Bernoullin yhtälön ratkaisu. Bernoullin differentiaaliyhtälö

Suuri osa ympäröivästä maailmasta noudattaa fysiikan lakeja. Tämän ei pitäisi olla yllättävää, koska termi "fysiikka" tulee kreikan sanasta, käännettynä "luonto". Ja yksi näistä lakeista, jotka jatkuvat ympärillämme, on Bernoullin laki.

Laki itsessään toimii energiansäästöperiaatteen seurauksena. Tämä tulkinta antaa meille mahdollisuuden antaa uusi käsitys monille aiemmin hyvin tunnetuille ilmiöille. Lain olemuksen ymmärtämiseksi riittää, että muistat vain virtaavan virran. Täällä se virtaa, kulkee kivien, oksien ja juurien välissä. Joissain paikoissa se on leveämpi, toisissa kapeampi. Voit huomata, että missä virta on leveä, vesi virtaa hitaammin ja missä se on kapeampi, vesi virtaa nopeammin. Tämä on Bernoullin periaate, joka määrittää nestevirtauksen paineen ja sellaisen virtauksen liikenopeuden välisen suhteen.

Totta, fysiikan oppikirjat muotoilevat sen hieman eri tavalla, ja se liittyy hydrodynamiikkaan, ei virtaavaan virtaan. Melko suositussa Bernoullissa voidaan todeta näin: putkessa virtaavan nesteen paine on suurempi siellä, missä sen nopeus on pienempi, ja päinvastoin: missä nopeus on suurempi, paine on pienempi.

Tämän vahvistamiseksi riittää yksinkertaisen kokeen suorittaminen. Sinun täytyy ottaa paperiarkki ja puhaltaa sitä pitkin. Paperi nousee ylöspäin suuntaan, jota pitkin ilmavirtaus kulkee.

Kaikki on hyvin yksinkertaista. Kuten Bernoullin laki sanoo, missä nopeus on suurempi, paine on pienempi. Tämä tarkoittaa, että arkin pinnalla, jossa on vähemmän ilmavirtaa, ja levyn alaosassa, missä ilmavirtaa ei ole, paine on suurempi. Joten lehti nousee suuntaan, jossa paine on pienempi, ts. missä ilmavirta kulkee.

Kuvattua vaikutusta käytetään laajalti jokapäiväisessä elämässä ja tekniikassa. Harkitse esimerkiksi ruiskupistoolia tai airbrushia. He käyttävät kahta putkea, joista toisella on suurempi poikkileikkaus ja toisella pienempi poikkileikkaus. Halkaisijaltaan suurempi kiinnitetään maalisäiliöön, kun taas poikkileikkaukseltaan pienempi kuljettaa ilmaa suurella nopeudella. Syntyneen paine-eron ansiosta maali pääsee ilmavirtaan ja siirtyy tämän virtauksen välityksellä maalattavalle pinnalle.

Pumppu voi toimia samalla periaatteella. Itse asiassa edellä kuvattu on pumppu.

Yhtä mielenkiintoinen ei ole Bernoullin laki, kun sitä sovelletaan suiden kuivattamiseen. Kuten aina, kaikki on hyvin yksinkertaista. Kosteikko on yhdistetty jokeen ojilla. Joessa on virtaus, mutta ei suossa. Jälleen syntyy paine-ero, ja joki alkaa imeä vettä kosteikkoalueelta. Siinä on puhdas osoitus fysiikan lain toiminnasta.

Tämän vaikutuksen vaikutus voi olla myös tuhoisa. Esimerkiksi jos kaksi laivaa kulkee lähellä toisiaan, veden nopeus niiden välillä on suurempi kuin toisella puolella. Tämän seurauksena syntyy lisävoima, joka vetää laivoja toisiaan kohti, ja katastrofi on väistämätön.

Kaikki sanottu voidaan esittää kaavojen muodossa, mutta ei ole ollenkaan välttämätöntä kirjoittaa Bernoullin yhtälöitä ymmärtääkseen tämän ilmiön fyysisen olemuksen.

Paremman ymmärtämisen vuoksi annamme toisen esimerkin kuvatun lain käytöstä. Jokainen kuvittelee raketin. Erityisessä kammiossa polttoaine palaa ja muodostuu suihkuvirta. Sen nopeuttamiseksi käytetään erityisesti kaventunutta osaa - suutinta. Täällä tapahtuu kaasuvirran kiihtyvyys ja sen seurauksena kasvu

Bernoullin lain käyttämiseen tekniikassa on monia muitakin vaihtoehtoja, mutta niitä kaikkia on yksinkertaisesti mahdotonta tarkastella tämän artikkelin puitteissa.

Joten muotoiltiin Bernoullin laki, annettiin selitys tapahtuvien prosessien fysikaalisesta olemuksesta ja esiteltiin tämän lain mahdollisia sovelluksia luonnon ja tekniikan esimerkein.

Vakaassa virtauksessa (kaasu tai neste), kineettisen ja potentiaalisen energian summa, paine tilavuusyksikköä kohti on vakio missä tahansa tämän virtauksen kohdassa.

Ensimmäinen ja toinen termi sisään Bernoullin laki niillä tarkoitetaan kineettistä ja potentiaalista energiaa nesteen tilavuusyksikköä kohti. Ja kolmas termi kaavassamme on painevoimien työ, eikä se tallenna energiaa. Tästä voimme päätellä, että kaikkien termien ulottuvuus on energiayksikkö nesteen tai kaasun tilavuusyksikköä kohti.

Vakio oikealla puolella Bernoullin yhtälöt kutsutaan kokonaispaineeksi ja se riippuu yleensä vain virtauslinjasta.

Jos sinulla on vaakaputki, niin Bernoullin yhtälö saa toisenlaisen muodon. Koska h=0, potentiaalienergia on nolla, ja sitten saadaan:

Bernoullin yhtälöstä voidaan tehdä yksi tärkeä johtopäätös. Kun virtauksen poikkileikkaus pienenee, kaasun tai nesteen liikkeen nopeus kasvaa (dynaaminen paine kasvaa), mutta samalla staattinen paine pienenee. Tästä seuraa, että kun virtauksen poikkileikkaus pienenee nopeuden kasvuun eli dynaamiseen paineeseen staattinen paine laskee.

Katsotaan kuinka lentokoneet lentävät. Daniel Bernoulli yhdisti Newtonin mekaniikan lait energian säilymisen lakiin ja nesteen jatkuvuuden ehtoon ja pystyi johtamaan yhtälön (), jonka mukaan nestemäisen väliaineen (neste tai kaasu) paine laskee, kun tämän väliaineen virtausnopeus. Lentokoneessa ilma virtaa lentokoneen siiven ympäri alhaalta hitaammin kuin ylhäältä. Ja tämän paineen ja nopeuden välisen käänteisen suhteen vaikutuksen ansiosta ilmanpaine alhaalta ylöspäin suunnattuna osoittautuu suuremmiksi kuin ylhäältä alaspäin suuntautuva paine. Tämän seurauksena lentokoneen nopeutuessa ylöspäin suuntautuva paine-ero kasvaa ja kiihtyessään lisääntyvä nostovoima vaikuttaa lentokoneen siipiin. Heti kun se alkaa ylittää lentokoneen vetovoiman maahan, se kirjaimellisesti kohoaa taivaalle. Sama voima pitää koneen vaakatasossa: matkalentonopeudella ja -korkeudella nostovoima tasapainottaa painovoimaa.

Kaavassa käytimme:

Nesteen tai ilman tiheys

Bernoullin differentiaaliyhtälö on muodon yhtälö

missä n≠0,n≠1.

Tämä yhtälö voidaan järjestää uudelleen käyttämällä substituutiota

lineaariseen yhtälöön

Käytännössä Bernoullin differentiaaliyhtälöä ei yleensä pelkistetä lineaariseksi, vaan se ratkaistaan välittömästi samoilla menetelmillä kuin lineaarinen yhtälö - joko Bernoullin menetelmällä tai mielivaltaisen vakion variaatiomenetelmällä.

Katsotaan kuinka ratkaista Bernoullin differentiaaliyhtälö käyttämällä substituutiota y=uv (Bernoullin menetelmä). Ratkaisukaavio on sama kuin .

Esimerkkejä. Ratkaise yhtälöt:

1) y’x+y=-xy².

Tämä on Bernoullin differentiaaliyhtälö. Viedään se vakiomuotoon. Tee tämä jakamalla molemmat osat x:llä: y’+y/x=-y². Tässä p(x)=1/x, q(x)=-1, n=2. Mutta emme tarvitse standardinäkymää tämän ratkaisemiseksi. Työskentelemme ehdossa annetulla tallennuslomakkeella.

1) Korvaus y=uv, jossa u=u(x) ja v=v(x) ovat joitain x:n uusia funktioita. Sitten y’=(uv)’=u’v+v’u. Korvaamme tuloksena olevat lausekkeet ehtoon: (u’v+v’u)x+uv=-xu²v².

2) Avataan sulut: u’vx+v’ux+uv=-xu²v². Ryhmitetään nyt termit v:llä: v+v’ux=-xu²v² (I) (emme koske termiä asteella v, joka on yhtälön oikealla puolella). Nyt vaaditaan, että suluissa oleva lauseke on nolla: u’x+u=0. Ja tämä on yhtälö, jossa on erotettavissa olevat muuttujat u ja x. Kun se on ratkaistu, löydämme sinut. Korvataan u=du/dx ja erotetaan muuttujat: x·du/dx=-u. Kerromme yhtälön molemmat puolet dx:llä ja jaamme xu≠0:lla:

(Löydettäessä u C otamme sen nollaksi).

3) Korvataan yhtälössä (I) =0 ja löydetty funktio u=1/x. Meillä on yhtälö: v’·(1/x)·x=-x·(1/x²)·v². Yksinkertaistuksen jälkeen: v’=-(1/x)·v². Tämä on yhtälö, jossa on erotettavissa olevat muuttujat v ja x. Korvataan v’=dv/dx ja erotetaan muuttujat: dv/dx=-(1/x)·v². Kerromme yhtälön molemmat puolet dx:llä ja jaamme v²≠0:lla:

(otimme -C:n saadaksemme eroon miinuksesta kertomalla molemmat puolet -1:llä). Joten kerro (-1):

(Voisi ottaa ei C, vaan ln│C│, ja tässä tapauksessa se olisi v=1/ln│Cx│).

2) 2y’+2y=xy².

Varmistetaan, että tämä on Bernoullin yhtälö. Jakamalla molemmat osat kahdella, saadaan y’+y=(x/2) y². Tässä p(x)=1, q(x)=x/2, n=2. Ratkaisemme yhtälön Bernoullin menetelmällä.

1) Korvaus y=uv, y’=u’v+v’u. Korvaamme nämä lausekkeet alkuperäiseen ehtoon: 2(u’v+v’u)+2uv=xu²v².

2) Avaa kiinnikkeet: 2u’v+2v’u+2uv=xu²v². Ryhmittele nyt v:n sisältävät termit: +2v’u=xu²v² (II). Vaadimme, että suluissa oleva lauseke on nolla: 2u’+2u=0, joten u’+u=0. Tämä on erotettavissa oleva yhtälö u:lle ja x:lle. Ratkaistaan se ja etsitään sinut. Korvataan u’=du/dx, mistä du/dx=-u. Kun yhtälön molemmat puolet kerrotaan dx:llä ja jaetaan luvulla u≠0, saadaan: du/u=-dx. Integroidaan:

3) Korvaa (II) =0 ja

Nyt korvaamme v'=dv/dx ja erottelemme muuttujat:

Integroidaan:

Yhtälön vasen puoli on taulukkointegraali, oikeanpuoleinen integraali löydetään käyttämällä integrointi osien mukaan -kaavaa:

Korvaamalla löydetyt v ja du käyttämällä osien integrointikaavaa meillä on:

Ja siitä lähtien

Tehdään C=-C:

4) Koska y=uv, korvaamme löydetyt funktiot u ja v:

3) Integroi yhtälö x²(x-1)y’-y²-x(x-2)y=0.

Jaetaan yhtälön molemmat puolet x²(x-1)≠0:lla ja siirretään termi y²:llä oikealle:

Tämä on Bernoullin yhtälö

1) Korvaus y=uv, y’=u’v+v’u. Kuten tavallista, korvaamme nämä lausekkeet alkuperäiseen ehtoon: x²(x-1)(u’v+v’u)-u²v²-x(x-2)uv=0.

2) Tästä syystä x²(x-1)u’v+x²(x-1)v’u-x(x-2)uv=u²v². Ryhmittelemme termit, jotka sisältävät v (v² - älä koske):

v+x²(x-1)v’u=u²v² (III). Nyt vaaditaan, että suluissa oleva lauseke on yhtä suuri kuin nolla: x²(x-1)u’-x(x-2)u=0, joten x²(x-1)u’=x(x-2)u. Yhtälössä erotetaan muuttujat u ja x, u’=du/dx: x²(x-1)du/dx=x(x-2)u. Kerromme yhtälön molemmat puolet dx:llä ja jaamme x²(x-1)u≠0:lla:

Yhtälön vasemmalla puolella on taulukkointegraali. Oikean puolen rationaalinen murto-osa on hajotettava yksinkertaisempiin murtolukuihin:

Kun x=1: 1-2=A·0+B·1, josta B=-1.

Kun x=0: 0-2=A(0-1)+B·0, josta A=2.

ln│u│ = 2ln│x│-ln│x-1│. Logaritmien ominaisuuksien mukaan: ln│u│=ln│x²/(x-1)│, mistä u=x²/(x-1).

3) Korvataan yhtälössä (III) =0 ja u=x²/(x-1). Saamme: 0+x²(x-1)v’u=u²v²,

v'=dv/dx, korvaa:

C:n sijasta otamme - C, joten kertomalla molemmat puolet (-1) pääsemme eroon miinuksista:

Pelkistetään nyt oikean puolen lausekkeet yhteiseksi nimittäjäksi ja etsitään v:

4) Koska y=uv, korvaamalla löydetyt funktiot u ja v, saadaan:

Esimerkkejä itsetestauksesta:

1) Varmistetaan, että tämä on Bernoullin yhtälö. Jakamalla molemmat puolet x:llä, saamme:

1) Korvaus y=uv, mistä y’=u’v+v’u. Korvaamme nämä y ja y' alkuperäiseen ehtoon:

2) Ryhmittele termit v:llä:

Nyt vaadimme, että suluissa oleva lauseke on nolla ja etsi u tästä ehdosta:

Integroidaan yhtälön molemmat puolet:

3) Korvataan yhtälössä (*) =0 ja u=1/x²:

Integroidaan tuloksena olevan yhtälön molemmat puolet.

Bernoullin yhtälö minä Bernoullin yhtälö

1. asteen differentiaaliyhtälö muotoa:

dy/dx + Py = Qy α ,

Missä P, Q- annetaan jatkuvat toiminnot alkaen x; α - vakio numero. Uuden toiminnon esittely z = y --α+1 B. u. pelkistyy lineaariseen differentiaaliyhtälöön (katso Lineaariset differentiaaliyhtälöt) suhteessa z. Boo. J. Bernoulli harkitsi sitä vuonna 1695, ratkaisumenetelmän julkaisi J. Bernoulli vuonna 1697.

II Bernoullin yhtälö

hydrodynamiikan perusyhtälö (katso Hydrodynamiikka) , suhteessa (tasaiseen virtaukseen) virtaavan nesteen nopeuteen v, painetta siinä R ja korkeus h pienen nestemäärän sijainti vertailutason yläpuolella. Boo. johti D. Bernoulli vuonna 1738 ihanteellisen kokoonpuristumattoman nesteen virtaukselle, jonka tiheys on ρ ja joka on vain painovoiman vaikutuksesta. Tässä tapauksessa B. at. on muotoa:

v 2 / 2 + plρ + gh= vakio,

Missä g- painovoiman aiheuttama kiihtyvyys. Jos tämä yhtälö kerrotaan ρ:llä , silloin ensimmäinen termi edustaa nesteen tilavuuden yksikköenergiaa ja kaksi muuta termiä edustavat sen potentiaalista energiaa, josta osa johtuu painovoimasta (yhtälön viimeinen termi) ja toinen osa johtuu paine p. Boo. tässä muodossa ilmaisee energian säilymisen lain. Jos yhden tyyppinen energia, esimerkiksi kineettinen, kasvaa nestevirran mukana, potentiaalienergia pienenee saman verran. Siksi esimerkiksi kun putkilinjan läpi virtaava virtaus kapenee, kun virtausnopeus kasvaa (koska sama määrä nestettä kulkee pienemmän poikkileikkauksen läpi samassa ajassa kuin suuremman poikkileikkauksen läpi), siinä oleva paine pienenee vastaavasti (tämä perustuu Venturi-virtausmittarin toimintaperiaatteeseen).

Osoitteesta B. u. Siitä seuraa useita tärkeitä seurauksia. Esimerkiksi kun neste virtaa avoimesta astiasta painovoiman vaikutuksesta ( riisi. 1 ) alkaen B. klo. seuraa:

v 2 /2g = h tai

eli nesteen nopeus ulostulossa on sama kuin silloin, kun nestehiukkaset putoavat vapaasti korkealta h.

Jos neste virtaa tasaisesti, jonka nopeus on v 0 ja paine p 0 , kohtaa esteen matkallaan ( riisi. 2 ), sitten välittömästi esteen edessä on varmuuskopio - virtauksen hidastuminen; suvantoalueen keskellä kriittisessä pisteessä virtausnopeus on nolla. Osoitteesta B. u. tästä seuraa, että paine kriittisessä pisteessä s 1 = s 0 + ρ v 2 0 /2. Paineen lisäys tässä vaiheessa on yhtä suuri kuin s 1 -s 0 = ρ v 2 0 /2 kutsutaan dynaamiseksi paineeksi tai nopeuspaineeksi. Todellisen nesteen virrassa sen mekaaninen energia ei säily virtauksen varrella, vaan se kuluu kitkavoimien työhön ja hajoaa lämpöenergian muodossa biofluoresenssia käytettäessä. Todellista nestettä varten on otettava huomioon vastushäviöt.

Boo. on erittäin tärkeä hydrauliikassa (katso Hydrauliikka) ja teknisessä hydrodynamiikassa: sitä käytetään putkistojen, pumppujen laskelmissa, suodatukseen liittyvien ongelmien ratkaisemisessa jne. Bernoullin yhtälö väliaineelle, jonka tiheys vaihtelee R yhdessä massan muuttumattomuuden yhtälön ja tilayhtälön kanssa se on kaasudynamiikan perusta (katso Kaasudynamiikka).

Lit.: Fabrikant N.Ya., Aerodynamics, osat 1-2, L., 1949-64; Uginchus A. A., Hydrauliikka, hydraulikoneet ja maatalouden vesihuollon perusteet, K.-M., 1957, ch. V.

Suuri Neuvostoliiton tietosanakirja. - M.: Neuvostoliiton tietosanakirja. 1969-1978 .

Katso, mikä "Bernoullin yhtälö" on muissa sanakirjoissa:

- (Bernoulli-integraali) hydroaeromekaniikassa (nimetty sveitsiläisen tiedemiehen D. Bernoullin mukaan), yksi tärkeimmistä. hydromekaniikan yhtälöt, joilla kokoonpuristumattoman ihanteellisen nesteen tasaisen liikkeen aikana tasaisessa painovoimakentässä on muoto: missä v... ... Fyysinen tietosanakirja

Ilmaisee nopeuden ja paineen ihanteellisen kokoonpuristumattoman nesteen virtauksessa tasaisella virtauksella. Bernoullin yhtälö ilmaisee liikkuvan nesteen energian säilymisen lain. Käytetään laajasti hydrauliikassa ja teknisessä nestedynamiikassa. Johtaja D....... Suuri Ensyklopedinen sanakirja

Aerodynamiikassa ja hydrodynamiikassa suhde, joka yhdistää kaasun tai hydrodynaamiset muuttujat ihanteellisen nesteen tai kaasun tasaisen barotrooppisen virtauksen virtaviivaa pitkin massavoimien potentiaalikentässä F = grad(Π), missä (Π) potentiaali: (Π) + V2/2 + … Tekniikan tietosanakirja

1. asteen tavallinen differentiaaliyhtälö missä. reaaliluku, joka ei ole nolla tai yksi. Tätä yhtälöä tarkasteli ensimmäisenä J. Bernoulli. Korvaamalla B. u. pelkistetään 1. asteen lineaariseen epähomogeeniseen yhtälöön (katso... ... Matemaattinen tietosanakirja

Bernoullin yhtälö Tietosanakirja "Aviation"

Bernoullin yhtälö- aero- ja hydrodynamiikassa suhde, joka yhdistää kaasu- tai hydrodynaamiset muuttujat ihanteellisen nesteen tai kaasun tasaisen barotrooppisen [ρ = ρ(p)] virtauksen virtaviivaa pitkin potentiaalisessa massavoimien kentässä (F = -gradΠ, missä Π … … Tietosanakirja "Aviation"

- [nimetty sveitsiläisten mukaan. tiedemies D. Bernoulli (1700 1782)] yksi tärkeimmistä. hydrodynamiikan yhtälö, joka ilmaisee energian säilymisen lain. 1) B. klo. ihanteellisen nesteen alkeisvirralle (pieni poikkileikkaus): missä p, PO ja v ovat staattisia... ... Suuri Ensyklopedinen ammattikorkeakoulun sanakirja

Ilmaisee nopeuden ja paineen ihanteellisen kokoonpuristumattoman nesteen virtauksessa tasaisella virtauksella. Boo. ilmaisee liikkuvan nesteen energian säilymisen lain. Käytetään laajasti hydrauliikassa ja tekniikassa. hydrodynamiikka. D. Bernoullin vuonna 1738 kehittämä... Luonnontiede. tietosanakirja

Bernoullin yhtälö, hydrodynamiikan perusyhtälö, joka yhdistää (tasaiseen virtaukseen) virtaavan nesteen nopeuden v, siinä olevan paineen p ja pienen nestetilavuuden sijainnin korkeuden h vertailutason yläpuolella. Boo. kehitti D. Bernoulli vuonna... Suuri Neuvostoliiton tietosanakirja

Kirjat

Hydrodynamiikka eli huomautuksia nesteiden voimista ja liikkeistä, D. Bernoulli. Tämä kirja valmistetaan tilauksesi mukaisesti käyttämällä Print-on-Demand -tekniikkaa. Vuonna 1738 ilmestyi Daniel Bernoullin kuuluisa teos "Hydrodynamiikka eli huomautuksia voimista ja...

Dokumentaariset opetuselokuvat. Sarja "Fysiikka".

Daniel Bernoulli (29. tammikuuta (8. helmikuuta) 1700 - 17. maaliskuuta 1782), sveitsiläinen universaali fyysikko, mekaanikko ja matemaatikko, yksi kaasujen kineettisen teorian, hydrodynamiikan ja matemaattisen fysiikan luojista. Pietarin tiedeakatemian akateemikko ja ulkomainen kunniajäsen (1733), akatemioiden jäsen: Bologna (1724), Berliini (1747), Pariisi (1748), Royal Society of London (1750). Johann Bernoullin poika.

Bernoullin laki (yhtälö) on (yksinkertaisimmissa tapauksissa) seuraus energian säilymislaista ihanteellisen (eli ilman sisäistä kitkaa) kokoonpuristumattoman nesteen liikkumattomalle virtaukselle:

Tässä

- nesteen tiheys, - virtausnopeus, - korkeus, jolla kyseinen nestemäinen elementti sijaitsee, - paine avaruuden kohdassa, jossa tarkasteltavana olevan neste-elementin massakeskus sijaitsee, - painovoiman kiihtyvyys.

Bernoullin yhtälö voidaan johtaa myös Eulerin yhtälön seurauksena, joka ilmaisee liikemäärän tasapainon liikkuvalle nesteelle.

Tieteellisessä kirjallisuudessa Bernoullin lakia kutsutaan yleensä Bernoullin yhtälö(ei pidä sekoittaa Bernoullin differentiaaliyhtälöön), Bernoullin lause tai Bernoullin integraali.

Oikean puolen vakiota kutsutaan usein täysi paine ja riippuu yleisesti virtaviivaisuudesta.

Kaikkien termien mitta on energiayksikkö nesteen tilavuusyksikköä kohti. Bernoullin integraalin ensimmäinen ja toinen termi tarkoittavat kineettistä ja potentiaalista energiaa nesteen tilavuusyksikköä kohti. On huomattava, että sen alkuperän kolmas termi on painevoimien työ, eikä se edusta minkään erityisen energiatyypin reserviä ("paineenergia").

Yllä esitettyä läheisen suhteen sai vuonna 1738 Daniel Bernoulli, jonka nimeen yleensä liitetään Bernoullin integraali. Integraalin modernissa muodossaan hankki Johann Bernoulli noin vuonna 1740.

Vaakasuuntaisessa putkessa korkeus on vakio ja Bernoullin yhtälö on seuraavanlainen: .

Tämä Bernoullin yhtälön muoto voidaan saada integroimalla Eulerin yhtälö kiinteälle yksiulotteiselle nestevirtaukselle vakiotiheydellä: .

Bernoullin lain mukaan kokonaispaine tasaisessa nestevirtauksessa pysyy vakiona tätä virtausta pitkin.

Kokonaispaine koostuu painosta, staattisesta ja dynaamisesta paineesta.

Bernoullin laista seuraa, että kun virtauksen poikkileikkaus pienenee nopeuden, eli dynaamisen paineen, kasvaessa, staattinen paine laskee. Tämä on pääasiallinen syy Magnus-ilmiöön. Bernoullin laki pätee myös laminaarisille kaasuvirroille. Ilmiö paineen laskusta virtausnopeuden kasvaessa on erityyppisten virtausmittarien (esimerkiksi Venturi-putki), vesi- ja höyrysuihkupumppujen toiminnan taustalla. Ja Bernoullin lain johdonmukainen soveltaminen johti teknisen hydromekaanisen tieteenalan - hydrauliikan - syntymiseen.

Bernoullin laki pätee puhtaassa muodossaan vain nesteille, joiden viskositeetti on nolla. Todellisten nesteiden virtauksen arvioimiseksi teknisessä nestemekaniikassa (hydrauliikassa) käytetään Bernoulli-integraalia lisättynä termeillä, jotka ottavat huomioon paikallisista ja hajautuneista vastuksista aiheutuvat häviöt.

Bernoulli-integraalin yleistykset tunnetaan tietyille viskoosien nestevirtausten luokille (esimerkiksi taso-rinnakkaisvirtauksille), magnetohydrodynamiikassa ja ferrohydrodynamiikassa.