Progresii aritmetice și geometrice
Informații teoretice
Informații teoretice
Progresie geometrică |
||
Definiţie |
Progresie aritmetică un n este o succesiune în care fiecare membru, începând cu al doilea, este egal cu membrul anterior adăugat la același număr d (d- diferenta de progresie) |
Progresie geometrică b n este o succesiune de numere diferite de zero, fiecare termen al cărora, începând cu al doilea, este egal cu termenul anterior înmulțit cu același număr q (q- numitorul progresiei) |
Formula de recurență |
Pentru orice natural n |
Pentru orice natural n |
Formula al n-lea termen |
a n = a 1 + d (n – 1) |
b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0 |
| Proprietate caracteristică |  |
|
| Suma primilor n termeni |  |
 |
Exemple de sarcini cu comentarii
Sarcina 1
În progresie aritmetică ( un n) a 1 = -6, a 2
Conform formulei celui de-al n-lea termen:
un 22 = a 1+ d (22 - 1) = a 1+ 21 d
Dupa conditie:
a 1= -6, atunci un 22= -6 + 21 d .
Este necesar să găsiți diferența de progresii:
d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2
un 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.
Raspuns: un 22 = -48.
Sarcina 2
Aflați al cincilea termen al progresiei geometrice: -3; 6;....
Prima metodă (folosind formula n termeni)
Conform formulei pentru al n-lea termen al unei progresii geometrice:
b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.
Deoarece b 1 = -3,
A doua metodă (folosind formula recurentă)
Deoarece numitorul progresiei este -2 (q = -2), atunci:
b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;
b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;
b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.
Raspuns: b 5 = -48.
Sarcina 3
În progresie aritmetică ( a n ) a 74 = 34; un 76= 156. Aflați al șaptezeci și cincilea termen al acestei progresii.
Pentru o progresie aritmetică, proprietatea caracteristică are forma 
.
Din aceasta rezultă:
.
Să înlocuim datele în formula:
Raspuns: 95.
Sarcina 4
În progresie aritmetică ( a n ) a n= 3n - 4. Aflați suma primilor șaptesprezece termeni.
Pentru a afla suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice, se folosesc două formule:
.
Care dintre ele este mai convenabil de utilizat în acest caz?
Prin condiție, formula pentru al n-lea termen al progresiei inițiale este cunoscută ( un n) un n= 3n - 4. Puteți găsi imediat și a 1, Și un 16 fără a găsi d. Prin urmare, vom folosi prima formulă.
Raspuns: 368.
Sarcina 5
În progresie aritmetică ( un n) a 1 = -6; a 2= -8. Găsiți termenul douăzeci și doi al progresiei.
Conform formulei celui de-al n-lea termen:
a 22 = a 1 + d (22 – 1) = a 1+ 21d.
După condiție, dacă a 1= -6, atunci un 22= -6 + 21d . Este necesar să găsiți diferența de progresii:
d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2
un 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.
Raspuns: un 22 = -48.
Sarcina 6
Se scriu mai mulți termeni consecutivi ai progresiei geometrice:
Găsiți termenul progresiei etichetat x.
Când rezolvăm, vom folosi formula pentru al n-lea termen b n = b 1 ∙ q n - 1 Pentru progresii geometrice. Primul termen al progresiei. Pentru a găsi numitorul progresiei q, trebuie să luați oricare dintre termenii dați ai progresiei și să împărțiți la cel anterior. În exemplul nostru, putem lua și împărți prin. Obținem că q = 3. În loc de n, înlocuim 3 în formulă, deoarece este necesar să găsim al treilea termen al unei progresii geometrice date.
Înlocuind valorile găsite în formulă, obținem:
.
Raspuns: .
Sarcina 7
Din progresii aritmetice, dat de formula al n-lea termen, selectați-l pe cel pentru care este îndeplinită condiția un 27 > 9:
Deoarece condiția dată trebuie îndeplinită pentru al 27-lea termen al progresiei, înlocuim 27 în loc de n în fiecare dintre cele patru progresii. În a 4-a progresie obținem:
.
Raspuns: 4.
Sarcina 8
În progresie aritmetică a 1= 3, d = -1,5. Specifica cea mai mare valoare n pentru care inegalitatea este valabilă un n > -6.
Problemele de progresie aritmetică existau deja în timpuri străvechi. Au apărut și au cerut o soluție pentru că aveau o nevoie practică.
Deci, într-unul din papirusuri Egiptul antic„, care are un conținut matematic – papirusul Rhind (sec. XIX î.Hr.) – conține următoarea sarcină: împărți zece măsuri de pâine între zece persoane, cu condiția ca diferența dintre fiecare dintre ele să fie de o opteme din măsură”.
Și în lucrările de matematică ale grecilor antici există teoreme elegante legate de progresia aritmetică. Astfel, Hypsicles din Alexandria (secolul al II-lea, care a compus multe probleme interesante și a adăugat cartea a XIV-a la Elementele lui Euclid), a formulat gândul: „Într-o progresie aritmetică, care a număr par termeni, suma termenilor din a doua jumătate este mai mare decât suma termenilor primei cu pătratul a 1/2 din numărul de termeni.”
Secvența este notată cu un. Numerele unei secvențe se numesc membrii ei și sunt de obicei desemnate prin litere cu indici care indică numărul de serie al acestui membru (a1, a2, a3 ... citiți: „a 1st”, „a 2nd”, „a 3rd” și așa mai departe ).
Secvența poate fi infinită sau finită.
Ce este o progresie aritmetică? Prin ea se înțelege pe cel obținut prin adăugarea termenului anterior (n) cu același număr d, care este diferența de progresie.
Dacă d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, atunci această progresie este considerată în creștere.
O progresie aritmetică se numește finită dacă sunt luați în considerare doar primii săi termeni. La foarte cantitati mari membri este deja o progresie nesfârșită.
Orice progresie aritmetică este definită de următoarea formulă:
an =kn+b, în timp ce b și k sunt niște numere.
Afirmația opusă este absolut adevărată: dacă o secvență este dată de o formulă similară, atunci este exact o progresie aritmetică care are proprietățile:
- Fiecare termen al progresiei este media aritmetică a termenului anterior și a celui următor.
- Revers: dacă, începând cu al 2-lea, fiecare termen este media aritmetică a termenului anterior și a celui următor, i.e. dacă condiția este îndeplinită, atunci această secvență este o progresie aritmetică. Această egalitate este, de asemenea, un semn al progresiei, motiv pentru care este de obicei numită o proprietate caracteristică a progresiei.
În același mod, teorema care reflectă această proprietate este adevărată: o secvență este o progresie aritmetică numai dacă această egalitate este adevărată pentru oricare dintre termenii șirului, începând cu al 2-lea.
Proprietatea caracteristică pentru oricare patru numere ale unei progresii aritmetice poate fi exprimată prin formula an + am = ak + al, dacă n + m = k + l (m, n, k sunt numere de progresie).
Într-o progresie aritmetică, orice termen necesar (N-lea) poate fi găsit folosind următoarea formulă:
De exemplu: primul termen (a1) dintr-o progresie aritmetică este dat și egal cu trei, iar diferența (d) este egală cu patru. Trebuie să găsiți al patruzeci și cincilea termen al acestei progresii. a45 = 1+4(45-1)=177
Formula an = ak + d(n - k) ne permite să determinăm al n-lea termen o progresie aritmetică prin oricare dintre cei ce-lea termeni ai săi, cu condiția să fie cunoscută.
Suma termenilor unei progresii aritmetice (adică primii n termeni ai unei progresii finite) se calculează după cum urmează:
Sn = (a1+an) n/2.
Dacă primul termen este de asemenea cunoscut, atunci o altă formulă este convenabilă pentru calcul:
Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.
Suma unei progresii aritmetice care conține n termeni se calculează după cum urmează:
Alegerea formulelor pentru calcule depinde de condițiile problemelor și de datele inițiale.
Serii naturale ale oricăror numere, cum ar fi 1,2,3,...,n,...- cel mai simplu exemplu progresie aritmetică.
Pe lângă progresia aritmetică, există și o progresie geometrică, care are proprietăți și caracteristici proprii.
Sau aritmetica este un tip de succesiune numerică ordonată, ale cărei proprietăți sunt studiate într-un curs de algebră școlară. Acest articol discută în detaliu întrebarea cum să găsiți suma unei progresii aritmetice.
Ce fel de progres este aceasta?
Înainte de a trece la întrebarea (cum să găsiți suma unei progresii aritmetice), merită să înțelegeți despre ce vorbim.
Orice succesiune numere reale, care se obține adunând (scăzând) o anumită valoare din fiecare număr anterior, se numește progresie algebrică (aritmetică). Această definiție, atunci când este tradusă în limbaj matematic, ia forma:
Aici i este numărul de serie al elementului din rândul a i. Astfel, cunoscând un singur număr de început, puteți restabili cu ușurință întreaga serie. Parametrul d din formulă se numește diferență de progresie.
Se poate demonstra cu ușurință că pentru seria de numere luate în considerare este valabilă următoarea egalitate:
a n = a 1 + d * (n - 1).
Adică, pentru a găsi valoarea celui de-al n-lea element în ordine, ar trebui să adăugați diferența d la primul element a de 1 n-1 ori.
Care este suma unei progresii aritmetice: formula
Înainte de a da formula pentru suma indicată, merită să luați în considerare un simplu caz special. Se da progresul numere naturale de la 1 la 10, trebuie să găsiți suma lor. Deoarece există puțini termeni în progresia (10), este posibil să se rezolve problema direct, adică să se însumeze toate elementele în ordine.
S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.
Un lucru care merită luat în considerare lucru interesant: deoarece fiecare termen diferă de următorul prin aceeași valoare d = 1, atunci însumarea în perechi a primului cu al zecelea, a al doilea cu al nouălea și așa mai departe va da același rezultat. Serios:
11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.
După cum puteți vedea, există doar 5 dintre aceste sume, adică exact de două ori mai puțin decât numărul de elemente ale seriei. Apoi înmulțind numărul de sume (5) cu rezultatul fiecărei sume (11), veți ajunge la rezultatul obținut în primul exemplu.
Dacă generalizăm aceste argumente, putem scrie următoarea expresie:
S n = n * (a 1 + a n) / 2.
Această expresie arată că nu este deloc necesară însumarea tuturor elementelor pe rând este suficient să cunoaștem valoarea primului a 1 și a ultimului a n , precum și număr total n termeni.
Se crede că Gauss s-a gândit pentru prima dată la această egalitate când a căutat o soluție la o problemă dată de profesorul său: însumați primele 100 de numere întregi.
Suma elementelor de la m la n: formula
Formula dată în paragraful anterior răspunde la întrebarea cum se găsește suma unei progresii aritmetice (primele elemente), dar adesea în probleme este necesară însumarea unei serii de numere la mijlocul progresiei. Cum să faci asta?
Cel mai simplu mod de a răspunde la această întrebare este luând în considerare următorul exemplu: să fie necesar să se găsească suma termenilor de la m-a la n-a. Pentru a rezolva problema, ar trebui să reprezentați segmentul dat de la m la n al progresiei ca un nou serie de numere. În această vedere al-lea termen un m va fi primul, iar un n va fi numerotat n-(m-1). În acest caz, aplicând formula standard pentru sumă, se va obține următoarea expresie:
S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.
Exemplu de utilizare a formulelor
Știind cum să găsiți suma unei progresii aritmetice, merită să luați în considerare un exemplu simplu de utilizare a formulelor de mai sus.
Mai jos este o secvență numerică, ar trebui să găsiți suma termenilor săi, începând cu a 5-a și terminând cu a 12-a:
Numerele date indică faptul că diferența d este egală cu 3. Folosind expresia pentru al n-lea element, puteți găsi valorile termenilor al 5-lea și al 12-lea al progresiei. Se dovedește:
a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;
a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.
Cunoscând valorile numerelor de la capetele progresiei algebrice luate în considerare, precum și știind ce numere din seria ocupă acestea, puteți folosi formula pentru suma obținută în paragraful anterior. Se va dovedi:
S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.
Este de remarcat faptul că această valoare ar putea fi obținută diferit: mai întâi găsiți suma primelor 12 elemente folosind formula standard, apoi calculați suma primelor 4 elemente folosind aceeași formulă, apoi scădeți pe al doilea din prima sumă.
Când studiezi algebra în școală gimnazială(clasa a IX-a) unul dintre subiecte importante este studiul secvențe de numere, care includ progresii - geometrice și aritmetice. În acest articol vom analiza o progresie aritmetică și exemple cu soluții.
Ce este o progresie aritmetică?
Pentru a înțelege acest lucru, este necesar să se definească progresia în cauză, precum și să se furnizeze formulele de bază care vor fi folosite ulterior în rezolvarea problemelor.
O progresie aritmetică sau algebrică este un set de numere raționale ordonate, fiecare termen diferit de cel anterior printr-o valoare constantă. Această valoare se numește diferență. Adică, cunoscând orice membru al unei serii ordonate de numere și diferența, puteți restabili întreaga progresie aritmetică.
Să dăm un exemplu. Următoarea succesiune de numere va fi o progresie aritmetică: 4, 8, 12, 16, ..., deoarece diferența în acest caz este 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Dar setul de numere 3, 5, 8, 12, 17 nu mai poate fi atribuit tipului de progresie luat în considerare, deoarece diferența pentru aceasta nu este valoare constantă (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).
Formule importante
Să prezentăm acum formulele de bază care vor fi necesare pentru a rezolva probleme folosind progresia aritmetică. Să notăm cu simbolul a n al n-lea membru al secvenței, unde n este un număr întreg. Notăm diferența prin litera latină d. Atunci sunt valabile următoarele expresii:
- Pentru a determina valoarea celui de-al n-lea termen este potrivită următoarea formulă: a n = (n-1)*d+a 1 .
- Pentru a determina suma primilor n termeni: S n = (a n +a 1)*n/2.
Pentru a înțelege orice exemple de progresie aritmetică cu soluții în clasa a IX-a, este suficient să ne amintim aceste două formule, deoarece orice probleme de tipul luat în considerare se bazează pe utilizarea lor. De asemenea, trebuie să vă amintiți că diferența de progresie este determinată de formula: d = a n - a n-1.
Exemplul #1: găsirea unui termen necunoscut
Să dăm un exemplu simplu de progresie aritmetică și formulele care trebuie folosite pentru a o rezolva.
Să fie dată șirul 10, 8, 6, 4, ..., trebuie să găsiți cinci termeni în ea.
Din condițiile problemei rezultă deja că primii 4 termeni sunt cunoscuți. Al cincilea poate fi definit în două moduri:
- Să calculăm mai întâi diferența. Avem: d = 8 - 10 = -2. În mod similar, puteți lua oricare alți doi membri stând unul lângă celălalt. De exemplu, d = 4 - 6 = -2. Deoarece se știe că d = a n - a n-1, atunci d = a 5 - a 4, din care obținem: a 5 = a 4 + d. Inlocuim valorile cunoscute: a 5 = 4 + (-2) = 2.
- A doua metodă necesită, de asemenea, cunoașterea diferenței progresiei în cauză, așa că mai întâi trebuie să o determinați așa cum se arată mai sus (d = -2). Știind că primul termen a 1 = 10, folosim formula pentru numărul n al șirului. Avem: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2*n. Înlocuind n = 5 în ultima expresie, obținem: a 5 = 12-2 * 5 = 2.
După cum puteți vedea, ambele soluții au dus la același rezultat. Rețineți că în acest exemplu diferența de progresie d este o valoare negativă. Astfel de secvențe se numesc descrescătoare, deoarece fiecare termen următor este mai mic decât cel anterior.
Exemplul #2: diferența de progresie
Acum să complicăm puțin sarcina, să dăm un exemplu despre cum
Se știe că la unii primul termen este egal cu 6, iar al 7-lea termen este egal cu 18. Este necesar să găsim diferența și să restabilim această secvență la al 7-lea termen.
Să folosim formula pentru a determina termenul necunoscut: a n = (n - 1) * d + a 1 . Să substituim datele cunoscute din condiție în ea, adică numerele a 1 și a 7, avem: 18 = 6 + 6 * d. Din această expresie puteți calcula cu ușurință diferența: d = (18 - 6) /6 = 2. Astfel, am răspuns la prima parte a problemei.
Pentru a restabili secvența la al 7-lea termen, ar trebui să utilizați definiția unei progresii algebrice, adică a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d și așa mai departe. Ca rezultat, restabilim întreaga secvență: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.
Exemplul nr. 3: întocmirea unei progresii
Să complicăm și mai mult problema. Acum trebuie să răspundem la întrebarea cum să găsim o progresie aritmetică. Se poate da următorul exemplu: sunt date două numere, de exemplu - 4 și 5. Este necesar să se creeze o progresie algebrică astfel încât să mai fie plasați trei termeni între aceștia.
Înainte de a începe să rezolvați această problemă, trebuie să înțelegeți ce loc vor ocupa numerele date în progresia viitoare. Întrucât vor mai fi trei termeni între ei, atunci a 1 = -4 și a 5 = 5. După ce am stabilit acest lucru, trecem la problema, care este similară cu cea anterioară. Din nou, pentru al n-lea termen folosim formula, obținem: a 5 = a 1 + 4 * d. Din: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Ceea ce am obținut aici nu este o valoare întreagă a diferenței, ci este un număr rațional, deci formulele pentru progresia algebrică rămân aceleași.
Acum să adăugăm diferența găsită la un 1 și să restabilim termenii lipsă ai progresiei. Se obține: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75, a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5, a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75, a 5 = 2.75 + 2.25 = 5, care coincid cu condiţiile problemei.
Exemplul nr. 4: primul termen de progresie
Să continuăm să dăm exemple de progresie aritmetică cu soluții. În toate problemele anterioare, era cunoscut primul număr al progresiei algebrice. Acum să luăm în considerare o problemă de alt tip: să fie date două numere, unde a 15 = 50 și a 43 = 37. Este necesar să găsim cu ce număr începe această secvență.
Formulele folosite până acum presupun cunoașterea a 1 și d. În enunțul problemei, nu se știe nimic despre aceste numere. Cu toate acestea, vom nota expresii pentru fiecare termen despre care sunt disponibile informații: a 15 = a 1 + 14 * d și a 43 = a 1 + 42 * d. Am primit două ecuații în care există 2 mărimi necunoscute (a 1 și d). Aceasta înseamnă că problema se reduce la rezolvarea unui sistem de ecuații liniare.
Cel mai simplu mod de a rezolva acest sistem este de a exprima un 1 în fiecare ecuație și apoi de a compara expresiile rezultate. Prima ecuație: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; a doua ecuație: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Echivalând aceste expresii, obținem: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, de unde diferența d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (se dau doar 3 zecimale).
Cunoscând d, puteți folosi oricare dintre cele 2 expresii de mai sus pentru un 1. De exemplu, mai întâi: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.
Dacă aveți îndoieli cu privire la rezultatul obținut, îl puteți verifica, de exemplu, determinați al 43-lea termen al progresiei, care este specificat în condiție. Se obține: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Mica eroare se datorează faptului că în calcule a fost folosită rotunjirea la miimi.
Exemplul nr. 5: suma
Acum să ne uităm la câteva exemple cu soluții pentru suma unei progresii aritmetice.
Să se dea o progresie numerică de următoarea formă: 1, 2, 3, 4, ...,. Cum se calculează suma a 100 dintre aceste numere?
Datorită dezvoltării tehnologiei informatice, este posibil să se rezolve această problemă, adică să se adauge toate numerele succesiv, care calculator va face imediat ce persoana va apăsa tasta Enter. Problema poate fi însă rezolvată mental dacă acordați atenție faptului că seria de numere prezentată este o progresie algebrică, iar diferența ei este egală cu 1. Aplicând formula pentru suma, obținem: S n = n * ( a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.
Este interesant de observat că această problemă se numește „gaussian” deoarece la începutul secolului al XVIII-lea celebrul german, încă în vârstă de doar 10 ani, a reușit să o rezolve în cap în câteva secunde. Băiatul nu știa formula pentru suma unei progresii algebrice, dar a observat că dacă aduni numerele de la sfârșitul șirului în perechi, obții întotdeauna același rezultat, adică 1 + 100 = 2 + 99. = 3 + 98 = ..., și deoarece aceste sume vor fi exact 50 (100 / 2), atunci pentru a obține răspunsul corect este suficient să înmulțiți 50 cu 101.
Exemplul nr. 6: suma termenilor de la n la m
Un alt exemplu tipic al sumei unei progresii aritmetice este următorul: având în vedere o serie de numere: 3, 7, 11, 15, ..., trebuie să aflați cu ce va fi suma termenilor săi de la 8 la 14. .
Problema este rezolvată în două moduri. Primul dintre ei implică găsirea de termeni necunoscuți de la 8 la 14 și apoi însumarea lor secvențială. Întrucât există puțini termeni, această metodă nu este destul de intensivă în muncă. Cu toate acestea, se propune rezolvarea acestei probleme folosind o a doua metodă, care este mai universală.
Ideea este de a obține o formulă pentru suma progresiei algebrice dintre termenii m și n, unde n > m sunt numere întregi. Pentru ambele cazuri, scriem două expresii pentru suma:
- S m = m * (a m + a 1) / 2.
- S n = n * (a n + a 1) / 2.
Deoarece n > m, este evident că a doua sumă o include pe prima. Ultima concluzie înseamnă că dacă luăm diferența dintre aceste sume și îi adăugăm termenul a m (în cazul luării diferenței se scade din suma S n), vom obține răspunsul necesar la problemă. Avem: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). Este necesar să se înlocuiască formule pentru a n și a m în această expresie. Atunci obținem: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d *(3 * m - m 2 - 2) / 2.
Formula rezultată este oarecum greoaie, totuși, suma S mn depinde doar de n, m, a 1 și d. În cazul nostru, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Înlocuind aceste numere, obținem: S mn = 301.
După cum se poate observa din soluțiile de mai sus, toate problemele se bazează pe cunoașterea expresiei pentru al n-lea termen și a formulei pentru suma mulțimii primilor termeni. Înainte de a începe să rezolvați oricare dintre aceste probleme, este recomandat să citiți cu atenție starea, să înțelegeți clar ce trebuie să găsiți și abia apoi să continuați cu soluția.
Un alt sfat este să depuneți eforturi pentru simplitate, adică dacă puteți răspunde la o întrebare fără a utiliza calcule matematice complexe, atunci trebuie să faceți exact asta, deoarece în acest caz probabilitatea de a face o greșeală este mai mică. De exemplu, în exemplul unei progresii aritmetice cu soluția nr. 6, se poate opri la formula S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m și împărțiți problema generală în subsarcini separate (în acest caz, găsiți mai întâi termenii a n și a m).
Dacă aveți îndoieli cu privire la rezultatul obținut, este recomandat să îl verificați, așa cum s-a făcut în unele dintre exemplele date. Am aflat cum să găsim o progresie aritmetică. Dacă îți dai seama, nu este atât de greu.
Suma unei progresii aritmetice.
Suma unei progresii aritmetice este un lucru simplu. Atât în sens, cât și în formulă. Dar există tot felul de sarcini pe această temă. De la bază la destul de solidă.
În primul rând, să înțelegem sensul și formula sumei. Și atunci vom decide. Pentru plăcerea ta.) Sensul sumei este la fel de simplu ca un moo. Pentru a găsi suma unei progresii aritmetice, trebuie doar să adăugați cu atenție toți termenii acesteia. Dacă acești termeni sunt puțini, puteți adăuga fără formule. Dar dacă există mult, sau mult... adaosul este enervant.) În acest caz, formula vine în ajutor.
Formula pentru suma este simplă:
Să ne dăm seama ce fel de litere sunt incluse în formulă. Acest lucru va clarifica foarte mult lucrurile.
S n - suma unei progresii aritmetice. Rezultat adaos toată lumea membri, cu primul De dura. Acest lucru este important. Se adună exact Toate membri la rând, fără săriți sau săriți. Și, tocmai, pornind de la primul.În probleme precum găsirea sumei termenilor al treilea și al optulea sau a sumei termenilor cinci și al douăzecilea, aplicarea directă a formulei va dezamăgi.)
a 1 - primul membru al progresiei. Totul este clar aici, e simplu primul numărul rândului.
un n- ultimul membru al progresiei. Ultimul număr al seriei. Nu este un nume foarte familiar, dar atunci când este aplicat sumei, este foarte potrivit. Atunci vei vedea singur.
n - numărul ultimului membru. Este important să înțelegeți că în formulă acest număr coincide cu numărul de termeni adăugați.
Să definim conceptul dura membru un n. Întrebare dificilă: care membru o va face ultimul dacă este dat fără sfârşit progresie aritmetică?)
Pentru a răspunde cu încredere, trebuie să înțelegeți semnificația elementară a progresiei aritmetice și... citiți cu atenție sarcina!)
În sarcina de a găsi suma unei progresii aritmetice, ultimul termen apare întotdeauna (direct sau indirect), care ar trebui limitată.În caz contrar, o sumă finală, specifică pur si simplu nu exista. Pentru soluție, nu contează dacă progresia este dată: finită sau infinită. Nu contează cum este dat: o serie de numere sau o formulă pentru al n-lea termen.
Cel mai important este să înțelegeți că formula funcționează de la primul termen al progresiei până la termenul cu număr n. De fapt, numele complet al formulei arată astfel: suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice. Numărul acestor primi membri, adică n, este determinată exclusiv de sarcină. Într-o sarcină, toate aceste informații valoroase sunt adesea criptate, da... Dar nu contează, în exemplele de mai jos dezvăluim aceste secrete.)
Exemple de sarcini pe suma unei progresii aritmetice.
În primul rând, informatii utile:
Principala dificultate în sarcinile care implică suma unei progresii aritmetice este definiție corectă elemente ale formulei.
Scriitorii de sarcini criptează chiar aceste elemente cu o imaginație nemărginită.) Principalul lucru aici este să nu-ți fie frică. Înțelegând esența elementelor, este suficient să le descifrezi pur și simplu. Să ne uităm la câteva exemple în detaliu. Să începem cu o sarcină bazată pe un GIA real.
1. Progresia aritmetică este dată de condiția: a n = 2n-3.5. Aflați suma primilor săi 10 termeni.
Loc de muncă bun. Ușor.) Pentru a determina cantitatea folosind formula, ce trebuie să știm? Primul membru a 1, ultimul termen un n, da numărul ultimului membru n.
De unde pot obține numărul ultimului membru? n? Da, chiar acolo, cu condiție! Se spune: găsiți suma primii 10 membri. Ei bine, cu ce număr va fi? dura, al zecelea membru?) Nu veți crede, numărul lui este al zecelea!) Prin urmare, în loc de un n vom înlocui în formulă un 10, și în schimb n- zece. Repet, numărul ultimului membru coincide cu numărul membrilor.
Rămâne de stabilit a 1Şi un 10. Acest lucru este ușor de calculat folosind formula pentru al n-lea termen, care este dată în enunțul problemei. Nu știi cum să faci asta? Participați la lecția anterioară, fără aceasta nu există nicio cale.
a 1= 2 1 - 3,5 = -1,5
un 10=2·10 - 3,5 =16,5
S n = S 10.
Am aflat semnificația tuturor elementelor formulei pentru suma unei progresii aritmetice. Tot ce rămâne este să le înlocuiți și să numărați:
Asta este. Raspuns: 75.
O altă sarcină bazată pe GIA. Puțin mai complicat:
2. Având în vedere o progresie aritmetică (a n), a cărei diferență este 3,7; a 1 =2,3. Aflați suma primilor 15 termeni ai săi.
Scriem imediat formula sumei:
Această formulă ne permite să găsim valoarea oricărui termen după numărul său. Căutăm o înlocuire simplă:
a 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1
Rămâne să înlocuiți toate elementele în formula pentru suma unei progresii aritmetice și să calculați răspunsul:
Răspuns: 423.
Apropo, dacă în formula sumei în loc de un n Pur și simplu înlocuim formula pentru al n-lea termen și obținem:
Să prezentăm altele similare și să obținem o nouă formulă pentru suma termenilor unei progresii aritmetice:
 |
După cum puteți vedea, al n-lea termen nu este necesar aici un n. În unele probleme această formulă ajută foarte mult, da... Vă puteți aminti această formulă. Sau pur și simplu îl puteți afișa la momentul potrivit, ca aici. La urma urmei, trebuie să vă amintiți întotdeauna formula pentru sumă și formula pentru al n-lea termen.)
Acum sarcina sub forma unei criptări scurte):
3. Aflați suma tuturor celor pozitive numere cu două cifre, multipli de trei.
Wow! Nici primul tău membru, nici ultimul, nici progresul... Cum să trăiești!?
Va trebui să gândești cu capul și să scoți toate elementele sumei progresiei aritmetice din condiție. Știm ce sunt numerele din două cifre. Sunt formate din două numere.) Ce număr de două cifre va fi primul? 10, probabil.) A dura număr cu două cifre? 99, desigur! Cei din trei cifre îl vor urma...
Multipli de trei... Hm... Acestea sunt numere care sunt divizibile cu trei, aici! Zece nu este divizibil cu trei, 11 nu este divizibil... 12... este divizibil! Deci, ceva iese la iveală. Puteți nota deja o serie în funcție de condițiile problemei:
12, 15, 18, 21, ... 96, 99.
Va fi această serie o progresie aritmetică? Cu siguranţă! Fiecare termen diferă de cel precedent prin strict trei. Dacă adăugați 2 sau 4 unui termen, să zicem rezultatul, adică. noul număr nu mai este divizibil cu 3. Puteți determina imediat diferența progresiei aritmetice: d = 3. Asta o să ne mai folosească!)
Deci, putem nota în siguranță câțiva parametri de progresie:
Care va fi numărul? n ultimul membru? Oricine crede că 99 se înșală fatal... Numerele merg mereu la rând, dar membrii noștri sar peste trei. Nu se potrivesc.
Există două soluții aici. O modalitate este pentru cei super muncitori. Puteți nota progresia, întreaga serie de numere și puteți număra numărul de membri cu degetul.) A doua cale este pentru cei gânditori. Trebuie să vă amintiți formula pentru al n-lea termen. Dacă aplicăm formula problemei noastre, aflăm că 99 este al treizecilea termen al progresiei. Aceste. n = 30.
Să ne uităm la formula pentru suma unei progresii aritmetice:
Ne uităm și ne bucurăm.) Am scos din enunțul problemei tot ceea ce era necesar pentru a calcula suma:
a 1= 12.
un 30= 99.
S n = S 30.
Tot ce rămâne este aritmetica elementară. Înlocuim numerele în formulă și calculăm:
Răspuns: 1665
Un alt tip de puzzle popular:
4. Având în vedere o progresie aritmetică:
-21,5; -20; -18,5; -17; ...
Aflați suma termenilor de la douăzeci la treizeci și patru.
Ne uităm la formula pentru suma și... ne supărăm.) Formula, să vă reamintesc, calculează suma din prima membru. Și în problemă trebuie să calculați suma din al XX-lea... Formula nu va funcționa.
Puteți, desigur, să scrieți întreaga progresie într-o serie și să adăugați termeni de la 20 la 34. Dar... este cumva stupid și durează mult, nu?)
Există o soluție mai elegantă. Să împărțim seria noastră în două părți. Prima parte va fi de la primul termen până la al nouăsprezecelea. partea a doua - de la douăzeci la treizeci şi patru. Este clar că dacă calculăm suma termenilor primei părți S 1-19, să-l adunăm cu suma termenilor din partea a doua S 20-34, obținem suma progresiei de la primul termen la al treizeci și patrulea S 1-34. Ca aceasta:
S 1-19 + S 20-34 = S 1-34
Din aceasta putem vedea că găsim suma S 20-34 se poate face prin simpla scădere
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19
Sunt luate în considerare ambele sume din partea dreaptă din prima membru, adică formula sumei standard le este destul de aplicabilă. Să începem?
Extragem parametrii de progresie din enunțul problemei:
d = 1,5.
a 1= -21,5.
Pentru a calcula sumele primilor 19 și primilor 34 de termeni, vom avea nevoie de al 19-lea și al 34-lea termen. Le calculăm folosind formula pentru al n-lea termen, ca în problema 2:
un 19= -21,5 +(19-1) 1,5 = 5,5
un 34= -21,5 +(34-1) 1,5 = 28
Nu a mai rămas nimic. Din suma a 34 de termeni scade suma a 19 termeni:
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5
Răspuns: 262,5
O notă importantă! Există un truc foarte util în rezolvarea acestei probleme. În loc de calcul direct de ce ai nevoie (S 20-34), am numărat ceva ce ar părea că nu este nevoie - S 1-19.Și atunci s-au hotărât S 20-34, eliminând ceea ce nu este necesar din rezultatul complet. Acest tip de „făcătură cu urechile tale” te salvează adesea în probleme rele.)
În această lecție ne-am uitat la probleme pentru care este suficient să înțelegem sensul sumei unei progresii aritmetice. Ei bine, trebuie să știți câteva formule.)
Sfaturi practice:
Când rezolvați orice problemă care implică suma unei progresii aritmetice, vă recomand să scrieți imediat cele două formule principale din acest subiect.
Formula pentru al n-lea termen:
Aceste formule vă vor spune imediat ce să căutați și în ce direcție să gândiți pentru a rezolva problema. Ajută.
Și acum sarcinile pentru o soluție independentă.
5. Aflați suma tuturor numerelor din două cifre care nu sunt divizibile cu trei.
Cool?) Sugestia este ascunsă în nota la problema 4. Ei bine, problema 3 va ajuta.
6. Progresia aritmetică este dată de condiția: a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Aflați suma primilor 24 de termeni.
Neobișnuit?) Asta formula recurentei. Puteți citi despre asta în lecția anterioară. Nu ignora legătura, astfel de probleme se găsesc adesea în Academia de Științe de Stat.
7. Vasya a făcut economii pentru vacanță. Cât de mult 4550 de ruble! Și am decis să-i ofer persoanei mele preferate (mie) câteva zile de fericire). Trăiește frumos fără a te nega nimic. Cheltuiește 500 de ruble în prima zi, iar în fiecare zi următoare cheltuiește cu 50 de ruble mai mult decât în cea anterioară! Până se epuizează banii. Câte zile de fericire a avut Vasya?
Greu?) O formulă suplimentară din problema 2 va ajuta.
Răspunsuri (în dezordine): 7, 3240, 6.
Daca va place acest site...
Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)
Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Să învățăm - cu interes!)
Vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.