План на урока.

1. Организационен момент.

2. Представяне на материала.

3. Домашна работа.

4. Обобщаване на урока.

Напредък на урока

I. Организационен момент.

II. Представяне на материала.

Мотивация.

Разширяването на набора от реални числа се състои в добавяне на нови числа (въображаеми) към реалните числа. Въвеждането на тези числа се дължи на невъзможността да се извлече корен от отрицателно число в множеството от реални числа.

Запознаване с понятието комплексно число.

Във формуляра са записани въображаеми числа, с които допълваме реални числа би, Къде азе въображаема единица и i 2 = - 1.

Въз основа на това получаваме следната дефиниция на комплексно число.

Определение. Комплексното число е израз на формата а+би, Къде аИ b- реални числа. В този случай са изпълнени следните условия:

а) Две комплексни числа a 1 + b 1 iИ a 2 + b 2 iравно тогава и само ако a 1 = a 2, b 1 = b 2.

б) Събирането на комплексни числа се определя от правилото:

(a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.

в) Умножението на комплексни числа се определя от правилото:

(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 - a 2 b 1) i.

Алгебрична форма на комплексно число.

Записване на комплексно число във формата а+бисе нарича алгебрична форма на комплексно число, където А– реална част, бие въображаемата част и b– реално число.

Комплексно число а+бисе счита за равно на нула, ако неговите реална и имагинерна част са равни на нула: a = b = 0

Комплексно число а+бипри b = 0се счита за същото като реално число а: a + 0i = a.

Комплексно число а+бипри а = 0се нарича чисто въображаема и се обозначава би: 0 + bi = bi.

Две комплексни числа z = a + biИ = a – bi, различаващи се само по знака на въображаемата част, се наричат ​​спрегнати.

Операции с комплексни числа в алгебрична форма.

Можете да извършвате следните операции върху комплексни числа в алгебрична форма.

1) Добавяне.

Определение. Сума от комплексни числа z 1 = a 1 + b 1 iИ z 2 = a 2 + b 2 iсе нарича комплексно число z, чиято реална част е равна на сумата от реалните части z 1И z 2, а имагинерната част е сумата от имагинерните части на числата z 1И z 2, т.е z = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2)i.

Числа z 1И z 2се наричат ​​термини.

Събирането на комплексни числа има следните свойства:

1º. Комутативност: z 1 + z 2 = z 2 + z 1.

2º. Асоциативност: (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3).

3º. Комплексно число –а –бинарича обратното на комплексно число z = a + bi. Комплексно число, противоположно на комплексно число z, означено -z. Сума от комплексни числа zИ -zравно на нула: z + (-z) = 0

Пример 1: Извършете събиране (3 – i) + (-1 + 2i).

(3 – i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.

2) Изваждане.

Определение.Извадете от комплексно число z 1комплексно число z 2 z,Какво z + z 2 = z 1.

Теорема. Разликата между комплексните числа съществува и е уникална.

Пример 2: Извършете изваждане (4 – 2i) - (-3 + 2i).

(4 – 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 – 4i.

3) Умножение.

Определение. Произведение на комплексни числа z 1 =a 1 +b 1 iИ z 2 =a 2 +b 2 iсе нарича комплексно число z, определени от равенството: z = (a 1 a 2 – b 1 b 2) + (a 1 b 2 + a 2 b 1)i.

Числа z 1И z 2се наричат ​​фактори.

Умножението на комплексни числа има следните свойства:

1º. Комутативност: z 1 z 2 = z 2 z 1.

2º. Асоциативност: (z 1 z 2)z 3 = z 1 (z 2 z 3)

3º. Разпределимост на умножението спрямо събирането:

(z 1 + z 2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3.

4º. z = (a + bi)(a – bi) = a 2 + b 2- реално число.

На практика умножението на комплексни числа се извършва съгласно правилото за умножаване на сбор по сбор и разделяне на реалната и имагинерната част.

В следващия пример ще разгледаме умножаването на комплексни числа по два начина: по правило и чрез умножаване на сбор по сбор.

Пример 3: Направете умножението (2 + 3i) (5 – 7i).

1 начин. (2 + 3i) (5 – 7i) = (2× 5 – 3× (- 7)) + (2× (- 7) + 3× 5)i = = (10 + 21) + (- 14 + 15 )i = 31 + i.

Метод 2. (2 + 3i) (5 – 7i) = 2 × 5 + 2 × (- 7i) + 3i × 5 + 3i × (- 7i) = = 10 – 14i + 15i + 21 = 31 + i.

4) Разделяне.

Определение. Разделете комплексно число z 1към комплексно число z 2, означава да се намери такова комплексно число z, Какво z · z 2 = z 1.

Теорема.Коефициентът на комплексните числа съществува и е уникален, ако z 2 ≠ 0 + 0i.

На практика частното на комплексните числа се намира чрез умножаване на числителя и знаменателя по конюгата на знаменателя.

Нека z 1 = a 1 + b 1 i, z 2 = a 2 + b 2 i, Тогава

.

В следващия пример ще извършим деление, използвайки формулата и правилото за умножение по числото, спрегнато към знаменателя.

Пример 4. Намерете частното .

5) Повдигане на положителна цяла степен.

а) Степени на имагинерната единица.

Възползвайки се от равенството i 2 = -1, лесно е да се дефинира всяка положителна степен на цяло число на имагинерната единица. Ние имаме:

i 3 = i 2 i = -i,

i 4 = i 2 i 2 = 1,

i 5 = i 4 i = i,

i 6 = i 4 i 2 = -1,

i 7 = i 5 i 2 = -i,

i 8 = i 6 i 2 = 1и т.н.

Това показва, че градусните стойности аз н, Къде п– цяло положително число, периодично повтарящо се при нарастване на индикатора с 4 .

Следователно, за да се вдигне бройката азна положителна цяла степен, трябва да разделим показателя на 4 и изградете азна степен, чийто показател е равен на остатъка от делението.

Пример 5: Изчислете: (i 36 + i 17) i 23.

i 36 = (i 4) 9 = 1 9 = 1,

i 17 = i 4 × 4+1 = (i 4) 4 × i = 1 · i = i.

i 23 = i 4 × 5+3 = (i 4) 5 × i 3 = 1 · i 3 = - i.

(i 36 + i 17) · i 23 = (1 + i) (- i) = - i + 1= 1 – i.

б) Повишаването на комплексно число на цяло положително число се извършва съгласно правилото за повдигане на бином на съответната степен, тъй като това е частен случай на умножаване на еднакви комплексни множители.

Пример 6: Изчислете: (4 + 2i) 3

(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3× 4 2 × 2i + 3× 4× (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.

ФЕДЕРАЛНА АГЕНЦИЯ ПО ОБРАЗОВАНИЕТО

ДЪРЖАВНО УЧЕБНО ЗАВЕДЕНИЕ

ВИСШЕ ПРОФЕСИОНАЛНО ОБРАЗОВАНИЕ

"ВОРОНЕЖКИ ДЪРЖАВЕН ПЕДАГОГИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ"

КАТЕДРА ПО ЪГЛЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

Комплексни числа

(избрани задачи)

ДИПЛОМНА КВАЛИФИКАЦИОННА РАБОТА

специалност 050201.65 математика

(с допълнителна специалност 050202.65 Информатика)

Изпълнил: студент 5 курс

физико-математически

факултет

Научен ръководител:

ВОРОНЕЖ – 2008г

1. Въведение……………………………………………………………………..…

2. Комплексни числа (избрани задачи)

2.1. Комплексни числа в алгебрична форма…………………….….

2.2. Геометрична интерпретация на комплексни числа…………..…

2.3. Тригонометрична форма на комплексни числа

2.4. Приложение на теорията на комплексните числа към решаването на уравнения от 3-та и 4-та степен………………………………………………………………………………

2.5. Комплексни числа и параметри……………………………………….

3. Заключение………………………………………………………………………………….

4. Списък с препратки………………………….………………………......

1. Въведение

В училищната програма по математика теорията на числата се въвежда с помощта на примери за множества от естествени числа, цели числа, рационални, ирационални, т.е. върху множеството от реални числа, образите на които запълват цялата числова ос. Но още в 8-ми клас няма достатъчен запас от реални числа, решаване на квадратни уравнения с отрицателен дискриминант. Следователно беше необходимо да се попълни запасът от реални числа с помощта на комплексни числа, за които квадратният корен от отрицателно число има смисъл.

Изборът на темата „Комплексни числа” като тема на моята последна квалификационна работа е, че понятието комплексно число разширява знанията на студентите за бройните системи, за решаването на широк клас задачи както с алгебрично, така и с геометрично съдържание, за решаването на алгебрични уравнения от всякаква степен и за решаване на задачи с параметри.

Тази дипломна работа разглежда решението на 82 задачи.

Първата част на основния раздел „Комплексни числа” дава решения на задачи с комплексни числа в алгебрична форма, дефинира операциите събиране, изваждане, умножение, деление, операцията на спрежение за комплексни числа в алгебрична форма, степента на имагинерна единица , модулът на комплексно число, и също така определя правилото за извличане на корен квадратен от комплексно число.

Във втората част се решават задачи за геометрична интерпретация на комплексни числа под формата на точки или вектори на комплексната равнина.

Третата част разглежда операциите върху комплексни числа в тригонометрична форма. Използваните формули са: Moivre и извличане на корен от комплексно число.

Четвъртата част е посветена на решаването на уравнения от 3-та и 4-та степен.

При решаването на задачи от последната част „Комплексни числа и параметри“ се използва и затвърждава информацията, дадена в предходните части. Поредица от задачи в главата са посветени на определяне на семейства от прави в комплексната равнина, определени от уравнения (неравенства) с параметър. В част от упражненията трябва да решите уравнения с параметър (над поле C). Има задачи, при които комплексна променлива едновременно удовлетворява редица условия. Особеност на решаването на задачи в този раздел е свеждането на много от тях до решаване на уравнения (неравенства, системи) от втора степен, ирационални, тригонометрични с параметър.

Характеристика на представянето на материала във всяка част е първоначалното въвеждане на теоретични основи и впоследствие тяхното практическо приложение при решаване на проблеми.

В края на дипломната работа има списък с използваната литература. Повечето от тях достатъчно подробно и достъпно излагат теоретичен материал, обсъждат решения на някои проблеми и дават практически задачи за самостоятелно решаване. Бих искал да обърна специално внимание на такива източници като:

1. Гордиенко Н.А., Беляева Е.С., Фирстов В.Е., Серебрякова И.В. Комплексни числа и техните приложения: Учебник. . Материалът на учебника е представен под формата на лекции и практически упражнения.

2. Шклярски Д.О., Ченцов Н.Н., Яглом И.М. Избрани задачи и теореми от елементарната математика. Аритметика и алгебра. Книгата съдържа 320 задачи, свързани с алгебрата, аритметиката и теорията на числата. Тези задачи се различават значително по характер от стандартните училищни задачи.

2. Комплексни числа (избрани задачи)

2.1. Комплексни числа в алгебрична форма

Решаването на много задачи по математика и физика се свежда до решаване на алгебрични уравнения, т.е. уравнения на формата

,

където a0, a1, …, an са реални числа. Следователно изучаването на алгебрични уравнения е един от най-важните въпроси в математиката. Например, квадратно уравнение с отрицателен дискриминант няма реални корени. Най-простото такова уравнение е уравнението

.

За да има решение това уравнение, е необходимо да разширим множеството от реални числа, като към него добавим корена на уравнението

.

Нека обозначим този корен с

. Така, по дефиниция, или

следователно,

. наречена имагинерна единица. С негова помощ и с помощта на двойка реални числа се съставя израз на формата.

Полученият израз беше наречен комплексни числа, защото съдържаше както реални, така и имагинерни части.

И така, комплексните числа са изрази на формата

, и са реални числа, и е определен символ, който отговаря на условието . Числото се нарича реална част от комплексно число, а числото е неговата имагинерна част. За обозначаването им се използват символите ,.

Комплексни числа от вида

са реални числа и следователно множеството от комплексни числа съдържа множеството от реални числа.

Комплексни числа от вида

се наричат ​​чисто въображаеми. Две комплексни числа от вида и се наричат ​​равни, ако техните реални и имагинерни части са равни, т.е. ако равенства , .

Алгебричният запис на комплексните числа позволява операции с тях според обичайните правила на алгебрата.

Сумата от две комплексни числа

и се нарича комплексно число от формата .

Произведение на две комплексни числа

Нека си припомним необходимата информация за комплексните числа.

Комплексно числое израз на формата а + би, Къде а, bса реални числа и аз- т.нар имагинерна единица, символ, чийто квадрат е равен на –1, т.е аз 2 = –1. Номер анаречен реална част, и числото b - въображаема часткомплексно число z = а + би. Ако b= 0, тогава вместо това а + 0азте просто пишат а. Вижда се, че реалните числа са частен случай на комплексните числа.

Аритметичните операции с комплексни числа са същите като с реални числа: те могат да се събират, изваждат, умножават и делят едно на друго. Събирането и изваждането се извършват по правилото ( а + би) ± ( c + ди) = (а ± c) + (b ± d)аз, а умножението следва правилото ( а + би) · ( c + ди) = (ак – бд) + (реклама + пр.н.е)аз(тук се използва това аз 2 = –1). Число = а – бинаречен комплексно спрегнатдо z = а + би. Равенство z · = а 2 + b 2 ви позволява да разберете как да разделите едно комплексно число на друго (различно от нула) комплексно число:

(Например, .)

Комплексните числа имат удобно и визуално геометрично представяне: число z = а + биможе да бъде представено чрез вектор с координати ( а; b) на декартовата равнина (или, което е почти същото, точка - края на вектор с тези координати). В този случай сумата от две комплексни числа се изобразява като сума от съответните вектори (които могат да бъдат намерени с помощта на правилото на успоредника). Според Питагоровата теорема дължината на вектора с координати ( а; b) е равно на . Това количество се нарича модулкомплексно число z = а + бии се означава с | z|. Ъгълът, който този вектор сключва с положителната посока на оста x (броено обратно на часовниковата стрелка), се нарича аргументкомплексно число zи се обозначава с Arg z. Аргументът не е еднозначно дефиниран, а само до добавяне на кратно на 2 π радиани (или 360°, ако се броят в градуси) - все пак е ясно, че завъртането на такъв ъгъл около началото няма да промени вектора. Но ако векторът на дължината rобразува ъгъл φ с положителната посока на оста x, тогава нейните координати са равни на ( r cos φ ; rгрях φ ). От тук се оказва тригонометрична нотациякомплексно число: z = |z| · (cos(Arg z) + азгрях (Арг z)). Често е удобно да записвате сложни числа в тази форма, тъй като това значително опростява изчисленията. Умножаването на комплексни числа в тригонометрична форма е много просто: z 1 · z 2 = |z 1 | · | z 2 | · (cos(Arg z 1 + арг z 2) + азгрях (Арг z 1 + арг z 2)) (при умножаване на две комплексни числа модулите им се умножават и аргументите им се събират). Оттук следвайте Формулите на Моавър: z n = |z|п· (защото( п· (Арг z)) + азгрях( п· (Арг z))). С помощта на тези формули е лесно да научите как да извличате корени от произволна степен от комплексни числа. n-ти корен от z- това е комплексно число w, Какво w n = z. Ясно е, че , и , къде кможе да приема произволна стойност от набора (0, 1, ..., п– 1). Това означава, че винаги има точно пкорени пстепен на комплексно число (на равнината те са разположени във върховете на ред п-гон).

Комплексни числа

Въображаеми И комплексни числа. Абсциса и ордината

комплексно число. Конюгирани комплексни числа.

Операции с комплексни числа. Геометричен

представяне на комплексни числа. Сложна равнина.

Модул и аргумент на комплексно число. Тригонометричен

сложна числова форма. Операции със сложен

числа в тригонометрична форма. Формулата на Моавър.

Основна информация за въображаем И комплексни числа са дадени в раздел “Въображаеми и комплексни числа”. Необходимостта от тези числа от нов тип възникна при решаването на квадратни уравнения за случаяг< 0 (здесь г– дискриминант на квадратно уравнение). Дълго време тези числа не намериха физическо приложение, поради което бяха наречени „въображаеми“ числа. Сега обаче те се използват много широко в различни области на физиката.

и технологии: електротехника, хидро- и аеродинамика, теория на еластичността и др.

Комплексни числа се записват във вида:а+би. тук аИ b – реални числа , А аз – въображаема единица, т.е.д. аз 2 = –1. Номер анаречен абсцисата,а b – ординатакомплексно числоa + bi.Две комплексни числаа+биИ а–би се наричат конюгаткомплексни числа.

Основни споразумения:

1. Реално числоАможе да се напише и във форматакомплексно число:а + 0 азили а – 0 аз. Например записи 5 + 0ази 5 – 0 азозначава едно и също число 5 .

2. Комплексно число 0 + бинаречен чисто въображаемо номер. Записвайтебиозначава същото като 0 + би.

3. Две комплексни числаа+би Иc + diсе считат за равни, акоa = cИ b = d. В противен случай комплексните числа не са равни.

Допълнение. Сума от комплексни числаа+биИ c + diсе нарича комплексно число (a+c ) + (b+d ) азпо този начин при добавяне комплексните числа, техните абциси и ординати се събират отделно.

Това определение съответства на правилата за операции с обикновени полиноми.

Изваждане. Разликата на две комплексни числаа+би(намалено) и c + di(субтрахенд) се нарича комплексно число (a–c ) + (б–г ) аз

по този начин При изваждане на две комплексни числа техните абсциси и ординати се изваждат отделно.

Умножение. Произведение на комплексни числаа+биИ c + di се нарича комплексно число:

(ac–bd ) + (реклама+bc ) азТова определение следва от две изисквания:

1) числа а+биИ c + diтрябва да се умножи като алгебриченбиноми,

2) номер азима основно свойство:аз 2 = – 1.

ПРИМЕР ( а+ би )(а–би) =а 2 +б 2 . следователно работа

две спрегнати комплексни числа е равно на реалното

положително число.

дивизия. Разделете комплексно числоа+би (делим) от другc + di(разделител) - означава да намерите третото числоe + f i(чат), което при умножение с делителc + di, води до дивидентаa + bi.

Ако делителят не е нула, делението винаги е възможно.

ПРИМЕР Намерете (8 +аз ) : (2 – 3 аз) .

Решение. Нека пренапишем това отношение като дроб:

Умножаване на неговия числител и знаменател по 2 + 3аз

И След като извършихме всички трансформации, получаваме:

Геометрично представяне на комплексни числа. Реалните числа са представени с точки на числовата ос:

Тук е смисълът Аозначава числото –3, точкаб– номер 2, и О- нула. За разлика от тях комплексните числа са представени от точки в координатната равнина. За целта избираме правоъгълни (декартови) координати с еднакви мащаби по двете оси. След това комплексното числоа+би ще бъдат представени с точка P с абсцисата a и ордината b (виж снимката). Тази координатна система се нарича сложна равнина .

Модул комплексното число е дължината на вектораOP, представляващо комплексно число по координатата ( изчерпателен) самолет. Модул на комплексно числоа+биозначен | а+би| или писмо r