Да започнем с любимия ни квадрат.
Пример 9
Квадрат на комплексно число
Тук можете да отидете по два начина, първият начин е да пренапишете степента като произведение на фактори и да умножите числата според правилото за умножение на полиноми.
Вторият метод е да използвате добре познатата училищна формула за съкратено умножение:
За комплексно число е лесно да изведете своя собствена формула за съкратено умножение:
Подобна формула може да се изведе за квадрата на разликата, както и за куба на сбора и куба на разликата. Но тези формули са по-подходящи за сложни проблеми с анализа. Ами ако трябва да повдигнете комплексно число, да речем, на 5-та, 10-та или 100-та степен? Ясно е, че е почти невъзможно да се изпълни такъв трик в алгебрична форма, наистина, помислете как ще решите пример като?
И тук на помощ идва тригонометричната форма на комплексно число и т.нар Формулата на Моавър: Ако едно комплексно число е представено в тригонометрична форма, тогава когато е повдигнато на естествена степен, е валидна следната формула:
Това е просто възмутително.
Пример 10
Дадено е комплексно число, намерете.
Какво трябва да се направи? Първо трябва да представите това число в тригонометрична форма. Внимателните читатели сигурно са забелязали, че в Пример 8 вече направихме това:
След това, според формулата на Moivre:
Дай Боже, не е нужно да разчитате на калкулатор, но в повечето случаи ъгълът трябва да бъде опростен. Как да се опрости? Образно казано, трябва да се отървете от ненужните завои. Един оборот е радиан или 360 градуса. Нека разберем колко хода имаме в спора. За удобство правим фракцията правилна:, след което става ясно видимо, че можете да намалите един оборот:. Надявам се всички да разберат, че това е същият ъгъл.
Така крайният отговор ще бъде написан така:
Отделен вариант на задачата за степенуване е степенуването на чисто въображаеми числа.
Пример 12
Повишаване на комплексни числа до степени
Тук също всичко е просто, основното е да запомните известното равенство.
Ако въображаемата единица се повдигне на четна степен, тогава техниката на решение е следната:
Ако въображаемата единица се повдигне до нечетна степен, тогава ние „отщипваме“ едно „и“, получавайки равномерна мощност:
Ако има минус (или какъвто и да е реален коефициент), то първо трябва да се раздели:
Извличане на корени от комплексни числа. Квадратно уравнение с комплексни корени
Да разгледаме един пример:
Не можете да извлечете корена? Ако говорим за реални числа, тогава наистина е невъзможно. Възможно е да се извлече корен от комплексни числа! по-точно, двекорен:
Дали намерените корени наистина са решение на уравнението? Да проверим:
Което трябваше да се провери.
Често се използва съкратена нотация; двата корена се записват на един ред под „един и същ гребен“: .
Тези корени се наричат още спрегнати комплексни корени.
Мисля, че всеки разбира как се извличат квадратни корени от отрицателни числа: ,,, и т.н. Във всички случаи се оказва двеспрегнати комплексни корени.
Пример 13
Решаване на квадратно уравнение
Нека изчислим дискриминанта:
Дискриминантът е отрицателен и уравнението няма решение в реални числа. Но коренът може да се извлече в комплексни числа!
Използвайки добре познатите училищни формули, получаваме два корена: – спрегнати комплексни корени
По този начин уравнението има два спрегнати комплексни корена:,
Сега можете да решите всяко квадратно уравнение!
И като цяло, всяко уравнение с полином от "n-та" степен има равни корени, някои от които могат да бъдат сложни.
Прост пример за самостоятелно решаване:
Пример 14
Намерете корените на уравнението и факторизирайте квадратния бином.
Факторизирането отново се извършва по стандартната училищна формула.
Да започнем с любимия ни квадрат.
Пример 9
Квадрат на комплексно число
Тук можете да отидете по два начина, първият начин е да пренапишете степента като произведение на фактори и да умножите числата според правилото за умножение на полиноми.
Вторият метод е да използвате добре познатата училищна формула за съкратено умножение:
За комплексно число е лесно да изведете своя собствена формула за съкратено умножение:
Подобна формула може да се изведе за квадрата на разликата, както и за куба на сбора и куба на разликата. Но тези формули са по-подходящи за сложни проблеми с анализа. Ами ако трябва да повдигнете комплексно число, да речем, на 5-та, 10-та или 100-та степен? Ясно е, че е почти невъзможно да се изпълни такъв трик в алгебрична форма, наистина, помислете как ще решите пример като?
И тук на помощ идва тригонометричната форма на комплексно число и т.нар Формулата на Моавър: Ако едно комплексно число е представено в тригонометрична форма, тогава когато е повдигнато на естествена степен, е валидна следната формула:
Това е просто възмутително.
Пример 10
Дадено е комплексно число, намерете.
Какво трябва да се направи? Първо трябва да представите това число в тригонометрична форма. Внимателните читатели сигурно са забелязали, че в Пример 8 вече направихме това:
След това, според формулата на Moivre:
Дай Боже, не е нужно да разчитате на калкулатор, но в повечето случаи ъгълът трябва да бъде опростен. Как да се опрости? Образно казано, трябва да се отървете от ненужните завои. Един оборот е радиан или 360 градуса. Нека разберем колко хода имаме в спора. За удобство правим фракцията правилна:, след което става ясно видимо, че можете да намалите един оборот:. Надявам се всички да разберат, че това е същият ъгъл.
Така крайният отговор ще бъде написан така:
Отделен вариант на задачата за степенуване е степенуването на чисто въображаеми числа.
Пример 12
Повишаване на комплексни числа до степени
Тук също всичко е просто, основното е да запомните известното равенство.
Ако въображаемата единица се повдигне на четна степен, тогава техниката на решение е следната:
Ако въображаемата единица се повдигне до нечетна степен, тогава ние „отщипваме“ едно „и“, получавайки равномерна мощност:
Ако има минус (или какъвто и да е реален коефициент), то първо трябва да се раздели:
Извличане на корени от комплексни числа. Квадратно уравнение с комплексни корени
Да разгледаме един пример:
Не можете да извлечете корена? Ако говорим за реални числа, тогава наистина е невъзможно. Възможно е да се извлече корен от комплексни числа! по-точно, двекорен:
Дали намерените корени наистина са решение на уравнението? Да проверим:
Което трябваше да се провери.
Често се използва съкратена нотация; двата корена се записват на един ред под „един и същ гребен“: .
Тези корени се наричат още спрегнати комплексни корени.
Мисля, че всеки разбира как се извличат квадратни корени от отрицателни числа: ,,, и т.н. Във всички случаи се оказва двеспрегнати комплексни корени.