Tässä artikkelissa tarkastelemme yksityiskohtaisesti tasossa ja kolmiulotteisessa avaruudessa. Aloitetaan kohtisuorien viivojen määrittelystä, näytetään merkintä ja annetaan esimerkkejä. Tämän jälkeen esitämme välttämättömän ja riittävän ehdon kahden suoran kohtisuoralle ja analysoimme yksityiskohtaisesti ominaisongelmien ratkaisuja.
Sivulla navigointi.
Pystysuorat viivat - perustiedot.
Esimerkki.
Suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä Oxy on annettu kolme pistettä. Ovatko suorat AB ja AC kohtisuorassa?
Ratkaisu.
Vektorit ja ovat suorien AB ja AC suuntavektoreita. Viitaten artikkeliin laskemme 
. Vektorit ja ovat kohtisuorassa, koska 
. Siten suorien AB ja AC kohtisuoralle välttämätön ja riittävä ehto täyttyy. Siksi suorat AB ja AC ovat kohtisuorassa.
Vastaus:
Kyllä, suorat viivat ovat kohtisuorassa.
Esimerkki.
Ovatko suorat ja 
kohtisuorassa?
Ratkaisu.
Ohjaava vektori on suora, ja se on suoran suuntausvektori . Lasketaan vektorien skalaaritulo ja: 
. Se ei ole nolla, joten viivojen suuntavektorit eivät ole kohtisuorassa. Toisin sanoen viivojen kohtisuoraisuuden ehto ei täyty, joten alkuperäiset suorat eivät ole kohtisuorassa.
Vastaus:
Ei, viivat eivät ole kohtisuorassa.
Samoin välttämätön ja riittävä edellytys viivojen kohtisuoralle a ja b suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä Oxyz kolmiulotteisessa avaruudessa on muotoa 
, Missä 
Ja 
ovat suorien a ja b suuntavektorit.
Esimerkki.
Ovatko suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä Oxyz määritellyt suorat kolmiulotteisessa avaruudessa kohtisuorassa yhtälöihin nähden 
Ja ?
Ratkaisu.
Avaruuden suoran kanonisten yhtälöiden nimittäjissä olevat luvut ovat suoran suuntausvektorin vastaavia koordinaatteja. Ja suoran suuntausvektorin koordinaatit, jotka määritetään suoran parametrisillä yhtälöillä avaruudessa, ovat parametrin kertoimia. Täten, 
ja ovat annettujen suorien suuntavektorit. Selvitetään, ovatko ne kohtisuorassa: 
. Koska skalaaritulo on nolla, nämä vektorit ovat kohtisuorassa. Tämä tarkoittaa, että annettujen viivojen kohtisuoraisuuden ehto täyttyy.
Vastaus:
Suorat viivat ovat kohtisuorassa.
Kahden tason suoran kohtisuoran tarkistamiseksi on olemassa muita tarpeellisia ja riittäviä ehtoja kohtisuoralle.
Lause.
Jotta suorat a ja b ovat kohtisuorassa tasossa, on välttämätöntä ja riittävää, että suoran a normaalivektori on kohtisuorassa suoran b normaalivektoriin nähden.
Ilmoitettua suorien kohtisuoraa ehtoa on kätevä käyttää, jos annettuja suorayhtälöitä käyttäen on helposti löydettävissä suorien normaalivektorien koordinaatit. Tämä lause vastaa muodon yleistä suorayhtälöä 
, suoran yhtälö segmenteissä ja yhtälö suorasta kulmakertoimesta.
Esimerkki.
Varmista, että se on suora 
ja kohtisuorassa.
Ratkaisu.
Viivojen yhtälöiden perusteella on helppo löytää näiden suorien normaalivektorien koordinaatit. – normaali viivavektori . Kirjoitetaan yhtälö uudelleen muotoon 
, josta tämän suoran normaalivektorin koordinaatit näkyvät: .
Vektorit ja ovat kohtisuorassa, koska niiden skalaaritulo on yhtä suuri kuin nolla: 
. Siten annettujen suorien kohtisuoralle välttämätön ja riittävä ehto täyttyy, eli ne ovat todella kohtisuorat.
Erityisesti, jos tasossa oleva suora a määritetään yhtälöllä suorasta, jonka kulmakerroin on muotoa , ja suoran b muodon yhtälöllä, niin näiden suorien normaalivektoreilla on koordinaatit ja vastaavasti . , ja näiden suorien kohtisuoran ehto pelkistetään seuraavaan kulmakertoimien väliseen suhteeseen.
Suoraan ristissä
Suora risteys
Viivojen suhteellinen sijainti
Projisoi suoria viivoja
Suorat tasot
Monimutkaiset viivapiirrokset
Koordinaattisuodattimet
Pisteen ortogonaalinen projektio tasolle
Lähdeobjektien rakentaminen
Ensimmäinen vaihe ongelman ratkaisemisessa on rakentaa alkuperäiset objektit AutoCAD-primitiivisiksi piirustuksesta otettujen mittojen mukaan. Objektit voivat olla pisteitä, janaja, pintoja.
Alkuperäinen piirustus annetaan pääsääntöisesti akselittomassa muodossa. Tähän piirustukseen on tarpeen merkitä suorakulmaisen koordinaattijärjestelmän (viitejärjestelmän) akselit, joihin nähden kohdepisteiden koordinaatit voidaan mitata. Akseleiden suunnat on asetettava AutoCADissa hyväksytyn suunnan mukaisesti. Piirustuksen lähtöpiste voidaan valita mielivaltaisesti, koska se ei vaikuta pisteiden koordinaattien eroihin, eli se ei muuta piirustuksessa määritettyjen kohteiden suhteellista sijaintia ja muotoa.
Kuvassa Kuvassa 14 on piirros kolmiosta ABC, joka sisältää sen vaaka- ja etuprojektion. Koordinaattiakselit on merkitty piirustuskenttään. Pisteiden koordinaatit voidaan mitata viivaimella 1 mm:n tarkkuudella. Joten pisteen A koordinaatit ovat (x = 10, y = 50, z = 22).
Rakennetaan piste A (katso kuva 14) AutoCAD-objektiksi.
q Siirry ylänäkymäikkunaan tai aksonometriaikkunaan; näissä ikkunoissa koordinaattijärjestelmä vastaa piirustuksen järjestelmää.
q kohta \ 10, 50, 22.
q Tulos: pisteen kuva markkerin muodossa - risti - ilmestyi kaikkiin kuvaportteihin.
Pisteen merkitsevä merkki on määritelty prototyypissä. Voit muuttaa merkin tyyppiä ja kokoa:
q Muoto\Pistetyyli.
Muodostetaan suora jana AC:
q linja \ 10, 50, 22 \ 50,30,50.
Tulos: segmentti on rakennettu. Se näkyy kaikissa katseluporteissa, joten saadaan kolme ortogonaalista projektiota ja aksonometrinen projektio (isometria).
Pisteen ortogonaalisen projektion rakentamiseksi tasolle, kun projektiokulma on a=90 0, (kuva 15), riittää, että asennetaan koordinaattijärjestelmä (UCS) tälle tasolle, määritetään projisoidun pisteen koordinaatit. tässä koordinaattijärjestelmässä ja aseta z-koordinaatiksi nolla. Jos esimerkiksi UCS on asennettu tasolle D ja pisteellä A on koordinaatit tässä UCS:ssä (50,60,70), pisteen A ortogonaalinen projektio tasolle D on piste A D (50,60,0).
Ortogonaaliset projektiot muodostetaan ns. koordinaattisuodattimilla - työkalu, jonka avulla voit ottaa tarvittavat koordinaatit tietystä pisteestä. Joten jos käytät suodatinta .xy, silloin otetaan vain pisteen koordinaatit x Ja y, ja puuttuva koordinaatti z järjestelmä vaatii sinua määrittämään lisäksi; Ortogonaalisen projektion muodostamiseksi z-koordinaatti on asetettava nollaan. Suodattimet voidaan avata painamalla näppäinyhdistelmää Shift+Psch\Point Filters.
Muodostetaan piste A D, joka on pisteen A ortogonaalinen projektio tasolle D (ks. kuva 15):
q aseta pistemerkki;
q aseta UCS projektiotasolle D;
q kohta\ Vaihto+PSh \ Suodattimet \ .xy \ salli objektin napsautus Vaihto+PSh \ Solmu ( Solmu);
q osoita tähtäin projisoituun pisteeseen A;
q Syötä pyydettäessä Z vaaditaan nolla – piste A D on rakennettu.
Janan projektio on myös segmentti, jonka muodostamiseksi sinun on otettava projisoidun janan pisteet käyttämällä koordinaattisuodatinta.xy ja Endpoint-objektin napsautusta ( Perimmäinen). Olkoon segmentti; sinun täytyy rakentaa sen ortogonaalinen projektio tiettyyn tasoon:
q aseta UCS projektiotasolle.
q linja\ valitse suodatin (Shift+Psch \ Filters \ .xy);
q ota objektin napsautus käyttöön (Vaihto+PSh\ Perimmäinen) \ osoita projisoidun segmentin loppu \ pyydettäessä “z vaaditaan” syötä nolla;
q toista samat vaiheet janan toiselle päätepisteelle \ ПШ – janan projektio muodostetaan.
2.3.2. "Automaattinen" projektio
Projisointi voidaan "luottaa" järjestelmään käyttämällä project.lsp-ohjelmaa , joka on ensin ladattava.
q Lataa project.lsp-tiedosto (Tools\Load Application...)
Tulos: ladattu ohjelma luo kolme uutta komentoa: PROJEKTI, PR1, PR2.
q Syötä PROJEKTI-komento ja lue tiedot ohjelman käytöstä.
PR1-komento suorittaa objektien ortogonaalisen projektion UCS-tasoon. Objektit voivat olla pisteitä, janaja, ympyrän kaaria ja polylinjoja. PR2-komento suorittaa vinoprojektion, katso alta lisätietoja. Ortografisen projisoinnin suorittaminen:
q aseta UCS projektiotasolle;
q anna PR1-komento ja määritä projisoitavat objektit \ ПШ.
Tulos: valittujen kohteiden ortogonaaliset projektiot UCS-tasoon saatiin.
Koska suora on määritelty kahdella pisteellä, sen määrittämiseen piirustuksessa riittää kahden siihen kuuluvan pisteen projektiot (kuva 16, a, b).
Akselittomalla kuvamenetelmällä projektioiden välinen etäisyys otetaan mielivaltaisesti, mutta suoran määrittävien pisteiden koordinaattien ero tulee huomioida (kuva 16, c).
Suora viiva voi olla eri paikoissa avaruudessa suhteessa projektiotasoihin. Kutsutaan suoraa, joka ei ole yhdensuuntainen eikä kohtisuora minkään projektiotason kanssa yleinen kanta(Kuva 16). Loput viivat luokitellaan tietyn sijainnin viivoiksi, joiden joukossa on tasoviivoja ja ulkonevia viivoja. Tasoviivat ovat suoria viivoja, jotka ovat yhdensuuntaisia yhden projektiotason kanssa, ulkonevat viivat ovat suoria viivoja, jotka ovat kohtisuorassa projektiotasoihin nähden.
Vaakasuoran projektiotason suuntaista tasoviivaa kutsutaan vaakasuoraan(Kuva 17), suora viiva projektioiden etutason kanssa – edestä(Kuva 18) ja kutsutaan suoraa, joka on yhdensuuntainen projektioiden profiilitason kanssa profiili suora(Kuva 19).
 |
Vaakaviiva on merkitty kirjaimella h. Sen etuprojektio h 2 on aina kohtisuorassa pystysuuntaisiin tietoliikennelinjoihin nähden ja vaakaprojektio h 1 heijastaa viivan sijaintia avaruudessa. Jana /AB/ ja kaltevuuskulmat β, γ projektiotasoihin P 2, P 3 nähden projisoidaan tasolle P 1 ilman vääristymiä.
Etuosa on merkitty kirjaimella f. Edessä vaakaprojektio f 1 on aina kohtisuorassa viestintälinjoihin nähden ja etuprojektio f 2 vastaa avaruuden suoriimman viivan paikkaa. Kaltevuuskulmat α ja γ tasoihin P 1 ja P 3 nähden sekä etuosan segmentti /AB/ projisoidaan P 2:lle ilman vääristymiä.
Profiililinja on merkitty kirjaimella p. Sen edestä p 2 ja vaakasuora p 1 projektio osuvat yhteen pystysuoran viestintälinjan kanssa ja profiiliprojektio p 3 näyttää viivan sijainnin avaruudessa. Ilman vääristymiä profiililinjan segmentti /AB/ ja kaltevuuskulmat α, β tasoihin P 1 ja P 2 projisoidaan vastaavasti P 3:lle.
Riippuen kohtisuorasta tiettyyn projektiotasoon nähden suoria viivoja kutsutaan vaaka-, etu- tai profiiliprojisoinneiksi.
 |  |
||
Vaakasuoraan ulkoneva viiva– suora, kohtisuorassa P 1:een nähden (kuva 20). Tämän suoran vaakasuora projektio (A 1 = B 1) degeneroituu pisteeksi ja frontaaliprojektio (A 2 B 2) osuu yhteen viestintälinjan kanssa. On selvää, että vaakasuoraan ulkoneva viiva on samanaikaisesti yhdensuuntainen P 2:n ja P 3:n kanssa, joten /A 2 B 2 / = /A 3 B 3 / = /AB/.
Edestä ulkoneva viiva– suora, joka on kohtisuorassa P 2:een nähden (kuva 21). Tämän suoran frontaaliprojektio (A 2 = B 2) degeneroituu pisteeksi ja vaakaprojektio (A 1 B 1) osuu yhteen liitosviivan kanssa. Edestä ulkoneva viiva on yhdensuuntainen P 1:n ja P 3:n kanssa, joten /A 1 B 1 / = /A 3 B 3 / = /AB/.
Profiilin ulkoneva viiva– suora, joka on kohtisuorassa P 3:een nähden (kuva 22). Tällaisen suoran (A 3 =B 3) profiiliprojektio on piste, ja vaaka- ja etuprojektio ovat kohtisuorassa yhteyslinjoihin nähden. Profiilin ulkoneva viiva on samanaikaisesti yhdensuuntainen P 1:n ja P 2:n kanssa, joten /A 1 B 1 / = /A 2 B 2 / = /AB/.
Projektioviivaan kuuluvia pisteitä kutsutaan kilpaileviksi suhteessa projektiotasoon, johon suora on kohtisuorassa. Pisteet A ja B kuvassa. 20 kutsutaan horisontaalisesti kilpaileviksi, kuvassa 2. 21 ja 22 kilpailevat etuosasta ja profiilista. Kilpailevia pisteitä käytetään geometristen muotojen projektioiden näkyvyyden määrittämiseen.
2.4.3. Suoran pisteen kuuluminen
Piste voi kuulua suoraan tai olla sen ulkopuolella. Jos piste kuuluu suoralle, tulee tämän pisteen kaikkien projektioiden kuulua samoihin suoran projektioihin (kuva 23).
Esimerkiksi piste C kuuluu suoralle l, koska C1 ja C2 kuuluvat vastaavasti l 1 Ja l 2.
Piste ei kuulu suoraan, jos vähintään yksi sen projektioista ei kuulu samaan suoran projektioon. Esimerkiksi pisteet A, B, D eivät kuulu suoralle l, ja piste A sijaitsee viivan yläpuolella ja piste B on viivan takana.
Suoran janan pituuden määrittäminen suorakulmaisen kolmion menetelmällä
Koska yleisasemassa oleva suora ei ole yhdensuuntainen minkään projektiotason kanssa, projisoidaan siihen kuuluva segmentti vääristyneenä näille tasoille.
Tarkastellaan suorakulmaista kolmiota ABB 0 (kuva 24, a). Kolmion hypotenuusa AB on itse jana avaruudessa, haara B 0 B on yhtä suuri kuin janan A 1 B 1 vaakasuora projektio ja haara AB 0 on janan Z A päiden korkeusero. - Z B projektiotasolle P 1. Kulma α on segmentin kaltevuuskulma P 1:een nähden. Tämän suuruinen kolmio voidaan rakentaa monimutkaiseen piirustukseen (kuva 24, b). Käyttämällä segmentin A 1 B 1 vaakaprojektiota jalkana rakennamme toisen haaran, joka on yhtä suuri kuin korkeusero Z A – Z B, joka määritetään segmentin A 2 B 2 etuprojektiosta. Hypotenuusa B 1 B 0 on yhtä suuri kuin janan /AB/ luonnollinen arvo, kulma α on segmentin kaltevuuskulma P 1:een nähden. Janan pituus voidaan määrittää myös suorakulmaisen kolmion hypotenuusan pituudeksi, jonka yksi haara on frontaaliprojektio A 2 B 2 ja toinen on koordinaattiero Y B - Y A, jonka määrää segmentin vaakasuora projektio (kuva 24, c). Kulma β on tässä tapauksessa yhtä suuri kuin segmentin kaltevuuskulma projektioiden P 2 etutasoon nähden.
Siten, jos on tarpeen määrittää suoran janan todellinen arvo ja sen kaltevuuskulma tasoon P1 nähden, muodostetaan suorakulmainen kolmio käyttämällä janan vaakaprojektiota. Jos vaaditaan todellinen suuruus ja kaltevuuskulma P 2:een nähden, käytetään frontaalista projektiota.
Kaksi suoraa avaruudessa voivat olla yhdensuuntaisia, leikkaavia tai risteäviä.
Suora yhdensuuntainen
Jos suoraan A, b ovat yhdensuuntaiset, silloin niiden projektiot ovat myös yhdensuuntaiset (kuva 25, a). Päinvastoin on myös totta, mutta vain yleisillä linjoilla.
Siten kahden suoran yhdensuuntaisuuden arvioimiseksi yleisasemassa riittää, että niillä on mitkä tahansa kaksi projektiota. Tasoviivojen tapauksessa ei aina ole mahdollista määrittää niiden yhdensuuntaisuutta kahdesta projektiosta. Esimerkiksi kuvassa Fig. 25, b profiililinjojen suhteellista sijaintia ei ole määritetty ollenkaan. Tällaisten suorien viivojen yksilöimiseksi, käyttämällä samoja projektioita, on tarpeen osoittaa niihin kuuluvien pisteiden A, B, C, D projektiot (kuva 25, c). Kuitenkin arvioida suorien viivojen yhdensuuntaisuutta Kanssa Ja d kuvassa 25, erittäin vaikeaa. Eri asia on, onko profiililinjojen projektiot siihen tasoon, jonka kanssa ne ovat yhdensuuntaisia (kuva 25, d). Kuten kuvasta voidaan nähdä. 25, d projektiot A 3 B 3 ja C 3 B 3 eivät ole yhdensuuntaisia, joten avaruuden suorat eivät ole yhdensuuntaisia.
Siten tasoviivojen yhdensuuntaisuuden arvioimiseksi on välttämätöntä, että niiden projektiot ovat siihen tasoon, jonka kanssa ne ovat yhdensuuntaisia.
Jos suorat leikkaavat avaruudessa, niin myös niiden projektiot leikkaavat ja projektioiden K 1, K 2 leikkauspisteet kuuluvat samaan liitosviivaan (kuva 26, a).
Vinoviivojen projektiot m, n voivat leikata (kuva 26, b), mutta projektioiden leikkauspisteet eivät kuulu samaan tietoliikennelinjaan. Leikkaavien viivojen vaakaprojektioiden leikkauspiste m Ja n on vaakasuora projektio kahdesta vaakasuunnassa kilpailevasta pisteestä 1 ja 2. Näiden viivojen etuprojektion leikkauspiste on edestä kilpailevien pisteiden 3, 4 frontaaliprojektio.
Horisontaalisesti kilpailevien pisteiden avulla määritetään leikkaavien viivojen sijainti suhteessa vaakasuuntaiseen projektiotasoon. Frontaaliprojektio 1 2 pistettä 1 kuuluu m, on suurempi kuin 2 2 – piste 2, joka kuuluu n(näkymän suunta näkyy nuolella). Siksi tässä paikassa suora viiva m viivan yläpuolella n.
Leikkaavien suorien viivojen sijainti projektioiden etutasoon nähden määritetään frontaalisesti kilpailevista pisteistä. Vaakaprojektio 4 1 pisteen 4 kuuluvasta m, sijaitsee alle 3 1 – pisteen 3 kuuluvan n(näkymän suunta näkyy nuolella). Siis suoraan m sijaitsee suoran edessä n.
Mikä tahansa suorien viivojen välinen kulma kartoitetaan projektiotasolle ilman vääristymiä, jos suorat ovat yhdensuuntaisia tämän tason kanssa, ts. ovat suorassa tasolla.
Suorakulmalla, jossa on ortogonaalinen projektio, on erityisiä ominaisuuksia. Suora kulma projisoidaan ilman vääristymiä, jos vain yksi sen sivuista on yhdensuuntainen projektiotason kanssa.
Todistaaksesi tämän väitteen, harkitse kuvaa. 27. Annettu suora kulma ABC, jonka sivut AB ja BC ovat yhdensuuntaiset tason P 1 kanssa. Siksi kulma A 1 B 1 C 1 on yhdensuuntaisen projektion ominaisuuksien mukaan kulman ABC projektio, myös suora kulma. BC ┴ AB ja BB 1 ehdon ja rakenteen mukaan, tästä syystä BC ┴ Σ - taso, joka on piirretty AB:n ja A 1 B 1:n ja ┴ P 1:n kautta. Kuten tiedät koulun geometriakurssilta, jos suora on kohtisuorassa tasoon nähden, se on kohtisuorassa mihin tahansa tähän tasoon kuuluvaan suoraan. Näin ollen BC ┴ ВD ja MN, ja vastaavasti В 1 С 1 ┴ B 1 D 1 ja M 1 N 1.
Monimutkaisessa piirustuksessa seuraavat suoran kulman määrittelytapaukset ovat mahdollisia: suora viiva yleisasennossa A ja vaakasuora h (kuva 28, a), suora viiva yleisessä asennossa V ja etuosan f (kuva 28, b), suora viiva yleisasennossa Kanssa ja profiilisuora p (kuva 28, c).
Yleensä kun suoran kulman sivut ovat yleisiä suoria viivoja, suora kulma projisoidaan vääristymällä teräväksi tai tylpäksi kulmaksi.
Artikkeli käsittelee kysymystä kohtisuorasta viivasta tasossa ja kolmiulotteisessa avaruudessa. Analysoimme yksityiskohtaisesti kohtisuorien viivojen määrittelyä ja niiden merkintöjä annettujen esimerkkien avulla. Tarkastellaan ehtoja kahden suoran kohtisuoralle välttämättömän ja riittävän ehdon soveltamiselle ja tarkastellaan yksityiskohtaisesti esimerkin avulla.
Avaruudessa leikkaavien viivojen välinen kulma voi olla oikea. Sitten he sanovat, että annetut suorat ovat kohtisuorassa. Kun risteävien viivojen välinen kulma on suora, myös suorat ovat kohtisuorassa. Tästä seuraa, että tason kohtisuorat viivat leikkaavat ja avaruudessa olevat kohtisuorat suorat voivat olla leikkaavia ja risteäviä.
Toisin sanoen käsitteitä "viivat a ja b ovat kohtisuorat" ja "viivat b ja a ovat kohtisuorat" pidetään samanlaisina. Tästä tulee käsite keskenään kohtisuorat viivat. Tehtyään yhteenveto yllä olevasta, katsotaanpa määritelmää.
Määritelmä 1
Kahta suoraa kutsutaan kohtisuoraksi, jos niiden leikkauskulma on 90 astetta.
Kohtisuoraus merkitään "⊥" ja merkintä on muotoa a ⊥ b, mikä tarkoittaa, että suora a on kohtisuorassa suoraa b vastaan.
Esimerkiksi neliön sivut, joilla on yhteinen kärki, voivat olla kohtisuorassa tasossa olevia viivoja. Kolmiulotteisessa avaruudessa suorat O x , O z , O y ovat kohtisuorassa pareittain: O x ja O z , O x ja O y , O y ja O z .
Viivojen kohtisuoraisuus - kohtisuoran ehdot
On välttämätöntä tietää kohtisuoran ominaisuudet, koska useimmat ongelmat liittyvät sen tarkistamiseen myöhempää ratkaisua varten. On tapauksia, joissa kohtisuorasta puhutaan tehtävän ehdoissa tai kun on tarpeen käyttää todistusta. Pystysuoran osoittamiseksi riittää, että viivojen välinen kulma on oikea.
Jotta voidaan määrittää niiden kohtisuora suorakulmaisen koordinaattijärjestelmän tunnettujen yhtälöiden kanssa, on tarpeen soveltaa tarvittavaa ja riittävää ehtoa suorien kohtisuoralle. Katsotaanpa sanamuotoa.
Lause 1
Jotta suorat a ja b olisivat kohtisuorassa, on välttämätöntä ja riittävää, että suoran suuntavektori on kohtisuorassa annetun suoran b suuntavektoriin nähden.
Itse todistus perustuu suoran suuntavektorin määrittämiseen ja suorien kohtisuoran määrittämiseen.
Todiste 1
Otetaan käyttöön suorakaiteen muotoinen suorakulmainen koordinaattijärjestelmä O x y annetuilla tason yhtälöillä, jotka määrittävät suorat a ja b. Merkitään suorien a ja b suuntavektorit a → ja b → . Suoran a ja b yhtälöstä välttämätön ja riittävä ehto on vektorien a → ja b → kohtisuora. Tämä on mahdollista vain, kun vektorien a → = (a x , a y) ja b → = (b x , b y) skalaaritulo on yhtä suuri kuin nolla ja merkinnän muoto on a → , b → = a x · b x + a y · b y = 0. Saavutetaan, että suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä O x y tasossa sijaitsevien suorien a ja b kohtisuoralle välttämätön ja riittävä ehto on a →, b → = a x · b x + a y · b y = 0, missä a → = (a x, a y) ja b → = b x, b y ovat suorien a ja b suuntavektorit.
Ehtoa voidaan soveltaa, kun on tarpeen löytää suuntavektorien koordinaatit tai kun on olemassa kanonisia tai parametrisia suoria yhtälöitä annettujen suorien a ja b tasossa.
Esimerkki 1
Kolme pistettä A (8, 6), B (6, 3), C (2, 10) on annettu suorakaiteen muotoisessa koordinaatistossa O x y. Selvitä, ovatko suorat A B ja A C kohtisuorassa vai eivät.
Ratkaisu
Suorilla viivoilla A B ja A C on suuntavektorit A B → ja A C →, vastaavasti. Lasketaan ensin A B → = (- 2 , - 3) , A C → = (- 6 , 4) . Saadaan, että vektorit A B → ja A C → ovat kohtisuorassa vektorien skalaaritulon ominaisuudesta, joka on yhtä suuri kuin nolla.
A B → , A C → = (- 2) (- 6) + (- 3) 4 = 0
On selvää, että välttämätön ja riittävä ehto täyttyy, mikä tarkoittaa, että A B ja A C ovat kohtisuorassa.
Vastaus: suorat viivat ovat kohtisuorassa.
Esimerkki 2
Selvitä, ovatko annetut suorat x - 1 2 = y - 7 3 ja x = 1 + λ y = 2 - 2 · λ kohtisuorassa vai eivät.
Ratkaisu
a → = (2, 3) on annetun suoran suuntavektori x - 1 2 = y - 7 3,
b → = (1, - 2) on suoran x = 1 + λ y = 2 - 2 · λ suuntavektori.
Jatketaan vektorien a → ja b → skalaaritulon laskemiseen. Ilmaus kirjoitetaan:
a → , b → = 2 1 + 3 - 2 = 2 - 6 ≠ 0
Tuloksen tulos ei ole yhtä suuri kuin nolla, voimme päätellä, että vektorit eivät ole kohtisuorassa, mikä tarkoittaa, että suorat eivät myöskään ole kohtisuorassa.
Vastaus: viivat eivät ole kohtisuorassa.
Tarpeellista ja riittävää ehtoa suorien a ja b kohtisuoralle sovelletaan kolmiulotteiseen avaruuteen, joka kirjoitetaan muodossa a → , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 , missä a → = (a x , a y , a z) ja b → = (b x , b y , b z) ovat suorien a ja b suuntavektorit.
Esimerkki 3
Tarkista kolmiulotteisen avaruuden suorakulmaisen koordinaatiston suorien kohtisuora, joka saadaan yhtälöistä x 2 = y - 1 = z + 1 0 ja x = λ y = 1 + 2 λ z = 4 λ
Ratkaisu
Kanonisten suorien yhtälöiden nimittäjiä pidetään suoran suuntavektorin koordinaatteina. Parametriyhtälön suuntavektorin koordinaatit ovat kertoimia. Tästä seuraa, että a → = (2, - 1, 0) ja b → = (1, 2, 4) ovat annettujen suorien suuntavektoreita. Niiden kohtisuoran tunnistamiseksi etsitään vektorien skalaaritulo.
Lauseke saa muotoa a → , b → = 2 · 1 + (- 1) · 2 + 0 · 4 = 0 .
Vektorit ovat kohtisuorassa, koska tulo on nolla. Tarvittava ja riittävä ehto täyttyy, mikä tarkoittaa, että suorat ovat myös kohtisuorassa.
Vastaus: suorat viivat ovat kohtisuorassa.
Pystysuoraisuuden tarkastus voidaan suorittaa muiden välttämättömien ja riittävien kohtisuoran ehtojen perusteella.
Lause 2
Tason suorat a ja b katsotaan kohtisuoraksi, kun suoran a normaalivektori on kohtisuorassa vektoriin b nähden, tämä on välttämätön ja riittävä ehto.
Todisteet 2
Tätä ehtoa voidaan soveltaa, kun suorayhtälöt tarjoavat nopean tavan löytää tiettyjen suorien normaalivektorien koordinaatit. Eli jos on olemassa yleinen yhtälö muotoa A x + B y + C = 0 olevasta suorasta, yhtälö suorasta muotoa x a + y b = 1 olevista segmenteistä, yhtälö suorasta, jolla on kulmakerroin. muotoa y = k x + b, on mahdollista löytää vektorien koordinaatit.
Esimerkki 4
Selvitä, ovatko suorat 3 x - y + 2 = 0 ja x 3 2 + y 1 2 = 1 kohtisuorassa.
Ratkaisu
Niiden yhtälöiden perusteella on tarpeen löytää suorien normaalivektorien koordinaatit. Saadaan, että n α → = (3, - 1) on normaalivektori suoralle 3 x - y + 2 = 0.
Yksinkertaistetaan yhtälö x 3 2 + y 1 2 = 1 muotoon 2 3 x + 2 y - 1 = 0. Nyt näkyvät selvästi normaalivektorin koordinaatit, jotka kirjoitetaan tässä muodossa n b → = 2 3 , 2 .
Vektorit n a → = (3, - 1) ja n b → = 2 3, 2 ovat kohtisuorassa, koska niiden skalaaritulo antaa lopulta arvon, joka on yhtä suuri kuin 0. Saamme n a → , n b → = 3 · 2 3 + (- 1) · 2 = 0 .
Tarpeellinen ja riittävä ehto on täytetty.
Vastaus: suorat viivat ovat kohtisuorassa.
Kun tasossa oleva suora a määritellään yhtälöllä, jonka kaltevuus on y = k 1 x + b 1 ja suora b - y = k 2 x + b 2, tästä seuraa, että normaalivektoreilla on koordinaatit (k 1 , - 1) ja (k 2, - 1) . Itse kohtisuora ehto pienenee arvoon k 1 · k 2 + (- 1) · (- 1) = 0 ⇔ k 1 · k 2 = - 1.
Esimerkki 5
Selvitä, ovatko suorat y = - 3 7 x ja y = 7 3 x - 1 2 kohtisuorassa.
Ratkaisu
Suoran y = - 3 7 x kaltevuus on - 3 7 ja suoran y = 7 3 x - 1 2 - 7 3.
Kulmakertoimien tulo antaa arvon - 1, - 3 7 · 7 3 = - 1, eli suorat ovat kohtisuorassa.
Vastaus: annetut viivat ovat kohtisuorassa.
On vielä yksi ehto, jota käytetään määrittämään suorien kohtisuora tasossa.
Lause 3
Jotta suorat a ja b ovat kohtisuorassa tasossa, välttämätön ja riittävä ehto on, että yhden suoran suuntavektori on kollineaarinen toisen suoran normaalivektorin kanssa.
Todisteet 3
Ehtoa voidaan soveltaa, kun on mahdollista löytää yhden suoran suuntavektori ja toisen normaalivektorin koordinaatit. Toisin sanoen yksi suora on annettu kanonisella tai parametrisella yhtälöllä ja toinen suoran yleisellä yhtälöllä, segmenteissä olevalla yhtälöllä tai suoran yhtälöllä, jolla on kulmakerroin.
Esimerkki 6
Selvitä, ovatko annetut suorat x - y - 1 = 0 ja x 0 = y - 4 2 kohtisuorassa.
Ratkaisu
Havaitsemme, että suoran x - y - 1 = 0 normaalivektorilla on koordinaatit n a → = (1, - 1) ja b → = (0, 2) on suoran x 0 = y - 4 suuntavektori. 2.
Tämä osoittaa, että vektorit n a → = (1, - 1) ja b → = (0, 2) eivät ole kollineaarisia, koska kollineaarisuusehto ei täyty. Ei ole sellaista lukua t, jonka yhtälö n a → = t · b → pätee. Tästä johtopäätös, että suorat eivät ole kohtisuorassa.
Vastaus: viivat eivät ole kohtisuorassa.
Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter