Основни понятия. Теореми за събиране и умножение.
Формули на пълната вероятност, Бейс, Бернули. Теореми на Лаплас.
Въпроси
- Предмет на теорията на вероятностите.
- Видове събития.
- Класическа дефиниция на вероятността.
- Статистическа дефиниция на вероятността.
- Геометрична дефинициявероятности.
- Теорема за събиране на вероятности за несъвместими събития.
- Теорема за умножаване на вероятностите за независими събития.
- Условна вероятност.
- Умножаване на зависими събития.
- Добавяне на съвместни събития.
- Формула за пълна вероятност.
- Формула на Бейс.
13. Бином, полиномен закон на разпределение.
- Предмет на теорията на вероятностите. Основни понятия.
Събитие в теорията на вероятностите е всеки факт, който може да възникне в резултат на някакъв опит (тест).
Например:Стрелецът стреля в целта. Изстрелът е изпитание, попадението в целта е събитие. Събитията обикновено се обозначават
Едно-единствено случайно събитие е следствие от множество случайни причини, които много често не могат да бъдат отчетени. Въпреки това, ако разгледаме масови хомогенни събития (наблюдавани много пъти по време на експеримент при едни и същи условия), тогава те се оказват обект на определени модели: ако хвърлите монета при едни и същи условия голям брой пъти, можете да предвидите с малка грешка, че броят на срещанията на герба ще бъде равен на половината от броя на хвърлянията.
Предмет на теорията на вероятностите е изследването на вероятностните модели на масови хомогенни случайни събития. Методите на теорията на вероятностите се използват широко в теориите за надеждност, стрелба, автоматично управление и др. Теорията на вероятностите служи за основа на математическата и приложна статистика, която от своя страна се използва при планирането и организирането на производството, при анализа на технологичните процеси и др.
Дефиниции.
1. Ако в резултат на преживяното събитието
а) винаги ще се случи, тогава това е надеждно събитие,
б) никога няма да се случи, тогава - невъзможно събитие,
в) може да се случи, може и да не се случи, тогава е случайно (възможно) събитие.
2. Събитията се наричат еднакво вероятни, ако има причина да се смята, че никое от тези събития няма по-голям шанс да се случи в резултат на опит от други.
3. Събитията и са съвместни (несъвместими), ако настъпването на едно от тях не изключва (изключва) настъпването на другото.
4. Група от събития е съвместима, ако поне две събития от тази група са съвместими, в противен случай тя е несъвместима.
5. Група от събития се нарича пълна, ако едно от тях определено ще се случи в резултат на преживяването.
Пример 1.Произвеждат се три изстрела по мишената: Let - уцелване (пропускане) на първия изстрел - на втория изстрел - на третия изстрел. Тогава
а) - обща група от еднакво възможни събития.
б) - пълна група от несъвместими събития. - събитие, което е обратното.
в) - пълна група от събития.
Класическа и статистическа вероятност
Класическият метод за определяне на вероятността се използва за пълна група от еднакво възможни несъвместими събития.
Всяко събитие в тази група ще се нарича случай или елементарен резултат. Във връзка с всяко събитие случаите се разделят на благоприятни и неблагоприятни.
Определение 2.Вероятността за събитие е количеството
където е броят на случаите, благоприятни за настъпване на събитието, - общ бройеднакво възможни случаи в даден експеримент.
Пример 2.Хвърлят се два зара. Нека събитието - сумата от изпуснатите точки е равно на . Намери .
а) Грешно решение. Има само 2 възможни случая: и - пълна група от несъвместими събития. Само един случай е благоприятен, т.е. 
Това е грешка, тъй като те не са еднакво възможни.
б) Общо еднакво възможни случаи. Благоприятни случаи: пролапс
Слабостите на класическата дефиниция са:
1. - броят на случаите е краен.
2. Резултатът от експеримент много често не може да бъде представен под формата на набор от елементарни събития (случаи).
3. Трудно е да се посочат причините случаите да се считат за еднакво възможни.
Нека се проведат поредица от тестове.
Определение 3.Относителната честота на събитието е количеството
където е броят опити, в които са се появили събития и е общият брой опити.
Дългосрочните наблюдения показват, че в различни експерименти при достатъчно големи
Тя се променя малко, варирайки около някакво постоянно число, което наричаме статистическа вероятност.
Вероятността има следните свойства:
Алгебра на събитията
7.3.1 Дефиниции.
8. Сборът или обединението на няколко събития е събитие, състоящо се от поне едно от тях.
9. Продуктът от няколко събития е събитие, състоящо се от съвместното възникване на всички тези събития.
От пример 1. 
- поне едно попадение с три изстрела, - попадение с първи и втори изстрел и пропуск с трето.
Точно едно попадение.
Поне две попадения.
10. Две събития се наричат независими (зависими), ако вероятността за едно от тях не зависи (зависи) от настъпването или ненастъпването на другото.
11. Няколко събития се наричат колективно независими, ако всяко от тях и всяка линейна комбинация от останалите събития са независими събития.
12. Условна вероятност 
е вероятността за събитие, изчислена при предположението, че събитието се е случило.
7.3.2 Теорема за умножение на вероятностите.
Вероятността за съвместно възникване (производство) на няколко събития е равна на произведението на вероятността за едно от тях от условните вероятности на останалите събития, изчислени при допускането, че всички предишни събития са се случили
Следствие 1.Ако - са съвместно независими, тогава
Наистина: от .
Пример 3.В урната има 5 бели, 4 черни и 3 сини топки. Всеки тест се състои от теглене на една топка на случаен принцип от урна. Каква е вероятността при първия опит да се появи бяла топка, при втория – черна топка, при третия – синя топка, ако
а) всеки път, когато топката се върне в урната.
- в урната след първия тест на топките 4 от тях са бели. . Оттук
б) топката не се връща в урната. След това - независими в съвкупност и
7.3.3 Теорема за добавяне на вероятности.
Вероятността поне едно от събитията да се случи е равна на
Следствие 2.Ако събитията са по двойки несъвместими, тогава
Наистина в този случай
Пример 4.Произвеждат се три изстрела по една мишена. Вероятността за попадение при първия изстрел е , при втория - , при третия - . Намерете вероятността за поне едно попадение.
Решение.Нека има попадение на първия изстрел, на втория, на третия и поне едно попадение на три изстрела. Тогава къде са съвместно независимите в съвкупността. Тогава
Следствие 3.Ако по двойки несъвместими събития образуват пълна група, тогава
Следствие 4.За противоположни събития
Понякога при решаване на проблеми е по-лесно да се намери вероятността за обратното събитие. Например в пример 4 - пропуск с три изстрела. Тъй като независими в съвкупност, а след това
Класическата дефиниция на вероятността предполага, че всички елементарни резултати еднакво възможно. Равенството на резултатите от даден експеримент се заключава поради съображения за симетрия (както в случая с монета или зар). Проблеми, при които могат да се използват съображения за симетрия, са редки на практика. В много случаи е трудно да се дадат причини да се вярва, че всички елементарни резултати са еднакво възможни. В тази връзка се наложи въвеждането на друго определение за вероятност, т.нар статистически. За да се даде това определение, първо се въвежда понятието относителна честота на дадено събитие.
Относителна честота на събитието, или честота, е съотношението на броя на експериментите, в които се е случило това събитие, към броя на всички извършени експерименти. Нека означим честотата на събитието с , след това по дефиниция
(1.4.1)
където е броят на експериментите, в които е настъпило събитието, и е броят на всички проведени експерименти.
Честотата на събитието има следните свойства.
Наблюденията позволиха да се установи, че относителната честота има свойствата на статистическа стабилност: в различни серии от полиномиални тестове (във всеки от които това събитие може или не може да се появи), тя приема стойности, доста близки до някаква константа. Тази константа, която е обективна числена характеристикаявленията се считат за вероятността от дадено събитие.
Вероятностсъбитие е числото, около което се групират стойностите на честотата на дадено събитие в различни серии от голям брой тестове.
Това определение на вероятността се нарича статистически.
В случай на статистическа дефиниция, вероятността има следните свойства:
1) вероятността за надеждно събитие е равна на единица;
2) вероятността от невъзможно събитие е нула;
3) вероятността за случайно събитие е между нула и единица;
4) вероятността от сумата от две несъвместими събития е равна на сумата от вероятностите на тези събития.
Пример 1.От 500 части, взети на случаен принцип, 8 бяха дефектни. Намерете честотата на дефектните части.
Решение.Тъй като в този случай = 8, = 500, тогава в съответствие с формула (1.4.1) намираме
Пример 2. Зарът се хвърля 60 пъти, докато шестсе появи 10 пъти. Каква е честотата на поява шестици?
Решение.От условията на задачата следва, че = 60, = 10, следователно
Пример 3.Сред 1000 новородени има 515 момчета. Каква е раждаемостта на момчетата?
Решение.Тъй като в този случай, , тогава 
.
Пример 4.В резултат на 20 изстрела в целта са получени 15 попадения. Какъв е процентът на попадение?
Решение.Тъй като = 20, = 15, тогава
Пример 5.При стрелба по мишена процентът на попадение = 0,75. Намерете броя на попаденията с 40 удара.
Решение.От формула (1.4.1) следва, че . Тъй като = 0,75, = 40, тогава . Така бяха получени 30 попадения.
Пример 6. www.. От засетите семена покълнаха 970 бр.
Решение.От формула (1.4.1) следва, че . Тъй като , , тогава . Така бяха засети 1000 семена.
Пример 7.На сегмент от естествената серия от 1 до 20 намерете честотата прости числа.
Решение.Върху посочената отсечка от естествената редица от числа се намират следните прости числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19; има общо 8. Тъй като = 20, = 8, тогава желаната честота
.
Пример 8.Извършени са три серии от многократни хвърляния на симетрична монета, изчислен е броят на появяванията на герба: 1) = 4040, = 2048, 2) = 12000, = 6019; 3) = 24000, = 12012. Намерете честотата на появата на герба във всяка серия от тестове.
Решение. В съответствие с формула (1.4.1) намираме:
Коментирайте.Тези примери показват, че при повтарящи се опити честотата на дадено събитие се различава малко от неговата вероятност. Вероятността да се появи герб при хвърляне на монета е p = 1/2 = 0,5, тъй като в този случай n = 2, m = 1.
Пример 9.Сред 300-те части, произведени на автоматична машина, имаше 15, които не отговаряха на стандарта. Намерете честотата на поява на нестандартни части.
Решение.В този случай n = 300, m = 15, така че
Пример 10.Инспекторът, проверявайки качеството на 400 продукта, установи, че 20 от тях са от втори клас, а останалите - от първи. Намерете честотата на продуктите от първи клас, честотата на продуктите от втори клас.
Решение.Първо, нека намерим броя на продуктите от първи клас: 400 - 20 = 380. Тъй като n = 400, = 380, тогава честотата на продуктите от първи клас
По същия начин намираме честотата на продуктите от втори клас:
Задачи
- Отделът за технически контрол откри 10 нестандартни продукта в партида от 1000 продукта. Намерете честотата на производство на дефектни продукти.
- За определяне качеството на семената са селектирани 100 семена, които са засети в лабораторни условия. 95 семена поникнаха нормално. Каква е честотата на нормалното покълване на семената?
- Намерете честотата на срещане на простите числа в следните отрязъци от естествения ред: а) от 21 до 40; б) от 41 до 50; в) от 51 до 70.
- Намерете честотата на срещане на цифрата при 100 хвърляния на симетрична монета. (Направете експеримента сами).
- Намерете честотата на шест от 90 хвърляния на зар.
- Като анкетирате всички ученици във вашия курс, определете честотата на рождените дни, които се падат през всеки месец от годината.
- Намерете честотата на думите от пет букви във всеки вестникарски текст.
Отговори
- 0,01. 2,0,95; 0,05. 3. а) 0,2; б) 0,3; в) 0,2.
Въпроси
- Каква е честотата на събитията?
- Каква е честотата на надеждно събитие?
- Каква е честотата на невъзможно събитие?
- Какви са границите на честотата на случайно събитие?
- Каква е честотата на сумата от две несъвместими събития?
- Какво определение на вероятността се нарича статистическо?
- Какви свойства има статистическата вероятност?
За да се сравнят количествено събитията едно с друго според степента на тяхната възможност, очевидно е необходимо да се свърже определено число с всяко събитие, което е толкова по-голямо, колкото по-вероятно е събитието. Ще наречем това число вероятност за събитие. по този начин вероятност за събитиее числена мярка за степента на обективна възможност за това събитие.
Първото определение на вероятността трябва да се счита за класическото, което произлиза от анализа на хазарта и първоначално се прилага интуитивно.
Класическият метод за определяне на вероятността се основава на концепцията за еднакво възможни и несъвместими събития, които са резултат от дадено преживяване и образуват пълна група от несъвместими събития.
Повечето прост примереднакво възможни и несъвместими събития, които образуват пълна група, е появата на една или друга топка от урна, съдържаща няколко топки с еднакъв размер, тегло и други осезаеми характеристики, различаващи се само по цвят, старателно смесени преди изваждане.
Следователно, тест, чиито резултати формират пълна група от несъвместими и еднакво възможни събития, се казва, че може да бъде сведен до модел от урни или модел от случаи, или се вписва в класическия модел.
Еднакво възможни и несъвместими събития, които съставляват пълна група, ще се наричат просто случаи или шансове. Освен това във всеки експеримент, наред със случаите, могат да възникнат и по-сложни събития.
Пример: Когато хвърляме зарове, заедно със случаите A i - загубата на i- точки от горната страна, можем да разглеждаме такива събития като B - загубата четно числоточки, C - разгръщане на брой точки, кратни на три...
Във връзка с всяко събитие, което може да се случи по време на експеримента, случаите се разделят на благоприятен, при които това събитие настъпва, и неблагоприятни, при които събитието не настъпва. В предишния пример събитие B е предпочитано от случаи A 2, A 4, A 6; събитие C - случаи A 3, A 6.
Класическа вероятностнастъпването на определено събитие се нарича отношението на броя на случаите, благоприятни за настъпването на това събитие, към общия брой еднакво възможни, несъвместими случаи, които съставляват пълната група в даден експеримент:
Къде P(A)- вероятност за настъпване на събитие А; м- броят на случаите, благоприятни за събитие А; п- общ брой случаи.
Примери:
1) (вижте примера по-горе) P(B)= , P(C) =.
2) Урната съдържа 9 червени и 6 сини топки. Намерете вероятността една или две произволно изтеглени топки да се окажат червени.
А- червена топка, изтеглена на случаен принцип:
м= 9, п= 9 + 6 = 15, P(A)=
б- две произволно изтеглени червени топки:
Следните свойства следват от класическата дефиниция на вероятността (покажете себе си):
1) Вероятността за невъзможно събитие е 0;
2) Вероятността за надеждно събитие е 1;
3) Вероятността за всяко събитие е между 0 и 1;
4) Вероятността за събитие, противоположно на събитие А,
Класическата дефиниция на вероятността предполага, че броят на резултатите от едно изпитание е краен. В практиката много често има тестове, чийто брой възможни случаи е безкраен. В допълнение, слабостта на класическата дефиниция е, че много често е невъзможно да се представи резултатът от теста под формата на набор от елементарни събития. Още по-трудно е да се посочат причините елементарните резултати от теста да се считат за еднакво възможни. Обикновено равнопоставеността на резултатите от елементарния тест се заключава от съображения за симетрия. Такива задачи обаче са много редки на практика. Поради тези причини, наред с класическата дефиниция за вероятност се използват и други дефиниции за вероятност.
Статистическа вероятностсъбитие A е относителната честота на възникване на това събитие в извършените тестове:
където е вероятността за възникване на събитие А;
Относителна честота на поява на събитие А;
Броят опити, в които се появи събитие А;
Общ брой опити.
За разлика от класическата вероятност, статистическата вероятност е експериментална характеристика.
Пример: За контрол на качеството на продуктите от партида са избрани на случаен принцип 100 продукта, сред които 3 продукта са се оказали дефектни. Определете вероятността от брак.
Статистическият метод за определяне на вероятността е приложим само за онези събития, които имат следните свойства:
Разглежданите събития трябва да бъдат резултатите само от тези тестове, които могат да бъдат възпроизведени неограничен брой пъти при един и същи набор от условия.
Събитията трябва да имат статистическа стабилност (или стабилност на относителните честоти). Това означава, че в различни серии от тестове относителната честота на събитието се променя малко.
Броят на опитите, водещи до събитие А, трябва да е доста голям.
Лесно е да се провери, че свойствата на вероятността, произтичащи от класическата дефиниция, се запазват и в статистическата дефиниция на вероятността.
Понятието вероятност за събитие се отнася до основните понятия на теорията на вероятностите. Вероятността е количествена мярка за възможността за възникване на случайно събитие A. Означава се с P(A) и има следните свойства.
Вероятността е положително число, вариращо от нула до едно:
Вероятността за невъзможно събитие е нула
Вероятността за надеждно събитие е равна на единица
Класическа дефиниция на вероятността. Нека = (1, 2,…, n) е пространството от елементарни събития, които описват всички възможни елементарни резултати и образуват пълна група от несъвместими и еднакво възможни събития. Нека събитие A съответства на подмножество от m елементарни резултата
тези резултати се наричат благоприятни за събитие А. В класическата дефиниция на вероятността се смята, че вероятността от всеки елементарен резултат
и вероятността за събитие А, благоприятствано от m резултата, е равна на
Оттук и определението:
Вероятността за събитие А е отношението на броя на резултатите, благоприятни за това събитие, към общия брой на всички еднакво възможни несъвместими елементарни резултати, които образуват пълната група. Вероятността се дава от формулата
където m е броят на елементарните резултати, благоприятни за събитие А, и е броят на всички възможни елементарни резултати на теста.
Класическата дефиниция на вероятността дава възможност в някои задачи да се изчисли аналитично вероятността за събитие.
Нека се проведе експеримент, в резултат на който могат да се случат определени събития. Ако тези събития образуват пълна група от по двойки несъвместими и еднакво възможни събития, тогава се казва, че опитът има симетрия на възможните резултати и се свежда до „схема от случаи“. За експерименти, които са сведени до схема на случай, е приложима класическата вероятностна формула.
Пример 1.13. Лотарията тегли 1000 билета, включително 5 печеливши. Определете вероятността при закупуване на един билет за лотария да получите печалба
Елементарното събитие от това преживяване е закупуването на билет. Всеки лотариен билет е уникален, тъй като има собствен номер, а закупеният билет не се връща. Събитие А е, че печелившият билет е закупен. При закупуване на един от 1000 билета, всички възможни резултати от този експеримент ще бъдат = 1000, резултатите образуват пълна група от несъвместими събития. Броят на резултатите, благоприятни за събитие А, ще бъде равен на =5. Тогава вероятността да спечелите чрез закупуване на един билет е равна на
P(A) = = 0,005
За директно изчисляване на вероятностите е удобно да се използват комбинаторни формули. Нека демонстрираме това, като използваме примера на проблем с контрола на пробите.
Пример 1.14 Нека има партида продукти, някои от които са дефектни. Част от продуктите се избират за контрол. Каква е вероятността сред избраните продукти да има точно дефектни?
Елементарното събитие в този експеримент е изборът на елементарно подмножество от оригиналното елементарно множество. Изборът на всяка част от продукти от партида продукти може да се счита за еднакво възможни събития, така че този опит се свежда до схема от случаи. За да изчислите вероятността на събитието A = (сред дефектни продукти, ако са избрани от партида дефектни продукти), можете да приложите класическата вероятностна формула. Броят на всички възможни резултати от експеримента е броят на начините, по които продуктите могат да бъдат избрани от партида, той е равен на броя на комбинациите от елементи по: . Събитие, благоприятно за събитие А, се състои от произведението на две елементарни събития: (от дефектни продукти _ са избрани (от _ стандартни продукти _ са избрани). Броят на такива събития, в съответствие с правилото за умножение на комбинаториката, ще бъде
Тогава желаната вероятност
Например нека =100, =10, =10, =1. Тогава вероятността сред избраните 10 продукта да има точно един дефектен продукт е равна на
Статистическа дефиниция на вероятността. За да се приложи класическата дефиниция на вероятността в условията на даден експеримент, е необходимо експериментът да съответства на модела от случаи и за мнозинството реални проблемитези изисквания са практически невъзможни за изпълнение. Вероятността от събитие обаче е обективна реалност, която съществува независимо от това дали класическата дефиниция е приложима или не. Има нужда от друго определение на вероятността, приложимо, когато опитът не съответства на модела на случаите.
Нека експериментът се състои от провеждане на серия от тестове, повтарящи един и същ експеримент, и нека събитие А се случи веднъж в серия от експерименти. Относителната честота на събитието W(A) е съотношението на броя на експериментите, в които е настъпило събитие А, към броя на всички проведени експерименти
Експериментално е доказано, че честотата има свойството на стабилност: ако броят на експериментите в серия е достатъчно голям, тогава относителните честоти на събитие А в различни серии от един и същ експеримент се различават малко една от друга.
Статистическата вероятност за събитие е числото, към което клонят относителните честоти, ако броят на експериментите нараства неограничено.
За разлика от класическата априорна (изчислена преди експеримента) вероятност, статистическата вероятност е апостериорна (получена след експеримента).
Пример 1.15 Метеорологичните наблюдения в продължение на 10 години в определен район показват, че броят на дъждовните дни през юли през различните години е: 2; 4; 3; 2; 4; 3; 2; 3; 5; 3. Определете вероятността всеки конкретен ден през юли да бъде дъждовен
Събитие А е, че ще вали в определен ден от юли, например 10 юли. Предоставената статистика не съдържа информация кои конкретни дни през юли е валяло, така че можем да приемем, че всички дни са еднакво възможни за това събитие. Нека една година е една поредица от тестове от 31 еднодневни. Има общо 10 серии. Относителните честоти на сериите са:
Честотите са различни, но се наблюдава групиране около числото 0,1. Това число може да се приеме като вероятност за събитие А. Ако вземем всички дни от юли за десет години като една серия от тестове, тогава статистическата вероятност за събитие А ще бъде равна на
Геометрично определение на вероятността. Тази дефиниция на вероятността обобщава класическата дефиниция за случая, когато пространството от елементарни резултати включва неизброимо множество от елементарни събития и възникването на всяко от събитията е еднакво възможно. Геометричната вероятност за събитие А е съотношението на мярката (А) на региона, благоприятен за настъпване на събитието, към мярката () на целия регион
Ако площите представляват а) дължини на сегменти, б) площи на фигури, в) обеми на пространствени фигури, тогава геометричните вероятности са съответно равни
Пример 1.16. Рекламите са разлепени на интервали от 10 метра по протежение на търговския ред. Някои клиенти имат ширина на видимост от 3 метра. Каква е вероятността той да не забележи рекламата, ако се движи перпендикулярно на търговския ред и може да пресече реда във всяка точка?
Участъкът от търговския ред, разположен между две реклами, може да бъде представен като прав сегмент AB (фиг. 1.6). След това, за да забележи купувачът рекламите, той трябва да премине през прави отсечки AC или DV, равни на 3 m. Ако пресече търговския ред в една от точките на сегмента SD, чиято дължина е 4 m, тогава той няма да забележи рекламата. Вероятността за това събитие ще бъде
Както бе споменато по-горе, класическата дефиниция на вероятността предполага, че всички елементарни резултати са еднакво възможни. Равенството на експерименталните резултати се заключава поради съображения за симетрия. Проблеми, при които могат да се използват съображения за симетрия, са редки на практика. В много случаи е трудно да се дадат причини да се вярва, че всички елементарни резултати са еднакво възможни. В тази връзка се наложи въвеждането на друго определение за вероятност, наречено статистическо. Нека първо въведем понятието относителна честота.
Относителна честота на събитието, или честота, е съотношението на броя на експериментите, в които се е случило това събитие, към броя на всички извършени експерименти. Нека обозначим честотата на събитието Ачрез W(A),Тогава
Къде п– общ брой експерименти; м– брой експерименти, в които се е случило събитието А.
При малък брой експерименти честотата на събитието е до голяма степен случайна и може да варира значително от една група експерименти до друга. Например, при няколко десет хвърляния на монети е напълно възможно гербът да се появи 2 пъти (честота 0,2), при други десет хвърляния е възможно да получим 8 герба (честота 0,8). Въпреки това, с увеличаване на броя на експериментите, честотата на събитието все повече губи своя случаен характер; случайните обстоятелства, присъщи на всяко индивидуално преживяване, се отменят в масата и честотата има тенденция да се стабилизира, доближавайки се с малки колебания до определена средна стойност постоянна стойност. Тази константа, която е обективна числена характеристика на дадено явление, се счита за вероятност за дадено събитие.
Статистическа дефиниция на вероятността: вероятностсъбития назовават числото, около което се групират честотните стойности на дадено събитие в различни серии голям бройтестове.
Свойството за стабилност на честотата, многократно тествано експериментално и потвърдено от опита на човечеството, е една от най-характерните закономерности, наблюдавани при случайни явления. Съществува дълбока връзка между честотата на събитието и неговата вероятност, която може да се изрази по следния начин: когато оценяваме степента на вероятност за събитие, ние свързваме тази оценка с по-голяма или по-малка честота на случване на подобни събития в практиката. .
Геометрична вероятност
Класическата дефиниция на вероятността предполага, че броят на елементарните резултати е краен. На практика има експерименти, за които наборът от такива резултати е безкраен. За да се преодолее този недостатък на класическата дефиниция на вероятността, който е, че тя не е приложима към тестове с безкраен брой резултати, те въвеждат геометрични вероятности – вероятностите точка да попадне в област.
Да приемем, че на равнината е дадена квадратна област Ж, т.е. област с площ S G. В района Жсъдържа площ жплощ Sg. Към региона ЖТочка се хвърля на случаен принцип. Ще приемем, че хвърлената точка може да попадне в някаква част от зоната Жс вероятност, пропорционална на площта на тази част и независимо от нейната форма и местоположение. Нека събитието А– „хвърлената точка удря зоната ж", тогава геометричната вероятност на това събитие се определя по формулата:
Най-общо понятието геометрична вероятност се въвежда по следния начин. Нека означим мярката на площта ж(дължина, площ, обем) чрез mes g, и мярката на площта Ж- чрез мес Г ; нека също А– събитие „хвърлена точка удря зоната ж, който се съдържа в района Ж" Вероятност за попадение в района жточки, хвърлени в областта Ж, се определя по формулата
.
Задача. В кръг е вписан квадрат. Точка се хвърля в кръга произволно. Каква е вероятността точката да попадне в квадрата?
Решение.Нека радиусът на окръжността е Р, тогава площта на кръга е . Диагоналът на квадрата е , тогава страната на квадрата е , а площта на квадрата е . Вероятността за желаното събитие се определя като съотношението на площта на квадрата към площта на кръга, т.е. 
.
1. Какво се нарича тест (опит)?
2. Какво е събитие?
3. Кое събитие се нарича а) надеждно? б) случаен? в) невъзможно?
4. Какви събития се наричат а) несъвместими? б) става?
5. Кои събития се наричат противоположни а) несъвместими б) съвместими или случайни?
6. Какво се нарича пълна група от случайни събития?
7. Ако събитията не могат да се случат заедно в резултат на теста, ще бъдат ли несъвместими по двойки?
8. Формират ли събития Аи цялата група?
9. Какви елементарни резултати благоприятстват това събитие?
10. Каква дефиниция на вероятността се нарича класическа?
11. Какви са границите на вероятността за всяко събитие?
12. При какви условия се прилага класическата вероятност?
13. При какви условия се прилага геометричната вероятност?
14. Какво определение на вероятността се нарича геометрично?
15. Каква е честотата на събитието?
16. Каква дефиниция на вероятността се нарича статистическа?
1. Избира се произволно една буква от буквите на думата „консерватория“. Намерете вероятността тази буква да е гласна. Намерете вероятността това да е буквата "о".
2. Буквите “о”, “р”, “с”, “т” са изписани на еднакви карти. Намерете вероятността думата „кабел“ да се появи на произволно поставени карти в един ред.
3. В отбора има 4 жени и 3 мъже. Сред членовете на бригадата се разиграват 4 билета за театър. Каква е вероятността сред притежателите на билети да има 2 жени и 2 мъже?
4. Хвърлят се два зара. Намерете вероятността сумата от точки на двата зара да е по-голяма от 6.
5. Буквите l, m, o, o, t са написани на пет еднакви карти, каква е вероятността, изваждайки картите една по една, да получим думата „чук“ в реда, в който са се появили?
6. От 10 билета, 2 са печеливши?
7. Каква е вероятността в произволно избран двуцифрено числочислата са такива, че произведението им е равно на нула.
8. Число, което не надвишава 30, е избрано произволно. Намерете вероятността това число да е делител на 30.
9. На случаен принцип се избира число, което не надвишава 30. Намерете вероятността това число да е кратно на 3.
10. На случаен принцип се избира число, което не надвишава 50. Намерете вероятността това число да е просто.