Теореми на Чева и Менелай на Единния държавен изпит. Решаване на задачи с помощта на теоремата на Менелай Чева и Менелай

клас: 9

Цели на урока:

обобщават, разширяват и систематизират знанията и уменията на учениците; учат как да използват знанията при решаване на сложни проблеми;
насърчават развитието на умения за самостоятелно прилагане на знания при решаване на проблеми;
развиват логическото мислене и математическата реч на учениците, способността да анализират, сравняват и обобщават;
внушава на учениците самочувствие и трудолюбие; способност за работа в екип.

Цели на урока:

Образователни:повторете теоремите на Менелай и Чева; прилагайте ги при решаване на проблеми.
Развитие:научете се да излагате хипотеза и умело да защитавате мнението си с доказателства; проверете способността си да обобщавате и систематизирате знанията си.
Образователни:повишаване на интереса към предмета и подготовка за решаване на по-сложни проблеми.

Тип урок:урок за обобщаване и систематизиране на знанията.

Оборудване:карти за колективна работа в урок по тази тема, индивидуални карти за самостоятелна работа, компютър, мултимедиен проектор, екран.

Напредък на урока

Етап I. Организационен момент (1 мин.)

Учителят съобщава темата и целта на урока.

Етап II. Актуализиране на основни знания и умения (10 мин.)

Учител:По време на урока ще си спомним теоремите на Менелай и Чева, за да преминем успешно към решаване на задачи. Нека да разгледаме екрана, където е представен. За коя теорема е дадена тази фигура? (теорема на Менелай). Опитайте се ясно да формулирате теоремата.

Фигура 1

Нека точка A 1 лежи на страната BC на триъгълника ABC, точка C 1 на страната AB, точка B 1 върху продължението на страната AC отвъд точка C. Точките A 1 , B 1 и C 1 лежат на една и съща права линия тогава и само ако равенството е в сила

Учител:Нека разгледаме заедно следната снимка. Посочете теорема за този чертеж.

Фигура 2

Линията AD пресича две страни и продължението на третата страна на триъгълника на IUD.

Според теоремата на Менелай

Правата MB пресича двете страни и продължението на третата страна на триъгълник ADC.

Според теоремата на Менелай

Учител:На коя теорема отговаря картината? (теорема на Ceva). Изложете теоремата.

Фигура 3

Нека точка A 1 в триъгълника ABC лежи на страната BC, точка B 1 на страната AC, точка C 1 на страната AB. Отсечките AA 1, BB 1 и CC 1 се пресичат в една точка тогава и само ако е изпълнено равенството

Етап III. Разрешаване на проблеми. (22 мин.)

Класът е разделен на 3 отбора, като всеки получава карта с две различни задачи. Дава се време за вземане на решение, след което на екрана се появява следното:<Рисунки 4-9>. Въз основа на готовите чертежи към задачите представители на екипа се редуват да обясняват своите решения. Всяко обяснение е последвано от дискусия, отговаряне на въпроси и проверка на верността на решението на екрана. В дискусията участват всички членове на екипа. Колкото по-активен е отборът, толкова по-високо се оценява при сумиране на резултатите.

Карта 1.

1. В триъгълник ABC точка N е взета от страната BC, така че NC = 3BN; в продължението на страната AC точка M се приема за точка A, така че MA = AC. Правата MN пресича страната AB в точка F. Намерете отношението

2. Докажете, че медианите на триъгълник се пресичат в една точка.

Решение 1

Фигура 4

Според условията на задачата MA = AC, NC = 3BN. Нека MA = AC =b, BN = k, NC = 3k. Правата MN пресича двете страни на триъгълник ABC и продължението на третата.

Според теоремата на Менелай

отговор:

Доказателство 2

Фигура 5

Нека AM 1, BM 2, CM 3 са медианите на триъгълник ABC. За да се докаже, че тези сегменти се пресичат в една точка, достатъчно е да се покаже това

Тогава по (обратната) теорема на Чева отсечките AM 1, BM 2 и CM 3 се пресичат в една точка.

Ние имаме:

И така, доказано е, че медианите на триъгълник се пресичат в една точка.

Карта 2.

1. Точка N е взета от страната PQ на триъгълника PQR, а точката L е взета от страната PR и NQ = LR. Пресечната точка на отсечките QL и NR разделя QL в отношение m:n, считано от точка Q. Намерете

2. Докажете, че ъглополовящите на триъгълник се пресичат в една точка.

Решение 1

Фигура 6

По условие NQ = LR, нека NA = LR =a, QF = km, LF = kn. Правата NR пресича двете страни на триъгълник PQL и продължението на третата.

Според теоремата на Менелай

отговор:

Доказателство 2

Фигура 7

Нека покажем това

Тогава, по (обратната) теорема на Ceva, AL 1, BL 2, CL 3 се пресичат в една точка. По свойството на ъглополовящи триъгълници

Умножавайки получените равенства член по член, получаваме

За ъглополовящите на триъгълник равенството на Чева е изпълнено, следователно те се пресичат в една точка.

Карта 3.

1. В триъгълник ABC AD е медианата, точка O е средата на медианата. Правата BO пресича страната AC в точка K. В какво отношение точка K дели AC, считано от точка A?

2. Докажете, че ако в триъгълник е вписана окръжност, то отсечките, свързващи върховете на триъгълника с допирните точки на противоположните страни, се пресичат в една точка.

Решение 1

Фигура 8

Нека BD = DC = a, AO = OD = m. Правата BK пресича две страни и продължението на третата страна на триъгълник ADC.

Според теоремата на Менелай

отговор:

Доказателство 2

Фигура 9

Нека A 1, B 1 и C 1 са допирателните точки на вписаната окръжност на триъгълник ABC. За да се докаже, че отсечките AA 1, BB 1 и CC 1 се пресичат в една точка, е достатъчно да се покаже, че е валидно равенството на Чева:

Използвайки свойството на допирателните, начертани към окръжност от една точка, въвеждаме следното обозначение: C 1 B = BA 1 = x, AC 1 = CB 1 = y, BA 1 = AC 1 = z.

Равенството на Чева е изпълнено, което означава, че ъглополовящите на триъгълника се пресичат в една точка.

Етап IV. Решаване на проблеми (самостоятелна работа) (8 мин.)

Учител: Работата на екипите приключи и сега ще започнем самостоятелна работа върху индивидуални карти за 2 варианта.

Урочни материали за самостоятелна работа на учениците

Вариант 1.В триъгълник ABC, чиято площ е 6, на страната AB има точка K, разделяща тази страна в съотношение AK:BK = 2:3, а на страната AC има точка L, разделяща AC в съотношение AL:LC = 5:3. Пресечната точка Q на правите СК и BL се отдалечава от правата AB на разстояние . Намерете дължината на страната AB. (Отговор: 4.)

Вариант 2.На страната AC в триъгълника ABC е взета точката K = 1, KS = 3. На страната AB е взета точката AL:LB = 2:3, Q е пресечната точка на правите BC и CL. Намерете дължината на надморската височина на триъгълник ABC, пусната от върха B. (Отговор: 1.5.)

Работата се предава на учителя за проверка.

V етап. Обобщение на урока (2 мин.)

Допуснатите грешки се анализират, оригиналните отговори и коментари се отбелязват. Резултатите от работата на всеки екип се обобщават и се поставят оценки.

Етап VI. Домашна работа (1 мин.)

Домашната работа е съставена от задачи № 11, 12 стр. 289-290, № 10 стр. 301.

Последни думи на учителя (1 мин.).

Днес чухте математическата реч един на друг отвън и оценихте възможностите си. В бъдеще ще използваме подобни дискусии за по-добро разбиране на темата. Аргументите в урока бяха приятели с фактите, а теорията с практиката. благодаря на всички

Литература:

Ткачук В.В. Математика за кандидати. – М.: МЦНМО, 2005.

Курсът по геометрия съдържа теореми, които не се изучават достатъчно подробно в училище, но които могат да бъдат полезни за решаване на най-сложните задачи на Единния държавен изпит и Единния държавен изпит. Те включват например теоремата на Менелай. Традиционно се изучава в паралелки със задълбочено изучаване на математика в 8. клас, а в редовната програма (по учебника на Атанасян) теоремата на Менелай е включена в учебника за 10-11 клас.
Междувременно резултатът от изучаването на интернет ресурси, които споменават теоремата на Менелай, показва, че тя обикновено се формулира непълно и следователно неточно и всички случаи на нейното използване, както и доказателството на обратната теорема, не са дадени. Целта на тази статия е да разбере какво представлява теоремата на Менелай, как и защо се използва, както и да сподели методологията за преподаване на тази теорема в индивидуални уроци с преподаватели със студенти.
Нека разгледаме една типична задача (задача № 26, OGE), която се появява на изпитите в много варианти, различаващи се само по числата в условието.

Самото решение на проблема е просто - можете да го намерите по-долу. В тази статия се интересуваме главно от малко по-различен момент, който често се пропуска и приема за даденост, като очевидна. Но очевидното е това, което може да се докаже. И това може да се докаже по различни начини - обикновено те се доказват изключително чрез подобие - но може да се направи и чрез теоремата на Менелай.
От условието следва, че тъй като сумата на ъглите в долната основа на трапеца е 90°, тогава ако разширите страните, ще получите правоъгълен триъгълник. След това от получената пресечна точка на разширенията на страничните страни начертайте сегмент, който минава през средата на основите. Защо този сегмент минава през всички тези три точки? Обикновено решенията на проблема, намерени в Интернет, не казват нито дума за това. Няма дори препратка към теоремата за четириточковия трапец, да не говорим за доказателство за това твърдение. Междувременно може да се докаже с помощта на теоремата на Менелай, която е условието три точки да принадлежат на една линия.

Формулировки на теоремата на Менелай
Време е да формулираме теоремата. Трябва да се отбележи, че в различни учебници и ръководства има доста различни формулировки, въпреки че същността остава непроменена. В учебника на Атанасян и др. за 10-11 клас е дадена следната формулировка на теоремата на Менелай, нека я наречем „векторна“:

В учебника „Геометрия 10-11 клас” на Александров и др., както и в учебника на същите автори „Геометрия. 8 клас” дава малко по-различна формулировка на теоремата на Менелай и е една и съща както за 10-11 клас, така и за 8 клас:
Тук трябва да се направят три бележки.
Забележка 1. На изпитите няма задачи, които трябва да се решават само с помощта на вектори, за които се използва „минус едно“. Следователно за практическа употреба най-удобната формулировка е тази, която по същество е следствие от теоремата за сегментите (това е втората формулировка, подчертана с удебелени букви). Ще се ограничим до това за по-нататъшно изучаване на теоремата на Менелай, тъй като нашата цел е да се научим как да я прилагаме за решаване на проблеми.
Бележка 2. Въпреки факта, че всички учебници ясно определят случая, когато и трите точки A 1, B 1 и C 1 могат да лежат на разширенията на страните на триъгълника (или на прави линии, съдържащи страните на триъгълника), на няколко сайта за уроци в интернет се формулира само случаят, когато две точки лежат от двете страни, а третата лежи върху продължението на третата страна. Това едва ли може да се оправдае с факта, че на изпитите се срещат само задачи от първия тип и проблеми не могат да се срещнат, когато всички тези точки лежат на разширения от три страни.
Забележка 3. Обратната теорема, т.е. условието три точки да лежат на една права обикновено изобщо не се разглежда, а някои преподаватели дори съветват (???) да се изучава само пряката теорема и да не се разглежда обратната теорема. Междувременно доказателството на обратното твърдение е доста поучително и ви позволява да докажете твърдения, подобни на тези, дадени в решението на задача 1. Опитът от доказването на обратната теорема несъмнено ще осигури осезаеми ползи за ученика при решаването на проблеми.

Чертежи и модели

За да научите ученика да вижда теоремата на Менелай в проблемите и да я използва при вземане на решения, е важно да обърнете внимание на картините и моделите в писането на теоремата за конкретен случай. И тъй като самата теорема е в нейния “чист” вид, т.е. без ограждане от други сегменти, страни на различни фигури обикновено не се намират в проблемите, тогава е по-подходящо да се покаже теоремата върху конкретни проблеми. И ако показвате рисунки като обяснение, направете ги многовариантни. В този случай маркирайте в един цвят (например червено) правата линия, образувана от три точки, а в синьо - сегментите на триъгълника, участващи в писането на теоремата на Менелай. В този случай елементите, които не участват, остават черни:

На пръв поглед може да изглежда, че формулировката на теоремата е доста сложна и не винаги разбираема; в крайна сметка включва три фракции. Всъщност, ако ученикът няма достатъчно опит, той лесно може да направи грешка в писането и в резултат на това да реши проблема неправилно. И тук понякога започват проблемите. Въпросът е, че учебниците обикновено не се фокусират върху това как да се „заобиколи“, когато се пише теорема. Нищо не се казва за законите на записване на самата теорема. Ето защо някои преподаватели дори рисуват различни стрелки, за да посочат реда, в който трябва да бъде написана формулата. И те молят учениците да следват стриктно тези указания. Това е отчасти правилно, но е много по-важно да разберете същността на теоремата, отколкото да я запишете чисто механично, като използвате „правилото за заобикаляне“ и стрелките.
Всъщност е важно само да се разбере логиката на „байпаса“ и тя е толкова точна, че е невъзможно да се направи грешка при писането на формулата. И в двата случая а) и б) записваме формулата за триъгълник AMC.
Първо, ние определяме за себе си три точки - върховете на триъгълника. За нас това са точки A, M, C. След това определяме точките, лежащи на пресечната линия (червена линия), това са B, P, K. Започваме „движението“ от върха на триъгълника, например от точка C. От тази точка отиваме "до точката, която се образува от пресечната точка, например, на страната AC и пресичащата се линия - за нас това е точка K. Пишем в числителя на първата дроб - SK . След това от точка K „отиваме” до останалата точка на правата AC - до точка A. В знаменателя на първата дроб записваме KA. Тъй като точка А също принадлежи на правата AM, правим същото с отсечките на правата AM. И тук отново започваме от върха, след което „отиваме“ до точка на пресечната линия, след което се придвижваме до върха M. „След като се намерихме“ на линия BC, правим същото с отсечките на тази линия. От M „отиваме“, разбира се, до B, след което се връщаме към C. Това „заобикаляне“ може да бъде направено както по посока на часовниковата стрелка, така и обратно. Важно е само да разберете правилото за обхождане - от връх към точка на права и от точка на права към друг връх. Приблизително така обикновено се обяснява правилото за записване на произведението на дробите. Резултатът е:
Моля, имайте предвид, че целият „заобиколен път“ е отразен в записа и за удобство е показан със стрелки.
Полученият запис обаче може да бъде получен без извършване на каквото и да е „обхождане“. След изписването на точките - върховете на триъгълника (A, M, C) и точките - лежащи на пресечната права (B, P, K), запишете и тройки букви, обозначаващи точки, лежащи на всяка от трите линии. В нашите случаи това са I) B, M, C; II) A, P, M и III) A, C, K. След това правилната лява страна на формулата може да бъде написана, без дори да гледате чертежа и в произволен ред. Достатъчно е да напишем истински дроби от всеки три букви, които се подчиняват на правилото - условно "средните" букви са точките на пресичащата се линия (червена). Обикновено "външните" букви са точките на върховете на триъгълника (сини). Когато пишете формула по този начин, трябва само да се уверите, че всяка „синя“ буква (върхът на триъгълника) се появява веднъж както в числителя, така и в знаменателя.
Този метод е особено полезен за случаи от тип b), както и за самотест.

Теорема на Менелай. Доказателство
Има няколко различни начина за доказване на теоремата на Менелай. Понякога го доказват с помощта на подобието на триъгълници, за които от точка M е изчертан сегмент, успореден на AC (както на този чертеж). Други чертаят допълнителна линия, която не е успоредна на пресечната линия, и след това, използвайки прави линии, успоредни на пресечната линия, те изглежда „проектират“ всички необходими сегменти върху тази права и, използвайки обобщение на теоремата на Талес (т.е. теоремата за пропорционалните отсечки), изведете формулата. Въпреки това, може би най-простият метод за доказателство се получава чрез начертаване на права линия от точка М, успоредна на пресечната линия. Нека докажем теоремата на Менелай по този начин.
Дадено е: Триъгълник ABC. Правата PK пресича страните на триъгълника и продължението на страната MC в точка B.
Докажете, че равенството е в сила:
Доказателство. Нека начертаем лъча MM 1 успореден на BK. Нека запишем връзките, в които участват сегментите, включени във формулата на теоремата на Менелай. В единия случай помислете за линии, пресичащи се в точка А, а в другия случай, пресичащи се в точка С. Нека умножим лявата и дясната страна на тези уравнения:

Теоремата е доказана.
Теоремата се доказва по подобен начин за случай b).

От точка C начертаваме отсечка CC 1, успоредна на права BK. Нека запишем връзките, в които участват сегментите, включени във формулата на теоремата на Менелай. В единия случай разгледайте линиите, пресичащи се в точка А, а в другия случай, пресичащи се в точка М. Тъй като теоремата на Талес не казва нищо за местоположението на сегментите на две пресичащи се прави, сегментите могат да бъдат разположени от противоположните страни на точка М Следователно,

Теоремата е доказана.

Сега нека докажем обратната теорема.
дадени:
Докажете, че точки B, P, K лежат на една права.
Доказателство. Нека правата BP пресича AC в точка K 2, която не съвпада с точката K. Тъй като BP е права линия, съдържаща точката K 2 , то току-що доказаната теорема на Менелай е валидна за нея. Така че, нека го запишем за нея
Ние обаче току що го доказахме
От това следва, че точките K и K 2 съвпадат, тъй като разделят страната AC в същото отношение.
За случай b) теоремата се доказва по подобен начин.

Решаване на задачи с помощта на теоремата на Менелай

Първо, нека се върнем към проблем 1 и да го решим. Нека го прочетем отново. Да направим чертеж:

Даден е трапец ABCD. ST - средна линия на трапеца, т.е. едно от дадените разстояния. Ъгли A и D се събират до 90°. Продължаваме страните AB и CD и при пресичането им получаваме точка K. Свързваме точка K с точка N - средата на BC. Сега доказваме, че точка P, която е средата на основата AD, също принадлежи на правата KN. Нека разгледаме последователно триъгълниците ABD и ACD. Две страни на всеки триъгълник се пресичат с права KP. Да предположим, че правата KN пресича основата AD в някаква точка X. По теоремата на Менелай:
Тъй като триъгълникът AKD е правоъгълен, точка P, която е средата на хипотенузата AD, е на еднакво разстояние от A, D и K. По същия начин точка N е на еднакво разстояние от точки B, C и K. Къде едната основа е равна на 36, а другата е равна на 2.
Решение. Да разгледаме триъгълник BCD. Той се пресича от лъча AX, където X е пресечната точка на този лъч с продължението на страната BC. Според теоремата на Менелай:
Замествайки (1) в (2), получаваме:

Решение. Нека означим с буквите S 1 , S 2 , S 3 и S 4 площите съответно на триъгълниците AOB, AOM, BOK и четириъгълника MOKC.

Тъй като BM е медианата, тогава S ABM = S BMC.
Това означава S 1 + S 2 = S 3 + S 4.
Тъй като трябва да намерим съотношението на площите S 1 и S 4, разделяме двете страни на уравнението на S 4:
Нека заместим тези стойности във формула (1): От триъгълника BMC със секущата AK според теоремата на Менелай имаме: От триъгълник AKC със секуща BM, по теоремата на Менелай имаме: Всички необходими отношения са изразени чрез k и сега можете да ги заместите в израз (2):
Решението на този проблем с помощта на теоремата на Менелай е обсъдено на страницата.

Бележка на учителя по математика.Прилагането на теоремата на Менелай в този проблем е самият случай, когато този метод ви позволява значително да спестите време на изпита. Тази задача се предлага в демо версията на приемния изпит в Лицея към Висшето училище по икономика за 9. клас (2019 г.).

Решете сами

1) Задачата е по-проста. Върху медианата BD на триъгълник ABC е отбелязана точка M, така че BM: MD = m: n. Правата AM пресича страната BC в точка K.
Намерете отношението BK:KC.
2) Задачата е по-трудна. Симетралата на ъгъл A на успоредника ABCD пресича страната BC в точка P, а диагонала BD в точка T. Известно е, че AB: AD = k (0 3) Задача № 26 OGE. В триъгълник ABC ъглополовящата BE и медианата AD са перпендикулярни и имат еднаква дължина, равна на 36. Намерете страните на триъгълник ABC.
Съвет за учител по математика.В интернет може да се намери решение на такъв проблем, като се използва допълнителна конструкция и след това или подобие, или намиране на площите и едва след това страните на триъгълника. Тези. и двата метода изискват допълнителна конструкция. Въпреки това, решаването на такъв проблем с помощта на свойството на ъглополовящата и теоремата на Менелай не изисква никакви допълнителни конструкции. Това е много по-просто и по-рационално.

ТЕОРЕМИ НА ЧЕВА И МЕНЕЛАЙ

Теорема на Чева

Повечето от забележителните триъгълни точки могат да бъдат получени чрез следната процедура. Нека има някакво правило, според което можем да изберем определена точка А 1 , на страната BC (или нейното продължение) на триъгълник ABC (например изберете средата на тази страна). След това ще построим подобни точки B 1, С 1 от другите две страни на триъгълника (в нашия пример има още две средни точки на страните). Ако правилото за избор е успешно, тогава прав AA 1, BB 1, CC 1 ще се пресичат в някаква точка Z (изборът на средите на страните в този смисъл, разбира се, е успешен, тъй като медианите на триъгълника се пресичат в една точка).

Бих искал да имам някакъв общ метод, който позволява да се определи от позицията на точките от страните на триъгълник дали съответната тройка прави се пресича в една точка или не.

Универсално условие, което "затваря" този проблем, е открито през 1678 г. от италиански инженерДжовани Чева .

Определение. Сегменти, свързващи върховете на триъгълник с точки от противоположните страни (или техните продължения), се наричат цевиани, ако се пресичат в една точка.

Има две възможни места за цевианите. В една версия точката

пресечните точки са вътрешни, а краищата на цевианите лежат на страните на триъгълника. При втория вариант пресечната точка е външна, краят на един севиан лежи отстрани, а краищата на другите два севиана лежат върху разширенията на страните (вижте чертежите).

Теорема 3. (директната теорема на Ceva) В произволен триъгълник ABC точки A са взети съответно на страни BC, CA, AB или техните продължения 1 , ИН 1 , СЪС 1 , така че прав AA 1 , BB 1 , SS 1 тогава се пресичат в някаква обща точка

Доказателство: Въпреки че са известни няколко оригинални доказателства на теоремата на Чева, ние ще разгледаме доказателство, базирано на двойно приложение на теоремата на Менелай. Нека запишем връзката на теоремата на Менелай за първи път за триъгълникABB 1 и секанс CC 1 (означаваме пресечната точка на цевианитеЗ):

и втори път за триъгълникб 1 пр.н.е.и секанс А.А. 1 :

Като умножим тези две съотношения и направим необходимите редукции, получаваме съотношението, съдържащо се в твърдението на теоремата.

Теорема 4. (Обратната теорема на Ceva) . Ако за избраните от страните на триъгълника ABC или техните разширения на точки А 1 , ИН 1 И В 1 Условието на Чева е удовлетворено:

след това направо А.А. 1 , BB 1 И CC 1 се пресичат в една точка .

Доказателството на тази теорема се извършва от противно, точно както доказателството на теоремата на Менелай.

Нека разгледаме примери за приложението на директните и обратните теореми на Ceva.

Пример 3. Докажете, че медианите на триъгълник се пресичат в една точка.

Решение. Помислете за връзката

за върховете на триъгълник и средите на страните му. Очевидно във всяка дроб числителят и знаменателят имат равни сегменти, така че всички тези дроби са равни на едно. Следователно връзката на Чева е изпълнена, следователно, по обратната теорема, медианите се пресичат в една точка.

Теорема (теорема на Ceva) . Нека точките легнете на странии триъгълник съответно. Нека сегментитеИ се пресичат в една точка. Тогава

(обикаляме триъгълника по посока на часовниковата стрелка).

Доказателство.Нека означим с точка на пресичане на сегментиИ . Нека пропуснем от точкитеИ перпендикуляри на правапреди да го пресече в точкиИ съответно (виж фигурата).

Защото триъгълнициИ имат обща страна, тогава техните площи са свързани с височините, начертани от тази страна, т.е.И :

Последното равенство е вярно, тъй като правоъгълните триъгълнициИ подобни в остър ъгъл.

По същия начин получаваме

Нека умножим тези три равенства:

Q.E.D.

Относно медианите:

1. Поставете единични маси във върховете на триъгълник ABC.
2. Центърът на масата на точките A и B е в средата на AB. Центърът на масата на цялата система трябва да е на медианата към страната AB, тъй като центърът на масата на триъгълник ABC е центърът на масата на центъра на масата на точките A и B и точката C.
(стана объркващо)
3. Аналогично - CM трябва да лежи върху медианата на страните AC и BC
4. Тъй като CM е една точка, тогава всички тези три медиани трябва да се пресичат в нея.

Между другото, веднага следва, че чрез пресичане те се разделят в съотношение 2:1. Тъй като масата на центъра на масата на точките A и B е 2, а масата на точка C е 1, следователно общият център на масата, съгласно теоремата за пропорцията, ще раздели медианата в съотношение 2/1 .

Благодаря много, представено е достъпно, мисля, че няма да е излишно да представим доказателството с методите на геометрията на масата, например:
Правите AA1 и CC1 се пресичат в точка O; AC1: C1B = p и BA1: A1C = q. Трябва да докажем, че правата BB1 минава през точка O, ако и само ако CB1: B1A = 1: pq.
Нека поставим маси 1, p и pq съответно в точки A, B и C. Тогава точка C1 е центърът на масата на точките A и B, а точката A1 е центърът на масата на точките B и C. Следователно центърът на масата на точките A, B и C с тези маси е точката O на пресечна точка на линии CC1 и AA1. От друга страна, точка O лежи на отсечката, свързваща точка B с центъра на масата на точките A и C. Ако B1 е центърът на масата на точките A и C с маси 1 и pq, тогава AB1: B1C = pq: 1. Остава да отбележим, че на отсечката AC има една точка, която я дели в даденото отношение AB1: B1C.

2. Теорема на Чева

Отсечка, свързваща връх на триъгълник с точка от противоположната страна, се наричаceviana . Така, ако в триъгълникABC X , Y и З - точки, разположени отстранипр.н.е. , C.A. , AB съответно, тогава сегментитеБРАВИЛА , ОТ , CZ са чевианци. Терминът идва от италианския математик Джовани Чева, който през 1678 г. публикува следната много полезна теорема:

Теорема 1.21. Ако три севиана AX, BY, CZ (по един от всеки връх) на триъгълник ABC са конкурентни, тогава

|BX||XC|· |CY||YA|· |AZ||ZB|=1 .

ориз. 3.

Когато кажем, че три линии (или сегменти)състезателен , тогава имаме предвид, че всички те преминават през една точка, която означаваме сП . За да докажете теоремата на Чева, припомнете си, че площите на триъгълници с равни височини са пропорционални на основите на триъгълниците. Позовавайки се на Фигура 3, имаме:

|BX||XC|= SABXSAXC= SPBXSPXC= SABX−SPBXSAXC−SPXC= SABPSCAP.

по същия начин,

|CY||YA|= SBCPSABP, |AZ||ZB|= SCAPSBCP.

Сега, ако ги умножим, получаваме

|BX||XC|· |CY||YA|· |AZ||ZB|= SABPSCAP· SBCPSABP· SCAPSBCP=1 .

Обратното на тази теорема също е вярно:

Теорема 1.22. Ако три севиана AX, BY, CZ отговарят на отношението

|BX||XC|· |CY||YA|· |AZ||ZB|=1 ,

тогава те са конкурентни .

За да покажем това, да предположим, че първите два цевиана се пресичат в точкатаП , както преди, и третият цевиан, минаващ през точкатаП , щеCZ' . Тогава, по теорема 1.21,

|BX||XC|· |CY||YA|· |AZ′||Z′B|=1 .

Но по предположение

|BX||XC|· |CY||YA|· |AZ||ZB|=1 .

следователно

|AZ||ZB|= |AZ′||Z′B| ,

точкаZ′ съвпада с точкатаЗ , и доказахме, че сегментитеБРАВИЛА , ОТ ИCZ конкурентен (, стр. 54 и , стр. 48, 317).

А.В. Шевкин

FMS № 2007

Теореми на Чева и Менелай на единния държавен изпит

Подробна статия „Около теоремите на Сева и Менелай“ беше публикувана на нашия уебсайт в раздел СТАТИИ. Насочено е към учители по математика и гимназисти, които са мотивирани да придобият умения в областта на математиката. Можете да се върнете към него, ако искате да разберете проблема по-подробно. В тази бележка ще предоставим кратка информация от споменатата статия и ще анализираме решения на задачи от сборника за подготовка за Единния държавен изпит 2016.

Теорема на Чева

Нека е даден триъгълник ABCи отстрани AB, пр.н.е.И A.C.отбелязани точки В 1 , А 1 И б 1 съответно (фиг. 1).

а) Ако сегментите АА 1 , BB 1 и CC 1 се пресичат в една точка, тогава

б) Ако равенството (1) е вярно, то отсечките АА 1 , BB 1 и CC 1 се пресичат в една точка.

Фигура 1 показва случая, когато сегментите АА 1 , BB 1 и CC 1 се пресичат в една точка вътре в триъгълника. Това е така нареченият случай на вътрешна точка. Теоремата на Ceva е валидна и в случай на външна точка, когато една от точките А 1 , б 1 или СЪС 1 принадлежи на страната на триъгълника, а другите две принадлежат на продълженията на страните на триъгълника. В този случай пресечната точка на сегментите АА 1 , BB 1 и CC 1 лежи извън триъгълника (фиг. 2).

Как да запомним равенството на Чева?

Нека обърнем внимание на техниката за запомняне на равенството (1). Върховете на триъгълника във всяка релация и самите релации се записват по посока на преминаване през върховете на триъгълника ABC, започвайки от точка А. От точка Анека да преминем към точката б, разбираме смисъла СЪС 1, напишете дробта
. По-нататък от точката INнека да преминем към точката СЪС, разбираме смисъла А 1, напишете дробта
. И накрая, от точката СЪСнека да преминем към точката А, разбираме смисъла IN 1, напишете дробта
. В случай на външна точка редът на записване на дроби се запазва, въпреки че двете „точки на разделяне“ на отсечката са извън своите отсечки. В такива случаи те казват, че точката разделя сегмента външно.

Обърнете внимание, че всеки сегмент, свързващ върха на триъгълник с която и да е точка от линия, съдържаща противоположната страна на триъгълника, се нарича ceviana.

Нека разгледаме няколко начина за доказване на твърдение а) от теоремата на Чева за случай на вътрешна точка. За да докажете теоремата на Ceva, трябва да докажете твърдение a) чрез който и да е от методите, предложени по-долу, както и да докажете твърдение b). Доказателството на твърдение б) е дадено след първия метод за доказване на твърдение а). Доказателството на теоремата на Чева за случай на външна точка се извършва по подобен начин.

Доказателство на твърдение а) на теоремата на Ceva с помощта на теоремата за пропорционалния сегмент

Нека три севиани АА 1 , бб 1 и ВВ 1 се пресичат в точка Звътре в триъгълника ABC.

Идеята на доказателството е да се заменят отношенията на отсечките от равенството (1) с отношенията на отсечките, лежащи на една права.

През точката INНека начертаем права линия, успоредна на севиана СС 1. Направо АА 1 пресича построената права в точката М, и правата, минаваща през точката Ви паралелно АА 1 , - в точка Т. Чрез точки АИ СЪСнека начертаем прави линии, успоредни на цевианите BB 1. Те ще преминат границата VMпо точки НИ Рсъответно (фиг. 3).

П относно теоремата за пропорционалните отсечки имаме:

,
И
.

Тогава равенствата са верни

В успоредници ZСTMИ ZCRBсегменти TM, СZИ БРравни като противоположните страни на успоредник. следователно
и равенството е вярно

За да докажем твърдение b), използваме следното твърдение. ориз. 3

Лема 1.Ако точки СЪС 1 и СЪС 2 разделете сегмента ABвътрешно (или външно) в една и съща връзка, считано от една и съща точка, тогава тези точки съвпадат.

Нека докажем лемата за случая, когато точките СЪС 1 и СЪС 2 разделете сегмента ABвътрешно в същата връзка:
.

Доказателство.От равенството
следват равенства
И
. Последният от тях е изпълнен само при условие, че СЪС 1 бИ СЪС 2 бса равни, т.е. при условие, че точките СЪС 1 и СЪС 2 съвпадение.

Доказателство на лемата за случая, когато точките СЪС 1 и СЪС 2 разделете сегмента ABВъншно се извършва по подобен начин.

Доказателство на твърдение б) от теоремата на Чева

Нека сега равенството (1) е вярно. Нека докажем, че сегментите АА 1 , BB 1 и CC 1 се пресичат в една точка.

Нека Chevians АА 1 и BB 1 се пресичат в точка З, начертайте отсечка през тази точка CC 2 (СЪС 2 лежи на отсечката AB). Тогава въз основа на твърдение а) получаваме правилното равенство

. (2)

И От сравнението на равенства (1) и (2) заключаваме, че
, т.е. точки СЪС 1 и СЪС 2 разделете сегмента ABв същата връзка, считано от същата точка. От лема 1 следва, че точките СЪС 1 и СЪС 2 съвпадение. Това означава, че сегментите АА 1 , BB 1 и CC 1 се пресичат в една точка, което трябваше да се докаже.

Може да се докаже, че процедурата за записване на равенство (1) не зависи от това от коя точка и в каква посока се преминават върховете на триъгълника.

Задача 1.Намерете дължината на отсечката АНна фигура 4, която показва дължините на други сегменти.

отговор. 8.

Задача 2. Chevians А.М., BN, CKсе пресичат в една точка вътре в триъгълника ABC. Намерете отношение
, Ако
,
. ориз. 4

отговор.
.

П Представяме доказателството на теоремата на Ceva от статията. Идеята на доказателството е да се заменят отношенията на отсечките от равенството (1) с отношенията на отсечките, лежащи на успоредни прави.

Нека направо АА 1 , бб 1 , ВВ 1 се пресичат в точка Овътре в триъгълника ABC(фиг. 5). През върха СЪСтриъгълник ABCнека начертаем права успоредна линия AB, и неговите пресечни точки с линиите АА 1 , бб 1 означаваме съответно А 2 , б 2 .

От подобието на две двойки триъгълници C.B. 2 б 1 И ABB 1 , БАД 1 И C.A. 2 А 1, фиг. 5

имаме равенства

,
. (3)

От подобието на триъгълниците пр.н.е 1 ОИ б 2 CO, АСЪС 1 ОИ А 2 COимаме равенства
, от което следва, че

. (4)

П Умножавайки равенства (3) и (4), получаваме равенство (1).

Твърдение а) от теоремата на Чева е доказано.

Нека разгледаме доказателството на твърдение а) на теоремата на Чева, използвайки площи за вътрешна точка. Тя е представена в книгата на А.Г. Мякишев и разчита на твърдения, които формулираме под формата на задачи 3 И 4 .

Задача 3.Отношението на площите на два триъгълника с общ връх и основи, лежащи на една права, е равно на отношението на дължините на тези основи. Докажете това твърдение.

Задача 4.Докажете, че ако
, Това
И
.

ориз. 6 АА 1 , BB 1 и CCНека сегментите З 1 се пресичат в точка

,
. (5)

И (фиг. 6), тогава 4 от равенства (5) и втората постановка на задачата
следва, че
или
И
. По същия начин получаваме това

. Умножавайки последните три равенства, получаваме:

Твърдение а) от теоремата на Чева е доказано.

т.е. равенството (1) е вярно, което е необходимо да се докаже.Задача 15. Нека севианите се пресичат в една точка вътре в триъгълника и го разделят на 6 триъгълника, чиито площи са равни 1 , Нека севианите се пресичат в една точка вътре в триъгълника и го разделят на 6 триъгълника, чиито площи са равни 2 , Нека севианите се пресичат в една точка вътре в триъгълника и го разделят на 6 триъгълника, чиито площи са равни 3 , Нека севианите се пресичат в една точка вътре в триъгълника и го разделят на 6 триъгълника, чиито площи са равни 4 , Нека севианите се пресичат в една точка вътре в триъгълника и го разделят на 6 триъгълника, чиито площи са равни 5 , Нека севианите се пресичат в една точка вътре в триъгълника и го разделят на 6 триъгълника, чиито площи са равниС

6 (фиг. 7). Докажи това.ориз. 7 Нека севианите се пресичат в една точка вътре в триъгълника и го разделят на 6 триъгълника, чиито площи са равниЗадача 6. Намерете районатриъгълник

отговор. 15.

CNZориз. 7 Нека севианите се пресичат в една точка вътре в триъгълника и го разделят на 6 триъгълника, чиито площи са равниЗадача 6. (площите на другите триъгълници са показани на фигура 8).Задача 7. АCNO, ако площта на триъгълника
,
НЕ

отговор. 30.

е равно на 10 иориз. 7 Нека севианите се пресичат в една точка вътре в триъгълника и го разделят на 6 триъгълника, чиито площи са равниЗадача 6. (площите на другите триъгълници са показани на фигура 8).Задача 7. Апр.н.е.(фиг. 9).
НЕ

Задача 8. равно на 88 и ,Р
,
решение. Тъй като , ние обозначаваме
,
. защото
, тогава означаваме
. От теоремата на Ceva следва, че
, Това
, и след това . Ако, (фиг. 10). Имаме три неизвестни количества ( И Нека севианите се пресичат в една точка вътре в триъгълника и го разделят на 6 триъгълника, чиито площи са равних Нека севианите се пресичат в една точка вътре в триъгълника и го разделят на 6 триъгълника, чиито площи са равниг

), така че да намерите
, Това
Нека съставим три уравнения.
, Това
защото
= 88. Тъй като
, Това
.

, където
защото
. защото

така че. . ABCориз. 10 Задача 9И В триъгълникточки AB И бВ.
,
. П КИ CKЛ принадлежат съответно на странитеАЛ ABC.

отговор. 1,75.

. Площ на триъгълник PBC

Нека е даден триъгълник ABCи отстрани A.C.И е равно на 1. Намерете лицето на триъгълникаТ б 1 и А 1 Теорема на Менелай AB CB Вмаркирани точки

съответно и от страната на продължението А 1 , б 1 и СЪСотбелязана точка

. (6)

1 (фиг. 11). А 1 , б 1 и СЪСа) Ако точките

1 лежат на една и съща права линия, тогава

Техниката за запомняне на равенство (6) е същата като за равенство (1). Върховете на триъгълника във всяка релация и самите релации се записват по посока на преминаване през върховете на триъгълника ABC- от връх към връх, преминавайки през точки на разделяне (вътрешни или външни).

Задача 10.Докажете, че записването на равенство (6) от който и да е връх на триъгълника във всяка посока дава един и същ резултат.

За да докажете теоремата на Менелай, трябва да докажете твърдение а) по който и да е от методите, предложени по-долу, както и твърдение б). Доказателството на твърдение б) е дадено след първия метод за доказване на твърдение а).

Доказателство на твърдение а) с помощта на теоремата за пропорционалния сегмент

азначин.а) Идеята на доказателството е да се заменят съотношенията на дължините на отсечките в равенството (6) с отношенията на дължините на отсечките, лежащи на една права.

Нека точките А 1 , б 1 и СЪС 1 лежат на една и съща права линия. През точката Внека направим директен л, успоредна на правата А 1 б 1, тя пресича правата ABв точката М(фиг. 12).

Задача 8.
е. 12

По теоремата за пропорционалните отсечки имаме:
И
.

Тогава равенствата са верни
.

Доказателство на твърдение b) от теоремата на Менелай

Сега нека равенството (6) е вярно, нека докажем, че точките А 1 , б 1 и СЪС 1 лежат на една и съща права линия. Нека направо ABИ А 1 б 1 се пресичат в точка СЪС 2 (фиг. 13).

Тъй като точките А 1 б 1 и СЪС 2 лежат на една и съща права, то съгласно твърдение а) от теоремата на Менелай

. (7)

От сравнение на равенства (6) и (7) имаме
, от което следва, че равенствата са верни

,
,
.

Последното равенство е вярно само ако
, т.е. ако точките СЪС 1 и СЪС 2 съвпадение.

Твърдение б) от теоремата на Менелай е доказано.

ориз. 13

Доказателство на твърдение а) с помощта на подобие на триъгълници

Нека точките А 1 , б 1 и СЪСИдеята на доказателството е да се заменят съотношенията на дължините на отсечките от равенството (6) с отношенията на дължините на отсечките, лежащи на успоредни прави. А, бИ В 1 лежат на една и съща права линия. От точки АА 0 , ббнека начертаем перпендикуляри СС 0 и

Задача 8.
0 към тази права (фиг. 14).

е. 14 А.А. 0 б 1 И CC 0 б 1 , CC 0 А 1 И BB 0 А 1 , В 1 б 0 бИ В 1 А 0 АОт подобието на три двойки триъгълници

,
,
,

(при два ъгъла) имаме правилните равенства

като ги умножим, получаваме:

Твърдение а) от теоремата на Менелай е доказано.

Доказателство за твърдение a) използване на площи

Нека точките А 1 , б 1 и СЪСИдеята на доказателството е съотношението на дължините на отсечките от равенството (7) да се замени с отношението на площите на триъгълниците. ВИ В 1 лежат на една и съща права линия. Нека свържем точките Нека севианите се пресичат в една точка вътре в триъгълника и го разделят на 6 триъгълника, чиито площи са равни 1 , Нека севианите се пресичат в една точка вътре в триъгълника и го разделят на 6 триъгълника, чиито площи са равни 2 , Нека севианите се пресичат в една точка вътре в триъгълника и го разделят на 6 триъгълника, чиито площи са равни 3 , Нека севианите се пресичат в една точка вътре в триъгълника и го разделят на 6 триъгълника, чиито площи са равни 4 , Нека севианите се пресичат в една точка вътре в триъгълника и го разделят на 6 триъгълника, чиито площи са равни 1. Нека означим площите на триъгълниците

Тогава равенствата са верни

,
,
. (8)

5 (фиг. 15).

като ги умножим, получаваме:

Задача 8.
Умножавайки равенства (8), получаваме:

Точно както теоремата на Ceva остава валидна, ако пресечната точка на Cevians е извън триъгълника, теоремата на Менелай остава валидна, ако секансът пресича само продълженията на страните на триъгълника. В този случай можем да говорим за пресичане на страните на триъгълника във външните точки.

Доказателство за твърдение а) за случай на външни точки

П секансът пресича страните на триъгълника ABCвъв външни точки, т.е. пресича разширенията на страните AB,пр.н.е.И A.C.по точки В 1 , А 1 и б 1, съответно, и тези точки лежат на една и съща права (фиг. 16).

По теоремата за пропорционалните отсечки имаме:

И .

Тогава равенствата са верни

Твърдение а) от теоремата на Менелай е доказано.

ориз. 16

Обърнете внимание, че горното доказателство съвпада с доказателството на теоремата на Менелай за случая, когато секансът пресича две страни на триъгълника във вътрешните точки и една във външните.

Доказателството на твърдение b) от теоремата на Менелай за случая на външни точки е подобно на доказателството, дадено по-горе. З11. задание ABCВ триъгълник точки 1 , INА 1 легнете съответно отстраниИ АСЪС. Пслънце АА 1 И BB 1 .
,
- точка на пресичане на сегменти
.

Решение.. Намерете отношение
,
,
,
Нека обозначим пр.н.е.IN(фиг. 17). Според теоремата на Менелай за триъгълник 1 и секанс PA

1 записваме правилното равенство:

откъдето следва, че

отговор. .

Доказателството на твърдение b) от теоремата на Менелай за случая на външни точки е подобно на доказателството, дадено по-горе. З12 . задание ABC, ориз. 17 (MSU, задочни подготвителни курсове).чиято площ е 6, отстрани AB, взета точка
ДО споделяне на тази страна във връзка, и отстрани В триъгълник, AC споделяне на тази страна във връзка- точка
разделяне П относно . ТочкаИ INВ триъгълник пресичания на линии (MSU, задочни подготвителни курсове). SK далеч от правата линия

Решение.на разстояние 1,5. Намерете дължината на страната AB.И СЪСОт точки РИ нека изпуснем перпендикулярите PR (MSU, задочни подготвителни курсове). CM
,
,
,
директно . Нека обозначим(фиг. 18). Според теоремата на Менелай за триъгълник A.K.C.и секанс
П.Л.
,
Нека запишем правилното равенство:

От подобието на триъгълниците AB, откъде го получавамеИ AB.ориз. 18
M.C.
.

Р.П. ABтриъгълник (под два ъгъла) получаваме това, от което следва, че
.

отговор. 4.

Доказателството на твърдение b) от теоремата на Менелай за случая на външни точки е подобно на доказателството, дадено по-горе. З13. Сега знаем дължината на височината, начертана отстрани А,ABC,СЪС, , и площта на този триъгълник, изчисляваме дължината на страната:
Три кръга с центрове X, Y, З IN БРАВИЛАИ ОТчиито радиуси са свързани като О. , допират се външно на точки бкакто е показано на Фигура 19. Сегменти CZпресичат се в точка ОТ?

Решение.В какво отношение, считано от точката
,
,
, сегмент
разделя сегмент АX, ОТИ СЪСЗНека обозначим О(фиг. 19). защото CZпресичат се в точка ОТ, тогава чрез твърдение b) от теоремата на Ceva сегментите
пресичат се в една точка - точка

. След това сегментът относно. Нека намерим тази връзка. ориз. 19 Според теоремата на Менелай за триъгълникпр.н.е.
M.C.
.

отговор. .

и секанс

ОХ IN 1 и СЪС споделяне на тази страна във връзкаИ (MSU, задочни подготвителни курсове).Задача 6. ABCимаме: (MSU, задочни подготвителни курсове). 1:б 1 СЪС =
= споделяне на тази страна във връзка 1:СЪС 1 бЗадача 14 (Единен държавен изпит 2016 г.). BB 1 И СС 1 Точки , и

. Директен пресичат се в точка ЗА.А ) Докажете, че линията

AB 1 АДразполовява страната ABCслънце (MSU, задочни подготвителни курсове). 1:б 1 СЪС = 1:4.

Решение. O.C. 1 към площта на триъгълника пресича страната пр.н.е. в точката А 1 (фиг. 20). По теоремата на Ceva имаме:

. (9)

защото (MSU, задочни подготвителни курсове). 1:б 1 СЪС = споделяне на тази страна във връзка 1:СЪС 1 б, то от равенството (9) следва, че
, т.е C.A. 1 = А 1 б, което трябваше да се докаже. ориз. 20

б) Нека площта на триъгълника AB 1 О равно на Нека севианите се пресичат в една точка вътре в триъгълника и го разделят на 6 триъгълника, чиито площи са равни. ), така че да намерите (MSU, задочни подготвителни курсове). 1:б 1 СЪС C.B. 1 О е равно на 4 Нека севианите се пресичат в една точка вътре в триъгълника и го разделят на 6 триъгълника, чиито площи са равни, и площта на триъгълника AOC е равно на 5 Нека севианите се пресичат в една точка вътре в триъгълника и го разделят на 6 триъгълника, чиито площи са равни. След това площта на триъгълника AOB също е равно на 5 Нека севианите се пресичат в една точка вътре в триъгълника и го разделят на 6 триъгълника, чиито площи са равни, тъй като триъгълници AOB И AOCимат обща основа 1 към площта на триъгълника, и техните върхове бИ Вна еднакво разстояние от линията 1 към площта на триъгълника. Освен това площта на триъгълника AOC 1 е равно Нека севианите се пресичат в една точка вътре в триъгълника и го разделят на 6 триъгълника, чиито площи са равни, защото споделяне на тази страна във връзка 1:СЪС 1 б = 1:4. След това площта на триъгълника ABB 1 е равно на 6 Нека севианите се пресичат в една точка вътре в триъгълника и го разделят на 6 триъгълника, чиито площи са равни. защото (MSU, задочни подготвителни курсове). 1:б 1 СЪС= 1:4, тогава площта на триъгълника C.B. 1 О равно на 24 Нека севианите се пресичат в една точка вътре в триъгълника и го разделят на 6 триъгълника, чиито площи са равни, и площта на триъгълника ABC равно на 30 Нека севианите се пресичат в една точка вътре в триъгълника и го разделят на 6 триъгълника, чиито площи са равни. Сега нека намерим съотношението на площта на четириъгълника AB 1 АД 1 (2Нека севианите се пресичат в една точка вътре в триъгълника и го разделят на 6 триъгълника, чиито площи са равни) към площта на триъгълника ABC (30Нека севианите се пресичат в една точка вътре в триъгълника и го разделят на 6 триъгълника, чиито площи са равни), то е равно на 1:15.

отговор. 1:15.

Задача 15 (Единен държавен изпит 2016).

ОХ IN 1 и СЪС 1 легнете съответно отстрани споделяне на тази страна във връзкаИ (MSU, задочни подготвителни курсове).Задача 6. ABCимаме: (MSU, задочни подготвителни курсове). 1:б 1 СЪС =
= споделяне на тази страна във връзка 1:СЪС 1 бЗадача 14 (Единен държавен изпит 2016 г.). BB 1 И СС 1 Точки , и

а) Докажете, че правата ЗА.разполовява страната ) Докажете, че линията

б) Намерете отношението на площта на четириъгълника AB 1 АДразполовява страната ABCслънце (MSU, задочни подготвителни курсове). 1:б 1 СЪС = 1:3.

отговор. 1:10.

Доказателството на твърдение b) от теоремата на Менелай за случая на външни точки е подобно на доказателството, дадено по-горе. задача 16 (USE-2016).На сегмента BDвзета точка СЪС. Симетрала Б.Л. ABCс основа 1 легнете съответно отстрани BLDс основа BD.

а) Докажете, че триъгълникът DCLравнобедрен.

б) Известно е, че cos
ABC DL, т.е. триъгълник BDвзета точка СЪС. Симетрала Б.Л.равнобедрен триъгълник ABCс основа 1 легнете съответно отстрание страничната страна на равнобедрен триъгълник BLDс основа BD.

а) Докажете, че триъгълникът DCLравнобедрен.

б) Известно е, че cos ABC= . В какво отношение е правата линия Д.Л. разделя страната (MSU, задочни подготвителни курсове).?

отговор. 4:21.

Литература

1. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Прекрасни точки и линии на триъгълника. М.: Математика, 2006, № 17.

2. Мякишев А.Г. Триъгълни геометрични елементи. (Поредица “Библиотека “Математическо образование””). М.: МЦНМО, 2002. - 32 с.

3. Геометрия. Допълнителни глави към учебника за 8 клас: Учебник за ученици от училища и класове със задълбочено изучаване / L.S. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.: Вита-Прес, 2005. - 208 с.

4. Ердниев П., Манцаев Н. Теореми на Чева и Менелай. М.: Квант, 1990, № 3, стр. 56–59.

5. Шаригин И.Ф. Теореми на Чева и Менелай. М.: Квант, 1976, № 11, стр. 22–30.

6. Вавилов В.В. Медиани и средни линии на триъгълник. М.: Математика, 2006, № 1.

7. Ефремов Дм. Нова геометрия на триъгълник. Одеса, 1902. - 334 с.

8. Математика. 50 варианта на типични тестови задачи / I.V. Яшченко, М.А. Волкевич, И.Р. Висоцки и др.; редактиран от И.В. Ященко. - М.: Издателство "Изпит", 2016. - 247 с.

— Какво е общото между теоремата на Менелай и лекарствата?
"Всички знаят за тях, но никой не говори за тях."
Типичен разговор със студент

Това е страхотна теорема, която ще ви помогне в момент, когато изглежда, че нищо не може да помогне. В този урок ще формулираме самата теорема, ще разгледаме няколко варианта за нейното използване и като десерт ще имате трудна домашна работа. да тръгваме!

Първо, формулировката. Може би няма да дам най-„красивата“ версия на теоремата, но най-разбираемата и удобна.

Теорема на Менелай. Нека разгледаме произволен триъгълник $ABC$ и определена права линия $l$, която пресича две страни на нашия триъгълник вътрешно и една страна в продължението. Нека означим пресечните точки на $M$, $N$ и $K$:
Триъгълник $ABC$ и секанс $l$
Тогава е вярна следната връзка:

\[\frac(AM)(MB)\cdot \frac(BN)(NC)\cdot \frac(CK)(KA)=1\]

Бих искал да отбележа: няма нужда да натъпквате разположението на буквите в тази зла формула! Сега ще ви кажа алгоритъм, чрез който винаги можете да възстановите и трите фракции буквално в движение. Дори по време на изпит под стрес. Дори да седиш на геометрията в 3 сутринта и да не разбираш абсолютно нищо :)

Схемата е проста:

Начертайте триъгълник и секанс. Например, както е показано в теоремата. Означаваме върхове и точки с някои букви. Може да бъде произволен триъгълник $ABC$ и права линия с точки $M$, $N$, $K$ или някаква друга - това не е важното.
Поставете химикал (молив, маркер, писалка с перо) във всеки връх на триъгълника и започнете да обикаляте страните на този триъгълник със задължително влизане в точките на пресичане с правата. Например, ако първо преминем от точка $A$ до точка $B$, ще получим отсечките: $AM$ и $MB$, след това $BN$ и $NC$ и след това (внимание!) $CK$ и $KA$. Тъй като точка $K$ лежи върху продължението на страна $AC$, при преместване от $C$ към $A$ ще трябва временно да напуснете триъгълника.
И сега просто разделяме съседните сегменти един на друг точно в реда, в който сме ги получили при преминаване: $AM/MB$, $BN/NC$, $CK/KA$ - получаваме три дроби, произведението на които ще ни даде един.

На чертежа ще изглежда така:

Проста схема, която ви позволява да възстановите формулата от Менелай

И само няколко коментара. По-точно, това дори не са коментари, а отговори на типични въпроси:

Какво се случва, ако права $l$ минава през върха на триъгълника? Отговор: нищо. Теоремата на Менелай не работи в този случай.
Какво се случва, ако изберете друг връх за начало или отидете в другата посока? Отговор: ще бъде същото. Последователността на дробите просто ще се промени.

Мисля, че изяснихме формулировката. Нека да видим как всички тези неща се използват за решаване на сложни геометрични проблеми.

Защо е необходимо всичко това?

Предупреждение. Прекомерното използване на теоремата на Менелай за решаване на планиметрични проблеми може да причини непоправима вреда на вашата психика, тъй като тази теорема значително ускорява изчисленията и ви принуждава да запомните други важни факти от училищен курс по геометрия.

Доказателство

няма да го доказвам :)

Добре, ще го докажа:

Сега остава да сравним двете получени стойности за сегмента $CT$:

\[\frac(AM\cdot BN\cdot CK)(BM\cdot CN\cdot AK)=1;\]

\[\frac(AM)(BM)\cdot \frac(BN)(CN)\cdot \frac(CK)(AK)=1;\]

Е, това е всичко. Остава само да "срешете" тази формула, като поставите правилно буквите вътре в сегментите - и формулата е готова.