В тази статия ще разгледаме подробно в равнина и в триизмерно пространство. Нека започнем с дефиницията на перпендикулярни линии, да покажем нотацията и да дадем примери. След това представяме необходимо и достатъчно условие за перпендикулярността на две прави и подробно анализираме решенията на характерни задачи.
Навигация в страницата.
Перпендикулярни прави - основна информация.
Пример.
В правоъгълната координатна система Oxy са дадени три точки. Правите AB и AC перпендикулярни ли са?
Решение.
Векторите и са насочващите вектори на правите AB и AC. Позовавайки се на статията, ние изчисляваме 
. Вектори и са перпендикулярни, тъй като 
. По този начин е изпълнено необходимото и достатъчно условие за перпендикулярност на правите AB и AC. Следователно правите AB и AC са перпендикулярни.
Отговор:
Да, правите линии са перпендикулярни.
Пример.
Дали правите и 
перпендикулярно?
Решение.
Насочващият вектор е права линия и е насочващият вектор на права линия . Нека изчислим скаларното произведение на векторите и: 
. Той е различен от нула, следователно векторите на посоката на линиите не са перпендикулярни. Това означава, че условието за перпендикулярност на линиите не е изпълнено, следователно оригиналните линии не са перпендикулярни.
Отговор:
Не, линиите не са перпендикулярни.
по същия начин, необходимо и достатъчно условие за перпендикулярност на линиите a и b в правоъгълната координатна система Oxyz в тримерното пространство има формата 
, Където 
И 
са насочващите вектори на прави a и b, съответно.
Пример.
Линиите, дефинирани в правоъгълната координатна система Oxyz в триизмерното пространство, перпендикулярни ли са на уравненията 
И ?
Решение.
Числата в знаменателите на каноничните уравнения на права в пространството са съответните координати на насочващия вектор на правата. А координатите на насочващия вектор на правата, който се задава от параметричните уравнения на правата в пространството, са коефициентите на параметъра. По този начин, 
и са насочващите вектори на дадените прави линии. Нека разберем дали са перпендикулярни: 
. Тъй като скаларното произведение е нула, тези вектори са перпендикулярни. Това означава, че условието за перпендикулярност на дадените прави е изпълнено.
Отговор:
Правите линии са перпендикулярни.
За проверка на перпендикулярността на две прави в една равнина има други необходими и достатъчни условия за перпендикулярност.
Теорема.
За да бъдат прави a и b перпендикулярни в равнина, е необходимо и достатъчно нормалният вектор на права a да бъде перпендикулярен на нормалния вектор на права b.
Посоченото условие за перпендикулярност на линиите е удобно за използване, ако с помощта на дадените уравнения на линиите могат лесно да се намерят координатите на нормалните вектори на линиите. Това твърдение съответства на общото уравнение на правата линия на формата 
, уравнението на права в сегменти и уравнението на права с ъглов коефициент.
Пример.
Уверете се, че е прав 
и перпендикулярно.
Решение.
Като се имат предвид уравненията на линиите, лесно е да се намерят координатите на нормалните вектори на тези линии. – вектор на нормална линия . Нека пренапишем уравнението във формата 
, откъдето се виждат координатите на нормалния вектор на тази права: .
Векторите и са перпендикулярни, тъй като тяхното скаларно произведение е равно на нула: 
. Така е изпълнено необходимото и достатъчно условие за перпендикулярност на дадените прави, тоест те са наистина перпендикулярни.
По-специално, ако права линия a на равнина се определя от уравнение на права линия с ъглов коефициент от формата , и права b от формата , тогава нормалните вектори на тези прави линии имат координати и съответно , а условието за перпендикулярност на тези прави се свежда до следната връзка между ъгловите коефициенти.
Направо кръстосано
Направо пресичане
Относително разположение на линиите
Проектиране на прави линии
Директни нива
Сложни линейни чертежи
Координатни филтри
Ортогонална проекция на точка върху равнина
Конструиране на изходни обекти
Първият етап от решаването на проблема е да се конструират първоначалните обекти като AutoCAD примитиви според размерите, взети от чертежа. Обектите могат да бъдат точки, отсечки, повърхности.
Оригиналният чертеж се дава, като правило, в безосна форма. На този чертеж е необходимо да се маркират осите на декартовата координатна система (референтна система), спрямо които могат да се измерват координатите на обектните точки. Посоката на осите трябва да бъде зададена в съответствие с приетата в AutoCAD. Точката на произход в чертежа може да бъде избрана произволно, тъй като не засяга разликите в координатите на точките, тоест не променя относителното положение и формата на обектите, посочени в чертежа.
На фиг. Фигура 14 показва чертеж на триъгълник ABC, съдържащ неговите хоризонтална и фронтална проекция. Координатните оси са маркирани върху чертожното поле. Координатите на точките могат да се измерват с линийка с точност до 1 mm. И така, координатите на точка А са (x = 10, y = 50, z = 22).
Нека изградим точка A (виж Фиг. 14) като AutoCAD обект.
q Отидете до прозореца за изглед отгоре или прозореца за аксонометрия; в тези прозорци координатната система съответства на системата, показана на чертежа.
р точка \ 10, 50, 22.
р Резултат:във всички прозорци се появи изображение на точка под формата на маркер - кръст.
Маркерът, който маркира точката, е дефиниран в прототипа. Можете да промените вида и размера на маркера:
q Format\Point Style.
Нека построим права отсечка AC:
р линия \ 10, 50, 22 \ 50,30,50.
Резултат:сегментът е изграден. Той се показва във всички прозорци, следователно се получават три ортогонални проекции и аксонометрична проекция (изометрия).
За да се изгради ортогонална проекция на точка върху равнина, когато ъгълът на проекцията е a = 90 0 (фиг. 15), достатъчно е да инсталирате координатна система (UCS) на тази равнина, да определите координатите на проектираната точка в тази координатна система и задайте z-координатата равна на нула. Например, ако UCS е инсталирана в равнина D и точка A има координати в тази UCS (50,60,70), тогава ортогоналната проекция на точка A върху равнина D е точка A D (50,60,0).
Ортогоналните проекции се конструират с помощта на така наречените координатни филтри - инструмент, който ви позволява да вземете необходимите координати от определена точка. Така че, ако приложите филтър .xy, тогава ще бъдат взети само координатите на точката хИ г, и липсващата координата zсистемата ще изисква да посочите допълнително; За да се конструира ортогонална проекция, z-координатата трябва да бъде зададена на нула. Филтрите могат да бъдат извикани чрез натискане на клавишната комбинация Shift+Psch\Point Filters.
Нека построим точка A D, която е ортогонална проекция на точка A върху равнина D (виж Фиг. 15):
q задайте маркер за точка;
q настройте UCS на проекционната равнина D;
р точка\ Shift+PSh \ Filters \ .xy \ активиране на прихващане на обекти Shift+PSh \ Node ( Възел);
q насочете мерника към проектираната точка А;
q при заявка „Z изисква се“ въведете нула – построена е точка A D.
Проекцията на сегмент също ще бъде сегмент, за да конструирате който трябва да вземете точките на проектирания сегмент, като приложите филтъра за координати.xy и обекта за крайна точка ( Ultimate). Нека има сегмент; трябва да конструирате неговата ортогонална проекция в дадена равнина:
q настройте UCS на проекционната равнина.
р линия\ изберете филтър (Shift+PSH \ Filters \ .xy);
q активирайте прихващане на обект (Shift+PSh\ Ultimate) \ посочете края на проектирания сегмент \ при заявка „z изисква се“ въведете нула;
q повторете същите стъпки за втората крайна точка на отсечката \ ПШ – проекцията на отсечката е построена.
2.3.2. "Автоматична" проекция
Проекцията може да бъде „поверена“ на системата с помощта на програмата project.lsp , който първо трябва да бъде изтеглен.
q Заредете файла project.lsp (Инструменти\Зареждане на приложение...)
Резултат:заредената програма създава три нови команди: ПРОЕКЦИЯ, PR1, PR2.
q Въведете командата PROJECT и прочетете информацията за използването на програмата.
Командата PR1 извършва ортогонална проекция на обекти в UCS равнината. Обектите могат да бъдат точки, линейни сегменти, кръгови дъги и полилинии. Командата PR2 изпълнява наклонена проекция, вижте по-долу за подробности. За да извършите ортографска проекция:
q настройте UCS на проекционната равнина;
q въведете командата PR1 и посочете обектите за проектиране \ ПШ.
Резултат:получени са ортогонални проекции на избрани обекти върху UCS равнината.
Тъй като правата линия се определя от две точки, за определянето й на чертежа са достатъчни проекциите на две точки, принадлежащи към нея (фиг. 16, а, б).
При метода на безосното изображение разстоянието между проекциите се взема произволно, но трябва да се спазва разликата в координатите на точките, определящи правата линия (фиг. 16, в).
Една права линия може да заема различни позиции в пространството спрямо проекционните равнини. Нарича се права линия, която не е нито успоредна, нито перпендикулярна на никоя от проекционните равнини обща позиция(фиг. 16). Останалите линии се класифицират като линии с определена позиция, сред които има линии на ниво и изпъкнали линии. Линиите на нивото са прави линии, успоредни на една от проекционните равнини, проектиращите линии са прави линии, перпендикулярни на проекционните равнини.
Линията на нивото, успоредна на хоризонталната проекционна равнина, се нарича хоризонтална(фиг. 17), права линия, успоредна на фронталната равнина на проекциите - челен(фиг. 18) и се нарича права линия, успоредна на профилната равнина на проекциите профил прав(фиг. 19).
 |
Хоризонталната линия е обозначена с буквата h. Неговата фронтална проекция h 2 винаги е перпендикулярна на вертикалните комуникационни линии, а хоризонталната проекция h 1 отразява позицията на линията в пространството. Отсечката /AB/ и ъглите на наклона β, γ към проекционните равнини P 2, P 3 се проектират върху равнината P 1 без изкривяване.
Предната част е обозначена с буквата f. Отпред хоризонталната проекция f 1 винаги е перпендикулярна на комуникационните линии, а предната проекция f 2 съответства на позицията на най-правата линия в пространството. Ъглите на наклон α и γ съответно към равнините P 1 и P 3, както и отсечката /AB/ на фронта се проектират върху P 2 без изкривяване.
Линията на профила е обозначена с буквата p. Неговите фронтални p 2 и хоризонтални p 1 проекции съвпадат с една вертикална комуникационна линия, а профилната проекция p 3 показва позицията на линията в пространството. Без изкривяване отсечката /AB/ и ъглите на наклона α, β на профилната линия към равнините P 1 и P 2 се проектират съответно върху P 3.
В зависимост от перпендикулярността към определена проекционна равнина правите линии се наричат хоризонтални, фронтални или профилни.
 |  |
||
Хоризонтално издадена линия– права, перпендикулярна на P 1 (фиг. 20). Хоризонталната проекция на тази линия (A 1 = B 1) се изражда в точка, а фронталната проекция (A 2 B 2) съвпада с комуникационната линия. Очевидно е, че хоризонтално проектиращата се права е едновременно успоредна на P 2 и P 3, следователно /A 2 B 2 / = /A 3 B 3 / = /AB/.
Фронтално издадена линия– права линия, перпендикулярна на P 2 (фиг. 21). Фронталната проекция на тази линия (A 2 = B 2) се изражда в точка, а хоризонталната проекция (A 1 B 1) съвпада с линията на свързване. Фронтално издадената права е успоредна на P 1 и P 3, следователно /A 1 B 1 / = /A 3 B 3 / = /AB/.
Профилна проектираща линия– права линия, перпендикулярна на P 3 (фиг. 22). Профилната проекция на такава права (A 3 =B 3) е точка, а хоризонталната и фронталната проекции са перпендикулярни на комуникационните линии. Издаващата линия на профила е едновременно успоредна на P 1 и P 2, следователно /A 1 B 1 / = /A 2 B 2 / = /AB/.
Точките, принадлежащи на проектиращата линия, се наричат конкуриращи се спрямо проекционната равнина, на която линията е перпендикулярна. Точки A и B на фиг. 20 се наричат хоризонтално конкуриращи се, на фиг. 21 и 22 са съответно фронтално и профилно конкуриращи се. Конкурентните точки се използват за определяне на видимостта на проекции на геометрични фигури.
2.4.3. Принадлежност на точка на права линия
Една точка може да принадлежи на права или да е извън нея. Ако една точка принадлежи на права, тогава всички проекции на тази точка трябва да принадлежат на същите проекции на правата (фиг. 23).
Например точка C принадлежи на правата л, тъй като C 1 и C 2 принадлежат съответно l 1И l 2.
Една точка не принадлежи на права, ако поне една от нейните проекции не принадлежи на същата проекция на правата. Например точки A, B, D не принадлежат на правата л, и точка A е разположена над линията, а точка B е зад линията.
Определяне на дължината на права отсечка по метода на правоъгълния триъгълник
Тъй като правата линия в общо положение не е успоредна на нито една от проекционните равнини, сегментът, принадлежащ към нея, се проектира върху тези равнини с изкривяване.
Да разгледаме правоъгълния триъгълник ABB 0 (фиг. 24, а). Хипотенузата AB на триъгълника е самият сегмент в пространството, катетът B 0 B е равен на хоризонталната проекция на сегмента A 1 B 1, а катетът AB 0 е разликата във височините на краищата на сегмента Z A - Z B към проекционната равнина P 1. Ъгъл α е ъгълът на наклона на сегмента към P 1. Триъгълник, равен на този, може да се построи върху сложен чертеж (фиг. 24, b). Използвайки хоризонталната проекция на сегмента A 1 B 1 като крак, изграждаме втори крак, равен на разликата във височините Z A – Z B, която се определя от предната проекция на сегмента A 2 B 2. Хипотенузата B 1 B 0 е равна на естествената стойност на отсечката /AB/, ъгъл α е ъгълът на наклона на отсечката към P 1. Дължината на сегмент може да се определи и като дължината на хипотенузата на правоъгълен триъгълник, единият катет на който е фронталната проекция A 2 B 2, а другият е разликата в координатите Y B - Y A, която се определя от хоризонтална проекция на сегмента (фиг. 24, c). Ъгъл β в този случай ще бъде равен на ъгъла на наклона на сегмента към челната равнина на проекциите P 2.
По този начин, ако е необходимо да се определи истинският размер на сегмент от права линия и ъгълът на неговия наклон към равнината P 1, се конструира правоъгълен триъгълник, като се използва хоризонталната проекция на сегмента. Ако се изисква истинската величина и ъгъл на наклон към P 2, се използва фронтална проекция.
Две прави в пространството могат да бъдат успоредни, пресичащи се или пресичащи се.
Права успоредка
Ако прав А, bса успоредни, тогава техните проекции също са успоредни (фиг. 25, а). Обратното също е вярно, но само за общи линии.
По този начин, за да се прецени паралелността на две прави в общо положение, е достатъчно да има две от техните проекции. При линиите на нивото не винаги е възможно да се определи тяхната успоредност от две проекции. Например на фиг. 25, б взаимното разположение на профилните линии изобщо не е определено. За еднозначно уточняване на такива прави линии, като се използват едни и същи проекции, е необходимо да се посочат проекциите на точки A, B, C, D, принадлежащи към тях (фиг. 25, c). Въпреки това, за да се прецени паралелността на правите линии сИ дна фиг. 25, много трудно. Друг е въпросът дали има проекции на профилни линии върху равнината, на която са успоредни (фиг. 25, d). Както се вижда от фиг. 25, d проекциите A 3 B 3 и C 3 B 3 не са успоредни, следователно, правите в пространството не са успоредни.
По този начин, за да се прецени паралелността на линиите на нивото, е необходимо да има техните проекции върху равнината, на която са успоредни.
Ако линиите се пресичат в пространството, тогава техните проекции също се пресичат и пресечните точки на проекциите K 1, K 2 принадлежат към една и съща линия на свързване (фиг. 26, а).
Проекции на коси линии м, нмогат да се пресичат (фиг. 26, b), но пресечните точки на проекциите не принадлежат към една и съща комуникационна линия. Пресечна точка на хоризонтални проекции на пресичащи се прави мИ не хоризонтална проекция на две хоризонтално конкуриращи се точки 1 и 2. Пресечната точка на фронталните проекции на тези прави е фронталната проекция на фронтално конкуриращи се точки 3, 4.
Използвайки хоризонтално конкуриращи се точки, се определя позицията на пресичащите се линии спрямо хоризонталната проекционна равнина. Фронтална проекция 1 2 точки 1 принадлежащи на м,е по-високо от 2 2 – точка 2, принадлежаща на н(посоката на гледане е показана със стрелка). Следователно, на това място правата линия мнад линията н.
Положението на пресичащите се прави линии спрямо фронталната равнина на проекциите се определя от фронтално конкуриращите се точки. Хоризонтална проекция 4 1 на точка 4 принадлежаща на м, намира се по-ниско от 3 1 – точка 3 принадлежаща на н(посоката на гледане е показана със стрелка). Следователно, направо мразположен пред линията н.
Всеки ъгъл между прави линии се нанася върху равнината на проекцията без изкривяване, ако правите линии са успоредни на тази равнина, т.е. са прави нива.
Правият ъгъл с ортогонална проекция има специални свойства. Прав ъгъл се проектира без изкривяване, ако само една от страните му е успоредна на проекционната равнина.
За да докажете това твърдение, разгледайте фиг. 27. Даден е прав ъгъл ABC, чиито страни AB и BC са успоредни на равнина P 1. Следователно, според свойствата на успоредната проекция, ъгъл A 1 B 1 C 1 е проекцията на ъгъл ABC, също прав ъгъл. BC ┴ AB и BB 1 съответно по условие и по конструкция, следователно BC ┴ Σ - равнината, прекарана през AB и A 1 B 1 и ┴ P 1. Както знаете от училищен курс по геометрия, ако една права е перпендикулярна на равнина, тогава тя е перпендикулярна на всяка права, принадлежаща на тази равнина. Следователно BC ┴ ВD и MN, и съответно В 1 С 1 ┴ B 1 D 1 и M 1 N 1.
В сложен чертеж са възможни следните случаи на посочване на прав ъгъл: права линия в общо положение Аи хоризонтална h (фиг. 28, а), права линия в общо положение Vи фронтална f (фиг. 28, b), права линия в общо положение си профилна права линия p (фиг. 28, c).
По принцип, когато страните на прав ъгъл са общи прави линии, правият ъгъл се проектира с изкривяване, в остър или тъп ъгъл.
Статията разглежда въпроса за перпендикулярните линии на равнината и тримерното пространство. Ще анализираме подробно дефиницията на перпендикулярни линии и техните обозначения с дадените примери. Нека разгледаме условията за прилагане на необходимото и достатъчно условие за перпендикулярността на две прави линии и разгледаме подробно с помощта на пример.
Ъгълът между пресичащите се прави в пространството може да бъде прав. След това казват, че дадените прави са перпендикулярни. Когато ъгълът между пресичащите се прави е прав, тогава линиите също са перпендикулярни. От това следва, че перпендикулярните прави в равнината се пресичат, а перпендикулярните прави в пространството могат да се пресичат и пресичат.
Тоест понятията „правите a и b са перпендикулярни“ и „правите b и a са перпендикулярни“ се считат за равни. Оттук идва понятието взаимно перпендикулярни прави. След като обобщихме горното, нека разгледаме определението.
Определение 1
Две прави се наричат перпендикулярни, ако ъгълът при тяхното пресичане е 90 градуса.
Перпендикулярността се обозначава с „⊥“ и обозначението приема формата a ⊥ b, което означава, че права a е перпендикулярна на права b.
Например, страните на квадрат с общ връх могат да бъдат перпендикулярни прави на равнина. В тримерното пространство правите O x , O z , O y са перпендикулярни по двойки: O x и O z , O x и O y , O y и O z .
Перпендикулярност на правите - условия на перпендикулярност
Необходимо е да се знаят свойствата на перпендикулярността, тъй като повечето проблеми се свеждат до проверката му за последващо решение. Има случаи, когато перпендикулярността се обсъжда в условията на задачата или когато е необходимо да се използва доказателство. За да се докаже перпендикулярност, достатъчно е ъгълът между линиите да е прав.
За да се определи тяхната перпендикулярност с известните уравнения на правоъгълната координатна система, е необходимо да се приложи необходимото и достатъчно условие за перпендикулярност на правите. Нека да разгледаме формулировката.
Теорема 1
За да са перпендикулярни правите a и b, е необходимо и достатъчно насочващият вектор на правата да е перпендикулярен на насочващия вектор на дадената права b.
Самото доказателство се основава на определяне на насочващия вектор на линия и на определяне на перпендикулярността на линиите.
Доказателство 1
Нека бъде въведена правоъгълна декартова координатна система O x y с дадени уравнения на права в равнината, които определят правите a и b. Означаваме насочващите вектори на прави линии a и b като a → и b → . От уравнението на правите a и b необходимо и достатъчно условие е перпендикулярността на векторите a → и b →. Това е възможно само когато скаларното произведение на векторите a → = (a x , a y) и b → = (b x , b y) е равно на нула и записът има формата a → , b → = a x · b x + a y · b y = 0 . Получаваме, че необходимото и достатъчно условие за перпендикулярност на правите a и b, разположени в правоъгълната координатна система O x y на равнината, е a →, b → = a x · b x + a y · b y = 0, където a → = (a x, a y) и b → = b x, b y са насочващите вектори на правите a и b.
Условието е приложимо, когато е необходимо да се намерят координатите на насочващи вектори или при наличие на канонични или параметрични уравнения на прави в равнината на дадени прави a и b.
Пример 1
В правоъгълната координатна система O x y са дадени три точки A (8, 6), B (6, 3), C (2, 10). Определете дали правите A B и A C са перпендикулярни или не.
Решение
Правите линии A B и A C имат съответно насочващи вектори A B → и A C →. Първо, нека изчислим A B → = (- 2 , - 3) , A C → = (- 6 , 4) . Получаваме, че векторите A B → и A C → са перпендикулярни от свойството на скаларното произведение на векторите, равно на нула.
A B → , A C → = (- 2) (- 6) + (- 3) 4 = 0
Очевидно е, че необходимото и достатъчно условие е изпълнено, което означава, че A B и A C са перпендикулярни.
Отговор:правите линии са перпендикулярни.
Пример 2
Определете дали дадените прави x - 1 2 = y - 7 3 и x = 1 + λ y = 2 - 2 · λ са перпендикулярни или не.
Решение
a → = (2, 3) е насочващият вектор на дадената права x - 1 2 = y - 7 3,
b → = (1, - 2) е векторът на посоката на правата x = 1 + λ y = 2 - 2 · λ.
Нека да преминем към изчисляване на скаларното произведение на вектори a → и b →. Изразът ще бъде написан:
a → , b → = 2 1 + 3 - 2 = 2 - 6 ≠ 0
Резултатът от произведението не е равен на нула, можем да заключим, че векторите не са перпендикулярни, което означава, че правите също не са перпендикулярни.
Отговор:линиите не са перпендикулярни.
Необходимото и достатъчно условие за перпендикулярността на правите a и b се прилага към тримерно пространство, записано като a → , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 , където a → = (a x , a y , a z) и b → = (b x , b y , b z) са насочващите вектори на правите a и b.
Пример 3
Проверете перпендикулярността на линиите в правоъгълна координатна система на триизмерно пространство, дадена от уравненията x 2 = y - 1 = z + 1 0 и x = λ y = 1 + 2 λ z = 4 λ
Решение
Знаменателите от каноничните уравнения на правата се считат за координати на вектора на посоката на правата. Координатите на насочващия вектор от параметричното уравнение са коефициенти. От това следва, че a → = (2, - 1, 0) и b → = (1, 2, 4) са насочващи вектори на дадените прави. За да идентифицираме тяхната перпендикулярност, нека намерим скаларното произведение на векторите.
Изразът ще приеме формата a → , b → = 2 · 1 + (- 1) · 2 + 0 · 4 = 0 .
Векторите са перпендикулярни, защото произведението е нула. Необходимото и достатъчно условие е изпълнено, което означава, че правите също са перпендикулярни.
Отговор:правите линии са перпендикулярни.
Проверката за перпендикулярност може да се извърши въз основа на други необходими и достатъчни условия за перпендикулярност.
Теорема 2
Правите a и b в равнина се считат за перпендикулярни, когато нормалният вектор на правата a е перпендикулярен на вектор b, това е необходимо и достатъчно условие.
Доказателство 2
Това условие е приложимо, когато уравненията на прави осигуряват бърз начин за намиране на координатите на нормалните вектори на дадени прави. Тоест, ако има общо уравнение на права от формата A x + B y + C = 0, уравнение на права в сегменти от формата x a + y b = 1, уравнение на права с ъглов коефициент под формата y = k x + b, е възможно да се намерят координатите на векторите.
Пример 4
Разберете дали правите 3 x - y + 2 = 0 и x 3 2 + y 1 2 = 1 са перпендикулярни.
Решение
Въз основа на техните уравнения е необходимо да се намерят координатите на нормалните вектори на линиите. Получаваме, че n α → = (3, - 1) е нормалният вектор за правата 3 x - y + 2 = 0.
Нека опростим уравнението x 3 2 + y 1 2 = 1 до формата 2 3 x + 2 y - 1 = 0. Сега ясно се виждат координатите на нормалния вектор, който записваме в тази форма n b → = 2 3 , 2 .
Векторите n a → = (3, - 1) и n b → = 2 3, 2 ще бъдат перпендикулярни, тъй като тяхното скаларно произведение в крайна сметка ще даде стойност, равна на 0. Получаваме n a → , n b → = 3 · 2 3 + (- 1) · 2 = 0 .
Налице е необходимото и достатъчно условие.
Отговор:правите линии са перпендикулярни.
Когато права a в равнина се дефинира с помощта на уравнение с наклон y = k 1 x + b 1 и права b - y = k 2 x + b 2, следва, че нормалните вектори ще имат координати (k 1 , - 1) и (k 2 , - 1) . Самото условие за перпендикулярност се свежда до k 1 · k 2 + (- 1) · (- 1) = 0 ⇔ k 1 · k 2 = - 1.
Пример 5
Разберете дали правите y = - 3 7 x и y = 7 3 x - 1 2 са перпендикулярни.
Решение
Правата y = - 3 7 x има наклон, равен на - 3 7, а правата y = 7 3 x - 1 2 - 7 3.
Произведението на ъгловите коефициенти дава стойност - 1, - 3 7 · 7 3 = - 1, тоест линиите са перпендикулярни.
Отговор:дадените прави са перпендикулярни.
Има още едно условие, използвано за определяне на перпендикулярността на правите в равнина.
Теорема 3
За да бъдат правите a и b перпендикулярни на равнина, необходимо и достатъчно условие е насочващият вектор на едната права да е колинеарен на нормалния вектор на втората права.
Доказателство 3
Условието е приложимо, когато е възможно да се намери насочващият вектор на една права линия и координатите на нормалния вектор на друга. С други думи, едната права е дадена от канонично или параметрично уравнение, а другата от общо уравнение на права, уравнение в сегменти или уравнение на права с ъглов коефициент.
Пример 6
Определете дали дадените прави x - y - 1 = 0 и x 0 = y - 4 2 са перпендикулярни.
Решение
Откриваме, че нормалният вектор на правата x - y - 1 = 0 има координати n a → = (1, - 1), а b → = (0, 2) е насочващият вектор на правата x 0 = y - 4 2.
Това показва, че векторите n a → = (1, - 1) и b → = (0, 2) не са колинеарни, тъй като условието за колинеарност не е изпълнено. Няма такова число t, че да е в сила равенството n a → = t · b →. Оттук и заключението, че правите не са перпендикулярни.
Отговор:линиите не са перпендикулярни.
Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter