Сега със спокойна душа да преминем към разглеждането прекрасни граници.
прилича на .
Вместо променливата x могат да присъстват различни функции, основното е, че те клонят към 0.
Необходимо е да се изчисли лимитът
Както можете да видите, това ограничение е много подобно на първото прекрасно, но това не е съвсем вярно. Като цяло, ако забележите грях в лимита, тогава трябва незабавно да помислите дали е възможно да използвате първия забележителен лимит.
Според нашето правило № 1 заместваме нула вместо x:
Получаваме несигурност.
Сега нека се опитаме сами да организираме първия прекрасен лимит. За да направите това, нека направим проста комбинация:
Така че организираме числителя и знаменателя, за да подчертаем 7x. Сега познатият забележителен лимит вече се появи. Препоръчително е да го подчертаете, когато решавате:
Нека заместим решението на първия забележителен пример и ще получим:
Опростяване на дробта:
Отговор: 7/3.
Както можете да видите, всичко е много просто.
Прилича на 
, където e = 2,718281828... е ирационално число.
Вместо променливата x могат да присъстват различни функции, основното е, че те са склонни към .
Необходимо е да се изчисли лимитът
Тук виждаме наличието на степен под знака на граница, което означава, че е възможно да се използва втора забележителна граница.
Както винаги, ще използваме правило № 1 - заменете x вместо:
Вижда се, че при x основата на степента е , а показателят е 4x > , т.е. получаваме несигурност от формата:
Нека използваме втората прекрасна граница, за да разкрием нашата несигурност, но първо трябва да я организираме. Както можете да видите, трябва да постигнем присъствие в индикатора, за което повдигаме основата на степен 3x и в същото време на степен 1/3x, така че изразът да не се променя:
Не забравяйте да подчертаете нашия чудесен лимит:
Такива са наистина прекрасни граници!
Ако все още имате въпроси относно първата и втората чудесни граници, тогава не се колебайте да ги попитате в коментарите.
Ще отговорим максимално на всички.
Можете също да работите с учител по тази тема.
Имаме удоволствието да ви предложим услугите за избор на квалифициран учител във вашия град. Нашите партньори бързо ще изберат за вас добър учител при изгодни условия.
Няма достатъчно информация? - Ти можеш!
Можете да записвате математически изчисления в бележници. Много по-приятно е да пишете индивидуално в тетрадки с лого (http://www.blocnot.ru).
Първата забележителна граница изглежда така: lim x → 0 sin x x = 1 .
В практически примери често се срещат модификации на първата забележителна граница: lim x → 0 sin k · x k · x = 1, където k е определен коефициент.
Нека обясним: lim x → 0 sin (k x) k x = празно t = k x и от x → 0 следва t → 0 = lim t → 0 sin (t) t = 1.
Последици от първото забележително ограничение:
- lim x → 0 x sin x = lim x → 0 = 1 sin x x = 1 1 = 1
- lim x → 0 k x sin k x = lim x → 0 1 sin (k x) k x = 1 1 = 1
Тези следствия са много лесни за доказване чрез прилагане на правилото на L'Hopital или заместване на безкрайно малки функции.
Нека разгледаме някои проблеми при намирането на границата, използвайки първата забележителна граница; Ще дадем подробно описание на решението.
Пример 1
Необходимо е да се определи границата, без да се използва правилото на L'Hopital: lim x → 0 sin (3 x) 2 x.
Решение
Нека заместим стойността:
lim x → 0 sin (3 x) 2 x = 0 0
Виждаме, че е възникнала неопределеността на нула, разделена на нула. Нека се обърнем към таблицата на неопределеността, за да зададем метода на решение. Комбинацията от синус и неговия аргумент ни подсказва за използването на първата чудесна граница, но първо трансформираме израза. Умножете числителя и знаменателя на дробта по 3 x и получете:
lim x → 0 sin (3 x) 2 x = 0 0 = lim x → 0 3 x sin (3 x) 3 x (2 x) = lim x → 0 sin (3 x) 3 x 3 x 2 x = = lim x → 0 3 2 sin (3 x) 3 x
Въз основа на следствието от първата забележителна граница, имаме: lim x → 0 sin (3 x) 3 x = 1.
След това стигаме до резултата:
lim x → 0 3 2 sin (3 x) 3 x = 3 2 1 = 3 2
отговор: lim x → 0 sin (3 x) 3 x = 3 2 .
Пример 2
Необходимо е да се намери границата lim x → 0 1 - cos (2 x) 3 x 2 .
Решение
Нека заместим стойностите и да получим:
lim x → 0 1 - cos (2 x) 3 x 2 = 1 - cos (2 0) 3 0 2 = 1 - 1 0 = 0 0
Виждаме несигурността на нула, разделена на нула. Нека преобразуваме числителя с помощта на тригонометрични формули:
lim x → 0 1 - cos (2 x) 3 x 2 = 0 0 = lim x → 0 2 sin 2 (x) 3 x 2
Виждаме, че първото забележително ограничение вече може да се приложи тук:
lim x → 0 2 sin 2 (x) 3 x 2 = lim x → 0 2 3 sin x x sin x x = 2 3 1 1 = 2 3
отговор: lim x → 0 1 - cos (2 x) 3 x 2 = 2 3 .
Пример 3
Необходимо е да се изчисли границата lim x → 0 a r c sin (4 x) 3 x .
Решение
Нека заместим стойността:
lim x → 0 a r c sin (4 x) 3 x = a r c sin (4 0) 3 0 = 0 0
Виждаме несигурността при деленето на нула на нула. Да направим замяна:
a r c sin (4 x) = t ⇒ sin (a r c sin (4 x)) = sin (t) 4 x = sin (t) ⇒ x = 1 4 sin (t) lim x → 0 (a r c sin (4 x) ) = a r c sin (4 · 0) = 0, което означава t → 0 като x → 0.
В този случай, след замяна на променливата, ограничението приема формата:
lim x → 0 a r c sin (4 x) 3 x = 0 0 = lim t → 0 t 3 1 4 sin (t) = = lim t → 0 4 3 t sin t = 4 3 1 = 4 3
отговор: lim x → 0 a r c sin (4 x) 3 x = 4 3 .
За по-пълно разбиране на материала в статията трябва да повторите материала по темата „Граници, основни определения, примери за намиране, проблеми и решения“.
Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter
Формулата за втората забележителна граница е lim x → ∞ 1 + 1 x x = e. Друга форма на писане изглежда така: lim x → 0 (1 + x) 1 x = e.
Когато говорим за втората забележителна граница, трябва да имаме работа с несигурност от формата 1 ∞, т.е. единица в безкрайна степен.
Нека разгледаме проблеми, при които способността за изчисляване на втората забележителна граница ще бъде полезна.
Пример 1
Намерете границата lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 .
Решение
Нека заместим търсената формула и да извършим изчисленията.
lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 - 2 ∞ 2 + 1 ∞ 2 + 1 4 = 1 - 0 ∞ = 1 ∞
Отговорът ни се оказа едно на степен безкрайност. За да определим метода на решение, използваме таблицата на неопределеността. Нека изберем втората забележителна граница и направим промяна на променливите.
t = - x 2 + 1 2 ⇔ x 2 + 1 4 = - t 2
Ако x → ∞, тогава t → - ∞.
Да видим какво получихме след замяната:
lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 2 t = lim t → ∞ 1 + 1 t t - 1 2 = e - 1 2
отговор: lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = e - 1 2 .
Пример 2
Изчислете границата lim x → ∞ x - 1 x + 1 x .
Решение
Нека заместим безкрайността и ще получим следното.
lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = lim x → ∞ 1 - 1 x 1 + 1 x x = 1 - 0 1 + 0 ∞ = 1 ∞
В отговора отново получихме същото като в предишния проблем, следователно можем отново да използваме втората чудесна граница. След това трябва да изберем цялата част в основата на мощностната функция:
x - 1 x + 1 = x + 1 - 2 x + 1 = x + 1 x + 1 - 2 x + 1 = 1 - 2 x + 1
След това лимитът приема следната форма:
lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x
Замяна на променливи. Да приемем, че t = - x + 1 2 ⇒ 2 t = - x - 1 ⇒ x = - 2 t - 1 ; ако x → ∞, тогава t → ∞.
След това записваме какво сме получили в първоначалния лимит:
lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t 1 + 1 t - 1 = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 2 1 + 1 ∞ = e - 2 · (1 + 0) - 1 = e - 2
За да извършим тази трансформация, използвахме основните свойства на границите и мощностите.
отговор: lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = e - 2 .
Пример 3
Изчислете границата lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 .
Решение
lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + 1 x 3 1 + 2 x - 1 x 3 3 2 x - 5 x 4 = = 1 + 0 1 + 0 - 0 3 0 - 0 = 1 ∞
След това трябва да трансформираме функцията, за да приложим втората голяма граница. Получихме следното:
lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = 1 ∞ = lim x → ∞ x 3 - 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5
lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5
Тъй като сега имаме едни и същи показатели в числителя и знаменателя на дробта (равно на шест), границата на дробта в безкрайност ще бъде равна на отношението на тези коефициенти при по-високи степени.
lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 6 2 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3
Като заместим t = x 2 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2, получаваме втора забележителна граница. Това означава, че:
lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3 = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 3 = e - 3
отговор: lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = e - 3 .
Изводи
Несигурност 1 ∞, т.е. единство на безкрайна степен е степенна несигурност, следователно може да се разкрие с помощта на правилата за намиране на границите на експоненциалните степенни функции.
Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter
Събрани са формули, свойства и теореми, използвани при решаването на проблеми, които могат да бъдат решени с помощта на първата забележителна граница. Дадени са подробни решения на примери, използващи първата забележителна граница на неговите последствия.
СъдържаниеВижте също: Доказателство за първото забележително ограничение и неговите последствия
Приложни формули, свойства и теореми
Тук ще разгледаме примери за решения на проблеми, включващи изчисляване на граници, които използват първата забележителна граница и последствията от нея.
По-долу са изброени формулите, свойствата и теоремите, които най-често се използват в този тип изчисления.
- Първото забележително ограничение и неговите последствия:
. - Тригонометрични формули за синус, косинус, тангенс и котангенс:
;
;
;
в , ;
;
;
;
;
;
.
Примери за решения
Пример 1
За това.
1. Изчислете лимита.
Тъй като функцията е непрекъсната за всички x, включително в точката, тогава
.
2. Тъй като функцията не е дефинирана (и следователно не е непрекъсната) за , трябва да се уверим, че съществува пунктирана околност на точката, на която .
В нашия случай, при.
.
Следователно това условие е изпълнено.
.
3. Изчислете границата.
;
В нашия случай тя е равна на първата забележителна граница:
.
по този начин
.
По същия начин намираме границата на функцията в знаменателя:
в ;
И накрая, прилагаме аритметичните свойства на ограничението на функцията:
Да кандидатстваме.
В . От таблицата на еквивалентните функции намираме:
в ; при .
.
Тогава.
Пример 2 0/0 .
Намерете границата:
.
Решение, използващо първата забележителна граница
.
В , , . Това е несигурността на формата
.
Нека трансформираме функцията отвъд граничния знак:
.
Нека направим промяна на променливата.
.
От и за , тогава
По същия начин имаме:
в ;
И накрая, прилагаме аритметичните свойства на ограничението на функцията:
Да кандидатстваме.
Тъй като функцията косинус е непрекъсната на цялата числова ос, тогава
Прилагаме аритметичните свойства на границите:
.
Решение, използващо еквивалентни функции
;
.
Нека приложим теоремата за замяна на функции с еквивалентни в лимита на частното. 0/0
.
Пример 3
Намерете границата:
.
Нека заместим числителя и знаменателя на дробта:
;
;
.
Това е несигурността на формата
.
Нека се опитаме да решим този пример, използвайки първата чудесна граница. Тъй като стойността на променливата в него клони към нула, ще направим замяна, така че новата променлива да клони не към , а към нула. За да направим това, преминаваме от x към нова променлива t, като правим заместването , .
.
След това в , .
Първо трансформираме функцията отвъд граничния знак, като умножим числителя и знаменателя на дробта по:
.
Нека заместим и използваме тригонометричните формули, дадени по-горе.
Прилагаме аритметичните свойства на границите:
.
Функцията е непрекъсната при . 0/0 .
Намираме неговата граница:
.
Нека трансформираме втората дроб и приложим първата чудесна граница:
.
Направихме заместване в числителя на дробта.
.
Прилагаме свойството на границата на продукт от функции:
.
Тъй като и за , правим заместването и прилагаме теоремата за границата на сложна функция и първата забележителна граница:
.
Прилагаме аритметичните свойства на границата на функция:
.
Пример 5
Намерете границата на функцията:
.
Лесно е да се види, че в този пример имаме несигурност на формата 0/0
.
.
За да го разкрием, прилагаме резултата от предишната задача, според който
Нека въведем обозначението:(A5.1)
. .
Тогава
.
(A5.2)
,
От (A5.1) имаме:
,
;
;
;
.
Нека го заместим в оригиналната функция:
,
където,
;
;
.
Използваме (A5.2) и непрекъснатостта на функцията косинус. Прилагаме аритметичните свойства на границата на функция.
Прилагаме аритметичните свойства на границите:
.
тук m е различно от нула число, ; 0
Пример 6 0/0
Когато , числителят и знаменателят на дробта клонят към
.
.
.
Нека трансформираме втората дроб и приложим първата чудесна граница:
;
,
Това е несигурността на формата
.
.
Нека трансформираме втората дроб и приложим първата чудесна граница:
;
,
Това е несигурността на формата
.
.
За да го разширим, трансформираме числителя на дробта:
.
Нека приложим формулата:
.
Къде .
.
Числител на дроб:
Функцията зад знака за ограничение ще приеме формата:
.
Нека намерим границата на последния фактор, като вземем предвид неговата непрекъснатост при :
.
Нека приложим тригонометричната формула:
.
Да заместим
.
Да кандидатстваме.
Тогава
Нека разделим числителя и знаменателя на , приложим първото забележително ограничение и едно от неговите последствия:
Накрая имаме:
Бележка 1: Възможно е също да се приложи формулата
Вижте също:
- Обикновено втората забележителна граница е написана в следната форма:
- \begin(equation) \lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(x)\right)^x=e\end(equation)
Числото $e$, посочено от дясната страна на равенството (1), е ирационално. Приблизителната стойност на това число е: $e\approx(2(,)718281828459045)$. Ако направим замяната $t=\frac(1)(x)$, тогава формула (1) може да бъде пренаписана както следва:
Отбелязвам, че има и няколко полезни следствия от втората забележителна граница. Примери за използването на втората забележителна граница, както и последствията от нея, са много популярни сред съставителите на стандартни стандартни изчисления и тестове.
Пример №1
Изчислете ограничението $\lim_(x\to\infty)\left(\frac(3x+1)(3x-5)\right)^(4x+7)$.
Нека веднага да отбележим, че основата на степента (т.е. $\frac(3x+1)(3x-5)$) клони към единица:
$$ \lim_(x\to\infty)\frac(3x+1)(3x-5)=\left|\frac(\infty)(\infty)\right| =\lim_(x\to\infty)\frac(3+\frac(1)(x))(3-\frac(5)(x)) =\frac(3+0)(3-0) = 1. $$
В този случай експонентата (израз $4x+7$) клони към безкрайност, т.е. $\lim_(x\to\infty)(4x+7)=\infty$.
Основата на степента клони към единица, показателят клони към безкрайност, т.е. имаме работа с несигурност $1^\infty$. Нека приложим формула, за да разкрием тази несигурност. В основата на степента на формулата е изразът $1+\frac(1)(x)$, а в примера, който разглеждаме, основата на степента е: $\frac(3x+1)(3x- 5)$. Следователно първото действие ще бъде формална корекция на израза $\frac(3x+1)(3x-5)$ до формата $1+\frac(1)(x)$. Първо, нека съберем и извадим едно:
$$ \lim_(x\to\infty)\left(\frac(3x+1)(3x-5)\right)^(4x+7) =|1^\infty| =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(3x+1)(3x-5)-1\right)^(4x+7) $$
Моля, обърнете внимание, че не можете просто да добавите единица. Ако сме принудени да добавим едно, тогава трябва също да го извадим, за да не променим стойността на целия израз. За да продължим решението, вземаме предвид това
$$ \frac(3x+1)(3x-5)-1 =\frac(3x+1)(3x-5)-\frac(3x-5)(3x-5) =\frac(3x+1- 3x+5)(3x-5) =\frac(6)(3x-5). $$
Тъй като $\frac(3x+1)(3x-5)-1=\frac(6)(3x-5)$, тогава:
$$ \lim_(x\to\infty)\left(1+ \frac(3x+1)(3x-5)-1\right)^(4x+7) =\lim_(x\to\infty)\ ляво(1+\frac(6)(3x-5)\дясно)^(4x+7) $$
Да продължим корекцията. В израза $1+\frac(1)(x)$ на формулата числителят на дробта е 1, а в нашия израз $1+\frac(6)(3x-5)$ числителят е $6$. За да получите $1$ в числителя, пуснете $6$ в знаменателя, като използвате следното преобразуване:
$$ 1+\frac(6)(3x-5) =1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6)) $$
Следователно това условие е изпълнено.
$$ \lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(6)(3x-5)\right)^(4x+7) =\lim_(x\to\infty)\left(1+ \frac(1)(\frac(3x-5)(6))\right)^(4x+7) $$
И така, основата на степента, т.е. $1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))$, коригирано до формата $1+\frac(1)(x)$, изисквана във формулата. Сега нека започнем да работим с експонентата. Обърнете внимание, че във формулата изразите в експонентите и в знаменателя са еднакви:
Това означава, че в нашия пример степенният показател и знаменателят трябва да бъдат приведени в една и съща форма. За да получим израза $\frac(3x-5)(6)$ в степента, ние просто умножаваме степента по тази дроб. Естествено, за да компенсирате такова умножение, ще трябва незабавно да умножите по реципрочната дроб, т.е. от $\frac(6)(3x-5)$. Така че имаме:
$$ \lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\right)^(4x+7) =\lim_(x\to\ infty)\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\right)^(\frac(3x-5)(6)\cdot\frac(6)(3x-5 )\cdot(4x+7)) =\lim_(x\to\infty)\left(\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\right)^(\ frac(3x-5)(6))\right)^(\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5)) $$
Нека разгледаме отделно границата на фракцията $\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5)$, разположена в степента:
$$ \lim_(x\to\infty)\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5) =\left|\frac(\infty)(\infty)\right| =\lim_(x\to\infty)\frac(6\cdot\left(4+\frac(7)(x)\right))(3-\frac(5)(x)) =6\cdot\ frac(4)(3) =8. $$
отговор: $\lim_(x\to(0))\biggl(\cos(2x)\biggr)^(\frac(1)(\sin^2(3x)))=e^(-\frac(2) (9))$.
Пример №4
Намерете границата $\lim_(x\to+\infty)x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right)$.
Тъй като за $x>0$ имаме $\ln(x+1)-\ln(x)=\ln\left(\frac(x+1)(x)\right)$, тогава:
$$ \lim_(x\to+\infty)x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right) =\lim_(x\to+\infty)\left(x\cdot\ln\ ляво(\frac(x+1)(x)\right)\right) $$
Развивайки дробта $\frac(x+1)(x)$ в сумата от дроби $\frac(x+1)(x)=1+\frac(1)(x)$, получаваме:
$$ \lim_(x\to+\infty)\left(x\cdot\ln\left(\frac(x+1)(x)\right)\right) =\lim_(x\to+\infty)\left (x\cdot\ln\left(1+\frac(1)(x)\right)\right) =\lim_(x\to+\infty)\left(\ln\left(\frac(x+1) (x)\right)^x\right) =\ln(e) =1. $$
отговор: $\lim_(x\to+\infty)x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right)=1$.
Пример №5
Намерете границата $\lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4))$.
Тъй като $\lim_(x\to(2))(3x-5)=6-5=1$ и $\lim_(x\to(2))\frac(2x)(x^2-4)= \ infty$, тогава имаме работа с несигурност от формата $1^\infty$. Подробни обяснения са дадени в пример № 2, но тук ще се ограничим до кратко решение. Правейки замяната $t=x-2$, получаваме:
$$ \lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4)) =\left|\begin(aligned)&t=x-2 ;\;x=t+2\\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(2t+4)(t^2+4t))=\\ =\lim_(t\to(0) )\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(1)(3t)\cdot 3t\cdot\frac(2t+4)(t^2+4t)) =\lim_(t\to(0) )\left(\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(1)(3t))\right)^(\frac(6\cdot(t+2))(t+4)) =e^ 3. $$
Можете да решите този пример по различен начин, като използвате замяната: $t=\frac(1)(x-2)$. Разбира се, отговорът ще бъде същият:
$$ \lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4)) =\left|\begin(подравнено)&t=\frac( 1)(x-2);\;x=\frac(2t+1)(t)\\&t\to\infty\end(aligned)\right| =\lim_(t\to\infty)\left(1+\frac(3)(t)\right)^(t\cdot\frac(4t+2)(4t+1))=\\ =\lim_ (t\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac(t)(3))\right)^(\frac(t)(3)\cdot\frac(3)(t) \cdot\frac(t\cdot(4t+2))(4t+1)) =\lim_(t\to\infty)\left(\left(1+\frac(1)(\frac(t)( 3))\right)^(\frac(t)(3))\right)^(\frac(6\cdot(2t+1))(4t+1)) =e^3. $$
отговор: $\lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4))=e^3$.
Пример №6
Намерете ограничението $\lim_(x\to\infty)\left(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\right)^(3x) $.
Нека разберем към какво клони изразът $\frac(2x^2+3)(2x^2-4)$ при условие $x\to\infty$:
$$ \lim_(x\to\infty)\frac(2x^2+3)(2x^2-4) =\left|\frac(\infty)(\infty)\right| =\lim_(x\to\infty)\frac(2+\frac(3)(x^2))(2-\frac(4)(x^2)) =\frac(2+0)(2 -0)=1. $$
По този начин, в дадена граница имаме работа с несигурност от формата $1^\infty$, която ще разкрием с помощта на втората забележителна граница:
$$ \lim_(x\to\infty)\left(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\right)^(3x) =|1^\infty| =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(2x^2+3)(2x^2-4)-1\right)^(3x)=\\ =\lim_(x\to \infty)\left(1+\frac(7)(2x^2-4)\right)^(3x) =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac (2x^2-4)(7))\right)^(3x)=\\ =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac(2x^2-4) )(7))\right)^(\frac(2x^2-4)(7)\cdot\frac(7)(2x^2-4)\cdot 3x) =\lim_(x\to\infty) \left(\left(1+\frac(1)(\frac(2x^2-4)(7))\right)^(\frac(2x^2-4)(7))\right)^( \frac(21x)(2x^2-4)) =e^0 =1. $$
отговор: $\lim_(x\to\infty)\left(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\right)^(3x)=1$.