Hiperbola și proprietățile sale
Note de curs 14.
Hiperbola și parabola și proprietățile lor. Ecuații de elipsă, hiperbolă și parabolă în sistemul de coordonate polare.
Literatură.§ 20, 21.
Definiția 1. O hiperbolă se numește de obicei o mulțime de puncte dintr-un plan, pentru fiecare dintre acestea modulul diferenței de distanțe la două puncte fixe și, aparținând aceluiași plan, este o valoare constantă mai mică decât distanța dintre puncte și.
Punctele și, ca și în cazul elipsei, vor fi numite trucuri. Evident, trebuie presupus că focarele nu coincid unele cu altele. Fie și modulul diferenței de distanțe de la punctul hiperbolei la focare să fie egale. Apoi, după cum rezultă din definiție
Din inegalitățile care leagă laturile unui triunghi, rezultă că nu există puncte M pentru care. Rețineți că această diferență este egală dacă și numai dacă M se află pe o linie și nu aparține segmentului dintre focare. De asemenea, vom presupune că a ¹ 0, în caz contrar, punctele care îndeplinesc această condiție formează bisectoarea perpendiculară a segmentului.
Să derivăm ecuația hiperbolei. Ca și în cazul unei elipse, introducem un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare, pe care îl vom numi și noi canonic, a cărei axă de abscisă conține focarele și, iar axa ordonatelor coincide cu bisectoarea perpendiculară a segmentului (Fig. 67). În acest sistem coordonatele focarelor sunt: . Un punct se află pe o hiperbolă dacă și numai dacă coordonatele sale satisfac ecuația:
Să simplificăm această ecuație. Să extindem modulul: , și să „separam” unul dintre radicali: . Să pătram ambele părți ale ecuației rezultate:
După simplificări obținem: . Să pătram din nou ambele părți: , sau
Din cauza inegalității (17.1), în legătură cu aceasta există un număr b, pentru care
Apoi. Împărțind ambele părți ale acestei egalități la, obținem în sfârșit:
Totuși, coordonatele oricărui punct al hiperbolei satisfac ecuația (17.4). Să arătăm contrariul. Să luăm un punct arbitrar ale cărui coordonate sunt soluția acestei ecuații. Lăsați-l să fie. Vom suna aceste numere raze focale punctele M. Ar trebui să arătăm că. Din ecuația (17.4) rezultă că
Deoarece, deci, înlocuind y în această expresie folosind formula (17.6), obținem:
Din formula (17.3) rezultă că. Din acest motiv. Astfel,
În mod similar se arată că
Să extindem modulele din formulele rezultate. Lăsați-l să fie. Apoi, în legătură cu aceasta. Din inegalitate (17.5) rezultă că. Întrucât, înmulțind aceste inegalități, obținem: . Rezultă că. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ și.
Lăsați-l să fie. Apoi și. Din inegalitatea (17.5) rezultă că, înmulțind-o cu inegalitatea, obținem: or. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ și. Atât în primul cât și în al doilea caz, modulul diferenței razelor focale este constant și egal. Ecuația (17.4) este ecuația unei hiperbole. Se numește canonic.
Să luăm în considerare proprietățile unei hiperbole care ne vor permite să-i construim imaginea. În primul rând, găsim punctele sale de intersecție cu axele sistemului de coordonate canonice. Punctul să servească drept punct de intersecție al hiperbolei cu axa x. Apoi din ecuația (17.4) rezultă că, ᴛ.ᴇ. fie sau. Hiperbola intersectează axa x în două puncte: . Nu intersectează axa y. Într-adevăr, dacă punctul se află pe o hiperbolă, atunci numărul satisface ecuația: ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ nu are rădăcini reale. Punctele sunt numite culmi hiperbole și numere OŞi b- ea semiaxele reale și imaginare .
Dacă un punct se află pe o hiperbolă, atunci, după cum urmează din ea ecuație canonică, punctele și, de asemenea, se află pe hiperbolă. Rezultă că hiperbola este simetrică față de axele și central simetrică față de originea sistemului de coordonate canonic. Din acest motiv, este suficient să construim punctele hiperbolei situate în primul cadran de coordonate și apoi să le reflectăm simetric în raport cu axele și originea sistemului de coordonate. Din formula (17.6) rezultă că în acest trimestru hiperbola coincide cu graficul funcției. Prin mijloace analiză matematică se dovedește că pentru această funcție este continuă, netedă și crescătoare. În același timp, are o asimptotă. După cum se dovedește în cursul analizei matematice, o linie dreaptă dacă și numai atunci servește ca asimptotă a funcției când, când În acest caz
Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, direct ‑asimptotă a hiperbolei din primul cadran de coordonate. Deoarece hiperbola este simetrică față de axele de coordonate, aceeași linie dreaptă îi servește ca asimptotă în al treilea trimestru, iar linia dreaptă îi servește ca asimptotă în al doilea și al patrulea trimestru. Hiperbola este prezentată în Figura 67.
Să indicăm o metodă de construire a punctelor unei hiperbole folosind busole și o riglă. Fie și focarele sale și și fie punctele de intersecție cu axa absciselor. Să construim un cerc a cu centrul în punctul din rază r. În continuare, mărim deschiderea busolei cu lungimea segmentului și construim un cerc b cu centrul într-un punct cu o rază. Este clar că punctele de intersecție ale cercurilor a și b se află pe hiperbolă. Schimbarea razei r puteți construi orice număr de puncte de hiperbolă (Fig. 68).
O hiperbolă, ca o elipsă, are proprietatea directorială.
Definiția 2. Excentricitatea unei hiperbole este de obicei înțeleasă ca un număr egal cu:
Din inegalitatea (17.1) rezultă că pentru o hiperbolă (comparați, pentru o elipsă excentricitatea este mai mică decât unu). Să aflăm cum se schimbă forma hiperbolei dacă excentricitatea ei ia valori de la 1 la + .. Apoi din formula (17.9) obținem: . Fie e® 1, atunci o ® c. După cum am observat deja, în acest caz hiperbola „se comprimă”, ramurile sale se apropie de cele două raze ale axei x, ale căror începuturi se află în focarele sale. Când a ® 0, ramurile hiperbolei „se îndreptă” spre bisectoarea perpendiculară a segmentului, ᴛ.ᴇ. la axa ordonatelor.
Definiția 3.Linii directe definite de ecuațiile:
se numesc directrice ale unei hiperbole.
Se crede că regizoarea corespunde focalizării și focalizării. De atunci. Din acest motiv, directricele intersectează axa x în punctele interne ale segmentului închis între vârfurile hiperbolei (Fig. 69). Să demonstrăm proprietatea directorială a unei hiperbole.
Teorema. O hiperbolă este mulțimea tuturor punctelor planului, pentru fiecare dintre acestea raportul dintre distanța de la acest punct la focar și distanța la directrixa corespunzătoare acestui focar este un număr constant egal cu excentricitatea.
Dovada. Să fie dată o hiperbolă. Vom presupune că avionul are sistemul său de coordonate canonic. Luați în considerare un punct situat pe o hiperbolă. Să notăm cu și distanțele sale față de directrice și. Din formula de calcul a distanței de la un punct la o dreaptă (vezi § 14) rezultă că, . Să găsim relațiile și, unde și sunt razele focale ale punctului M. Din egalitățile (17.7) - (17.9), obținem: și. Din acest motiv.
Să arătăm contrariul. Fie raportul dintre distanța de la un anumit punct M la focarul hiperbolei și distanța de la acesta la directriza corespunzătoare să fie egal cu excentricitatea. Să verificăm dacă punctul se află pe hiperbolă. Vom efectua dovada pentru focalizare și directrice. Pentru al doilea focus și directrix, raționamentul este similar. Fie date coordonatele punctului: . Apoi. Distanța până la directoare este: . De atunci. De aici
Deoarece (vezi (17.3)), atunci, sau. Punct M aparține hiperbolei, teorema este dovedită.
Proprietățile directoare ale elipsei și hiperbolei ne permit să abordăm diferit definirea acestor curbe. Din teoremele dovedite rezultă că, dacă pe un plan sunt date o dreaptă (directrice) și un punct (focus) care nu se află pe această dreaptă, atunci mulțimea tuturor punctelor planului, pentru fiecare dintre ele raportul dintre distanța până la focalizare până la distanța la directrice este egală cu un număr constant, este o elipsă dacă acest număr este mai mic de unu și o hiperbolă dacă este mai mare decât unu. Răspunsul la întrebarea ce formă are această mulțime dacă raportul este egal cu unu va fi dat în paragraful următor.
Să răspundem la întrebarea ce formă are o mulțime de puncte, pentru fiecare dintre acestea raportul dintre distanța la punct și distanța față de linia dreaptă care nu conține acest punct este egal cu unul. Vom arăta că un astfel de set de puncte este bine cunoscut din cursul de algebră școlară coincide cu o parabolă.
Definiția 1. Setul de puncte din plan, pentru fiecare dintre care distanța până la un punct fix din plan este egală cu distanța până la o dreaptă fixă care nu conține acest punct, este de obicei numit parabolă.
Punctul și linia, care sunt menționate în definiție, vor fi numite, respectiv se concentrezeŞi directoare parabole. Vom presupune, de asemenea, că excentricitatea parabolei egal cu unu. Nu este greu de aflat care este setul de puncte care satisfac Definiția 1 dacă accentul se află pe directrice. În cazul în care F- concentrare, d- directoarea și M- punctul multimii, apoi in acest caz segmentul FM perpendicular d. Din acest motiv, un astfel de set coincide cu o linie care trece prin focar perpendicular pe directrice.
Să derivăm ecuația parabolei. Pentru a face acest lucru, alegem un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare, astfel încât axa x să treacă prin focar Fși era perpendicular pe darectrice d parabola și începutul ei DESPRE a coincis cu mijlocul segmentului cuprins între F și punct Q intersecția axei x și a directricei. Direcția axei absciselor este determinată de vector (Fig. 71). Vom numi un astfel de sistem de coordonate canonic. Să notăm prin p lungimea segmentului FQ, Număr r numit de obicei parametru focal parabole. Apoi în sistemul de coordonate canonic al focarului Fși ecuația directricei d are forma: ,
Să luăm în considerare un punct arbitrar. distanţă r din M la F este egal cu: . Lungimea perpendicularei d a scăzut de la M către directoare d, conform formulei de calcul a distantei de la un punct la o dreapta (vezi § 14), are forma: . Din acest motiv, din Definiția 1 rezultă că punctul M se află pe o parabolă dacă și numai dacă
Ecuația (18.1) este ecuația unei parabole. Este extrem de important pentru noi să o simplificăm. Pentru a face acest lucru, pătrați ambele părți:
Rezultă că
După ce aducem termeni similari, obținem:
Totuși, dacă punctul aparține unei parabole, atunci coordonatele sale satisfac ecuația (18.4). Nu este greu să verifici contrariul. Dacă coordonatele punctului M servesc ca soluție pentru ecuația (18.4), atunci ele satisfac ecuațiile (18.3) și (18.2). Recuperare rădăcină pătrată din ambele părți ale egalității (18.2), obținem că coordonatele punctului M satisface (18.1). Ideea se află pe parabolă.
Ecuația (18.4) se numește ecuație canonică parabole. Să notăm proprietățile sale. Început DESPRE al sistemului de coordonate canonic se află pe parabolă, deoarece este o soluție a ecuației (18.4). De obicei se numește vârf. Parabola este simetrică față de axa absciselor și nu simetrică față de axa ordonatelor sistemului canonic. Într-adevăr, dacă coordonatele unui punct satisfac ecuația (18.4), atunci coordonatele punctului satisfac și ecuația (18.4), iar coordonatele punctului nu sunt o soluție a acestei ecuații. Cu toate acestea, pentru a construi o parabolă, este suficient să desenați un grafic functie de putere, apoi afișați-l simetric față de axa x. Folosind analiza matematică, se dovedește că este o funcție continuă, netedă și în creștere infinită. Parabola este prezentată în figura 71.
Să luăm în considerare o metodă de construire a punctelor de parabolă. Lasă F- concentrarea ei și d- directoare. Să desenăm axa de simetrie a parabolei, ᴛ.ᴇ. direct l conţinând Fși perpendiculară d. În continuare, vom construi mai multe linii drepte perpendiculare pe axă. Pe fiecare linie dreaptă definim două puncte de intersecție cu cercul, al căror centru se află la focar F, iar raza este egală cu distanța dintre această linie și directrice (vezi Fig. 72). Este clar că aceste puncte se află pe o parabolă.
Fie curba g o elipsă, o ramură a unei hiperbole sau o parabolă. Lasă F- focus, și d este directriza curbei g corespunzătoare acestui focar. În acest caz, vom presupune că, în cazul unei hiperbole, focarul și directriza sunt alese astfel încât ramura curbei luate în considerare să se afle în același semiplan în raport cu d ca și focarul. F. Vom presupune, de asemenea, că polul sistemului de coordonate polare coincide cu F, iar axa polară l- se află pe axa de simetrie și nu intersectează directricea d (Fig. 74). Să restabilim în punctul F o perpendiculară pe l, R- punctul de intersecție cu γ. Să notăm prin r lungimea segmentului FP. Număr r vom numi parametrul focal g.
Să notăm cu r și j - coordonate polare puncte M. Reamintim că, în cazul nostru, și j este unghiul de orientare dintre axa polară lși vector. Să notăm prin QŞi N proiecții punctuale RŞi M către directoare d, și prin LA- proiecție M faţă de axa de simetrie a curbei g (vezi Fig. 74). Apoi, în caz că R- punctul de intersecție al directricei dși axele de simetrie l, apoi De la proiecția pe l are forma: , a, atunci. Să folosim proprietatea directorială a unei curbe de ordinul doi. Dacă e este excentricitatea g, atunci. Din acest motiv, a. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, . Înmulțind acest raport cu e și selectând r, obținem în sfârșit:
Ecuația (18.6) este de obicei numită ecuația polară curba de ordinul doi g.
Fie e< 1. Тогда g представляет собой эллипс. В этом случае для любого j: . Так как полярный радиус всегда положителен, то для любого угла φ существует значение, ρ определяемое формулой (18.6), для которого точка M(r; j) se află pe elipsă. Orice rază cu originea la polul sistemului de coordonate polare intersectează elipsa (Fig. 75). Dacă e = 1, atunci g este o parabolă. În acest caz, pentru orice j: , și pentru j = 0. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, în ecuația (18.6) j ia toate valorile pe jumătate de interval (- p; p] , cu excepția 0. Orice rază cu începutul la focarul F, cu excepția axei polare, intersectează parabola (Fig. 76). Luați în considerare cazul când e > 1. Atunci g este o ramură a hiperbolei După cum rezultă din ecuația (18.6), unghiul j satisface inegalitate.
Să rezolvăm această inegalitate. Lăsați-l să fie. De atunci. Să folosim formule care exprimă excentricitatea hiperbolei prin semiaxele sale și distanța dintre focare (vezi § 17), obținem: , ᴛ.ᴇ. . Este ușor de observat că j este o soluție a inegalității (18.7) dacă și numai dacă, . Geometric, aceasta înseamnă că dacă unghiul φ aparține segmentului [; ], atunci raza care face un unghi j cu axa polară și cu originea la focarul F nu intersectează ramura hiperbolei. Rețineți că razele formând unghiuri cu axa polară egale și paralele cu asimptotele hiperbolei (Fig. 77). Se poate dovedi că dacă în plan sunt introduse coordonate polare generalizate (vezi § 9), atunci ecuația (18.6) definește în cazul a doua ramură a hiperbolei.
Hiperbola și proprietățile sale - concept și tipuri. Clasificarea și caracteristicile categoriei „Hiperbola și proprietățile sale” 2017, 2018.
Hiperbolă este locul geometric al punctelor din plan ale căror coordonate satisfac ecuația
Parametrii hiperbolei:
Puncte F 1 (–c, 0), F 2 (c, 0), unde sunt numite trucuri hiperbole, cu magnitudinea 2 Cu (Cu > o> 0) defineşte distanta interfocala . Puncte O 1 (–O, 0), O 2 (O, 0) sunt numite vârfurile unei hiperbole , în timp ce O 1 O 2 = 2O forme axa reală hiperbole și ÎN 1 ÎN 2 = 2b – imaginar axa ( ÎN 1 (0, –b), B 2 (0, b)), DESPRE – centru hiperbolă.
 |
Magnitudinea numit excentricitate hiperbolele, caracterizează măsura „compresiei” hiperbolei;
– raze focale
hiperbole (punctul M aparține unei hiperbole), și r 1 = o + εx, r 2 = –o + εx pentru punctele din ramura dreaptă a hiperbolei, r 1 = – (o + εx), r 2 = – (–o + εx) – pentru punctele ramului stâng;
– directoare
hiperbolă;
– ecuații de asimptote .
Pentru o hiperbolă este adevărată: ε
> 1, directricele nu intersectează limita și interiorul hiperbolei și au, de asemenea, proprietatea 
Ei spun că ecuația
seturi ecuația unei hiperbole conjugată la un dat (Fig. 20). Se poate scrie și sub formă
În acest caz, axa este imaginară, focarele se află pe axă. Toți ceilalți parametri sunt determinați în mod similar ca pentru hiperbola (25).
 |
Punctele unei hiperbole au o proprietate caracteristică importantă: valoarea absolută a diferenței de distanțe de la fiecare dintre ele la focare este o valoare constantă egală cu 2 o(Fig. 19).
Pentru setare parametrica hiperbolele ca parametru t se poate lua unghiul dintre vectorul rază al unui punct situat pe hiperbolă și direcția pozitivă a axei Bou:
Exemplul 1. Dați ecuația unei hiperbole
9x 2 – 16y 2 = 144
la forma canonică, găsiți parametrii acesteia, desenați o hiperbolă.
Soluţie. Să împărțim părțile stânga și dreaptă ale ecuației date la 144: Din ultima ecuație rezultă direct: o = 4, b = 3, c = 5, O(0, 0) este centrul hiperbolei. Focalizările sunt în puncte F 1 (–5, 0) și F 2 (5, 0), excentricitate ε = 5/4, directoare D 1 și D 2 sunt descrise prin ecuații D 1: x = –16/5, D 2: x= 16/5, asimptote l 1 și l 2 au ecuații
Să facem un desen. Pentru a face acest lucru, de-a lungul axelor BouŞi Oi simetric fata de punctul (0, 0) trasam segmentele O 1 O 2 = 2O= 8 și ÎN 1 ÎN 2 = 2b= 6 respectiv. Prin punctele primite O 1 (–4, 0), O 2 (4, 0), ÎN 1 (0, –3), ÎN 2 (0, 3) trasăm linii drepte paralele cu axele de coordonate. Ca rezultat, obținem un dreptunghi (Fig. 21), ale cărui diagonale se află pe asimptotele hiperbolei. Construirea unei hiperbole
 |
Pentru a găsi unghiul φ între asimptotele hiperbolei folosim formula
.
,
de unde o luăm 
Exemplul 2 . Determinați tipul, parametrii și locația pe planul curbei a cărei ecuație
Soluţie. Folosind metoda de izolare a pătratelor perfecte, simplificăm partea dreaptă a acestei ecuații:
Obținem ecuația
care prin împărțirea la 30 se reduce la forma
Aceasta este ecuația unei hiperbole, al cărei centru se află în punctul semiaxa reală - semiaxa imaginară - (Fig. 22).
 |
Exemplul 3. Creați o ecuație pentru o hiperbolă, conjugată cu hiperbolă, determinați parametrii ei și faceți un desen.
Soluţie. Ecuația unei hiperbole conjugate la una dată este -
Semiaxa reală b= 3, imaginar – O= 4, jumătate din distanța focală Vârfurile hiperbolei sunt punctele B 1 (0, –3) și ÎN 2 (0, 3); concentrările ei sunt în puncte F 1 (0, –5) și F 2 (0, 5); excentricitate ε = Cu/b= 5/3; directoare D 1 și D 2 sunt date de ecuații D 1: y = –9/5, D 2: y= 9/5; ecuațiile sunt ecuații de asimptote (Fig. 23).
 |
Rețineți că pentru hiperbolele conjugate elemente comune sunt „dreptunghiul” auxiliar și asimptotele.
Exemplul 4. Scrieți ecuația unei hiperbole cu semiaxele oŞi b (o > 0, b> 0), dacă se știe că axele sale principale sunt paralele cu axele de coordonate. Determinați parametrii principali ai unei hiperbole.
Soluţie. Ecuația necesară poate fi considerată ca o ecuație de hiperbolă care se obține ca rezultat al transferului paralel al vechiului sistem de coordonate la vectorul în care ( x 0 , y 0) este centrul hiperbolei în „vechiul” sistem de coordonate. Apoi, folosind relațiile dintre coordonatele unui punct arbitrar M planuri în sistemele date şi transformate
Hiperbolă este o curbă plată, pentru fiecare punct din care modulul diferenței de distanțe la două puncte date ( trucuri de hiperbolă
) este constantă. Distanța dintre focarele unei hiperbole se numește distanta focala
și se notează cu \(2c\). Mijlocul segmentului care leagă focarele se numește centru. O hiperbolă are două axe de simetrie: o axă focală sau reală care trece prin focare și o axă imaginară perpendiculară pe aceasta, care trece prin centru. Axa reală intersectează ramurile hiperbolei în punctele numite culmi. Segmentul care leagă centrul hiperbolei cu vârful se numește semiaxă reală
și se notează cu \(a\). Semiaxa imaginară
notat cu simbolul \(b\). Ecuația canonică a hiperbolei
scris sub forma
\(\large\frac(((x^2)))(((a^2)))\normalsize - \large\frac(((y^2)))(((b^2)))\ normalsize = 1\).
Modulul diferenței de distanțe de la orice punct al hiperbolei la focarele sale este o valoare constantă:
\(\left| ((r_1) - (r_2)) \right| = 2a\),
unde \((r_1)\), \((r_2)\) sunt distanțele de la un punct arbitrar \(P\left((x,y) \right)\) al hiperbolei la focarele \((F_1) \) și \( (F_2)\), \(a\) este semiaxa reală a hiperbolei.
Ecuațiile asimptotelor hiperbolelor
\(y = \pm \large\frac(b)(a)\normalsize x\)
Relația dintre semiaxele hiperbolei și distanța focală
\((c^2) = (a^2) + (b^2)\),
unde \(c\) este jumătate din distanța focală, \(a\) este semiaxa reală a hiperbolei, \(b\) este semiaxa imaginară.
Excentricitate
hiperbole
\(e = \large\frac(c)(a)\normalsize > 1\)
Ecuații ale directricelor unei hiperbole
Directoarea unei hiperbole este o dreaptă perpendiculară pe axa sa reală și care o intersectează la o distanță \(\large\frac(a)(e)\normalsize\) de centru. O hiperbolă are două directrice, situate pe laturile opuse ale centrului. Ecuațiile directrice au forma
\(x = \pm \large\frac(a)(e)\normalsize = \pm \large\frac(((a^2)))(c)\normalsize\).
Ecuația ramului drept al unei hiperbole în formă parametrică
\(\left\( \begin(aligned) x &= a \cosh t \\ y &= b \sinh t \end(aligned) \right., \;\;0 \le t \le 2\pi\ ),
unde \(a\), \(b\) sunt semiaxele hiperbolei, \(t\) este parametrul.
Ecuația generală a hiperbolei
unde \(B^2 - 4AC > 0\).
Ecuația generală a unei hiperbole ale cărei semi-axe sunt paralele cu axele de coordonate
\(A(x^2) + C(y^2) + Dx + Ey + F = 0\),
unde \(AC
Hiperbola echilaterală
Hiperbola se numește echilateral
, dacă semiaxele sale sunt aceleași: \(a = b\). Pentru o astfel de hiperbolă, asimptotele sunt reciproc perpendiculare. Dacă asimptotele sunt axele de coordonate orizontală și verticală (respectiv, \(y = 0\) și \(x = 0\)), atunci ecuația unei hiperbole echilaterale are forma
\(xy = \large\frac(((e^2)))(4)\normalsize\) sau \(y = \large\frac(k)(x)\normalsize\), unde \(k = \ mare\frac(e^2)(4)\normalsize .\)
Parabolă se numește curbă plană, în fiecare punct al căruia este valabilă următoarea proprietate: distanța până la un punct dat ( focarul unei parabole
) este egală cu distanța până la o linie dreaptă dată ( directrice ale unei parabole
). Se numește distanța de la focalizare la directrice parametrul parabolei
și se notează cu \(p\). O parabolă are o singură axă de simetrie, care intersectează parabola la ea top
. Ecuația parabolei canonice
arata ca
\(y = 2px\).
Ecuația directrice
\(x = - \large\frac(p)(2)\normalsize\),
Coordonatele de focalizare
\(F \left((\large\frac(p)(2)\normalsize, 0) \right)\)
Coordonatele vârfurilor
\(M \left((0,0) \dreapta)\)
Ecuația generală a unei parabole
\(A(x^2) + Bxy + C(y^2) + Dx + Ey + F = 0\),
unde \(B^2 - 4AC = 0\).
Ecuația unei parabole a cărei axă de simetrie este paralelă cu axa \(Oy\)
\(A(x^2) + Dx + Ey + F = 0\;\left((A \ne 0, E \ne 0) \right) \),
sau în formă echivalentă
\(y = a(x^2) + bx + c,\;\;p = \large\frac(1)(2a)\normalsize\)
Ecuația directrice
\(y = (y_0) - \large\frac(p)(2)\normalsize\),
unde \(p\) este parametrul parabolei.
Coordonatele de focalizare
\(F\left(((x_0),(y_0) + \large\frac(p)(2)\normalsize) \right)\)
Coordonatele vârfurilor
\((x_0) = - \large\frac(b)((2a))\normalsize,\;\;(y_0) = ax_0^2 + b(x_0) + c = \large\frac((4ac - ( b^2)))((4a))\normalsize\)
Ecuația unei parabole cu un vârf la origine și o axă de simetrie paralelă cu axa \(Oy\)
\(y = a(x^2),\;\;p = \large\frac(1)((2a))\normalsize\)
Ecuația directrice
\(y = - \large\frac(p)(2)\normalsize\),
unde \(p\) este parametrul parabolei.
Coordonatele de focalizare
\(F \left((0, \large\frac(p)(2)\normalsize) \right)\)
Coordonatele vârfurilor
\(M \left((0,0) \dreapta)\)
Sugerez ca restul cititorilor să-și completeze în mod semnificativ cunoștințe școlare despre parabolă și hiperbolă. Hiperbola și parabola - sunt simple? ...abia astept =)
Hiperbola și ecuația ei canonică
Structura generală a prezentării materialului se va asemăna cu paragraful anterior. Să începem cu concept general hiperbole și probleme pentru construcția acestuia.
Ecuația canonică a unei hiperbole are forma , unde sunt numere reale pozitive. Vă rugăm să rețineți că, spre deosebire de elipsă, aici nu se impune condiția, adică valoarea „a” poate fi mai putin decat valoarea„bae”.
Trebuie să spun, destul de neașteptat... ecuația hiperbolei „școlare” nici măcar nu seamănă prea mult cu notația canonică. Dar acest mister încă va trebui să ne aștepte, dar deocamdată să ne scărpinăm în cap și să ne amintim ce trăsături caracteristice are curba in cauza? Să o răspândim pe ecranul imaginației noastre graficul unei funcții ….
O hiperbolă are două ramuri simetrice.
Nu este un progres rău! Orice hiperbolă are aceste proprietăți și acum ne vom uita cu adevărată admirație la decolteul acestei linii:
Exemplul 4
Construiți o hiperbolă dat de ecuaţie
Soluţie: în primul pas, aducem această ecuație la forma canonică. Vă rugăm să rețineți procedura standard. În dreapta trebuie să obțineți „unu”, așa că împărțim ambele părți ale ecuației inițiale la 20: 
Aici puteți reduce ambele fracții, dar este mai optim să faceți fiecare dintre ele cu trei etaje:
Și numai după aceea efectuați reducerea:
Selectați pătratele din numitori:
De ce este mai bine să efectuăm transformări în acest fel? La urma urmei, fracțiile din partea stângă pot fi imediat reduse și obținute. Cert este că în exemplul luat în considerare am fost puțin norocoși: numărul 20 este divizibil atât cu 4, cât și cu 5. În cazul general, un astfel de număr nu funcționează. Luați în considerare, de exemplu, ecuația . Aici cu divizibilitate totul este mai trist și fără fracții cu trei etaje nu mai este posibil: 
Deci, să folosim rodul muncii noastre - ecuația canonică:
Cum se construiește o hiperbolă?
Există două abordări pentru construirea unei hiperbole - geometrică și algebrică.
Din punct de vedere practic, desenul cu busola... aș spune chiar utopic, așa că este mult mai profitabil să folosești încă o dată calcule simple pentru a ajuta.
Este recomandabil să respectați următorul algoritm, mai întâi desenul terminat, apoi comentariile:
În practică, o combinație de rotație printr-un unghi arbitrar și translația paralelă a hiperbolei este adesea întâlnită. Această situație este discutată în clasă Reducerea ecuației liniei de ordinul 2 la formă canonică.
Parabola și ecuația ei canonică
S-a terminat! Ea este cea. Gata să dezvăluie multe secrete. Ecuația canonică a unei parabole are forma , unde – număr real. Este ușor de observat că în poziția sa standard parabola „se află pe o parte” și vârful ei este la origine. În acest caz, funcția specifică ramura superioară a acestei linii, iar funcția – ramura inferioară. Este evident că parabola este simetrică față de axă. De fapt, de ce să te deranjezi:
Exemplul 6
Construiți o parabolă
Soluţie: vârful este cunoscut, să găsim puncte suplimentare. Ecuaţie 
determină arcul superior al parabolei, ecuația determină arcul inferior.
Pentru a scurta înregistrarea calculelor, vom efectua calculele „cu o perie”: 
Pentru înregistrarea compactă, rezultatele ar putea fi rezumate într-un tabel.
Înainte de a efectua un desen elementar punct cu punct, să formulăm un strict
Definiția parabolei:
O parabolă este mulțimea tuturor punctelor din plan care sunt echidistante de un punct dat și o dreaptă dată care nu trece prin punctul respectiv.
Punctul se numește se concentreze parabole, linie dreaptă - directoare (ortografiat cu un „es”) parabole. Se numește „pe” constantă a ecuației canonice parametru focal, care este egală cu distanța de la focalizare la directrice. În acest caz. În acest caz, focalizarea are coordonate, iar directriza este dată de ecuația.
În exemplul nostru: 
Definiția unei parabole este chiar mai simplu de înțeles decât definițiile unei elipse și ale unei hiperbole. Pentru orice punct de pe o parabolă, lungimea segmentului (distanța de la focar la punct) este egală cu lungimea perpendicularei (distanța de la punct la directriză):
Felicitări! Mulți dintre voi ați făcut o adevărată descoperire astăzi. Se pare că o hiperbolă și o parabolă nu sunt deloc grafice ale funcțiilor „obișnuite”, ci au o origine geometrică pronunțată.
Evident, odată cu creșterea parametrului focal, ramurile graficului se vor „ridica” în sus și în jos, apropiindu-se infinit de aproape de axă. Pe măsură ce valoarea „pe” scade, acestea vor începe să se comprime și să se întindă de-a lungul axei
Excentricitatea oricărei parabole este egală cu unitatea:
Rotația și translația paralelă a unei parabole
Parabola este una dintre cele mai comune linii în matematică și va trebui să o construiți foarte des. Prin urmare, vă rugăm să acordați o atenție deosebită ultimului paragraf al lecției, unde voi discuta opțiunile tipice pentru locația acestei curbe.
! Nota : ca și în cazurile cu curbele anterioare, este mai corect să vorbim despre rotația și translația paralelă a axelor de coordonate, dar autorul se va limita la o versiune simplificată a prezentării, astfel încât cititorul să aibă o înțelegere. reprezentări elementare despre aceste transformări.
Definiție 7.2. Se numește locul geometric al punctelor din plan pentru care diferența de distanțe la două puncte fixe este constantă hiperbolă.
Observația 7.2. Când vorbim despre diferența de distanțe, ne referim la faptul că distanța mai mică se scade din distanța mai mare. Aceasta înseamnă că, de fapt, pentru o hiperbolă, modulul diferenței de distanțe de la oricare dintre punctele sale la două puncte fixe este constant. #
Definiția unei hiperbole este similară cu definiția elipsă. Singura diferență dintre ele este că pentru o hiperbolă diferența de distanțe față de punctele fixe este constantă, iar pentru o elipsă este suma acelorași distanțe. Prin urmare, este firesc ca aceste curbe să aibă multe în comun atât în proprietățile lor, cât și în terminologia folosită.
Punctele fixe din definiția unei hiperbole (să le notăm F 1 și F 2) se numesc trucuri de hiperbolă. Se numește distanța dintre ele (să-i spunem 2c). distanta focala, iar segmentele F 1 M și F 2 M care leagă un punct arbitrar M de pe o hiperbolă cu focarele sale sunt raze focale.
Tipul hiperbolei este complet determinat de distanța focală |F 1 F 2 | = 2c și valoarea constantei 2a, egală cu diferența dintre razele focale și poziția acesteia pe plan - poziția focarelor F 1 și F 2.
Din definiția unei hiperbole rezultă că, asemenea unei elipse, aceasta este simetrică față de linia care trece prin focare, precum și față de dreapta care împarte segmentul F 1 F 2 în jumătate și este perpendiculară pe acesta. (Fig. 7.7). Prima dintre aceste axe de simetrie se numește axa reală a hiperbolei, iar al doilea - al ei axa imaginară. Valoare constantă iar participarea la definirea unei hiperbole se numește semiaxa reală a hiperbolei.
Punctul de mijloc al segmentului F 1 F 2 care leagă focarele hiperbolei se află la intersecția axelor sale de simetrie și, prin urmare, este centrul de simetrie al hiperbolei, care se numește simplu. centrul hiperbolei.
Pentru o hiperbolă, axa reală 2a nu trebuie să fie mai mare decât distanța focală 2c, deoarece pentru triunghiul F 1 MF 2 (vezi Fig. 7.7) inegalitatea ||F 1 M| - |F 2 M| | ≤ |F 1 F 2 |. Egalitatea a = c este satisfăcută numai pentru acele puncte M care se află pe axa reală de simetrie a hiperbolei în afara intervalului F 1 F 2. Înlăturând acest caz degenerat, vom presupune în continuare că a
Ecuația hiperbolei. Să considerăm o anumită hiperbolă pe planul cu focare în punctele F 1 și F 2 și axa reală 2a. Fie 2c distanța focală, 2c = |F 1 F 2 | > 2a. Conform observației 7.2, o hiperbolă este formată din acele puncte M(x; y) pentru care | |F 1 M| - - |F 2 M| | = 2a. Să alegem sistem de coordonate dreptunghiular Oxy astfel încât centrul hiperbolei să fie la origine, iar focusurile au fost localizate pe axa x(Fig. 7.8). Un astfel de sistem de coordonate pentru hiperbola luată în considerare este numit canonic, iar variabilele corespunzătoare sunt canonic.
În sistemul de coordonate canonic, focarele hiperbolei au coordonate F1 (c; 0) şi F2 (-c; 0). Folosind formula pentru distanța dintre două puncte, scriem condiția ||F 1 M| - |F 2 M|| = 2a în coordonate |√((x - c) 2 + y 2) - √((x + c) 2 + y 2)| = 2a, unde (x; y) sunt coordonatele punctului M. Pentru a simplifica această ecuație, să scăpăm de semnul modulului: √((x - c) 2 + y 2) - √((x + c) 2 + y 2) = ±2a, mutați al doilea radical în partea dreaptă și pătrați-l: (x - c) 2 + y 2 = (x + c) 2 + y 2 ± 4a √((x + c) 2 + y 2) + 4a 2 . După simplificare obținem -εx - a = ±√((x + c) 2 + y 2), sau
√((x + c) 2 + y 2) = |εx + a| (7,7)
unde ε = s/a. Să o pătram a doua oară și să prezentăm din nou termeni similari: (ε 2 - 1)x 2 - y 2 = c 2 - a 2, sau, ținând cont de egalitatea ε = c/a și presupunând b 2 = c 2 - un 2,
x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 (7,8)
Se numește valoarea b > 0 semiaxa imaginară a hiperbolei.
Deci, am stabilit că orice punct de pe o hiperbolă cu focus F 1 (c; 0) și F 2 (-c; 0) și o semiaxă reală a satisface ecuația (7.8). Dar este de asemenea necesar să arătăm că coordonatele punctelor din afara hiperbolei nu satisfac această ecuație. Pentru a face acest lucru, luăm în considerare familia tuturor hiperbolelor cu focare date F 1 și F 2. Această familie de hiperbole are axe de simetrie comune. Din considerente geometrice este clar că fiecare punct al planului (cu excepția punctelor situate pe axa reală de simetrie în afara intervalului F1F2 și a punctelor situate pe axa imaginară de simetrie) aparține unei hiperbole a familiei și numai una, întrucât diferenţa de distanţe de la punct la focarele F 1 şi F 2 se modifică de la hiperbolă la hiperbolă. Fie coordonatele punctului M(x; y) satisface ecuația (7.8), iar punctul însuși aparține unei hiperbole a familiei cu o valoare ã a semiaxei reale. Apoi, după cum am demonstrat, coordonatele sale satisfac ecuația 
În consecință, un sistem de două ecuații cu două necunoscute
are cel putin o solutie. Prin verificare directă suntem convinși că pentru ã ≠ a acest lucru este imposibil. Într-adevăr, excluzând, de exemplu, x din prima ecuație:
după transformări obținem ecuația
care pentru ã ≠ a nu are soluții, întrucât . Deci, (7.8) este ecuația unei hiperbole cu o semiaxă reală a > 0 și o semiaxă imaginară b = √(c 2 - a 2) > 0. Se numește ecuația canonică a hiperbolei.
Un tip de hiperbolă. Prin aspectul său, hiperbola (7.8) diferă semnificativ de elipsă. Având în vedere prezența a două axe de simetrie într-o hiperbolă, este suficient să construim acea parte a acesteia care se află în primul sfert al sistemului de coordonate canonic. În primul trimestru, i.e. pentru x ≥ 0, y ≥ 0, ecuația canonică a hiperbolei este rezolvată în mod unic în raport cu y:
y = b/a √(x 2 - a 2). (7,9)
Studiul acestei funcții y(x) dă următoarele rezultate.
Domeniul de definire al funcției este (x: x ≥ a) și în acest domeniu de definiție este continuu ca functie complexa, iar în punctul x = a este continuă în dreapta. Singurul zero al funcției este punctul x = a.
Să găsim derivata funcției y(x): y"(x) = bx/a√(x 2 - a 2). De aici concluzionăm că pentru x > a funcția crește monoton. În plus, 
, ceea ce înseamnă că în punctul x = a de intersecție a graficului funcției cu axa absciselor există o tangentă verticală. Funcția y(x) are o derivată a doua y" = -ab(x 2 - a 2) -3/2 pentru x > a, iar această derivată este negativă. Prin urmare, graficul funcției este convex în sus și acolo nu sunt puncte de inflexiune.
Această funcție are o asimptotă oblică, aceasta rezultă din existența a două limite:
Asimptota oblică este descrisă de ecuația y = (b/a)x.
Studiul funcției (7.9) ne permite să construim graficul acesteia (Fig. 7.9), care coincide cu partea hiperbolei (7.8) cuprinsă în primul trimestru.
Deoarece hiperbola este simetrică față de axele sale, întreaga curbă are forma prezentată în Fig. 7.10. O hiperbolă este formată din două ramuri simetrice situate la diferite
laturi de axa sa imaginară de simetrie. Aceste ramuri nu sunt limitate pe ambele părți, iar liniile drepte y = ±(b/a)x sunt simultan asimptote ale ramurilor drepte și stângi ale hiperbolei.
Axele de simetrie ale unei hiperbole diferă prin aceea că axele reale intersectează hiperbola, în timp ce axele imaginare, fiind locul punctelor echidistante de focare, nu se intersectează (de aceea se numește imaginare). Cele două puncte de intersecție ale axei reale de simetrie cu hiperbola se numesc vârfurile hiperbolei (punctele A(a; 0) și B(-a; 0) în Fig. 7.10).
Construcția unei hiperbole de-a lungul axelor sale reale (2a) și imaginară (2b) ar trebui să înceapă cu un dreptunghi cu un centru la origine și laturile 2a și 2b, paralel, respectiv, cu axele de simetrie reală și imaginară ale hiperbolei ( Fig. 7.11). Asimptotele hiperbolei sunt continuări ale diagonalelor acestui dreptunghi, iar vârfurile hiperbolei sunt punctele de intersecție a laturilor dreptunghiului cu axa reală de simetrie. Rețineți că dreptunghiul și poziția sa pe plan determină în mod unic forma și poziția hiperbolei. Raportul b/a al laturilor dreptunghiului determină gradul de compresie al hiperbolei, dar în locul acestui parametru se folosește de obicei excentricitatea hiperbolei. Excentricitatea hiperbolei numit raportul dintre distanța sa focală și axa reală. Excentricitatea se notează cu ε. Pentru hiperbola descrisă de ecuația (7.8), ε = c/a. Rețineți că dacă excentricitatea elipsei poate lua valori din jumătate de interval)