Така единичен сегмент и неговите десети, стотни и т.н. части ни позволяват да стигнем до точките на координатната линия, които ще съответстват на крайните десетични дроби (както в предишния пример). Въпреки това, има точки на координатната линия, до които не можем да стигнем, но до които можем да се приближим колкото си искаме, използвайки все по-малки и по-малки до безкрайно малка част от единичен сегмент. Тези точки съответстват на безкрайни периодични и непериодични десетични дроби. Нека дадем няколко примера. Една от тези точки на координатната права съответства на числото 3.711711711...=3,(711) . За да стигнете до тази точка, трябва да отделите 3 единични сегмента, 7 десети, 1 стотна, 1 хилядна, 7 десетхилядни, 1 стохилядна, 1 милионна от единичен сегмент и т.н. И друга точка на координатната права съответства на pi (π=3,141592...).
Тъй като елементите на набора от реални числа са всички числа, които могат да бъдат записани под формата на крайни и безкрайни десетични дроби, тогава цялата информация, представена по-горе в този параграф, ни позволява да заявим, че сме присвоили конкретно реално число на всяка точка на координатната права и е ясно, че различните точки отговарят на различни реални числа.
Също така е съвсем очевидно, че тази кореспонденция е едно към едно. Тоест можем да присвоим реално число на определена точка от координатна линия, но можем също така, използвайки дадено реално число, да посочим конкретна точка от координатна линия, на която съответства дадено реално число. За да направим това, ще трябва да отделим определен брой единични сегменти, както и десети, стотни и т.н. части от единичен сегмент от началото на обратното броене в желаната посока. Например числото 703.405 съответства на точка от координатната линия, която може да бъде достигната от началото чрез начертаване в положителна посока на 703 единични сегмента, 4 сегмента, съставляващи една десета от единицата, и 5 сегмента, съставляващи хилядна от единицата .
И така, към всяка точка на координатната права има реално число и всяко реално число има своето място под формата на точка на координатната права. Ето защо координатната линия често се нарича числова линия.
Координати на точки на координатна права
Нарича се числото, съответстващо на точка от координатна права координата на тази точка.
В предишния параграф казахме, че всяко реално число съответства на една точка на координатната линия, следователно координатата на точка еднозначно определя позицията на тази точка на координатната линия. С други думи, координатата на точка уникално определя тази точка на координатната права. От друга страна, всяка точка от координатната права съответства на едно реално число - координатата на тази точка.
Всичко, което остава да се каже, е за приетата нотация. Координатата на точката е записана в скоби вдясно от буквата, която представлява точката. Например, ако точка M има координата -6, тогава можете да напишете M(-6), а записът на формата означава, че точка M на координатната линия има координата.
Референции.
- Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика: учебник за 5. клас. образователни институции.
- Виленкин Н.Я. и други. 6 клас: учебник за общообразователните институции.
- Макаричев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник за 8. клас. образователни институции.
Естествените числа могат да бъдат изобразени върху лъч. Да построим лъч с начало в точка О, като го насочим отляво надясно, като маркираме посоката със стрелка.
Нека присвоим числото 0 (нула) на началото на лъча (точка O). Нека отделим отсечка OA с произволна дължина от точка O. Нека свържем точка А с числото 1 (едно). Дължината на сегмента OA ще се счита за равна на 1 (единица). Отсечката AB = 1 се нарича единичен сегмент. Нека отложим отсечката AB = OA от точка A по посока на лъча. Нека присвоим числото 2 на точка B. Обърнете внимание, че точка B се намира от точка O на разстояние два пъти по-голямо от точка A. Това означава, че дължината на отсечката OB е равна на 2 (две единици). Продължавайки да начертаваме сегменти, равни на едно по посока на лъча, ще получим точки, които съответстват на числата 3, 4, 5 и т.н. Тези точки се отстраняват от точка O съответно с 3, 4, 5 и т.н. единици.
Построен по този начин лъч се нарича координирамили числови. Нарича се началото на числовата ос точка O отправна точка. Наричат се номерата, присвоени на точки на този лъч координатитези точки (следователно: координатен лъч). Пишат: O(0), A(1), B(2), четат: „ точка O с координата 0 (нула), точка A с координата 1 (едно), точка B с координата 2 (две)"и т.н.
Всяко естествено число пможе да се изобрази на координатен лъч и съответната точка P ще бъде отстранена от точка O с пединици. Пишат: ОП = пи P( п) - точка P (чете се: "pe") с координата п(да се чете: "en"). Например, за да се отбележи точка K(107) на числова права, е необходимо да се начертаят 107 отсечки, равни на единица от точка O. Можете да изберете сегмент с произволна дължина като един сегмент. Често дължината на единична отсечка се избира така, че да е възможно да се изобразят необходимите естествени числа на числова ос в границите на картината. Помислете за пример 
5.2. Мащаб
Важно приложение на числовия лъч е в скали и диаграми. Използват се в измервателни уреди и устройства, с които се измерват различни величини. Един от основните елементи на измервателните уреди е скалата. Това е цифров лъч, нанесен върху метална, дървена, пластмасова, стъклена или друга основа. Често скалата е направена под формата на кръг или част от кръг, които са разделени с щрихи на равни части (деления-дъги) като числова линия. На всеки щрих върху права или кръгла скала се присвоява определен номер. Това е стойността на измереното количество. Например числото 0 на скалата на термометъра съответства на температура от 0 0 C, прочетете: „ нула градуса по Целзий" Това е температурата, при която ледът започва да се топи (или водата започва да замръзва).
С помощта на измервателни уреди и уреди с везни определете стойността на измереното количество по позиция показалецна кантара. Най-често стрелките служат като индикатори. Те могат да се движат по скалата, отбелязвайки стойността на измерената стойност (например стрелка на часовник, стрелка на мащаб, стрелка на скоростомера - устройство за измерване на скоростта, фигура 3.1.). Границата на колона с живак или оцветен алкохол в термометър е подобна на движеща се стрелка (Фигура 3.1). При някои инструменти не стрелката се движи по скалата, а скалата, която се движи спрямо неподвижната стрелка (маркировка, линия), например в подовите везни. При някои инструменти (линийка, рулетка) показалецът е границите на измервания обект.
Интервалите (частите от скалата) между съседни щрихи на скалата се наричат деления. Разстоянието между съседни удари, изразено в единици на измерената стойност, се нарича цена на делене(разликата в числата, които съответстват на съседни щрихи на скалата.) Например, цената на разделението на скоростомера на фигура 3.1. е равна на 20 км/ч (двадесет километра в час), а цената на делене на стайния термометър на фигура 3.1. равна на 1 0 C (един градус по Целзий).
Диаграма
За визуално показване на количествата се използват линейни, колонни или кръгови диаграми. Диаграмата се състои от цифрова лъчева скала, насочена отляво надясно или отдолу нагоре. Освен това диаграмата съдържа сегменти или правоъгълници (колони), изобразяващи сравняваните стойности. В този случай дължината на сегментите или колоните в мащабни единици е равна на съответните стойности. На диаграмата, близо до цифровата скала на лъча, подпишете наименованието на мерните единици, в които са нанесени количествата. На фигура 3.2. показва стълбовидна графика, а Фигура 3.3 показва линейна графика.
3.2.1. Количества и уреди за измерването им
Таблицата показва имената на някои величини, както и устройства и инструменти, предназначени за измерването им. (Удебелен шрифт показва основните единици от Международната система от единици.)
5.2.2. Термометри. Измерване на температурата
Фигура 3.4 показва термометри, които използват различни температурни скали: Реомюр (°R), Целзий (°C) и Фаренхайт (°F). Те използват един и същи температурен диапазон - разликата между температурите на кипене на водата и температурите на топене на леда. Този интервал е разделен на различен брой части: в скалата на Реомюр - на 80 части, в скалата на Целзий - на 100 части, в скалата на Фаренхайт - на 180 части. Освен това в скалите на Реомюр и Целзий температурата на топене на леда съответства на числото 0 (нула), а в скалата на Фаренхайт - на числото 32. Температурните единици в тези термометри са: градус Реомюр, градус Целзий, градус Фаренхайт . Термометрите използват свойството на течностите (алкохол, живак) да се разширяват при нагряване. В същото време различните течности се разширяват по различен начин при нагряване, както може да се види на фигура 3.5, където щриховете на стълб от алкохол и живак не съвпадат при една и съща температура.
5.2.3. Измерване на влажността на въздуха
Влажността на въздуха зависи от количеството на водните пари в него. Например, през лятото в пустинята въздухът е сух и влажността му е ниска, тъй като съдържа малко водни пари. В субтропиците, например в Сочи, влажността е висока и във въздуха има много водни пари. Можете да измервате влажността с помощта на два термометъра. Една от тях е обикновена (суха крушка). Вторият има топка, увита във влажна кърпа (мокър термометър). Известно е, че когато водата се изпарява, телесната температура намалява. (Спомнете си студа, когато излезете от морето след плуване). Следователно мокрият термометър показва по-ниска температура. Колкото по-сух е въздухът, толкова по-голяма е разликата между показанията на двата термометъра. Ако показанията на термометъра са еднакви (разликата е нула), тогава влажността на въздуха е 100%. В този случай пада роса. Устройството, което измерва влажността на въздуха, се нарича психрометър (Фигура 3.6 ). Снабден е с таблица, която показва: показанията на сухия термометър, разликата между показанията на два термометъра и влажността на въздуха в проценти. Колкото по-близо е влажността до 100%, толкова по-влажен е въздухът. Нормалната влажност на закрито трябва да бъде около 60%.
Блок 3.3. Самоподготовка
5.3.1. Попълнете таблицата
Когато отговаряте на въпросите в таблицата, попълнете празната колона (“Отговор”). В този случай използвайте снимките на устройствата в блока „Допълнителни“.
760 мм. rt. Чл. считано за нормално. Фигура 3.11 показва промяната в атмосферното налягане при изкачване на най-високата планина Еверест.
Постройте линейна диаграма на промените в налягането, като нанесете височината над морското равнище върху вертикалния лъч и налягането по хоризонталния лъч.
Блок 5.4. проблем
Построяване на числов лъч с единична отсечка с дадена дължина
За да разрешите тази образователна задача, работете по плана, даден в лявата колона на таблицата, докато дясната колона се препоръчва да покриете с лист хартия. След като отговорите на всички въпроси, сравнете заключенията си с дадените решения.
Блок 5.5. Фасетен тест
Цифров лъч, скала, диаграма
В задачите на фасетния тест са използвани картинки от таблицата. Всички задачи започват така: „ АКО числовият лъч е представен на фигурата...., то...»
IF: числовият лъч е представен на фигурата...Таблица
- Броят единици между съседни черти на числова линия.
- Координати на точки A, B, C, D.
- Дължина (в сантиметри) съответно на отсечки AB, BC, AD, BD.
- Дължина (в метри) съответно на сегменти AB, BC, AD, BD.
- Естествени числа, разположени на числовата ос вляво от точка D.
- Естествени числа, разположени на числовата ос между точки A и C.
- Броят на естествените числа, лежащи на числовата права между точките A и D.
- Броят на естествените числа, лежащи на числовата права между точки B и C.
- Цена на деление на скалата на инструмента.
- Скоростта на превозното средство в km/h, ако стрелката на скоростомера сочи съответно точки A, B, C, D.
- Количеството (в km/h), с което скоростта на автомобила се увеличава, ако стрелката на скоростомера се премести от точка B до точка C.
- Скоростта на автомобила, след като водачът намали скоростта с 84 км/ч (преди да намали скоростта, стрелката на скоростомера сочи точка D).
- Масата на товара върху везните в центнери, ако стрелката - индикаторът на скалата - е разположена съответно срещу точки A, B, C.
- Масата на товара върху везните в килограми, ако стрелката - показалецът на везната - е разположена съответно срещу точки A, B, C.
- Масата на товара върху везните в грамове, ако стрелката - показалецът на скалата - е разположена съответно срещу точки A, B, C.
- Брой ученици в 5 клас.
- Разликата между броя на учениците, постигнали „4“ и броя на учениците, постигнали „3“.
- Съотношението на броя на учениците с оценки „4” и „5” към броя на учениците с оценки „3”.
EQUAL (равно, равно, това):
а) 10 б) 6,12,3,3 в) 1 г) 99,102,106,104 г) 2 е) 201,202 g) 49 з) 3500,3000,8000,4500
i) 5,2,1,4 k) 599 l) 6,3,3,9 m) 10,4,16,7 n) 100 o) 4 km/h p) 65,85,105,115 p) 7,2, 4 ,6 c) 20,20,50,30 t) 0 y) 700,600,1600,900 f) 1,2,3,4,5,6 x) 25,10,5,20 c) 3,4, 5.2 h) 203,197,200,206 w) 15,20,25,10 w) 1599 s) 11,12,13,14,15 e) 30,60,15,15 y) 0,700,1300,1600 i) 100,100,250,150 aa) 30,15 ,15,45 bb) 4 c) 1,2,3,4,5 y) 17 dd) 500 kg ee) 19 zh) 80 zz) 100,101,102,103,104,105 ii)5,6 kk) 28,64,100,164 ll) 1500000 ,3000000, 4500000 mm) 11 nn) 36 oo) 1500,3000,4500 pp) 7 rr) 24 ss) 15,30,45
Блок 5.6. Образователна мозайка
Мозаечните задачи са използвали устройства от блок „Допълнителни“. Отдолу е мозаечното поле. Имената на устройствата са посочени върху него. Освен това за всяко устройство са посочени: измерената стойност (V), единицата за измерване на стойността (E), показанието на инструмента (P), стойността на делението на скалата (C). Следват мозаечните клетки. След като прочетете клетка, първо трябва да идентифицирате устройството, към което принадлежи, и да поставите номера на устройството в кръга на клетката. След това трябва да познаете за какво е тази клетка. Ако говорим за измерено количество, трябва да добавите буква към числото IN.Ако това е мерна единица, поставете буква Д,ако показанието на инструмента е буква П, ако цената на делене е буква В.По този начин трябва да обозначите всички клетки на мозайката. Ако клетките са изрязани и подредени както на полето, тогава можете да систематизирате информацията за устройството. В компютърната версия на мозайката, с правилното подреждане на клетките, се създава модел.
С помощта на плоска дървена лента две точки A и B могат да бъдат свързани с отсечка (фиг. 46). Този примитивен инструмент обаче няма да може да измери дължината на сегмент AB. Може да се подобри.
На релсата ще прилагаме щрихи на всеки сантиметър. Под първия удар ще поставим числото 0, под втория - 1, третия - 2 и т.н. (фиг. 47). В такива случаи казват, че релсата е маркирана скала с цена на деление 1 см. Този прът с училище е подобен на линийка. Но най-често върху владетеля се прилага скала със стойност на деление 1 mm (фиг. 48).
От ежедневието сте добре запознати с други измервателни уреди, които имат скали с различни форми. Например: циферблат на часовник със скала 1 мин. (фиг. 49), скоростомер на автомобил със скала 10 km/h (фиг. 50), стаен термометър със скала 1 °C (фиг. 51) , везни със скала 50 g (фиг. 52).
Дизайнерът създава измервателни уреди, чиито скали са крайни, тоест сред числата, отбелязани на скалата, винаги има най-голямото. Но един математик с помощта на въображението си може да изгради безкраен мащаб.
Начертайте лъча OX. Нека отбележим някаква точка E на този лъч. Нека над точката O напишем цифрата 0, а под точката E цифрата 1 (фиг. 53).
Ще кажем, че точка О изобразявачислото е 0, а точка E е числото 1. Също така е обичайно да се казва, че точка О отговаряномер 0, а точка Е е номер 1.
Нека оставим отсечка, равна на отсечка OE вдясно от точка E. Получаваме точка М, която представлява числото 2 (виж фиг. 53). По същия начин маркирайте точка N, представляваща числото 3. И така, стъпка по стъпка, получаваме точките, които съответстват на числата 4, 5, 6, .... Психически този процес може да продължи толкова дълго, колкото желаете.
Полученият безкраен мащаб се нарича координатен лъч, точка O − отправна точка, и отсечката OE − единичен сегменткоординатен лъч.
На фигура 53 точка K представлява числото 5. Казват, че числото 5 е координирамточки K и напишете K(5). По подобен начин можем да напишем O(0); E(1); М(2); N(3).
Често вместо да кажат „да отбележим точка с координата, равна на...“ казват „да отбележим число...“.
За удобно показване на дроб върху координатен лъч е важно да изберете правилната дължина на единичен сегмент.
Най-удобният начин за маркиране на дроби върху координатен лъч е да вземете един сегмент от толкова клетки, колкото е знаменателят на дробите. Например, ако искате да изобразите дроби със знаменател 5 върху координатен лъч, по-добре е да вземете единичен сегмент с дължина 5 клетки:
В този случай изобразяването на дроби върху координатен лъч няма да създаде затруднения: 1/5 - една клетка, 2/5 - две, 3/5 - три, 4/5 - четири.
Ако искате да маркирате дроби с различни знаменатели на координатен лъч, желателно е броят на клетките в единичен сегмент да бъде разделен на всички знаменатели. Например, за да изобразите дроби със знаменатели 8, 4 и 2 върху координатен лъч, е удобно да вземете единичен сегмент с дължина осем клетки. За да отбележим желаната дроб върху координатния лъч, разделяме единичния сегмент на толкова части, колкото е знаменателят, и вземаме толкова части, колкото е числителят. За да представим дробта 1/8, разделяме единичния сегмент на 8 части и вземаме 7 от тях. За да изобразим смесеното число 2 3/4, преброяваме две цели единични отсечки от началото и разделяме третата на 4 части и вземаме три от тях:
Друг пример: координатен лъч с дроби, чиито знаменатели са 6, 2 и 3. В този случай е удобно да вземете сегмент с дължина шест клетки като единица:
Математика
Тема:Възстановяване на началото на координатен лъч и единична отсечка по координати
цел:
1. Покажете на учениците рационален начин за възстановяване на произхода на координатен лъч и единичен сегмент;
2. Повтаряне на аритметични действия с многоцифрени числа;
3. Развийте логическото мислене.
Оборудване:карти със задачи, снимки, учебници.
Дизайн на таблото:
Готина работа
Детективска агенция
"Логика + Интуиция"
Снимки на детективиhttps://pandia.ru/text/78/605/images/image001_53.gif">: 1: 8 * 8: 50 * 1
https://pandia.ru/text/78/605/images/image002_13.gif" width="74">.gif" width="62">
азОрганизационен момент
1. Днес нашият клас не е клас.
Откриваме агенция тук.
Ще изследваме, ще търсим
Ще решим поставените задачи.
Какво е "детективска агенция"?
Кои са детективите? (синоними: детективи, изследователи)
Какви литературни герои познавате?
3. Изследване на фотографията
От каква работа?
Може ли един детектив да работи сам без помощници?
Днес създадохме собствена детективска агенция, само че я имаме с математически уклон. И го кръстихме "Логика + Интуиция."
Какво е логика?
Какво е интуицията?
„Логика“ е наука за законите на мисленето, хода на разсъждението, модела на нещо.
„Интуиция“ - в превод от латински, фино разбиране на нещо, усет.
Нашата агенция ще има 3 групи, водени от известния детектив. Не забравяйте, че основното е взаимопомощта и подкрепата. Да поканим нашите герои.
4. Представяне на детективите
Аз, Шерлок Холмс, господа!
(Кой е написал това парче?)
Аз, детектив Колобок!
Аз, детектив Пинчър старши, най-добрият детектив с диплома!
II. Укрепване на покрития материал.
1. Работа с карти за детективи.
Имате право да изберете своя собствена работна група, но за това трябва да решите първата задача;
Какво можете да кажете за тази верига?
(състои се от геометрични фигури)
Който пръв се справи и даде повече информация, може да си избере работна група.
2. Работа в групи
Е, сега нека се настроим и се опитаме да разрешим първия проблем.
Намерете значението на израза.
Повторете имената на компонентите.
(кои стъпки се изпълняват първи?)
III. Работа върху нов материал.
Нека продължим нашето проучване, отворим тетрадките си и запишем датата, за да не забравим тази дата.
1. Постановка на проблема
И тук е първият проблем, с който ще се опитаме да се справим.
а) погледнете чертежа
б) какво е показано на него?
Какво липсва тук? (координационен лъч)
защо (отсечка, лъч, права линия, начупена линия са геометрични понятия, а координатният лъч е алгебричен)
Какво не е отбелязано на координатния лъч? (начало, единичен сегмент)
Какво е сегмент, лъч?
2. Работа в тетрадки
Изградете шнур. лъч, маркирайте началото, единици. сегмент
3. Работа с учебника
Сега нека отворим учебниците, той ще ни даде задачи, с които трябва да се справим, а вие, детективите, сте координаторите, които трябва да помогнат на всички във вашата група.
Какво е показано в учебника?
Какви координати са отбелязани на координатния лъч?
Възстановете началото и единичния сегмент
Кой метод е правилният?
4. Закопчаване.
Конструирайте координатен лъч
Изберете единична отсечка, равна на 1 cm
Маркирайте точки, равни на координати 2, 4,6,8
5. Физкултурна минута
Е, изморихте ли се?
Дори такива известни детективи имат нужда от почивка
Ще извикам числата, ако са четни, момичетата стават, ако са нечетни, стават момчетата.
42.19, 8, 64, 1160, 500, 913. 0 (не е естествено число)
6. Разрешаване на проблема
О, момчета, някой чука. Имаме писмо. Това е от деца от трети клас. Отидоха в съседно село, ние ще им помогнем да се върнат.
Решение на проблема с движението
Момчетата са изминали 20 км до селото, движейки се със скорост 5 км в час. И те се върнаха с велосипедите си 2 пъти по-бързо. Колко часа ще им отнеме да изминат това разстояние?
браво
7. Решение на системата от неравенства
Нашата агенция помага на всички, но всичко има нужда от система. Използвайте логиката си, оставете интуицията си да ви помогне и помогнете на Хъмпти Дъмпти (откъде идва този герой?)
Решаване на система от неравенства на дъската
X > 97 X > 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104
X< 105 X < 104, 103, 102, 101, 100, 99, 98
8. Решаване на проблем с помощта на изобретателност
Детективите са хора, които дори се отпускат в полза на работата си, ще опитаме и ние.
В първи вход ли живееш? (да – остават апартаменти от 1 до 32)
Номерът на вашия апартамент по-голям ли е от 16? (не - остават апартаменти от 1 до 16)
Номерът на вашия апартамент по-голям ли е от 8? (да – остават апартаменти от 8 до 16)
Номерът на вашия апартамент по-голям ли е от 12? (да - остават апартаменти от 13 до 16)
Номерът на вашия апартамент по-голям ли е от 14? (да – номерът на апартамента на Гриша е 15)
Какъв е най-големият брой такива въпроси? (6 въпроса)
9. Допълнителен материал: Решаване на уравнения
(x - 3)*7 =14 (x + 2)*7 =49
X – 3=14:7 x +2 = 49:7
X – 3 = 2 x + 2 =7
X = 3+2 x = 7 - 2
IV. Долен ред
Отражение на дейността
Какво ново научи?
Обобщавайки