Начало  /  Скорошна история  /  Случайната променлива x е дадена от разпределението. Теоретичен материал по модули "теория на вероятностите и математическа статистика"

Случайната променлива x е дадена от разпределението. Теоретичен материал по модули "теория на вероятностите и математическа статистика"

Скорошна история
09.03.2024

Можем да подчертаем най-често срещаните закони на разпределение на дискретни случайни променливи:

  • Биномен закон на разпределение
  • Закон за разпределение на Поасон
  • Геометричен закон на разпределение
  • Хипергеометричен закон на разпределение

За дадени разпределения на дискретни случайни променливи изчисляването на вероятностите на техните стойности, както и числените характеристики (математическо очакване, дисперсия и т.н.) се извършва с помощта на определени „формули“. Ето защо е много важно да се познават тези видове разпределения и техните основни свойства.


1. Биномен закон на разпределение.

Дискретна случайна променлива $X$ се подчинява на биномния закон за разпределение на вероятностите, ако приема стойности $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ с вероятности $P\left(X=k\right)= C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k)$. Всъщност случайната променлива $X$ е броят на появяванията на събитие $A$ в $n$ независими опити. Закон за вероятностното разпределение на случайната променлива $X$:

$\begin(масив)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & \точки & n \\
\hline
p_i & P_n\left(0\right) & P_n\left(1\right) & \dots & P_n\left(n\right) \\
\hline
\край (масив)$

За такава случайна променлива математическото очакване е $M\left(X\right)=np$, дисперсията е $D\left(X\right)=np\left(1-p\right)$.

Пример . Семейството има две деца. Приемайки, че вероятностите да имате момче и момиче са равни на $0,5$, намерете закона за разпределение на случайната променлива $\xi$ - броя на момчетата в семейството.

Нека случайната променлива $\xi $ е броят на момчетата в семейството. Стойности, които $\xi може да приеме:\ 0,\ ​​​​1,\ 2$. Вероятностите за тези стойности могат да бъдат намерени с помощта на формулата $P\left(\xi =k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k )$, където $n =2$ е броят на независимите опити, $p=0,5$ е вероятността събитие да се случи в серия от $n$ опита. Получаваме:

$P\left(\xi =0\right)=C^0_2\cdot (0,5)^0\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-0)=(0, 5)^2=0,25;$

$P\left(\xi =1\right)=C^1_2\cdot 0.5\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-1)=2\cdot 0.5\cdot 0.5=0.5;$

$P\left(\xi =2\right)=C^2_2\cdot (0,5)^2\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-2)=(0, 5)^2 =0,25.$

Тогава законът за разпределение на случайната променлива $\xi $ е съответствието между стойностите $0,\ 1,\ 2$ и техните вероятности, тоест:

$\begin(масив)(|c|c|)
\hline
\xi & 0 & 1 & 2 \\
\hline
P(\xi) & 0,25 & 0,5 & 0,25 \\
\hline
\край (масив)$

Сумата от вероятностите в закона за разпределение трябва да бъде равна на $1$, т.е. $\sum _(i=1)^(n)P(\xi _((\rm i)))=0,25+0,5+ 0, 25=$1.

Очакване $M\left(\xi \right)=np=2\cdot 0,5=1$, дисперсия $D\left(\xi \right)=np\left(1-p\right)=2\cdot 0,5\ cdot 0,5=0,5$, стандартно отклонение $\sigma \left(\xi \right)=\sqrt(D\left(\xi \right))=\sqrt(0,5 )\приблизително $0,707.

2. Закон за разпределение на Поасон.

Ако дискретна случайна променлива $X$ може да приема само неотрицателни цели числа $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ с вероятности $P\left(X=k\right)=((( \lambda )^k )\над (k}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.!}

Коментирайте. Особеността на това разпределение е, че въз основа на експериментални данни намираме оценки $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$, ако получените оценки са близки една до друга, тогава имаме основание да се твърди, че случайната променлива се подчинява на закона за разпределение на Поасон.

Пример . Примери за случайни променливи, подчинени на закона за разпределение на Поасон, могат да бъдат: броят на автомобилите, които ще бъдат обслужени от бензиностанция утре; брой дефектни артикули в произведени продукти.

Пример . Фабриката изпрати $500 $ продукти до базата. Вероятността за повреда на продукта при транспортиране е $0,002$. Намерете закона за разпределение на случайната величина $X$, равна на броя на повредените продукти; какво е $M\left(X\right),\D\left(X\right)$.

Нека дискретната случайна променлива $X$ е броят на повредените продукти. Такава случайна променлива се подчинява на закона за разпределение на Поасон с параметър $\lambda =np=500\cdot 0,002=1$. Вероятностите на стойностите са равни на $P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.!}

$P\left(X=0\right)=((1^0)\over (0}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\left(X=1\right)=((1^1)\over (1}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\left(X=2\right)=((1^2)\over (2}\cdot e^{-1}=0,184;$!}

$P\left(X=3\right)=((1^3)\over (3}\cdot e^{-1}=0,061;$!}

$P\left(X=4\right)=((1^4)\over (4}\cdot e^{-1}=0,015;$!}

$P\left(X=5\right)=((1^5)\over (5}\cdot e^{-1}=0,003;$!}

$P\наляво(X=6\надясно)=((1^6)\над (6}\cdot e^{-1}=0,001;$!}

$P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$!}

Закон за разпределение на случайната променлива $X$:

$\begin(масив)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & ... & k \\
\hline
P_i & 0,368; & 0,368 & 0,184 & 0,061 & 0,015 & 0,003 & 0,001 & ... & (((\lambda )^k)\над (k}\cdot e^{-\lambda } \\!}
\hline
\край (масив)$

За такава случайна променлива математическото очакване и дисперсията са равни едно на друго и са равни на параметъра $\lambda $, т.е. $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\ ламбда =1$.

3. Геометричен закон на разпределение.

Ако дискретна случайна променлива $X$ може да приема само естествени стойности $1,\ 2,\ \dots ,\ n$ с вероятности $P\left(X=k\right)=p(\left(1-p\ правилно)) ^(k-1),\ k=1,\ 2,\ 3,\ \dots $, тогава те казват, че такава случайна променлива $X$ се подчинява на геометричния закон за разпределение на вероятностите. Всъщност геометричното разпределение е тест на Бернули до първия успех.

Пример . Примери за случайни променливи, които имат геометрично разпределение, могат да бъдат: броят на изстрелите преди първото попадение в целта; брой тестове на устройството до първата повреда; броя на хвърлянията на монети, докато се появи първата глава и т.н.

Математическото очакване и дисперсията на случайна променлива, предмет на геометрично разпределение, са съответно равни на $M\left(X\right)=1/p$, $D\left(X\right)=\left(1-p\right )/p^ $2.

Пример . По пътя на движението на рибата до мястото за хвърляне на хайвера има $4$ ключалка. Вероятността рибата да премине през всеки шлюз е $p=3/5$. Постройте поредица от разпределение на случайната променлива $X$ - броя на шлюзовете, преминали от рибата преди първото задържане на шлюза. Намерете $M\left(X\right),\ D\left(X\right),\ \sigma \left(X\right)$.

Нека случайната променлива $X$ е броят на заключванията, преминали от рибата преди първото спиране на ключалката. Такава случайна променлива се подчинява на геометричния закон за разпределение на вероятностите. Стойности, които случайна променлива $X може да приеме: $ 1, 2, 3, 4. Вероятностите за тези стойности се изчисляват по формулата: $P\left(X=k\right)=pq^(k -1)$, където: $ p=2/5$ - вероятността рибата да бъде задържана през шлюза, $q=1-p=3/5$ - вероятността рибата да премине през шлюза, $k=1,\ 2,\ 3,\ 4$.

$P\left(X=1\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^0=((2)\ над (5))=0,4;$

$P\left(X=2\right)=((2)\over (5))\cdot ((3)\over (5))=((6)\over (25))=0,24 $

$P\left(X=3\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^2=((2)\ над (5))\cdot ((9)\над (25))=((18)\над (125))=0,144;$

$P\left(X=4\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^3+(\left(( (3)\над (5))\надясно))^4=((27)\над (125))=0,216.$

$\begin(масив)(|c|c|)
\hline
X_i & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
P\left(X_i\right) & 0,4 & 0,24 & 0,144 & 0,216 \\
\hline
\край (масив)$

Математическо очакване:

$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(x_ip_i)=1\cdot 0,4+2\cdot 0,24+3\cdot 0,144+4\cdot 0,216=2,176.$

дисперсия:

$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2=)0,4\cdot (\ left( 1-2 176\вдясно))^2+0,24\cdot (\вляво(2-2 176\вдясно))^2+0,144\cdot (\вляво(3-2 176\вдясно))^2+$

$+\0,216\cdot (\left(4-2,176\right))^2\приблизително 1,377.$

Стандартно отклонение:

$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(1377)\приблизително 1173.$

4. Хипергеометричен закон на разпределение.

Ако $N$ обекти, сред които $m$ обекти имат дадено свойство. $n$ обекта се извличат произволно без връщане, сред които имаше $k$ обекта, които имат дадено свойство. Хипергеометричното разпределение позволява да се оцени вероятността точно $k$ обекта в извадката да имат дадено свойство. Нека случайната променлива $X$ е броят на обектите в извадката, които имат дадено свойство. Тогава вероятностите на стойностите на случайната променлива $X$:

$P\наляво(X=k\надясно)=((C^k_mC^(n-k)_(N-m))\над (C^n_N))$

Коментирайте. Статистическата функция HYPERGEOMET на съветника за функции $f_x$ на Excel ви позволява да определите вероятността определен брой тестове да бъдат успешни.

$f_x\to$ статистически$\към$ ХИПЕРГЕОМЕТ$\към$ добре. Ще се появи диалогов прозорец, който трябва да попълните. В колоната Брой_успехи_в_извадкатапосочете стойността $k$. образец_размере равно на $n$. В колоната Брой_успехи_в_заеднопосочете стойността $m$. популация_размере равно на $N$.

Математическото очакване и дисперсията на дискретна случайна променлива $X$, предмет на геометричния закон на разпределение, са съответно равни на $M\left(X\right)=nm/N$, $D\left(X\right)= ((nm\left(1 -((m)\over (N))\right)\left(1-((n)\over (N))\right))\over (N-1))$.

Пример . В кредитния отдел на банката работят 5 специалисти с висше финансово образование и 3 специалисти с висше юридическо образование. Ръководството на банката реши да изпрати 3-ма специалисти за повишаване на квалификацията, като ги подбра на случаен принцип.

а) Направете разпределителна поредица за броя на специалистите с висше финансово образование, които могат да бъдат изпратени за повишаване на квалификацията;

б) Намерете числените характеристики на това разпределение.

Нека случайната променлива $X$ е броят на специалистите с висше финансово образование сред тримата избрани. Стойности, които $X може да приеме: 0,\ 1,\ 2,\ 3$. Тази случайна променлива $X$ се разпределя според хипергеометрично разпределение със следните параметри: $N=8$ - размер на популацията, $m=5$ - брой успехи в популацията, $n=3$ - размер на извадката, $ k=0,\ 1, \2,\3$ - брой успехи в извадката. Тогава вероятностите $P\left(X=k\right)$ могат да бъдат изчислени по формулата: $P(X=k)=(C_(m)^(k) \cdot C_(N-m)^(n-k) \ над C_( N)^(n) ) $. Ние имаме:

$P\left(X=0\right)=((C^0_5\cdot C^3_3)\over (C^3_8))=((1)\over (56))\приблизително 0,018;$

$P\left(X=1\right)=((C^1_5\cdot C^2_3)\over (C^3_8))=((15)\over (56))\приблизително 0,268;$

$P\left(X=2\right)=((C^2_5\cdot C^1_3)\over (C^3_8))=((15)\over (28))\приблизително 0,536;$

$P\left(X=3\right)=((C^3_5\cdot C^0_3)\over (C^3_8))=((5)\over (28))\приблизително 0,179.$

Тогава серията на разпределение на случайната променлива $X$:

$\begin(масив)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0,018 & 0,268 & 0,536 & 0,179 \\
\hline
\край (масив)$

Нека изчислим числените характеристики на случайната променлива $X$, използвайки общите формули на хипергеометричното разпределение.

$M\left(X\right)=((nm)\over (N))=((3\cdot 5)\over (8))=((15)\over (8))=1875.$

$D\left(X\right)=((nm\left(1-((m)\over (N))\right)\left(1-((n)\over (N))\right)) \over (N-1))=((3\cdot 5\cdot \left(1-((5)\over (8))\right)\cdot \left(1-((3)\over (8) ))\надясно))\над (8-1))=((225)\над (448))\приблизително 0,502.$

$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(0,502)\приблизително 0,7085.$

ЗАКОН ЗА РАЗПРЕДЕЛЕНИЕ И ХАРАКТЕРИСТИКИ

СЛУЧАЙНИ ВЕЛИЧИНИ

Случайни величини, тяхната класификация и методи за описание.

Случайна величина е величина, която в резултат на експеримент може да приеме една или друга стойност, но коя от тях не е предварително известна. Следователно за случайна променлива можете да посочите само стойности, една от които тя определено ще приеме в резултат на експеримент. По-нататък ще наричаме тези стойности възможни стойности на случайната променлива. Тъй като случайната променлива количествено характеризира случайния резултат от експеримент, тя може да се разглежда като количествена характеристика на случайно събитие.

Случайните променливи обикновено се обозначават с главни букви на латинската азбука, например X..Y..Z, а възможните им стойности със съответните малки букви.

Има три вида случайни променливи:

Дискретни; Непрекъснато; Смесени.

Дискретное случайна променлива, чийто брой възможни стойности образува изброимо множество. От своя страна множество, чиито елементи могат да бъдат номерирани, се нарича изброимо. Думата "дискретен" идва от латинското discretus, което означава "прекъснат, състоящ се от отделни части".

Пример 1. Дискретна случайна променлива е броят на дефектните части X в партида от nпродукти. Наистина, възможните стойности на тази случайна променлива са поредица от цели числа от 0 до n.

Пример 2. Дискретна случайна променлива е броят на изстрелите преди първото попадение в целта. Тук, както в пример 1, възможните стойности могат да бъдат номерирани, въпреки че в ограничаващия случай възможната стойност е безкрайно голямо число.

Непрекъснатое случайна променлива, чиито възможни стойности непрекъснато запълват определен интервал от числовата ос, понякога наричан интервал на съществуване на тази случайна променлива. По този начин, на всеки краен интервал на съществуване, броят на възможните стойности на непрекъсната случайна променлива е безкрайно голям.

Пример 3. Непрекъсната случайна променлива е месечното потребление на електроенергия на предприятието.

Пример 4. Непрекъсната случайна променлива е грешката при измерване на височината с алтиметър. Нека от принципа на работа на висотомера е известно, че грешката е в диапазона от 0 до 2 m. Следователно интервалът на съществуване на тази случайна величина е интервалът от 0 до 2 m.

Закон за разпределение на случайни величини.

Случайна променлива се счита за напълно определена, ако нейните възможни стойности са посочени на цифровата ос и законът за разпределение е установен.

Закон за разпределение на случайна величина е релация, която установява връзка между възможните стойности на случайна променлива и съответните вероятности.

За случайна променлива се казва, че е разпределена според даден закон или подчинена на даден закон за разпределение. Редица вероятности, функция на разпределение, плътност на вероятността и характеристична функция се използват като закони на разпределение.

Законът за разпределение дава пълно вероятно описание на случайна променлива. Съгласно закона за разпределение може да се прецени преди експеримента кои възможни стойности на случайна променлива ще се появяват по-често и кои по-рядко.

За дискретна случайна променлива законът за разпределение може да бъде зададен под формата на таблица, аналитично (под формата на формула) и графично.

Най-простата форма за определяне на закона за разпределение на дискретна случайна променлива е таблица (матрица), която изброява във възходящ ред всички възможни стойности на случайната променлива и съответните им вероятности, т.е.

Такава таблица се нарича серия на разпределение на дискретна случайна променлива. 1

Събития X 1, X 2,..., X n, състоящи се в това, че в резултат на теста случайната променлива X ще приеме стойностите съответно x 1, x 2,...x n, са непоследователни и единствените възможни (тъй като в таблицата са изброени всички възможни стойности на случайна променлива), т.е. образуват пълна група. Следователно сумата от техните вероятности е равна на 1. По този начин за всяка дискретна случайна променлива

(Тази единица по някакъв начин е разпределена между стойностите на случайната променлива, оттук и терминът „разпределение“).

Серията на разпределение може да бъде изобразена графично, ако стойностите на случайната променлива са нанесени по абсцисната ос, а съответните им вероятности са нанесени по ординатната ос. Връзката на получените точки образува прекъсната линия, наречена многоъгълник или многоъгълник на вероятностното разпределение (фиг. 1).

ПримерЛотарията включва: автомобил на стойност 5000 den. бр., 4 телевизора на стойност 250 ден. единици, 5 видеорекордера на стойност 200 ден. единици За 7 дни са продадени общо 1000 билета. единици Съставете закон за разпределение на нетните печалби, получени от участник в лотарията, закупил един билет.

Решение. Възможните стойности на случайната променлива X - нетните печалби на билет - са равни на 0-7 = -7 пари. единици (ако билетът не е спечелил), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 ден. единици (ако в билета има печалби съответно от видеорекордер, телевизор или кола). Като се има предвид, че от 1000 билета броят на непечелившите е 990, а посочените печалби са съответно 5, 4 и 1 и използвайки класическата дефиниция на вероятността, получаваме.

X; значение Е(5); вероятността случайната променлива Xще вземе стойности от сегмента. Построете многоъгълник на разпределение.

  1. Известна е функцията на разпределение F(x) на дискретна случайна променлива X:

Задайте закона за разпределение на случайна променлива Xпод формата на таблица.

  1. Даден е законът за разпределение на случайна величина X:
X –28 –20 –12 –4
стр 0,22 0,44 0,17 0,1 0,07
  1. Вероятността магазинът да има сертификати за качество за цялата гама продукти е 0,7. Комисията провери наличието на удостоверения в четири магазина в района. Съставете закон за разпределение, изчислете математическото очакване и дисперсията на броя на магазините, в които не са открити сертификати за качество по време на проверка.
  1. За да се определи средното време на горене на електрическите лампи в партида от 350 еднакви кутии, от всяка кутия е взета за изпитване по една електрическа лампа. Оценете отдолу вероятността средната продължителност на горене на избраните електрически лампи да се различава от средната продължителност на горене на цялата партида по абсолютна стойност с по-малко от 7 часа, ако е известно, че стандартното отклонение на продължителността на горене на електрическите лампи в всяка кутия е по-малко от 9 часа.
  1. При телефонна централа възниква неправилна връзка с вероятност 0,002. Намерете вероятността сред 500 връзки да се случи следното:

Намерете функцията на разпределение на случайна променлива X. Построяване на графики на функции и . Изчислете математическото очакване, дисперсията, модата и медианата на случайна променлива X.

  1. Автоматична машина прави ролки. Смята се, че диаметърът им е нормално разпределена случайна величина със средна стойност 10 mm. Какво е стандартното отклонение, ако с вероятност от 0,99 диаметърът е в диапазона от 9,7 mm до 10,3 mm.

Проба А: 6 9 7 6 4 4

Проба Б: 55 72 54 53 64 53 59 48

42 46 50 63 71 56 54 59

54 44 50 43 51 52 60 43

50 70 68 59 53 58 62 49

59 51 52 47 57 71 60 46

55 58 72 47 60 65 63 63

58 56 55 51 64 54 54 63

56 44 73 41 68 54 48 52

52 50 55 49 71 67 58 46

50 51 72 63 64 48 47 55

Вариант 17.

  1. Сред 35-те части 7 са нестандартни. Намерете вероятността две произволно взети части да се окажат стандартни.
  1. Хвърлят се три зара. Намерете вероятността сборът на точките от изпуснатите страни да е кратен на 9.
  1. Думата „ПРИКЛЮЧЕНИЕ“ е съставена от карти, всяка с по една буква. Картите се разбъркват и се изваждат една по една, без да се връщат. Намерете вероятността извадените по реда на появяване букви да образуват думата: а) ПРИКЛЮЧЕНИЕ; б) ЗАТВОРНИК.
  1. Една урна съдържа 6 черни и 5 бели топки. На случаен принцип се изтеглят 5 топки. Намерете вероятността сред тях да има:
    1. 2 бели топки;
    2. по-малко от 2 бели топки;
    3. поне една черна топка.
  1. Ав един тест е равен на 0,4. Намерете вероятностите за следните събития:
    1. събитие Апоявява се 3 пъти в серия от 7 независими опита;
    2. събитие Аще се появи не по-малко от 220 и не повече от 235 пъти в серия от 400 опита.
  1. Заводът изпрати 5000 висококачествени продукта в базата. Вероятността за повреда на всеки продукт при транспортиране е 0,002. Намерете вероятността не повече от 3 продукта да бъдат повредени по пътя.
  1. Първата урна съдържа 4 бели и 9 черни топки, а втората урна съдържа 7 бели и 3 черни топки. 3 топки са изтеглени на случаен принцип от първата урна и 4 от втората урна Намерете вероятността всички изтеглени топки да са с един и същи цвят.
  1. Даден е законът за разпределение на случайна величина X:

Изчислете неговото математическо очакване и дисперсия.

  1. В кутията има 10 молива. Изтеглени са произволно 4 молива. Случайна променлива X– броя на сините моливи сред избраните. Намерете закона за неговото разпределение, началните и централните моменти на 2-ри и 3-ти ред.
  1. Отделът за технически контрол проверява за дефекти 475 продукта. Вероятността продуктът да е дефектен е 0,05. Намерете, с вероятност 0,95, границите, в които ще се съдържа броят на дефектните продукти сред тестваните.
  1. При телефонна централа възниква неправилна връзка с вероятност 0,003. Намерете вероятността сред 1000 връзки да се случи следното:
    1. поне 4 неправилни връзки;
    2. повече от две неправилни връзки.
  1. Случайната променлива се определя от функцията за плътност на разпределението:

Намерете функцията на разпределение на случайна променлива X. Построяване на графики на функции и . Изчислете математическото очакване, дисперсията, модата и медианата на случайната променлива X.

  1. Случайната променлива се определя от функцията на разпределение:
  1. По проба Ареши следните проблеми:
    1. създаване на вариационна серия;

· извадково средно;

· дисперсия на извадката;

Мода и медиана;

Проба А: 0 0 2 2 1 4

    1. изчислете числените характеристики на вариационните серии:

· извадково средно;

· дисперсия на извадката;

стандартно отклонение на извадката;

· мода и медиана;

Проба Б: 166 154 168 169 178 182 169 159

161 150 149 173 173 156 164 169

157 148 169 149 157 171 154 152

164 157 177 155 167 169 175 166

167 150 156 162 170 167 161 158

168 164 170 172 173 157 157 162

156 150 154 163 143 170 170 168

151 174 155 163 166 173 162 182

166 163 170 173 159 149 172 176

Вариант 18.

  1. От 10 лотарийни билета 2 са печеливши. Намерете вероятността от пет билета, взети на случаен принцип, един да бъде печеливш.
  1. Хвърлят се три зара. Намерете вероятността сумата от хвърлените точки да е по-голяма от 15.
  1. Думата „ПЕРИМЕТЪР“ е съставена от карти, всяка от които има написана по една буква. Картите се разбъркват и се изваждат една по една, без да се връщат. Намерете вероятността извадените букви да образуват думата: а) ПЕРИМЕТЪР; б) МЕТЪР.
  1. Една урна съдържа 5 черни и 7 бели топки. На случаен принцип се изтеглят 5 топки. Намерете вероятността сред тях да има:
    1. 4 бели топки;
    2. по-малко от 2 бели топки;
    3. поне една черна топка.
  1. Вероятност за настъпване на събитие Ав едно изпитване е равно на 0,55. Намерете вероятностите за следните събития:
    1. събитие Аще се появи 3 пъти в серия от 5 предизвикателства;
    2. събитие Аще се появи не по-малко от 130 и не повече от 200 пъти в серия от 300 опита.
  1. Вероятността консерва да се счупи е 0,0005. Намерете вероятността от 2000 кутии две да имат теч.
  1. Първата урна съдържа 4 бели и 8 черни топки, а втората урна съдържа 7 бели и 4 черни топки. Две топки се изтеглят на случаен принцип от първата урна и три топки се изтеглят на случаен принцип от втората урна. Намерете вероятността всички изтеглени топки да са с един и същи цвят.
  1. Сред частите, пристигащи за монтаж, 0,1% са дефектни от първата машина, 0,2% от втората, 0,25% от третата и 0,5% от четвъртата. Коефициентите на производителност на машината са съответно 4:3:2:1. Произволно взетата част се оказа стандартна. Намерете вероятността детайлът да е направен на първата машина.
  1. Даден е законът за разпределение на случайна величина X:

Изчислете неговото математическо очакване и дисперсия.

  1. Електротехникът има три електрически крушки, всяка от които има дефект с вероятност 0,1. При включване на тока дефектната крушка веднага изгаря и се заменя с друга. Намерете закона за разпределение, математическото очакване и дисперсията на броя на тестваните електрически крушки.
  1. Вероятността за попадение в цел е 0,3 за всеки от 900 независими изстрела. Използвайки неравенството на Чебишев, преценете вероятността целта да бъде уцелена поне 240 пъти и най-много 300 пъти.
  1. При телефонна централа възниква неправилна връзка с вероятност 0,002. Намерете вероятността сред 800 връзки да се случи следното:
    1. поне три неправилни връзки;
    2. повече от четири неправилни връзки.
  1. Случайната променлива се определя от функцията за плътност на разпределението:

Намерете функцията на разпределение на случайната променлива X. Начертайте графики на функциите и . Изчислете математическото очакване, дисперсията, модата и медианата на случайна променлива X.

  1. Случайната променлива се определя от функцията на разпределение:
  1. По проба Ареши следните проблеми:
    1. създаване на вариационна серия;
    2. изчисляване на относителни и натрупани честоти;
    3. съставят емпирична функция на разпределение и я начертаят;
    4. изчислете числените характеристики на вариационните серии:

· извадково средно;

· дисперсия на извадката;

стандартно отклонение на извадката;

· мода и медиана;

Проба А: 4 7 6 3 3 4

  1. Използвайки пример B, решете следните задачи:
    1. създаване на групирани вариационни серии;
    2. изграждане на хистограма и честотен полигон;
    3. изчислете числените характеристики на вариационните серии:

· извадково средно;

· дисперсия на извадката;

стандартно отклонение на извадката;

· мода и медиана;

Проба Б: 152 161 141 155 171 160 150 157

154 164 138 172 155 152 177 160

168 157 115 128 154 149 150 141

172 154 144 177 151 128 150 147

143 164 156 145 156 170 171 142

148 153 152 170 142 153 162 128

150 146 155 154 163 142 171 138

128 158 140 160 144 150 162 151

163 157 177 127 141 160 160 142

159 147 142 122 155 144 170 177

Вариант 19.

1. В обекта работят 16 жени и 5 мъже. На случаен принцип бяха избрани 3 души с персоналните им номера. Намерете вероятността всички избрани хора да бъдат мъже.

2. Хвърлят се четири монети. Намерете вероятността само две монети да имат „герб“.

3. Думата “ПСИХОЛОГИЯ” е съставена от карти, на всяка от които е изписана по една буква. Картите се разбъркват и се изваждат една по една, без да се връщат. Намерете вероятността извадените букви да образуват дума: а) ПСИХОЛОГИЯ; б) ПЕРСОНАЛ.

4. Урната съдържа 6 черни и 7 бели топки. На случаен принцип се изтеглят 5 топки. Намерете вероятността сред тях да има:

а. 3 бели топки;

b. по-малко от 3 бели топки;

c. поне една бяла топка.

5. Вероятност за настъпване на събитие Ав един опит е равен на 0,5. Намерете вероятностите за следните събития:

а. събитие Апоявява се 3 пъти в серия от 5 независими опита;

b. събитие Аще се появи най-малко 30 и не повече от 40 пъти в серия от 50 опита.

6. Има 100 машини с еднаква мощност, работещи независимо една от друга в един и същ режим, при който задвижването им е включено за 0,8 работни часа. Каква е вероятността във всеки един момент от времето да бъдат включени от 70 до 86 машини?

7. Първата урна съдържа 4 бели и 7 черни топки, а втората урна съдържа 8 бели и 3 черни топки. 4 топки се изтеглят на случаен принцип от първата урна и 1 топка от втората. Намерете вероятността сред изтеглените топки да има само 4 черни топки.

8. В салона за продажба на автомобили ежедневно се приемат автомобили от три марки в обеми: „Москвич” – 40%; "Ока" - 20%; "Волга" - 40% от всички внесени автомобили. Сред автомобилите Москвич 0,5% са с устройство против кражба, Ока – 0,01%, Волга – 0,1%. Намерете вероятността взетата за проверка кола да има устройство против кражба.

9. Числата и се избират на случаен принцип върху сегмента. Намерете вероятността тези числа да удовлетворяват неравенствата.

10. Даден е законът за разпределение на случайна величина X:

X
стр 0,1 0,2 0,3 0,4

Намерете функцията на разпределение на случайна променлива X; значение Е(2); вероятността случайната променлива Xще вземе стойности от интервала. Построете многоъгълник на разпределение.

Дискретно произволноПроменливите са случайни променливи, които приемат само стойности, които са отдалечени една от друга и които могат да бъдат изброени предварително.
Закон за разпределение
Законът за разпределение на случайна променлива е връзка, която установява връзка между възможните стойности на случайна променлива и съответните им вероятности.
Серията на разпределение на дискретна случайна променлива е списъкът на нейните възможни стойности и съответните вероятности.
Функцията на разпределение на дискретна случайна променлива е функцията:
,
определяне за всяка стойност на аргумента x вероятността случайната променлива X да приеме стойност, по-малка от това x.

Очакване на дискретна случайна променлива
,
където е стойността на дискретна случайна променлива; - вероятността случайна променлива да приеме X стойности.
Ако една случайна променлива приема изброим набор от възможни стойности, тогава:
.
Математическо очакване на броя на случванията на събитие в n независими опита:
,

Дисперсия и стандартно отклонение на дискретна случайна променлива
Дисперсия на дискретна случайна променлива:
или .
Вариация на броя на появяванията на събитие в n независими опита
,
където p е вероятността събитието да се случи.
Стандартно отклонение на дискретна случайна променлива:
.

Пример 1
Начертайте закон за разпределение на вероятностите за дискретна случайна променлива (DRV) X – броят k появявания на поне една „шестица“ при n = 8 хвърляния на чифт зарове. Построете многоъгълник на разпределение. Намерете числените характеристики на разпределението (режим на разпределение, математическо очакване M(X), дисперсия D(X), стандартно отклонение s(X)). Решение:Нека въведем обозначението: събитие А – „при хвърляне на чифт зарове шестица се появява поне веднъж.“ За да се намери вероятността P(A) = p на събитие A, е по-удобно първо да се намери вероятността P(Ā) = q на противоположното събитие Ā - „при хвърляне на чифт зарове, шестица никога не се появява.“
Тъй като вероятността „шестица“ да не се появи при хвърляне на един зар е 5/6, тогава според теоремата за умножение на вероятностите
P(Ā) = q = = .
съответно
P(A) = p = 1 – P(Ā) = .
Тестовете в задачата следват схемата на Бернули, така че д.с.в. величина X- номер кпоявата на поне една шестица при хвърляне на два зара се подчинява на биномния закон за разпределение на вероятностите:

където = е броят на комбинациите от пот к.

Изчисленията, извършени за тази задача, могат удобно да бъдат представени под формата на таблица:
Разпределение на вероятностите d.s.v. X º к (п = 8; стр = ; р = )

к

Пн(к)

Полигон (многоъгълник) на вероятностно разпределение на дискретна случайна променлива Xпоказано на фигурата:

ориз. Полигон на разпределение на вероятностите d.s.v. X=к.
Вертикалната линия показва математическото очакване на разпределението М(X).

Нека намерим числените характеристики на вероятностното разпределение на d.s.v. X. Режимът на разпространение е 2 (тук П 8(2) = 0,2932 максимум). Математическото очакване по дефиниция е равно на:
М(X) = = 2,4444,
Къде xk = к– взета стойност от д.с.в. X. Дисперсия г(X) намираме разпределението по формулата:
г(X) = = 4,8097.
Стандартно отклонение (RMS):
s( X) = = 2,1931.

Пример2
Дискретна случайна променлива Xдадено от закона за разпределение

Намерете функцията на разпределение F(x) и я начертайте.

Решение.Ако , тогава (трето свойство).
Ако, тогава. наистина Xможе да приеме стойност 1 с вероятност 0,3.
Ако, тогава. Наистина, ако удовлетворява неравенството
, тогава се равнява на вероятността за събитие, което може да се случи, когато Xще приеме стойност 1 (вероятността за това събитие е 0,3) или стойност 4 (вероятността за това събитие е 0,1). Тъй като тези две събития са несъвместими, тогава, съгласно теоремата за добавяне, вероятността за събитие е равна на сумата от вероятностите 0,3 + 0,1 = 0,4. Ако, тогава. Действително събитието е сигурно, следователно вероятността му е равна на единица. И така, функцията на разпределение може да бъде написана аналитично, както следва:

Графика на тази функция:
Нека намерим вероятностите, съответстващи на тези стойности. По условие вероятностите за повреда на устройствата са равни: тогава вероятностите устройствата да работят по време на гаранционния период са равни:




Законът за разпределение има формата:

Глава 1. Дискретна случайна променлива

§ 1. Понятия за случайна променлива.

Закон за разпределение на дискретна случайна величина.

Определение : Случайна е величина, която в резултат на тестване приема само една стойност от възможен набор от стойности, неизвестни предварително и зависещи от случайни причини.

Има два вида случайни променливи: дискретни и непрекъснати.

Определение : Извиква се случайната променлива X дискретни (прекъснат), ако наборът от неговите стойности е краен или безкраен, но изброим.

С други думи, възможните стойности на дискретна случайна променлива могат да бъдат преномерирани.

Случайна променлива може да бъде описана с помощта на нейния закон за разпределение.

Определение : Закон за разпределение на дискретна случайна величина наричаме съответствието между възможните стойности на случайна променлива и техните вероятности.

Законът за разпределение на дискретна случайна променлива X може да бъде определен под формата на таблица, в първия ред на която са посочени всички възможни стойности на случайната променлива във възходящ ред, а във втория ред съответните вероятности на тези ценности, т.е.

където р1+ р2+…+ рn=1

Такава таблица се нарича серия на разпределение на дискретна случайна променлива.

Ако наборът от възможни стойности на случайна променлива е безкраен, тогава серията p1+ p2+…+ pn+… се събира и нейната сума е равна на 1.

Законът за разпределение на дискретна случайна величина X може да се изобрази графично, за което се построява начупена линия в правоъгълна координатна система, свързваща последователно точки с координати (xi; pi), i=1,2,…n. Получената линия се нарича разпределителен полигон (фиг. 1).

Organic chemistry" href="/text/category/organicheskaya_hiimya/" rel="bookmark">organic chemistry са съответно 0,7 и 0,8. Съставете закон за разпределение на случайната променлива X - броя на изпитите, които студентът ще издържи.

Решение. Разглежданата случайна променлива X в резултат на изпита може да приеме една от следните стойности: x1=0, x2=1, x3=2.

Нека намерим вероятността за тези стойности. Нека обозначим събитията:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image004_81.jpg" width="259" height="66 src=">

И така, законът за разпределение на случайната променлива X е даден от таблицата:

Контрола: 0,6+0,38+0,56=1.

§ 2. Разпределителна функция

Пълно описание на случайна променлива също се дава от функцията на разпределение.

определение: Функция на разпределение на дискретна случайна променлива X се нарича функция F(x), която определя за всяка стойност x вероятността случайната променлива X да приеме стойност, по-малка от x:

F(x)=P(X<х)

Геометрично, функцията на разпределение се интерпретира като вероятността случайната променлива X да приеме стойността, която е представена на числовата ос от точка, разположена вляво от точка x.

1)0≤ F(x) ≤1;

2) F(x) е ненамаляваща функция върху (-∞;+∞);

3) F(x) - непрекъсната отляво в точки x= xi (i=1,2,...n) и непрекъсната във всички останали точки;

4) F(-∞)=P (X<-∞)=0 как вероятность невозможного события Х<-∞,

F(+∞)=P(X<+∞)=1 как вероятность достоверного события Х<-∞.

Ако законът за разпределение на дискретна случайна променлива X е даден под формата на таблица:

тогава функцията на разпределение F(x) се определя по формулата:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110">

0 за x≤ x1,

р1 при x1< х≤ x2,

F(x)= р1 + р2 при x2< х≤ х3

1 за x>xn.

Неговата графика е показана на фиг. 2:

§ 3. Числени характеристики на дискретна случайна величина.

Една от важните числени характеристики е математическото очакване.

Определение: Математическо очакване M(X) дискретна случайна променлива X е сумата от продуктите на всички нейни стойности и съответните им вероятности:

M(X) = ∑ xiрi= x1р1 + x2р2+…+ xnрn

Математическото очакване служи като характеристика на средната стойност на случайна величина.

Свойства на математическото очакване:

1)M(C)=C, където C е постоянна стойност;

2)M(C X)=C M(X),

3)M(X±Y)=M(X)±M(Y);

4)M(X Y)=M(X) M(Y), където X, Y са независими случайни променливи;

5)M(X±C)=M(X)±C, където C е постоянна стойност;

За да се характеризира степента на дисперсия на възможните стойности на дискретна случайна променлива около нейната средна стойност, се използва дисперсия.

Определение: Дисперсия г ( X ) случайната променлива X е математическото очакване на квадрата на отклонението на случайната променлива от нейното математическо очакване:

Дисперсионни свойства:

1)D(C)=0, където C е постоянна стойност;

2)D(X)>0, където X е случайна променлива;

3)D(C X)=C2 D(X), където C е постоянна стойност;

4)D(X+Y)=D(X)+D(Y), където X, Y са независими случайни променливи;

За изчисляване на дисперсията често е удобно да се използва формулата:

D(X)=M(X2)-(M(X))2,

където M(X)=∑ xi2рi= x12р1 + x22р2+…+ xn2рn

Дисперсията D(X) има размерността на квадратна случайна променлива, което не винаги е удобно. Следователно стойността √D(X) се използва и като индикатор за дисперсията на възможните стойности на случайна променлива.

определение: Стандартно отклонение σ(X) случайната променлива X се нарича корен квадратен от дисперсията:

Задача No2.Дискретната случайна променлива X се определя от закона за разпределение:

Намерете P2, функцията на разпределение F(x) и начертайте нейната графика, както и M(X), D(X), σ(X).

Решение: Тъй като сумата от вероятностите на възможните стойности на случайната променлива X е равна на 1, тогава

Р2=1- (0.1+0.3+0.2+0.3)=0.1

Нека намерим функцията на разпределение F(x)=P(X

Геометрично това равенство може да се тълкува по следния начин: F(x) е вероятността случайната променлива да приеме стойността, която е представена на числовата ос от точката, разположена вляво от точката x.

Ако x≤-1, тогава F(x)=0, тъй като няма нито една стойност на тази случайна променлива върху (-∞;x);

Ако -1<х≤0, то F(х)=Р(Х=-1)=0,1, т. к. в промежуток (-∞;х) попадает только одно значение x1=-1;

Ако 0<х≤1, то F(х)=Р(Х=-1)+ Р(Х=0)=0,1+0,1=0,2, т. к. в промежуток

(-∞;x) има две стойности x1=-1 и x2=0;

Ако 1<х≤2, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)= 0,1+0,1+0,3=0,5, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают три значения x1=-1, x2=0 и x3=1;

Ако 2<х≤3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)= 0,1+0,1+0,3+0,2=0,7, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1 и х4=2;

Ако x>3, тогава F(x)=P(X=-1) + P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)+P(X=3)= 0,1 +0,1 +0.3+0.2+0.3=1, защото четири стойности x1=-1, x2=0, x3=1, x4=2 попадат в интервала (-∞;x) и x5=3.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image006_89.gif" width="14 height=2" height="2"> 0 при x≤-1,

0,1 при -1<х≤0,

0,2 при 0<х≤1,

F(x)= 0,5 при 1<х≤2,

0,7 на 2<х≤3,

1 при x>3

Нека представим функцията F(x) графично (фиг. 3):

https://pandia.ru/text/78/455/images/image014_24.jpg" width="158 height=29" height="29">≈1.2845.

§ 4. Биномиален закон на разпределение

дискретна случайна променлива, закон на Поасон.

определение: Бином се нарича закон за разпределение на дискретна случайна променлива X - броят на появяванията на събитие А в n независими повторни опита, във всяко от които събитие А може да се случи с вероятност p или да не се случи с вероятност q = 1-p. Тогава P(X=m) - вероятността за възникване на събитие А точно m пъти в n опита се изчислява с помощта на формулата на Бернули:

Р(Х=m)=Сmnpmqn-m

Математическото очакване, дисперсията и стандартното отклонение на случайна променлива X, разпределени по двоичен закон, се намират съответно по формулите:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image016_31.gif" width="26"> Вероятността за събитие А - „изваждане на петица“ във всеки опит е една и съща и равна на 1/6 , т.е. P(A)=p=1/6, тогава P(A)=1-p=q=5/6, където

- „неполучаване на A.“

Случайната променлива X може да приема следните стойности: 0;1;2;3.

Ние намираме вероятността за всяка от възможните стойности на X, използвайки формулата на Бернули:

Р(Х=0)=Р3(0)=С03р0q3=1 (1/6)0 (5/6)3=125/216;

Р(Х=1)=Р3(1)=С13р1q2=3 (1/6)1 (5/6)2=75/216;

Р(Х=2)=Р3(2)=С23р2q =3 (1/6)2 (5/6)1=15/216;

Р(Х=3)=Р3(3)=С33р3q0=1 (1/6)3 (5/6)0=1/216.

това. законът за разпределение на случайната променлива X има формата:

Контрол: 125/216+75/216+15/216+1/216=1.

Нека намерим числените характеристики на случайната променлива X:

M(X)=np=3 (1/6)=1/2,

D(X)=npq=3 (1/6) (5/6)=5/12,

Задача No4.Автоматична машина щампова части. Вероятността произведената част да бъде дефектна е 0,002. Намерете вероятността сред 1000 избрани части да има:

а) 5 дефектни;

б) поне един е дефектен.

Решение: Числото n=1000 е голямо, вероятността за производство на дефектна част p=0,002 е малка и разглежданите събития (частта се оказва дефектна) са независими, следователно формулата на Поасон е валидна:

Рn(m)= д- λ λm

Нека намерим λ=np=1000 0,002=2.

а) Намерете вероятността да има 5 дефектни части (m=5):

Р1000(5)= д-2 25 = 32 0,13534 = 0,0361

b) Намерете вероятността да има поне една дефектна част.

Събитие A - "поне една от избраните части е дефектна" е обратното на събитието - "всички избрани части не са дефектни." Следователно P(A) = 1-P(). Следователно изискваната вероятност е равна на: P(A)=1-P1000(0)=1- д-2 20 = 1- e-2=1-0,13534≈0,865.

Задачи за самостоятелна работа.

1.1

1.2. Разпръснатата случайна променлива X се определя от закона за разпределение:

Намерете p4, функцията на разпределение F(X) и начертайте нейната графика, както и M(X), D(X), σ(X).

1.3. В кутията има 9 маркера, 2 от които вече не пишат. Вземете 3 маркера на случаен принцип. Случайна променлива X е броят на маркерите за писане сред взетите. Начертайте закон за разпределение на случайна променлива.

1.4. На рафт в библиотека има произволно подредени 6 учебника, 4 от които са подвързани. Библиотекарката взима произволно 4 учебника. Случайна променлива X е броят на подвързаните учебници сред взетите. Начертайте закон за разпределение на случайна променлива.

1.5. На билета има две задачи. Вероятността за правилно решаване на първата задача е 0,9, втората е 0,7. Случайна променлива X е броят на правилно решените задачи в билета. Начертайте закон за разпределение, изчислете математическото очакване и дисперсията на тази случайна променлива, а също така намерете функцията на разпределение F(x) и изградете нейната графика.

1.6. Трима стрелци стрелят по мишена. Вероятността за попадение в целта с един изстрел е 0,5 за първия стрелец, 0,8 за втория и 0,7 за третия. Случайната променлива X е броят на попаденията в мишената, ако стрелците стрелят по един изстрел. Намерете закона за разпределение, M(X),D(X).

1.7. Баскетболист хвърля топката в коша с вероятност да уцелите всеки удар от 0,8. За всеки удар той получава 10 точки, а ако пропусне, точки не му се присъждат. Начертайте закон за разпределение на случайната променлива X - броя точки, получени от баскетболист в 3 удара. Намерете M(X),D(X), както и вероятността той да получи повече от 10 точки.

1.8. На картите са изписани букви, общо 5 гласни и 3 съгласни. Избират се 3 карти на случаен принцип и всеки път взетата карта се връща обратно. Случайна променлива X е броят на гласните сред взетите. Начертайте закон за разпределение и намерете M(X),D(X),σ(X).

1.9. Средно при 60% от договорите застрахователната компания изплаща застрахователни суми във връзка с настъпване на застрахователно събитие. Съставете закон за разпределение на случайната променлива X - броят на договорите, за които е изплатена застрахователната сума, между четири договора, избрани на случаен принцип. Намерете числените характеристики на това количество.

1.10. Радиостанцията изпраща позивни (не повече от четири) на определени интервали, докато се установи двупосочна комуникация. Вероятността за получаване на отговор на позивна е 0,3. Случайна променлива X е броят на изпратените позивни. Начертайте закон за разпределение и намерете F(x).

1.11. Има 3 ключа, от които само един пасва на ключалката. Съставете закон за разпределението на случайната променлива X-брой опити за отваряне на ключалката, ако опитаният ключ не участва в следващите опити. Намерете M(X),D(X).

1.12. Провеждат се последователни независими тестове на три устройства за надеждност. Всяко следващо устройство се тества само ако предишното се е оказало надеждно. Вероятността за преминаване на теста за всяко устройство е 0,9. Начертайте закон за разпределение на случайната променлива X-брой на тестваните устройства.

1.13 .Дискретната случайна променлива X има три възможни стойности: x1=1, x2, x3 и x1<х2<х3. Вероятность того, что Х примет значения х1 и х2, соответственно равны 0,3 и 0,2. Известно, что М(Х)=2,2, D(X)=0,76. Составить закон распределения случайной величины.

1.14. Блокът на електронното устройство съдържа 100 еднакви елемента. Вероятността за повреда на всеки елемент за време T е 0,002. Елементите работят независимо. Намерете вероятността не повече от два елемента да се повредят за време T.

1.15. Учебникът е издаден в тираж 50 000 броя. Вероятността учебникът да е подвързан неправилно е 0,0002. Намерете вероятността циркулацията да съдържа:

а) четири дефектни книги,

б) по-малко от две дефектни книги.

1 .16. Броят на повикванията, пристигащи в телефонната централа всяка минута, се разпределя по закона на Поасон с параметър λ=1,5. Намерете вероятността след минута да пристигне следното:

а) две обаждания;

б) поне едно обаждане.

1.17.

Намерете M(Z),D(Z), ако Z=3X+Y.

1.18. Дадени са законите на разпределение на две независими случайни променливи:

Намерете M(Z),D(Z), ако Z=X+2Y.

Отговори:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110"> 1.1. р3=0,4; 0 при x≤-2,

0,3 при -2<х≤0,

F(x)= 0,5 при 0<х≤2,

0,9 на 2<х≤5,

1 при x>5

1.2. р4=0,1; 0 при x≤-1,

0,3 при -1<х≤0,

0,4 при 0<х≤1,

F(x)= 0,6 при 1<х≤2,

0,7 на 2<х≤3,

1 при x>3

M(X)=1; D(X)=2,6; σ(X) ≈1,612.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image025_24.gif" width="2 height=98" height="98"> 0 при x≤0,

0,03 при 0<х≤1,

F(x)= 0,37 при 1<х≤2,

1 за x>2

M(X)=2; D(X)=0,62

М(Х)=2,4; D(X)=0,48, P(X>10)=0,896

1. 8 .

M(X)=15/8; D(X)=45/64; σ(Х) ≈

М(Х)=2,4; D(X)=0,96

https://pandia.ru/text/78/455/images/image008_71.gif" width="14"> 1.11.

M(X)=2; D(X)=2/3

1.14. 1,22 e-0,2≈0,999

1.15. а) 0,0189; б) 0,00049

1.16. а) 0,0702; б) 0,77687

1.17. 3,8; 14,2

1.18. 11,2; 4.

Глава 2. Непрекъсната случайна променлива

определение: Непрекъснато Те наричат ​​количество, всички възможни стойности на което напълно запълват краен или безкраен участък от числовата линия.

Очевидно броят на възможните стойности на непрекъсната случайна променлива е безкраен.

Непрекъсната случайна променлива може да бъде определена с помощта на функция на разпределение.

определение:Е разпределителна функция непрекъсната случайна променлива X се нарича функция F(x), която определя за всяка стойност xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image028_11.jpg" width="14" height="13"> Р

Функцията на разпределение понякога се нарича кумулативна функция на разпределение.

Свойства на функцията на разпределение:

1)1≤ F(x) ≤1

2) За непрекъсната случайна променлива функцията на разпределение е непрекъсната във всяка точка и диференцируема навсякъде, освен може би в отделни точки.

3) Вероятността случайна променлива X да попадне в един от интервалите (a; b), [a; b], [a; b], е равна на разликата между стойностите на функцията F (x) в точки a и b, т.е. R(a)<Х

4) Вероятността непрекъсната случайна променлива X да приеме една отделна стойност е 0.

5) F(-∞)=0, F(+∞)=1

Задаването на непрекъсната случайна променлива с помощта на функция на разпределение не е единственият начин. Нека въведем концепцията за плътност на разпределение на вероятностите (плътност на разпределение).

Определение : Плътност на разпределение на вероятностите f ( х ) на непрекъсната случайна променлива X е производната на нейната функция на разпределение, т.е.:

Функцията за плътност на вероятността понякога се нарича диференциална функция на разпределение или закон за диференциално разпределение.

Извиква се графиката на разпределението на плътността на вероятностите f(x). крива на разпределение на вероятностите .

Свойства на разпределението на плътността на вероятността:

1) f(x) ≥0, в xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image029_10.jpg" width="285" height="141">DIV_ADBLOCK92">

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> +∞ 2 6 +∞ 6 6

∫ f(x)dx=∫ 0dx+ ∫ c(x-2)dx +∫ 0dx= c∫ (x-2)dx=c(x2/2-2x) =c(36/2-12-(4/ 2-4))=8s;

b) Известно е, че F(x)= ∫ f(x)dx

Следователно х

ако x≤2, тогава F(x)= ∫ 0dx=0;

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> 2 6 x 6 6

ако x>6, тогава F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(x-2)dx+∫ 0dx=1/8∫(x-2)dx=1/8(x2/2-2x) =

1/8(36/2-12-(4/2+4))=1/8 8=1.

по този начин

0 при x≤2,

F(x)= (x-2)2/16 при 2<х≤6,

1 за x>6.

Графиката на функцията F(x) е показана на фиг.3

https://pandia.ru/text/78/455/images/image034_23.gif" width="14" height="62 src="> 0 при x≤0,

F(x)= (3 arctan x)/π при 0<х≤√3,

1 за x>√3.

Намерете диференциалната функция на разпределение f(x)

Решение: Тъй като f(x)= F’(x), тогава

DIV_ADBLOCK93">

· Математическо очакване M (X) непрекъсната случайна променлива X се определят от равенството:

M(X)= ∫ x f(x)dx,

при условие, че този интеграл се сближава абсолютно.

· дисперсия г ( X ) непрекъснатата случайна променлива X се определя от равенството:

D(X)= ∫ (x-M(x)2) f(x)dx, или

D(X)= ∫ x2 f(x)dx - (M(x))2

· Стандартно отклонение σ(X) непрекъсната случайна променлива се определя от равенството:

Всички свойства на математическото очакване и дисперсията, обсъдени по-рано за диспергирани случайни променливи, са валидни и за непрекъснатите.

Задача No3.Случайната променлива X се определя от диференциалната функция f(x):

https://pandia.ru/text/78/455/images/image036_19.gif" height="38"> -∞ 2

X3/9 + x2/6 = 8/9-0+9/6-4/6=31/18,

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> +∞

D(X)= ∫ x2 f(x)dx-(M(x))2=∫ x2 x/3 dx+∫1/3x2 dx=(31/18)2=x4/12 + x3/9 -

- (31/18)2=16/12-0+27/9-8/9-(31/18)2=31/9- (31/18)2==31/9(1-31/36)=155/324,

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38">

P(1<х<5)= ∫ f(x)dx=∫ х/3 dx+∫ 1/3 dx+∫ 0 dx= х2/6 +1/3х =

4/6-1/6+1-2/3=5/6.

Задачи за самостоятелно решаване.

2.1. Непрекъсната случайна променлива X се определя от функцията на разпределение:

0 при x≤0,

F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 за x≤ π/6,

F(x)= - cos 3x при π/6<х≤ π/3,

1 за x> π/3.

Намерете диференциалната функция на разпределение f(x) и също

Р(2π /9<Х< π /2).

2.3.

0 при x≤2,

f(x)= c x при 2<х≤4,

0 за x>4.

2.4. Непрекъсната случайна променлива X се определя от плътността на разпределение:

0 при x≤0,

f(x)= c √x при 0<х≤1,

0 за x>1.

Намерете: а) числото c; б) M(X), D(X).

2.5.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image041_3.jpg" width="36" height="39"> при x,

0 при х.

Намерете: а) F(x) и постройте графиката му; б) M(X),D(X), σ(X); в) вероятността в четири независими опита стойността на X да приеме точно 2 пъти стойността, принадлежаща на интервала (1;4).

2.6. Плътността на разпределение на вероятността на непрекъсната случайна променлива X е дадена:

f(x)= 2(x-2) при x,

0 при х.

Намерете: a) F(x) и го начертайте; b) M(X),D(X), σ (X); в) вероятността при три независими опита стойността на X да приеме точно 2 пъти стойността, принадлежаща на сегмента.

2.7. Функцията f(x) е дадена като:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image045_4.jpg" width="43" height="38 src=">.jpg" width="16" height="15">[-√ 3/2; √3/2].

2.8. Функцията f(x) е дадена като:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image046_5.jpg" width="45" height="36 src="> .jpg" width="16" height="15">[- π /4 ; π /4].

Намерете: а) стойността на константата c, при която функцията ще бъде плътността на вероятността на някаква случайна променлива X; б) функция на разпределение F(x).

2.9. Случайната величина X, концентрирана върху интервала (3;7), се задава от функцията на разпределение F(x)= . Намерете вероятността, че

случайната променлива X ще приеме стойност: а) по-малко от 5, б) не по-малко от 7.

2.10. Случайна променлива X, концентрирана върху интервала (-1;4),

се дава от функцията на разпределение F(x)= . Намерете вероятността, че

случайната променлива X ще приеме стойност: а) по-малко от 2, б) не по-малко от 4.

2.11.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image049_6.jpg" width="43" height="44 src="> .jpg" width="16" height="15">.

Намерете: а) числото c; b) M(X); в) вероятност P(X> M(X)).

2.12. Случайната променлива се определя от функцията на диференциалното разпределение:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image050_3.jpg" width="60" height="38 src=">.jpg" width="16 height=15" height="15"> .

Намерете: а) M(X); б) вероятност P(X≤M(X))

2.13. Разпределението Rem се дава от плътността на вероятността:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image052_5.jpg" width="46" height="37"> за x ≥0.

Докажете, че f(x) наистина е функция на вероятностна плътност.

2.14. Плътността на разпределение на вероятността на непрекъсната случайна променлива X е дадена:

DIV_ADBLOCK96">

https://pandia.ru/text/78/455/images/image055_3.jpg" width="187 height=136" height="136">(фиг. 5)

2.16. Случайната величина X е разпределена по закона на “правоъгълния триъгълник” в интервала (0;4) (фиг. 5). Намерете аналитичен израз за плътността на вероятността f(x) върху цялата числова ос.

Отговори

0 при x≤0,

f(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 за x≤ π/6,

F(x)= 3sin 3x при π/6<х≤ π/3, Непрерывная случайная величина Х имеет равномерный закон распределения на некотором интервале (а;b), которому принадлежат все возможные значения Х, если плотность распределения вероятностей f(x) постоянная на этом интервале и равна 0 вне его, т. е.

0 за x≤a,

f(x)= за a<х

0 за x≥b.

Графиката на функцията f(x) е показана на фиг. 1

https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 за x≤a,

F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image077_3.jpg" width="30" height="37">, D(X)=, σ(X)=.

Задача No1.Случайната променлива X е равномерно разпределена върху сегмента. намирам:

а) плътност на вероятностното разпределение f(x) и я начертайте;

б) функцията на разпределение F(x) и я начертайте;

в) M(X),D(X), σ(X).

Решение: Използвайки формулите, обсъдени по-горе, с a=3, b=7, намираме:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image081_2.jpg" width="22" height="39"> при 3≤х≤7,

0 за x>7

Нека изградим неговата графика (фиг. 3):

https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86 src="> 0 при x≤3,

F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image084_3.jpg" width="203" height="119 src=">Фиг. 4

D(X) = ==https://pandia.ru/text/78/455/images/image089_1.jpg" width="37" height="43">==https://pandia.ru/text/ 78/455/images/image092_10.gif" width="14" height="49 src="> 0 при x<0,

f(x)= λе-λх за x≥0.

Функцията на разпределение на случайна променлива X, разпределена по експоненциалния закон, се дава по формулата:

DIV_ADBLOCK98">

https://pandia.ru/text/78/455/images/image095_4.jpg" width="161" height="119 src="> Фиг. 6

Математическото очакване, дисперсията и стандартното отклонение на експоненциалното разпределение са съответно равни на:

M(X)= , D(X)=, σ (Х)=

По този начин математическото очакване и стандартното отклонение на експоненциалното разпределение са равни едно на друго.

Вероятността X да попадне в интервала (a;b) се изчислява по формулата:

P(a<Х

Задача No2.Средното време на безотказна работа на устройството е 100 часа. Ако приемем, че времето на безотказна работа на устройството има експоненциален закон на разпределение, намерете:

а) плътност на разпределението на вероятностите;

б) разпределителна функция;

в) вероятността безаварийната работа на устройството да надхвърли 120 часа.

Решение: Съгласно условието, математическото разпределение M(X)=https://pandia.ru/text/78/455/images/image098_10.gif" height="43 src="> 0 при x<0,

a) f(x)= 0,01e -0,01x за x≥0.

b) F(x)= 0 при x<0,

1-e -0,01x при x≥0.

в) Намираме желаната вероятност с помощта на функцията на разпределение:

P(X>120)=1-F(120)=1-(1- e -1.2)= e -1.2≈0.3.

§ 3. Нормален закон на разпределение

определение: Непрекъсната случайна променлива X има нормален закон на разпределение (закон на Гаус), ако неговата плътност на разпределение има формата:

,

където m=M(X), σ2=D(X), σ>0.

Кривата на нормалното разпределение се нарича нормална или гаусова крива (фиг.7)

Нормалната крива е симетрична спрямо правата x=m, има максимум при x=a, равен на .

Функцията на разпределение на случайна величина X, разпределена по нормалния закон, се изразява чрез функцията на Лаплас Ф (x) по формулата:

,

където е функцията на Лаплас.

коментар: Функцията Ф(х) е нечетна (Ф(-х)=-Ф(х)), освен това за х>5 можем да приемем Ф(х) ≈1/2.

Графиката на функцията на разпределение F(x) е показана на фиг. 8

https://pandia.ru/text/78/455/images/image106_4.jpg" width="218" height="33">

Вероятността абсолютната стойност на отклонението да е по-малка от положително число δ се изчислява по формулата:

По-специално, за m=0 е в сила следното равенство:

"Правилото на трите сигми"

Ако една случайна променлива X има нормален закон на разпределение с параметри m и σ, тогава е почти сигурно, че нейната стойност е в интервала (a-3σ; a+3σ), т.к.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image110_2.jpg" width="157" height="57 src=">a)

б) Да използваме формулата:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image112_2.jpg" width="369" height="38 src=">

От таблицата на стойностите на функцията Ф(х) намираме Ф(1,5)=0,4332, Ф(1)=0,3413.

И така, желаната вероятност:

P(28

Задачи за самостоятелна работа

3.1. Случайната величина X е равномерно разпределена в интервала (-3;5). намирам:

б) функция на разпределение F(x);

в) числени характеристики;

г) вероятност P(4<х<6).

3.2. Случайната променлива X е равномерно разпределена върху сегмента. намирам:

а) плътност на разпределение f(x);

б) функция на разпределение F(x);

в) числени характеристики;

г) вероятност P(3≤х≤6).

3.3. На магистралата има автоматичен светофар, на който зелената светлина свети за 2 минути, жълта за 3 секунди, червена за 30 секунди и т.н. Кола се движи по магистралата в произволен момент от времето. Намерете вероятността една кола да премине покрай светофара, без да спре.

3.4. Влаковете на метрото се движат редовно на интервали от 2 минути. Пътник влиза в платформата в произволен момент. Каква е вероятността пътник да чака повече от 50 секунди за влак? Намерете математическото очакване на случайната величина X – времето за изчакване на влака.

3.5. Намерете дисперсията и стандартното отклонение на експоненциалното разпределение, дадено от функцията на разпределение:

F(x)= 0 при x<0,

1-ви-8x за x≥0.

3.6. Непрекъсната случайна променлива X се определя от плътността на разпределение на вероятностите:

f(x)= 0 при x<0,

0,7 e-0,7x при x≥0.

а) Назовете закона за разпределение на разглежданата случайна променлива.

б) Намерете функцията на разпределение F(X) и числените характеристики на случайната променлива X.

3.7. Случайната променлива X се разпределя според експоненциалния закон, определен от плътността на разпределение на вероятностите:

f(x)= 0 при x<0,

0,4 e-0,4 x при x≥0.

Намерете вероятността в резултат на теста X да приеме стойност от интервала (2,5;5).

3.8. Непрекъсната случайна променлива X се разпределя според експоненциалния закон, зададен от функцията на разпределение:

F(x)= 0 при x<0,

1-во-0,6x при x≥0

Намерете вероятността в резултат на теста X да вземе стойност от сегмента.

3.9. Очакваната стойност и стандартното отклонение на нормално разпределена случайна променлива са съответно 8 и 2. Намерете:

а) плътност на разпределение f(x);

б) вероятността в резултат на теста X да приеме стойност от интервала (10;14).

3.10. Случайната променлива X обикновено се разпределя с математическо очакване 3,5 и дисперсия 0,04. намирам:

а) плътност на разпределение f(x);

б) вероятността в резултат на теста X да вземе стойност от сегмента .

3.11. Случайната променлива X обикновено се разпределя с M(X)=0 и D(X)=1. Кое от събитията: |X|≤0.6 или |X|≥0.6 е по-вероятно?

3.12. Случайната променлива X е разпределена нормално с M(X)=0 и D(X)=1. От кой интервал (-0,5;-0,1) или (1;2) е по-вероятно да вземе стойност по време на един тест?

3.13. Текущата цена на акция може да се моделира с помощта на нормалния закон за разпределение с M(X)=10 den. единици и σ (X)=0,3 ден. единици намирам:

а) вероятността текущата цена на акцията да бъде от 9,8 ден. единици до 10,4 дни единици;

б) използвайки „правилото на трите сигми“, намерете границите, в които ще се намира текущата цена на акциите.

3.14. Веществото се претегля без систематични грешки. Случайните грешки при претеглянето се подчиняват на нормалния закон със средно квадратично отношение σ=5g. Намерете вероятността при четири независими експеримента да не възникне грешка при три претегляния в абсолютната стойност 3r.

3.15. Случайната променлива X е нормално разпределена с M(X)=12,6. Вероятността случайна променлива да попадне в интервала (11.4;13.8) е 0.6826. Намерете стандартното отклонение σ.

3.16. Случайната променлива X е разпределена нормално с M(X)=12 и D(X)=36. Намерете интервала, в който ще попадне случайната променлива X в резултат на теста с вероятност 0,9973.

3.17. Част, произведена от автоматична машина, се счита за дефектна, ако отклонението X на нейния контролиран параметър от номиналната стойност надвишава модул 2 мерни единици. Приема се, че случайната променлива X е нормално разпределена с M(X)=0 и σ(X)=0,7. Какъв процент дефектни части произвежда машината?

3.18. Параметърът X на частта се разпределя нормално с математическо очакване 2, равно на номиналната стойност и стандартно отклонение от 0,014. Намерете вероятността отклонението на X от номиналната стойност да не надвишава 1% от номиналната стойност.

Отговори

https://pandia.ru/text/78/455/images/image116_9.gif" width="14" height="110 src=">

б) 0 за x≤-3,

F(x)= ляво">

3.10. a)f(x)= ,

б) Р(3.1≤Х≤3.7) ≈0.8185.

3.11. |x|≥0,6.

3.12. (-0,5;-0,1).

3.13. а) P(9.8≤Х≤10.4) ≈0.6562.

3.14. 0,111.

3.15. σ=1,2.

3.16. (-6;30).

3.17. 0,4%.