Докажем теперь некоторые специальные свойства замкнутых и открытых множеств.
Теорема 1. Сумма конечного или счетного числа открытых множеств есть открытое множество. Произведение конечного числа открытых множеств есть открытое множество,
Рассмотрим сумму конечного или счетного числа открытых множеств:
Если , то Р принадлежит по крайней мере одному из Пусть Так как - открытое множество, то некоторая -окрестность Р также принадлежит Эта же -окрестность Р принадлежит и сумме g, откуда и следует, что g есть открытое множество. Рассмотрим теперь конечное произведение
и пусть Р принадлежит g. Докажем, как и выше, что и некоторая -окрестность Р принадлежит g. Раз Р принадлежит g, то Р принадлежит всем . Так как - открытые множества, то для любого существует некоторая -окрестность точки принадлежащая . Если число взять равным наименьшему из число которых конечно, то -окрестность точки Р будет принадлежать всем а следовательно, и g. Отметим, что нельзя утверждать, что произведение счетного числа открытых множеств есть открытое множество.
Теорема 2. Множество CF - открытое и множество СО - замкнутое.
Докажем первое утверждение. Пусть Р принадлежит CF. Надо доказать, что некоторая - окрестность Р принадлежит CF. Это следует из того, что, если бы в любой -окрестности Р находились точки F, точка Р, не принадлежащая по условию была бы предельной для F точкой и, в силу замкнутости должна была бы принадлежать что приводит к противоречию.
Теорема 3. Произведение конечного или счетного числа замкнутых множеств есть замкнутое множество. Сумма конечного числа замкнутых множеств есть замкнутое множество.
Докажем, например, что множество
замкнуто. Переходя к дополнительным множествам, можем написать
По теореме открытые множества, и, согласно теореме 1, множество тоже открытое, и тем самым дополнительное множество g замкнуто. Отметим, что сумма счетного числа замкнутых множеств может оказаться и незамкнутым множеством.
Теорема 4. Множество есть открытое множество и множество замкнутое.
Легко проверить следующие равенства:
Из них, в силу предыдущих теорем, следует теорема 4.
Мы будем говорить, что множество g покрыто системой М некоторых множеств, если всякая точка g входит по крайней мере в одно из множеств системы М.
Теорема 5 (Бореля). Если замкнутое ограниченное множество F покрыто бесконечной системой а открытых множеств О, то из этой бесконечной системы можно извлечь конечное число открытых множеств, которые также покрывают F.
Доказываем эту теорему от обратного. Положим, что никакое конечное число открытых множеств из системы а не покрывает и приведем это к противоречию. Раз F - ограниченное множество, то все точки F принадлежат некоторому конечному двумерному промежутку . Разобьем этот замкнутый промежуток на четыре равные части, деля промежутки пополам. Каждый из полученных четырех промежутков будем брать замкнутым. Те точки F, которые попадут на один из этих четырех замкнутых промежутков, будут, в силу теоремы 2, представлять собой замкнутое множество, и по крайней мере одно из этих замкнутых множеств не может быть покрыто конечным числом открытых множеств из системы а. Берем тот из указанных выше четырех замкнутых промежутков, где это обстоятельство имеет место. Этот промежуток опять делим на четыре равные части и рассуждаем так же, как и выше. Таким образом, получим систему вложенных промежутков из которых каждый следующий представляет собой четвертую часть предыдущего, и имеет место следующее обстоятельство: множество точек F, принадлежащих при любом k не может быть покрыто конечным числом открытых множеств из системы а. При беспредельном возрастании k промежутки будут беспредельно сжиматься к некоторой точке Р, которая принадлежит всем промежуткам . Поскольку при любом k содержат бесчисленное множество точек точка Р является предельной точкой для а потому и принадлежит F, ибо F - замкнутое множество. Тем самым точка Р покрывается некоторым открытым множеством принадлежащим к системе а. Некоторая -окрестность точки Р будет также принадлежать открытому множеству О. При достаточно больших значениях k промежутки Д попадут внутрь указанной выше -окрестности точки Р. Тем самым эти будут целиком покрыты только одним открытым множеством O системы а, а это противоречит тому, что точки принадлежащие при любом k не могут быть покрыты конечным числом открытых множеств, принадлежащих а. Тем самым теорема доказана.
Теорема 6. Открытое множество может быть представлено как сумма счетного числа полуоткрытых промежутков попарно без общих точек.
Напомним, что полуоткрытым промежутком на плоскости мы называем конечный промежуток, определяемый неравенствами вида .
Нанесем на плоскости сетку квадратов со сторонами, параллельными осям, и с длиной стороны, равной единице. Множество этих квадратов есть счетное множество. Выберем из этих квадратов те квадраты, все точки которых принадлежат заданному открытому множеству О. Число таких квадратов может быть конечным или счетным, а может быть таких квадратов вовсе не будет. Каждый из оставшихся квадратов сетки разделим на четыре одинаковых квадрата и из вновь полученных квадратов выберем опять те, все точки которых принадлежат О. Каждый из оставшихся квадратов опять делим на четыре равные части и отбираем те квадраты, все точки которых принадлежат О, и т. д. Покажем, что всякая точка Р множества О попадет в один из выбранных квадратов, все точки которого принадлежат О. Действительно, пусть d - положительное расстояние от Р до границы О. Когда мы дойдем до квадратов, диагональ которых меньше , то можно, очевидно, утверждать, что точка Р уже попала в квадрат, все томки которого принадлежат О. Если выбранные квадраты считать полуоткрытыми, то они не будут попарно иметь общих точек, и теорема доказана. Число отобранных квадратов будет обязательно счетным, так как конечная сумма полуоткрытых промежутков не есть, очевидно, открытое множество. Обозначая через ДЛ те полуоткрытые квадраты, которые мы получили в результате указанного выше построения, можем написать
Типы множеств вещественной прямой
Положение точки относительно множества A
Односторонние окрестности
Топология вещественной прямой
Числовые множества
Основные множества чисел это отрезок и интервал (a; b).
Числовое множество A называется ограниченным сверху , если существует такое число M, что a £ M для любого a Î A. Число M в этом случае называется верхней гранью или мажорантой множества.
Супремумом множества A, sup A называется …
… наименьшая из его мажорант;
… число M такое, что a £ M для любого a Î A и в любой окрестности M есть элемент множества A;
Аналогично вводятся понятия «ограниченное снизу », «миноранта » (нижняя грань), и «инфимум » (точная нижняя грань).
Полнота вещественной прямой (равносильные формулировки)
1. Свойство вложенных отрезков. Пусть заданы отрезки É É … É É … Они имеют хотя бы одну общую точку. Если длины отрезков можно выбрать сколь угодно малыми, то такая точка единственна.
Следствие: метод дихотомии для теорем существования . Пусть задан отрезок . Делим его пополам и выбираем одну из половин (так, чтобы она обладала нужным свойством). Эту половину обозначим через . Продолжаем этот процесс неограниченно. Получим систему вложенных отрезков, длины которых приближаются к 0. Значит, они имеют ровно одну общую точку. Осталось доказать, что она и будет искомой.
2. Для любого непустого ограниченного сверху множества существует супремум.
3. Для любых двух непустых множеств, одно из которых лежит левее другого, существует разделяющая их точка (существование сечений).
Окрестности:
U(x) = (a, b), a < x < b; Ue(x) = (x – e; x + e), e > 0;
U(¥) = (–¥; a) U (b; ¥), Ue(¥) = (–¥; –e) U (e; +¥), e > 0;
U(+¥) = (e; +¥); U(–¥) = (–¥; –e).
Проколотые окрестности:
Ǔ(x) = (a, x) U (x, b) = U(x) \ {x}; Ǔe(x) = (x – e; x) U (x; x + e) = Ue(x) \ {x}
Ue–(x) = (x – e; x], e > 0; Ue+(x) = }