и - детерминанти на матрици, които се получават от A чрез заместване 1-ви, 2-ри, …, n-тиколона съответно към колоната безплатни членове:

С тази нотация неизвестните променливи се изчисляват с помощта на формулите на метода на Cramer като . Ето как се намира решението на система от линейни алгебрични уравнения с помощта на метода на Крамер.

Пример.

Методът на Крамер .

Решение.

Основната матрица на системата има формата . Нека изчислим неговата детерминанта (ако е необходимо, вижте статията):

Тъй като детерминантата на основната матрица на системата е различна от нула, системата има уникално решение, което може да бъде намерено по метода на Крамър.

Нека съставим и изчислим необходимите детерминанти (получаваме детерминантата, като заменим първата колона в матрица A с колона със свободни членове, детерминантата, като заменим втората колона с колона със свободни членове и като заменим третата колона на матрица A с колона със свободни членове) :

Намиране на неизвестни променливи с помощта на формули :

отговор:

Основният недостатък на метода на Крамър (ако може да се нарече недостатък) е сложността на изчисляването на детерминанти, когато броят на уравненията в системата е повече от три.

Решаване на системи от линейни алгебрични уравнения по матричен метод (с помощта на обратна матрица).

Нека система от линейни алгебрични уравнения е дадена в матрична форма, където матрицата A има размерност n на n и нейният детерминант е различен от нула.

Тъй като , матрица A е обратима, т.е. има обратна матрица. Ако умножим двете страни на равенството по лявата, получаваме формула за намиране на матрица-колона от неизвестни променливи. Така получихме решение на системата от линейни алгебрични уравнения матричен метод.

Пример.

Решете система от линейни уравнения матричен метод.

Решение.

Нека пренапишем системата от уравнения в матрична форма:

защото

тогава SLAE може да се реши с помощта на матричния метод. С помощта на обратна матрицарешението на тази система може да се намери като .

Нека построим обратната матрица, като използваме матрицата от алгебрични добавкиелементи на матрица А (ако е необходимо, вижте статията):

Остава да се изчисли матрицата на неизвестните променливи чрез умножаване на обратната матрица към матрица-колона от безплатни членове (ако е необходимо, вижте статията):

отговор:

или в друга нотация x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Основният проблем при намирането на решения на системи от линейни алгебрични уравнения с помощта на матричния метод е сложността на намирането на обратната матрица, особено за квадратни матрици с порядък по-висок от трети.

Решаване на системи от линейни уравнения по метода на Гаус.

Да предположим, че трябва да намерим решение на система от n линейни уравнения с n неизвестни променливи
чиято детерминанта на основната матрица е различна от нула.

Същността на метода на Гауссе състои от последователно елиминиране на неизвестни променливи: първо x 1 се изключва от всички уравнения на системата, като се започне от второто, след това x 2 се изключи от всички уравнения, като се започне от третото, и така нататък, докато само неизвестната променлива x n остане в последното уравнение. Този процес на трансформиране на системни уравнения за последователно елиминиране на неизвестни променливи се нарича използвайки директния метод на Гаус. След завършване на предния ход на метода на Гаус, x n се намира от последното уравнение, като се използва тази стойност от предпоследното уравнение, x n-1 се изчислява и така нататък, x 1 се намира от първото уравнение. Процесът на изчисляване на неизвестни променливи при преминаване от последното уравнение на системата към първото се нарича обратно на метода на Гаус.

Нека опишем накратко алгоритъма за елиминиране на неизвестни променливи.

Ще приемем, че , тъй като винаги можем да постигнем това чрез размяна на уравненията на системата. Нека елиминираме неизвестната променлива x 1 от всички уравнения на системата, като започнем от второто. За да направим това, към второто уравнение на системата добавяме първото, умножено по , към третото уравнение добавяме първото, умножено по , и така нататък, към n-то уравнение добавяме първото, умножено по . Системата от уравнения след такива трансформации ще приеме формата

където и .

Щяхме да стигнем до същия резултат, ако бяхме изразили x 1 по отношение на други неизвестни променливи в първото уравнение на системата и бяхме заместили получения израз във всички останали уравнения. Така променливата x 1 се изключва от всички уравнения, като се започне от второто.

След това процедираме по подобен начин, но само с част от получената система, която е маркирана на фигурата

За да направим това, към третото уравнение на системата добавяме второто, умножено по , към четвъртото уравнение добавяме второто, умножено по , и така нататък, към n-тото уравнение добавяме второто, умножено по . Системата от уравнения след такива трансформации ще приеме формата

където и . Така променливата x 2 се изключва от всички уравнения, като се започне от третото.

След това пристъпваме към елиминиране на неизвестното x 3 и действаме по подобен начин с частта от системата, отбелязана на фигурата

Така че ние продължаваме директното развитие на метода на Гаус, докато системата приеме формата

От този момент започваме обратното на метода на Гаус: изчисляваме x n от последното уравнение като , като използваме получената стойност на x n намираме x n-1 от предпоследното уравнение и така нататък намираме x 1 от първото уравнение .

Пример.

Решете система от линейни уравнения Метод на Гаус.

Решение.

Нека изключим неизвестната променлива x 1 от второто и третото уравнение на системата. За да направим това, към двете страни на второто и третото уравнение добавяме съответните части на първото уравнение, умножени съответно по и по:

Сега елиминираме x 2 от третото уравнение, като добавим към лявата и дясната му страна лявата и дясната страна на второто уравнение, умножени по:

Това завършва предния ход на метода на Гаус;

От последното уравнение на получената система от уравнения намираме x 3:

От второто уравнение получаваме.

От първото уравнение намираме оставащата неизвестна променлива и по този начин завършваме обратния метод на Гаус.

отговор:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Решаване на системи от линейни алгебрични уравнения от общ вид.

По принцип броят на уравненията на системата p не съвпада с броя на неизвестните променливи n:

Такива SLAE може да нямат решения, да имат едно решение или да имат безкрайно много решения. Това твърдение се отнася и за системи от уравнения, чиято основна матрица е квадратна и сингулярна.

Теорема на Кронекер–Капели.

Преди да се намери решение на система от линейни уравнения, е необходимо да се установи нейната съвместимост. Отговорът на въпроса кога SLAE е съвместим и кога неконсистентен е даден от Теорема на Кронекер–Капели:
За да бъде последователна система от p уравнения с n неизвестни (p може да бъде равно на n), е необходимо и достатъчно рангът на основната матрица на системата да бъде равен на ранга на разширената матрица, т.е. , ранг(A)=ранг(T).

Нека разгледаме като пример приложението на теоремата на Кронекер-Капели за определяне на съвместимостта на система от линейни уравнения.

Пример.

Разберете дали системата от линейни уравнения има решения.

Решение.

. Нека използваме метода на граничещи непълнолетни. Минор от втори ред различен от нула. Нека да разгледаме непълнолетните от трети ред, граничещи с него:

Тъй като всички гранични второстепенни от трети ред са равни на нула, рангът на основната матрица е равен на две.

На свой ред, рангът на разширената матрица е равно на три, тъй като минорът е от трети ред

различен от нула.

по този начин Rang(A), следователно, използвайки теоремата на Kronecker–Capelli, можем да заключим, че оригиналната система от линейни уравнения е непоследователна.

отговор:

Системата няма решения.

И така, научихме се да установяваме несъответствието на система, използвайки теоремата на Кронекер–Капели.

Но как да се намери решение за SLAE, ако неговата съвместимост е установена?

За да направим това, имаме нужда от концепцията за базис минор на матрица и теорема за ранга на матрица.

второстепенен най-висок порядъкматрица А, различна от нула, се нарича основен.

От определението за базис минор следва, че неговият ред е равен на ранга на матрицата. За ненулева матрица A може да има няколко базисни минора;

Например, помислете за матрицата .

Всички минори от трети ред на тази матрица са равни на нула, тъй като елементите на третия ред на тази матрица са сумата от съответните елементи на първия и втория ред.

Следните минори от втори ред са основни, тъй като са различни от нула

Непълнолетни не са основни, тъй като са равни на нула.

Теорема за ранга на матрицата.

Ако рангът на матрица от ред p по n е равен на r, тогава всички елементи от ред (и колона) на матрицата, които не образуват избрания основен минор, се изразяват линейно чрез елементи от съответния ред (и колона), образуващи основата минор.

Какво ни казва теоремата за ранга на матрицата?

Ако съгласно теоремата на Кронекер–Капели сме установили съвместимостта на системата, тогава избираме произволен основен минор от главната матрица на системата (нейният ред е равен на r) и изключваме от системата всички уравнения, които не формират избрания основен минор. Полученият по този начин SLAE ще бъде еквивалентен на оригиналния, тъй като отхвърлените уравнения все още са излишни (според теоремата за матричния ранг те са линейна комбинация от останалите уравнения).

В резултат на това, след изхвърляне на ненужните уравнения на системата, са възможни два случая.

Ако броят на уравненията r в получената система е равен на броя на неизвестните променливи, тогава тя ще бъде определена и единственото решение може да бъде намерено чрез метода на Крамер, матричния метод или метода на Гаус.

Пример.

Решение.

Ранг на основната матрица на системата е равно на две, тъй като минорът е от втори ред различен от нула. Разширен матричен ранг също е равно на две, тъй като единственият минор от трети порядък е нула

и минорът от втори ред, разгледан по-горе, е различен от нула. Въз основа на теоремата на Кронекер–Капели можем да твърдим съвместимостта на оригиналната система от линейни уравнения, тъй като Rank(A)=Rank(T)=2.

Като основа минор приемаме . Образува се от коефициентите на първото и второто уравнения:

Третото уравнение на системата не участва във формирането на базисния минор, така че го изключваме от системата въз основа на теоремата за ранга на матрицата:

Така получихме елементарна система от линейни алгебрични уравнения. Нека го решим с помощта на метода на Cramer:

отговор:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Ако броят на уравненията r в получения SLAE е по-малък от броя на неизвестните променливи n, тогава от лявата страна на уравненията оставяме членовете, които формират основата, второстепенни, и прехвърляме останалите членове в десните страни на уравнения на системата с обратен знак.

Неизвестните променливи (r от тях), останали от лявата страна на уравненията, се наричат основен.

Извикват се неизвестни променливи (има n - r части), които са от дясната страна безплатно.

Сега вярваме, че свободните неизвестни променливи могат да приемат произволни стойности, докато r главните неизвестни променливи ще бъдат изразени чрез свободни неизвестни променливи по уникален начин. Техният израз може да бъде намерен чрез решаване на получената SLAE с помощта на метода на Крамер, матричния метод или метода на Гаус.

Нека го разгледаме с пример.

Пример.

Решете система от линейни алгебрични уравнения .

Решение.

Нека намерим ранга на основната матрица на системата по метода на граничещи непълнолетни. Нека вземем 1 1 = 1 като ненулев минор от първи ред. Нека започнем да търсим ненулев минор от втори ред, граничещ с този минор:

Ето как намерихме ненулев минор от втори порядък. Нека започнем да търсим ненулев граничен минор от трети ред:

По този начин рангът на основната матрица е три. Рангът на разширената матрица също е равен на три, т.е. системата е последователна.

Вземаме намерения ненулев минор от трети ред като основен.

За по-голяма яснота показваме елементите, които формират основния минор:

Оставяме членовете, включени в базисния минор от лявата страна на системните уравнения, и прехвърляме останалите с противоположни знаци в дясната страна:

Нека дадем произволни стойности на свободните неизвестни променливи x 2 и x 5, тоест приемаме , където са произволни числа. В този случай SLAE ще приеме формата

Нека решим получената елементарна система от линейни алгебрични уравнения, използвайки метода на Крамер:

Следователно, .

В отговора си не забравяйте да посочите свободни неизвестни променливи.

отговор:

Къде са произволните числа.

Нека да обобщим.

За да решим система от общи линейни алгебрични уравнения, първо определяме нейната съвместимост с помощта на теоремата на Кронекер–Капели. Ако рангът на основната матрица не е равен на ранга на разширената матрица, тогава заключаваме, че системата е несъвместима.

Ако рангът на основната матрица е равен на ранга на разширената матрица, тогава избираме базов минор и отхвърляме уравненията на системата, които не участват във формирането на избрания базов минор.

Ако редът на осн равно на числотонеизвестни променливи, тогава SLAE има уникално решение, което намираме по всеки познат ни метод.

Ако редът на основния минор е по-малък от броя на неизвестните променливи, тогава от лявата страна на системните уравнения оставяме членовете с основните неизвестни променливи, прехвърляме останалите членове в десните страни и даваме произволни стойности на свободните неизвестни променливи. От получената система от линейни уравнения намираме основните неизвестни променливи, като използваме метода на Крамер, матричния метод или метода на Гаус.

Метод на Гаус за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения от общ вид.

Методът на Гаус може да се използва за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения от всякакъв вид, без първо да бъдат тествани за съвместимост. Процесът на последователно елиминиране на неизвестни променливи дава възможност да се направи заключение както за съвместимостта, така и за несъвместимостта на SLAE и ако съществува решение, прави възможно намирането му.

От изчислителна гледна точка методът на Гаус е за предпочитане.

Гледайте го подробно описаниеи анализирани примери в статията методът на Гаус за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения от общ вид.

Писане на общо решение на хомогенни и нехомогенни линейни алгебрични системи с помощта на вектори на фундаменталната система от решения.

В този раздел ще говорим за едновременни хомогенни и нееднородни системи от линейни алгебрични уравнения, които имат безкраен брой решения.

Нека първо да разгледаме хомогенните системи.

Фундаментална система от решенияхомогенна система от p линейни алгебрични уравнения с n неизвестни променливи е колекция от (n – r) линейно независими решения на тази система, където r е редът на базисния минор на основната матрица на системата.

Ако означим линейно независими решения на хомогенен SLAE като X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) са колонни матрици с размерност n чрез 1), тогава общото решение на тази хомогенна система е представено като линейна комбинация от вектори на фундаменталната система от решения с произволни постоянни коефициенти C 1, C 2, ..., C (n-r), т.е.

Какво означава терминът общо решение на хомогенна система от линейни алгебрични уравнения (орослау)?

Значението е просто: формулата задава всичко възможни решенияоригиналния SLAE, с други думи, като вземем произволен набор от стойности на произволни константи C 1, C 2, ..., C (n-r), използвайки формулата, ще получим едно от решенията на оригиналния хомогенен SLAE.

По този начин, ако намерим фундаментална система от решения, тогава можем да дефинираме всички решения на тази хомогенна SLAE като .

Нека покажем процеса на конструиране на фундаментална система от решения на хомогенна SLAE.

Избираме базисния минор на оригиналната система от линейни уравнения, изключваме всички други уравнения от системата и прехвърляме всички членове, съдържащи свободни неизвестни променливи, към дясната страна на уравненията на системата с противоположни знаци. Нека дадем на свободните неизвестни променливи стойностите 1,0,0,...,0 и да изчислим основните неизвестни чрез решаване на получената елементарна система от линейни уравнения по какъвто и да е начин, например, използвайки метода на Cramer. Това ще доведе до X (1) - първото решение на фундаменталната система. Ако давате безплатно неизвестни стойности 0,1,0,0,…,0 и изчисляваме основните неизвестни, получаваме X (2) . И т.н. Ако присвоим стойностите 0.0,…,0.1 на свободните неизвестни променливи и изчислим основните неизвестни, получаваме X (n-r) . По този начин ще бъде конструирана фундаментална система от решения на хомогенна SLAE и нейното общо решение може да бъде записано във формата .

За нехомогенни системи от линейни алгебрични уравнения общото решение е представено във формата , където е общото решение на съответната хомогенна система, а е частното решение на оригиналната нехомогенна SLAE, която получаваме, като даваме на свободните неизвестни стойностите 0,0,…,0 и изчисляване на стойностите на основните неизвестни.

Нека да разгледаме примерите.

Пример.

Намерете основната система от решения и общото решение на хомогенна система от линейни алгебрични уравнения .

Решение.

Рангът на основната матрица на хомогенните системи от линейни уравнения винаги е равен на ранга на разширената матрица. Нека намерим ранга на основната матрица, като използваме метода на граничещите второстепенни. Като ненулев минор от първи ред приемаме елемент a 1 1 = 9 от основната матрица на системата. Нека намерим граничния ненулев минор от втори ред:

Открит е минор от втори порядък, различен от нула. Нека да преминем през минори от трети ред, граничещи с него, в търсене на различен от нула:

Всички граничещи второстепенни от трети ред са равни на нула, следователно рангът на основната и разширената матрица е равен на две. Да вземем. За по-голяма яснота нека отбележим елементите на системата, които я формират:

Третото уравнение на оригиналния SLAE не участва във формирането на основния минор, следователно може да бъде изключено:

Оставяме членовете, съдържащи основните неизвестни от дясната страна на уравненията, и прехвърляме членовете със свободни неизвестни отдясно:

Нека изградим фундаментална система от решения на оригиналната хомогенна система от линейни уравнения. Фундаменталната система от решения на този SLAE се състои от две решения, тъй като оригиналният SLAE съдържа четири неизвестни променливи и редът на неговия основен минор е равен на две. За да намерим X (1), даваме на свободните неизвестни променливи стойностите x 2 = 1, x 4 = 0, след което намираме основните неизвестни от системата от уравнения
.

Продължаваме да се занимаваме със системи от линейни уравнения. Досега разглеждахме системи, които имат уникално решение. Такива системи могат да бъдат решени по всякакъв начин: по метода на заместване(„училище“), по формулите на Крамер, матричен метод, Метод на Гаус. На практика обаче са широко разпространени още два случая:

1) системата е непоследователна (няма решения);

2) системата има безкрайно много решения.

За тези системи се използва най-универсалният от всички методи за решение - Метод на Гаус. Всъщност „училищният” метод също ще доведе до отговора, но в висша математикаОбичайно е да се използва методът на Гаус за последователно елиминиране на неизвестни. Моля, тези, които не са запознати с алгоритъма на метода на Гаус, първо да проучат урока Метод на Гаус

Самите елементарни матрични трансформации са абсолютно еднакви, разликата ще бъде в края на решението. Първо, нека да разгледаме няколко примера, когато системата няма решения (непоследователна).

Пример 1

Какво веднага привлича вниманието ви в тази система? Броят на уравненията е по-малък от броя на променливите. Има теорема, която гласи: „Ако броят на уравненията в системата е по-малък от броя на променливите, тогава системата е или непоследователна, или има безкрайно много решения.И остава само да разберем.

Началото на решението е съвсем обикновено - пишем разширената матрица на системата и използваме елементарни трансформацииНека го доведем до поетапна форма:

(1). На горната лява стъпка трябва да получим (+1) или (–1). В първата колона няма такива числа, така че пренареждането на редовете няма да даде нищо. Звеното ще трябва да се организира и това може да стане по няколко начина. Това направихме. Към първия ред добавяме третия ред, умножен по (–1).

(2). Сега получаваме две нули в първата колона. Към втория ред добавяме първия ред, умножен по 3. Към третия ред добавяме първия, умножен по 5.

(3). След като трансформацията е завършена, винаги е препоръчително да се види дали е възможно да се опростят получените низове? може. Разделяме втория ред на 2, като в същото време получаваме желания (–1) на втората стъпка. Разделете третия ред на (–3).

(4). Добавете втори ред към третия ред. Вероятно всеки е забелязал лошата линия, която е резултат от елементарни трансформации:

. Ясно е, че това не може да бъде така.

Наистина, нека пренапишем получената матрица

обратно към системата от линейни уравнения:

Ако в резултат на елементарни трансформации се получи низ от вида , Къдеλ е число, различно от нула, тогава системата е непоследователна (няма решения).

Как да запиша края на задача? Трябва да запишете фразата:

„В резултат на елементарни трансформации се получи низ от вида, където λ ≠ 0 " Отговор: „Системата няма решения (непоследователна).“

Моля, обърнете внимание, че в този случай няма обръщане на алгоритъма на Гаус, няма решения и просто няма какво да се намери.

Пример 2

Решете система от линейни уравнения

Това е пример за независимо решение. Цялостно решениеи отговорът в края на урока.

Напомняме ви отново, че вашето решение може да се различава от нашето решение; методът на Гаус не определя недвусмислен алгоритъм; редът на действията и самите действия трябва да се отгатват независимо във всеки случай.

Друга техническа характеристика на решението: елементарните трансформации могат да бъдат спрени веднага, веднага щом ред като , къде λ ≠ 0 . Нека разгледаме условен пример: да предположим, че след първата трансформация се получава матрицата

Тази матрица все още не е редуцирана до ешелонна форма, но няма нужда от допълнителни елементарни трансформации, тъй като се появи линия на формата, където λ ≠ 0 . Веднага трябва да се отговори, че системата е несъвместима.

Когато система от линейни уравнения няма решения, това е почти подарък за ученика, с оглед на това, че се оказва кратко решение, понякога буквално в 2-3 действия. Но всичко в този свят е балансирано и задача, в която системата има безкрайно много решения, е просто по-дълга.

Пример 3:

Решете система от линейни уравнения

Има 4 уравнения и 4 неизвестни, така че системата може или да има едно решение, или да няма решения, или да има безкрайно много решения. Както и да е, методът на Гаус при всички случаи ще ни доведе до отговора. Това е неговата многофункционалност.

Началото отново е стандартно. Нека напишем разширената матрица на системата и с помощта на елементарни трансформации я приведем в поетапна форма:

Това е всичко и вие сте се страхували.

(1). Моля, обърнете внимание, че всички числа в първата колона се делят на 2, така че 2 е добре в горната лява стъпка. Към втория ред добавяме първия ред, умножен по (–4). Към третия ред добавяме първия ред, умножен по (–2). Към четвъртия ред добавяме първия ред, умножен по (–1).

внимание!Мнозина могат да бъдат изкушени от четвъртия ред изваждампърви ред. Това може да се направи, но не е необходимо; опитът показва, че вероятността от грешка в изчисленията се увеличава няколко пъти. Просто добавяме: към четвъртия ред добавяме първия ред, умножен по (–1) – точно така!

(2). Последните три реда са пропорционални, два от тях могат да бъдат изтрити. Тук отново трябва да покажем повишено внимание, но наистина ли линиите са пропорционални? За по-голяма сигурност би било добра идея да умножите втория ред по (–1) и да разделите четвъртия ред на 2, което води до три еднакви реда. И едва след това премахнете две от тях. В резултат на елементарни трансформации разширената матрица на системата се редуцира до стъпаловидна форма:

Когато пишете задача в тетрадка, е препоръчително да правите същите бележки с молив за прегледност.

Нека пренапишем съответната система от уравнения:

Тук не мирише на „обикновено“ единично решение на системата. Лоша линия къде λ ≠ 0, също не. Това означава, че това е третият останал случай - системата има безкрайно много решения.

Безкрайно множество от решения на система се записва накратко под формата на т.нар общо решение на системата.

Намираме общото решение на системата, използвайки обратния метод на Гаус. За системи от уравнения с безкраен набор от решения се появяват нови понятия: "основни променливи"И "свободни променливи". Първо нека определим какви променливи имаме основени кои променливи - безплатно. Не е необходимо да обясняваме подробно термините на линейната алгебра, достатъчно е да запомним, че има такива основни променливиИ свободни променливи.

Основните променливи винаги „седят“ стриктно на стъпките на матрицата. В този пример основните променливи са х 1 и х 3 .

Безплатните променливи са всичко оставащипроменливи, които не са получили стъпка. В нашия случай има два от тях: х 2 и х 4 – свободни променливи.

Сега трябва Всичкиосновни променливиекспресен само чрезсвободни променливи. Обратният алгоритъм на Гаус традиционно работи отдолу нагоре. От второто уравнение на системата изразяваме основната променлива х 3:

Сега погледнете първото уравнение: . Първо заместваме намерения израз в него:

Остава да изразим основната променлива х 1 чрез безплатни променливи х 2 и х 4:

В крайна сметка получихме това, от което се нуждаехме - Всичкиосновни променливи ( х 1 и х 3) изразени само чрезбезплатни променливи ( х 2 и х 4):

Всъщност общото решение е готово:

Как да напиша правилно общото решение? На първо място, свободните променливи се записват в общото решение „сами по себе си“ и стриктно на техните места. В този случай безплатни променливи х 2 и х 4 се изписва на втора и четвърта позиция:

Получените изрази за основните променливи и очевидно трябва да се напише на първа и трета позиция:

От общото решение на системата могат да се намерят безкрайно много частни решения. Много е просто. Свободни променливи х 2 и х 4 се наричат така, защото могат да бъдат дадени всякакви крайни стойности. Най-популярните стойности са нулеви стойности, тъй като това е най-лесното частично решение за получаване.

Заместване ( х 2 = 0; х 4 = 0) в общото решение, получаваме едно от частните решения:

, или е конкретно решение, съответстващо на свободни променливи със стойности ( х 2 = 0; х 4 = 0).

Друга сладка двойка е единици, нека заменим ( х 2 = 1 и х 4 = 1) в общото решение:

, т.е. (-1; 1; 1; 1) – друго конкретно решение.

Лесно се вижда, че системата от уравнения има безкрайно много решениятъй като можем да дадем безплатни променливи всякаквизначения.

всекиконкретното решение трябва да удовлетворява на всичкиуравнение на системата. Това е основата за „бърза“ проверка на правилността на решението. Вземете, например, конкретното решение (-1; 1; 1; 1) и го заменете в лявата страна на всяко уравнение на оригиналната система:

Всичко трябва да се събере. И с всяко конкретно решение, което получите, всичко също трябва да е в съответствие.

Строго погледнато, проверката на определено решение понякога е измамна, т.е. някое конкретно решение може да удовлетвори всяко уравнение на системата, но самото общо решение всъщност е намерено неправилно. Следователно, на първо място, проверката на общото решение е по-задълбочена и надеждна.

Как да проверите полученото общо решение ?

Не е трудно, но изисква дълги трансформации. Трябва да вземем изрази основенпроменливи, в този случай и , и ги заместете в лявата страна на всяко уравнение на системата.

От лявата страна на първото уравнение на системата:

Получава се дясната страна на първоначалното първо уравнение на системата.

От лявата страна на второто уравнение на системата:

Получава се дясната страна на началното второ уравнение на системата.

И по-нататък - в левите части на третия и четвърто уравнениесистеми. Тази проверка отнема повече време, но гарантира 100% коректност на цялостното решение. Освен това някои задачи изискват проверка на общото решение.

Пример 4:

Решете системата по метода на Гаус. Намерете общото решение и две частни. Проверете общото решение.

Пример 5:

Решете система от линейни уравнения. Ако системата има безкрайно много решения, намерете две конкретни решения и проверете общото решение

Решение:Нека напишем разширената матрица на системата и, използвайки елементарни трансформации, я привеждаме в поетапна форма:

(1). Добавете първия ред към втория ред. Към третия ред добавяме първия ред, умножен по 2. Към четвъртия ред добавяме първия ред, умножен по 3.

(2). Към третия ред добавяме втория ред, умножен по (–5). Към четвъртия ред добавяме втория ред, умножен по (–7).

(3). Третият и четвъртият ред са еднакви, изтриваме един от тях. Това е такава красота:

Основните променливи седят на стъпалата, следователно - основни променливи.

Има само една свободна променлива, която не е получила стъпка тук: .

(4). Обратно движение. Нека изразим основните променливи чрез свободна променлива:

От третото уравнение:

Нека разгледаме второто уравнение и заместим намерения израз в него:

, , ,

Нека разгледаме първото уравнение и заместим намерените изрази в него:

Така общото решение с една свободна променлива х 4:

Още веднъж, как се оказа? Безплатна променлива х 4 седи сам на полагащото му се четвърто място. Получените изрази за основните променливи , , също са на място.

Нека веднага проверим общото решение.

Заместваме основните променливи , , в лявата страна на всяко уравнение на системата:

Получават се съответните десни части на уравненията, като по този начин се намира правилното общо решение.

Сега от намереното общо решение получаваме две конкретни решения. Всички променливи са изразени тук чрез единично свободна променлива x 4. Няма нужда да си набивате мозъка.

Нека х 4 = 0 тогава – първото конкретно решение.

Нека х 4 = 1 тогава – друго частно решение.

отговор:Общо решение: . Частни решения:

И .

Пример 6:

Намерете общото решение на системата от линейни уравнения.

Вече проверихме общото решение, на отговора може да се вярва. Вашето решение може да се различава от нашето решение. Основното е, че общите решения съвпадат. Вероятно мнозина са забелязали един неприятен момент в решенията: много често, когато обратен ходМетодът на Гаус, с който трябваше да се поправим обикновени дроби. На практика това наистина е така; случаите, в които няма дроби, са много по-рядко срещани. Бъдете подготвени психически и, най-важното, технически.

Нека се спрем на характеристиките на решението, които не бяха открити в решените примери. Общото решение на системата понякога може да включва константа (или константи).

Например общо решение: . Тук една от основните променливи е равна на постоянно число: . В това няма нищо екзотично, случва се. Очевидно в този случай всяко конкретно решение ще съдържа петица на първа позиция.

Рядко, но има системи, в които броят на уравненията е по-голям от броя на променливите. Методът на Гаус обаче работи в най-суровите условия. Трябва спокойно да намалите разширената матрица на системата до поетапна форма, като използвате стандартен алгоритъм. Такава система може да е непоследователна, може да има безкрайно много решения и, колкото и да е странно, може да има едно единствено решение.

Нека повторим нашия съвет - за да се чувствате комфортно, когато решавате система по метода на Гаус, трябва да сте добри в решаването на поне дузина системи.

Решения и отговори:

Пример 2:

Решение:Нека напишем разширената матрица на системата и с помощта на елементарни трансформации я приведем в поетапна форма.

Извършени елементарни трансформации:

(1) Първият и третият ред са разменени.

(2) Първият ред беше добавен към втория ред, умножен по (–6). Първият ред беше добавен към третия ред, умножен по (–7).

(3) Вторият ред беше добавен към третия ред, умножен по (–1).

В резултат на елементарни трансформации се получава низ от формата, Къде λ ≠ 0 .Това означава, че системата е непоследователна.отговор: няма решения.

Пример 4:

Решение:Нека напишем разширената матрица на системата и с помощта на елементарни трансформации я приведем в поетапна форма:

Извършени реализации:

(1). Първият ред, умножен по 2, беше добавен към първия ред, умножен по 3, беше добавен към третия ред.

Няма единица за второто стъпало , а трансформацията (2) е насочена към получаването му.

(2). Третият ред беше добавен към втория ред, умножен по –3.

(3). Вторият и третият ред бяха разменени (преместихме полученото –1 във втората стъпка)

(4). Третият ред беше добавен към втория ред, умножен по 3.

(5). Първите два реда бяха с променен знак (умножен по –1), третият ред беше разделен на 14.

Реверс:

(1). тук са основните променливи (които са на стъпалата) и – свободни променливи (които не са получили стъпка).

(2). Нека изразим основните променливи чрез свободни променливи:

От третото уравнение: .

(3). Разгледайте второто уравнение:, частни решения:

отговор: Общо решение:

Комплексни числа

В този раздел ще представим концепцията комплексно число, помислете алгебричен, тригонометриченИ експоненциална формакомплексно число. Ще научим също как да извършваме операции с комплексни числа: събиране, изваждане, умножение, деление, степенуване и извличане на корен.

Да овладеят комплексни числане се изискват специални знания от курса по висша математика, а материалът е достъпен дори за ученици. Достатъчно е да можете да извършвате алгебрични операции с „обикновени“ числа и да помните тригонометрията.

Първо, нека си припомним „обикновените“ числа. В математиката те се наричат много реални числа и се обозначават с буквата R,или R (удебелен). Всички реални числа се намират на познатата числова линия:

Компанията на реалните числа е много разнообразна - тук има цели числа, дроби и ирационални числа. В този случай всяка точка от числовата ос задължително съответства на някакво реално число.

Система от линейни уравнения е обединение от n линейни уравнения, всяко от които съдържа k променливи. Написано е така:

Мнозина, когато се сблъскват с висшата алгебра за първи път, погрешно вярват, че броят на уравненията задължително трябва да съвпада с броя на променливите. В училищната алгебра това обикновено се случва, но за висшата алгебра това, общо казано, не е вярно.

Решението на система от уравнения е поредица от числа (k 1, k 2, ..., k n), която е решението на всяко уравнение на системата, т.е. при заместване в това уравнение вместо променливите x 1, x 2, ..., x n дава правилното числово равенство.

Съответно решаването на система от уравнения означава намиране на множеството от всички нейни решения или доказване, че това множество е празно. Тъй като броят на уравненията и броят на неизвестните може да не съвпадат, възможни са три случая:

Системата е непоследователна, т.е. множеството от всички решения е празно. достатъчно рядък случай, което лесно се открива, без значение кой метод се използва за решаване на системата.
Системата е съвместна и определена, т.е. има точно едно решение. Класическата версия, добре позната от училище.
Системата е последователна и недефинирана, т.е. има безкрайно много решения. Това е най-трудният вариант. Не е достатъчно да се посочи, че "системата има безкраен набор от решения" - необходимо е да се опише как е структуриран този набор.

Променлива x i се нарича разрешена, ако е включена само в едно уравнение на системата и с коефициент 1. С други думи, в други уравнения коефициентът на променливата x i трябва да бъде равен на нула.

Ако изберем една разрешена променлива във всяко уравнение, получаваме набор от разрешени променливи за цялата система от уравнения. Самата система, написана в тази форма, също ще се нарича разрешена. Най-общо казано, една и съща оригинална система може да бъде сведена до различни разрешени, но засега това не ни притеснява. Ето примери за разрешени системи:

И двете системи са разрешени по отношение на променливите x 1 , x 3 и x 4 . Със същия успех обаче може да се твърди, че втората система е разрешена по отношение на x 1, x 3 и x 5. Достатъчно е да пренапишете последното уравнение във формата x 5 = x 4.

Сега нека разгледаме един по-общ случай. Нека имаме общо k променливи, от които r са разрешени. Тогава са възможни два случая:

Броят на разрешените променливи r е равен на общия брой променливи k: r = k. Получаваме система от k уравнения, в която r = k разрешени променливи. Такава система е съвместна и категорична, т.к x 1 = b 1, x 2 = b 2, ..., x k = b k;
Броят на разрешените променливи r е по-малък общ бройпроменливи k : r< k . Остальные (k − r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.

И така, в горните системи променливите x 2, x 5, x 6 (за първата система) и x 2, x 5 (за втората) са свободни. Случаят, когато има свободни променливи, е по-добре формулиран като теорема:

Моля, обърнете внимание: това е много важен момент! В зависимост от начина, по който пишете получената система, една и съща променлива може да бъде разрешена или свободна. Повечето преподаватели по висша математика препоръчват изписване на променливи в лексикографски ред, т.е. възходящ индекс. Вие обаче не сте задължени да следвате този съвет.

Теорема. Ако в система от n уравнения променливите x 1, x 2, ..., x r са разрешени и x r + 1, x r + 2, ..., x k са свободни, тогава:

Ако зададем стойностите на свободните променливи (x r + 1 = t r + 1, x r + 2 = t r + 2, ..., x k = t k), и след това намерим стойностите x 1, x 2, ..., x r, получаваме едно от решенията.

Ако в две решения стойностите на свободните променливи съвпадат, тогава стойностите на разрешените променливи също съвпадат, т.е. решенията са равни.

Какъв е смисълът на тази теорема? За да се получат всички решения на разрешена система от уравнения, е достатъчно да се изолират свободните променливи. След това, присвоявайки различни стойности на свободните променливи, получаваме готови решения. Това е всичко - по този начин можете да получите всички решения на системата. Няма други решения.

Заключение: разрешената система от уравнения винаги е последователна. Ако броят на уравненията в една разрешена система е равен на броя на променливите, системата ще бъде определена; ако е по-малко, тя ще бъде неопределена.

И всичко би било наред, но възниква въпросът: как да се получи разрешено от оригиналната система от уравнения? За това има

На практика обаче са широко разпространени още два случая:

– Системата е непоследователна (няма решения);
– Системата е последователна и има безкрайно много решения.

Забележка : Терминът „последователност“ предполага, че системата има поне някакво решение. При редица проблеми е необходимо първо да проверите системата за съвместимост; как да направите това, вижте статията ранг на матриците.

За тези системи се използва най-универсалният от всички методи за решение - Метод на Гаус. Всъщност „училищният“ метод също ще доведе до отговора, но във висшата математика е обичайно да се използва методът на Гаус за последователно елиминиране на неизвестни. Моля, тези, които не са запознати с алгоритъма на метода на Гаус, първо да проучат урока Метод на Гаус за манекени.

Пример 1

Какво веднага привлича вниманието ви в тази система? Броят на уравненията е по-малък от броя на променливите. Ако броят на уравненията е по-малък от броя на променливите, тогава веднага можем да кажем, че системата е или непоследователна, или има безкрайно много решения. И остава само да разберем.

Началото на решението е съвсем обикновено - записваме разширената матрица на системата и с помощта на елементарни трансформации я привеждаме в поетапна форма:

(1) В горната лява стъпка трябва да получим +1 или –1. В първата колона няма такива числа, така че пренареждането на редовете няма да даде нищо. Звеното ще трябва да се организира и това може да стане по няколко начина. Направих това: Към първия ред добавяме третия ред, умножен по –1.

(2) Сега получаваме две нули в първата колона. Към втория ред добавяме първия ред, умножен по 3. Към третия ред добавяме първия ред, умножен по 5.

(3) След като трансформацията е завършена, винаги е препоръчително да се види дали е възможно да се опростят получените низове? може. Разделяме втория ред на 2, като в същото време получаваме необходимото –1 на втората стъпка. Разделете третия ред на –3.

(4) Добавете втория ред към третия ред.

Вероятно всеки е забелязал лошата линия, която е резултат от елементарни трансформации: . Ясно е, че това не може да бъде така. Наистина, нека пренапишем получената матрица обратно към системата от линейни уравнения:

Ако в резултат на елементарни преобразувания се получи низ от вида, където е число, различно от нула, то системата е непоследователна (няма решения).

Как да запиша края на задача? Нека начертаем с бял тебешир: „в резултат на елементарни трансформации се получава низ от вида , където ” и даваме отговора: системата няма решения (непоследователна).

Ако според условието се изисква ИЗСЛЕДВАНЕ на системата за съвместимост, тогава е необходимо решението да се формализира в по-солиден стил, като се използва концепцията матричен ранг и теоремата на Кронекер-Капели.

Моля, обърнете внимание, че тук няма обръщане на алгоритъма на Гаус - няма решения и просто няма какво да се намери.

Пример 2

Решете система от линейни уравнения

Това е пример, който можете да решите сами. Пълно решение и отговор в края на урока. Напомням ви отново, че вашето решение може да се различава от моето решение; алгоритъмът на Гаус няма силна „твърдост“.

Друга техническа характеристика на решението: елементарните трансформации могат да бъдат спрени веднага, веднага щом ред като , където . Нека разгледаме условен пример: да предположим, че след първата трансформация се получава матрицата . Матрицата все още не е редуцирана до ешелонна форма, но няма нужда от допълнителни елементарни трансформации, тъй като се появи линия на формата, където . Веднага трябва да се отговори, че системата е несъвместима.

Когато система от линейни уравнения няма решения, това е почти подарък, поради факта, че се получава кратко решение, понякога буквално в 2-3 стъпки.

Но всичко в този свят е балансирано и задача, в която системата има безкрайно много решения, е просто по-дълга.

Пример 3

Решете система от линейни уравнения

Това е всичко и вие сте се страхували.

(1) Моля, обърнете внимание, че всички числа в първата колона се делят на 2, така че 2 е добре в горната лява стъпка. Към втория ред добавяме първия ред, умножен по –4. Към третия ред добавяме първия ред, умножен по –2. Към четвъртия ред добавяме първия ред, умножен по –1.

внимание!Мнозина могат да бъдат изкушени от четвъртия ред изваждампърви ред. Това може да се направи, но не е необходимо; опитът показва, че вероятността от грешка в изчисленията се увеличава няколко пъти. Просто добавете: Към четвъртия ред добавяме първия ред, умножен по –1 – точно така!

(2) Последните три реда са пропорционални, два от тях могат да бъдат изтрити.

Тук отново трябва да покажем повишено внимание, но наистина ли линиите са пропорционални? За по-сигурно (особено за чайник), би било добра идея да умножите втория ред по –1 и да разделите четвъртия ред на 2, което води до три еднакви реда. И едва след това премахнете две от тях.

В резултат на елементарни трансформации разширената матрица на системата се редуцира до стъпаловидна форма:

Когато пишете задача в тетрадка, е препоръчително да правите същите бележки с молив за прегледност.

Нека пренапишем съответната система от уравнения:

Тук не мирише на „обикновено“ единично решение на системата. Няма и лоша линия. Това означава, че това е третият останал случай - системата има безкрайно много решения. Понякога, според условието, е необходимо да се проучи съвместимостта на системата (т.е. да се докаже, че изобщо съществува решение), можете да прочетете за това в последния параграф на статията Как да намерим ранга на матрица?Но засега нека прегледаме основите:

Безкрайно множество от решения на система се записва накратко под формата на т.нар общо решение на системата .

Намираме общото решение на системата, използвайки обратния метод на Гаус.

Първо трябва да определим какви променливи имаме основен, и какви променливи безплатно. Не е нужно да се занимавате с термините на линейната алгебра, просто не забравяйте, че има такива основни променливиИ свободни променливи.

Основните променливи винаги „седят“ стриктно на стъпките на матрицата.
В този пример основните променливи са и

Безплатните променливи са всичко оставащипроменливи, които не са получили стъпка. В нашия случай има две от тях: – свободни променливи.

Сега трябва Всички основни променливиекспресен само чрез свободни променливи.

Обратният алгоритъм на Гаус традиционно работи отдолу нагоре.
От второто уравнение на системата изразяваме основната променлива:

Сега погледнете първото уравнение: . Първо заместваме намерения израз в него:

Остава да изразим основната променлива чрез свободни променливи:

В крайна сметка получихме това, от което се нуждаехме - Всичкиизразени са основните променливи ( и ). само чрезбезплатни променливи:

Всъщност общото решение е готово:

Как да напиша правилно общото решение?
Свободните променливи се записват в общото решение „сами по себе си“ и стриктно на техните места. В този случай свободните променливи трябва да бъдат записани на втора и четвърта позиция:
.

Получените изрази за основните променливи и очевидно трябва да се напише на първа и трета позиция:

Предоставяне на безплатни променливи произволни стойности, можете да намерите безкрайно много частни решения. Най-популярните стойности са нули, тъй като конкретното решение е най-лесно за получаване. Нека заместим в общото решение:

– частно решение.

Друга сладка двойка са единици, нека ги заменим в общото решение:

– друго частно решение.

Лесно се вижда, че системата от уравнения има безкрайно много решения(тъй като можем да дадем безплатни променливи всякаквистойности)

всекиконкретното решение трябва да удовлетворява на всичкиуравнение на системата. Това е основата за „бърза“ проверка на правилността на решението. Вземете, например, конкретно решение и го заменете в лявата страна на всяко уравнение на оригиналната система:

Но, строго погледнато, проверката на конкретно решение понякога е измамна, т.е. някое конкретно решение може да удовлетвори всяко уравнение на системата, но самото общо решение всъщност е намерено неправилно.

Следователно проверката на общото решение е по-задълбочена и надеждна. Как да проверите полученото общо решение ?

Не е трудно, но доста досадно. Трябва да вземем изрази основенпроменливи, в този случай и , и ги заместете в лявата страна на всяко уравнение на системата.

От лявата страна на първото уравнение на системата:

От лявата страна на второто уравнение на системата:

Получава се дясната страна на първоначалното уравнение.

Пример 4

Решете системата по метода на Гаус. Намерете общото решение и две частни. Проверете общото решение.

Това е пример, който можете да решите сами. Тук, между другото, отново броят на уравненията е по-малък от броя на неизвестните, което означава, че веднага става ясно, че системата или ще бъде непоследователна, или ще има безкраен брой решения. Какво е важно в самия процес на вземане на решение? Внимание и пак внимание. Пълно решение и отговор в края на урока.

И още няколко примера за затвърждаване на материала

Пример 5

Решение: Нека запишем разширената матрица на системата и с помощта на елементарни трансформации я приведем в стъпкова форма:

(1) Добавете първия ред към втория ред. Към третия ред добавяме първия ред, умножен по 2. Към четвъртия ред добавяме първия ред, умножен по 3.
(2) Към третия ред добавяме втория ред, умножен по –5. Към четвъртия ред добавяме втория ред, умножен по –7.
(3) Третият и четвъртият ред са еднакви, изтриваме един от тях.

Това е такава красота:

Основните променливи седят на стъпалата, следователно - основни променливи.
Има само една свободна променлива, която не е получила стъпка:

Реверс:
Нека изразим основните променливи чрез свободна променлива:
От третото уравнение:

Нека разгледаме второто уравнение и заместим намерения израз в него:

Нека разгледаме първото уравнение и заместим намерените изрази в него:

Да, калкулатор, който изчислява обикновени дроби, все още е удобен.

Така че общото решение е:

Още веднъж, как се оказа? Свободната променлива седи сама на полагащото й се четвърто място. Получените изрази за основните променливи също заеха своите редни места.

Нека веднага проверим общото решение. Работата е за черни, но аз вече я свърших, така че хващайте я =)

Заместваме три героя , , в лявата страна на всяко уравнение на системата:

Получават се съответните десни части на уравненията, като по този начин общото решение се намира правилно.

Сега от намереното общо решение получаваме две конкретни решения. Единствената свободна променлива тук е готвачът. Няма нужда да си набивате мозъка.

Нека бъде тогава – частно решение.
Нека бъде тогава – друго частно решение.

отговор: Общо решение: , частни решения: , .

За черните не трябваше да си спомням... ...защото ми идваха всякакви садистични мотиви в главата и се сетих за прословутия фотошоп, в който мъже от Ку-клукс-клана в бели дрехи тичат по терена след черен футболист. Седя и се усмихвам тихо. Знаеш ли колко разсейващо...

Много математика е вредна, така че подобен краен пример за решаване сами.

Пример 6

Намерете общото решение на системата от линейни уравнения.

Вече проверих общото решение, може да се вярва на отговора. Вашето решение може да се различава от моето решение, основното е общите решения да съвпадат.

Вероятно много хора са забелязали неприятен момент в решенията: много често, по време на обратния ход на метода на Гаус, трябваше да се занимаваме с обикновени дроби. На практика това наистина е така; случаите, в които няма дроби, са много по-рядко срещани. Бъдете подготвени психически и, най-важното, технически.

Ще се спра на някои характеристики на решението, които не бяха намерени в решените примери.

Общото решение на системата понякога може да включва константа (или константи), например: . Тук една от основните променливи е равна на постоянно число: . В това няма нищо екзотично, случва се. Очевидно в този случай всяко конкретно решение ще съдържа петица на първа позиция.

Рядко, но има системи, в които броят на уравненията е по-голям от броя на променливите. Методът на Гаус работи в най-тежките условия; човек трябва спокойно да намали разширената матрица на системата до поетапна форма, като използва стандартен алгоритъм. Такава система може да е непоследователна, може да има безкрайно много решения и, колкото и да е странно, може да има едно единствено решение.

1. Системи линейни уравнения с параметър

Системите от линейни уравнения с параметър се решават чрез същите основни методи като обикновените системи от уравнения: методът на заместване, методът на добавяне на уравнения и графичен метод. Познания по графична интерпретация линейни системиулеснява отговора на въпроса за броя на корените и тяхното съществуване.

Пример 1.

Намерете всички стойности за параметър a, за които системата от уравнения няма решения.

(x + (a 2 – 3)y = a,
(x + y = 2.

Решение.

Нека да разгледаме няколко начина за решаване на тази задача.

1 начин.Използваме свойството: системата няма решения, ако отношението на коефициентите пред x е равно на отношението на коефициентите пред y, но не е равно на отношението на свободните членове (a/a 1 = b /b 1 ≠ c/c 1). Тогава имаме:

1/1 = (a 2 – 3)/1 ≠ a/2 или система

(и 2 – 3 = 1,
(a ≠ 2.

От първото уравнение a 2 = 4, следователно, като вземем предвид условието, че a ≠ 2, получаваме отговора.

Отговор: a = -2.

Метод 2.Решаваме по метода на заместване.

(2 – y + (a 2 – 3)y = a,
(x = 2 – y,

((a 2 – 3)y – y = a – 2,
(x = 2 – y.

След изваждане в първото уравнение общ множител y извън скоби, получаваме:

((a 2 – 4)y = a – 2,
(x = 2 – y.

Системата няма решения, ако първото уравнение няма решения, т.е

(и 2 – 4 = 0,
(a – 2 ≠ 0.

Очевидно a = ±2, но като се вземе предвид второто условие, отговорът идва само с отговор минус.

отговор:а = -2.

Пример 2.

Намерете всички стойности за параметър a, за които системата от уравнения има безкраен брой решения.

(8x + ay = 2,
(ax + 2y = 1.

Решение.

Според свойството, ако съотношението на коефициентите на x и y е еднакво и е равно на съотношението на свободните членове на системата, тогава тя има безкраен брой решения (т.е. a/a 1 = b/ b 1 = c/c 1). Следователно 8/a = a/2 = 2/1. Решавайки всяко от получените уравнения, намираме, че a = 4 е отговорът в този пример.

отговор:а = 4.

2. Системи рационални уравненияс параметър

Пример 3.

(3|x| + y = 2,
(|x| + 2y = a.

Решение.

Нека умножим първото уравнение на системата по 2:

(6|x| + 2y = 4,
(|x| + 2y = a.

Като извадим второто уравнение от първото, получаваме 5|x| = 4 – а. Това уравнение ще има уникално решение за a = 4. В други случаи това уравнение ще има две решения (за a< 4) или ни одного (при а > 4).

Отговор: a = 4.

Пример 4.

Намерете всички стойности на параметъра a, за които системата от уравнения има уникално решение.

(x + y = a,
(y – x 2 = 1.

Решение.

Ще решим тази система с помощта на графичния метод. По този начин графиката на второто уравнение на системата е парабола, повдигната по оста Oy нагоре с един единичен сегмент. Първото уравнение определя набора от прави, успоредни на правата y = -x (Фигура 1). От фигурата ясно се вижда, че системата има решение, ако правата y = -x + a е допирателна към параболата в точка с координати (-0.5, 1.25). Замествайки тези координати в уравнението на правата линия вместо x и y, намираме стойността на параметър a:

1,25 = 0,5 + а;

Отговор: a = 0,75.

Пример 5.

Използвайки метода на заместване, разберете при каква стойност на параметъра a системата има уникално решение.

(ax – y = a + 1,
(ax + (a + 2)y = 2.

Решение.

От първото уравнение изразяваме y и го заместваме във второто:

(y = ax – a – 1,
(ax + (a + 2)(ax – a – 1) = 2.

Нека редуцираме второто уравнение до формата kx = b, което ще има уникално решение за k ≠ 0. Имаме:

ax + a 2 x – a 2 – a + 2ax – 2a – 2 = 2;

a 2 x + 3ax = 2 + a 2 + 3a + 2.

Представяме квадратния трином a 2 + 3a + 2 като произведение от скоби

(a + 2)(a + 1), а отляво изваждаме x извън скоби:

(a 2 + 3a)x = 2 + (a + 2)(a + 1).

Очевидно е, че 2 + 3a не трябва да съществува равно на нула, Ето защо,

a 2 + 3a ≠ 0, a(a + 3) ≠ 0, което означава a ≠ 0 и ≠ -3.

отговор: a ≠ 0; ≠ -3.

Пример 6.

Използвайки метода на графичното решение, определете при каква стойност на параметър a системата има уникално решение.

(x 2 + y 2 = 9,
(y – |x| = a.

Решение.

Въз основа на условието конструираме окръжност с център в началото и радиус 3 единичен сегмент, точно това е определено от първото уравнение на системата

x 2 + y 2 = 9. Второто уравнение на системата (y = |x| + a) е прекъсната линия. С помощта на фигура 2Разглеждаме всички възможни случаи на местоположението му спрямо кръга. Лесно се вижда, че a = 3.

Отговор: a = 3.

Все още имате въпроси? Не знаете как да решавате системи от уравнения?
За да получите помощ от преподавател, регистрирайте се.
Първият урок е безплатен!

уебсайт, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към източника.