Tämä artikkeli on kerännyt sinien, kosinien, tangenttien ja kotangenttien taulukot. Ensin annetaan taulukko trigonometristen funktioiden perusarvoista, eli taulukko kulmien 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 astetta sinistä, kosineista, tangenteista ja kotangenteista ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2π radiaani). Sen jälkeen annamme taulukon sinistä ja kosineista sekä V. M. Bradisin tangenttien ja kotangenttien taulukon ja näytämme, kuinka näitä taulukoita käytetään etsittäessä trigonometristen funktioiden arvoja.
Sivulla navigointi.
Sinien, kosinien, tangenttien ja kotangenttien taulukko kulmille 0, 30, 45, 60, 90, ... astetta
Bibliografia.
- Algebra: Proc. 9 solulle. keskim. koulu / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Enlightenment, 1990.- 272 s.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
- Bashmakov M.I. Algebra ja analyysin alku: Proc. 10-11 solulle. keskim. koulu - 3. painos - M.: Enlightenment, 1993. - 351 s.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
- Algebra ja analyysin alku: Proc. 10-11 solulle. Yleissivistävä koulutus instituutiot / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn ja muut; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14. painos - M.: Enlightenment, 2004.- 384 s.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematiikka (käsikirja teknisiin kouluihin hakijoille): Proc. korvaus.- M.; Korkeampi koulu, 1984.-351 s., ill.
- Bradis V.M. Nelinumeroiset matemaattiset taulukot: Yleissivistävälle koulutukselle. oppikirja laitokset. - 2. painos - M.: Bustard, 1999.- 96 s.: ill. ISBN 5-7107-2667-2
Esimerkki 1
Etsi kulman radiaanimitta, joka on yhtä suuri kuin a) 40°, b) 120°, c) 105°
a) 40° = 40 π / 180 = 2π/9
b) 120° = 120 π/180 = 2π/3
c) 105° = 105 π/180 = 7π/12
Esimerkki 2
Etsi radiaaneina ilmaistu kulman astemitta a) π/6, b) π/9, c) 2 π/3
a) π/6 = 180°/6 = 30°
b) π/9 = 180°/9 = 20°
c) 2π/3 = 2 180°/6 = 120°
Sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin määritelmä
Suorakulmaisen kolmion terävän kulman t sini on yhtä suuri kuin vastakkaisen haaran suhde hypotenuusaan (kuva 1):
Suorakulmaisen kolmion terävän kulman t kosini on yhtä suuri kuin viereisen haaran suhde hypotenuusaan (kuva 1):
Nämä määritelmät viittaavat suorakulmaiseen kolmioon ja ovat tässä osiossa esitettyjen määritelmien erikoistapauksia.
Laitetaan sama suorakulmainen kolmio lukuympyrään (kuva 2).
Näemme, että jalka b yhtä suuri kuin tietty arvo y Y-akselilla (y-akselilla), jalka A yhtä suuri kuin tietty arvo x x-akselilla (abskissa). Hypotenuusa Kanssa yhtä suuri kuin ympyrän säde (R).
Siten kaavamme saavat toisenlaisen muodon.
Koska b = y, a = x, c = R, sitten:
y x
sin t = -- , cos t = --.
R R
Muuten, silloin luonnollisesti myös tangentin ja kotangentin kaavat saavat toisenlaisen muodon.
Koska tg t \u003d b / a, ctg t \u003d a / b, myös muut yhtälöt ovat tosia:
tg t = y/x,
ctg= x/y.
Mutta takaisin siniin ja kosiniin. Kyseessä on numeerinen ympyrä, jonka säde on 1. Joten käy ilmi:
y
sin t = -- = y,
1
x
cos t = -- = x.
1
Joten tulemme kolmanteen, yksinkertaisempaan trigonometristen kaavojen muotoon.
Näitä kaavoja voidaan soveltaa ei vain terävään kulmaan, vaan myös mihin tahansa muuhun kulmaan (typpään tai kehittyneeseen).
Määritelmät ja kaavat cos t, sin t, tg t, ctg t.
Toinen kaava seuraa tangentin ja kotangentin kaavoista:
Numeroympyrän yhtälöt.
Sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin merkit ympyrän neljänneksissä:
| 1. neljännes | 2. neljännes | 3. neljännes | 4. neljännes | |
| kustannus | + | – | – | + |
| synti t | + | + | – | – |
| tg t, ctg t | + | – | + | – |
Numeerisen ympyrän pääpisteiden kosini ja sini:
Kuinka muistaa numeerisen ympyrän pääpisteiden kosinien ja sinien arvot.
Ensinnäkin sinun on tiedettävä, että jokaisessa numeroparissa kosiniarvot ovat ensimmäinen, siniarvot toinen.
1) Kiinnitä huomiota: koko numeerisen ympyrän pisteiden joukossa käsittelemme vain viittä numeroa (moduulissa):
1 √2 √3
0; -; --; --; 1.
2 2 2
Tee tämä "löytö" itsellesi - ja poistat psykologisen pelon lukujen runsaudesta: niitä on itse asiassa vain viisi.
2) Aloitetaan kokonaisluvuista 0 ja 1. Ne ovat vain koordinaattiakseleilla.
Ei tarvitse opetella ulkoa missä esimerkiksi moduulin kosinilla on yksikkö ja missä 0.
Akselin päissä kosinit(akselit X), tietysti, kosinit ovat modulo 1, ja sinit ovat 0.
Akselin päissä poskiontelot(akselit klo) sinit ovat modulo 1, ja kosinit ovat 0.
Nyt puhutaan merkeistä. Nollalla ei ole merkkiä. Mitä tulee kohtaan 1 - tässä sinun on vain muistettava yksinkertaisin asia: 7. luokan kurssilta tiedät, että akselilla X koordinaattitason keskikohdan oikealla puolella - positiiviset numerot, vasemmalla - negatiiviset; akselilla klo positiiviset luvut nousevat keskustasta, negatiiviset laskevat. Ja sitten et voi mennä vikaan merkillä 1.
3) Siirrytään nyt murtolukuarvoihin.
Kaikissa murtolukujen nimittäjissä - sama numero 2. Emme erehdy mitä kirjoittaa nimittäjään.
Neljännesten keskellä kosinilla ja sinillä on täsmälleen sama moduloarvo: √2/2. Missä tapauksessa ne ovat plus- tai miinusmerkillä - katso yllä oleva taulukko. Mutta tuskin tarvitset sellaista pöytää: tiedät tämän samalta 7. luokan kurssilta.
Kaikki lähimpänä akselia X pisteillä on täsmälleen samat kosinin ja sinin moduloarvot: (√3/2; 1/2).
Kaikkien lähimpänä akselia olevien arvot klo pisteet ovat myös absoluuttisesti identtisiä - ja niillä on samat numerot, vain ne "vaihtoivat" paikkoja: (1/2; √3/2).
Nyt merkeistä - tässä on mielenkiintoinen vuorottelu (vaikka uskomme, että sinun pitäisi joka tapauksessa ymmärtää merkit helposti).
Jos ensimmäisellä neljänneksellä sekä kosinin että sinin arvot ovat plusmerkillä, niin diametraalisesti vastakkaisessa (kolmannessa) ne ovat miinusmerkillä.
Jos toisella neljänneksellä miinusmerkillä on vain kosineja, niin diametraalisesti vastakkaisessa (neljännessä) - vain sinejä.
On vain muistettava, että jokaisessa kosini- ja siniarvojen yhdistelmässä ensimmäinen numero on kosiniarvo, toinen numero on siniarvo.
Huomioi vielä yksi säännöllisyys: ympyrän kaikkien diametraalisesti vastakkaisten pisteiden sini ja kosini ovat absoluuttisesti yhtä suuret. Otetaan esimerkiksi vastakkaiset pisteet π/3 ja 4π/3:
cos π/3 = 1/2, sin π/3 = √3/2
cos 4π/3 = -1/2, sin 4π/3 = -√3/2
Kahden vastakkaisen pisteen kosinien ja sinien arvot eroavat vain etumerkillä. Mutta tässäkin on kuvio: diametraalisesti vastakkaisten pisteiden sinillä ja kosinilla on aina vastakkaiset merkit.
On tärkeää tietää:
Numeerisen ympyrän pisteiden kosinien ja sinien arvot kasvavat tai pienenevät peräkkäin tiukasti määritellyssä järjestyksessä: pienimmästä arvosta suurimpaan ja päinvastoin (katso kohta "Trigonometristen funktioiden lisäys ja pienentäminen" - tämä on kuitenkin helppo tarkistaa katsomalla yllä olevaa numeroympyrää).
Laskevassa järjestyksessä saadaan seuraava arvojen vuorottelu:
√3 √2 1 1 √2 √3
1; --; --; -; 0; – -; – --; – --; –1
2 2 2 2 2 2
Ne kasvavat juuri päinvastaisessa järjestyksessä.
Kun olet ymmärtänyt tämän yksinkertaisen mallin, opit määrittämään sinin ja kosinin arvot melko helposti.
Yleensä tämä kysymys ansaitsee erityistä huomiota, mutta kaikki on täällä yksinkertaista: asteiden kulmassa sekä sini että kosini ovat positiivisia (katso kuva), sitten otamme plusmerkin.
Yritä nyt edellä olevan perusteella löytää kulmien sini ja kosini: ja
Voit huijata: erityisesti kulmassa asteina. Koska jos yksi suorakulmaisen kolmion kulma on yhtä suuri kuin asteet, niin toinen on yhtä suuri kuin asteet. Nyt tutut kaavat astuvat voimaan:
Siitä lähtien, sitten ja. Siitä lähtien ja. Asteilla se on vielä yksinkertaisempaa: joten jos yksi suorakulmaisen kolmion kulmista on yhtä suuri kuin asteet, niin toinen on myös yhtä suuri kuin asteet, mikä tarkoittaa, että tällainen kolmio on tasakylkinen.
Joten hänen jalkansa ovat tasa-arvoiset. Joten sen sini ja kosini ovat yhtä suuret.
Etsi nyt itsesi uuden määritelmän mukaan (x:n ja y:n kautta!) kulmien sini ja kosini asteina ja asteina. Täällä ei ole piirrettävä kolmioita! Ne ovat liian litteitä!
Sinun olisi pitänyt saada:
Löydät tangentin ja kotangentin itse käyttämällä kaavoja:
Huomaa, että et voi jakaa nollalla!
Nyt kaikki vastaanotetut numerot voidaan koota taulukkoon:
Tässä ovat kulmien sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin arvot I neljännes. Mukavuuden vuoksi kulmat on annettu sekä asteina että radiaaneina (mutta nyt tiedät niiden välisen suhteen!). Kiinnitä huomiota taulukon kahteen viivaan: nimittäin nollan kotangentti ja asteiden tangentti. Tämä ei ole sattumaa!
Erityisesti:
Yleistetään nyt sinin ja kosinin käsite täysin mielivaltaiseen kulmaan. Tarkastelen tässä kahta tapausta:
- Kulma vaihtelee astetta
- Kulma suurempi kuin astetta
Yleisesti ottaen käänsin hieman sieluani, puhuen "melko kaikista" kulmista. Ne voivat olla myös negatiivisia! Mutta tarkastelemme tätä tapausta toisessa artikkelissa. Keskitytään ensin ensimmäiseen tapaukseen.
Jos kulma on 1 neljänneksessä, niin kaikki on selvää, olemme jo harkinneet tätä tapausta ja jopa piirtäneet taulukoita.
Olkoon kulmamme nyt suurempi kuin astetta eikä suurempi kuin. Tämä tarkoittaa, että se sijaitsee joko 2. tai 3. tai 4. vuosineljänneksellä.
Kuinka me voimme? Kyllä, aivan sama!
Harkitsemme tämän sijaan...
... kuten tämä:
Eli harkitse toisella neljänneksellä olevaa kulmaa. Mitä voimme sanoa hänestä?
Pisteellä, joka on säteen ja ympyrän leikkauspiste, on edelleen 2 koordinaattia (ei mitään yliluonnollista, eikö?). Nämä ovat koordinaatit ja
Lisäksi ensimmäinen koordinaatti on negatiivinen ja toinen on positiivinen! Se tarkoittaa sitä toisen neljänneksen kulmissa kosini on negatiivinen ja sini positiivinen!
Hämmästyttävää, eikö? Ennen sitä emme ole koskaan kohdanneet negatiivista kosinia.
Kyllä, ja periaatteessa näin ei voisi olla, kun pidettiin trigonometrisiä funktioita kolmion sivujen suhteina. Mieti muuten, millä kulmilla kosini on yhtä suuri? Ja kummalla on sini?
Samoin voit ottaa huomioon kulmat kaikissa muissa neljänneksissä. Muistutan vain, että kulma lasketaan vastapäivään! (kuten viimeisessä kuvassa!).
Tietysti voit laskea toiseen suuntaan, mutta lähestymistapa tällaisiin kulmiin on hieman erilainen.
Yllä olevan päättelyn perusteella voit sijoittaa sinin, kosinin, tangentin (sini jaettuna kosinilla) ja kotangentin (kosinina jaettuna sinillä) merkit kaikille neljälle neljännekselle.
Mutta vielä kerran toistan, ei ole mitään järkeä muistaa tätä piirustusta. Kaikki mitä sinun tarvitsee tietää:
Harjoitellaan vähän kanssasi. Hyvin yksinkertaisia pulmia:
Ota selvää, mikä merkki seuraavilla määrillä on:
Tarkistetaanko?
- astetta - tämä on kulma, suurempi ja pienempi, mikä tarkoittaa, että se sijaitsee 3 neljänneksessä. Piirrä mikä tahansa kulma 3 neljännekseen ja katso, millainen y siinä on. Siitä tulee negatiivinen. Sitten.
astetta - kulma 2 neljännestä. Sini on positiivinen ja kosini negatiivinen. Plus jaettuna miinuksella on miinus. Keinot.
astetta - kulma, suurempi ja pienempi. Joten hän makaa neljällä neljänneksellä. Mikä tahansa neljännen vuosineljänneksen "X" kulma on positiivinen, mikä tarkoittaa - Työskentelemme radiaanien kanssa samalla tavalla: tämä on toisen neljänneksen kulma (koska ja. Toisen neljänneksen sini on positiivinen.
.
, tämä on neljännen neljänneksen kulma. Siellä kosini on positiivinen.
- jälleen neljännen neljänneksen kulma. Kosini on positiivinen ja sini negatiivinen. Sitten tangentti on pienempi kuin nolla:
Ehkä sinun on vaikea määrittää neljänneksiä radiaaneina. Siinä tapauksessa voit aina mennä astetta. Vastaus on tietysti täsmälleen sama.
Haluaisin nyt käsitellä hyvin lyhyesti vielä erästä asiaa. Muistetaanpa taas trigonometrinen perusidentiteetti.
Kuten sanoin, siitä voimme ilmaista sinin kosinin kautta tai päinvastoin:
Kyltin valintaan vaikuttaa vain se neljännes, jossa kulmamme alfa sijaitsee. Kahdessa viimeisessä kaavassa kokeessa on paljon tehtäviä, esimerkiksi nämä:
Tehtävä
Etsi jos ja.
Itse asiassa tämä on neljänneksen tehtävä! Katso kuinka se ratkaistaan:
Ratkaisu
Siitä lähtien korvaamme arvon täällä. Nyt on pienistä kiinni: käsittele kylttiä. Mitä me tarvitsemme tähän? Tiedä, missä korttelissa nurkkamme sijaitsee. Ongelman tilanteen mukaan: . Mikä neljännes tämä on? Neljäs. Mikä on kosinin merkki neljännessä kvadrantissa? Neljännen kvadrantin kosini on positiivinen. Sitten meidän on valittava plusmerkki ennen. , Sitten.
En viivytä tällaisissa tehtävissä nyt, löydät niiden yksityiskohtaisen analyysin artikkelista "". Halusin vain huomauttaa, minkä merkin tämä tai tuo trigonometrinen funktio ottaa vuosineljänneksestä riippuen.
Kulmat suuremmat kuin asteet
Viimeinen asia, jonka haluaisin huomauttaa tässä artikkelissa, on kuinka käsitellä astetta suurempia kulmia?
Mitä se on ja minkä kanssa sitä voi syödä, jotta se ei tukehtuisi? Otetaan esimerkiksi kulma asteina (radiaaneina) ja mennään siitä vastapäivään...
Kuvaan piirsin spiraalin, mutta ymmärrät, että itse asiassa meillä ei ole mitään spiraalia: meillä on vain ympyrä.
Joten mihin pääsemme, jos aloitamme tietystä kulmasta ja kuljemme koko ympyrän läpi (asteet tai radiaanit)?
Minne olemme menossa? Ja tulemme samaan nurkkaan!
Sama pätee tietysti muihinkin kulmiin:
Ottamalla mielivaltaisen kulman ja ohittamalla koko ympyrän, palaamme samaan kulmaan.
Mitä se meille antaa? Tässä mitä: jos, niin
Mistä lopulta saamme:
Mille tahansa kokonaisluvulle. Se tarkoittaa sitä sini ja kosini ovat jaksollisia funktioita, joissa on piste.
Näin ollen ei ole ongelmaa löytää nyt mielivaltaisen kulman merkki: meidän on vain hylättävä kaikki "koko ympyrät", jotka sopivat nurkkaan, ja selvitettävä, missä neljänneksessä jäljellä oleva kulma sijaitsee.
Esimerkiksi merkin löytämiseksi:
Tarkistamme:
- Asteina sopii ajat asteina (asteita):
astetta jäljellä. Tämä on neljännen neljänneksen kulma. On siis negatiivinen sini - . astetta. Tämä on kolmannen neljänneksen kulma. Siellä kosini on negatiivinen. Sitten
- . . Siitä lähtien - ensimmäisen neljänneksen kulma. Siellä kosini on positiivinen. Sitten cos
- . . Siitä lähtien kulmamme on toisella neljänneksellä, jossa sini on positiivinen.
Voimme tehdä saman tangentille ja kotangentille. Itse asiassa se on kuitenkin vielä helpompaa niiden kanssa: ne ovat myös jaksollisia toimintoja, vain niiden jakso on 2 kertaa pienempi:
Joten ymmärrät, mikä trigonometrinen ympyrä on ja mihin se on tarkoitettu.
Mutta meillä on vielä paljon kysymyksiä:
- Mitä ovat negatiiviset kulmat?
- Kuinka laskea trigonometristen funktioiden arvot näissä kulmissa
- Kuinka käyttää ensimmäisen vuosineljänneksen trigonometristen funktioiden tunnettuja arvoja etsimään funktioiden arvoja muilta neljänneksiltä (tarvitaanko taulukkoa todella ahmimaan?!)
- Kuinka käyttää ympyrää trigonometristen yhtälöiden ratkaisun yksinkertaistamiseksi?
KESKITASO
No, tässä artikkelissa jatkamme trigonometrisen ympyrän tutkimista ja keskustelemme seuraavista kohdista:
- Mitä ovat negatiiviset kulmat?
- Kuinka laskea trigonometristen funktioiden arvot näissä kulmissa?
- Kuinka käyttää 1. vuosineljänneksen tunnettuja trigonometristen funktioiden arvoja etsiäksesi muiden neljännesten funktioiden arvoja?
- Mikä on tangenttiakseli ja kotangenttiakseli?
Emme tarvitse lisätietoa, paitsi yksikköympyrän kanssa työskentelyn perustaidot (edellinen artikkeli). No, mennään ensimmäiseen kysymykseen: mitkä ovat negatiiviset kulmat?
Negatiiviset kulmat
Negatiiviset kulmat trigonometriassa on asetettu trigonometriselle ympyrälle alusta alkaen myötäpäivään liikkeen suuntaan:
Muistetaan kuinka aiemmin piirtimme kulmia trigonometriselle ympyrälle: Menimme akselin positiivisesta suunnasta vastapäivään:
Sitten kuvassamme muodostetaan kulma, joka on yhtä suuri kuin. Samalla tavalla rakensimme kaikki kulmat.
Mikään ei kuitenkaan estä kulkemasta akselin positiivisesta suunnasta myötäpäivään.
Saamme myös erilaisia kulmia, mutta ne ovat jo negatiivisia:
Seuraavassa kuvassa on kaksi kulmaa, jotka ovat absoluuttisesti samat mutta etumerkillisesti vastakkaiset:
Yleisesti ottaen sääntö voidaan muotoilla seuraavasti:
- Menemme vastapäivään - saamme positiivisia kulmia
- Menemme myötäpäivään - saamme negatiiviset kulmat
Kaavamaisesti sääntö on esitetty tässä kuvassa: 
Voit kysyä minulta varsin järkevän kysymyksen: no, tarvitsemme kulmia, jotta voimme mitata niiden sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin arvot.
Onko siis eroa, kun meillä on positiivinen kulma ja kun meillä on negatiivinen kulma? Vastaan sinulle: yleensä on.
Voit kuitenkin aina pienentää trigonometrisen funktion laskennan negatiivisesta kulmasta kulman funktion laskemiseen. positiivinen.
Katso seuraavaa kuvaa:
Piirsin kaksi kulmaa, ne ovat absoluuttisesti yhtä suuret, mutta niillä on vastakkainen etumerkki. Huomaa kunkin kulman sini ja kosini akseleilla.
Mitä sinä ja minä näemme? Ja tässä mitä:
- Sinit ovat kulmissa ja ovat vastakkaisessa merkissä! Sitten jos
- Kulmien kosinukset ja osuvat yhteen! Sitten jos
- Siitä lähtien:
- Siitä lähtien:
Näin ollen voimme aina päästä eroon negatiivisesta merkistä minkä tahansa trigonometrisen funktion sisällä: joko yksinkertaisesti tuhoamalla sen, kuten kosinin tapauksessa, tai asettamalla sen funktion eteen, kuten sinin, tangentin ja kotangentin kanssa.
Muista muuten, mikä on funktion nimi, jossa se on totta kaikille hyväksytyille: ?
Tällaista funktiota kutsutaan parittomaksi.
Ja jos se täyttyy joltakin hyväksyttävältä: ? Tässä tapauksessa funktiota kutsutaan parilliseksi.
Olemme siis juuri osoittaneet, että:
| Sini, tangentti ja kotangentti ovat parittomia funktioita, kun taas kosini on parillinen. |
Siten, kuten ymmärrät, ei ole eroa, etsimmekö siniä positiivisesta vai negatiivisesta kulmasta: miinuksen käsitteleminen on hyvin yksinkertaista. Emme siis tarvitse erillisiä taulukoita negatiivisille kulmille.
Toisaalta, täytyy myöntää, että olisi erittäin kätevää, kun tiedetään vain ensimmäisen neljänneksen kulmien trigonometriset funktiot, pystyä laskemaan samanlaisia funktioita jäljellä oleville neljänneksille. Voidaanko se tehdä? Voit tietysti! Sinulla on ainakin kaksi tapaa: ensimmäinen on rakentaa kolmio ja soveltaa Pythagoraan lausetta (näin sinä ja minä löysimme trigonometristen funktioiden arvot ensimmäisen neljänneksen pääkulmille) ja toinen - muistaen ensimmäisen neljänneksen kulmien funktioiden arvot ja yksinkertaisen säännön, osaa laskea trigonometriset funktiot kaikille muille neljänneksille. Toinen tapa säästää sinua monilta hälyltä kolmioiden ja Pythagoraan kanssa, joten pidän sitä lupaavampana:
Joten tätä menetelmää (tai sääntöä) kutsutaan - pelkistyskaavoiksi.
Valokaavat
Karkeasti ottaen nämä kaavat auttavat sinua olemaan muistamatta tällaista taulukkoa (se sisältää muuten 98 numeroa!):
jos muistat tämän (vain 20 numeroa):
Eli et voi vaivautua täysin tarpeettomilla 78 numeroilla! Meidän on esimerkiksi laskettava. On selvää, että pienessä pöydässä ei ole sellaista. Mitä me teemme? Ja tässä mitä:
Ensinnäkin tarvitsemme seuraavat tiedot:
- Sinillä ja kosinilla on jakso (asteet), ts.
Tangentilla (kotangentilla) on jakso (asteita)
Mikä tahansa kokonaisluku
- Sini ja tangentti ovat parittomia funktioita, ja kosini on parillinen:
Olemme jo todistaneet ensimmäisen väitteen kanssasi, ja toisen pätevyys todettiin melko hiljattain.
Varsinainen valusääntö näyttää tältä:
- Jos laskemme trigonometrisen funktion arvon negatiivisesta kulmasta, teemme siitä positiivisen käyttämällä kaavaryhmää (2). Esimerkiksi:
- Hylkäämme sinin ja kosinin jaksot: (asteina) ja tangentin osalta - (asteina). Esimerkiksi:
- Jos jäljellä oleva "kulma" on alle astetta, ongelma on ratkaistu: etsimme sitä "pienestä taulukosta".
- Muuten etsimme, millä kortilla nurkkamme sijaitsee: se on 2., 3. vai 4. neljännes. Katsomme halutun funktion merkkiä vuosineljänneksellä. Muista tämä merkki!
- Esitä kulma jossakin seuraavista muodoista:
(jos toisella neljänneksellä)
(jos toisella neljänneksellä)
(jos kolmannella neljänneksellä)
(jos kolmannella neljänneksellä)
(jos neljännellä vuosineljänneksellä)niin, että jäljellä oleva kulma on suurempi kuin nolla ja pienempi kuin astetta. Esimerkiksi:
Periaatteessa ei ole väliä, kummassa kahdesta vaihtoehtoisesta muodosta kullekin neljännekselle edustat kulmaa. Tämä ei vaikuta lopputulokseen.
- Katsotaan nyt mitä saimme: jos valitsit tallentaa läpi tai asteet plus miinus jotain, niin funktion etumerkki ei muutu: poistat vain tai ja kirjoitat muistiin jäljellä olevan kulman sini, kosini tai tangentti. Jos valitsit tallentaa läpi tai asteet, muuta sini kosiniksi, kosini siniksi, tangentti kotangentiksi, kotangentti tangentiksi.
- Laitamme luvun 4 merkin tuloksena olevan lausekkeen eteen.
Esitetään kaikki edellä mainitut esimerkein:
- Laskea
- Laskea
- Etsi-di-nämä merkitykset you-ra-same-nia:
Aloitetaan järjestyksessä:
- Toimimme algoritmimme mukaan. Valitse kokonaislukumäärä ympyröitä:
Yleensä päätämme, että kokonaisuus asetetaan nurkkaan 5 kertaa, mutta kuinka paljon on jäljellä? Vasen. Sitten
No, olemme hylänneet ylimääräisen. Nyt käsitellään merkkiä. sijaitsee 4:ssä. Neljännen neljänneksen sinissä on miinusmerkki, enkä saa unohtaa laittaa sitä vastaukseen. Lisäksi esitämme jommankumman vähennyssääntöjen 5 kohdan kaavasta. Minä valitsen:
Nyt katsomme mitä tapahtui: meillä on tapaus, jossa on asteet, sitten hylkäämme sen ja muutamme sinin kosiniksi. Ja laita miinusmerkki sen eteen!
astetta on ensimmäisen neljänneksen kulma. Tiedämme (lupasit minulle oppia pienen pöydän!!) sen merkityksen:
Sitten saamme lopullisen vastauksen:
Vastaus:
- kaikki on sama, mutta asteiden sijaan - radiaaneja. Se on okei. Tärkeintä on muistaa se
Mutta radiaaneja ei voi korvata asteilla. Se on makuasia. En muuta mitään. Aloitan uudelleen hylkäämällä kokonaiset ympyrät:
Hylkäämme pois - nämä ovat kaksi kokonaista ympyrää. Laskeminen jää. Tämä kulma on kolmannella neljänneksellä. Kolmannen vuosineljänneksen kosini on negatiivinen. Muista laittaa miinusmerkki vastaukseesi. voidaan kuvitella. Muistutamme jälleen säännön: meillä on "kokonaisluvun" tapaus (tai), silloin funktio ei muutu:
Sitten.
Vastaus:. - . Sinun on tehtävä sama asia, mutta kahdella toiminnolla. Puhun hieman lyhyemmin: ja asteet ovat toisen neljänneksen kulmia. Toisen neljänneksen kosinissa on miinusmerkki ja sinissä plusmerkki. voidaan esittää seuraavasti: mutta miten sitten
Molemmat tapaukset ovat "puolet kokonaisuudesta". Sitten sini muuttuu kosiniksi ja kosini muuttuu siniksi. Lisäksi kosinin edessä on miinusmerkki:
Vastaus:.
Harjoittele nyt itse seuraavien esimerkkien avulla:
Ja tässä ratkaisut:
Ensin päästään eroon miinuksesta siirtämällä se sinin eteen (koska sini on pariton funktio!!!). Harkitse sitten kulmia:Hylkäämme kokonaislukumäärän ympyröitä - eli kolme ympyrää ().
Vielä on laskettava: .
Teemme saman toisen kulman kanssa:Poista kokonaislukumäärä ympyröitä – 3 ympyrää () ja sitten:
Nyt ajattelemme: millä neljänneksellä jäljellä oleva kulma on? Hän "ei saavuta" kaikkea. Mikä sitten on neljännes? Neljäs. Mikä on neljännen neljänneksen kosinin merkki? Positiivista. Kuvitellaan nyt. Koska vähennämme kokonaisluvusta, emme muuta kosinin etumerkkiä:
Korvaamme kaikki vastaanotetut tiedot kaavaan:
Vastaus:.
Vakio: poistamme miinuksen kosinista käyttämällä sitä tosiasiaa.
Jää vielä laskea asteiden kosini. Poistetaan kaikki ympyrät: . SittenSitten.
Vastaus:.- Toimimme kuten edellisessä esimerkissä.
Koska muistat, että tangentin jakso on (tai) toisin kuin kosini tai sini, jossa se on 2 kertaa suurempi, poistamme kokonaisluvun.
astetta on kulma toisella neljänneksellä. Toisen vuosineljänneksen tangentti on negatiivinen, joten älkäämme unohtako "miinusta" lopussa! voidaan kirjoittaa nimellä. Tangentin muutokset kotangentiksi. Lopulta saamme:
Sitten.
Vastaus:.
No, niitä on hyvin vähän jäljellä!
Tangenttien akseli ja kotangenttien akseli
Viimeinen asia, johon haluaisin tässä keskittyä, koskee kahta lisäakselia. Kuten olemme jo keskustelleet, meillä on kaksi akselia:
- Axis - kosiniakseli
- Akseli - siniakseli
Itse asiassa koordinaattiakselit ovat loppuneet, eikö niin? Mutta entä tangentit ja kotangentit?
Oikeasti, heille ei ole graafista tulkintaa?
Itse asiassa se on, voit nähdä sen tässä kuvassa:
Erityisesti näistä kuvista voimme sanoa seuraavaa:
- Tangentilla ja kotangentilla on samat merkit neljänneksissä
- Ne ovat positiivisia ensimmäisellä ja kolmannella neljänneksellä
- Ne ovat negatiivisia toisella ja neljännellä neljänneksellä
- Tangenttia ei ole määritelty kulmissa
- Kotangenttia ei ole määritelty kulmissa
Mitä muuta varten nämä kuvat ovat? Opit edistyneellä tasolla, jossa kerron kuinka voit yksinkertaistaa trigonometristen yhtälöiden ratkaisua trigonometrisen ympyrän avulla!
EDISTYNYT TASO
Tässä artikkelissa kerron kuinka yksikköympyrä (trigonometrinen ympyrä) voi olla hyödyllinen trigonometristen yhtälöiden ratkaisemisessa.
Voin korostaa kahta tapausta, joissa siitä voi olla hyötyä:
- Vastauksessa emme saa "kaunista" kulmaa, mutta siitä huolimatta meidän on valittava juuret
- Vastaus on liian monta juurisarjaa
Et tarvitse erityisiä tietoja, paitsi aiheen tuntemuksen:
Yritin kirjoittaa aiheen "trigonometriset yhtälöt" turvautumatta ympyrään. Monet eivät kehuisi minua tällaisesta lähestymistavasta.
Mutta pidän parempana kaavasta, joten mitä voit tehdä. Joissakin tapauksissa kaavat eivät kuitenkaan riitä. Seuraava esimerkki motivoi minua kirjoittamaan tämän artikkelin:
Ratkaise yhtälö:
No sitten. Itse yhtälön ratkaiseminen on helppoa.
Käänteinen vaihto:
Tästä syystä alkuperäinen yhtälömme vastaa neljää yksinkertaisinta yhtälöä! Pitääkö meidän todella kirjoittaa ylös 4 juurisarjaa:
Periaatteessa tämä olisi voitu lopettaa. Mutta ei vain tämän artikkelin lukijoille, joka väittää olevansa jonkinlainen "monimutkaisuus"!
Tarkastellaanpa ensin ensimmäistä juurisarjaa. Joten otamme yksikköympyrän, nyt sovelletaan näitä juuria ympyrään (erikseen ja varten):
Kiinnitä huomiota: mikä kulma muodostui kulmien ja? Tämä on kulma. Tehdään nyt sama sarjalle: .
Yhtälön juurien väliltä saadaan jälleen kulma c. Yhdistetään nyt nämä kaksi kuvaa:
Mitä me näemme? Ja sitten kaikki juurimme väliset kulmat ovat yhtä suuret. Mitä se tarkoittaa?
Jos aloitamme kulmasta ja otamme kulmat, jotka ovat yhtä suuret (millä tahansa kokonaisluvulla), osumme aina yhteen yläympyrän neljästä pisteestä! Joten 2 sarjaa juuria:
Voidaan yhdistää yhdeksi:
Valitettavasti juurisarjalle:
Nämä väitteet eivät ole enää päteviä. Tee piirros ja ymmärrä miksi näin on. Ne voidaan kuitenkin yhdistää seuraavasti:
Sitten alkuperäisellä yhtälöllä on juuret:
Mikä on melko lyhyt ja ytimekäs vastaus. Ja mitä lyhyys ja ytimekkyys tarkoittaa? Tietoja matemaattisen lukutaitosi tasosta.
Tämä oli ensimmäinen esimerkki, jossa trigonometrisen ympyrän käyttö tuotti hyödyllisiä tuloksia.
Toinen esimerkki ovat yhtälöt, joilla on "rumat juuret".
Esimerkiksi:
- Ratkaise yhtälö.
- Etsi sen juuret, jotka kuuluvat aukkoon.
Ensimmäinen osa ei ole vaikea.
Koska aihe on sinulle jo tuttu, sallin itseni olla lyhyt laskelmissani.
sitten tai
Joten löysimme yhtälömme juuret. Ei mitään monimutkaista.
Tehtävän toisen osan ratkaiseminen on vaikeampaa, kun ei tiedetä, mikä arkosiini miinus yksi neljäsosa on täsmälleen yhtä suuri (tämä ei ole taulukkoarvo).
Voimme kuitenkin kuvata löydetyn juurisarjan yksikköympyrässä:
Mitä me näemme? Ensinnäkin kuvio teki meille selväksi, missä rajoissa arkosiini sijaitsee:
Tämä visuaalinen tulkinta auttaa meitä löytämään juuret, jotka kuuluvat segmenttiin: .
Ensin numero itse joutuu siihen, sitten (katso kuva).
kuuluu myös segmenttiin.
Siten yksikköympyrä auttaa määrittämään, mihin rajoihin "rumat" kulmat kuuluvat.
Sinulla pitäisi olla vielä ainakin yksi kysymys: Mutta entä tangentit ja kotangentit?
Itse asiassa niillä on myös omat kirveensä, vaikka niillä on hieman erityinen ulkoasu:
Muuten niiden käsittelytapa on sama kuin sinin ja kosinin kanssa.
Esimerkki
Yhtälö on annettu.
- Ratkaise tämä yhtälö.
- Ilmoita tämän yhtälön juuret, jotka kuuluvat väliin.
Ratkaisu:
Piirrämme yksikköympyrän ja merkitsemme siihen ratkaisumme:
Kuvasta voidaan ymmärtää, että:
Tai vielä enemmän: siitä lähtien
Sitten löydämme segmenttiin kuuluvat juuret.
, (koska)
Jätän sinun tehtäväsi varmistaa, ettei yhtälöllämme ole muita väliin kuuluvia juuria.
YHTEENVETO JA PERUSKAAVA
Trigonometrian pääinstrumentti on trigonometrinen ympyrä, sen avulla voit mitata kulmia, löytää niiden sinit, kosinit ja niin edelleen.
Kulmien mittaamiseen on kaksi tapaa.
- Asteiden kautta
- Radiaanien kautta
Ja päinvastoin: radiaaneista asteisiin:
Kulman sinin ja kosinin löytämiseksi tarvitset:
- Piirrä yksikköympyrä, jonka keskipiste osuu yhteen kulman kärjen kanssa.
- Etsi tämän kulman ja ympyrän leikkauspiste.
- Sen "x"-koordinaatti on halutun kulman kosini.
- Sen "peli"-koordinaatti on halutun kulman sini.
Valokaavat
Nämä ovat kaavoja, joiden avulla voit yksinkertaistaa trigonometrisen funktion monimutkaisia lausekkeita.
Nämä kaavat auttavat sinua olemaan muistamatta tällaista taulukkoa:
Yhteenveto
Opit tekemään universaalia trigonometriaa.
Olet oppinut ratkaisemaan ongelmia paljon helpommin ja nopeammin ja mikä tärkeintä, ilman virheitä.
Ymmärsit, että sinun ei tarvitse ahdata yhtään pöytiä ja yleensäkään ei ole juurikaan ahdattavaa!
Nyt haluan kuulla sinusta!
Onnistuitko käsittelemään tätä monimutkaista aihetta?
Mitä pidit? Mistä et pitänyt?
Ehkä löysit virheen?
Kirjoita kommentteihin!
Ja onnea kokeeseen!
Voit luoda useita tyypillisiä tuloksia - sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin ominaisuudet. Tässä artikkelissa tarkastellaan kolmea pääominaisuutta. Ensimmäinen niistä osoittaa kulman α sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin etumerkit riippuen siitä, mikä koordinaattineljänneskulma on α. Seuraavaksi tarkastellaan jaksollisuusominaisuutta, joka määrittää kulman α sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin arvojen invarianssin, kun tämä kulma muuttuu kokonaislukumäärällä kierroksia. Kolmas ominaisuus ilmaisee vastakkaisten kulmien α ja −α sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin välisen suhteen.
Jos olet kiinnostunut sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin funktioiden ominaisuuksista, niitä voidaan tutkia artikkelin vastaavassa osassa.
Sivulla navigointi.
Sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin merkit neljänneksissä
Tämän kappaleen alapuolelta löytyy ilmaus "koordinaattineljänneksen kulma I, II, III ja IV". Selvitetään, mitä nämä kulmat ovat.
Otetaan yksikköympyrä, merkitään siihen aloituspiste A(1, 0) ja kierretään pisteen O ympäri kulman α verran, samalla kun oletetaan, että päästään pisteeseen A 1 (x, y) .
He sanovat että kulma α on koordinaattineljänneksen kulma I , II , III , IV jos piste A 1 on I, II, III ja IV neljänneksissä, vastaavasti; jos kulma α on sellainen, että piste A 1 on millä tahansa koordinaattisuorasta Ox tai Oy , niin tämä kulma ei kuulu mihinkään neljästä neljänneksestä.
Selvyyden vuoksi esitämme graafisen kuvan. Alla olevat piirustukset esittävät kiertokulmat 30 , -210 , 585 ja -45 astetta, jotka ovat koordinaattineljännesten kulmat I , II , III ja IV vastaavasti.
kulmat 0, ±90, ±180, ±270, ±360, … asteet eivät kuulu mihinkään koordinaattineljänneksiin.
Selvitetään nyt, millä etumerkeillä on kiertokulman α sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin arvot riippuen siitä, mikä neljänneskulma on α.
Sinin ja kosinin kohdalla tämä on helppo tehdä.
Määritelmän mukaan kulman α sini on pisteen A 1 ordinaatta. On selvää, että I ja II koordinaattineljänneksillä se on positiivinen ja III ja IV neljänneksellä se on negatiivinen. Siten kulman α sinillä on plusmerkki I ja II neljänneksissä ja miinusmerkki III ja VI neljänneksissä.
Kulman α kosini puolestaan on pisteen A 1 abskissa. I ja IV vuosineljänneksellä se on positiivinen ja II ja III neljänneksellä negatiivinen. Siksi kulman α kosinin arvot I ja IV neljänneksissä ovat positiivisia ja II ja III neljänneksissä ne ovat negatiivisia.
Jotta voit määrittää merkit tangentin ja kotangentin neljänneksillä, sinun on muistettava niiden määritelmät: tangentti on pisteen A 1 ordinaatin suhde abskissaan ja kotangentti on pisteen A 1 abskissan suhde ordinaataan. Sitten alkaen numeronjakosäännöt samoilla ja eri merkeillä, tästä seuraa, että tangentilla ja kotangentilla on plusmerkki, kun pisteen A 1 abskissa- ja ordinaattamerkit ovat samat, ja miinusmerkki, kun pisteen A 1 abskissa- ja ordinaattamerkit ovat erilaiset. Siksi kulman tangentilla ja kotangentilla on +-merkki I- ja III-koordinaattineljänneksissä ja miinusmerkki II- ja IV-neljänneksissä.
Todellakin, esimerkiksi ensimmäisellä neljänneksellä pisteen A 1 sekä abskissa x että ordinaatta y ovat positiivisia, silloin sekä osamäärä x/y että osamäärä y/x ovat positiivisia, joten tangentilla ja kotangentilla on +-merkki. Ja abskissan toisella neljänneksellä x on negatiivinen ja y-ordinaatta on positiivinen, joten sekä x / y että y / x ovat negatiivisia, jolloin tangentilla ja kotangentilla on miinusmerkki.
Siirrytään seuraavaan sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin ominaisuuteen.
Jaksoisuusominaisuus
Nyt analysoimme kenties kulman sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin ilmeisintä ominaisuutta. Se koostuu seuraavista: kun kulma muuttuu kokonaislukumäärällä täydet kierrokset, tämän kulman sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin arvot eivät muutu.
Tämä on ymmärrettävää: kun kulma muuttuu kokonaislukumäärällä kierroksia, pääsemme aina aloituspisteestä A pisteeseen A 1 yksikköympyrällä, joten sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin arvot pysyvät ennallaan, koska pisteen A 1 koordinaatit eivät muutu.
Kaavojen avulla tarkasteltu sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin ominaisuus voidaan kirjoittaa seuraavasti: sin(α+2 π z)=sinα , cos(α+2 π z)=cosα, tg(α+2 π z)=tgα , ctg(αz) = kulma in radia, ctg(α+2) ans, z on mikä tahansa , jonka itseisarvo ilmaisee kenttien kiertojen lukumäärän, jolla kulma α muuttuu, ja luvun z etumerkki ilmaisee pyörimissuunnan.
Jos kiertokulma α on annettu asteina, nämä kaavat kirjoitetaan uudelleen muotoon sin(α+360° z)=sinα, cos(α+360°z)=cosα, tg(α+360°z)=tgα, ctg(α)+360°gα.
Annamme esimerkkejä tämän ominaisuuden käytöstä. Esimerkiksi, 
, koska 
, A 
. Tässä on toinen esimerkki: tai .
Tätä ominaisuutta yhdessä pelkistyskaavojen kanssa käytetään hyvin usein laskettaessa "suurien" kulmien sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin arvoja.
Käsiteltyä sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin ominaisuutta kutsutaan joskus jaksollisuusominaisuudeksi.
Vastakkaisten kulmien sinien, kosinien, tangenttien ja kotangenttien ominaisuudet
Olkoon А 1 piste, joka saadaan, kun alkupistettä А(1, 0) kierretään pisteen O ympäri kulman α verran, ja piste А 2 on tulos pisteen А kiertymisestä kulman α vastakkaisella kulmalla −α.
Vastakkaisten kulmien sinien, kosinien, tangenttien ja kotangenttien ominaisuus perustuu melko ilmeiseen tosiasiaan: edellä mainitut pisteet A 1 ja A 2 joko yhtyvät (at) tai sijaitsevat symmetrisesti akselin Ox ympärillä. Eli jos pisteellä A 1 on koordinaatit (x, y) , niin pisteellä A 2 on koordinaatit (x, −y) . Tästä eteenpäin sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin määritelmien mukaisesti kirjoitetaan yhtälöt ja.
Vertaamalla niitä saadaan muodon α ja −α vastakkaisten kulmien sinien, kosinien, tangenttien ja kotangenttien välisiin suhteisiin.
Tämä on katsottu ominaisuus kaavojen muodossa.
Annamme esimerkkejä tämän ominaisuuden käytöstä. Esimerkiksi tasa-arvot ja 
.
On vain huomattava, että vastakkaisten kulmien sinien, kosinien, tangenttien ja kotangenttien ominaisuutta, kuten edellistä ominaisuutta, käytetään usein laskettaessa sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin arvoja, ja sen avulla voit päästä kokonaan eroon negatiivisista kulmista.
Bibliografia.
- Algebra: Proc. 9 solulle. keskim. koulu / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Enlightenment, 1990.- 272 s.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
- Algebra ja analyysin alku: Proc. 10-11 solulle. Yleissivistävä koulutus instituutiot / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn ja muut; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14. painos - M.: Enlightenment, 2004.- 384 s.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
- Bashmakov M.I. Algebra ja analyysin alku: Proc. 10-11 solulle. keskim. koulu - 3. painos - M.: Enlightenment, 1993. - 351 s.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematiikka (käsikirja teknisiin kouluihin hakijoille): Proc. korvaus.- M.; Korkeampi koulu, 1984.-351 s., ill.
trigonometrinen ympyrä. Yksi ympyrä. Numeroympyrä. Mikä se on?
Huomio!
On olemassa ylimääräisiä
materiaali erityisosastossa 555.
Niille, jotka vahvasti "ei kovin..."
Ja niille, jotka "erittäin...")
Hyvin usein ehdot trigonometrinen ympyrä, yksikköympyrä, numeroympyrä opiskelijoiden ymmärtämä huonosti. Ja täysin turhaan. Nämä käsitteet ovat tehokas ja universaali avustaja kaikissa trigonometrian osissa. Itse asiassa tämä on laillinen huijauslehti! Piirsin trigonometrisen ympyrän - ja näin heti vastaukset! Houkutteleva? Joten opetellaan, on syntiä olla käyttämättä sellaista. Lisäksi se on melko helppoa.
Jotta voit työskennellä menestyksekkäästi trigonometrisen ympyrän kanssa, sinun on tiedettävä vain kolme asiaa.
Jos pidät tästä sivustosta...
Muuten, minulla on sinulle pari muuta mielenkiintoista sivustoa.)
Voit harjoitella esimerkkien ratkaisemista ja selvittää tasosi. Testaus välittömällä vahvistuksella. Oppiminen - mielenkiinnolla!)
voit tutustua funktioihin ja johdannaisiin.