В предишни лекции бяха разгледани методи за решаване на задачи по динамика, основани на законите на Нютон. В теоретичната механика са разработени други методи за решаване на динамични проблеми, които се основават на някои други изходни положения, наречени принципи на механиката.
Най-важният от принципите на механиката е принципът на Даламбер. Методът на кинетостатиката е тясно свързан с принципа на д'Аламбер - метод за решаване на задачи по динамика, при който динамичните уравнения се записват под формата на уравнения на равновесие. Методът на кинетостатиката се използва широко в такива общи инженерни дисциплини като якост на материалите, теория на механизмите и машините и други области на приложната механика. Принципът на Д'Аламбер се използва ефективно и в самата теоретична механика, където с негова помощ са създадени ефективни начини за решаване на проблемите на динамиката.
Принцип на Д'Аламбер за материална точка
Нека материална точка от маса извършва несвободно движение спрямо инерционната координатна система Oxyz под действието на активната сила и съединителната реакция R (фиг. 57).
Нека дефинираме вектора
числено равно на произведението на масата на точка и нейното ускорение и насочено обратно на вектора на ускорението. Векторът има размерността на силата и се нарича сила на инерцията (D'Alembert) на материална точка.
Принципът на Д’Аламбер за материална точка се свежда до следното твърдение: ако условно добавим инерционната сила на точката към силите, действащи върху материалната точка, получаваме балансирана система от сили, т.е.
Припомняйки от статиката условието за равновесие на събиращите се сили, принципът на д'Аламбер може да бъде записан и в следната форма:
Лесно се вижда, че принципът на Д'Аламбер е еквивалентен на основното уравнение на динамиката и обратно, от основното уравнение на динамиката следва принципът на Д'Аламбер. Наистина, като прехвърлим вектора в последното равенство към другата част от равенството и го заменим с , получаваме основното уравнение на динамиката. Напротив, чрез прехвърляне на термина m в главното уравнение на динамиката от същата страна като силите и използване на нотацията , получаваме нотация на принципа на д'Аламбер.
Принципът на Д'Аламбер за материална точка, бидейки напълно еквивалентен на основния закон на динамиката, изразява този закон в съвсем различна форма - под формата на уравнение на статиката. Това прави възможно използването на статични методи при съставяне на динамични уравнения, което се нарича кинетостатичен метод.
Методът на кинетостатиката е особено удобен за решаване на първия проблем на динамиката.
Пример. От най-високата точка на гладък сферичен купол с радиус R материална точка M с маса се плъзга с незначителна начална скорост (фиг. 58). Определете къде точката ще напусне купола.
Решение. Точката ще се движи по дъгата на някакъв меридиан. Нека в някакъв (текущ) момент радиусът OM сключва ъгъл с вертикалата. Разширявайки ускорението на точка а в тангенс ) и нормала, нека представим инерционната сила на точката също под формата на сумата от два компонента:
Тангенциалната компонента на инерционната сила има модул и е насочена противоположно на тангенциалното ускорение, нормалната компонента има модул и е насочена противоположно на нормалното ускорение.
Като добавим тези сили към активната сила и реакцията на купола N, действително действащ върху точката, ние съставяме кинетостатичното уравнение
Принципът на Д'Аламбер ни позволява да сведем процеса на съставяне на динамични уравнения до съставяне на статични уравнения.
Този принцип, който ще представим тук за свободна материална точка и за точка, движеща се по повърхност или по крива, е приложим за всяка задача в динамиката. Това ще ни позволи да обобщим цялата теория за движението на точката.
Нека разгледаме материална точка M с маса, която е под въздействието на сили, чиято резултантна има проекции. Уравненията на движението на тази точка могат да бъдат записани по следния начин:
Ще разгледаме заедно с векторите, представляващи сили, приложени към точка М, вектор с проекции - Този вектор, числено равен на произведението на масата и ускорението и насочен противоположно на ускорението, се нарича сила на инерцията, въпреки че това по никакъв начин да бъде сила, приложена към точката. Тогава уравненията изразяват, че геометричната сума на векторите и е равна на нула или че във всеки момент от време има равновесие между силата на инерцията и силите, действително приложени към точката.
Извеждане на уравненията на движението от принципа на д'Аламбер. Въз основа на току-що казаното, за да се намерят уравненията на движение на точка при всякакви условия, е достатъчно да се изрази, че има равновесие между всички сили, приложени към точката, и силата на инерцията. Но това може да се направи с помощта на статични методи. Можете например да приложите теоремата за възможностите за работа. За да направите това, е необходимо да се прави разлика между силите, приложени към дадена точка, посочените сили и реакциите на връзките. Нека обозначим проекциите на дадени сили.
За да напишем, че има равновесие между силите, действащи върху дадена точка, и силата на инерцията, е достатъчно да напишем, че при
всички възможни движения, позволени от връзките, съществуващи в момента, сумата от работата на дадените сили и инерционната сила е равна на нула:
Трябва да се разграничат три случая:
1°. Безплатна точка. произволен. Ако, както в параграф 282, се използва произволна координатна система, тогава, замествайки с вариации, получаваме:
където са произволни.
Замествайки в равенство (2) и приравнявайки резултата на нула за произволно, получаваме уравненията на движение във формата, посочена в параграф 282, от които изведехме уравненията на Лагранж за свободна точка.
2°. Точка на повърхността. Нека
е уравнението на повърхност, която за общо взето се приема, че се движи. Като даваме на променлива конкретна стойност, виждаме, че трябва да изпълним условието
изразявайки, че възможното движение е позволено от съществуващата в момента връзка. Ако, както в параграф 263, изразим координатите на повърхностна точка във функции на два параметъра, тогава получаваме.
и връзката (2) трябва да се осъществи, каквито и да са те. По този начин уравненията на движението ще бъдат получени във формата (4) от параграф 263. 3°. Точка на крива. Нека
Всички методи за решаване на проблеми на динамиката, които разгледахме досега, се основават на уравнения, които следват или директно от законите на Нютон, или от общи теореми, които са следствия от тези закони. Този път обаче не е единственият. Оказва се, че уравненията на движението или условията на равновесие на механична система могат да бъдат получени, като се основават на други общи принципи, наречени принципи на механиката, вместо на законите на Нютон. В редица случаи прилагането на тези принципи позволява, както ще видим, да се намерят по-ефективни методи за решаване на съответните проблеми. Тази глава ще разгледа един от основните принципи на механиката, наречен принцип на д'Аламбер.
Нека имаме система, състояща се от пматериални точки. Нека изберем една от точките на системата с маса . Под въздействието на външни и вътрешни сили, приложени към нея (които включват както активни сили, така и реакции на свързване), точката получава известно ускорение спрямо инерциалната отправна система.
Нека въведем в внимание количеството
имащ измерението на силата. Векторна величина, равна по големина на произведението на масата на точка и нейното ускорение и насочена срещу това ускорение, се нарича инерционна сила на точката (понякога инерционна сила на д'Аламберт).
Тогава се оказва, че движението на една точка има следното общо свойство: ако във всеки момент от времето добавим силата на инерцията към действително действащите върху точката сили, тогава получената система от сили ще бъде балансирана, т.е. ще
.
Този израз изразява принципа на д'Аламбер за една материална точка. Лесно се вижда, че той е еквивалентен на втория закон на Нютон и обратно. Всъщност вторият закон на Нютон за въпросната точка дава 
. Премествайки члена тук в дясната страна на равенството, стигаме до последното отношение.
Повтаряйки горните разсъждения във връзка с всяка от точките на системата, стигаме до следния резултат, изразяващ принципа на Д'Аламбер за системата: ако във всеки момент от времето съответните инерционни сили се прилагат към всяка от точките на системата, в допълнение към външните и вътрешните сили, действително действащи върху нея, тогава получената система от сили ще бъде в равновесие и всички статични уравнения могат да бъдат приложен към него.
Значението на принципа на д'Аламбер се състои в това, че когато се прилага директно към проблемите на динамиката, уравненията на движението на системата се съставят под формата на добре известни уравнения на равновесието; което прави единен подход към решаването на проблеми и обикновено значително опростява съответните изчисления. В допълнение, в комбинация с принципа на възможните премествания, който ще бъде обсъден в следващата глава, принципът на д'Аламбер ни позволява да получим нов общ метод за решаване на проблеми с динамиката.
При прилагането на принципа на д'Аламбер трябва да се има предвид, че върху точката на механичната система, чието движение се изследва, действат само външни и вътрешни сили и , възникващи в резултат на взаимодействието на точките на системата помежду си и с тела, които не са включени в системата; под въздействието на тези сили точките на системата се движат със съответните ускорения. Силите на инерцията, които се обсъждат в принципа на Д'Аламбер, не действат върху движещи се точки (в противен случай тези точки биха били в покой или се движат без ускорение и тогава няма да има самите инерционни сили). Въвеждането на инерционните сили е просто техника, която позволява да се съставят динамични уравнения, като се използват по-прости статични методи.
От статиката е известно, че геометричната сума на силите в равновесие и сумата от техните моменти спрямо всеки център ЗАса равни на нула и според принципа на втвърдяването това е вярно за силите, действащи не само върху твърдо тяло, но и върху всяка променлива система. Тогава, въз основа на принципа на Д'Аламбер, трябва да е така.
Ако разгледаме система, която се състои от няколко материални точки, подчертавайки една конкретна точка с известна маса, тогава под действието на външни и вътрешни сили, приложени към нея, тя получава известно ускорение спрямо инерционната референтна система. Сред тези сили може да има както активни сили, така и реакции на свързване.
Инерционната сила на точка е векторна величина, равна по големина на произведението на масата на точката и нейното ускорение. Тази величина понякога се нарича д'Аламбертова инерционна сила; тя е насочена обратно на ускорението. В този случай се разкрива следното свойство на движеща се точка: ако във всеки момент от времето добавим силата на инерцията към силите, действително действащи върху точката, тогава получената система от сили ще бъде балансирана. Ето как можем да формулираме принципа на д'Аламбер за една материална точка. Това твърдение е в пълно съответствие с втория закон на Нютон.
Принципите на Д'Аламбер за системата
Ако повторим всички разсъждения за всяка точка в системата, те водят до следния извод, който изразява принципа на д'Аламбер, формулиран за системата: ако във всеки момент от времето приложим към всяка от точките в системата, в допълнение към действително действащите външни и вътрешни сили, тогава тази система ще бъде в равновесие, така че всички уравнения, които се използват в статиката, могат да бъдат приложени към нея.
Ако приложим принципа на д'Аламбер за решаване на проблеми на динамиката, тогава уравненията на движението на системата могат да бъдат съставени под формата на известните ни уравнения на равновесието. Този принцип значително опростява изчисленията и прави подхода за решаване на проблеми еднакъв.
Приложение на принципа на д'Аламбер
Трябва да се има предвид, че върху движеща се точка в механична система действат само външни и вътрешни сили, които възникват в резултат на взаимодействието на точки помежду си, както и с тела, които не са включени в тази система. Точките се движат с определени ускорения под въздействието на всички тези сили. Инерционните сили не действат върху движещи се точки; в противен случай те биха се движили без ускорение или биха били в покой.
Инерционните сили се въвеждат само за да се съставят динамични уравнения с помощта на по-прости и удобни статични методи. Също така се взема предвид, че геометричната сума на вътрешните сили и сумата на техните моменти е равна на нула. Използването на уравнения, които следват от принципа на д'Аламбер, улеснява процеса на решаване на проблеми, тъй като тези уравнения вече не съдържат вътрешни сили.
Преглед:тази статия е прочетена 44027 пъти
Pdf Изберете език... Руски Украински Английски
Кратък преглед
Целият материал се изтегля по-горе, след избор на език
Общи принципи на динамиката
Принцип на Херман-Ойлер-Д'Аламбер
Инерционна сила
Принципът на Д'Аламбер (принципът на кинетостатиката) е един от общите принципи на механиката, с помощта на който уравненията на динамиката се придават под формата на уравнения на статиката. Принципът е предложен от Херман през 1716 г. и обобщен от Ойлер през 1737 г.
Материална точка Мсе движи с ускорение под въздействието на приложени сили. Третият закон на динамиката отразява двустранния характер на механичните процеси в природата. Когато две тела си взаимодействат, силите, приложени към всяко от тях, са еднакви по големина и противоположно насочени. Тъй като тези сили се прилагат към различни тела, те не са балансирани. Например, когато някакво тяло взаимодейства Аи точки М, който има маса м, точката получава ускорение. Тяло Адейства върху точка Мсъс сила F=-ma. Съгласно закона за действието и реакцията материална точка Мвлияе на тялото Асъс сила Ф=-F=-ma, която се нарича сила на инерцията.
Инерционна сила или сила на д'Аламбер- векторна величина, която има размерността на силата, е равна по големина на произведението на масата на точка и нейното ускорение и е насочена срещу това ускорение.
Принцип на Д'Аламбер за материална точка
Ако във всеки един момент добавим силата на инерцията към силите, действително действащи върху материална точка, тогава получената система от сили ще бъде балансирана.
Това означава, че за да се реши проблемът с динамиката според принципа на Херман-Ойлер-Д'Аламберт, трябва, в допълнение към силите, приложени към дадена точка, условно да се приложи инерционна сила към тази точка. прилагането на инерционна сила към точка е конвенционална техника, която намалява проблема с динамиката само под формата на решение на проблем със статиката.
Принцип на Д'Аламбер за система от материални точки
Ако във всеки момент към всяка от точките на системата се приложат съответните инерционни сили, в допълнение към действително действащите върху нея външни и вътрешни сили, тогава получената система от сили ще бъде в равновесие и всички статични уравнения могат да бъдат приложен към него.
Принцип на Д'Аламбер за ограничена механична система
Във всеки момент от времето, за всяка точка от несвободна механична система, в допълнение към силите, действително действащи върху нея, добавете съответните инерционни сили, тогава получената система от сили ще бъде балансирана и всички статични уравнения могат да бъдат приложени към то.
Тоест във всеки момент за всяка точка от несвободна механична система геометричната сума на основните вектори на дадените сили, реакциите на опорите и инерционните сили на материалните точки на системата е равна на нула.
Във всеки момент от време, за всяка точка на несвободна механична система, геометричната сума на главните моменти на дадените сили, реакциите на опорите и силите на инерцията на материалните точки на системата спрямо всеки фиксиран център е нула.
Обобщена форма на уравненията на равновесието според принципа на д'Аламбер
Намаляване на инерционните сили на точки на твърдо тяло до най-простата форма.
Случаи на редуциране на системата от инерционни сили на твърдо тяло до най-простата форма.
Движение напред
По време на постъпателно движение инерционните сили на твърдо тяло се свеждат до една резултатна, минаваща през центъра на масата на тялото и равна по модул на произведението на масата на тялото от модула на ускорението на неговия център на масата и насочен обратно на това ускорение.
Няма въртене около центъра на масата, така че инерционният момент е нула.
Въртеливото движение на тялото около ос, минаваща през центъра на масата на тялото.
Ако тялото се върти около фиксирана ос, минаваща през центъра на масата на тялото, тогава инерционните сили се свеждат до една двойка сили, разположени в равнина, перпендикулярна на оста на въртене.
Тъй като центърът на масата не се движи, главният вектор на инерционните сили е нула.
Плоскопаралелно движение
Когато тялото се движи в равнина, системата от инерционни сили се свежда до сила, приложена в центъра на масата на тялото, и двойка сили. Посоката на инерционния момент е противоположна на ъгловото ускорение на тялото.
Принципът на възможните движения
Принципът на възможните премествания като цяло определя условията на равновесие на всяка механична система, т.е. позволява решаването на проблемите на статиката като проблеми на динамиката.
Движението на точки в несвободна механична система е ограничено от съществуващите връзки. Позицията на системните точки се определя чрез задаване на независими координати.
Независимите величини, чрез задаване на които може еднозначно да се определи положението на всички точки на механичната система, се наричат обобщени координатитази система. По правило броят на обобщените координати на механичната система е равен на броя на степените на свобода на тази система. Например, позицията на всички точки на коляновия механизъм се определя чрез задаване на ъгъла на въртене на коляновия механизъм.
Възможни или виртуални движения
Възможни или виртуални движения на системата- това са въображаеми безкрайно малки движения на точки от системата, позволени в момента от връзките, наложени на системата.
Криволинейните движения на точки се заменят с прави сегменти, нанесени тангенциално на траекториите на точките.
Броят на взаимно независимите възможни движения на системата се нарича брой степени на свободатази система.
Възможна или виртуална работа
Възможна (или виртуална) работа− това е елементарната работа, която сила, действаща върху материална точка, би могла да извърши върху преместване, съвпадащо с възможното преместване на тази точка.
Принципът на възможните движения за механична система
За равновесието на механична система с идеални връзки е необходимо и достатъчно сумата от всички действащи сили за всяко възможно движение на системата да е равна на нула.
Уравнението на възможната работа е математически израз на необходимите и достатъчни условия за равновесието на всяка механична система.
Общо уравнение на динамиката
Общо уравнение на динамиката (принцип на Д'Аламбер - Лагранж)
Принципът на възможните премествания, който осигурява общ метод за решаване на статични проблеми, може да се приложи и за решаване на динамични проблеми. Въз основа на принципа на Херман-Ойлер-Д'Аламберт за несвободна механична система, във всеки момент геометричната сума на резултанта на определените сили, резултата от реакцията на връзките и инерционната сила за всяка точка Mn на механичната система е равно на нула.
Ако системата получи възможно изместване, при което всяка точка има възможно изместване, тогава сумата от работата, извършена от тези сили върху изместването, трябва да бъде равна на нула.
Общо динамично уравнение за система с идеални връзки
Да приемем, че всички връзки в разглежданата механична система са двупосочни и идеални (силите на триене, ако има такива, са включени сред посочените сили). Тогава сумата от работата, извършена от реакциите на връзките върху възможните премествания на системата, е равна на нула.
Когато механична система с идеални връзки се движи във всеки даден момент от времето, сумата от елементарните сили на всички активни (зададени) сили и всички инерционни сили при всяко възможно движение на системата е равна на нула.
Общите уравнения на динамиката позволяват да се съставят диференциални уравнения на движението на всяка механична система. Ако една механична система се състои от отделни твърди тела, тогава инерционните сили на точките на всяко тяло могат да бъдат намалени до силата, приложена в дадена точка на тялото, и двойка сили. Силата е равна на главния вектор на силите на инерцията на точките на това тяло, а моментът на двойката е равен на главния момент на тези сили спрямо центъра на редукция. За да се възползва от принципа на възможните премествания, към всяко тяло се прилагат определени сили, действащи върху него, а също така условно се прилагат сила и двойка, съставени от инерционните сили на точките на тялото. След това системата се информира за възможно изместване и за целия набор от определени сили и намалени инерционни сили се съставя общо уравнение на динамиката
Формат: pdf
Размер: 600KV
Език: руски, украински
Пример за изчисление на цилиндрично зъбно колело
Пример за изчисляване на цилиндрично зъбно колело. Извършен е избор на материал, изчисляване на допустимите напрежения, изчисляване на контактна и якост на огъване.
Пример за решаване на задача за огъване на лъч
В примера са построени диаграми на напречни сили и огъващи моменти, намерено е опасно сечение и е избран I-лъч. Проблемът анализира изграждането на диаграми с помощта на диференциални зависимости и извърши сравнителен анализ на различни напречни сечения на гредата.
Пример за решаване на задача с усукване на вал
Задачата е да се тества якостта на стоманен вал при даден диаметър, материал и допустимо напрежение. По време на решението се изграждат диаграми на въртящи моменти, напрежения на срязване и ъгли на усукване. Собственото тегло на вала не се взема предвид
Пример за решаване на задача за опън-натиск на прът
Задачата е да се тества якостта на стоманен прът при определени допустими напрежения. По време на решението се изграждат диаграми на надлъжни сили, нормални напрежения и премествания. Собственото тегло на пръта не се взема предвид
Приложение на теоремата за запазване на кинетичната енергия
Пример за решаване на задача с помощта на теоремата за запазване на кинетичната енергия на механична система