ЧИСЛОВИ ПОРЕДИЦИ VI
§ l48. Сума от безкрайно намаляваща геометрична прогресия
Досега, когато говорим за суми, винаги сме приемали, че броят на членовете в тези суми е краен (например 2, 15, 1000 и т.н.). Но при решаването на някои задачи (особено висшата математика) трябва да се работи със сумите на безкраен брой членове
S= а 1 + а 2 + ... + а п + ... . (1)
Какви са тези суми? По определение сумата от безкраен брой членове а 1 , а 2 , ..., а п , ... се нарича граница на сумата S п първи п числа, когато п -> ∞ :
S=S п = (а 1 + а 2 + ... + а п ). (2)
Ограничение (2), разбира се, може или не може да съществува. Съответно те казват, че сумата (1) съществува или не съществува.
Как можем да разберем дали сборът (1) съществува във всеки конкретен случай? Общото решение на този проблем далеч надхвърля обхвата на нашата програма. Има обаче един важен специален случай, който трябва да разгледаме сега. Ще говорим за сумиране на членовете на безкрайно намаляваща геометрична прогресия.
Нека а 1 , а 1 р , а 1 р 2, ... е безкрайно намаляваща геометрична прогресия. Това означава, че | р |< 1. Сумма первых п условията на тази прогресия са равни
От основните теореми за границите на променливите (виж § 136) получаваме:
Но 1 = 1, а qn = 0. Следователно
И така, сборът от безкрайно намаляваща геометрична прогресия е равен на първия член на тази прогресия, разделен на едно минус знаменателя на тази прогресия.
1) Сборът от геометричната прогресия 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... е равен на
а сумата от геометричната прогресия е 12; -6; 3; - 3/2 , ... равно
2) Преобразувайте проста периодична дроб 0,454545 ... в обикновена.
За да разрешите този проблем, представете си тази дроб като безкрайна сума:
Дясната страна на това равенство е сумата от безкрайно намаляваща геометрична прогресия, чийто първи член е равен на 45/100, а знаменателят е 1/100. Ето защо
С помощта на описания метод може да се получи общо правило за преобразуване на прости периодични дроби в обикновени дроби (виж глава II, § 38):
За да преобразувате проста периодична дроб в обикновена дроб, трябва да направите следното: в числителя поставете периода на десетичната дроб, а в знаменателя - число, състоящо се от деветки, взети толкова пъти, колкото има цифри в периода от десетичната дроб.
3) Преобразувайте смесената периодична дроб 0,58333 .... в обикновена дроб.
Нека си представим тази дроб като безкрайна сума:
От дясната страна на това равенство всички членове, започващи от 3/1000, образуват безкрайно намаляваща геометрична прогресия, чийто първи член е равен на 3/1000, а знаменателят е 1/10. Ето защо
С помощта на описания метод може да се получи общо правило за превръщане на смесени периодични дроби в обикновени дроби (виж глава II, § 38). Съзнателно не го представяме тук. Няма нужда да помните това тромаво правило. Много по-полезно е да се знае, че всяка смесена периодична дроб може да бъде представена като сбор от безкрайно намаляваща геометрична прогресия и определено число. И формулата
за сумата от безкрайно намаляваща геометрична прогресия, трябва, разбира се, да запомните.
Като упражнение ви предлагаме освен задачите № 995-1000, дадени по-долу, да разгледате още веднъж задача № 301 § 38.
Упражнения
995. Какво се нарича сбор от безкрайно намаляваща геометрична прогресия?
996. Намерете сумите на безкрайно намаляващи геометрични прогресии:
997. При какви стойности X прогресия
безкрайно ли намалява? Намерете сумата на такава прогресия.
998. В равностранен триъгълник със страна А нов триъгълник е вписан чрез свързване на средните точки на страните му; нов триъгълник се вписва в този триъгълник по същия начин и така нататък до безкрайност.
а) сумата от периметрите на всички тези триъгълници;
б) сумата от техните площи.
999. Квадрат със страна А нов квадрат е вписан чрез свързване на средните точки на страните му; квадрат е вписан в този квадрат по същия начин и така нататък до безкрайност. Намерете сумата от периметрите на всички тези квадрати и сумата от техните площи.
1000. Съставете безкрайно намаляваща геометрична прогресия, така че сумата й да е равна на 25/4, а сумата от квадратите на членовете й да е равна на 625/24.
Това число се нарича знаменател на геометрична прогресия, т.е. всеки член се различава от предходния с q пъти. (Ще приемем, че q ≠ 1, иначе всичко е твърде тривиално). Лесно се вижда, че общата формула за n-тия член на геометричната прогресия е b n = b 1 q n – 1 ; членове с числа b n и b m се различават с q n – m пъти.Още в Древен Египет са знаели не само аритметиката, но и геометричната прогресия. Ето например една задача от папируса на Ринд: „Седем лица имат седем котки; Всяка котка изяжда седем мишки, всяка мишка изяжда седем класа царевица и от всеки клас ечемик могат да растат седем мери ечемик. Колко големи са числата в тази серия и тяхната сума?
 |
|
ориз. 1. Задача на древноегипетската геометрична прогресия |
Тази задача се повтаря много пъти с различни вариации сред други народи в други моменти. Например, в писмена през 13 век. „Книгата на абака“ от Леонардо от Пиза (Фибоначи) има проблем, в който се появяват 7 стари жени на път за Рим (очевидно поклонници), всяка от които има 7 мулета, всяко от които има 7 чанти, всяка от които съдържа 7 хляба, всеки от които има 7 ножа, всеки от които има 7 ножници. Проблемът пита колко обекта има.
Сумата от първите n члена на геометричната прогресия S n = b 1 (q n – 1) / (q – 1) . Тази формула може да бъде доказана например по следния начин: S n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1.
Добавете числото b 1 q n към S n и получете:
|
От тук S n (q – 1) = b 1 (q n – 1) и получаваме необходимата формула.
Вече върху една от глинените плочки на Древен Вавилон, датираща от 6 век. пр.н.е д., съдържа сумата 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 – 1. Вярно е, че както в редица други случаи, ние не знаем как този факт е бил известен на вавилонците .
Бързото нарастване на геометричната прогресия в редица култури, по-специално в индийската, многократно се използва като визуален символ на необятността на Вселената. В известната легенда за появата на шаха владетелят дава възможност на неговия изобретател сам да избере наградата и пита за броя на пшеничните зърна, които ще се получат, ако едно се постави на първото поле на шахматната дъска, две на второто, четири на третото, осем на четвъртото и т.н., всеки път, когато числото се удвоява. Владика си помисли, че най-много говорим за няколко торби, но сгреши. Лесно е да се види, че за всичките 64 квадрата на шахматната дъска изобретателят би трябвало да получи (2 64 - 1) зърна, което се изразява като 20-цифрено число; дори ако цялата повърхност на Земята беше засята, ще са необходими поне 8 години, за да се събере необходимото количество зърна. Тази легенда понякога се тълкува като посочваща практически неограничените възможности, скрити в играта на шах.
Лесно се вижда, че това число наистина е 20-цифрено:
2 64 = 2 4 ∙ (2 10) 6 = 16 ∙ 1024 6 ≈ 16 ∙ 1000 6 = 1,6∙10 19 (по-точно изчисление дава 1,84∙10 19). Но се чудя дали можете да разберете с коя цифра завършва това число?
Геометричната прогресия може да бъде нарастваща, ако знаменателят е по-голям от 1, или намаляваща, ако е по-малък от едно. В последния случай числото q n за достатъчно голямо n може да стане произволно малко. Докато нарастващата геометрична прогресия се увеличава неочаквано бързо, намаляващата геометрична прогресия намалява също толкова бързо.
Колкото по-голямо е n, толкова по-слабо числото q n се различава от нула и колкото по-близо е сумата от n члена на геометричната прогресия S n = b 1 (1 – q n) / (1 – q) до числото S = b 1 / ( 1 – р). (Например Ф. Виет разсъждава по този начин). Числото S се нарича сбор от безкрайно намаляваща геометрична прогресия. Въпреки това, в продължение на много векове въпросът какъв е смисълът от сумирането на ЦЯЛАТА геометрична прогресия, с нейния безкраен брой членове, не беше достатъчно ясен за математиците.
Намаляваща геометрична прогресия може да се види например в апориите на Зенон „Половин деление“ и „Ахил и костенурката“. В първия случай е ясно показано, че целият път (приемайки дължина 1) е сбор от безкраен брой сегменти 1/2, 1/4, 1/8 и т.н. Това, разбира се, е случаят от гледната точка на идеите за крайна сума безкрайна геометрична прогресия. И все пак - как е възможно това?
|
ориз. 2. Прогресия с коефициент 1/2 |
В апорията за Ахил ситуацията е малко по-сложна, защото тук знаменателят на прогресията не е 1/2, а някакво друго число. Нека например Ахил тича със скорост v, костенурката се движи със скорост u, а началното разстояние между тях е l. Ахил ще измине това разстояние за време l/v, а през това време костенурката ще измине разстояние lu/v. Когато Ахил пробяга този сегмент, разстоянието между него и костенурката ще стане равно на l (u /v) 2 и т.н. Оказва се, че настигането на костенурката означава намиране на сумата от безкрайно намаляваща геометрична прогресия с първия член l и знаменателят u /v. Тази сума - отсечката, която Ахил в крайна сметка ще пробяга до мястото на срещата с костенурката - е равна на l / (1 – u /v) = lv / (v – u). Но, отново, как да тълкуваме този резултат и защо изобщо има смисъл, не беше много ясно дълго време.
|
ориз. 3. Геометрична прогресия с коефициент 2/3 |
Архимед използва сумата от геометрична прогресия, за да определи площта на сегмент от парабола. Нека този сегмент от параболата е ограничен от хордата AB и нека допирателната в точка D на параболата е успоредна на AB. Нека C е средата на AB, E е средата на AC, F е средата на CB. Нека начертаем прави, успоредни на DC през точки A, E, F, B; Нека допирателната, начертана в точка D, пресича тези прави в точки K, L, M, N. Нека начертаем и сегменти AD и DB. Нека правата EL пресича правата AD в точка G и параболата в точка H; правата FM пресича правата DB в точка Q и параболата в точка R. Според общата теория на коничните сечения DC е диаметърът на парабола (т.е. сегмент, успореден на нейната ос); тя и допирателната в точка D могат да служат като координатни оси x и y, в които уравнението на параболата се записва като y 2 = 2px (x е разстоянието от D до всяка точка с даден диаметър, y е дължината на сегмент, успореден на дадена допирателна от тази точка на диаметъра до някаква точка на самата парабола).
По силата на уравнението на параболата DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH, DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA и тъй като DK = 2DL, тогава KA = 4LH. Тъй като KA = 2LG, LH = HG. Площта на сегмента ADB на парабола е равна на площта на триъгълника ΔADB и площите на сегментите AHD и DRB взети заедно. От своя страна, площта на сегмента AHD е равна на площта на триъгълника AHD и останалите сегменти AH и HD, с всеки от които можете да извършите една и съща операция - разделяне на триъгълник (Δ) и двата останали сегмента () и т.н.:
Площта на триъгълника ΔAHD е равна на половината от площта на триъгълника ΔALD (те имат обща основа AD, а височините се различават 2 пъти), което от своя страна е равно на половината от площта на триъгълника ΔAKD и следователно половината от площта на триъгълника ΔACD. Така площта на триъгълника ΔAHD е равна на една четвърт от площта на триъгълника ΔACD. По същия начин площта на триъгълника ΔDRB е равна на една четвърт от площта на триъгълника ΔDFB. И така, площите на триъгълниците ΔAHD и ΔDRB, взети заедно, са равни на една четвърт от площта на триъгълника ΔADB. Повтарянето на тази операция, когато се прилага към сегменти AH, HD, DR и RB, ще избере триъгълници от тях, чиято площ, взети заедно, ще бъде 4 пъти по-малка от площта на триъгълниците ΔAHD и ΔDRB, взети заедно, и следователно 16 пъти по-малко от площта на триъгълника ΔADB. И така нататък:
Така Архимед доказва, че „всеки сегмент, съдържащ се между права линия и парабола, съставлява четири трети от триъгълник с еднаква основа и еднаква височина“.
например, последователност \(3\); \(6\); \(12\); \(24\); \(48\)... е геометрична прогресия, тъй като всеки следващ елемент се различава от предишния с коефициент две (с други думи, може да се получи от предишния, като се умножи по две):
Като всяка последователност, геометричната прогресия се обозначава с малка латинска буква. Числата, които образуват прогресия, се наричат членове(или елементи). Те се обозначават със същата буква като геометричната прогресия, но с цифров индекс, равен на номера на елемента в реда.
например, геометричната прогресия \(b_n = \(3; 6; 12; 24; 48…\)\) се състои от елементите \(b_1=3\); \(b_2=6\); \(b_3=12\) и така нататък. С други думи:
Ако разбирате горната информация, вече ще можете да разрешите повечето проблеми по тази тема.
Пример (OGE):
Решение:
отговор : \(-686\).
Пример (OGE):
Дадени са първите три члена на прогресията \(324\); \(-108\); \(36\)... Намерете \(b_5\).
Решение:
|
|
За да продължим редицата, трябва да знаем знаменателя. Нека го намерим от два съседни елемента: по какво трябва да умножим \(324\), за да получим \(-108\)? |
|
\(324·q=-108\) |
От тук можем лесно да изчислим знаменателя. |
|
\(q=-\) \(\frac(108)(324)\) \(=-\) \(\frac(1)(3)\) |
Сега можем лесно да намерим елемента, от който се нуждаем. |
|
|
Отговорът е готов. |
отговор : \(4\).
Пример: Прогресията се определя от условието \(b_n=0,8·5^n\). Кое число е член на тази прогресия:
а) \(-5\) б) \(100\) в) \(25\) г) \(0,8\) ?
Решение:
От формулировката на задачата е очевидно, че едно от тези числа със сигурност е в нашата прогресия. Следователно можем просто да изчислим членовете му един по един, докато намерим стойността, от която се нуждаем. Тъй като нашата прогресия е дадена от формулата, ние изчисляваме стойностите на елементите, като заместваме различни \(n\):
\(n=1\); \(b_1=0.8·5^1=0.8·5=4\) – в списъка няма такова число. Да продължим.
\(n=2\); \(b_2=0,8·5^2=0,8·25=20\) - и това също го няма.
\(n=3\); \(b_3=0.8·5^3=0.8·125=100\) – и ето го нашият шампион!
отговор: \(100\).
Пример (OGE): Дадени са няколко последователни члена на геометричната прогресия...\(8\); \(x\); \(50\); \(-125\)…. Намерете стойността на елемента с етикет \(x\).
Решение:
отговор: \(-20\).
Пример (OGE): Прогресията се определя от условията \(b_1=7\), \(b_(n+1)=2b_n\). Намерете сумата на първите \(4\) членове на тази прогресия.
Решение:
отговор: \(105\).
Пример (OGE): Известно е, че в геометрична прогресия \(b_6=-11\), \(b_9=704\). Намерете знаменателя \(q\).
Решение:
|
|
От диаграмата вляво можете да видите, че за да „стигаме“ от \(b_6\) до \(b_9\), правим три „стъпки“, тоест умножаваме \(b_6\) три пъти по знаменателя на прогресията. С други думи, \(b_9=b_6·q·q·q=b_6·q^3\). |
|
\(b_9=b_6·q^3\) |
Нека заместим стойностите, които знаем. |
|
\(704=(-11)q^3\) |
Нека обърнем уравнението и го разделим на \((-11)\). |
|
\(q^3=\) \(\frac(704)(-11)\) \(\:\:\: ⇔ \:\:\: \)\(q^3=-\) \(64 \) |
Кое число в куб дава \(-64\)? |
|
Отговорът е намерен. Може да се провери чрез възстановяване на веригата от числа от \(-11\) до \(704\). |
|
|
|
Всичко се събра - отговорът е верен. |
отговор: \(-4\).
Най-важните формули
Както можете да видите, повечето проблеми с геометричната прогресия могат да бъдат решени с помощта на чиста логика, просто чрез разбиране на същността (това обикновено е типично за математиката). Но понякога познаването на определени формули и модели ускорява и значително улеснява решението. Ще проучим две такива формули.
Формула на \(n\)-ия член: \(b_n=b_1·q^(n-1)\), където \(b_1\) е първият член на прогресията; \(n\) – номер на търсения елемент; \(q\) – знаменател на прогресията; \(b_n\) – член на прогресията с номер \(n\).
Използвайки тази формула, можете например да решите проблема от първия пример буквално с едно действие.
Пример (OGE):
Геометричната прогресия се определя от условията \(b_1=-2\); \(q=7\). Намерете \(b_4\).
Решение:
отговор: \(-686\).
Този пример беше прост, така че формулата не направи изчисленията много по-лесни за нас. Нека разгледаме проблема малко по-сложен.
Пример:
Геометричната прогресия се определя от условията \(b_1=20480\); \(q=\frac(1)(2)\). Намерете \(b_(12)\).
Решение:
отговор: \(10\).
Разбира се, повишаването на \(\frac(1)(2)\) на \(11\)-та степен не е много радостно, но все пак е по-лесно от \(11\) разделянето на \(20480\) на две.
Сума \(n\) на първите членове: \(S_n=\)\(\frac(b_1·(q^n-1))(q-1)\) , където \(b_1\) е първият член на прогресията; \(n\) – брой сумирани елементи; \(q\) – знаменател на прогресията; \(S_n\) – сумата от \(n\) първи членове на прогресията.
Пример (OGE):
Дадена е геометрична прогресия \(b_n\), чийто знаменател е \(5\), а първият член е \(b_1=\frac(2)(5)\). Намерете сумата от първите шест члена на тази прогресия.
Решение:
отговор: \(1562,4\).
И отново, бихме могли да решим проблема директно - да намерим всичките шест елемента на свой ред и след това да добавим резултатите. Въпреки това, броят на изчисленията, а оттам и шансът за случайна грешка, ще се увеличи рязко.
За геометричната прогресия има още няколко формули, които не разгледахме тук поради слабата им практическа употреба. Можете да намерите тези формули.
Нарастваща и намаляваща геометрична прогресия
За прогресията \(b_n = \(3; 6; 12; 24; 48...\)\), разгледана в самото начало на статията, знаменателят \(q\) е по-голям от единица и следователно всеки следващ член е по-голям от предишния. Такива прогресии се наричат нарастваща.
Ако \(q\) е по-малко от едно, но е положително (т.е. лежи в диапазона от нула до едно), тогава всеки следващ елемент ще бъде по-малък от предишния. Например в прогресията \(4\); \(2\); \(1\); \(0,5\); \(0,25\)... знаменателят на \(q\) е равен на \(\frac(1)(2)\).
Тези прогресии се наричат намаляващи. Имайте предвид, че нито един от елементите на такава прогресия няма да бъде отрицателен, те просто стават все по-малки и по-малки с всяка стъпка. Тоест постепенно ще се приближаваме до нулата, но никога няма да я достигнем и няма да отидем отвъд нея. В такива случаи математиците казват „клонят към нула“.
Имайте предвид, че при отрицателен знаменател елементите на геометричната прогресия задължително ще променят знака. например, y прогресия \(5\); \(-15\); \(45\); \(-135\); \(675\)... знаменателят на \(q\) е \(-3\) и поради това знаците на елементите "мигат".
Знаете ли невероятната легенда за зърната върху шахматната дъска?
Легендата за зърната върху шахматната дъска
Когато създателят на шаха (древен индийски математик на име Сеса) показа изобретението си на владетеля на страната, той хареса играта толкова много, че позволи на изобретателя правото сам да избере наградата. Мъдрецът поискал от царя да му плати едно житно зърно за първото поле на шахматната дъска, две за второто, четири за третото и т.н., като удвоява броя на зърната на всяко следващо поле. Владетелят, който не разбираше математиката, бързо се съгласи, дори донякъде обиден от такава ниска оценка на изобретението, и нареди на ковчежника да изчисли и даде на изобретателя необходимото количество зърно. Но когато седмица по-късно ковчежникът все още не можа да изчисли колко зърно е необходимо, владетелят попита каква е причината за забавянето. Ковчежникът му показа изчисленията и каза, че е невъзможно да плати с учудване думите на стареца.
Кажете ми това чудовищно число“, каза той.
18 квинтилиона 446 квадрилиона 744 трилиона 73 милиарда 709 милиона 551 хиляди 615, о, Господи!
Ако приемем, че едно житно зърно има маса 0,065 грама, то общата маса на пшеницата на шахматната дъска ще бъде 1200 трилиона тона, което е повече от целия обем пшеница, събрана през цялата история на човечеството!
Определение
Геометрична прогресия- поредица от числа ( членове на прогресията), при което всяко следващо число, започвайки от второто, се получава от предходното чрез умножаването му по определено число ( знаменател на прогресията):
Например последователността 1, 2, 4, 8, 16, ... е геометрична ()
Геометрична прогресия
Знаменател на геометричната прогресия
Характерно свойство на геометричната прогресия
За title="Предадено от QuickLaTeX.com" height="15" width="48" style="vertical-align: -1px;">!}
Една последователност е геометрична тогава и само ако горната връзка е в сила за всяко n > 1.
По-специално, за геометрична прогресия с положителни членове е вярно:
Формула за n-тия член на геометрична прогресия
Сума от първите n членове на геометрична прогресия
(ако, тогава)
Безкрайно намаляваща геометрична прогресия
Когато , се извиква геометричната прогресия безкрайно намаляваща . Сумата от безкрайно намаляваща геометрична прогресия е числото и
Примери
Пример 1.
Последователност () – геометрична прогресия.
Намерете дали
Решение:
Според формулата имаме:
Пример 2.
Намерете знаменателя на геометричната прогресия (), в която
>>Математика: Геометрична прогресия
За удобство на читателя, този параграф е изграден точно по същия план, който следвахме в предишния параграф.
1. Основни понятия.
Определение.Числова редица, всички членове на която са различни от 0 и всеки член на която, започвайки от втория, се получава от предишния член чрез умножаването му по същото число, се нарича геометрична прогресия. В този случай числото 5 се нарича знаменател на геометрична прогресия.
По този начин, геометричната прогресия е числова последователност (b n), определена периодично от отношенията
Възможно ли е да се разгледа редица от числа и да се определи дали тя е геометрична прогресия? може. Ако сте убедени, че съотношението на който и да е член на редицата към предишния член е постоянно, тогава имате геометрична прогресия.
Пример 1.
1, 3, 9, 27, 81,... .
b 1 = 1, q = 3.
Пример 2.
Това е геометрична прогресия, която има
Пример 3.
Това е геометрична прогресия, която има
Пример 4.
8, 8, 8, 8, 8, 8,....
Това е геометрична прогресия, в която b 1 - 8, q = 1.
Обърнете внимание, че тази последователност също е аритметична прогресия (вижте пример 3 от § 15).
Пример 5.
2,-2,2,-2,2,-2.....
Това е геометрична прогресия, в която b 1 = 2, q = -1.
Очевидно геометричната прогресия е нарастваща последователност, ако b 1 > 0, q > 1 (вижте пример 1), и намаляваща последователност, ако b 1 > 0, 0< q < 1 (см. пример 2).
За да се покаже, че последователността (b n) е геометрична прогресия, понякога е удобно следното обозначение:
Иконата замества израза „геометрична прогресия“.
Нека отбележим едно любопитно и в същото време доста очевидно свойство на геометричната прогресия:
Ако последователността 
е геометрична прогресия, тогава последователността от квадрати, т.е. 
е геометрична прогресия.
Във втората геометрична прогресия първият член е равен и равен на q 2.
Ако в геометрична прогресия изхвърлим всички членове след b n , получаваме крайна геометрична прогресия 
В следващите параграфи на този раздел ще разгледаме най-важните свойства на геометричната прогресия.
2. Формула за n-ия член на геометрична прогресия.
Помислете за геометрична прогресия 
знаменател q. Ние имаме:
Не е трудно да се досетите, че за всяко число n равенството е вярно
Това е формулата за n-тия член на геометрична прогресия.
Коментирайте.
Ако сте прочели важната забележка от предишния абзац и сте я разбрали, опитайте се да докажете формула (1) с помощта на метода на математическата индукция, точно както беше направено за формулата за n-тия член на аритметична прогресия.
Нека пренапишем формулата за n-тия член на геометричната прогресия
и въвеждаме обозначението: Получаваме y = mq 2, или по-подробно, 
Аргументът x се съдържа в експонентата, така че тази функция се нарича експоненциална функция. Това означава, че една геометрична прогресия може да се разглежда като експоненциална функция, дефинирана върху множеството N от естествени числа. На фиг. 96а е показана графиката на функцията Фиг. 966 - функционална графика 
И в двата случая имаме изолирани точки (с абсцисите x = 1, x = 2, x = 3 и т.н.), лежащи на определена крива (и двете фигури показват една и съща крива, само че са различно разположени и изобразени в различни мащаби). Тази крива се нарича експоненциална крива. Повече подробности за показателната функция и нейната графика ще разгледаме в курса по алгебра за 11. клас.
Да се върнем към примери 1-5 от предишния параграф.
1) 1, 3, 9, 27, 81,... . Това е геометрична прогресия, за която b 1 = 1, q = 3. Нека създадем формулата за n-тия член 
2) 
Това е геометрична прогресия, за която нека създадем формула за n-тия член 
Това е геометрична прогресия, която има 
Нека създадем формулата за n-тия член 
4) 8, 8, 8, ..., 8, ... . Това е геометрична прогресия, за която b 1 = 8, q = 1. Нека създадем формулата за n-тия член 
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2,.... Това е геометрична прогресия, в която b 1 = 2, q = -1. Нека създадем формулата за n-тия член 
Пример 6.
Като се има предвид геометрична прогресия
Във всички случаи решението се основава на формулата на n-тия член на геометричната прогресия
а) Поставяйки n = 6 във формулата за n-тия член на геометричната прогресия, получаваме
б) Имаме
Тъй като 512 = 2 9, получаваме n - 1 = 9, n = 10.
г) Имаме
Пример 7.
Разликата между седмия и петия член на геометричната прогресия е 48, сборът на петия и шестия член на прогресията също е 48. Намерете дванадесетия член на тази прогресия.
Първи етап.Изготвяне на математически модел.
Условията на проблема могат да бъдат написани накратко, както следва:
Използвайки формулата за n-тия член на геометрична прогресия, получаваме:
Тогава второто условие на проблема (b 7 - b 5 = 48) може да бъде записано като
Третото условие на проблема (b 5 + b 6 = 48) може да бъде записано като
В резултат на това получаваме система от две уравнения с две променливи b 1 и q:
което в комбинация с условие 1), написано по-горе, представлява математически модел на проблема.
Втори етап.
Работа с компилирания модел. Приравнявайки левите страни на двете уравнения на системата, получаваме:
(разделихме двете страни на уравнението с ненулевия израз b 1 q 4).
От уравнението q 2 - q - 2 = 0 намираме q 1 = 2, q 2 = -1. Замествайки стойността q = 2 във второто уравнение на системата, получаваме 
Замествайки стойността q = -1 във второто уравнение на системата, получаваме b 1 1 0 = 48; това уравнение няма решения.
И така, b 1 =1, q = 2 - тази двойка е решението на компилираната система от уравнения.
Сега можем да запишем геометричната прогресия, разгледана в задачата: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... .
Трети етап.
Отговор на проблемния въпрос. Трябва да изчислите b 12. Имаме
Отговор: b 12 = 2048.
3. Формула за сумата от членовете на крайна геометрична прогресия.
Нека е дадена крайна геометрична прогресия
Нека означим с S n сбора от неговите членове, т.е.
Нека изведем формула за намиране на това количество.
Да започнем с най-простия случай, когато q = 1. Тогава геометричната прогресия b 1,b 2, b 3,..., bn се състои от n числа, равни на b 1, т.е. прогресията изглежда като b 1, b 2, b 3, ..., b 4. Сумата от тези числа е nb 1.
Нека сега q = 1. За да намерим S n, прилагаме изкуствена техника: извършваме някои трансформации на израза S n q. Ние имаме:
Когато извършвахме трансформации, ние, първо, използвахме дефиницията на геометрична прогресия, според която (виж третия ред на разсъждение); второ, те добавяха и изваждаха, поради което смисълът на израза, разбира се, не се промени (вижте четвъртия ред на разсъждение); трето, използвахме формулата за n-тия член на геометрична прогресия:
От формула (1) намираме:
Това е формулата за сумата от n членове на геометрична прогресия (за случая, когато q = 1).
Пример 8.
Дадена е крайна геометрична прогресия
а) сумата от условията на прогресията; б) сумата от квадратите на неговите членове.
b) По-горе (вижте стр. 132) вече отбелязахме, че ако всички членове на една геометрична прогресия са повдигнати на квадрат, тогава получаваме геометрична прогресия с първия член b 2 и знаменателя q 2. След това сумата от шестте члена на новата прогресия ще бъде изчислена от
Пример 9.
Намерете 8-ия член на геометричната прогресия, за който
Всъщност ние доказахме следната теорема.
Числовата последователност е геометрична прогресия тогава и само ако квадратът на всеки от нейните членове, с изключение на първата теорема (и последната, в случай на крайна последователност), е равен на произведението на предходния и следващите членове ( характерно свойство на геометрична прогресия).