двуизмерен дискретно разпределениеслучаен
Често резултатът от експеримента се описва с няколко случайни променливи: . Например, времето на дадено място в определен час от деня може да се характеризира със следните случайни променливи: X 1 - температура, X 2 - налягане, X 3 - влажност на въздуха, X 4 - скорост на вятъра.
В този случай говорим за многомерна случайна величина или система от случайни величини.
Помислете за двумерна случайна променлива, чиито възможни стойности са двойки числа. Геометрично, двумерна случайна променлива може да се интерпретира като произволна точка в равнина.
Ако компонентите XИ Y- дискретни случайни променливи, тогава е дискретна двумерна случайна променлива и ако XИ Yса непрекъснати, тогава е непрекъсната двумерна случайна променлива.
Законът за разпределение на вероятностите на двумерна случайна променлива е съответствието между възможните стойности и техните вероятности.
Законът за разпределение на двумерна дискретна случайна променлива може да бъде определен под формата на таблица с двоен вход (виж таблица 6.1), където е вероятността компонентът Xпридоби значението х аз, и компонента Y- значение г й .
Таблица 6.1.1.
|
г 1 |
г 2 |
г й |
г м |
|||
|
х 1 |
стр 11 |
стр 12 |
стр 1j |
стр 1м |
||
|
х 2 |
стр 21 |
стр 22 |
стр 2j |
стр 2м |
||
|
х аз |
стр i1 |
стр i2 |
стр ij |
стр им |
||
|
х п |
стр n1 |
стр n2 |
стр nj |
стр nm |
Тъй като събитията съставляват пълна група от по двойки несъвместими събития, сумата от вероятностите е равна на 1, т.е.
От таблица 6.1 можете да намерите законите на разпределение на едномерните компоненти XИ Y.
Пример 6.1.1 . Намерете законите за разпределение на компонентите XИ Y,ако разпределението на двумерна случайна променлива е дадено под формата на таблица 6.1.2.
Таблица 6.1.2.
Ако фиксираме стойността на един от аргументите, например, тогава полученото разпределение на стойността Xнаречено условно разпределение. Условното разпределение се определя по подобен начин Y.
Пример 6.1.2 . Според разпределението на двумерна случайна величина, дадено в табл. 6.1.2, намерете: а) условния закон за разпределение на компонента Xпредвид това; б) закон за условно разпределение Yпри условие че.
Решение. Условни вероятности на компоненти XИ Yизчислени с помощта на формули
Закон за условно разпределение Xпри условие, че има формата
Контрол: .
Законът за разпределение на двумерна случайна променлива може да бъде определен във формата разпределителни функции, което определя за всяка двойка числа вероятността, че Xще вземе стойност по-малка от X, и в същото време Yще вземе стойност по-малка от г:
Геометрично, функцията означава вероятността произволна точка да попадне в безкраен квадрат с върха си в точката (фиг. 6.1.1).
Нека отбележим свойствата.
- 1. Диапазонът от стойности на функцията е , т.е. .
- 2. Функция - ненамаляваща функция за всеки аргумент.
- 3. Има ограничителни отношения:
Когато функцията на разпределение на системата стане равна на функцията на разпределение на компонента X, т.е. .
По същия начин,.
Като знаете това, можете да намерите вероятността произволна точка да попадне в правоъгълника ABCD.
а именно
Пример 6.1.3. Двумерна дискретна случайна променлива се определя от таблица на разпределение
Намерете функцията на разпределение.
Решение. Стойност в случай на дискретни компоненти XИ Yсе намира чрез сумиране на всички вероятности с индекси азИ й, за което, . Тогава, ако и, тогава (събитията и са невъзможни). По същия начин получаваме:
ако и, тогава;
ако и, тогава;
ако и, тогава;
ако и, тогава;
ако и, тогава;
ако и, тогава;
ако и, тогава;
ако и, тогава;
ако и, тогава.
Нека представим получените резултати под формата на таблица (6.1.3) със стойности:
За двумерен непрекъснатслучайна променлива се въвежда концепцията за плътност на вероятността
Геометричната плътност на вероятността е разпределителна повърхност в пространството
Двумерната плътност на вероятността има следните свойства:
3. Функцията на разпределение може да се изрази чрез формулата
4. Вероятността непрекъсната случайна променлива да попадне в региона е равна на
5. В съответствие със свойство (4) на функцията са валидни следните формули:
Пример 6.1.4.Дадена е функцията на разпределение на двумерна случайна променлива
Случайна променлива се нарича двумерна ( X, Y), чиито възможни стойности са двойки числа ( x, y). Компоненти XИ Y, разглеждани едновременно, форма системадве случайни променливи.
Двуизмерно количество може да се интерпретира геометрично като случайна точка М(X; Y) в самолета xOyили като случаен вектор ОМ.
Дискретносе нарича двумерна величина, чиито компоненти са дискретни.
Непрекъснатосе нарича двумерна величина, чиито компоненти са непрекъснати.
Закон за разпределениеВероятността на двумерна случайна променлива е съответствието между възможните стойности и техните вероятности.
Законът за разпределение на дискретна двумерна случайна променлива може да бъде определен: а) под формата на таблица с двоен вход, съдържащ възможни стойности и техните вероятности; б) аналитично, например под формата на функция на разпределение.
Разпределителна функцияна вероятностите на двумерна случайна променлива се нарича функция F(x, y), определящ за всяка двойка числа (x, y)вероятността, че Xще приеме стойност, по-малка от x, и в същото време Yще вземе стойност по-малка от г:
F(x, y) = P(X< x, Y < y).
Геометрично това равенство може да се тълкува по следния начин: F(x, y)има възможност произволна точка ( X, Y) ще попадне в безкраен квадрант с връх ( x,y), разположен вляво и под този връх.
Понякога вместо термина „функция на разпределение“ се използва терминът „интегрална функция“.
Функцията на разпределение има следните свойства:
Имот 1. Стойностите на функцията на разпределение отговарят на двойното неравенство
0 ≤ F (x, y) ≤ 1.
Имот 2. Функцията на разпределение е ненамаляваща функция за всеки аргумент:
F(x 2 , y) ≥ F(x 1 , y), ако x 2 > x 1,
F(x, y 2) ≥ F(x, y 1), ако y 2 > y 1.
Имот 3. Има гранични отношения:
1) F(–∞, y) = 0,
3) F(–∞, –∞) = 0,
2) F(x, –∞) = 0,
4) F(∞, ∞) = 1.
Имот 4. а) Когато y=∞ функцията на разпределение на системата става функция на разпределение на компонент X:
F(x, ∞) = F 1 (x).
б) При х = ∞ функцията на разпределение на системата става функция на разпределение на компонента Y:
F(∞, y) = F 2 (y).
Използвайки функцията за разпределение, можете да намерите вероятността произволна точка да попадне в правоъгълник х 1< X < x 2 , y 1 < Y < у 2 :
P(x 1< X < x 2 , y 1 < Y < у 2) = – .
Съвместна плътност на вероятността (двумерна плътност на вероятността)непрекъсната двумерна случайна променлива се нарича втора смесена производна на функцията на разпределение:
Понякога вместо термина „двумерна плътност на вероятността“ се използва терминът „диференциална функция на системата“.
Плътността на съвместното разпределение може да се разглежда като границата на съотношението на вероятността произволна точка да попадне в правоъгълник със страни D хи Д гкъм площта на този правоъгълник, когато двете му страни клонят към нула; геометрично може да се тълкува като повърхност т.нар разпределителна повърхност.
Познавайки плътността на разпределението, можете да намерите функцията на разпределение с помощта на формулата
Вероятността произволна точка (X, Y) да попадне в област D се определя от равенството
Двумерната плътност на вероятността има следните свойства:
Имот 1. Двумерната плътност на вероятността е неотрицателна:
f(x,y) ≥ 0.
Имот 2. Двоен неправилен интеграл с безкрайни границиот двумерната плътност на вероятността равно на едно :
По-специално, ако всички възможни стойности (X, Y) принадлежат към краен домейн D, тогава
226. Дадено е вероятностното разпределение на дискретна двумерна случайна променлива:
Намерете законите за разпределение на компонентите.
228. Дадена е функцията на разпределение на двумерна случайна величина
Намерете вероятността да уцелите произволна точка ( X, Y х = 0, х= p/4, г= p/6, г= p/3.
229. Намерете вероятността да уцелите произволна точка ( X, Y) в правоъгълник, ограничен от прави линии х = 1, х = 2, г = 3, г= 5, ако функцията на разпределение е известна
230. Дадена е функцията на разпределение на двумерна случайна величина
Намерете двумерната плътност на вероятността на системата.
231. В кръг x 2 + y 2 ≤ R 2двумерна плътност на вероятността; извън кръга f(x, y)= 0. Намерете: а) константа В; б) вероятността за попадение в произволна точка ( X, Y) в окръжност с радиус r= 1 с център в началото, ако Р = 2.
232. В първия квадрант е дадена функцията на разпределение на система от две случайни величини F(x, y) = 1 + 2 - x – 2 - y + 2 - x- y. Намерете: а) двумерна плътност на вероятността на системата; б) вероятността за попадение в произволна точка ( X, Y) в триъгълник с върхове А(1; 3), б(3; 3), В(2; 8).
8.2. Условни закони за разпределение на вероятностите на компонентите
дискретна двумерна случайна променлива
Нека компонентите XИ Yса дискретни и имат съответно следните възможни стойности: x 1, x 2, …, x n; y 1 , y 2 , …, y m.
Условно разпределение на компонента Xпри Y=yj(j запазва същата стойност за всички възможни стойности на X) се нарича набор от условни вероятности
p(x 1 |y j), p(x 2 |y j), …, p(x n |y j).
Условното разпределение на Y се определя по подобен начин.
Условните вероятности на компонентите X и Y се изчисляват съответно с помощта на формулите
За да контролирате изчисленията, препоръчително е да се уверите, че сумата от вероятностите на условното разпределение е равна на единица.
233. Дадена е дискретна двумерна случайна променлива ( X, Y):
Намерете: а) закон за условно разпределение Xпри условие че Y=10; б) закон за условно разпределение Yпри условие че X=6.
8.3. Намиране на плътности и закони за условно разпределение
компоненти на непрекъсната двумерна случайна променлива
Плътността на разпределение на един от компонентите е равна на неправилния интеграл с безкрайни граници на общата плътност на разпределение на системата, а променливата за интегриране съответства на другата компонента:
Тук се приема, че възможните стойности на всеки от компонентите принадлежат на цялата числова линия; ако възможните стойности принадлежат към краен интервал, тогава съответните крайни числа се приемат като граници на интегриране.
Условна плътност на разпределение на компонента Xпри дадена стойност Y = yе отношението на плътността на съвместното разпределение на системата към плътността на разпределение на компонента Y:
По подобен начин се определя условната плътност на разпределение на компонента Y:
Ако условните плътности на разпределение на случайни променливи XИ Yса равни на техните безусловни плътности, тогава такива количества са независими.
Униформае разпределението на двумерна непрекъсната случайна променлива ( X, Y), ако в областта, която съдържа всички възможни стойности ( x, y), плътността на съвместното разпределение на вероятностите остава постоянна.
235. Плътността на съвместното разпределение на непрекъсната двумерна случайна променлива (X, Y) е дадена
Намерете: а) плътностите на разпределение на компонентите; б) условни плътности на разпределение на компонентите.
236. Съвместна плътност на разпределение на непрекъсната двумерна случайна променлива ( X, Y)
Намерете: а) постоянен множител В; б) плътност на разпределение на компонентите; в) условни плътности на разпределение на компонентите.
237. Непрекъсната двумерна случайна променлива ( X, Y) е разпределен равномерно вътре в правоъгълник с център на симетрия в началото и страни 2a и 2b, успоредни на координатните оси. Намерете: а) двумерна плътност на вероятността на системата; б) плътности на разпределение на компонентите.
238. Непрекъсната двумерна случайна променлива ( X, Y) равномерно разпределени вътре правоъгълен триъгълникс върхове О(0; 0), А(0; 8), IN(8;0). Намерете: а) двумерна плътност на вероятността на системата; б) плътности и условни плътности на разпределение на компонентите.
8.4. Числени характеристики на непрекъсната система
две случайни променливи
Познавайки плътностите на разпределение на компонентите X и Y на непрекъсната двумерна случайна променлива (X, Y), можете да намерите техните математически очаквания и дисперсии:
Понякога е по-удобно да се използват формули, съдържащи двумерна плътност на вероятността (двойните интеграли се вземат в диапазона от възможни стойности на системата):
Начален момент n k, sред k+sсистеми ( X, Y) се наричат математическо очакванеработи X k Y s:
n k, s = М.
по-специално,
n 1,0 = M(X), n 0,1 = M(Y).
Централен момент m k, sред k+sсистеми ( X, Y) се нарича математическо очакване на произведението на отклоненията, респ кта и sти степени:
m k, s = M( k ∙ s).
по-специално,
m 1.0 =M = 0, m 0.1 = M = 0;
m 2.0 =M 2 = D(X), m 0.2 = M 2 = D(Y);
Корелационен момент m xусистеми ( X, Y) се нарича централен момент m 1.1ред 1 + 1:
m xу = M( ∙ ).
Коефициент на корелациявеличините X и Y се наричат отношението на корелационния момент към произведението на стандартните отклонения на тези величини:
r xy = m xy / (s x s y).
Коефициентът на корелация е безразмерна величина и | r xy| ≤ 1. Коефициентът на корелация служи за оценка на плътността линейна връзкамежду XИ Y: колкото по-близо абсолютна стойност коефициент на корелациякъм единството, толкова по-силна е връзката; Колкото по-близо до нула е абсолютната стойност на корелационния коефициент, толкова по-слаба е връзката.
Корелиранидве случайни променливи се наричат, ако техният корелационен момент е различен от нула.
Некорелиранидве случайни променливи се извикват, ако техният корелационен момент е нула.
Две корелирани величини също са зависими; ако две величини са зависими, тогава те могат да бъдат или корелирани, или некорелирани. От независимостта на две величини следва, че те са некорелирани, но от некорелацията все още е невъзможно да се заключи, че тези величини са независими (за нормално разпределени величини, от некорелацията на тези величини следва тяхната независимост).
За непрекъснати количестваКорелационният момент X и Y може да се намери с помощта на формулите:
239. Съвместната плътност на разпределение на непрекъсната двумерна случайна променлива (X, Y) е дадена:
Намерете: а) математически очаквания; б) вариации на компонентите X и Y.
240. Съвместната плътност на разпределение на непрекъсната двумерна случайна променлива (X, Y) е дадена:
Намерете математическите очаквания и дисперсии на компонентите.
241. Плътността на съвместното разпределение на непрекъсната двумерна случайна променлива ( X, Y): f(x, y) = 2 cosx уютнона квадрат 0 ≤ х≤p/4, 0 ≤ г≤p/4; извън площада f(x, y)= 0. Намерете математическите очаквания на компонентите.
242. Докажете, че ако двумерната плътност на вероятността на система от случайни променливи ( X, Y) може да се представи като продукт на две функции, едната от които зависи само от х, а другата - само от г, след това количествата XИ Yнезависима.
243. Докажете, че ако XИ Yсвързан линейна зависимост Y = aX + b, тогава абсолютната стойност на коефициента на корелация е равна на единица.
Решение. По дефиниция на коефициента на корелация,
r xy = m xy / (s x s y).
m xу = M( ∙ ). (*)
Нека намерим математическото очакване Y:
M(Y) = M = aM(X) + b. (**)
Заместване на (**) в (*), след елементарни трансформацииполучаваме
m xу = aM 2 = aD(X) = като 2 x .
Като се има предвид това
Y – M(Y) = (aX + b) – (aM(X) + b) = a,
нека намерим дисперсията Y:
D(Y) = M 2 = a 2 M 2 = a 2 s 2 x.
Оттук s y = |a|s x. Следователно коефициентът на корелация
Ако а> 0, тогава r xy= 1; Ако а < 0, то r xy = –1.
И така, | r xy| = 1, което трябваше да се докаже.
Подредена двойка (X, Y) от случайни променливи X и Y се нарича двумерна случайна променлива или случаен вектор в двумерно пространство. Двумерна случайна променлива (X, Y) се нарича още система от случайни променливи X и Y. Наборът от всички възможни стойности на дискретна случайна променлива с техните вероятности се нарича закон за разпределение на тази случайна променлива. Дискретна двумерна случайна променлива (X, Y) се счита за дадена, ако е известен нейният закон за разпределение:
P(X=x i, Y=y j) = p ij, i=1,2...,n, j=1,2...,m
Цел на услугата. Използвайки услугата, съгласно даден закон за разпространение, можете да намерите:
- серии на разпределение X и Y, математическо очакване M[X], M[Y], дисперсия D[X], D[Y];
- ковариация cov(x,y), коефициент на корелация r x,y, условна серия на разпределение X, условно очакване M;
Инструкции. Посочете размерността на матрицата на вероятностното разпределение (брой редове и колони) и нейния тип. Полученото решение се записва във файл на Word.
Пример №1. Двумерна дискретна случайна променлива има таблица на разпределение:
| Y/X | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 10 | 0 | 0,11 | 0,12 | 0,03 |
| 20 | 0 | 0,13 | 0,09 | 0,02 |
| 30 | 0,02 | 0,11 | 0,08 | 0,01 |
| 40 | 0,03 | 0,11 | 0,05 | р |
Решение. Стойността на q намираме от условието Σp ij = 1
Σp ij = 0,02 + 0,03 + 0,11 + … + 0,03 + 0,02 + 0,01 + q = 1
0,91+q = 1. Откъде идва q = 0,09?
Използвайки формулата ∑P(x аз,г й) = p аз(j=1..n), намираме серията на разпределение X.
M[y] = 1*0,05 + 2*0,46 + 3*0,34 + 4*0,15 = 2,59
Дисперсия D[Y] = 1 2 *0.05 + 2 2 *0.46 + 3 2 *0.34 + 4 2 *0.15 - 2.59 2 = 0.64
Стандартно отклонениеσ(y) = sqrt(D[Y]) = sqrt(0,64) = 0,801
Ковариация cov(X,Y) = M - M[X] M[Y] = 2 10 0,11 + 3 10 0,12 + 4 10 0,03 + 2 20 0,13 + 3 20 0,09 + 4 ·20·0,02 + 1·30·0,02 + 2·30·0,11 + 3·30·0,08 + 4·30·0,01 + 1·40·0,03 + 2·40·0,11 + 3·40·0,05 + 4·40 ·0,09 - 25,2 · 2,59 = -0,068
Коефициент на корелация r xy = cov(x,y)/σ(x)&sigma(y) = -0,068/(11,531*0,801) = -0,00736
Пример 2. В корелационната таблица са отразени данни от статистическа обработка на информация по два показателя X и Y. Задължително:
- напишете серии на разпределение за X и Y и изчислете примерни средни стойности и примерни стандартни отклонения за тях;
- напишете условни серии на разпределение Y/x и изчислете условни средни Y/x;
- изобразяват графично зависимостта на условните средни Y/x от X стойностите;
- изчислете примерния коефициент на корелация Y върху X;
- напишете примерно уравнение за предна регресия;
- изобразете геометрично данните от корелационната таблица и изградете регресионна линия.
Наборът от всички възможни стойности на дискретна случайна променлива с техните вероятности се нарича закон за разпределение на тази случайна променлива.
Дискретна двумерна случайна променлива (X,Y) се счита за дадена, ако е известен нейният закон за разпределение:
P(X=x i, Y=y j) = p ij, i=1,2...,n, j=1,2..,m
| X/Y | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 |
| 11 | 2 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 16 | 4 | 6 | 0 | 0 | 0 |
| 21 | 0 | 3 | 6 | 2 | 0 |
| 26 | 0 | 0 | 45 | 8 | 4 |
| 31 | 0 | 0 | 4 | 6 | 7 |
| 36 | 0 | 0 | 0 | 0 | 3 |
1. Зависимост на случайните величини X и Y.
Намерете сериите на разпределение X и Y.
Използвайки формулата ∑P(x аз,г й) = p аз(j=1..n), намираме серията на разпределение X. Очакване M[Y].
M[y] = (20*6 + 30*9 + 40*55 + 50*16 + 60*14)/100 = 42,3
Дисперсия D[Y].
D[Y] = (20 2 *6 + 30 2 *9 + 40 2 *55 + 50 2 *16 + 60 2 *14)/100 - 42,3 2 = 99,71
Стандартно отклонение σ(y).
Тъй като P(X=11,Y=20) = 2≠2 6, тогава случайните променливи X и Y зависим.
2. Закон за условно разпределение X.
Закон за условно разпределение X(Y=20).
P(X=11/Y=20) = 2/6 = 0,33
P(X=16/Y=20) = 4/6 = 0,67
P(X=21/Y=20) = 0/6 = 0
P(X=26/Y=20) = 0/6 = 0
P(X=31/Y=20) = 0/6 = 0
P(X=36/Y=20) = 0/6 = 0
Условно математическо очакване M = 11*0,33 + 16*0,67 + 21*0 + 26*0 + 31*0 + 36*0 = 14,33
Условна дисперсия D = 11 2 *0,33 + 16 2 *0,67 + 21 2 *0 + 26 2 *0 + 31 2 *0 + 36 2 *0 - 14,33 2 = 5,56
Закон за условно разпределение X(Y=30).
P(X=11/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=16/Y=30) = 6/9 = 0,67
P(X=21/Y=30) = 3/9 = 0,33
P(X=26/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=31/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=36/Y=30) = 0/9 = 0
Условно математическо очакване M = 11*0 + 16*0,67 + 21*0,33 + 26*0 + 31*0 + 36*0 = 17,67
Условна дисперсия D = 11 2 *0 + 16 2 *0,67 + 21 2 *0,33 + 26 2 *0 + 31 2 *0 + 36 2 *0 - 17,67 2 = 5,56
Закон за условно разпределение X(Y=40).
P(X=11/Y=40) = 0/55 = 0
P(X=16/Y=40) = 0/55 = 0
P(X=21/Y=40) = 6/55 = 0,11
P(X=26/Y=40) = 45/55 = 0,82
P(X=31/Y=40) = 4/55 = 0,0727
P(X=36/Y=40) = 0/55 = 0
Условно математическо очакване M = 11*0 + 16*0 + 21*0,11 + 26*0,82 + 31*0,0727 + 36*0 = 25,82
Условна дисперсия D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0,11 + 26 2 *0,82 + 31 2 *0,0727 + 36 2 *0 - 25,82 2 = 4,51
Закон за условно разпределение X(Y=50).
P(X=11/Y=50) = 0/16 = 0
P(X=16/Y=50) = 0/16 = 0
P(X=21/Y=50) = 2/16 = 0,13
P(X=26/Y=50) = 8/16 = 0,5
P(X=31/Y=50) = 6/16 = 0,38
P(X=36/Y=50) = 0/16 = 0
Условно математическо очакване M = 11*0 + 16*0 + 21*0,13 + 26*0,5 + 31*0,38 + 36*0 = 27,25
Условна дисперсия D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0,13 + 26 2 *0,5 + 31 2 *0,38 + 36 2 *0 - 27,25 2 = 10,94
Закон за условно разпределение X(Y=60).
P(X=11/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=16/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=21/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=26/Y=60) = 4/14 = 0,29
P(X=31/Y=60) = 7/14 = 0,5
P(X=36/Y=60) = 3/14 = 0,21
Условно математическо очакване M = 11*0 + 16*0 + 21*0 + 26*0,29 + 31*0,5 + 36*0,21 = 30,64
Условна дисперсия D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0 + 26 2 *0,29 + 31 2 *0,5 + 36 2 *0,21 - 30,64 2 = 12,37
3. Закон за условно разпределение Y.
Закон за условно разпределение Y(X=11).
P(Y=20/X=11) = 2/2 = 1
P(Y=30/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=40/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=50/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=60/X=11) = 0/2 = 0
Условно математическо очакване M = 20*1 + 30*0 + 40*0 + 50*0 + 60*0 = 20
Условна дисперсия D = 20 2 *1 + 30 2 *0 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *0 - 20 2 = 0
Закон за условно разпределение Y(X=16).
P(Y=20/X=16) = 4/10 = 0,4
P(Y=30/X=16) = 6/10 = 0,6
P(Y=40/X=16) = 0/10 = 0
P(Y=50/X=16) = 0/10 = 0
P(Y=60/X=16) = 0/10 = 0
Условно математическо очакване M = 20*0,4 + 30*0,6 + 40*0 + 50*0 + 60*0 = 26
Условна дисперсия D = 20 2 *0,4 + 30 2 *0,6 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *0 - 26 2 = 24
Закон за условно разпределение Y(X=21).
P(Y=20/X=21) = 0/11 = 0
P(Y=30/X=21) = 3/11 = 0,27
P(Y=40/X=21) = 6/11 = 0,55
P(Y=50/X=21) = 2/11 = 0,18
P(Y=60/X=21) = 0/11 = 0
Условно математическо очакване M = 20*0 + 30*0,27 + 40*0,55 + 50*0,18 + 60*0 = 39,09
Условна дисперсия D = 20 2 *0 + 30 2 *0,27 + 40 2 *0,55 + 50 2 *0,18 + 60 2 *0 - 39,09 2 = 44,63
Закон за условно разпределение Y(X=26).
P(Y=20/X=26) = 0/57 = 0
P(Y=30/X=26) = 0/57 = 0
P(Y=40/X=26) = 45/57 = 0,79
P(Y=50/X=26) = 8/57 = 0,14
P(Y=60/X=26) = 4/57 = 0,0702
Условно математическо очакване M = 20*0 + 30*0 + 40*0,79 + 50*0,14 + 60*0,0702 = 42,81
Условна дисперсия D = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0,79 + 50 2 *0,14 + 60 2 *0,0702 - 42,81 2 = 34,23
Закон за условно разпределение Y(X=31).
P(Y=20/X=31) = 0/17 = 0
P(Y=30/X=31) = 0/17 = 0
P(Y=40/X=31) = 4/17 = 0,24
P(Y=50/X=31) = 6/17 = 0,35
P(Y=60/X=31) = 7/17 = 0,41
Условно математическо очакване M = 20*0 + 30*0 + 40*0,24 + 50*0,35 + 60*0,41 = 51,76
Условна дисперсия D = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0,24 + 50 2 *0,35 + 60 2 *0,41 - 51,76 2 = 61,59
Закон за условно разпределение Y(X=36).
P(Y=20/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=30/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=40/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=50/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=60/X=36) = 3/3 = 1
Условно математическо очакване M = 20*0 + 30*0 + 40*0 + 50*0 + 60*1 = 60
Условна дисперсия D = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *1 - 60 2 = 0
Ковариация.
cov(X,Y) = M - M[X]·M[Y]
cov(X,Y) = (20 11 2 + 20 16 4 + 30 16 6 + 30 21 3 + 40 21 6 + 50 21 2 + 40 26 45 + 50 26 8 + 60 26 4 + 40 31 4 + 50 31 6 + 60 31 7 + 60 36 3)/100 - 25,3 42,3 = 38,11
Ако случайните променливи са независими, тогава тяхната ковариация е нула. В нашия случай cov(X,Y) ≠ 0.
Коефициент на корелация.
Уравнението на линейната регресия от y до x е:
Уравнението на линейната регресия от x до y е:
Нека намерим необходимите числени характеристики.
Примерни средни стойности:
x = (20(2 + 4) + 30(6 + 3) + 40(6 + 45 + 4) + 50(2 + 8 + 6) + 60(4 + 7 + 3))/100 = 42,3
y = (20(2 + 4) + 30(6 + 3) + 40(6 + 45 + 4) + 50(2 + 8 + 6) + 60(4 + 7 + 3))/100 = 25,3
Разлики:
σ 2 x = (20 2 (2 + 4) + 30 2 (6 + 3) + 40 2 (6 + 45 + 4) + 50 2 (2 + 8 + 6) + 60 2 (4 + 7 + 3) )/100 - 42,3 2 = 99,71
σ 2 y = (11 2 (2) + 16 2 (4 + 6) + 21 2 (3 + 6 + 2) + 26 2 (45 + 8 + 4) + 31 2 (4 + 6 + 7) + 36 2 (3))/100 - 25,3 2 = 24,01
Откъде получаваме стандартните отклонения:
σ x = 9,99 и σ y = 4,9
и ковариация:
Cov(x,y) = (20 11 2 + 20 16 4 + 30 16 6 + 30 21 3 + 40 21 6 + 50 21 2 + 40 26 45 + 50 26 8 + 60 26 4 + 40 31 4 + 50 31 6 + 60 31 7 + 60 36 3)/100 - 42,3 25,3 = 38,11
Нека да определим коефициента на корелация:
Нека напишем уравненията на регресионните линии y(x):
и изчислявайки, получаваме:
y x = 0,38 x + 9,14
Нека запишем уравненията на регресионните линии x(y):
и изчислявайки, получаваме:
x y = 1,59 y + 2,15
Ако нанесем точките, определени от таблицата и регресионните линии, ще видим, че и двете линии минават през точката с координати (42.3; 25.3) и точките са разположени близо до регресионните линии.
Значение на коефициента на корелация.
Използвайки таблицата на Стюдънт с ниво на значимост α=0,05 и степени на свобода k=100-m-1 = 98, намираме t crit:
t crit (n-m-1;α/2) = (98;0,025) = 1,984
където m = 1 е броят на обяснителните променливи.
Ако t наблюдавано > t критично, тогава получената стойност на корелационния коефициент се счита за значима (нулевата хипотеза, според която корелационният коефициент е равен на нула, се отхвърля).
Тъй като t obs > t crit, ние отхвърляме хипотезата, че коефициентът на корелация е равен на 0. С други думи, коефициентът на корелация е статистически значим.
Упражнение. Броят на ударите на двойки стойности на случайни променливи X и Y в съответните интервали е даден в таблицата. Използвайки тези данни, намерете примерния коефициент на корелация и примерните уравнения на прави регресионни линии на Y върху X и X върху Y.
Решение
Пример. Вероятностното разпределение на двумерна случайна променлива (X, Y) е дадено от таблица. Намерете законите на разпределение на компонентните величини X, Y и корелационния коефициент p(X, Y).
Изтеглете решение
Упражнение. Двумерна дискретна величина (X, Y) се дава от закон за разпределение. Намерете законите на разпределение на компонентите X и Y, ковариацията и коефициента на корелация.