Astratto lezione aperta Insegnante GBPOU "Pedagogical College Number 4 di San Pietroburgo"
Martusevich Tatyana Olegovna.
Data: 12/12/2014.
Argomento: derivato geometrico significativo.
Tipo di lezione: Studiando un nuovo materiale.
Metodi di insegnamento: Visivo, parzialmente ricerca.
Lo scopo della lezione.
Per entrare nel concetto di una funzione tangente a una funzione in un punto, scoprire quale il significato geometrico del derivato è quello di ricavare l'equazione di tangente e insegnare per trovarlo.
Compiti educativi:
Per ottenere una comprensione del significato geometrico del derivato; Equazione di ritiro di tangente; Impara a risolvere le attività di base;
garantire la ripetizione del materiale sull'argomento "Definizione del derivato";
creare condizioni di controllo (autocontrollo) conoscenze e abilità.
Sviluppo di compiti:
contribuire alla formazione di competenze per applicare metodi di confronto, generalizzazioni, l'assegnazione del principale;
continua lo sviluppo di una prospettiva matematica, pensiero e discorso, attenzione e memoria.
Sfide educative:
promuovere l'educazione di interesse in matematica;
istruzione di attività, mobilità, capacità di comunicare.
Tipo di lezione - Lezione combinata usando le TIC.
Attrezzatura - Installazione multimediale, presentazioneMicrosoft.EnergiaPunto.
Lezione del palcoscenico
Tempo
Insegnante di attività
Attività studentesca
1. Momento organizzativo.
Temi e obiettivi del messaggio della lezione.
Argomento: derivato geometrico significativo.
Lo scopo della lezione.
Per entrare nel concetto di una funzione tangente a una funzione in un punto, scoprire quale il significato geometrico del derivato è quello di ricavare l'equazione di tangente e insegnare per trovarlo.
Preparazione degli studenti a lavorare nella lezione.
Preparazione per il lavoro nella lezione.
Consapevolezza del tema e degli obiettivi della lezione.
Astratto.
2. Preparazione per lo studio del nuovo materiale attraverso la ripetizione e l'attualizzazione delle conoscenze di riferimento.
Organizzazione della ripetizione e attualizzazione della conoscenza di riferimento: determinare il derivato e formulare il suo significato fisico.
Formulare la determinazione del derivato e formula il suo significato fisico. Ripetizione, attualizzazione e consolidamento delle conoscenze di riferimento.
Organizzazione della ripetizione e formazione dell'abilità di trovare il derivato della funzione di potenza e delle funzioni elementali.
Trovare un derivato di queste funzioni da formule.
Ripetizione di proprietà funzione lineare.
Ripetizione, percezione dei disegni e dichiarazioni dell'insegnante
3. Lavora con nuovo materiale: spiegazione.
Spiegazione del significato del rapporto della funzione della funzione per incrementare l'argomento
Spiegazione del significato geometrico del derivato.
L'introduzione di un nuovo materiale attraverso spiegazioni verbali con immagini attiranti e mezzi visivi: presentazione multimediale con animazione.
Percezione della spiegazione, comprensione, risposte alle domande dell'insegnante.
Formulazione della domanda all'insegnante in caso di difficoltà.
La percezione di nuove informazioni, la sua comprensione e comprensione primaria.
Formulazione di problemi all'insegnante in caso di difficoltà.
Creando un abstract.
Formulazione del significato geometrico del derivato.
Considerazione di tre casi.
Disegni astratti, disegni.
4. Lavora con nuovo materiale.
Comprensione primaria e applicazione del materiale studiato, la sua fissazione.
In quali punti sono i derivati \u200b\u200bpositivi?
Negativo?
È zero?
Formazione alla ricerca dell'algoritmo delle risposte alle domande sollevate in programma.
Comprensione e comprensione e applicazione di nuove informazioni per risolvere il problema.
5. Comprensione primaria e applicazione del materiale studiato, la sua fissazione.
Condizioni di attività del messaggio.
Registra i termini dell'attività.
Formulazione del problema all'insegnante in caso di difficoltà
6. Applicazione della conoscenza: lavoro indipendente di un carattere di allenamento.
Decidi il compito da soli:
Applicazione della conoscenza acquisita.
Lavoro indipendente Indirizzando il compito di trovare un derivato nella figura. Discussione e riconciliazione delle risposte in una coppia, formulando la questione all'insegnante in caso di difficoltà.
7. Lavorare con nuovo materiale: spiegazione.
Equazione di uscita Tangenziale alla funzione grafica al momento.
Una spiegazione dettagliata dell'output dell'equazione tangente alla grafica di una funzione in un punto con attrarre come visualità sotto forma di una presentazione multimediale, risposte alle domande degli studenti.
Conclusione dell'equazione di tangenzialmente con un insegnante. Risposte alle domande dell'insegnante.
Abstract, creando un modello.
8. Lavora con nuovo materiale: spiegazione.
Nel dialogo con gli studenti, la conclusione dell'algoritmo per trovare l'equazione tangente al grafico di questa funzione a questo punto.
In un dialogo con l'insegnante, la conclusione dell'algoritmo per trovare l'equazione tangente al grafico di questa funzione a questo punto.
Astratto.
Condizioni di attività del messaggio.
Imparare ad applicare le conoscenze acquisite.
Organizzazione di trovare modi per risolvere il problema e la loro attuazione. analisi dettagliata Soluzioni con una spiegazione.
Registra i termini dell'attività.
Nomina delle ipotesi sui possibili modi per risolvere il problema durante l'implementazione di ciascun punto di vista. Risolvere il problema in congiunzione con l'insegnante.
Registrare il problem solving e risposta.
9. Applicazione della conoscenza: lavoro indipendente di un carattere di allenamento.
Controllo individuale. Consulenza e assistenza agli studenti secondo necessità.
Controlla e spiega la soluzione usando la presentazione.
Applicazione della conoscenza acquisita.
Lavoro indipendente per risolvere il compito di trovare un derivato nella figura. Discussione e riconciliazione delle risposte in una coppia, formulando il problema all'insegnante in caso di difficoltà
10. Compiti.
§48, Attività 1 e 3, affrontare la soluzione e registrarlo in un notebook, con disegni.
№ 860 (2,4,6,8),
Messaggio compiti a casa Con commenti.
Registrare i compiti.
11. Riassumendo.
Ripetuto la determinazione del derivato; Significato fisico derivato; Proprietà della funzione lineare.
Hanno scoperto che il significato geometrico del derivato è.
Abbiamo imparato come ricavare l'equazione tangente alla grafica di questa funzione a questo punto.
Regolazione e raffinatezza della lezione.
Elencando il risultato della lezione.
12. Riflessione.
1. Eri alla lezione: a) facilmente; b) di solito; c) difficile.
a) imparato (a) completamente, posso applicare;
b) imparato (A), ma rende difficile l'uso;
b) non è stato bene (a).
3. Presentazione multimediale nella lezione:
a) ha aiutato l'assimilazione del materiale; b) non ha aiutato l'assimilazione del materiale;
c) interferito con l'assimilazione del materiale.
Condurre la riflessione.
Questo articolo inizierà con la revisione delle definizioni e dei concetti necessari.
Successivamente, rivolgiamo alla registrazione dell'equazione di Tangent Direct e forniamo soluzioni dettagliate al massimo esempi caratteristici e compiti.
In conclusione, ci concentreremo sulla ricerca dell'equazione tangente alla curva del secondo ordine, cioè al cerchio, all'ellisse, all'iperbole e ai paraboli.
Pagina di navigazione.
Definizioni e concetti.
Definizione.
Angolo di inclinazione diretto Y \u003d KX + B chiamare un angolo contato dalla direzione positiva dell'asse Ascissa a Direct Y \u003d KX + B nella direzione positiva (cioè, in senso antiorario).
Nella figura, la direzione positiva dell'asse dell'Ascissa è mostrata da una freccia verde orizzontale, la direzione positiva dell'angolo è raffigurata arco verde raffigurato, diretto è mostrata dalla linea blu e l'angolo di inclinazione è un arco rosso.
Definizione.
Coefficiente angolare diretto. Y \u003d kx + b è chiamato un coefficiente numerico k.
Il coefficiente d'angolo della linea retta è uguale all'angolo di inclinazione tangente in avanti, I.e ,.
Definizione.
Dritto AB condotto in due punti della funzione della funzione Y \u003d f (x), chiamato vendita. In altre parole, secante - Questa è una linea retta, passando attraverso due punti della funzione della funzione.
Nella figura, la linea di fissaggio della linea retta è raffigurata con una linea blu, un grafico della funzione Y \u003d f (x) - una curva nera, un angolo di inclinazione dell'arco rosso secante.
Se teniamo conto che il coefficiente d'angolo della linea è uguale all'angolo di inclinazione tangente (è stato detto sopra), e la tangente dell'angolo in triangolo rettangolare ABC ha l'atteggiamento di una categoria opposta agli adiacenti (questa è la definizione di un angolo tangente), la serie uguale sarà valida per il nostro sequente 
dove - gli ascristi dei punti A e B, 
- Valori funzione appropriati.
I.e, coefficiente angolare di sequenziale Determinato dall'uguaglianza 
o 
, ma equazione Susta. Registrato nella forma 
o 
(Se necessario, fare riferimento alla sezione).
La linea di fissaggio della linea retta rompe il grafico della funzione in tre parti: a sinistra del punto A, da A a B e a destra del punto B, sebbene possa avere più di due punti comuni con un grafico funzione.
La figura seguente mostra tre in realtà diversi secanti (punti A e B sono diversi), ma coincidono e impostati da un'equazione.
Non abbiamo mai incontrato conversazioni sulla linea retta sicura per una linea retta. Ma ancora, se respingi dalla definizione, la diretta e il suo fissaggio diretto coincidono.
In alcuni casi, il Secant può avere un numero infinito di punti di intersezione con un grafico della funzione. Ad esempio, il Secant, determinato dall'equazione Y \u003d 0, ha un numero infinito di punti comuni con un sinusoide.
Definizione.
Tangent to Graphics Function y \u003d f (x) al punto Chiamano il dritto, passando attraverso il punto, con un segmento di cui quasi allevia il grafico della funzione ai valori di X arbitrariamente vicino.
Spieghiamo questa definizione sull'esempio. Mostriamo che dritto y \u003d x + 1 è tangente alla grafica della funzione al punto (1; 2). Per fare ciò, mostriamo i grafici di queste funzioni quando si avvicina al punto di contatto (1; 2). Una caratteristica nera è mostrata in nero, il tangente diretto è mostrato dalla linea blu, il punto tattile è rappresentato da un punto rosso.
Ogni disegno successivo è un'area ingrandita del precedente (queste aree sono evidenziate in piazze rosse).
È chiaramente visto che vicino al punto di contatto, il grafico della funzione è praticamente fuso con la dritta tangente y \u003d x + 1.
E ora rivolgiamo a una definizione più significativa di tangenziale.
Per fare questo, mostreremo cosa accadrà dalla vendita di AB se il punto è infinitamente più vicino al punto A.
La figura seguente illustra questo processo.
L'AV secant (mostrato da blu punteggiato dritto) si sforzerà di prendere la posizione della dritta tangente (mostrata dalla linea solidale blu), l'angolo di inclinazione dell'unità (mostrato da un arco intermittente rosso) si sforzerà per l'angolo di inclinazione (raffigurato con un arco solido rosso).
Definizione.
In questo modo, funzione tangenziale a grafica y \u003d f (x) al punto a - Questa è la posizione limite della sezione di AB con.
Ora puoi passare alla dedizione del significato geometrico della funzione derivativa nel punto.
Significato geometrico della funzione derivativa al punto.
Considerare la sottoscrizione della grafica AB della funzione Y \u003d f (x) in modo tale che A e B siano coordinate rispettivamente e 
dove - l'incremento dell'argomento. Denotare con l'incremento della funzione. Notezziamo tutto nel disegno:
Dal triangolo rettangolare ABS abbiamo. Dal momento che la definizione tangente - questa è la posizione limite del sequenziale, quindi 
.
Ricordando la definizione del derivato della funzione al punto: il derivato della funzione Y \u003d f (x) al punto è il limite del rapporto del rapporto della funzione per incrementare l'argomento quando, è indicato 
.
Quindi, 
dove - il coefficiente angolare di tangente.
Pertanto, l'esistenza della funzione derivativa y \u003d f (x) al punto è equivalente all'esistenza di tangenti al grafico della funzione y \u003d f (x) al punto del tatto e il coefficiente angolare di tangenziale è uguale al valore del derivato nel punto , I.e.
Concludiamo: significato geometrico della funzione derivativa al punto Consiste nell'esistenza tangente al grafico della funzione a questo punto.
Equazione Tangent Direct.
Per registrare l'equazione, qualsiasi diretto sull'aereo è sufficiente per conoscere il suo coefficiente angolare e un punto attraverso il quale passa. Il Tangent Direct Passes attraverso il punto di contatto e il suo coefficiente angolare per la funzione differenziale è uguale al valore del derivato nel punto. Cioè, dall'articolo possiamo prendere tutti i dati per registrare l'equazione di Tangent Direct.
Equazione tangente alla funzione grafica y \u003d f (x) al punto Ha l'aspetto.
Intendiamo che esiste un valore finale del derivato, altrimenti la tangente dritta o verticale (se 
e 
) o non esiste (se 
).
A seconda del coefficiente angolare, il tangente può essere parallelo all'asse Ascissa (), parallelo all'asse dell'ordinata (in questo caso, l'equazione tangente sarà vista), aumentare () o diminuire ().
È tempo di apportare alcuni esempi da spiegare.
Esempio.
Rendere l'equazione tangente alla funzione grafica 
Al punto (-1; -3) e determinare l'angolo di inclinazione.
Decisione.
La funzione è definita per tutti i numeri validi (fare riferimento all'articolo se necessario). Dal momento che (-1; -3) - Touch Point, quindi 
.
Troviamo un derivato (per questo può essere utile utilizzare l'articolo di differenziazione della funzione, trovare il derivativo) e calcolare il suo valore al punto: 
Dal momento che il valore del derivato nel punto di contatto è il coefficiente angolare di tangente, ed è uguale all'angolo di inclinazione tangente, 
.
Pertanto, l'angolo tangenziale è uguale 
, e l'equazione di Tangent Direct ha la forma 
Illustrazione grafica.
Il colore nero mostra il grafico della funzione originale, il tangente diretto è raffigurato con una linea blu, un punto di tocco - un punto rosso. Il modello sulla destra è un'area ingrandita indicata da una piazza rossa tratteggiata nella foto a sinistra.
Esempio.
Scopri se c'è una tangente 
A livello (1; 1), in caso affermativo, quindi renderlo un'equazione e determinare l'angolo della sua inclinazione.
Decisione.
L'area di definizione del campo è tutti molti numeri validi.
Trova un derivato: 
Con un derivato non è determinato, ma 
e 
Pertanto, al punto (1; 1) c'è una tangente verticale, la sua equazione ha il modulo X \u003d 1 e l'angolo di inclinazione è uguale.
Illustrazione grafica.
Esempio.
Trova tutti i punti delle caratteristiche grafiche in cui:
a) la tangenza non esiste; b) tangenziale parallelamente all'asse dell'escissa; c) Tangential Parallel Direct.
Decisione.
Come sempre, iniziamo con l'area di definizione del campo. Nel nostro esempio, la funzione è determinata sull'intero set di numeri validi. Apriremo il segno del modulo, per questo consideriamo due intervalli e: 
Funzione di differenziazione: 
Per x \u003d -2 Il derivato non esiste, poiché i limiti a senso unico a questo punto non sono uguali: 
Pertanto, il valore della funzione su X \u003d -2 è calcolato, possiamo dare una risposta al punto A): Tangent alla funzione grafica non esiste nel punto (-2; -2).
b) tangenza parallelamente all'asse dell'escissa se il suo coefficiente angolare uguale a zero. (L'angolo di inclinazione tangente è zero). Come 
, quindi dobbiamo trovare tutti i valori di X, in cui la funzione derivata viene disegnata a zero. Questi valori saranno gli ascristi dei touchpoint in cui il tannient parallelo all'asse di Ox.
Quando risolve l'equazione 
e quando - equazione 
:
Resta per calcolare i valori corrispondenti della funzione: 
Perciò, 
- I punti desiderati del programma della funzione.
Illustrazione grafica.
Il grafico della funzione originale è rappresentato da una linea nera, i punti rossi segnavano i punti trovati in cui i paralleli tangenti dell'asse Ascissa.
c) Se due diretti sull'aereo sono paralleli, i loro coefficienti angolari sono uguali (è scritto nell'articolo). Sulla base di questa approvazione, dobbiamo trovare tutti i punti del grafico della funzione in cui il coefficiente angolare di Tangent è otto quinto. Cioè, dobbiamo risolvere l'equazione. Quindi, quando risolve l'equazione 
e quando - equazione 
.
Il discriminante della prima equazione è negativo, quindi, non ha radici valide: 
La seconda equazione ha due radice valida: 
Troviamo i valori corrispondenti della funzione: 
Nei punti 
Tangenti alla funzione grafica parallelamente a dritto.
Illustrazione grafica.
Il grafico della funzione è rappresentato da una linea nera, una linea rossa è mostrata da una linea retta, le linee blu sono mostrate tangenti alla funzione grafica nei punti .
Per funzioni trigonometriche In virtù della loro periodicità, ci possono essere infinitamente molte linee tangenti, aventi un angolo di inclinazione (lo stesso coefficiente angolare).
Esempio.
Scrivi equazioni di tutte le funzioni tangenti alla grafica 
che sono perpendicolari alla linea retta.
Decisione.
Per fare un'equazione tangente al grafico della funzione, è sufficiente per noi conoscere il suo coefficiente angolare e le coordinate del punto di contatto.
Il coefficiente angolare di Tangent troverà da: il prodotto dei coefficienti angolari perpendicolari equivalgono a uguale a meno uno, cioè. Poiché, con la condizione del coefficiente angolare perpendicolare diretto uguale, quindi 
.
Procederemo per trovare le coordinate dei touchpoint. Per cominciare, troviamo l'Ascissa, quindi calcola i valori corrispondenti della funzione - saranno i punti di ordinazione del tatto.
Quando si descrive il significato geometrico della funzione derivativa al punto, ne abbiamo notato. Da questa uguaglianza troviamo gli ascristi del punto di contatto. 
Siamo arrivati \u200b\u200ball'equazione trigonometrica. Si prega di prestare attenzione ad esso, poiché in seguito lo usiamo quando si calcola il calcolo dei punti di ordinazione del tatto. Decidilo (con difficoltà a contattare la sezione risolvere le equazioni trigonometriche):
Gli ascristi dei touchpoint si trovano calcolando i corrispondenti offert (qui usiamo l'uguaglianza a cui abbiamo chiesto di prestare attenzione a appena sopra): 
Quindi, tutti i punti del tatto. Di conseguenza, le equazioni desiderate di tangenti sono: 
Illustrazione grafica.
La figura nella curva nera mostra un grafico della funzione originale sul segmento [-10; 10], le linee blu raffigurano tangenti direttamente. È chiaramente visto che sono perpendicolari alla linea retta rossa. I punti di tocco sono contrassegnati con punti rossi.
Tangente del cerchio, ellisse, iperbole, parabolo.
Fino a questo punto, eravamo impegnati a trovare equazioni di tangenti agli orari delle funzioni inequivocabili del modulo Y \u003d f (x) in diversi punti. Equazioni canoniche Le curve di secondo ordine non sono funzioni inequivocabili. Ma circonferenza, ellisse, iperbole e parabola possiamo presentare una combinazione di due funzioni inequivocabili e dopo che le equazioni di tangenti in base a uno schema ben noto.
Tangente alla circonferenza.
Cerchia con il centro al punto 
E R raggio è dato dall'aguaglianza.
Scriviamo questa uguaglianza sotto forma di combinare due funzioni: 
Qui la prima funzione corrisponde al semicerchio superiore, il secondo è inferiore.
Pertanto, per rendere l'equazione di tangente alla circonferenza nel punto appartenente al semicerchio superiore (o inferiore), troviamo l'equazione tangente alla grafica della funzione (o) nel punto specificato.
Facile da dimostrare in punti di cerchio con le coordinate 
e 
Parallelli tangenti dell'asse Ascissa e sono fissati da equazioni e, di conseguenza (nella figura sotto sono mostrati in punti blu e dritto blu), e nei punti 
e 
- Parallelamente agli assi dell'ordinata e hanno equazioni e, di conseguenza (nella figura seguente, sono contrassegnati con punti rossi e rettilinei rossi).
Tangente all'ellisse.
Ellipse con il centro al momento con semi-assi A e B è dato dall'equazione 
.
L'ellisse e il cerchio possono essere stabiliti dall'unione di due funzioni - le semi-ellipsi superiori e inferiori: 
Tangents nei vertici dell'ELLIPSE sono paralleli o l'asse Ascissa (nella figura seguente viene mostrata blu dritta), o gli assi di ordinazione (nella figura seguente sono indicati in rosso dritto).
Cioè, la metà superiore è impostata dalla funzione 
, e il fondo - 
.
Ora possiamo agire secondo l'algoritmo standard per compilare l'equazione tangente alla grafica della funzione al punto.
Prima tangente al punto: 
Seconda tangente al punto 
:
Illustrazione grafica.
Tangente all'iperbole.
Iperbole con centro a punto e vertici 
e 
Imposta l'uguaglianza 
(Figura sotto a sinistra) e con i vertici 
e 
- uguaglianza 
(Figura seguente a destra).
Nella forma di una combinazione di due funzioni dell'iperbole è immaginata come
o 
.
Nei vertici dell'iperbole tangente parallelo all'Asse OU per il primo caso e parallelo all'asse oh per il secondo.
Quindi, per trovare l'equazione di tangente all'iperbole, scopriamo quale funzione appartiene al punto di contatto e agiamo nel solito modo.
Una domanda logica sorge come determinare quale delle funzioni appartiene al punto. Per rispondere ad esso, sostituiamo le coordinate in ogni equazione e guardiamo a quale delle uguagliatrici affronta l'identità. Considera questo sull'esempio.
Esempio.
Fare un'equazione tangente all'iperbole 
Al punto.
Decisione.
Scriviamo l'iperbole nella forma di due funzioni: 
Scopriamo quale funzione appartiene al punto tattile.
Per la prima funzione, quindi, il punto non appartiene alla grafica di questa funzione.
Per la seconda funzione, quindi, il punto appartiene al programma di questa funzione.
Troviamo un coefficiente angolare di Tangent: 
Pertanto, l'equazione tangente ha la forma.
Illustrazione grafica.
Tangente al parabolo.
Per compilare l'equazione di tangente alle specie di paraboli 
Alla fine usiamo lo schema standard e l'equazione di Tangentic è scritta come. Tangente al programma di tale parabola in alto parallelo all'asse oh.
Parabola 
Innanzitutto, imposta l'associazione di due funzioni. Per fare ciò, consentire questa equazione per quanto riguarda Y: 
Ora, scopri quale delle funzioni appartiene al punto tattile e agiscono secondo lo schema standard.
Tangente per pianificare tale parabola in alto parallelo all'Asse OU ..
Per la seconda funzione: 
Ottieni un punto di tocco 
.
Pertanto, l'equazione tangente desiderata ha la forma 
.
Prima di leggere le informazioni sulla pagina corrente, ti consigliamo di guardare il video sul derivato e il suo senso geometrico.
Vedi anche un esempio di calcolo del derivato nel punto
Tangent to line l al punto m0, la Direct M0t è la posizione limite del Secent M0M quando il punto M si impegna per M0 lungo questa linea (cioè l'angolo si precipita a zero) arbitrario.
Funzione derivativa y \u003d f (x) Al punto x0. chiamato Il limite della relazione dell'incremento di questa funzione all'incremento dell'argomento quando quest'ultimo si sforza di zero. La funzione derivativa y \u003d f (x) al punto x0 e i libri di testo sono indicati dal simbolo f "(x0). Di conseguenza, per definizione
Il termine "derivativo" (così come il "secondo derivato") inserito J. LaGrang. (1797), Inoltre, ha dato la designazione y ', f' (x), f "(x) (1770,1779). La designazione dy / dx viene trovata per la prima volta a Leibniz (1675).
Il derivato della funzione y \u003d f (x) a x \u003d xo è uguale al coefficiente angolare di tangente al grafico di questa funzione nel punto di mo (Ho, f (xo)), cioè.
Dove un - angolo di inclinazione Tangent.
All'asse del sistema di coordinate cartesiane rettangolari.
Equazione tangente
Alla linea y \u003d f (x) al punto di mo (ho, uo) prende
Normale alla curva ad un certo punto è chiamato perpendicolare alla tangente allo stesso punto. Se f (x0) non è uguale a 0, quindi equazione normale alla lineay \u003d f (x) al punto mo (ho, uo) verrà registrato come questo:
Derivato del senso fisico
Se x \u003d f (t) è la legge movimento dritto Punti, x '\u003d f' (t) - la velocità di questo movimento al tempo t. Rf fluente. fisico, chimico e altro i processi sono espressi utilizzando un derivato.
Se il rapporto Dy / DX su X-\u003e X0 ha il limite a destra (o a sinistra), quindi è chiamato derivativo del diritto (rispettivamente derivato da sinistra). Tali limiti sono chiamati derivati \u200b\u200bmonoponi..
Ovviamente, la funzione f (x) definita in un certo quartiere del punto X0 ha un derivato F '(x) se e solo se esistono derivati \u200b\u200bunilaterali e sono uguali l'uno all'altro.
Interpretazione geometrica del derivato Come coefficiente angolare di tangenziale, il programma si applica a questo caso: tangente in questo caso parallelo all'Asse OU.
Una funzione che ha un derivato a questo punto è chiamato differenziabile a questo punto. Una funzione che ha un derivato in ogni punto di questo gap è chiamato differenziabile in questo spazio. Se il gap è chiuso, ha i derivati \u200b\u200bunilaterali alle estremità.
Operazione trovando un derivato chiamato.
Derivato (Funzioni al punto) - Concetto di base calcolo differenzialeCaratterizzazione della velocità del cambiamento della funzione (a questo punto). Definito come limite Relazione della funzione della funzione per incrementi discussione Nel desiderio dell'incremento dell'argomento a zerose tale limite esiste. Una funzione con un derivato finito (ad un certo punto) è chiamato differenziabile (a questo punto).
Il processo di calcolo del derivato è chiamato differenziazione. Processo inverso - Trovare prefo-a forma di - integrazione.
Se la funzione è specificata dalla pianificazione, il suo derivato in ciascun punto è uguale all'angolo tangente tangente al grafico della funzione. E se la funzione è definita dalla formula - aiuti la tabella di derivati \u200b\u200be le regole di differenziazione, cioè le regole per trovare un derivato.
4. Fabbricazione complessa e retromarcia.
Viene richiesto funzione complessa . La variabile è una funzione variabile, e vi è una variabile, a sua volta, una funzione da una variabile indipendente.
Teorema . Se un e differenziale funzioni dei loro argomenti, quindi una funzione complessa È una funzione differenziale e il suo derivato è pari al prodotto del derivato di questa funzione da parte dell'argomento intermedio e del derivato dell'argomento intermedio su una variabile indipendente:
.
L'approvazione è facilmente ottenuta da un'evidente uguaglianza 
(fiera quando e) Transizione limite (che, a causa della continuità della funzione differenziale, comporta).
Rivolgenci alla revisione del derivato funzione inversa.
Supponiamo che la funzione impostabile differenziale abbia molti valori e sul set esiste funzione inversa .
Teorema
. Se al punto
derivato
, quindi il derivato della funzione inversa
Al punto
C'è anche uguale al valore posteriore del derivato di questa funzione.: 
, o
Questa formula è facilmente ottenuta da considerazioni geometriche.
T. 
aK è come un angolo tangente di inclinazione della linea tangente all'asse, cioè la tangente dell'angolo di inclinazione della stessa tangente (la stessa linea) allo stesso punto dell'asse.
Se sei acuto, allora, e se stupido, allora 
.
In entrambi i casi 
. Questa uguaglianza e equivalente all'uguaglianza
5. Significato di significato orgometrico e fisico.
1) Significato fisico derivato.
Se la funzione Y \u003d f (x) e la sua argomentazione X sono quantità fisiche, il derivato è il tasso di modifica della variabile Y relativo alla variabile X al punto. Ad esempio, se S \u003d S (T) è la distanza che passa con un punto per T, allora il suo derivato è la velocità al momento. Se q \u003d q (t) è la quantità di elettricità che scorre attraverso la sezione trasversale trasversale del conduttore al tempo T, la velocità dei cambiamenti nella quantità di elettricità al momento del tempo, I.e. Il potere della corrente al momento del tempo.
2) il significato geometrico del derivato.
Lasciare - una certa curva - un punto sulla curva.
Qualsiasi diretto, attraversando almeno due punti è chiamato la vendita.
Tangenziale alla curva, la posizione limite della sezione è esattamente il limite, se il punto si muove lungo la curva.
È ovvio dalla definizione che se c'è una tangente alla curva al punto, è l'unico
Considera la curva y \u003d f (x) (I.e., il grafico della funzione y \u003d f (x)). Lascia che il punto 
ha una tangente non certificata. La sua equazione: (Equazione diretta che passa attraverso il punto 
e avere un coefficiente angolare k).
Determinando il coefficiente angolare, dove l'angolo di inclinazione è l'asse rettile.
Lasciare un angolo di inclinazione dell'asse dell'asse, dove. Come tangente, allora
Quindi,
Pertanto, è stato ottenuto che il coefficiente angolare di tangente al grafico della funzione y \u003d f (x) al punto 
(Significato geometrico della funzione derivativa al punto). Pertanto, l'equazione tangente alla curva y \u003d f (x) al punto 
può essere scritto nella forma
La funzione derivativa è uno dei temi complessi nel programma scolastico. Non ogni laureato risponderà alla domanda di ciò che è derivato.
Questo articolo sta semplicemente parlando chiaramente di ciò che è un derivato e per quello che ha bisogno. Non ci sforziamo di sforzarci per la rigidità matematica della presentazione. La cosa più importante è capire il significato.
Ricordiamo la definizione:
Il derivato è la velocità del cambiamento della funzione.
Nell'immagine - grafica di tre funzioni. Cosa pensi che stia crescendo più velocemente?
La risposta è ovvia - il terzo. Ha la massima velocità di cambiamento, cioè il più grande derivato.
Ecco un altro esempio.
Kostya, Grisha e Matvey contemporaneamente hanno ottenuto un lavoro. Vediamo come il loro reddito è cambiato durante l'anno:
Sulla pianificazione immediatamente tutto può essere visto, non è vero? Il reddito dell'osso per mezza anno è diventato più di due volte. E anche le entrate di Grisha sono cresciute, ma un po '. E il reddito di Matthew è diminuito a zero. Le condizioni iniziali sono le stesse e la velocità del cambiamento della funzione, cioè derivato- Diverso. Per quanto riguarda Matteo - il suo reddito è derivato negativamente.
Intuitivamente, stiamo facilmente valutando la velocità del cambiamento della funzione. Ma come lo fai?
In effetti, guardiamo quanto è bello il grafico della funzione sale (o giù). In altre parole, quanto cambia rapidamente y con un cambiamento in x. Ovviamente, la stessa funzione a diversi punti può avere un valore diverso del derivato - cioè, può variare più veloce o più lento.
La funzione derivativa è indicata.
Mostra come trovare usando il grafico.
Un grafico è disegnato qualche funzione. Prendi un punto con un'escissa su di esso. Disegniamo a questo punto tangente alla funzione grafica. Vogliamo valutare quanto raffreddi un grafico di una funzione. Valore comodo per questo - angolo di inclinazione tangente.
La derivata della funzione al punto è uguale alla tangente dell'angolo di inclinazione, eseguita al grafico della funzione a questo punto.
Si prega di notare - come angolo di tagging tangente, prendiamo un angolo tra la direzione tangente e positiva dell'asse.
A volte gli studenti chiedono cosa tangenti alla grafica funzione. Questo è diretto, avendo un singolo punto comune con un programma su questa trama e come mostrato nella nostra figura. Sembra una tangente alla circonferenza.
Noi troveremo. Ricordiamo che la tangente di un angolo acuto in un triangolo rettangolare è uguale all'atteggiamento della catech opposto all'uno adiacente. Dal triangolo:
Abbiamo trovato un derivato con l'aiuto di un grafico, nemmeno sapendo la funzione formula. Tali compiti si trovano spesso nell'esame in matematica al numero.
C'è un altro rapporto importante. Richiamare che la diretta è data dall'equazione
Il valore in questa equazione è chiamato coefficiente angolare diretto.. È uguale alla tangente dell'angolo di inclinazione diretta all'asse.
.
Ci capiamo
Ricordiamo questa formula. Esprime il significato geometrico del derivato.
Il derivato della funzione al punto è uguale al coefficiente angolare di tangente, effettuato al grafico della funzione a questo punto.
In altre parole, il derivato è uguale all'angolo di inclinazione tangente.
Abbiamo già detto che la stessa funzione in punti diversi può avere un derivato diverso. Vediamo come il derivato è associato al comportamento della funzione.
Disegna un grafico di qualche funzione. Lasciare che questa funzione sia aumentata su alcune sezioni, su altri - diminuisce, con velocità diverse. E anche se questa funzione ci sarà un punto di massimo e minimo.
Alla fine, la funzione aumenta. Tangenti al grafico, effettuato al punto, forma un angolo acuto con una direzione di assi positiva. Quindi, al punto il derivato è positivo.
Alla fine, la nostra funzione diminuisce. Tanner a questo punto forma uno stupido angolo con una direzione di asse positiva. Dal momento che l'angolo opaco tangente è negativo, un derivato è negativo nel punto.
Questo è ciò che si scopre:
Se la funzione aumenta, il suo derivato è positivo.
Se diminuisce, il suo derivato è negativo.
E cosa sarà nei punti del massimo e minimo? Vediamo che nei punti (punto massimo) e (punto minimo) orizzontale tangente. Di conseguenza, il tangente angolo di inclinazione tangente in questi punti è zero, e anche il derivato è zero.
Il punto è un punto massimo. A questo punto, la funzione crescente è sostituita dal decrescente. Di conseguenza, il segno dei cambiamenti derivati \u200b\u200bin un punto con un "vantaggio" a "meno".
Alla fine - il punto del minimo - anche il derivato è zero, ma il suo segno cambia da "meno" al "Plus".
Conclusione: con l'aiuto di un derivato, puoi conoscere il comportamento della funzione tutto ciò che ci interessa.
Se il derivato è positivo, la funzione aumenta.
Se il derivato è negativo, la funzione diminuisce.
Alla fine del massimo, il derivato è zero e cambia il segno dal "Plus" a "meno".
Alla fine del minimo, il derivato è anche zero e cambia il segno da "meno" al "Plus".
Scriviamo queste conclusioni sotto forma di un tavolo:
| aumenti | punto massimo | diminuire | punto di minimo. | aumenti | |
| + | 0 | - | 0 | + |
Faremo due piccoli chiarimenti. Uno di loro avrà bisogno di te quando si risolve i compiti dell'uso. Altro - Nel primo anno, con uno studio più serio di funzioni e derivati.
Un caso è possibile quando il derivato della funzione a un certo punto è zero, ma non massimo, nessuna funzione minima a questo punto a questo punto. Questo è il cosiddetto :
Al punto tangente alla grafica dell'orizzontale e il derivato è zero. Tuttavia, la funzione della funzione è aumentata - e dopo il punto continua ad aumentare. Il segno del derivato non cambia - è stato positivo e rimasto.
Succede anche che al punto del massimo o minimo, il derivato non esiste. Sul grafico, corrisponde a una rottura forte quando la tangente è impossibile a questo punto.
E come trovare un derivato se la funzione non è specificata dal programma, ma dalla formula? In questo caso, applicato