Да разгледаме две линейни функции $ f(x) = k_1 x+m_1 $ и $ g(x) = k_2 x + m_2 $. Тези функции се наричат директни. Доста лесно е да ги конструирате; трябва да вземете произволни две стойности $ x_1 $ и $ x_2 $ и да намерите $ f(x_1) $ и $ (x_2) $. След това повторете същото с функцията $ g(x) $. След това намерете визуално координатата на пресечната точка на графиките на функцията.
Трябва да знаете, че линейните функции имат само една пресечна точка и само когато $ k_1 \neq k_2 $. В противен случай, в случай на $ k_1=k_2 $ функциите са успоредни една на друга, тъй като $ k $ е коефициентът на наклона. Ако $ k_1 \neq k_2 $, но $ m_1=m_2 $, тогава пресечната точка ще бъде $ M(0;m) $. Препоръчително е да запомните това правило за бързо решаване на проблеми.
| Пример 1 |
| Нека са дадени $ f(x) = 2x-5 $ и $ g(x)=x+3 $. Намерете координатите на пресечната точка на графиките на функцията. |
| Решение |
|
Как да стане това? Тъй като са представени две линейни функции, първото нещо, което разглеждаме, е коефициентът на наклона на двете функции $ k_1 = 2 $ и $ k_2 = 1 $. Отбелязваме, че $ k_1 \neq k_2 $, така че има една пресечна точка. Нека го намерим с помощта на уравнението $ f(x)=g(x) $: $$ 2x-5 = x+3 $$ Преместваме членовете с $ x $ вляво, а останалите вдясно: $$ 2x - x = 3+5 $$ Получихме $ x=8 $ абсцисата на пресечната точка на графиките, а сега нека намерим ординатата. За да направите това, нека заместим $ x = 8 $ във всяко от уравненията, или в $ f(x) $, или в $ g(x) $: $$ f(8) = 2\cdot 8 - 5 = 16 - 5 = 11 $$ И така, $ M (8;11) $ е пресечната точка на графиките на две линейни функции. Ако не можете да разрешите проблема си, изпратете го до нас. Ние ще осигурим подробно решение. Ще можете да видите напредъка на изчислението и да получите информация. Това ще ви помогне да получите оценката си от вашия учител навреме! |
| отговор |
| $$ M (8;11) $$ |
| Пример 3 |
| Намерете координатите на пресечната точка на графиките на функциите: $ f(x)=x^2-2x+1 $ и $ g(x)=x^2+1 $ |
| Решение |
|
Какво да правим с две нелинейни функции? Алгоритъмът е прост: приравняваме уравненията едно към друго и намираме корените: $$ x^2-2x+1=x^2+1 $$ Ние разпределяме членове с $ x $ и без него от различни страни на уравнението: $$ x^2-2x-x^2=1-1 $$ Абсцисата на желаната точка е намерена, но не е достатъчна. Ординатата $y$ все още липсва. Заменяме $ x = 0 $ във всяко от двете уравнения на условията на проблема. Например: $$ f(0)=0^2-2\cdot 0 + 1 = 1 $$ $ M (0;1) $ - пресечна точка на графиките на функцията |
| отговор |
| $$ M (0;1) $$ |
През юли 2020 г. НАСА стартира експедиция до Марс. Корабът ще достави на Марс електронен носител с имената на всички регистрирани участници в експедицията.
Ако тази публикация е решила проблема ви или просто ви е харесала, споделете линка към нея с приятелите си в социалните мрежи.
Една от тези опции за код трябва да бъде копирана и поставена в кода на вашата уеб страница, за предпочитане между таговете и/или непосредствено след тага. Според първата опция MathJax се зарежда по-бързо и забавя страницата по-малко. Но втората опция автоматично следи и зарежда най-новите версии на MathJax. Ако поставите първия код, той ще трябва да се актуализира периодично. Ако поставите втория код, страниците ще се зареждат по-бавно, но няма да е необходимо постоянно да наблюдавате актуализациите на MathJax.
Най-лесният начин за свързване на MathJax е в Blogger или WordPress: в контролния панел на сайта добавете уиджет, предназначен да вмъква JavaScript код на трета страна, копирайте в него първата или втората версия на кода за изтегляне, представен по-горе, и поставете уиджета по-близо до началото на шаблона (между другото, това изобщо не е необходимо, тъй като скриптът MathJax се зарежда асинхронно). това е всичко Сега научете синтаксиса за маркиране на MathML, LaTeX и ASCIIMathML и сте готови да вмъквате математически формули в уеб страниците на вашия сайт.
Поредната новогодишна нощ... мразовито време и снежинки по стъклото на прозореца... Всичко това ме накара отново да пиша за... фракталите и какво знае Wolfram Alpha за тях. Има интересна статия по този въпрос, която съдържа примери за двумерни фрактални структури. Тук ще разгледаме повече сложни примеритриизмерни фрактали.
Фракталът може да бъде визуално представен (описан) като геометрична фигура или тяло (което означава, че и двете са набор, в този случай набор от точки), чиито детайли имат същата форма като самата оригинална фигура. Тоест, това е самоподобна структура, разглеждайки детайлите на която при увеличение ще видим същата форма като без увеличение. Докато при обикновените геометрична фигура(не фрактал), при увеличение ще видим детайли, които имат по-проста форма от самата оригинална фигура. Например при достатъчно голямо увеличение част от елипса изглежда като сегмент от права линия. Това не се случва с фракталите: с всяко увеличение в тях, ние отново ще видим същата сложна форма, която ще се повтаря отново и отново с всяко увеличение.
Беноа Манделброт, основателят на науката за фракталите, пише в статията си Фрактали и изкуството в името на науката: „Фракталите са геометрични форми, които са еднакво сложни както в детайлите, така и в общата си форма. Тоест, ако част от фрактал се увеличи до размера на цялото, той ще изглежда като цялото, или точно, или може би с лека деформация."
На практика и в учебниците най-често срещаните методи, изброени по-долу, са за намиране на пресечната точка на различни функционални графики.
Първи начинПървият и най-лесен е да се възползвате от факта, че в тази точка координатите ще бъдат равни и да приравните графиките и от това, което получавате, можете да намерите $x$. След това заместете намереното $x$ в което и да е от двете уравнения и намерете координатата на играта.
Пример 1
Нека намерим пресечната точка на две прави $y=5x + 3$ и $y=x-2$, приравнявайки функциите:
$x=-\frac(1)(2)$
Сега нека заместим x, който получихме, във всяка графика, например, изберете тази, която е по-проста - $y=x-2$:
$y=-\frac(1)(2) – 2 = - 2\frac12$.
Пресечната точка ще бъде $(-\frac(1)(2);- 2\frac12)$.
Втори начинВторият метод е, че се съставя система от съществуващи уравнения, чрез трансформации една от координатите се прави изрично, т.е. се изразява чрез другата. След като този израз в дадената форма се замества в друг.
Пример 2
Разберете в кои точки се пресичат графиките на параболата $y=2x^2-2x-1$ и правата $y=x+1$.
Решение:
Нека създадем система:
$\begin(cases) y=2x^2-2x-1 \\ y= x + 1 \\ \end(cases)$
Второто уравнение е по-просто от първото, така че нека го заменим с $y$:
$x+1 = 2x^2 – 2x-1$;
$2x^2 – 3x – 2 = 0$.
Нека изчислим на колко е равно x, за да направим това ще намерим корените, които правят равенството вярно, и ще запишем получените отговори:
$x_1=2; x_2 = -\frac(1)(2)$
Нека заместим нашите резултати по оста x един по един във второто уравнение на системата:
$y_1= 2 + 1 = 3; y_2=1 - \frac(1)(2) = \frac(1)(2)$.
Пресечните точки ще бъдат $(2;3)$ и $(-\frac(1)(2); \frac(1)(2))$.
Трети начинДа преминем към третия метод – графичният, но имайте предвид, че резултатът, който дава, не е съвсем точен.
За да се приложи методът, графиките на двете функции се начертават в един и същ мащаб на един и същи чертеж, след което се извършва визуално търсене на пресечната точка.
Този метод е добър само ако е достатъчен приблизителен резултат, а също и ако няма данни за моделите на разглежданите зависимости.