Въведение в теорията на диференциалните уравнения. Филипов А.Ф.

2-ро издание, рев. - М.: 2007.- 240 с.

Книгата съдържа всички учебен материалв съответствие с програмата на Министерството на висшето образование за курса диференциални уравненияза механико-математически и физико-математически специалности на университети. Има и малко количество допълнителен материалсвързани с технически приложения. Това ви позволява да избирате материал за лекции в зависимост от профила на университета. Обемът на книгата е значително намален в сравнение със съществуващите учебници поради намаляването на допълнителния материал и избора на по-прости доказателства от наличните в учебната литература. Теорията е представена достатъчно подробно и е достъпна не само за силни, но и за средностатистически ученици. Дадени са примери за решения с обяснения типични задачи. В края на параграфите са посочени номерата на задачите за упражнения от „Колекция от задачи за диференциални уравнения“ на А. Ф. Филипов и са посочени някои теоретични направления, свързани с представените въпроси, с препратки към литературата.

формат: pdf

размер: 6,5 MB

Гледайте, изтеглете:drive.google

Съдържание
Предговор 5
Глава 1 Диференциални уравнения и техните решения 7
§ 1. Понятие за диференциално уравнение 7
§ 2. Най-простите методи за намиране на решения 14
§ 3. Методи за намаляване на реда на уравнения 22
Глава 2 Съществуване и общи свойстварешения 27
§ 4. Нормална форма на система от диференциални уравнения и нейното векторно представяне 27
§ 5. Съществуване и единственост на решение 34
§ б. Продължение на решенията 47
§ 7. Непрекъсната зависимост на решението от началните условия и дясната страна на уравнение 52
§ 8. Уравнения, неразрешени спрямо производната 57
Глава 3 Линейни диференциални уравнения и системи 67
§ 9. Свойства на линейните системи 67
§ 10. Линейни уравненияпроизволна поръчка 81
§ 11. Линейни уравнения с постоянни коефициенти 92
§ 12. Линейни уравнения от втори ред 109
§ 13. Гранични задачи 115
§ 14. Линейни системис постоянен коефициент 124
§ 15. Експоненциална функцияматрици J 137
§ 16. Линейни системи с периодични коефициенти 145
Глава 4 Автономни системи и стабилност 151
§ 17. Автономни системи 151
§ 18. Понятието стабилност 159
§ 19. Изследване на устойчивостта с помощта на функции на Ляпунов 167
§ 20. Устойчивост по първо приближение 175
§ 21. Особени точки 181
§ 22. Гранични цикли 190
Глава 5 Диференцируемост на решение по отношение на параметър и неговите приложения 196
§ 23. Диференцируемост на решението по параметър 196
§ 24. Асимптотични методи за решаване на диференциални уравнения 202
§ 25. Първи интеграли 212
§ 26. Частични диференциални уравнения от първи ред 221
Литература 234
Предметен индекс 237

Предговор
Книгата съдържа подробно представяне на всички въпроси от програмата на курса по обикновени диференциални уравнения за механико-математически и физико-математически специалности на университетите, както и някои други въпроси, свързани със съвременната теория на диференциалните уравнения и приложения: гранични задачи , линейни уравнения с периодични коефициенти, асимптотични методи за решаване на диференциални уравнения уравнения; материалът по теория на стабилността е разширен.
Даден е нов материал и някои въпроси, традиционно включени в курса (например теореми за осцилиращи решения), но не задължителни за първо запознаване с теорията на диференциалните уравнения. дребен шрифт, чието начало и край са разделени с хоризонтални стрелки. В зависимост от профила на университета и направленията на обучение на студентите в катедрата, остава изборът кой от тези въпроси да бъде включен в курса на лекциите и програмата за изпита.
Обемът на книгата е значително по-малък от обема на известните учебници по този курс поради намаляването на допълнителния (невключен в задължителната програма) материал и поради подбора на по-прости доказателства от наличните в учебната литература.
Материалът е представен подробно и е достъпен за студенти със средно ниво на подготовка. Използват се само класически
концепции математически анализи основна информация от линейната алгебра, включително йордановата форма на матрицата. Въвеждат се минимален брой нови дефиниции. След презентацията теоретичен материалдадени са примери за приложението му с подробни обяснения. Посочени са номерата на задачите за упражнения от „Сборник задачи по диференциални уравнения” на А. Ф. Филипов.
В края на почти всеки параграф няколко посоки, в които се развиват изследванията този проблем, - направления, които могат да бъдат назовани с помощта на вече известни понятия и за които има литература на руски език.
Всяка глава от книгата има собствена номерация на теореми, примери и формули. Препратките към материали от други глави са редки и се дават чрез посочване на номера на главата или параграфа.

Книгата съдържа целия учебен материал в съответствие с програмата на Министерството на висшето образование по курса по диференциални уравнения за механични, математически и физико-математически специалности на университетите. Има и малко количество допълнителен материал, свързан с технически приложения. Това ви позволява да избирате материал за лекции в зависимост от профила на университета. Обемът на книгата е значително намален в сравнение със съществуващите учебници чрез намаляване на допълнителния материал и избор на по-прости доказателства от наличните в учебната литература. Теорията е представена достатъчно подробно и е достъпна не само за силни, но и за средностатистически ученици. Дадени са примери за решаване на типични задачи с обяснения. В края на параграфите са посочени номерата на задачите за упражнения от „Сборник задачи по диференциални уравнения” на А.Ф. Филипов и посочва някои теоретични насоки, свързани с представената проблематика, с препратки към литературата.

За решаването на нелинейни системи.
Възможно е да се намери решение с помощта на краен брой действия само за някои прости системи. Като елиминираме неизвестните директно от дадена система, получаваме уравнение с производни, по-големи от висок ред, което не е по-лесно за решаване от тази система.

По-често е възможно да се реши система чрез намиране на интегрируеми комбинации. Интегрируема комбинация е или комбинация от системни уравнения, съдържащи само две променливи
количества и което е диференциално уравнение, което може да бъде решено, или комбинация от които са двете страни пълни диференциали. От всяка интегрируема комбинация се получава първият интеграл на дадената система. Когато се елиминират неизвестни от дадена система с помощта на първи интеграли, редът на производните не се увеличава.

Съдържание
Предговор 5
Глава 1 Диференциални уравнения и техните решения 7
§ 1. Понятие за диференциално уравнение 7
§ 2. Най-простите методи за намиране на решения 14
§ 3. Методи за намаляване на реда на уравнения 22
Глава 2 Съществуване и общи свойства на разтворите 27
§ 4. Нормална форма на система от диференциални уравнения и нейното векторно представяне 27
§ 5. Съществуване и единственост на решение 34
§ б. Продължение на решенията 47
§ 7. Непрекъсната зависимост на решението от началните условия и дясната страна на уравнение 52
§ 8. Уравнения, неразрешени спрямо производната 57
Глава 3 Линейни диференциални уравнения и системи 67
§ 9. Свойства на линейните системи 67
§ 10. Линейни уравнения от произволен ред 81
§ 11. Линейни уравнения с постоянни коефициенти 92
§ 12. Линейни уравнения от втори ред 109
§ 13. Гранични задачи 115
§ 14. Линейни системи с постоянни коефициенти 124
§ 15. Експоненциална функция на матрица J 137
§ 16. Линейни системи с периодични коефициенти 145
Глава 4 Автономни системи и стабилност 151
§ 17. Автономни системи 151
§ 18. Понятието стабилност 159
§ 19. Изследване на устойчивостта с помощта на функции на Ляпунов 167
§ 20. Устойчивост по първо приближение 175
§ 21. Особени точки 181
§ 22. Гранични цикли 190
Глава 5 Диференцируемост на решение по отношение на параметър и неговите приложения 196
§ 23. Диференцируемост на решението по параметър 196
§ 24. Асимптотични методи за решаване на диференциални уравнения 202
§ 25. Първи интеграли 212
§ 26. Частични диференциални уравнения от първи ред 221
Литература 234
Предметен индекс 237.

Безплатно изтегляне електронна книгав удобен формат, гледайте и четете:
Изтеглете книгата Въведение в теорията на диференциалните уравнения, Филипов А.Ф., 2007 - fileskachat.com, бързо и безплатно изтегляне.

• Избрани въпроси на елементарната математика, Елементи на математическия анализ, Лебедева С.В., Ричагова И.А., 2019 г.
• Педагогическият потенциал на математическите дисциплини в подготовката на ученици от хуманитарни профили, Монография, Кислякова М.А., Поличка А.Е., 2019 г.

Филипов Алексей Федорович Въведение в теорията на диференциалните уравнения: Учебник. Изд. 2-ра, рев. М., 2007. - 240 с.
Книгата съдържа целия учебен материал в съответствие с програмата на Министерството на висшето образование за курса по диференциални уравнения за механични, математически и физико-математически специалности на университетите. Има и малко количество допълнителен материал, свързан с технически приложения. Това ви позволява да избирате материал за лекции в зависимост от профила на университета. Обемът на книгата е значително намален в сравнение със съществуващите учебници поради намаляването на допълнителния материал и избора на по-прости доказателства от наличните в учебната литература.
Теорията е представена достатъчно подробно и е достъпна не само за силни, но и за средностатистически ученици. Дадени са примери за решаване на типични задачи с обяснения. В края на параграфите са посочени номерата на задачите за упражнения от „Колекция от задачи за диференциални уравнения“ на А. Ф. Филипов и са посочени някои теоретични направления, свързани с представените въпроси, с препратки към литературата (книги на руски език).
Съдържание
Предговор................................................. ....... .................5
Глава 1
Диференциални уравнения и техните решения...................................7
§ 1. Понятие за диференциално уравнение.................................7
§ 2. Най-простите методи за намиране на решения.................................14
§ 3. Методи за редуциране на реда на уравненията..................................22
Глава 2
Съществуване и общи свойства на разтворите............................27
§4. Нормален изглед на система от диференциални уравнения
и неговата векторна нотация ............................................. ........... ..27
§ 5. Съществуване и единственост на решение.................................34
§ б. Продължаващи решения.....................................47
§ 7. Непрекъсната зависимост на решението от началните условия
и дясната страна на уравнението.....................................52
§ 8. Уравнения, неразрешени спрямо производната... 57
Глава 3
Линейни диференциални уравнения и системи............67
§ 9. Свойства на линейните системи............................................. ......67
§ 10. Линейни уравнения от произволен ред......81

§ 11. Линейни уравнения с постоянни коефициенти. .........1
§ 12. Линейни уравнения от втори ред.....................109
§ 13. Гранични задачи.....................................115
§ 14. Линейни системи с постоянни коефициенти.....124
§ 15. Показателна функция на матрица................137
§ 16. Линейни системи с периодични коефициенти... 145
Глава 4
Автономни системи и устойчивост.................................151
§ 17. Автономни системи.....................................151
§ 18. Понятието устойчивост.................................159
§ 19. Изследване на стабилността с помощта
Функции на Ляпунов............................167
§ 20. Устойчивост по първо приближение......175
§21. Особени точки.....................181
§ 22. Гранични цикли.....................190
Глава 5
Диференцируемост на решение по параметър и нейните приложения.........196
§ 23. Диференцируемост на решението по параметър.........196
§ 24. Асимптотични методи за диференциално решаване
уравнения.....................................202
§ 25. Първи интеграли............................212
§ 26. Частични диференциални уравнения от първи ред... 221
Литература................................. 234
Предметен указател.....................237

Съдържание
Предговор 5
Глава 1 Диференциални уравнения и техните решения 7
§ 1. Понятие за диференциално уравнение 7
§ 2. Най-простите методи за намиране на решения 14
§ 3. Методи за намаляване на реда на уравнения 22
Глава 2 Съществуване и общи свойства на разтворите 27
§ 4. Нормална форма на система от диференциални уравнения и нейното векторно представяне 27
§ 5. Съществуване и единственост на решение 34
§ б. Продължение на решенията 47
§ 7. Непрекъсната зависимост на решението от началните условия и дясната страна на уравнение 52
§ 8. Уравнения, неразрешени спрямо производната 57
Глава 3 Линейни диференциални уравнения и системи 67
§ 9. Свойства на линейните системи 67
§ 10. Линейни уравнения от произволен ред 81
§ 11. Линейни уравнения с постоянни коефициенти 92
§ 12. Линейни уравнения от втори ред 109
§ 13. Гранични задачи 115
§ 14. Линейни системи с постоянни коефициенти 124
§ 15. Експоненциална функция на матрица J 137
§ 16. Линейни системи с периодични коефициенти 145
Глава 4 Автономни системи и стабилност 151
§ 17. Автономни системи 151
§ 18. Понятието стабилност 159
§ 19. Изследване на устойчивостта с помощта на функции на Ляпунов 167
§ 20. Устойчивост по първо приближение 175
§ 21. Особени точки 181
§ 22. Гранични цикли 190
Глава 5 Диференцируемост на решение по отношение на параметър и неговите приложения 196
§ 23. Диференцируемост на решението по параметър 196
§ 24. Асимптотични методи за решаване на диференциални уравнения 202
§ 25. Първи интеграли 212
§ 26. Частични диференциални уравнения от първи ред 221
Литература 234
Предметен индекс 237

Въведение

Диференциални уравнения.

Диференциалното уравнение е уравнение, което свързва желаната функция на една или повече променливи, тези променливи и производни от различни порядъци на тази функция.

Диференциално уравнение от първи ред.

Нека разгледаме въпроси от теорията на диференциалните уравнения, използвайки примера на уравнения от първи ред, разрешени по отношение на производната, т.е. тези, които могат да бъдат представени във формата

Къде f- някаква функция на няколко променливи.

Теорема за съществуване и единственост на решение на диференциално уравнение. Нека функцията и нейната частна производна в диференциалното уравнение (1.1) са непрекъснати върху отворен комплект Жкоординатна равнина охСлед това:

1. За всяка точка от комплекта Жще има решение y=y(x)уравнение (1.1), удовлетворяващо условието y();

2. Ако две решения y=(x)И y=(x)уравнения (1.1) съвпадат за поне една стойност x=, т.е. ако тогава тези решения съвпадат за всички тези стойности на променливата X,за които са определени. Диференциално уравнение от първи ред се нарича разделимо уравнение, ако може да бъде представено като

или във формата

M(x)N(y)dx+P(x)Q(y)dy=0,(1.3)

къде, M(x), P(x)- някои променливи функции X, g(y), N(y), Q(y)- променливи функции u.

Диференциални уравнения с разделими променливи

За да се реши такова уравнение, то трябва да се трансформира във форма, в която диференциалът и функциите на променливата Xще се окаже от едната страна на равенството и променливата при- на друг. След това интегрирайте двете страни на полученото равенство. Например от (1.2) следва, че = и =. Извършвайки интегриране, стигаме до решението на уравнение (1.2)

Пример 1.Решете уравнението dx=xydy.

Решение. Разделяне на лявата и дясната страна на уравнението в израза X

(при X?0), стигаме до равенство. Интегрирайки, получаваме

(тъй като интегралът от лявата страна (a) е табличен, а интегралът от дясната страна може да бъде намерен, например, чрез замяна на = t, 2ydy=2tdtИ .

Преписваме решение (b) във формата x=±или x=C,Къде C=±.

Непълни диференциални уравнения

Диференциално уравнение от първи ред (1.1) се нарича непълно, ако функцията fочевидно зависи само от една променлива: или X,или от u.

Има два случая на такава зависимост.

1. Нека функцията f зависи само от x. Пренаписвайки това уравнение като

лесно се проверява, че решението му е функцията

2. Нека функцията f зависи само от y, т.е. уравнение (1.1) има формата

Диференциално уравнение от този тип се нарича автономен.Такива уравнения често се използват в практиката математическо моделиранеи изследвания върху естествени и физически процеси, когато например независимата променлива Xиграе ролята на времето, което не е включено в отношенията, описващи законите на природата. В този случай т.нар балансови точки,или стационарни точки - нули на функцията f(при), където производната y" = 0.