Теорема 1.

Площта на квадрат е равна на квадрата на неговата страна.

Нека докажем, че площта S на квадрат със страна a е равна на a 2. Нека вземем квадрат със страна 1 и го разделим на n равни квадрата, както е показано на фигура 1. геометрична площ фигура теорема

Фигура 1.

Тъй като страната на квадрата е 1, тогава площта на всеки малък квадратравен. Страната на всеки малък квадрат е равна, т.е. равно на a. От това следва, че. Теоремата е доказана.

Теорема 2.

Площта на успоредник е равна на произведението на неговата страна и височината, начертана към тази страна (фиг. 2.):

S = a * h.

Нека ABCD е дадения успоредник. Ако не е правоъгълник, тогава един от неговите ъгли A или B е остър. За яснота нека ъгъл А е остър (фиг. 2).

Фигура 2.

Нека пуснем перпендикуляр AE от върха A към правата CB. Площта на трапеца AECD е равна на сумата от площите на успоредника ABCD и триъгълника AEB. Нека пуснем перпендикуляр DF от връх D до линия CD. Тогава площта на трапеца AECD е равна на сумата от площите на правоъгълника AEFD и триъгълника DFC. Прави триъгълници AEB и DFC са равни и следователно имат равни площи. От това следва, че площта на успоредника ABCD е равна на площта на правоъгълника AEFD, т.е. е равно на AE * AD. Отсечката AE е височината на успоредника, спусната до страната AD, и следователно S = a * h.Теоремата е доказана.

Теорема 3

Площта на триъгълник е равна на половината от произведението на неговата страна и неговата надморска височина(Фиг. 3.):

Фигура 3.

Доказателство.

Нека ABC е дадения триъгълник. Нека го добавим към успоредника ABCD, както е показано на фигурата (фиг. 3.1.).

Фигура 3.1.

Площта на успоредник е равна на сбора от площите на триъгълниците ABC и CDA. Тъй като тези триъгълници са еднакви, площта на успоредника е равна на удвоената площ на триъгълника ABC. Височината на успоредника, съответстващ на страната CB, е равна на височината на триъгълника, начертан на страната CB. Това предполага, че теоремата е доказана.

Теорема 3.1.

Площта на триъгълник е равна на половината от произведението на двете му страни и синуса на ъгъла между тях(Фигура 3.2.).

Фигура 3.2.

Доказателство.

Нека въведем координатна система с начало в точка C, така че B да лежи на положителната полуос C x, а точка A да има положителна ордината. Квадрат даден триъгълникможе да се изчисли по формулата, където h е височината на триъгълника. Но h е равно на ординатата на точка А, т.е. h=b sin C. Следователно, . Теоремата е доказана.

Теорема 4.

Площта на трапец е равна на произведението на половината от сбора на неговите основи и неговата височина(фиг. 4.).

Фигура 4.

Доказателство.

Нека ABCD е дадения трапец (фиг. 4.1.).

Фигура 4.1.

Диагоналът AC на трапец го разделя на два триъгълника: ABC и CDA.

Следователно площта на трапеца е равна на сумата от площите на тези триъгълници.

Площта на триъгълник ACD е равна на площта на триъгълник ABC. Височините AF и CE на тези триъгълници са равни на разстоянието h между успоредните прави BC и AD, т.е. височина на трапеца. Следователно, . Теоремата е доказана.

Областите на фигурите са от голямо значение в геометрията, както и в науката. В крайна сметка площта е една от най-важните величини в геометрията. Без познаване на областите е невъзможно да се реши множеството геометрични задачи, доказвайте теореми, обосновавайте аксиоми. Областите на фигурите са били от голямо значение преди много векове, но не са загубили значението си в модерен свят. Концепциите за площ се използват в много професии. Използват се в строителството, дизайна и много други човешки дейности. От това можем да заключим, че без развитието на геометрията, по-специално на концепциите за площи, човечеството не би могло да направи такъв голям пробив в областта на науката и технологиите.

Площ на геометрична фигура- числена характеристика на геометрична фигура, показваща размера на тази фигура (част от повърхността, ограничена от затворения контур на тази фигура). Размерът на площта се изразява чрез броя на квадратните единици, съдържащи се в нея.

Формули за площ на триъгълник

Формула за площта на триъгълник по страна и височина
Площ на триъгълникравно на половината от произведението на дължината на страна на триъгълник и дължината на надморската височина, начертана към тази страна
Формула за площта на триъгълник, базирана на три страни и радиуса на описаната окръжност
Формула за площта на триъгълник, базирана на трите страни и радиуса на вписаната окръжност
Площ на триъгълнике равно на произведението от полупериметъра на триъгълника и радиуса на вписаната окръжност.

Формули за квадратна площ

Формула за площта на квадрат по дължината на страната
Квадратна площравен на квадрата на дължината на неговата страна.
Формула за площта на квадрат по дължината на диагонала
Квадратна площравен на половината от квадрата на дължината на неговия диагонал.
S= 1 2
2

Формула за площ на правоъгълник

Площ на правоъгълник

Формули за площ на успоредник

Формула за площта на успоредник въз основа на дължината на страната и височината
Площ на успоредник
Формула за площта на успоредник, базирана на две страни и ъгъл между тях
Площ на успореднике равно на произведението от дължините на страните му, умножени по синуса на ъгъла между тях.
a b sin α

Формули за площта на ромба

Формула за площта на ромб въз основа на дължината и височината на страната
Площ на ромбравно на произведението на дължината на неговата страна и дължината на височината, спусната до тази страна.
Формула за площта на ромб въз основа на дължината на страната и ъгъла
Площ на ромбе равно на произведението на квадрата на дължината на неговата страна и синуса на ъгъла между страните на ромба.
Формула за площта на ромб въз основа на дължините на неговите диагонали
Площ на ромбравен на половината от произведението на дължините на неговите диагонали.

Формули за площ на трапец

Формула на Херон за трапец
Където S е площта на трапеца,
- дължини на основите на трапеца,
- дължини на страните на трапеца,

Площ: Площта е количество, което измерва размера на повърхността. В математиката площ на фигура геометрична концепция, размерът на плоска фигура. Повърхностна площ числена характеристикаповърхности. Квадрат в архитектурата, отворен... ... Wikipedia

Квадрат- Този термин има други значения, вижте Площ (значения). Площ Размер L² SI единици m² ... Wikipedia

Площ на триъгълник- Стандартна нотация Триъгълникът е най-простият многоъгълник, който има 3 върха (ъгли) и 3 страни; част от равнината, ограничена от три точки, които не лежат на една права и три отсечки, свързващи тези точки по двойки. Върхове на триъгълник ... Wikipedia

Площад Ленин (Петрозаводск)- Площад Ленин Петрозаводск ... Уикипедия

Площ (в геометрията)- Площ, една от основните величини, свързани с геометричните фигури. В най-простите случаи се измерва с броя на единичните квадрати, запълващи плоска фигура, т.е. квадрати със страна равно на еднодължина. Изчисляването на P. е било още в древни времена... ...

КВАДРАТ- една от количествените характеристики на плоските геометрични фигури и повърхности. Площта на правоъгълник е равна на произведението на дължините на две съседни страни. Площта на стъпаловидна фигура (т.е. такава, която може да бъде разделена на няколко съседни... ... Голям енциклопедичен речник

ПЛОЩ (в геометрията)- ПЛОЩ, една от количествените характеристики на плоските геометрични форми и повърхности. Площта на правоъгълник е равна на произведението на дължините на две съседни страни. Площта на стъпаловидна фигура (т.е. такава, която може да бъде разделена на няколко... ... Енциклопедичен речник

КВАДРАТ- ПЛОЩ, квадрати, пред. за площ и (остаряло) върху площ, мн.ч. и области, жени. (книга). 1. Част от равнина, ограничена от начупена или крива линия (геом.). Площ на правоъгълник. Площ на извита фигура. 2. само единици. Пространство,…… РечникУшакова

Район (арх.)- Квадратни, отворени, архитектурно организирани, рамкирани от всякакви сгради, конструкции или зелени площипространство, включено в системата на други градски пространства. Предшествениците на градските дворци са били церемониалните дворове на дворците и... Велика съветска енциклопедия

Площад на паметта (Тюмен)- Площад на паметта Тюмен Обща информация ... Wikipedia

Книги

Фигури по математика, физика и природа. Квадрати, триъгълници и кръгове, Катрин Шелдрик-Рос. За книгата Характеристики на книгата Повече от 75 необичайни майсторски класа ще помогнат да превърнете изучаването на геометрията във вълнуваща игра Книгата описва основните фигури възможно най-подробно: квадрати, кръгове и... Купете за 1206 рубли
Фигури по математика, физика и природа Квадрати, триъгълници и кръгове, Sheldrick-Ross K.. Повече от 75 необичайни майсторски класа ще помогнат да превърнете изучаването на геометрията във вълнуваща игра. Книгата описва основните фигури възможно най-подробно: квадрати, кръгове, триъгълници. Книгата ще научи...

Формула за площе необходимо да се определи площта на фигура, която е функция с реална стойност, дефинирана върху определен клас фигури от евклидовата равнина и отговаряща на 4 условия:

Положителност - площта не може да бъде по-малка от нула;
Нормализация - квадрат със странична единица е с площ 1;
Конгруентност - еднакви фигури имат еднаква площ;
Адитивност - площта на обединението на 2 фигури без общи вътрешни точки е равна на сумата от площите на тези фигури.

Формули за площта на геометричните фигури.

Геометрична фигура	Формула	рисуване
Резултатът от добавянето на разстоянията между средните точки на противоположните страни на изпъкнал четириъгълник ще бъде равен на неговия полупериметър.
Кръгов сектор. Площта на сектор от кръг е равна на произведението на неговата дъга и половината от радиуса.
Окръжен сегмент. За да получите площта на сегмента ASB, достатъчно е да извадите площта на триъгълника AOB от площта на сектора AOB.	S = 1 / 2 R(s - AC)
Площта на елипсата е равна на произведението на дължините на голямата и малката полуос на елипсата и числото pi.
Елипса. Друг вариант за изчисляване на площта на елипса е през два от нейните радиуси.
Триъгълник. През основата и височината. Формула за площта на кръг, използвайки неговия радиус и диаметър.
Квадрат . През неговата страна. Площта на квадрат е равна на квадрата на дължината на неговата страна.
Квадрат. Чрез неговите диагонали. Площта на квадрат е равна на половината от квадрата на дължината на неговия диагонал.
Правилен многоъгълник. За да се определи площта на правилен многоъгълник, е необходимо да се раздели на равни триъгълници, които биха имали общ връх в центъра на вписания кръг.	S= r p = 1/2 r n a

Определен интеграл. Как да изчислим площта на фигура

Нека преминем към разглеждане на приложенията на интегралното смятане. В този урок ще анализираме типичната и най-често срещана задача – как да използваме определен интеграл за изчисляване на площта на равнинна фигура. Най-накрая търси смисъл в висша математика- дано го намерят. Човек никога не знае. В реалния живот ще трябва да приближите парцел за дача с помощта на елементарни функции и да намерите неговата площ с помощта на определен интеграл.

За да усвоите успешно материала, трябва:

1) Разберете неопределен интегралпоне на средно ниво. Следователно манекените трябва първо да прочетат урока не.

2) Да може да приложи формулата на Нютон-Лайбниц и да изчисли определения интеграл. Можете да установите топли приятелски отношения с определени интеграли на страницата Определен интеграл. Примери за решения.

Всъщност, за да намерите площта на фигура, нямате нужда от толкова много познания за неопределения и определен интеграл. Задачата „изчисляване на площта с помощта на определен интеграл“ винаги включва изграждане на чертеж, много повече актуален въпросще бъдат вашите знания и умения в рисуването. В тази връзка е полезно да опресните паметта си на графиките на основните елементарни функции, и като минимум да могат да конструират права линия, парабола и хипербола. Това може да стане (за мнозина е необходимо) с помощта на методически материали статии за геометрични трансформации на графики.

Всъщност всеки е запознат със задачата за намиране на лицето с помощта на определен интеграл още от училище и няма да отидем много по-далеч от училищна програма. Тази статия може изобщо да не съществува, но факт е, че проблемът възниква в 99 от 100 случая, когато ученик страда от омразно училище и ентусиазирано овладява курс по висша математика.

Материалите на този семинар са представени просто, подробно и с минимум теория.

Нека започнем с извит трапец.

Криволинеен трапеце плоска фигура, ограничена от ос, прави линии и графиката на функция, непрекъсната на интервал, който не променя знака на този интервал. Нека тази фигура се намира не по-нискоос x:

Тогава площта на криволинейния трапец е числено равна на определен интеграл. Всеки определен интеграл (който съществува) има много добро геометрично значение. В час Определен интеграл. Примери за решенияКазах, че определен интеграл е число. И сега е време да посочим още един полезен факт. От гледна точка на геометрията, определеният интеграл е ПЛОЩ.

т.е. определеният интеграл (ако съществува) геометрично съответства на площта на определена фигура. Например, разгледайте определения интеграл. Интеграндът определя крива на равнината, разположена над оста (желаещите могат да направят чертеж), а самият определен интеграл е числено равен на площта на съответния криволинеен трапец.

Пример 1

Това е типично изявление за присвояване. Първата и най-важна точка в решението е изграждането на чертеж. Освен това чертежът трябва да бъде конструиран ДЯСНО.

Когато конструирате чертеж, препоръчвам следния ред: на първо времепо-добре е да се конструират всички прави линии (ако съществуват) и само Тогава– параболи, хиперболи, графики на други функции. По-изгодно е да се изграждат графики на функции точка по точка, техниката на изграждане точка по точка можете да намерите в референтния материал Графики и свойства на елементарни функции. Там можете да намерите и много полезен материал за нашия урок - как бързо да построим парабола.

В този проблем решението може да изглежда така.
Нека завършим чертежа (обърнете внимание, че уравнението дефинира оста):

Няма да засенчвам извития трапец, тук е очевидно за каква област говорим. Решението продължава така:

На сегмента е разположена графиката на функцията над оста, Ето защо:

отговор:

Кой има затруднения с изчисляването на определения интеграл и прилагането на формулата на Нютон-Лайбниц , вижте лекцията Определен интеграл. Примери за решения.

След като задачата е изпълнена, винаги е полезно да погледнете рисунката и да разберете дали отговорът е реален. В този случай ние броим броя на клетките в чертежа „на око“ - добре, ще има около 9, което изглежда е вярно. Абсолютно ясно е, че ако получим, да речем, отговора: 20 квадратни единици, то очевидно е, че някъде е допусната грешка - 20 клетки очевидно не се вписват във въпросната цифра, най-много дузина. Ако отговорът е отрицателен, значи и задачата е решена неправилно.

Пример 2

Изчислете площта на фигурата, ограничени от линии, , и ос

Това е пример за независимо решение. Цялостно решениеи отговорът в края на урока.

Какво да направите, ако се намира извитият трапец под оста?

Пример 3

Изчислете площта на фигурата, ограничена от линии и координатни оси.

Решение: Да направим рисунка:

Ако се намира извит трапец под оста(или поне не по-високодадена ос), тогава неговата площ може да се намери с помощта на формулата:
В този случай:

внимание! Не трябва да се бъркат двата типа задачи:

1) Ако бъдете помолени да решите просто определен интеграл без никакъв геометричен смисъл, тогава може да бъде отрицателен.

2) Ако бъдете помолени да намерите площта на фигура, като използвате определен интеграл, тогава площта винаги е положителна! Ето защо минусът се появява в току-що обсъдената формула.

На практика най-често фигурата се намира както в горната, така и в долната полуравнина и следователно от най-простите училищни задачи преминаваме към по-смислени примери.

Пример 4

Намерете площта на равнинна фигура, ограничена от линиите , .

Решение: Първо трябва да завършите чертежа. Най-общо казано, когато конструираме чертеж в задачи с площи, най-много се интересуваме от точките на пресичане на линиите. Нека намерим пресечните точки на параболата и правата. Това може да стане по два начина. Първият метод е аналитичен. Решаваме уравнението:

Това означава, че долната граница на интеграция е горна границаинтеграция
Ако е възможно, по-добре е да не използвате този метод..

Много по-изгодно и по-бързо е да се изграждат линии точка по точка, а границите на интеграция стават ясни „от само себе си“. Техниката за конструиране точка по точка за различни графики е разгледана подробно в помощта Графики и свойства на елементарни функции. Независимо от това, аналитичният метод за намиране на граници все още понякога трябва да се използва, ако например графиката е достатъчно голяма или подробната конструкция не разкрива границите на интегриране (те могат да бъдат дробни или ирационални). И ние също ще разгледаме такъв пример.

Нека се върнем към нашата задача: по-рационално е първо да построим права линия и едва след това парабола. Да направим чертежа:

Повтарям, че при поточковото конструиране границите на интеграция най-често се откриват „автоматично“.

А сега и работещата формула: Ако има някаква непрекъсната функция на сегмента по-голямо или равно нанякаква непрекъсната функция , тогава площта на фигурата, ограничена от графиките на тези функции и линиите , , може да се намери с помощта на формулата:

Тук вече не е нужно да мислите къде се намира фигурата - над оста или под оста, и, грубо казано, има значение коя графика е ПО-ВИСОКА(спрямо друга графика), и кое е ПО-ДОЛУ.

В разглеждания пример е очевидно, че на сегмента параболата е разположена над правата линия и следователно е необходимо да се извади от

Завършеното решение може да изглежда така:

Желаната фигура е ограничена от парабола отгоре и права линия отдолу.
На сегмента, съгласно съответната формула:

отговор:

Всъщност училищната формула за площта на криволинейния трапец в долната полуравнина (вижте прост пример № 3) е специален случайформули . Тъй като оста е определена от уравнението, и графиката на функцията е разположена не по-високооси, тогава

А сега няколко примера за вашето собствено решение

Пример 5

Пример 6

Намерете площта на фигурата, ограничена от линиите , .

При решаване на задачи, включващи изчисляване на площ с помощта на определен интеграл, понякога се случва забавна случка. Чертежът е направен правилно, изчисленията са правилни, но поради невнимание... беше намерена зоната на грешната фигура, точно така твоят смирен слуга се прецака няколко пъти. тук истински случайот живота:

Пример 7

Изчислете площта на фигурата, ограничена от линиите , , , .

Решение: Първо, нека направим чертеж:

...Ех, рисунката излезе скапана, но май всичко се чете.

Фигурата, чиято площ трябва да намерим, е оцветена в синьо(погледнете внимателно състоянието - колко е ограничена фигурата!). Но на практика, поради невнимание, често се случва „бъг“, че трябва да намерите областта на фигура, която е засенчена в зелено!

Този пример е полезен и с това, че изчислява площта на фигура с помощта на две определени интеграли. наистина:

1) На сегмента над оста има графика на права линия;

2) На сегмента над оста има графика на хипербола.

Съвсем очевидно е, че областите могат (и трябва) да бъдат добавени, следователно:

отговор:

Да преминем към друга смислена задача.

Пример 8

Изчислете площта на фигура, ограничена от линии,
Нека представим уравненията в "училищна" форма и да направим чертеж точка по точка:

От чертежа става ясно, че нашата горна граница е „добра“: .
Но каква е долната граница?! Ясно е, че това не е цяло число, но какво е? може би Но къде е гаранцията, че чертежът е направен с перфектна точност, може да се окаже, че... Или корена. Ами ако построим графиката неправилно?

В такива случаи трябва да отделите допълнително време и да изясните аналитично границите на интеграцията.

Нека намерим пресечните точки на права линия и парабола.
За да направим това, решаваме уравнението:

,

Наистина,.

По-нататъшното решение е тривиално, основното е да не се бъркате в заместванията и знаците, изчисленията тук не са най-простите.

На сегмента , по съответната формула:

отговор:

Е, за да завършим урока, нека разгледаме още две трудни задачи.

Пример 9

Изчислете площта на фигурата, ограничена от линиите , ,

Решение: Нека изобразим тази фигура на чертежа.

По дяволите, забравих да подпиша графика и, съжалявам, не исках да преработвам снимката. Не е ден за теглене, накратко, днес е денят =)

За изграждането точка по точка трябва да знаете външен видсинусоиди (и като цяло е полезно да се знае графики на всички елементарни функции), както и някои синусови стойности, те могат да бъдат намерени в тригонометрична таблица. В някои случаи (както в този случай) е възможно да се изгради схематичен чертеж, на който графиките и границите на интегриране трябва да бъдат фундаментално правилно показани.

Тук няма проблеми с границите на интегриране, те следват директно от условието: „x“ се променя от нула на „pi“. Нека вземем още едно решение:

На сегмента графиката на функцията е разположена над оста, следователно: