Според Ван дер Ваерден е много вероятно съотношението в обща форма да е било известно във Вавилон около 18 век пр.н.е. д.
Около 400 г. пр.н.е. пр. н. е., според Прокъл, Платон е дал метод за намиране на питагорови триплети, съчетавайки алгебра и геометрия. Около 300 г. пр.н.е. д. Най-старото аксиоматично доказателство на Питагоровата теорема се появява в Елементи на Евклид.
Формулировки
Основната постановка съдържа алгебрични операции – в правоъгълен триъгълник, чиито дължини са равни a (\displaystyle a)И b (\displaystyle b), а дължината на хипотенузата е c (\displaystyle c), е изпълнено следното отношение:
.Възможна е и еквивалентна геометрична формулировка, прибягвайки до концепцията за площ на фигура: в правоъгълен триъгълник площта на квадрата, построен върху хипотенузата, е равна на сумата от площите на квадратите, построени върху крака. Теоремата е формулирана в тази форма в Елементите на Евклид.
Обратна теорема на Питагор- твърдение за правоъгълността на всеки триъгълник, чиито дължини на страните са свързани с отношението a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)). Като следствие, за всяка тройка положителни числа a (\displaystyle a), b (\displaystyle b)И c (\displaystyle c), така че a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), има правоъгълен триъгълник с катети a (\displaystyle a)И b (\displaystyle b)и хипотенуза c (\displaystyle c).
Доказателство
В научната литература има записани най-малко 400 доказателства на Питагоровата теорема, което се обяснява както с фундаменталното й значение за геометрията, така и с елементарния характер на резултата. Основните направления на доказателствата са: алгебрично използване на отношенията между елементите на триъгълник (например популярният метод на подобие), методът на площите, има и различни екзотични доказателства (например използване на диференциални уравнения).
Чрез подобни триъгълници
Класическото доказателство на Евклид е насочено към установяване на равенството на площите между правоъгълници, образувани чрез разрязване на квадрата над хипотенузата с височината на правия ъгъл с квадратите над катетите.
Използваната конструкция за доказателството е следната: за правоъгълен триъгълник с прав ъгъл C (\displaystyle C), квадрати върху катетите и и квадрати върху хипотенузата A B I K (\displaystyle ABIK)височина се изгражда CHи лъча, който го продължава s (\displaystyle s), разделяне на квадрата над хипотенузата на два правоъгълника и . Доказателството има за цел да установи равенството на лицата на правоъгълника A H J K (\displaystyle AHJK)с каре над крака A C (\displaystyle AC); по подобен начин се установява равенството на площите на втория правоъгълник, съставляващ квадрата над хипотенузата, и правоъгълника над другия катет.
Равенство на площите на правоъгълник A H J K (\displaystyle AHJK)И A C E D (\displaystyle ACED)се установява чрез съответствието на триъгълниците △ A C K (\displaystyle \триъгълник ACK)И △ A B D (\displaystyle \триъгълник ABD), площта на всеки от които е равна на половината от площта на квадратите A H J K (\displaystyle AHJK)И A C E D (\displaystyle ACED)съответно във връзка със следното свойство: площта на триъгълник е равна на половината от площта на правоъгълник, ако фигурите имат обща страна, а височината на триъгълника към общата страна е другата страна на правоъгълника. Конгруентността на триъгълниците следва от равенството на двете страни (страни на квадрати) и ъгъла между тях (съставен от прав ъгъл и ъгъл при A (\displaystyle A).
По този начин доказателството установява, че площта на квадрат над хипотенузата, съставен от правоъгълници A H J K (\displaystyle AHJK)И B H J I (\displaystyle BHJI), е равна на сумата от площите на квадратите върху катетите.
Доказателство за Леонардо да Винчи
Методът на площта включва и доказателство, намерено от Леонардо да Винчи. Нека е даден правоъгълен триъгълник △ A B C (\displaystyle \триъгълник ABC)с прав ъгъл C (\displaystyle C)и квадрати A C E D (\displaystyle ACED), B C F G (\displaystyle BCFG)И A B H J (\displaystyle ABHJ)(виж снимката). В това доказателство отстрани HJ (\displaystyle HJ)последният, от външната страна е построен триъгълник, равен △ A B C (\displaystyle \триъгълник ABC), освен това, отразени както спрямо хипотенузата, така и спрямо височината към нея (т.е. J I = B C (\displaystyle JI=BC)И H I = A C (\displaystyle HI=AC)). Направо C I (\displaystyle CI)разделя квадрата, построен върху хипотенузата, на две равни части, тъй като триъгълници △ A B C (\displaystyle \триъгълник ABC)И △ J H I (\displaystyle \триъгълник JHI)равни по конструкция. Доказателството установява съответствието на четириъгълниците C A J I (\displaystyle CAJI)И D A B G (\displaystyle DABG), площта на всеки от които се оказва, от една страна, равна на сумата от половината от площите на квадратите на краката и площта на оригиналния триъгълник, от друга страна, половината от площта на квадрата върху хипотенузата плюс площта на първоначалния триъгълник. Общо половината от сумата от площите на квадратите над краката е равна на половината от площта на квадрата над хипотенузата, което е еквивалентно на геометричната формулировка на Питагоровата теорема.
Доказателство по метода на безкрайно малките
Има няколко доказателства, използващи техниката на диференциалните уравнения. По-специално, на Харди се приписва доказателство, използващо безкрайно малки увеличения на краката a (\displaystyle a)И b (\displaystyle b)и хипотенуза c (\displaystyle c), и запазване на сходството с оригиналния правоъгълник, тоест осигуряване на следните диференциални отношения:
d a d c = c a (\displaystyle (\frac (da)(dc))=(\frac (c)(a))), d b d c = c b (\displaystyle (\frac (db)(dc))=(\frac (c)(b))).Използвайки метода за разделяне на променливи, от тях се извежда диференциално уравнение c d c = a d a + b d b (\displaystyle c\ dc=a\,da+b\,db), чието интегриране дава отношението c 2 = a 2 + b 2 + C o n s t (\displaystyle c^(2)=a^(2)+b^(2)+\mathrm (Const) ). Приложение на началните условия a = b = c = 0 (\displaystyle a=b=c=0)дефинира константата като 0, което води до твърдението на теоремата.
Квадратната зависимост в крайната формула се появява поради линейната пропорционалност между страните на триъгълника и увеличенията, докато сумата е свързана с независими приноси от нарастването на различните крака.
Вариации и обобщения
Подобни геометрични фигури от три страни
Важно геометрично обобщение на Питагоровата теорема е дадено от Евклид в Елементите, преминавайки от площите на квадратите отстрани към площите на произволни подобни геометрични фигури: сумата от площите на такива фигури, построени върху краката, ще бъде равна на площта на подобна фигура, построена върху хипотенузата.
Основната идея на това обобщение е, че площта на такава геометрична фигура е пропорционална на квадрата на всяко от нейните линейни измерения и по-специално на квадрата на дължината на всяка страна. Следователно, за подобни фигури с области A (\displaystyle A), B (\displaystyle B)И C (\displaystyle C), построен на крака с дълж a (\displaystyle a)И b (\displaystyle b)и хипотенуза c (\displaystyle c)Съответно важи следната връзка:
A a 2 = B b 2 = C c 2 ⇒ A + B = a 2 c 2 C + b 2 c 2 C (\displaystyle (\frac (A)(a^(2)))=(\frac (B )(b^(2)))=(\frac (C)(c^(2)))\,\Rightarrow \,A+B=(\frac (a^(2))(c^(2) ))C+(\frac (b^(2))(c^(2)))C).Тъй като според Питагоровата теорема a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), след това готово.
Освен това, ако е възможно да се докаже, без да се позовава на Питагоровата теорема, че за площите на три подобни геометрични фигури от страните на правоъгълен триъгълник е валидна следната връзка: A + B = C (\displaystyle A+B=C), тогава използвайки обратното доказателство на обобщението на Евклид, може да се изведе доказателство на Питагоровата теорема. Например, ако върху хипотенузата построим правоъгълен триъгълник, равен на началния с площ C (\displaystyle C), а отстрани - два подобни правоъгълни триъгълника с площи A (\displaystyle A)И B (\displaystyle B), тогава се оказва, че триъгълниците от страните се образуват в резултат на разделянето на първоначалния триъгълник на неговата височина, тоест сумата от двете по-малки площи на триъгълниците е равна на площта на третата, по този начин A + B = C (\displaystyle A+B=C)и чрез прилагане на връзката към подобни фигури се извежда Питагоровата теорема.
Косинусова теорема
Питагоровата теорема е специален случай на по-общата косинусова теорема, която свързва дължините на страните в произволен триъгълник:
a 2 + b 2 − 2 a b cos θ = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)-2ab\cos (\theta )=c^(2)),където е ъгълът между страните a (\displaystyle a)И b (\displaystyle b). Ако ъгълът е 90°, тогава cos θ = 0 (\displaystyle \cos \theta =0), а формулата се опростява до обичайната Питагорова теорема.
Свободен триъгълник
Съществува обобщение на Питагоровата теорема за произволен триъгълник, работещо единствено върху съотношението на дължините на страните, смята се, че е установено за първи път от сабийския астроном Табит ибн Кура. В него за произволен триъгълник със страни се вписва равнобедрен триъгълник с основа на страната c (\displaystyle c), като върхът съвпада с върха на оригиналния триъгълник, срещу страната c (\displaystyle c)и ъгли при основата, равни на ъгъла θ (\displaystyle \theta ), срещуположната страна c (\displaystyle c). В резултат на това се образуват два триъгълника, подобни на оригиналния: първият - със страни a (\displaystyle a), най-отдалечената от него страна на вписания равнобедрен триъгълник и r (\displaystyle r)- странични части c (\displaystyle c); вторият - симетрично на него отстрани b (\displaystyle b)със страната s (\displaystyle s)- съответната част от страната c (\displaystyle c). В резултат на това е изпълнена следната връзка:
a 2 + b 2 = c (r + s) (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c(r+s)),израждаща се в Питагоровата теорема при θ = π / 2 (\displaystyle \theta =\pi /2). Връзката е следствие от сходството на образуваните триъгълници:
c a = a r , c b = b s ⇒ c r + c s = a 2 + b 2 (\displaystyle (\frac (c)(a))=(\frac (a)(r)),\,(\frac (c) (b))=(\frac (b)(s))\,\Rightarrow \,cr+cs=a^(2)+b^(2)).Теорема на Папус за площите
Неевклидова геометрия
Питагоровата теорема се извлича от аксиомите на евклидовата геометрия и не е валидна за неевклидовата геометрия - изпълнението на питагоровата теорема е еквивалентно на постулата на евклидовия паралелизъм.
В неевклидовата геометрия връзката между страните на правоъгълен триъгълник непременно ще бъде във форма, различна от Питагоровата теорема. Например в сферичната геометрия и трите страни на правоъгълен триъгълник, които ограничават октанта на единичната сфера, имат дължина π / 2 (\displaystyle \pi /2), което противоречи на Питагоровата теорема.
Освен това Питагоровата теорема е валидна в хиперболичната и елиптичната геометрия, ако изискването триъгълникът да е правоъгълен се замени с условието сборът от два ъгъла на триъгълника да е равен на третия.
Сферична геометрия
За всеки правоъгълен триъгълник върху сфера с радиус R (\displaystyle R)(например, ако ъгълът в триъгълника е прав) със страни a , b , c (\displaystyle a,b,c)отношението между страните е:
cos (c R) = cos (a R) ⋅ cos (b R) (\displaystyle \cos \left((\frac (c)(R))\right)=\cos \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\right)).Това равенство може да се изведе като специален случай на теоремата за сферичен косинус, която е валидна за всички сферични триъгълници:
cos (c R) = cos (a R) ⋅ cos (b R) + sin (a R) ⋅ sin (b R) ⋅ cos γ (\displaystyle \cos \left((\frac ( c)(R))\right)=\cos \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\right)+\ sin \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \sin \left((\frac (b)(R))\right)\cdot \cos \gamma ). ch c = ch a ⋅ ch b (\displaystyle \operatorname (ch) c=\operatorname (ch) a\cdot \operatorname (ch) b),Къде ch (\displaystyle \operatorname (ch) )- хиперболичен косинус. Тази формула е специален случай на хиперболичната косинусова теорема, която е валидна за всички триъгълници:
ch c = ch a ⋅ ch b − sh a ⋅ sh b ⋅ cos γ (\displaystyle \operatorname (ch) c=\operatorname (ch) a\cdot \operatorname (ch) b-\operatorname (sh) a\cdot \име на оператор (sh) b\cdot \cos \gamma ),Къде γ (\displaystyle \gamma )- ъгъл, чийто връх е противоположен на страната c (\displaystyle c).
Използване на серията на Тейлър за хиперболичния косинус ( ch x ≈ 1 + x 2 / 2 (\displaystyle \operatorname (ch) x\приблизително 1+x^(2)/2)) може да се покаже, че ако хиперболичен триъгълник намалява (тоест, когато a (\displaystyle a), b (\displaystyle b)И c (\displaystyle c)клонят към нула), тогава хиперболичните отношения в правоъгълен триъгълник се доближават до отношението на класическата Питагорова теорема.
Приложение
Разстояние в двумерни правоъгълни системи
Най-важното приложение на Питагоровата теорема е определянето на разстоянието между две точки в правоъгълна координатна система: разстояние s (\displaystyle s)между точки с координати (a, b) (\displaystyle (a,b))И (c, d) (\displaystyle (c,d))е равно на:
s = (a − c) 2 + (b − d) 2 (\displaystyle s=(\sqrt ((a-c)^(2)+(b-d)^(2)))).За комплексните числа Питагоровата теорема дава естествена формула за намиране на модула на комплексно число - за z = x + y i (\displaystyle z=x+yi)тя е равна на дължината
Едно нещо, в което можете да сте сто процента сигурни е, че когато го попитат колко е квадратът на хипотенузата, всеки възрастен смело ще отговори: „Сборът от квадратите на катетите“. Тази теорема е твърдо вкоренена в съзнанието на всеки образован човек, но просто трябва да помолите някой да я докаже и могат да възникнат трудности. Затова нека си спомним и разгледаме различни начини за доказване на Питагоровата теорема.
Кратка биография
Теоремата на Питагор е позната на почти всички, но по някаква причина биографията на човека, който я е донесъл в света, не е толкова популярна. Това може да се поправи. Ето защо, преди да изучавате различните начини за доказване на теоремата на Питагор, трябва накратко да се запознаете с неговата личност.
Питагор - философ, математик, мислител от Днес е много трудно да се разграничи биографията му от легендите, развили се в памет на този велик човек. Но както следва от трудовете на неговите последователи, Питагор от Самос е роден на остров Самос. Баща му бил обикновен каменодел, но майка му произхождала от знатно семейство.
Съдейки по легендата, раждането на Питагор е предсказано от жена на име Пития, в чиято чест е кръстено момчето. Според нейното предсказание роденото момче е трябвало да донесе много ползи и добро на човечеството. Което е точно това, което той направи.
Раждането на теоремата
В младостта си Питагор се премества в Египет, за да се срещне там с известни египетски мъдреци. След като се среща с тях, той получава разрешение да учи, където научава всички велики постижения на египетската философия, математика и медицина.
Вероятно в Египет Питагор е бил вдъхновен от величието и красотата на пирамидите и е създал своята велика теория. Това може да шокира читателите, но съвременните историци смятат, че Питагор не е доказал своята теория. Но той само предава знанията си на своите последователи, които по-късно извършват всички необходими математически изчисления.
Както и да е, днес не е известен един метод за доказване на тази теорема, а няколко наведнъж. Днес можем само да гадаем как точно древните гърци са извършили своите изчисления, така че тук ще разгледаме различни начини за доказване на Питагоровата теорема.
Питагорова теорема
Преди да започнете изчисления, трябва да разберете каква теория искате да докажете. Питагоровата теорема гласи следното: „В триъгълник, в който един от ъглите е 90°, сборът от квадратите на катетите е равен на квадрата на хипотенузата.“
Има общо 15 различни начина за доказване на Питагоровата теорема. Това е доста голям брой, така че ще обърнем внимание на най-популярните от тях.
Метод първи
Първо, нека да определим какво ни е дадено. Тези данни ще се прилагат и за други методи за доказване на Питагоровата теорема, така че си струва веднага да запомните всички налични нотации.
Да предположим, че ни е даден правоъгълен триъгълник с катети a, b и хипотенуза, равна на c. Първият метод на доказателство се основава на факта, че трябва да нарисувате квадрат от правоъгълен триъгълник.
За да направите това, трябва да добавите отсечка, равна на крака b, към дължината на крака a и обратно. Това трябва да доведе до две равни страни на квадрата. Остава само да начертаете две успоредни линии и квадратът е готов.
Вътре в получената фигура трябва да нарисувате друг квадрат със страна, равна на хипотенузата на оригиналния триъгълник. За да направите това, от върховете ас и св трябва да начертаете две успоредни отсечки, равни на с. Така получаваме три страни на квадрата, едната от които е хипотенузата на оригиналния правоъгълен триъгълник. Остава само да начертаете четвъртия сегмент.
Въз основа на получената фигура можем да заключим, че площта на външния квадрат е (a + b) 2. Ако погледнете вътре във фигурата, можете да видите, че в допълнение към вътрешния квадрат има четири правоъгълни триъгълника. Площта на всеки е 0.5av.
Следователно площта е равна на: 4 * 0,5ab + c 2 = 2av + c 2
Следователно (a+c) 2 =2ab+c 2
И следователно c 2 =a 2 +b 2
Теоремата е доказана.
Втори метод: подобни триъгълници
Тази формула за доказване на Питагоровата теорема е получена въз основа на твърдение от раздела по геометрия за подобни триъгълници. Той гласи, че катетът на правоъгълен триъгълник е средната пропорционална на неговата хипотенуза и сегмента на хипотенузата, излизащ от върха на ъгъл 90°.
Първоначалните данни остават същите, така че нека започнем веднага с доказателството. Нека начертаем отсечка CD, перпендикулярна на страната AB. Въз основа на горното твърдение, страните на триъгълниците са равни:
AC=√AB*AD, SV=√AB*DV.
За да се отговори на въпроса как да се докаже Питагоровата теорема, доказателството трябва да бъде завършено чрез повдигане на квадрат на двете неравенства.
AC 2 = AB * AD и CB 2 = AB * DV
Сега трябва да съберем получените неравенства.
AC 2 + CB 2 = AB * (AD * DV), където AD + DV = AB
Оказва се, че:
AC 2 + CB 2 = AB*AB
И следователно:
AC 2 + CB 2 = AB 2
Доказателството на Питагоровата теорема и различните методи за нейното решаване изискват многостранен подход към този проблем. Тази опция обаче е една от най-простите.
Друг метод за изчисление
Описанието на различни начини за доказване на Питагоровата теорема може да не означава нищо, докато не започнете да го практикувате сами. Много техники включват не само математически изчисления, но и изграждането на нови фигури от оригиналния триъгълник.
В този случай е необходимо да завършите друг правоъгълен триъгълник VSD от страната BC. Така сега има два триъгълника с общ катет BC.
Знаейки, че площите на подобни фигури имат съотношение като квадратите на техните подобни линейни размери, тогава:
S avs * c 2 - S avd * in 2 = S avd * a 2 - S vsd * a 2
S avs *(от 2 - до 2) = a 2 *(S avd -S vsd)
от 2 - до 2 = a 2
c 2 =a 2 +b 2
Тъй като от различните методи за доказване на Питагоровата теорема за 8 клас тази опция едва ли е подходяща, можете да използвате следния метод.
Най-лесният начин да докажете Питагоровата теорема. Отзиви
Според историците този метод е използван за първи път за доказване на теоремата в древна Гърция. Това е най-простият, тъй като не изисква абсолютно никакви изчисления. Ако начертаете картината правилно, тогава доказателството за твърдението, че a 2 + b 2 = c 2 ще бъде ясно видимо.
Условията за този метод ще бъдат малко по-различни от предишния. За да докажем теоремата, приемете, че правоъгълният триъгълник ABC е равнобедрен.
Вземаме хипотенузата AC за страна на квадрата и начертаваме трите му страни. Освен това е необходимо да нарисувате две диагонални линии в получения квадрат. Така че вътре в него получавате четири равнобедрени триъгълника.
Също така трябва да начертаете квадрат към краката AB и CB и да начертаете по една диагонална права линия във всеки от тях. Начертаваме първата линия от върха A, втората от C.
Сега трябва внимателно да разгледате получения чертеж. Тъй като върху хипотенузата AC има четири триъгълника, равни на първоначалния, а отстрани има два, това показва верността на тази теорема.
Между другото, благодарение на този метод за доказване на Питагоровата теорема се роди известната фраза: „Питагоровите панталони са равни във всички посоки“.
Доказателството на Дж. Гарфийлд
Джеймс Гарфийлд е двадесетият президент на Съединените американски щати. Освен че остави своя отпечатък в историята като владетел на Съединените щати, той беше и надарен самоучител.
В началото на кариерата си той е обикновен учител в държавно училище, но скоро става директор на едно от висшите учебни заведения. Желанието за саморазвитие му позволи да предложи нова теория за доказване на Питагоровата теорема. Теоремата и пример за нейното решение са както следва.
Първо трябва да нарисувате два правоъгълни триъгълника върху лист хартия, така че кракът на единия да е продължение на втория. Върховете на тези триъгълници трябва да бъдат свързани, за да образуват в крайна сметка трапец.
Както знаете, площта на трапеца е равна на произведението на половината от сбора на неговите основи и неговата височина.
S=a+b/2 * (a+b)
Ако разгледаме получения трапец като фигура, състояща се от три триъгълника, тогава неговата площ може да се намери, както следва:
S=ср/2 *2 + s 2 /2
Сега трябва да изравним двата оригинални израза
2ab/2 + c/2=(a+b) 2/2
c 2 =a 2 +b 2
За Питагоровата теорема и методите за нейното доказване могат да се напишат повече от един том учебници. Но има ли смисъл от това, когато това знание не може да се приложи на практика?
Практическо приложение на Питагоровата теорема
За съжаление съвременните училищни програми предвиждат използването на тази теорема само в геометрични задачи. Абсолвентите скоро ще напуснат училище, без да знаят как могат да приложат знанията и уменията си на практика.
Всъщност всеки може да използва Питагоровата теорема в ежедневието си. И не само в професионалните дейности, но и в обикновените домакински задължения. Нека разгледаме няколко случая, когато теоремата на Питагор и методите за нейното доказване може да са изключително необходими.
Връзка между теоремата и астрономията
Изглежда как звездите и триъгълниците на хартия могат да бъдат свързани. Всъщност астрономията е научна област, в която Питагоровата теорема се използва широко.
Например, разгледайте движението на светлинен лъч в пространството. Известно е, че светлината се движи в двете посоки с еднаква скорост. Нека наречем траекторията AB, по която се движи светлинният лъч л. И нека наречем половината от времето, необходимо на светлината да стигне от точка А до точка Б t. И скоростта на лъча - c. Оказва се, че: c*t=l
Ако погледнете същия този лъч от друга равнина, например от космически лайнер, който се движи със скорост v, тогава при наблюдение на тела по този начин тяхната скорост ще се промени. В този случай дори неподвижните елементи ще започнат да се движат със скорост v в обратна посока.
Да кажем, че комичният лайнер плава надясно. Тогава точките A и B, между които се втурва лъчът, ще започнат да се движат наляво. Освен това, когато лъчът се премести от точка А до точка Б, точка А има време да се премести и съответно светлината вече ще пристигне в нова точка С. За да намерите половината от разстоянието, с което се е преместила точка А, трябва да умножите скоростта на обвивката с половината от времето за пътуване на лъча (t ").
И за да намерите колко далеч може да измине един светлинен лъч през това време, трябва да маркирате половината път с нова буква s и да получите следния израз:
Ако си представим, че светлинните точки C и B, както и пространствената обвивка, са върховете на равнобедрен триъгълник, тогава сегментът от точка А до обвивката ще го раздели на два правоъгълни триъгълника. Следователно, благодарение на Питагоровата теорема, можете да намерите разстоянието, което може да измине един светлинен лъч.
Този пример, разбира се, не е най-успешният, тъй като само малцина могат да имат късмета да го изпробват на практика. Затова нека разгледаме по-обикновени приложения на тази теорема.
Обхват на предаване на мобилен сигнал
Съвременният живот вече не може да се представи без съществуването на смартфони. Но каква полза биха имали, ако не можеха да свързват абонати чрез мобилни комуникации?!
Качеството на мобилните комуникации зависи пряко от височината, на която се намира антената на мобилния оператор. За да изчислите колко далеч от мобилна кула може да приеме сигнал телефон, можете да приложите Питагоровата теорема.
Да кажем, че трябва да намерите приблизителната височина на стационарна кула, така че да може да разпространява сигнал в радиус от 200 километра.
AB (височина на кулата) = x;
BC (радиус на предаване на сигнала) = 200 km;
OS (радиус на земното кълбо) = 6380 km;
OB=OA+ABOB=r+x
Прилагайки теоремата на Питагор, откриваме, че минималната височина на кулата трябва да бъде 2,3 километра.
Питагоровата теорема в ежедневието
Колкото и да е странно, Питагоровата теорема може да бъде полезна дори в ежедневни въпроси, като определяне на височината на гардероб, например. На пръв поглед няма нужда да използвате такива сложни изчисления, защото можете просто да направите измервания с рулетка. Но много хора се чудят защо възникват определени проблеми по време на процеса на сглобяване, ако всички измервания са направени повече от точно.
Факт е, че гардеробът се сглобява в хоризонтално положение и едва след това се повдига и монтира към стената. Следователно, по време на процеса на повдигане на конструкцията, страната на шкафа трябва да се движи свободно както по височина, така и по диагонал на стаята.
Да приемем, че има гардероб с дълбочина 800 mm. Разстояние от пода до тавана - 2600 мм. Опитен производител на мебели ще каже, че височината на шкафа трябва да бъде 126 мм по-малка от височината на стаята. Но защо точно 126 мм? Нека разгледаме един пример.
С идеални размери на шкафа, нека проверим действието на Питагоровата теорема:
AC =√AB 2 +√BC 2
AC=√2474 2 +800 2 =2600 mm - всичко пасва.
Да кажем, че височината на шкафа не е 2474 мм, а 2505 мм. След това:
AC=√2505 2 +√800 2 =2629 mm.
Поради това този шкаф не е подходящ за монтаж в тази стая. Тъй като повдигането му във вертикално положение може да причини повреда на тялото му.
Може би, след като разгледахме различни начини за доказване на Питагоровата теорема от различни учени, можем да заключим, че тя е повече от вярна. Сега можете да използвате получената информация в ежедневието си и да сте напълно уверени, че всички изчисления ще бъдат не само полезни, но и правилни.
Потенциалът за творчество обикновено се приписва на хуманитарните науки, оставяйки естествените науки на анализа, практическия подход и сухия език на формули и числа. Математиката не може да се класифицира като хуманитарен предмет. Но без креативност няма да стигнете далеч в „кралицата на всички науки“ - хората знаят това отдавна. От времето на Питагор например.
Училищните учебници, за съжаление, обикновено не обясняват, че в математиката е важно не само да се тъпчат с теореми, аксиоми и формули. Важно е да разберете и почувствате основните му принципи. И в същото време се опитайте да освободите ума си от клишета и елементарни истини - само в такива условия се раждат всички велики открития.
Такива открития включват това, което днес познаваме като Питагоровата теорема. С негова помощ ще се опитаме да покажем, че математиката не само може, но и трябва да бъде вълнуваща. И че това приключение е подходящо не само за маниаци с дебели очила, но и за всички, които са силни умом и духом.
Из историята на проблема
Строго погледнато, въпреки че теоремата се нарича „Питагоровата теорема“, самият Питагор не я е открил. Правоъгълният триъгълник и неговите специални свойства са били изучавани много преди него. Има две полярни гледни точки по този въпрос. Според една от версиите Питагор е първият, който намира пълно доказателство на теоремата. Според друга доказателството не принадлежи на авторството на Питагор.
Днес вече не можете да проверите кой е прав и кой крив. Това, което се знае е, че доказателството на Питагор, ако е съществувало някога, не е оцеляло. Въпреки това има предположения, че известното доказателство от Елементите на Евклид може да принадлежи на Питагор, а Евклид само го е записал.
Днес също така е известно, че проблемите за правоъгълен триъгълник се намират в египетски източници от времето на фараона Аменемхат I, върху вавилонски глинени плочки от управлението на цар Хамурапи, в древния индийски трактат „Сулва сутра” и древния китайски труд „ Джоу-би суан дзин”.
Както можете да видите, Питагоровата теорема е занимавала умовете на математиците от древни времена. Това се потвърждава от около 367 различни доказателства, които съществуват днес. В това отношение никоя друга теорема не може да се конкурира с него. Сред известните автори на доказателства можем да си припомним Леонардо да Винчи и двадесетия президент на САЩ Джеймс Гарфийлд. Всичко това говори за изключителното значение на тази теорема за математиката: повечето теореми на геометрията произлизат от нея или по някакъв начин са свързани с нея.
Доказателства на Питагоровата теорема
Училищните учебници дават предимно алгебрични доказателства. Но същността на теоремата е в геометрията, така че нека първо разгледаме онези доказателства на известната теорема, които се основават на тази наука.
Доказателство 1
За най-простото доказателство на Питагоровата теорема за правоъгълен триъгълник трябва да зададете идеални условия: нека триъгълникът да бъде не само правоъгълен, но и равнобедрен. Има основание да се смята, че древните математици първоначално са смятали точно този вид триъгълник.
Изявление „квадрат, построен върху хипотенузата на правоъгълен триъгълник, е равен на сумата от квадратите, построени върху неговите катети“може да се илюстрира със следния чертеж:
Погледнете равнобедрения правоъгълен триъгълник ABC: Върху хипотенузата AC можете да построите квадрат, състоящ се от четири триъгълника, равни на оригиналния ABC. А от страните AB и BC е построен квадрат, всяка от които съдържа два подобни триъгълника.
Между другото, тази рисунка е в основата на многобройни вицове и карикатури, посветени на теоремата на Питагор. Най-известният вероятно е "Питагоровите панталони са равни във всички посоки":
Доказателство 2
Този метод съчетава алгебра и геометрия и може да се счита за вариант на древноиндийското доказателство на математика Бхаскари.
Построете правоъгълен триъгълник със страни a, b и c(фиг. 1). След това изградете два квадрата със страни, равни на сумата от дължините на двата крака - (a+b). Във всеки от квадратите направете конструкции като на фигури 2 и 3.
В първия квадрат изградете четири триъгълника, подобни на тези на фигура 1. Резултатът е два квадрата: един със страна a, вторият със страна b.
Във втория квадрат построените четири подобни триъгълника образуват квадрат със страна, равна на хипотенузата c.
Сумата от площите на построените квадрати на фиг. 2 е равна на площта на квадрата, който построихме със страна c на фиг. 3. Това може лесно да се провери, като се изчисли площта на квадратите на фиг. 2 по формулата. И площта на вписания квадрат на фигура 3. чрез изваждане на площите на четири равни правоъгълни триъгълника, вписани в квадрата, от площта на голям квадрат със страна (a+b).
Записвайки всичко това, имаме: a 2 +b 2 =(a+b) 2 – 2ab. Отворете скобите, направете всички необходими алгебрични изчисления и получете това a 2 +b 2 = a 2 +b 2. В този случай областта, вписана на фиг. 3. квадрат може да се изчисли и по традиционната формула S=c 2. Тези. a 2 +b 2 =c 2– доказахте Питагоровата теорема.
Доказателство 3
Самото древноиндийско доказателство е описано през 12 век в трактата „Венецът на знанието“ („Siddhanta Shiromani“) и като основен аргумент авторът използва апел, отправен към математическите таланти и наблюдателни умения на ученици и последователи: „ Вижте!
Но ние ще анализираме това доказателство по-подробно:
Вътре в квадрата изградете четири правоъгълни триъгълника, както е показано на чертежа. Нека обозначим страната на големия квадрат, известен също като хипотенуза, с. Нека наречем краката на триъгълника АИ b. Според чертежа страната на вътрешния квадрат е (a-b).
Използвайте формулата за площта на квадрат S=c 2за изчисляване на площта на външния квадрат. И в същото време изчислете същата стойност, като добавите площта на вътрешния квадрат и площите на четирите правоъгълни триъгълника: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.
Можете да използвате и двете опции за изчисляване на площта на квадрат, за да сте сигурни, че те дават един и същ резултат. И това ви дава правото да го запишете c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. В резултат на решението ще получите формулата на Питагоровата теорема c 2 =a 2 +b 2. Теоремата е доказана.
Доказателство 4
Това любопитно древно китайско доказателство е наречено "Столът на булката" - заради подобната на стол фигура, която се получава от всички конструкции:
Той използва чертежа, който вече видяхме на фиг. 3 във второто доказателство. И вътрешният квадрат със страна c е конструиран по същия начин, както в древноиндийското доказателство, дадено по-горе.
Ако мислено отрежете два зелени правоъгълни триъгълника от чертежа на фиг. 1, преместете ги в противоположните страни на квадрата със страна c и прикрепете хипотенузите към хипотенузите на люляковите триъгълници, ще получите фигура, наречена „стол на булката“ (фиг. 2). За по-голяма яснота можете да направите същото с хартиени квадрати и триъгълници. Ще се уверите, че „столът на булката“ е оформен от два квадрата: малки със страна bи голяма със страна а.
Тези конструкции позволиха на древните китайски математици и ние, следвайки тях, да стигнем до извода, че c 2 =a 2 +b 2.
Доказателство 5
Това е друг начин за намиране на решение на Питагоровата теорема с помощта на геометрията. Нарича се метод Гарфийлд.
Построете правоъгълен триъгълник ABC. Трябва да го докажем BC 2 = AC 2 + AB 2.
За да направите това, продължете крака ACи конструирайте сегмент CD, което е равно на крака AB. Спуснете перпендикуляра ADсегмент ЕД. Сегменти ЕДИ ACса равни. Свържете точките дИ IN, а също така дИ СЪСи вземете чертеж като снимката по-долу:
За да докажем кулата, отново прибягваме до метода, който вече сме опитвали: намираме площта на получената фигура по два начина и приравняваме изразите един към друг.
Намерете площта на многоъгълник КРАВТОможе да се направи чрез сумиране на площите на трите триъгълника, които го образуват. И един от тях, ERU, е не само правоъгълен, но и равнобедрен. Нека също не забравяме това AB=CD, AC=EDИ BC=SE– това ще ни позволи да опростим записа и да не го претоварваме. така че S ABED =2*1/2(AB*AC)+1/2ВС 2.
В същото време е очевидно, че КРАВТО- Това е трапец. Следователно изчисляваме неговата площ по формулата: S ABED =(DE+AB)*1/2AD. За нашите изчисления е по-удобно и по-ясно да представим сегмента ADкато сбор от сегменти ACИ CD.
Нека запишем и двата начина за изчисляване на площта на фигура, като поставим знак за равенство между тях: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Ние използваме равенството на сегментите, което вече ни е известно и описано по-горе, за да опростим дясната страна на нотацията: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. Сега нека отворим скобите и трансформираме равенството: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. След като завършим всички трансформации, получаваме точно това, от което се нуждаем: BC 2 = AC 2 + AB 2. Доказахме теоремата.
Разбира се, този списък с доказателства далеч не е пълен. Теоремата на Питагор може да бъде доказана и с помощта на вектори, комплексни числа, диференциални уравнения, стереометрия и др. И дори физиците: ако например течността се излее в квадратни и триъгълни обеми, подобни на тези, показани на чертежите. Чрез изливане на течност можете да докажете равенството на площите и самата теорема като резултат.
Няколко думи за Питагоровите тройки
Този въпрос се изучава малко или изобщо не се изучава в училищната програма. Междувременно е много интересно и е от голямо значение в геометрията. Питагоровите тройки се използват за решаване на много математически задачи. Разбирането им може да ви бъде полезно в по-нататъшното образование.
И така, какво представляват Питагоровите тройки? Това е името на естествените числа, събрани в групи по три, сумата от квадратите на две от които е равна на третото число на квадрат.
Питагоровите тройки могат да бъдат:
- примитивни (и трите числа са относително прости);
- не е примитивна (ако всяко число от тройка се умножи по едно и също число, получавате нова тройка, която не е примитивна).
Още преди нашата ера древните египтяни са били очаровани от манията за числата на питагорейските тройки: в задачи те са разглеждали правоъгълен триъгълник със страни от 3, 4 и 5 единици. Между другото, всеки триъгълник, чиито страни са равни на числата от тройката на Питагор, е правоъгълен по подразбиране.
Примери за питагорови тройки: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34) , (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), ( 14, 48, 50), (30, 40, 50) и т.н.
Практическо приложение на теоремата
Теоремата на Питагор се използва не само в математиката, но и в архитектурата и строителството, астрономията и дори литературата.
Първо, за конструкцията: теоремата на Питагор се използва широко в проблеми с различни нива на сложност. Например, погледнете романски прозорец:
Нека обозначим ширината на прозореца като b, тогава радиусът на големия полукръг може да се означи като Ри изразете чрез b: R=b/2. Радиусът на по-малките полуокръжности също може да бъде изразен чрез b: r=b/4. В тази задача се интересуваме от радиуса на вътрешния кръг на прозореца (да го наречем стр).
Теоремата на Питагор е просто полезна за изчисляване r. За да направите това, използваме правоъгълен триъгълник, който е обозначен с пунктирана линия на фигурата. Хипотенузата на триъгълник се състои от два радиуса: b/4+p. Единият крак представлява радиуса б/4, друго b/2-p. Използвайки Питагоровата теорема, пишем: (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. След това отваряме скобите и получаваме b 2 /16+ bp/2+p 2 =b 2 /16+b 2 /4-bp+p 2. Нека трансформираме този израз в bp/2=b 2 /4-bp. И след това разделяме всички членове на b, представяме подобни, за да получите 3/2*p=b/4. И в крайна сметка намираме това p=b/6- което ни трябваше.
Използвайки теоремата, можете да изчислите дължината на гредите за двускатен покрив. Определете колко висока е необходима мобилна комуникационна кула, за да достигне сигналът до определено населено място. И дори да инсталирате устойчиво коледно дърво на градския площад. Както можете да видите, тази теорема живее не само на страниците на учебниците, но често е полезна в реалния живот.
В литературата Питагоровата теорема е вдъхновявала писатели от древността и продължава да го прави и в наше време. Например немският писател от деветнадесети век Аделберт фон Шамисо е бил вдъхновен да напише сонет:
Светлината на истината няма да се разсее скоро,
Но след като блесна, е малко вероятно да се разсее
И както преди хиляди години,
Няма да предизвика съмнения или спорове.
Най-мъдрият, когато докосне погледа ти
Светлина на истината, слава на боговете;
И сто бика, заклани, лежат -
Подарък за връщане от късметлията Питагор.
Оттогава биковете реват отчаяно:
Завинаги разтревожен племето на биковете
Събитие, споменато тук.
Струва им се: времето ще дойде,
И пак ще бъдат принесени в жертва
Някаква страхотна теорема.
(превод Виктор Топоров)
А през ХХ век съветският писател Евгений Велтистов в книгата си „Приключенията на електрониката” посвещава цяла глава на доказателствата на Питагоровата теорема. И още половин глава от една история за двуизмерен свят, който би могъл да съществува, ако Питагоровата теорема стане основен закон и дори религия за един единствен свят. Животът там би бил много по-лесен, но и много по-скучен: например там никой не разбира значението на думите „кръгъл“ и „пухкав“.
А в книгата „Приключенията на електрониката“ авторът, през устата на учителя по математика Таратар, казва: „Основното нещо в математиката е движението на мисълта, новите идеи.“ Именно този творчески полет на мисълта поражда Питагоровата теорема - не напразно тя има толкова много разнообразни доказателства. Помага ви да излезете извън границите на познатото и да погледнете познатите неща по нов начин.
Заключение
Тази статия е създадена, за да можете да погледнете отвъд училищната програма по математика и да научите не само онези доказателства на Питагоровата теорема, които са дадени в учебниците „Геометрия 7-9” (Л. С. Атанасян, В. Н. Руденко) и „Геометрия 7” - 11” (А.В. Погорелов), но и други интересни начини за доказване на известната теорема. А също така вижте примери за това как Питагоровата теорема може да се приложи в ежедневието.
Първо, тази информация ще ви позволи да се класирате за по-високи резултати в уроците по математика - информацията по темата от допълнителни източници винаги е високо ценена.
Второ, искахме да ви помогнем да усетите колко интересна е математиката. Потвърдете с конкретни примери, че винаги има място за творчество. Надяваме се, че Питагоровата теорема и тази статия ще ви вдъхновят да изследвате самостоятелно и да правите вълнуващи открития в математиката и други науки.
Кажете ни в коментарите дали намирате доказателствата, представени в статията, за интересни. Намирате ли тази информация за полезна в обучението си? Напишете ни какво мислите за Питагоровата теорема и тази статия - ще се радваме да обсъдим всичко това с вас.
blog.site, при пълно или частично копиране на материал е необходима връзка към първоизточника.
Теорема
В правоъгълен триъгълник квадратът на дължината на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на дължините на краката (фиг. 1):
$c^(2)=a^(2)+b^(2)$
Доказателство на Питагоровата теорема
Нека триъгълник $A B C$ е правоъгълен триъгълник с прав ъгъл $C$ (фиг. 2).
Нека начертаем височината от върха $C$ до хипотенузата $A B$ и означим основата на височината като $H$.
Правоъгълният триъгълник $A C H$ е подобен на триъгълник $A B C$ в два ъгъла ($\angle A C B=\angle C H A=90^(\circ)$, $\angle A$ е общ). По същия начин триъгълник $C B H$ е подобен на $A B C$.
Чрез въвеждане на нотацията
$$B C=a, A C=b, A B=c$$
от сходството на триъгълниците получаваме това
$$\frac(a)(c)=\frac(H B)(a), \frac(b)(c)=\frac(A H)(b)$$
Оттук нататък имаме това
$$a^(2)=c \cdot H B, b^(2)=c \cdot A H$$
Събирайки получените равенства, получаваме
$$a^(2)+b^(2)=c \cdot H B+c \cdot A H$$
$$a^(2)+b^(2)=c \cdot(H B+A H)$$
$$a^(2)+b^(2)=c \cdot A B$$
$$a^(2)+b^(2)=c \cdot c$$
$$a^(2)+b^(2)=c^(2)$$
Q.E.D.
Геометрична формулировка на Питагоровата теорема
Теорема
В правоъгълен триъгълник площта на квадрата, построен върху хипотенузата, е равна на сумата от площите на квадратите, построени върху краката (фиг. 2):
Примери за решаване на проблеми
Пример
Упражнение.Даден е правоъгълен триъгълник $A B C$, чиито страни са 6 cm и 8 cm. Намерете хипотенузата на този триъгълник.
Решение.Съгласно условието за катет $a=6$ cm, $b=8$ cm След това, според Питагоровата теорема, квадратът на хипотенузата
$c^(2)=a^(2)+b^(2)=6^(2)+8^(2)=36+64=100$
От това получаваме желаната хипотенуза
$c=\sqrt(100)=10$ (cm)
отговор. 10 см
Пример
Упражнение.Намерете лицето на правоъгълен триъгълник, ако е известно, че единият му катет е с 5 cm по-голям от другия, а хипотенузата е 25 cm.
Решение.Нека $x$ cm е дължината на по-малкия катет, тогава $(x+5)$ cm е дължината на по-големия. Тогава според Питагоровата теорема имаме:
$$x^(2)+(x+5)^(2)=25^(2)$$
Отваряме скобите, намаляваме подобни и решаваме полученото квадратно уравнение:
$x^(2)+5 x-300=0$
Според теоремата на Виета получаваме това
$x_(1)=15$ (cm) , $x_(2)=-20$ (cm)
Стойността $x_(2)$ не отговаря на условията на задачата, което означава, че по-малкият катет е 15 cm, а по-големият катет е 20 cm.
Площта на правоъгълен триъгълник е равна на половината от произведението на дължините на краката му, т.е
$$S=\frac(15 \cdot 20)(2)=15 \cdot 10=150\left(\mathrm(cm)^(2)\right)$$
отговор.$S=150\left(\mathrm(cm)^(2)\right)$
Исторически фон
Питагорова теорема- една от основните теореми на евклидовата геометрия, установяваща връзката между страните на правоъгълен триъгълник.
Древната китайска книга „Джоу Би Сюан Дзин“ говори за Питагоров триъгълник със страни 3, 4 и 5. Водещият немски историк на математиката Мориц Кантор (1829 – 1920) смята, че равенството $3^(2)+4^ (2)=5^ (2) $ вече е бил известен на египтяните около 2300 г. пр.н.е. Според учения след това строителите са изграждали прави ъгли, използвайки правоъгълни триъгълници със страни 3, 4 и 5. Малко повече се знае за Питагоровата теорема сред вавилонците. Един текст дава приблизително изчисляване на хипотенузата на равнобедрен правоъгълен триъгълник.
Понастоящем в научната литература са записани 367 доказателства на тази теорема. Вероятно Питагоровата теорема е единствената теорема с толкова впечатляващ брой доказателства. Такова разнообразие може да се обясни само с фундаменталното значение на теоремата за геометрията.
Питагорова теорема- една от основните теореми на евклидовата геометрия, установяваща връзката
между страните на правоъгълен триъгълник.
Смята се, че е доказано от гръцкия математик Питагор, на когото е кръстено.
Геометрична формулировка на Питагоровата теорема.
Първоначално теоремата е формулирана по следния начин:
В правоъгълен триъгълник площта на квадрата, построен върху хипотенузата, е равна на сумата от площите на квадратите,
построен на крака.
Алгебрична формулировка на Питагоровата теорема.
В правоъгълен триъгълник квадратът на дължината на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на дължините на катетите.
Тоест, означаване на дължината на хипотенузата на триъгълника с c, и дължините на краката през аИ b:
И двете формулировки Питагорова теоремаса еквивалентни, но втората формулировка е по-елементарна, не е така
изисква концепцията за площ. Тоест второто твърдение може да се провери, без да се знае нищо за района и
чрез измерване само на дължините на страните на правоъгълен триъгълник.
Обратна теорема на Питагор.
Ако квадратът на едната страна на триъгълник е равен на сумата от квадратите на другите две страни, тогава
правоъгълен триъгълник.
Или с други думи:
За всяка тройка положителни числа а, bИ c, така че
има правоъгълен триъгълник с катети аИ bи хипотенуза c.
Питагорова теорема за равнобедрен триъгълник.
Питагорова теорема за равностранен триъгълник.
Доказателства на Питагоровата теорема.
Понастоящем в научната литература са записани 367 доказателства на тази теорема. Вероятно теоремата
Питагоровата теорема е единствената теорема с толкова впечатляващ брой доказателства. Такова разнообразие
може да се обясни само с фундаменталното значение на теоремата за геометрията.
Разбира се, концептуално всички те могат да бъдат разделени на малък брой класове. Най-известните от тях:
доказателство метод на площта, аксиоматиченИ екзотични доказателства(Например,
чрез използване диференциални уравнения).
1. Доказателство на Питагоровата теорема с помощта на подобни триъгълници.
Следното доказателство на алгебричната формулировка е най-простото от конструираните доказателства
директно от аксиомите. По-специално, той не използва понятието площ на фигура.
Нека ABCима правоъгълен триъгълник с прав ъгъл В. Нека начертаем височината от Ви обозначават
нейната основа чрез з.
Триъгълник ACHподобен на триъгълник AB C в два ъгъла. По същия начин, триъгълник CBHподобни ABC.
Чрез въвеждане на нотацията:
получаваме:
,
което съответства на -
Сгъната а 2 и b 2, получаваме:
или , което трябваше да се докаже.
2. Доказателство на Питагоровата теорема чрез метода на площта.
Доказателствата по-долу, въпреки привидната им простота, изобщо не са толкова прости. Всички те
използват свойства на площта, чиито доказателства са по-сложни от доказателството на самата Питагорова теорема.
- Доказателство чрез еквикомплементарност.
Нека подредим четири равни правоъгълника
триъгълник, както е показано на фигурата
точно.
Четириъгълник със страни c- квадрат,
тъй като сумата от два остри ъгъла е 90°, и
ъгъл разгънат - 180°.
Площта на цялата фигура е равна, от една страна,
площ на квадрат със страна ( a+b), а от друга страна, сумата от площите на четири триъгълника и
Q.E.D.
3. Доказателство на Питагоровата теорема по метода на безкрайно малките.
Разглеждайки чертежа, показан на фигурата и
гледам как се сменя странатаа, можем
напишете следната връзка за безкрайно
малък странични увеличениясИ а(използвайки прилика
триъгълници):
Използвайки метода за разделяне на променливи, намираме:
По-общ израз за промяната на хипотенузата в случай на увеличения от двете страни:
Интегрирайки това уравнение и използвайки началните условия, получаваме:
Така стигаме до желания отговор:
Както е лесно да се види, квадратичната зависимост в крайната формула се появява поради линейната
пропорционалност между страните на триъгълника и увеличенията, докато сумата е свързана с независимата
приноси от нарастването на различни крака.
Може да се получи по-просто доказателство, ако приемем, че един от краката не изпитва увеличение
(в този случай крака b). Тогава за константата на интегриране получаваме: